Доказано (1996), что степенная скорость сходимости в эргодической теореме фон Неймана эквивалентна степенной же, с тем же показателем степени, особенности в нуле спектральной меры усредняемой функции относительно соответствующей динамической системы. Тем самым показано, что оценки скорости сходимости в этой эргодической теореме с необходимостью являются спектральными.
Получены (1996; с 2010 – с учениками) оценки скоростей сходимости: в эргодической теореме фон Неймана – по особенности в нуле спектральной меры, и по скорости убывания корреляций (т.е. коэффициентов Фурье этой меры); в эргодической теореме Биркгофа – по скорости сходимости в теореме фон Неймана, и по скорости убывания вероятностей больших уклонений. Даны асимптотически точные оценки скоростей сходимости в обеих этих эргодических теоремах для некоторых известных бильярдов и систем Аносова.
Введен (1998) в рассмотрение новый стохастический процесс, содержащий эргодические средние и мартингалы как частные вырожденные случаи, для которого доказаны сходимость п.в. (дополнительное условие интегрируемости супремума модуля процесса было опущено учеником И.В. Подвигиным в 2010) и по норме, и справедливы максимальное и доминантное неравенства.
Показано (2018), что суммы Фейера мер на окружности и нормы отклонений от предела в эргодической теореме фон Неймана вычисляются фактически по одним и тем же формулам (интегрированием ядер Фейера) – так что сама эта эргодическая теорема является утверждением об асимптотике роста сумм Фейера в точке 0 соответствующей спектральной меры. Имеющиеся в литературе по гармоническому анализу многочисленные оценки уклонений сумм Фейера в точке позволили получить новые оценки скоростей сходимости в этой эргодической теореме.
Доказано (2019; с И.В. Подвигиным) существование справедливых п.в. оценок поточечной скорости сходимости в теореме Биркгофа (в эргодическом случае); получены критерии максимально возможной такой скорости сходимости.
Научная биография:
Окончил механико-математический факультет Новосибирского государственного университета в 1983 г. (кафедра математического анализа). Кандидатская диссертация защищена в 1987 г. в Институте математики СО АН СССР, г. Новосибирск. Докторская – в 1999 г. в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН. Основное место работы с 1983 г. – Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН (с перерывом в 1997–1999 на докторантуру в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН).
Основные публикации:
Качуровский А. Г., “Скорости сходимости в эргодических теоремах”, УМН, 51:4 (1996), 73–124
Качуровский А. Г., “Единые теории, унифицирующие эргодические средние и мартингалы”, Труды МИАН, 256, 2007, 172–200
Качуровский А. Г., Подвигин И. В., “Оценки скоростей сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа”, Труды ММО, 77, № 1, 2016, 1–66
Качуровский А. Г., Подвигин И. В., “Суммы Фейера периодических мер и эргодическая теорема фон Неймана”, Докл. РАН, 481:4 (2018), 358–361
Качуровский А. Г., Подвигин И. В., “Об измерении скоростей сходимости в эргодической теореме Биркгофа”, Матем. заметки, 106:1 (2019), 40–52
А. Г. Качуровский, И. В. Подвигин, В. Э. Тодиков, А. Ж. Хакимбаев, “Спектральный критерий степенной скорости сходимости в эргодической теореме для ${\Bbb Z}^d$ и ${\Bbb R}^d$ действий”, Сиб. матем. журн., 65:1 (2024), 92–114
А. Г. Качуровский, И. В. Подвигин, А. Ж. Хакимбаев, “Равномерная сходимость на подпространствах в эргодической теореме фон Неймана с дискретным временем”, Матем. заметки, 113:5 (2023), 713–730; A. G. Kachurovskii, I. V. Podvigin, A. J. Khakimbaev, “Uniform Convergence on Subspaces in von Neumann Ergodic
Theorem with Discrete Time”, Math. Notes, 113:5 (2023), 680–693
A. G. Kachurovskii, I. V. Podvigin, V. E. Todikov, “Uniform convergence on subspaces in von Neumann's ergodic theorem with continuous time”, Сиб. электрон. матем. изв., 20:1 (2023), 183–206
А. Г. Качуровский, И. В. Подвигин, А. А. Свищёв, “Закон нуля или единицы для скоростей сходимости в эргодической теореме Биркгофа с непрерывным временем”, Матем. тр., 24:2 (2021), 65–80
А. Г. Качуровский, М. Н. Лапштаев, А. Ж. Хакимбаев, “Эргодическая теорема фон Неймана и суммы Фейера зарядов на окружности”, Сиб. электрон. матем. изв., 17 (2020), 1313–1321
6.
А. Г. Качуровский, И. В. Подвигин, А. А. Свищёв, “Максимальная поточечная скорость сходимости в эргодической теореме Биркгофа”, Зап. научн. сем. ПОМИ, 498 (2020), 18–25
А. Г. Качуровский, И. В. Подвигин, “Об измерении скоростей сходимости
в эргодической теореме Биркгофа”, Матем. заметки, 106:1 (2019), 40–52; A. G. Kachurovskii, I. V. Podvigin, “Measuring the Rate of Convergence in the Birkhoff Ergodic Theorem”, Math. Notes, 106:1 (2019), 52–62
А. Г. Качуровский, И. В. Подвигин, “Большие уклонения эргодических средних: переход от гёльдеровости к непрерывности почти всюду”, Матем. тр., 20:1 (2017), 97–120; A. G. Kachurovskiǐ, I. V. Podvigin, “Large deviations of the ergodic averages: from Hölder continuity to continuity almost everywhere”, Siberian Adv. Math., 28:1 (2018), 23–38
А. Г. Качуровский, И. В. Подвигин, “Оценки скоростей сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа”, Тр. ММО, 77:1 (2016), 1–66; A. G. Kachurovskii, I. V. Podvigin, “Estimates of the rate of convergence in the von Neumann and Birkhoff ergodic theorems”, Trans. Moscow Math. Soc., 77 (2016), 1–53
А. Г. Качуровский, И. В. Подвигин, “Большие уклонения и скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа”, Матем. заметки, 94:4 (2013), 569–577; A. G. Kachurovskii, I. V. Podvigin, “Large Deviations and the Rate of Convergence in the Birkhoff Ergodic Theorem”, Math. Notes, 94:4 (2013), 524–531
А. Г. Качуровский, В. В. Седалищев, “О константах оценок скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа”, Матем. заметки, 91:4 (2012), 624–628; A. G. Kachurovskii, V. V. Sedalishchev, “On the Constants in the Estimates of the Rate of Convergence in the Birkhoff Ergodic Theorem”, Math. Notes, 91:4 (2012), 582–587
А. Г. Качуровский, В. В. Седалищев, “Константы оценок скорости сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа”, Матем. сб., 202:8 (2011), 21–40; A. G. Kachurovskii, V. V. Sedalishchev, “Constants in estimates for the rates of convergence in von Neumann's and Birkhoff's ergodic theorems”, Sb. Math., 202:8 (2011), 1105–1125
Н. А. Джулай, А. Г. Качуровский, “Константы оценок скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана с непрерывным временем”, Сиб. матем. журн., 52:5 (2011), 1039–1052; N. A. Dzhulaǐ, A. G. Kachurovskiǐ, “Constants in the estimates of the rate of convergence in von Neumann's ergodic theorem with continuous time”, Siberian Math. J., 52:5 (2011), 824–835
А. Г. Качуровский, В. В. Седалищев, “О константах оценок скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана”, Матем. заметки, 87:5 (2010), 756–763; A. G. Kachurovskii, V. V. Sedalishchev, “On the Constants in the Estimates of the Rate of Convergence in von Neumann's Ergodic Theorem”, Math. Notes, 87:5 (2010), 720–727
А. Г. Качуровский, А. В. Решетенко, “О скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана с непрерывным временем”, Матем. сб., 201:4 (2010), 25–32; A. G. Kachurovskii, A. V. Reshetenko, “On the rate of convergence in von Neumann's ergodic theorem with continuous time”, Sb. Math., 201:4 (2010), 493–500
А. Г. Качуровский, “Единые теории, унифицирующие эргодические средние и мартингалы”, Труды МИАН, 256 (2007), 172–200; A. G. Kachurovskii, “General Theories Unifying Ergodic Averages and Martingales”, Proc. Steklov Inst. Math., 256 (2007), 160–187
А. Г. Качуровский, “Об энтропийном кирпиче автоморфизма пространства Лебега”, Матем. заметки, 80:6 (2006), 943–945; A. G. Kachurovskii, “The entropy brick of an automorphism of a Lebesgue space”, Math. Notes, 80:6 (2006), 885–887
1999
19.
А. Г. Качуровский, “О сходимости средних в эргодической теореме для групп $\mathbb Z^d$”, Зап. научн. сем. ПОМИ, 256 (1999), 121–128; A. G. Kachurovskii, “Convergence of averages in the ergodic theorem for groups $\mathbb Z^d$”, J. Math. Sci. (New York), 107:5 (2001), 4231–4236
А. Г. Качуровский, “Спектральные меры и скорости сходимости в эргодической теореме”, Докл. РАН, 347:5 (1996), 593–596
22.
А. Г. Качуровский, “Скорости сходимости в эргодических теоремах”, УМН, 51:4(310) (1996), 73–124; A. G. Kachurovskii, “The rate of convergence in ergodic theorems”, Russian Math. Surveys, 51:4 (1996), 653–703
А. Г. Качуровский, “Флуктуации средних в эргодической теореме Биркгофа–Хинчина”, Тр. Ин-та математики СО РАН, 21 (1992), 52–86
24.
А. Г. Качуровский, “Временные флуктуации в статистической эргодической теореме”, Матем. заметки, 52:1 (1992), 146–148; A. G. Kachurovskii, “Time fluctuations in the statistical ergodic theorem”, Math. Notes, 52:1 (1992), 744–745
1991
25.
А. Г. Качуровский, “Флуктуационная эргодическая теорема”, Докл. АН СССР, 317:4 (1991), 823–826; A. G. Kachurovskii, “A fluctuation ergodic theorem”, Dokl. Math., 43:2 (1991), 537–539
А. Г. Качуровский, “Флуктуации средних в усиленном законе больших чисел”, Матем. заметки, 50:5 (1991), 151–153; A. G. Kachurovskii, “Fluctuation of averages in the strong law of large numbers”, Math. Notes, 50:5 (1991), 1202–1203
А. Г. Качуровский, “Ограниченность флуктуации последовательностей средних в эргодической теореме Биркгофа–Хинчина”, Докл. АН СССР, 315:3 (1990), 530–532; A. G. Kachurovskii, “Boundedness of the fluctuation of mean sequences in the ergodic Birkhoff–Khinchin theorem”, Dokl. Math., 42:3 (1991), 810–812
Обратная связь: