| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Равномерная сходимость на подпространствах в эргодической теореме фон Неймана с дискретным временем А. Г. Качуровскийa, И. В. Подвигинa, А. Ж. Хакимбаевb a Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск b Новосибирский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050073 
Реферативные базы данных:
  1. Введение1.1Пусть $\mathcal{H}$ – гильбертово пространство и $U\colon\mathcal{H}\to\mathcal{H}$ – унитарный оператор. Для каждого вектора $f\in\mathcal{H}$ и всех $n,m\in\mathbb{Z}$ таких, что $n> m$, рассмотрим эргодические средние Эргодическая теорема фон Неймана утверждает, что для каждого вектора $f\in\mathcal{H}$ существование предела по норме пространства $\mathcal{H}$ где $P$ – ортогональный проектор на подпространство $\mathcal{F}_U$ неподвижных векторов оператора $U$. Ясно, что $I-P$ является ортогональным проектором на ${\mathcal{F}_U}^\perp$, и для $f\in{\mathcal{F}_U}^\perp$ предел $f^*=0$. Поскольку $P_{n,m}=U^{m}P_{n-m,0}$ и $P=U^{m}P$, достаточно рассматривать однопараметрическое семейство усреднений $P_n:=P_{n,0}$.Пусть $\{E(\lambda)\}_{\lambda\in(-\pi,\pi]}$ – разложение единицы унитарного оператора $U$ (см., например, [1; § 71]). Тогда для любых векторов $f,g\in\mathcal{H}$ справедливо представление
$$
\begin{equation*}
(U^kf,g)_{\mathcal{H}}=\int_{(-\pi,\pi]} e^{ik\lambda}\,d(E(\lambda)f,g)_{\mathcal{H}}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $k\in\mathbb{Z}$, и можно ввести спектральные меры $\sigma_{f,g}$ – такие конечные борелевские меры на $(-\pi,\pi]$, что для всех борелевских множеств $C\subseteq(-\pi,\pi]$
$$
\begin{equation*}
\sigma_{f,g}(C)=\int_{C}d(E(\lambda) f,g)_{\mathcal{H}};
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим $\sigma_{f}=\sigma_{f,f}$. Рассмотрим ядра Фейера
$$
\begin{equation*}
\Phi_n(x)=\frac{1}{n}\,\frac{\sin^2(nx/2)}{\sin^2(x/2)}, \quad \ 0<|x|\leqslant \pi, \qquad \Phi_n(0)=n;
\end{equation*}
\notag
$$
отметим хорошо известные (см., например, [2; § 47]) неравенства
$$
\begin{equation}
\frac{1}{n}\Phi_n(x) \leqslant\frac{\pi^2}{n^2 x^2} \qquad \text{для}\quad \frac{\pi}{n}\leqslant |x|\leqslant\pi,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{n}\Phi_n(x) \leqslant 1 \qquad\text{для}\quad |x|\leqslant\pi.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
При всех целых $n\geqslant1$ справедливо интегральное представление (см., например, [3; теорема 18.2.1])
$$
\begin{equation}
\|P_{n} f\|_{\mathcal{H}}^2=\int_{(-\pi,\pi]} \frac{1}{n}\Phi_{n}(\lambda) \, d\sigma_f(\lambda).
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
1.2В работе [4] Бен-Арци и Морисс обнаружили существование (степенной) равномерной сходимости на некоторых специальных подпространствах в эргодической теореме фон Неймана с непрерывным временем. А именно, для некоторого банахова пространства $\mathcal{X}$, плотно и непрерывно вложенного в $\mathcal{H}$, была получена степенная оценка операторной нормы $\|P_{t,-t}-P\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}$. Пространство $\mathcal{X}$ описывалось в терминах асимптотического поведения плотности спектральной меры его элементов. В недавней работе [5], мотивированной [4], были получены критерии такой равномерной степенной сходимости на векторных подпространствах со своими нормами, и дано полное описание всех таких подпространств для всех возможных показателей степени. Цель нашей заметки, следуя [5], получить аналогичные критерии равномерной степенной сходимости на подпространствах уже в случае дискретного времени, и также дать полное описание всех таких подпространств. Как и в непрерывном случае, одинаковая степенная особенность спектральной меры $\sigma_f$ в нуле элементов $f$ некоторого подпространства определяет равномерную сходимость эргодических средних на этом подпространстве. Свойства спектральной меры (в том числе и особенность в нуле) определяются поведением ее коэффициентов Фурье, т.е. $(U^kf,f)$. В контексте унитарных операторов Купмана для разных динамических систем оценке асимптотики этих коэффициентов посвящено много работ (см., например, обзор [6] по скоростям сходимости в эргодических теоремах); возникают такие оценки, например, и в задаче о простом лебеговском спектре [7]–[9]. Отметим, что, используя вложение унитарного оператора в унитарную группу, можно связать исследуемые свойства унитарной группы и унитарного оператора. Подробнее это обстоятельство обсуждается в конце статьи. Перечислим коротко полученные результаты. В теореме 1 мы даем спектральный критерий равномерной степенной сходимости с показателем $\alpha\in [0,2)$ на одномерных подпространствах в $\mathcal{H}$. Как известно (замечание 2), степенная скорость сходимости с показателем $\alpha=2$ является максимально возможной для рассматриваемой эргодической теоремы фон Неймана; теорема 2 дает спектральный же (в несколько других терминах) критерий наличия такой максимальной скорости на одномерных подпространствах. Попутно теоремы 1 и 2 обобщают и уточняют оценки скоростей сходимости в эргодической теореме фон Неймана для сохраняющих меру отображений, полученные ранее в [10], [11]. Далее в теоремах 3 и 4 мы переносим критерии теорем 1 и 2 на общий случай многомерных векторных подпространств в $\mathcal{H}$ со своими нормами. Удалось также получить (теорема 5) полное описание всех таких многомерных (нормированных, со своими нормами) подпространств с равномерной степенной со всеми возможными показателями $\alpha\in [0,2]$ сходимостью. Рассматриваемая равномерная сходимость на всем пространстве $\mathcal{H}$ имеет место лишь в случае спектрального пробела (замечание 5) – что, например, в теореме фон Неймана для сохраняющих меру отображений равносильно (замечание 6) периодичности отображения, т.е. бывает лишь в тривиальных случаях; уже этим объясняется наш интерес к равномерной сходимости именно на подпространствах в $\mathcal{H}$ со своими нормами. 2. Одномерные подпространства с равномерной степенной сходимостью2.1Полное описание всех одномерных подпространств с равномерной степенной (с показателями меньше 2) сходимостью фактически было дано в [10], [11], где рассматривались эргодические средние полугрупп изометрических операторов $\{U^n\}_{n\geqslant 0}$ в $L_2(\Omega)$, порожденных эндоморфизмами вероятностного пространства $\Omega$ (т.е. обычная эргодическая теорема фон Неймана для сохраняющих меру отображений). Поскольку представление (1.3) справедливо и для тех эргодических средних (подробности см., например, в [10], [11]), а константы наших оценок обеих частей теоремы 1 ниже точнее соответствующих им констант из [10], [11], то доказательство теоремы 1 немедленно дает и уточнение тех старых оценок. Основное уточнение получилось за счет другого подхода к доказательству леммы 1 ниже. В [10], [11] для оценки интеграла от ядра Фейера по спектральной мере использовалось разложение его в ряд (следуя подходу из [12]). Мы здесь применяем для оценки этого интеграла оказавшийся здесь более подходящим метод интегрирования по частям, предложенный Гапошкиным в [13]. Отметим также, что, поскольку представление (1.3) справедливо и для (рассматривавшихся в [13]) средних стационарных в широком смысле процессов – см., например, [3; теорема 18.2.1], то наша теорема 1 имеет точный аналог и для тех стохастических процессов. Далее нам потребуются следующие две технические леммы, уточняющие соответствующие им леммы 1 и 2 из [10], [11]. Доказательство. Для всех целых $n\geqslant1$ по представлению (1.3) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|P_{n}f\|_{\mathcal{H}}^2&=\int_{(-\pi/ n,\pi/ n]} \frac{1}{n}\Phi_{n}(x) \, d\sigma_{f}(x) +\int_{(-\pi,-\pi/ n]}\frac{1}{n}\Phi_{n}(x) \, d\sigma_{f}(x) \\ &\qquad+\int_{(\pi/ n,\pi]}\frac{1}{n}\Phi_{n}(x) \, d\sigma_{f}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $G(x)=\sigma_{f}(-\pi,x]$; ясно, что $G(x)$ – монотонная функция. Поскольку $\sigma_{f}$ является конечной борелевской мерой, то $G(x)$ будет функцией ограниченной вариации на $(-\pi,\pi]$. Таким образом, наряду с интегралом Лебега–Стилтьеса можно рассмотреть интеграл Римана–Стилтьеса по функции $G(x)$. Если $h(x)$ непрерывная на $[a,b]$ функция, то для нее существует интеграл Римана–Стилтьеса, и его значение совпадает с интегралом Лебега–Стилтьеса:
$$
\begin{equation*}
\int_{[a,b]}h(x)\,dG(x)=\int_{[a,b]} h(x)\,d\sigma_{f}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, если $h(x)$ непрерывна и имеет ограниченную вариацию на $[a,b]$, то
$$
\begin{equation*}
\int_{[a,b]} h(x)\,dG(x)=h(b)G(b)-h(a)G(a)-\int_{[a,b]}G(x)\,dh(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Это аналог формулы интегрирования по частям для интеграла Римана–Стилтьеса (см. [14; теорема 6.30]; а также [15; гл. II, § 6, теорема 11]). Поскольку функция $G$ непрерывна справа, то последняя формула справедлива и для полуинтервалов $(a,b]$. С учетом неравенств (1.1) и (1.2) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|P_{n}f\|_{\mathcal{H}}^2 &\leqslant\int_{(-\pi/n,\pi/n]}\,dG(x)+ \frac{\pi^2}{n^2}\int_{(-\pi,-\pi/n]}x^{-2} \, dG(x)+ \frac{\pi^2}{n^2}\int_{(\pi/ n,\pi]}x^{-2}\, dG(x) \\ &=G\biggl(\frac{\pi}{n}\biggr)-G\biggl(\frac{-\pi}{n}\biggr)+ \frac{\pi^2}{n^2}\biggl(\frac{G(x)}{x^{2}}\bigg|_{-\pi}^{-\pi/n} +2 \int_{-\pi}^{-\pi/n}x^{-3}G(x)\, dx\biggr) \\ &\qquad+\frac{\pi^2}{n^2} \biggl(\frac{G(x)}{x^{2}}\bigg|_{\pi/ n}^{\pi}+ 2 \int_{\pi/n}^{\pi} x^{-3}G(x) \, dx\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисляя значения, делая замену $y=-x$ в интеграле $\int_{-\pi}^{-\pi/ n}x^{-3}G(x)\,dx$ и учитывая равенство $G(x)-G(-x)=\sigma_{f}(-x,x]$, в итоге получаем требуемую оценку: Доказательство. Обозначим $I=(-a/t,a/t]$. Используя представление (1.3) и неравенства
$$
\begin{equation*}
1>\frac{\sin x}{x}\geqslant\frac{\sin y}{y} \qquad\text{при}\quad 0<|x|\leqslant|y|\leqslant\pi,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|P_{[t]}f\|_{\mathcal{H}}^2&=\int_{(-\pi ,\pi]}{1/[t]} \Phi_{[t]}(\lambda)\,d\sigma_{f}(\lambda)\geqslant \int_I\frac{\Phi_{[t]}(\lambda)}{[t] }\,d\sigma_{f}(\lambda) \\ &= \int_I\biggl(\frac{\sin([t]\lambda/2)} {[t]\sin(\lambda/2)}\biggr)^2\, d\sigma_{f}(\lambda)\geqslant\int_I\biggl(\frac{\sin([t]\lambda/2)} {[t]\lambda/2}\biggr)^2\, d\sigma_{f}(\lambda) \\ &\geqslant\int_I\biggl(\frac{\sin(t\lambda/2)}{t\lambda/2}\biggr)^2\, d\sigma_{f}(\lambda)\geqslant\min_{|\lambda| \leqslant {a/ t}} \biggl(\frac{\sin(t\lambda/2)}{t\lambda/ 2}\biggr)^2\sigma_{f}(I) \\ &=\min_{|x| \leqslant a}\biggl(\frac{\sin(x/ 2)}{x/2}\biggr)^2 \sigma_{f}(I)=\biggl(\frac{\sin(a/2)}{a/2}\biggr)^2 \sigma_{f}\biggl(-\frac{a}{t},\frac{a}{t}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2.2. Спектральные критерии степенной сходимостиДля $\alpha\in[0,2]$ положим Нетрудно убедиться, что $\rho(0)=\rho(2)=1$. Для $\alpha\in(0,2)$ инфимум достигается на первом положительном решении уравнения $ \operatorname{tg} x=2x/(2-\alpha)$. Этот корень не превосходит $\pi/2$, поэтому $\rho(\alpha)\leqslant(\pi/2)^{2-\alpha}$ при всех $\alpha\in[0,2]$. Эта оценка является хорошим приближением $\rho(\alpha)$ при $\alpha$ близких к 2. Можно также легко проверить, что $1\leqslant\rho(\alpha)\leqslant\sin^{-2}(1)$; при этом значение $\sin^{-2}(1)$ достигается при $\alpha=2(1- \operatorname{ctg} (1))$.В следующих теоремах 1 и 2 мы приводим спектральные критерии степенной скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана. Рассмотрим сначала случай показателя $\alpha\in[0,2)$, который ранее был разобран в [12] (см. также [10], [11]); здесь мы попутно уточняем все ранее полученные константы. Теорема 1. Пусть $\alpha \in [0,2)$; зафиксируем $f\in{\mathcal{F}_U}^\perp$. Тогда Доказательство. Воспользуемся леммой 1 для доказательства первой части теоремы:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|P_{n}f\|_{\mathcal{H}}^2 &\leqslant\frac{2\pi^2}{n^2} \int_{\pi/ n}^{\pi}x^{-3}\sigma_{f}(-x,x] \, dx+ \frac{1}{n^2}\|f\|_{\mathcal{H}}^2\leqslant A\frac{2\pi^2}{n^2} \int_{\pi/ n}^{\pi} x^{\alpha-3}\, dx+A\frac{\pi^\alpha}{n^2} \\ &=A\frac{2\pi^2}{n^2}\,\frac{1}{\alpha-2} x^{\alpha-2}\bigg|_{\pi / n}^{\pi}+A\frac{\pi^\alpha}{n^2}= A \frac{2}{2-\alpha}\,\frac{\pi^\alpha}{n^\alpha}- A \frac{\alpha}{2-\alpha}\,\frac{\pi^\alpha}{n^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для доказательства второй части теоремы воспользуемся леммой 2. Представляя произвольное $\delta\in (0,\pi]$ в виде $\delta=a/t$ при $t\geqslant 1$ и $a\in(0,\pi]$, получаем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sigma_{f}(-\delta,\delta]&=\sigma_{f}\biggl(-\frac{a}{t}, \frac{a}{t}\biggr]\leqslant \biggl(\frac{a/2}{\sin(a/2)}\biggr)^2 \|P_{[t]} f\|_{\mathcal{H}}^2 \leqslant\biggl(\frac{a/2}{\sin(a/2)}\biggr)^2B[t]^{-\alpha} \\ &\leqslant\biggl(\frac{a/2}{\sin(a/2)}\biggr)^2B \frac{2^\alpha}{t^\alpha} =\biggl(\frac{a/2}{\sin(a/2)}\biggr)^2 2^\alpha a^{-\alpha} B \delta^\alpha=\frac{(a/2)^{2-\alpha}}{\sin^2(a/2)}B\delta^\alpha. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Минимизация константы в последнем выражении по $a\in(0,\pi]$ приводит к требуемому неравенству, что и завершает доказательство теоремы 1. Как уже отмечалось, константы оценок обеих частей теоремы 1, точнее констант соответствующих им оценок из [10], [11]: константа оценки первой части лучше за счет интегрирования по частям (вместо разложения в ряд) при подсчете интеграла от ядра Фейера при нашем доказательстве леммы 1; константа оценки второй части теоремы получилась точнее за счет того, что наше доказательство использует незамеченную в [11] возможность дополнительной оптимизации, а в [10] еще стояла грубая первоначальная оценка $\rho(\alpha)\leqslant(\pi/2)^{2-\alpha}$. Разумеется, аналоги спектрального критерия степенной скорости сходимости теоремы 1 могут быть получены и для более широкого диапазона скоростей. Следующий диапазон был предложен Гапошкиным в [13]. Замечание 1. Пусть $\alpha\in[0,2)$, и функция $\varphi (u)$ – слабо колеблющаяся на $[1,\infty)$, т.е. для любого $\delta >0$ функция $\varphi (u)u^\delta$ монотонно возрастает, а функция $\varphi (u)u^{-\delta }$ монотонно убывает. Тогда аналог утверждения теоремы 1 может быть получен и для всех скоростей сходимости вида $n^{-\alpha}\varphi(n)$ (утверждение теоремы 1 соответствует случаю $\varphi(n)\equiv 1$; при $\alpha=0$ и $\varphi(n)=\ln^\beta n$, $\beta \geqslant 0$ получаем аналог этого утверждения для логарифмических скоростей; рассматриваемый диапазон скоростей включает и все скорости вида $n^{-\alpha}\ln^\beta n$ для всех $\alpha\in(0,2)$ при всех $\beta$). Доказательства аналогов теоремы 1 для указанных выше скоростей могут быть получены так же, как и утверждения теоремы 1, конкретизацией оценок лемм 1 и 2 для каждой из этих скоростей, поэтому мы и сформулировали эти утверждения в виде двух отдельных лемм (вынеся их из доказательства теоремы 1). Нас же в этой работе интересуют исключительно степенные скорости. Следующий спектральный критерий степенной с показателем $\alpha=2$ скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана был получен Робинсоном в [16]. Мы приводим здесь это утверждение в нужной нам форме, выписав в явном виде соотношения между возникающими константами. Теорема 2 (Робинсон [16]). Зафиксируем $f \in{\mathcal{F}_U}^\perp$. Тогда 2.3. О максимально возможной скорости сходимостиКак показывает следующее замечание, скорость сходимости $O(n^{-2})$ при $n\to \infty$ является максимально возможной в рассматриваемой эргодической теореме фон Неймана. Замечание 2 (Батзер, Вестфал [17]; Гапошкин [18]; Седалищев [19]). Cтепенной скорости сходимости с показателем $\alpha>2$ не бывает; более того, скорость сходимости $o(n^{-2})$ при $n\to \infty$ бывает только в вырожденном случае $f=f^*$. Таким образом, теорема 2 дает спектральный критерий максимальной скорости сходимости; известен также критерий в терминах когомологичности нулю усредняемой функции $f$. Замечание 3 (Браудер [20]; Батзер, Вестфал [17]). Максимально возможная скорость сходимости имеет место тогда и только тогда, когда для некоторых $g_1,g_2\in\mathcal{H}$ при $Ug_2=g_2$. Посмотрим, что можно получить при $\alpha=2$ в условиях теоремы 1. Аналог утверждения 2 теоремы 1 справедлив и в этом случае: доказательство проходит без изменений. А вот аналог утверждения 1 этой теоремы не имеет места, ни с какими константами: условие $\sigma_{f}(-\delta,\delta]=O(\delta^2)$ при $\delta\to 0$ не является, вообще говоря, достаточным для выполнения соотношения $\|P_{n}f\|_{\mathcal{H}}^2= O(n^{-2})$ при $n\to\infty$ (см. замечание 2 к теореме 3 в [12]). Тем не менее, справедлив следующий ослабленный вариант этого соотношения. Предложение 1. Пусть $f\in{\mathcal{F}_U}^\perp$ и $\alpha=2$. Если существует положительная константа $A$ такая, что для всех $\delta\in(0,\pi]$ выполняется неравенство то для всех целых $n\geqslant1$ Доказательство. Учитывая оценку $\|f\|^2_{\mathcal{H}}=\sigma_{f}(-\pi,\pi]\leqslant A\pi^2$, по лемме 1 получаем
$$
\begin{equation*}
\|P_{n}f\|_{\mathcal{H}}^2 \leqslant\frac{2\pi^2}{n^2} \int_{\pi/ n}^{\pi}x^{-3}\sigma_{f}(-x,x] \, dx+ \frac{\|f\|_{\mathcal{H}}^2}{n^2}\leqslant A \frac{2\pi^2}{n^2} \int_{\pi/ n}^{\pi} \frac{1}{x}\, dx+ A \frac{\pi^2}{n^2}=A\pi^2 \frac{1+2\ln n}{n^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим теперь случай $\alpha>2$ в условиях теоремы 1. Следующее предложение 2 в качестве аналога утверждения 1 теоремы 1 для случая $\alpha>2$ дает еще один достаточный признак максимальной скорости сходимости. Предложение 2. Пусть $f\in{\mathcal{F}_U}^\perp$ и $\alpha>2$. Если существует положительная константа $A$ такая, что для всех $\delta\in(0,\pi]$ выполняется неравенство то для всех целых $n\geqslant1$ Доказательство. По лемме 1 получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|P_{n} f\|_{\mathcal{H}}^2 &\leqslant\frac{2\pi^2}{n^2} \int_{\pi/ n}^{\pi}x^{-3}\sigma_{f}(-x,x] \, dx+ \frac{1}{n^2}\|f\|_{\mathcal{H}}^2\leqslant A\frac{2\pi^2}{n^2}\int_{\pi/ n}^{\pi} x^{\alpha-3} \, dx+ A \frac{\pi^\alpha}{n^2} \\ &=A \frac{2\pi^2}{n^2}\,\frac{1}{\alpha-2} x^{\alpha-2}\bigg|_{\pi / n}^{\pi}+A \frac{\pi^\alpha}{n^2}= A \frac{\alpha}{\alpha-2}\,\frac{\pi^\alpha}{n^2}- A \frac{2}{\alpha-2}\,\frac{\pi^\alpha}{n^\alpha}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
3. Общий многомерный случай3.1. Степенные равномерные сходимости на подпространствахСледующая теорема является следствием (естественной переформулировкой на общий многомерный случай) теоремы 1. Теорема 3. Пусть $\alpha\in[0,2)$, $\mathcal{H}$ – гильбертово пространство, $\mathcal{X}\subseteq \mathcal{H}$ – его векторное подпространство со своей нормой $\|\cdot\|_{\mathcal{X}}$. Тогда Доказательство. Из первой части теоремы 1 следует, что
$$
\begin{equation*}
\|(P_{n}-P)f\|^2_{\mathcal{H}} \leqslant A\frac{2}{2-\alpha}\, \frac{\pi^\alpha}{n^\alpha}\|f\|^2_{\mathcal{X}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому для всех $n\geqslant1$
$$
\begin{equation*}
\sup_{f \in \mathcal{X}\colon f \ne 0} \frac{\|(P_{n}-P)f\|^2_{\mathcal{H}}}{\|f\|^2_{\mathcal{X}}} \leqslant A \frac{2}{2-\alpha}\,\frac{\pi^\alpha}{n^\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем вторую часть теоремы. Из равномерной сходимости эргодических средних мы получаем, что для всех $f \in \mathcal{X}$, при всех $n\geqslant1$
$$
\begin{equation*}
\frac{\|(P_{n}-P)f\|^2_{\mathcal{H}}}{\|f\|^2_{\mathcal{X}}} \leqslant B n^{-\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из второй части теоремы 1 следует, что для всех $\delta\in(0,\pi]$ что и требовалось доказать. Переформулируем на многомерный случай утверждения предложений 1 и 2, т.е. посмотрим, что можно получить в условиях теоремы 3 при $\alpha \geqslant 2$. Предложение 3. Пусть $\alpha \geqslant 2$, $\mathcal{H}$ – гильбертово пространство, $\mathcal{X} \subseteq \mathcal{H}$ – его векторное подпространство со своей нормой $\|\cdot\|_{\mathcal{X}}$. Если существует положительная константа $A$ такая, что для всех $f \in \mathcal{X}$, при всех $\delta\in(0,\pi]$ выполняется неравенство то имеет место равномерная сходимость на пространстве $\mathcal{X}$ в теореме фон Неймана: Доказательство проводится аналогично доказательству первой части теоремы 3 c пользованием предложений 1 и 2, соответственно. Переформулируем теперь на многомерный случай теорему 2, т.е. дадим критерий наличия степенной с показателем $\alpha=2$ (максимально возможной скорости – по замечанию 2) равномерной сходимости на подпространствах. Теорема 4. Пусть $\mathcal{H}$ – гильбертово пространство, $\mathcal{X} \subseteq \mathcal{H}$ – его векторное подпространство со своей нормой $\|\cdot\|_{\mathcal{X}}$. Тогда 3.2. Пространства $\mathcal{X}_\alpha$ и $\mathcal{Y}$Рассмотрим аналоги для случая дискретного времени введенных в [5] пространств. Для любого $\alpha>0$ обозначим через $\mathcal{X}_\alpha$ множество всех $f\in\mathcal{H}$, у которых спектральная мера $\sigma_f$ имеет степенную с показателем $\alpha>0$ особенность в нуле, т.е.
$$
\begin{equation*}
\mathcal{X}_\alpha=\bigl\{f\in \mathcal{H}\mid \exists\, A>0\ \forall\, \delta\in(0,\pi]\ \sigma_{f}(-\delta,\delta] \leqslant A\delta^\alpha\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно убедиться, что локальная степенная оценка на спектральную меру эквивалентна глобальной степенной оценке. Лемма 3 [5]. Пусть $\alpha>0$ и $f\in \mathcal{H}$. Тогда следующие условия эквиваленты: При переходе от (2) к (1) можно положить $A=\max\{A_r,\|f\|^2_{\mathcal{H}}/r^\alpha\}$. Множества $\mathcal{X}_\alpha$ образуют убывающую по включению цепь, а именно $\mathcal{X}_{\alpha_1}\subseteq\mathcal{X}_{\alpha_2}$ при $\alpha_1>\alpha_2$. Кроме того, справедливо следующее предложение. Предложение 4 [5]. $\mathcal{X}_\alpha$ образует векторное подпространство в $\mathcal{H}$, ортогональное подпространству неподвижных векторов оператора $U$, в котором можно ввести норму Определяя $\mathcal{X}_0$ аналогично $\mathcal{X}_\alpha$, т.е. при $\alpha=0$; нетрудно видеть, что тогда $\mathcal{X}_0=\mathcal{H}$ и $\|\cdot\|_{\mathcal{X}_0}=\|\cdot\|_{\mathcal{H}}$. Рассмотрим еще одно подпространство $\mathcal{Y}$, определенное следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Y}=\biggl\{f\in \mathcal{H}\biggm|\int_{(-\pi,\pi]} \frac{1}{\sin^2(x/2)}\,d\sigma_f(x)<\infty\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Норму в нем определим равенством
$$
\begin{equation*}
\|f\|_\mathcal{Y}^2=\int_{(-\pi,\pi]} \frac{1}{\sin^2(x/2)}\,d\sigma_f(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно проверить, что все свойства нормы выполняются. Кроме того, $\mathcal{Y}$ (как и $\mathcal{X}_\alpha$ при $\alpha>0$) ортогонально подпространству неподвижных векторов оператора $U$. 3.3. Характеризация подпространств со степенной равномерной сходимостьюС помощью подпространств $\mathcal{X}_\alpha$, $\alpha\in[0,2)$ и $\mathcal{Y}$ можно описать все вложенные в $\mathcal{H}$ нормированные пространства, на которых имеется равномерная степенная сходимость в теореме фон Неймана. Напомним, что (замечание 2) такой скорости сходимости с показателем степени больше 2 не бывает. Теорема 5. Пусть $\alpha \in [0,2]$, $\mathcal{X} \subseteq \mathcal{H}$ – его векторное подпространство со своей нормой $\|\cdot\|_{\mathcal{X}}$. На пространстве $\mathcal{X}$ будет равномерная степенная с показателем $\alpha$ сходимость в теореме фон Неймана тогда и только тогда, когда оператор $I-P$ является непрерывным отображением $\mathcal{X}$ в $\mathcal{X}_\alpha$ в случае $\alpha\in[0,2)$, и, соответственно, непрерывным отображением $\mathcal{X}$ в $\mathcal{Y}$ при $\alpha=2$. Доказательство. Пусть существует положительная константа $B$ такая, что для всех $n\geqslant1$ выполняется неравенство $\|P_{n}-P\|^2_{\mathcal{X} \to\mathcal{H}} \leqslant Bn^{-\alpha}$.
Из доказательства второго утверждения теоремы 3 следует, что при $\alpha\in[0,2)$ (и при $\alpha=2$) для всех $f\in \mathcal{X}$ спектральная мера вектора $f-f^*=(I-P)f$ имеет степенную с показателем $\alpha$ особенность, а именно, для всех $\delta\in (0,\pi]$
$$
\begin{equation*}
\sigma_{(I-P)f}(-\delta,\delta]\leqslant B \rho(\alpha)\|f\|^2_{\mathcal{X}}\delta^\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $(I-P)f\in\mathcal{X}_\alpha$ и $\|(I-P)f\|^2_{\mathcal{X}_\alpha}\leqslant B \rho(\alpha) \|f\|^2_{\mathcal{X}}$ для всех $f\in \mathcal{X}$, что и требовалось доказать.
Докажем утверждение в обратную сторону. Пусть $(I-P)\mathcal{X}\subseteq\mathcal{X}_\alpha$ и существует положительная константа $A$ такая, что $\|I-P\|^2_{\mathcal{X}\to\mathcal{X}_\alpha}\leqslant A$. Тогда для любого $\delta\in (0,\pi]$ получим
$$
\begin{equation*}
\sigma_{(I-P)f}(-\delta,\delta]\leqslant \|(I-P)f\|^2_{\mathcal{X}_\alpha}\delta^\alpha\leqslant A\|f\|^2_\mathcal{X}\delta^\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Первое утверждение теоремы 3 тогда даст требуемую оценку
$$
\begin{equation*}
\|P_{n}-P\|^2_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}\leqslant A \frac{2}{2-\alpha}\,\frac{\pi^\alpha}{n^{-\alpha}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $\alpha=2$ и существует константа $B>0$ такая, что для всех $n\geqslant1$ выполняется неравенство $\|P_{n}-P\|^2_{\mathcal{X} \to \mathcal{H}} \leqslant Bn^{-2}$. Из второго утверждения теоремы 2 следует, что для всех $f\in \mathcal{X}$
$$
\begin{equation*}
\int_{(-\pi,\pi]}\frac{1}{\sin^2(x/2)}\,d\sigma_{(I-P)f}(x) \leqslant 2B\|f\|^2_{\mathcal{X}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $(I-P)f\in\mathcal{Y}$ и $\|(I-P)f\|^2_{\mathcal{Y}}\leqslant 2B \|f\|^2_{\mathcal{X}}$ для всех $f\in \mathcal{X}$, что и требовалось доказать. В обратную сторону: пусть $(I-P)\mathcal{X}\subseteq\mathcal{Y}$ и существует положительная константа $A$ такая, что $\|I-P\|^2_{\mathcal{X}\to\mathcal{Y}}\leqslant A$. Тогда для любого $\delta\in (0,\pi]$
$$
\begin{equation*}
\int_{(-\pi,\pi]}\frac{1}{\sin^2(x/2)}\,d\sigma_{(I-P)f}(x) \leqslant A \|f\|^2_{\mathcal{X}},
\end{equation*}
\notag
$$
и по первому утверждению теоремы 2 для всех $n\geqslant1$ Замечание 4 (Лин [21]). Равномерная сходимость в теореме фон Неймана на всем пространстве $\mathcal{H}$ имеет место тогда и только тогда, когда образ $\mathcal{R}(I-U)$ оператора $I-U$ будет замкнутым. При этом $\mathcal{H}=\mathcal{R}(I-U)\oplus\mathcal{F}_U$ и сужение $S$ оператора $I-U$ на $\mathcal{R}(I-U)$ будет обратимым, и $\|S^{-1}\|<\infty$. Поэтому в рассматриваемом случае скорость сходимости будет максимально возможной. А именно, для любого вектора $f\in\mathcal{H}$, поскольку $(I-P)f\in\mathcal{R}(I-U)=\mathcal{R}(S)$, при всех $n\geqslant1$ будет
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|P_{n}f-Pf\|_{\mathcal{H}}&=\frac{1}{n}\biggl\|\,\sum_{k=0}^{n-1} U^k(I-P)f\biggr\|_{\mathcal{H}}= \frac{1}{n}\|(U^{n}-I)S^{-1}(I-P)f\|_{\mathcal{H}} \\ &\leqslant\frac{2}{n}\|S^{-1}\|\, \|(I-P)f\|_{\mathcal{H}}\leqslant \frac{2\|S^{-1}\|\,\|f\|_{\mathcal{H}}}{n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Этот критерий можно переформулировать в терминах наличия спектрального пробела (“spectral gap”); см. также обсуждение для операторов с ограниченными степенями в [22; теорема 1.1.34]. Замечание 5. Равномерная сходимость в теореме фон Неймана на всем пространстве $\mathcal{H}$ имеет место тогда и только тогда, когда существует $\gamma>0$ такое, что во множестве $\{|z|=1\colon |\arg z|<\gamma\}\setminus\{1\}$ нет точек спектра оператора $U$. Действительно, если сходимость равномерная на всем пространстве, то по предыдущему замечанию спектр оператора $U$ состоит из спектра сужения $U|_{(I-U)\mathcal{H}}$ и точки 1 (если $\mathcal{F}_U\ne\{0\}$). Поскольку для оператора $U|_{(I-U)\mathcal{H}}$ точка 1 является регулярным значением (ввиду того, что $\mathcal{R}(S)=\mathcal{R}(I-U)$ и $\|S^{-1}\|<\infty$), а множество регулярных значений ограниченного оператора открыто, то на единичной окружности найдется проколотая окрестность точки 1, содержащая только регулярные значения $U$. Обратно, если есть такое $\gamma>0$, то, используя представление (1.3), получим для каждого вектора $f\in\mathcal{H}$ при всех $n\geqslant1$ оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|P_{n}f-Pf\|^2_{\mathcal{H}}&=\frac{1}{n^2} \int_{(-\pi,\pi]\setminus\{0\}}\frac{\sin^2(nx/2)}{\sin^2(x/2)}\, d\sigma_f(x) \\ &=\frac{1}{n^2}\int_{(-\pi,\pi]\setminus(-\gamma,\gamma)} \frac{\sin^2(nx/2)}{\sin^2(x/2)}\,d\sigma_f(x)\leqslant \frac{\|f\|^2_{\mathcal{H}}}{n^2\sin^2(\gamma/2)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 6. Равномерная сходимость в теореме фон Неймана для оператора Купмана $U_{T}$, порожденного автоморфизмом $T$ пространства Лебега $(\Omega,\mu)$ с неатомической мерой $\mu$, на всем пространстве $L_2(\Omega,\mu)$ имеет место тогда и только тогда, когда $T$ – периодический; обсуждение этого вопроса можно найти в [23]. 3.4. Локальные оценки спектральной меры и скорости сходимости$\mspace{-1mu}$ Как уже упоминалось во введении, недавно в [4] были получены оценки скоростей сходимости на подпространствах в эргодической теореме фон Неймана с непрерывным временем (с приложениями к получению оценок убывания временных средних решений уравнения Шрёдингера, и линейных волновых уравнений) – по оценкам спектральной меры в фиксированной окрестности нуля. Лемма 3 позволяет перенести наши результаты на аналогичный случай локальных оценок для дискретного времени. Из следующей теоремы 6 получаются точные локальные аналоги теоремы 3 и предложения 3. Теорема 6. Пусть $\alpha \geqslant 0$, $\mathcal{H}$ – гильбертово пространство, $\mathcal{X} \subseteq \mathcal{H}$ – его векторное подпространство со своей нормой $\|\cdot\|_{\mathcal{X}}$, которое непрерывно в него вложено, т.е. без ограничения общности считаем $\|\cdot\|_{\mathcal{H}} \leqslant \|\cdot\|_\mathcal{X}$. Если для некоторого $r \in (0,\pi]$ существует положительная константа $A$ такая, что для всех $f \in \mathcal{X}$ при всех $\delta \in (0,r)$ выполняется неравенство то имеет место степенная равномерная сходимость на пространстве $\mathcal{X}$ в теореме фон Неймана: при $B=\max\{A,1/r^\alpha\}$ для всех целых $n\geqslant1$ Доказательство. Из леммы 3 следует, что для всех $\delta\in (0,\pi]$
$$
\begin{equation*}
\sigma_{(I-P)f}(-\delta,\delta]\leqslant \max\biggl\{A\|f\|^2_\mathcal{X}, \frac{\|f\|^2_{\mathcal{H}}}{r^\alpha}\biggr\} \delta^\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
По условию, $\mathcal{X}$ непрерывно вложено в $\mathcal{H}$; следовательно,
$$
\begin{equation*}
\sigma_{(I-P)f}(-\delta,\delta]\leqslant \max\biggl\{A,\frac{1}{r^\alpha}\biggr\}\|f\|^2_\mathcal{X} \delta^\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказываемые утверждения немедленно следуют отсюда из первой части теоремы 3 (для $\alpha \in [0,2)$), и предложения 3 (для $\alpha\geqslant 2$). Следующая теорема позволяет дать точный локальный аналог спектрального критерия максимальной скорости сходимости – теоремы 4. Теорема 7. Пусть $\mathcal{H}$ – гильбертово пространство, $\mathcal{X} \subseteq \mathcal{H}$ – его векторное подпространство со своей нормой $\|\cdot\|_{\mathcal{X}}$, которое непрерывно в него вложено, т.е. без ограничения общности считаем $\|\cdot\|_{\mathcal{H}} \leqslant \|\cdot\|_\mathcal{X}$. Если для некоторого $r \in (0,\pi]$ существует положительная константа $A$ такая, что для всех $f \in \mathcal{X}$ то имеет место степенная с показателем 2 равномерная сходимость на пространстве $\mathcal{X}$ в теореме фон Неймана: при всех целых $n\geqslant1$ где можно положить $B=(A+1/\sin^2(r/2))$. Доказательство. По интегральному представлению (1.3) при всех $n\geqslant1$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \|P_{n}f-Pf\|_{\mathcal{H}}^2=\int_{(-\pi,\pi]} \biggl(\frac{\sin(nx/2)}{n\sin(x/2)}\biggr)^2\, d\sigma_{(I-P)f}(x) \leqslant \frac{1}{n^{2}}\int_{(-\pi,\pi]} \frac{1}{\sin^2(x/2)}\,d\sigma_{(I-P)f}(x) \\ &\qquad=\frac{1}{n^{2}}\int_{(-r,r]} \frac{1}{\sin^2(x/2)}\,d\sigma_{(I-P)f}(x) +\frac{1}{n^{2}}\int_{(-\pi,-r]\cup(r,\pi)} \frac{1}{\sin^2(x/2)}\,d\sigma_{(I-P)f}(x) \\ &\qquad\leqslant\frac{1}{n^{2}}\biggl(A\|f\|^2_\mathcal{X}+ \frac{\|f\|^2_{\mathcal{H}}}{\sin^2(r/2)}\biggr) \leqslant\frac{\|f\|^2_\mathcal{X}}{n^{2}} \biggl(A+\frac{1}{\sin^2(r/2)}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Замечание 7. В теоремах 6 и 7 вместо условия непрерывного вложения $\mathcal{X}$ в $\mathcal{H}$ достаточно требовать условия $\|I-P\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}<\infty$. Последнее эквивалентно следующему необходимому условию равномерной сходимости, а именно $\|U^m-P\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}<\infty$ для любого $m\in\mathbb{Z}$. Действительно, начиная с некоторого номера $n_0\in\mathbb{N}$ будут конечны операторные нормы: $\sup_{n\geqslant n_0} \|P_n-P\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}=c<\infty$. Тогда для таких номеров получим
$$
\begin{equation*}
\|U^n-P\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}=\|(n+1)(P_{n+1}-P)- n(P_n-P)\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}\leqslant(2n+1)c<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда для любого $m\in\mathbb{Z}$ ввиду унитарности $U$ и равенства $UP=P$ имеем
$$
\begin{equation*}
\|U^m-P\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}=\|U^{n_0-m}U^m- U^{n_0-m}P\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}= \|U^{n_0}-P\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
4. О связи с однопараметрическими группами унитарных операторов4.1Пусть оператор $U$ вкладывается в группу унитарных операторов $\{\mathcal{U}^t\}_{t\in\mathbb{R}}$, т.е. $\mathcal{U}^1=U$. Известно, что каждый унитарный оператор может быть вложен в унитарную группу (см., например, [24]). При этом таких групп может быть континуальное множество (в контексте эргодической теории см., например, [25]). Предположим, что на некотором подпространстве $\mathcal{X}\subseteq\mathcal{H}$ имеет место равномерная сходимость в теореме фон Неймана для группы $\{\mathcal{U}^t\}_{t\in\mathbb{R}}$, т.е. $\|\mathcal{P}_t-\mathcal{P}\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}=o(1)$ при $t\to\infty$, где
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}_tf=\frac{1}{t}\int_0^t\mathcal{U}^sf\,ds,\qquad f\in\mathcal{H},
\end{equation*}
\notag
$$
и $\mathcal{P}$ – ортопроектор на подпространство неподвижных векторов группы. При этом, если $\|I-\mathcal{P}\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}<\infty$, то из равномерной сходимости вдоль натуральных моментов времени следует равномерная сходимость вдоль вещественных моментов времени. Действительно, для всех $t>0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\mathcal{P}_tf-\mathcal{P}_{[t]}f\|_{\mathcal{H}}&= \|\mathcal{P}_t(f-\mathcal{P}f)-\mathcal{P}_{[t]} (f-\mathcal{P}f))\|_{\mathcal{H}} \\ &\leqslant\biggl|\frac{1}{t}-\frac{1}{[t]}\biggr|\, \biggl\|\int_0^{[t]}\mathcal{U}^s(f-\mathcal{P}f)\, ds\biggr\|_{\mathcal{H}}+\frac{1}{t}\biggl\|\int_{[t]}^t \mathcal{U}^s(f-\mathcal{P}f)\,ds\biggr\|_{\mathcal{H}} \\ &\leqslant\frac{2\{t\}}{t}\|f-\mathcal{P}f\|_{\mathcal{H}}\leqslant \frac{2\|I-\mathcal{P}\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}} \|f\|_{\mathcal{X}}}{t}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассматривая усреднения для натуральных моментов времени, получаем связь с усреднением для оператора $U$, а именно $\mathcal{P}_n=P_n\mathcal{P}_1$. Для ортопроекторов также будет $\mathcal{P}=P\mathcal{P}_1$. Если $\mathcal{P}_1\colon\mathcal{X}\to\mathcal{P}_1(\mathcal{X})$ будет обратим, то на линейном пространстве $\mathcal{P}_1(\mathcal{X})$ можно определить норму $\|\mathcal{P}_1f\|_{\mathcal{P}_1(\mathcal{X})}= \|f\|_{\mathcal{X}}$. Поэтому оператор $\mathcal{P}_1$ будет изометрией, и мы получим равномерную сходимость для дискретного усреднения, а именно при $n\to\infty$
$$
\begin{equation*}
\|P_n-P\|_{\mathcal{P}_1(\mathcal{X})\to\mathcal{H}}= \|(P_n-P)\mathcal{P}_1\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}= \|\mathcal{P}_n-\mathcal{P}\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{H}}=o(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\widetilde{\sigma}_f$ – спектральная мера $f\in\mathcal{H}$ относительно потока $\mathcal{U}^t$. Опишем ее связь с $\sigma_f$: для любого $n\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{(-\pi,\pi]}e^{in\lambda}\,d\sigma_f(\lambda)&= (U^nf,f)=(\mathcal{U}^nf,f)= \int_\mathbb{R}e^{int}\,d\widetilde{\sigma}_f(t) \\ &=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\int_{(-\pi+2\pi k,\pi+2\pi k]} e^{int}\,d\widetilde{\sigma}_f(t)=\int_{(-\pi,\pi]} e^{in\lambda}\,d\sum_{k\in\mathbb{Z}} \widetilde{\sigma}_f(\lambda+2\pi k). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда заключаем, что $\sigma_f(C)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\widetilde{\sigma}_f(C+2\pi k)$ для любого борелевского множества $C\in(-\pi,\pi]$. Учитывая результаты теорем 3 и 4 нашей работы, и теорем 2 и 7 из [5], получаем, что из степенной равномерной сходимости для усреднений оператора $U$ на пространстве $\mathcal{X}$ следует степенная равномерная сходимость на этом же пространстве для усреднений группы $\mathcal{U}^t$. 4.2Для оператора Купмана $U_T$, определенного в гильбертовом пространстве $L_2(\Omega,\mu)$ равенством $U_Tf(\omega)=f(T\omega)$, где $T$ – эргодический автоморфизм вероятностного пространства $(\Omega,\mu)$, рассмотрим следующую конструкцию. Вложим унитарный оператор $U=U_T\otimes I$, действующий в $\mathcal{H}=L_2(\Omega,d\mu)\otimes L_2([0,1),dx)$, в унитарный поток $\mathcal{U}^t$, используя специальное представление сохраняющих меру потоков (см., например, [26; гл. 11]). Специальный эргодический поток $T^t\colon\Omega\times[0,1)\to\Omega\times[0,1)$ действует как где $n\leqslant s+t<n+1$ и $t\geqslant0$. Для любой функции $f\in L_2(\Omega\times[0,1),d\mu\otimes dx)$ положим Будем рассматривать сужение этого потока на функции вида $g(\omega)h(s)$, т.е. действующим в $L_2(\Omega,d\mu)\otimes L_2([0,1),dx)$. Нетрудно проверить, что $\mathcal{U}^n=U^n=U^n_T\otimes I$ для любого $n\in\mathbb{N}$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}_1=I\otimes V^*+U_T\otimes V, \qquad Vh(s)=\int_0^sh(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{P}_1g(\omega)h(s)&= \int_0^1\mathcal{U}^tg(\omega)\otimes h(s)\,dt \\ &=\int_0^{1-s}g(\omega)\otimes h(t+s)\,dt+ \int_{1-s}^1g(T\omega)\otimes h(s+t-1)dt \\ &=g(\omega)\otimes\int_s^1h(t)\,dt+ g(T\omega)\otimes\int_0^sh(t)\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 5. Пусть $\mathcal{X} \subseteq L_2(\Omega,d\mu)$ – векторное подпространство со своей нормой $\|\cdot\|_{\mathcal{X}}$. Равномерная сходимость для усреднений оператора Купмана $U_T$ на пространстве $\mathcal{X}$ влечет равномерную сходимость для унитарного потока $\mathcal{U}^t$ на пространстве $\mathcal{X}\otimes 1$ с нормой $\|f\otimes1\|=\|f\|_{\mathcal{X}}$. Доказательство. Пусть $P_n^T$ – усреднения для оператора Купмана $U_T$, а $\Theta$ – ортогональное проектирование на константы – его предел. Пределом для усреднений потока $\mathcal{U}^t$ является $\Theta\otimes\Theta$. Пусть имеется равномерная сходимость для усреднений оператора Купмана. Тогда ввиду замечания 7, рассуждений в пункте 4.1 и равенства
$$
\begin{equation*}
\|I-\Theta\otimes\Theta\|_{\mathcal{X}\otimes1\to\mathcal{H}}= \|I-\Theta\|_{\mathcal{X}\to L_2(\Omega,d\mu)}
\end{equation*}
\notag
$$
достаточно рассмотреть усреднения для группы $\mathcal{U}_t$ только для натуральных моментов времени. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\mathcal{P}_n- \Theta\otimes\Theta\|_{\mathcal{X}\otimes1\to\mathcal{H}}&= \|(P_n-P)\mathcal{P}_1\|_{\mathcal{X}\otimes1\to\mathcal{H}} \\ &=\|(P^T_n\otimes I-\Theta\otimes I)(I\otimes V^*+ U_T\otimes V)\|_{\mathcal{X}\otimes1\to\mathcal{H}} \\ &=\|P^T_n\otimes V^*-\Theta\otimes V^*+P^T_nU_T\otimes V- \Theta\otimes V\|_{\mathcal{X}\otimes 1\to\mathcal{H}} \\ &\leqslant\|P^T_n\otimes V^*- \Theta\otimes V^*\|_{\mathcal{X}\otimes1\to\mathcal{H}}+ \|P^T_nU_T\otimes V- \Theta\otimes V\|_{\mathcal{X}\otimes1\to\mathcal{H}} \\ &\leqslant\frac{1}{2}\|P^T_n-\Theta\|_{\mathcal{X}\to L_2(\Omega,d\mu)}+\frac{1}{2}\|P^T_nU_T- \Theta\|_{\mathcal{X}\to L_2(\Omega,d\mu)} \\ &=\|P^T_n-\Theta\|_{\mathcal{X}\to L_2(\Omega,d\mu)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Авторы благодарят рецензента за замечания и предложения по улучшению статьи. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KacPodKha23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|