Дмитрий Матвеевич родился в 1919 году в Ивановской области, Середского района в деревне Шилово. После окончания семи классов средней школы поступил в педагогическое училище. С 1937 по 1941 год учился в Ивановском педагогическом институте.
В 1942 г. после военных курсов, стал офицером Московской армии противовоздушной обороны.
С 1946 г. работал в Ивановском педагогическом институте.
В 1948 г. поступил в аспирантуру к Анатолию Ивановичу Мальцеву и в 1951 г. защитил кандидатскую диссертацию.
С 1957 по 1959 гг. — декан математического факультета Ивановского педагогического института.
С 1959 по 1962 гг. — заведующий кафедрой геометрии Ивановского педагогического института.
В 1962 г. по приглашению А. И. Мальцева переезжает в Новосибирск и работает доцентом Новосибирского университета.
В 1965 г. защищает докторскую диссертацию. В течение многих лет Дмитрий Матвеевич поддерживал дружеские отношения с Анатолием Ивановичем Мальцевым. После смерти Анатолия Ивановича Дмитрий Матвеевич возглавил группу алгебраистов, которая подготовила к печати монографию А. И. Мальцева "Алгебраические системы".
С 1966 по 1989 гг. — заведующий лабораторией алгебраических систем Института математики СО РАН.
С 1989 — главный научный сотрудник ИМ СО РАН.
Научная деятельность Д. М. Смирнова развивалась в трех важных направлениях современной алгебры: обобщенно разрешимые группы, группы автоморфизмов и многообразия алгебраических систем. Его работы по правоупорядоченным группам являются основополагающими в теории упорядоченных групп. В цикле статей Д. М. Смирнова по теории классов была решена известная проблема Болдуина–Бермана. Вместе с академиком А. И. Мальцевым Д. М. Смирнов был инициатором широкого изучения квазимногообразий алгебраических систем. В настоящее время это направление является одним из основных в универсальной алгебре. Кроме того, Дмитрий Матвеевич занимался финитной аппроксимируемостью групп и представлениями групп и колец матрицами.
Доктор физико-математических наук Д. М. Смирнов является известным специалистом в области алгебры, автором более 100 научных работ, в том числе 2 монографий. Среди его учеников более 10 кандидатов наук и 2 доктора наук. В составе коллектива авторов им написана серия учебников по математике для средней школы, удостоенная Премии Президента Российской Федерации.
Дмитрий Матвеевич — ветеран Великой Отечественной войны, имеет ряд боевых наград.

• Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск