Решетки многообразий и свободные алгебры

Йонсон и Тарский (РЖМат, 1962, ЗА72) установили, что в многообразии алгебр $\langle A,\varphi_1,\varphi_2,\omega\rangle$ типа $\langle1,1,2\rangle$, определяемом тождествами $\varphi_1(\omega(x_1,x_2))=x_1$, $\varphi_2(\omega(x_1,x_2))=x_2$, $\omega(\varphi_1(x),\varphi_2(x))=x$, все свободные алгебры (ненулевого) конечного ранга изоморфны между собой. Сверчковский (РЖМат, 1962, 4А273) рассмотрел многообразия $\mathfrak A_{m,n}$ ($1\leq m<n$) алгебр $\langle A,\varphi_1,\dots,\varphi_n,\omega_1,\dots,\omega_m\rangle$ типа $\langle m,\dots,m,n,\dots,n\rangle$, определяемые системами тождеств
\begin{align} \varphi_i(\omega_1(x_1,\dots, x_n),\dots,\omega_m(x_1,\dots, x_n)) &=x_i\quad (i=1,\dots,n),\label{1}\\ \omega_j(\varphi_1(x_1,\dots,x_m),\dots,\varphi_n(x_1,\dots,x_m))&=x_j \quad (j=1,\dots,m), \label{2} \end{align}
и показал, что при фиксированных $m,n$ свободные $\mathfrak A_{m,n}$ – алгебры $\mathbf F_k,\mathbf F_l$ конечных рангов $k\neq l$ изоморфны тогда и только тогда, когда $k\equiv l\pmod{(n-m)}$, $k\geq m$ и $l\geq m$. Сверчковским было установлено также, что в произвольном многообразии $\mathfrak M$ алгебр свободные алгебры $\mathbf F_m,\mathbf F_n$ конечных рангов $m\neq n$ изоморфны тогда и только тогда, когда для некоторых термов $\varphi_i(x_1,\dots, x_m)$, $\omega_j(x_1,\dots,x_n)$ ($i=1,\dots,n$; $j=1,\dots,m$) от основных операций $\mathfrak M$ имеют место тождественные соотношения \eqref{1}, \eqref{2}. Таким образом, многообразия $\mathfrak A_{m,n}$ представляют определенный интерес в общей алгебре и могут служить объектом изучения. Были исследованы (см. РЖМат., 1969, 4А263) решетки (структуры) $L(\mathfrak A_{m,n})$ подмногообразий $\mathfrak A_{m,n}$ при $m\neq n$, а также при $m=n$.
Пусть $\mathfrak B_{m,n}$ – многообразие алгебр $\langle A,\varphi_1,\dots,\varphi_n,\omega_1,\dots,\omega_m\rangle$ типа $\langle m,\dots,m,n,\dots,n\rangle$ ($1\leq m\leq n$), определяемое системой тождеств \eqref{1}, и $\mathfrak C_{1,n}$ – многообразие алгебр $\langle A,\varphi_1,\dots,\varphi_n,\omega\rangle$ типа $\langle1,\dots,1,n\rangle$ ($n\geq1$), определяемое одним тождеством $\omega(\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x))=x$. Доказано, что многообразие $\mathfrak A_{1,n}$ является единственным максимальным подмногообразием многообразия $\mathfrak B_{1,n}$ для каждого целого числа $n\geq1$. При $n\geq m\geq 2$ многообразие $\mathfrak A_{m,n}$ не является наибольшим в $\mathfrak B_{m,n}$ и при $n\geq2$ многообразие $\mathfrak A_{1,n}$ не является наибольшим в $\mathfrak C_{1,n}$. Доказано, что все многообразия $\mathfrak A_{m,n}$ ($1\leq m\leq n$) и $\mathfrak B_{1,n}$ ($1\leq n$) шрейеровы. Многообразие $\mathfrak M$ алгебр называется регулярным, если в нем свободная алгебра $\mathbf F_{r+1}$ ранга $r+1$ не вложима изоморфно в свободную алгебру $\mathbf F_r$ ранга $r$ для каждого целого числа $r\geq1$. Для групп понятие регулярного многообразия было введено П. Нейманом (РЖМат, 1965, 12А233). Ни одно из многообразий $\mathfrak A_{m,n}$ ($1\leq m\leq n$) не является регулярным при $m\geq1$ или $n\neq1$. Однако, все подмногообразия многообразия $\mathfrak B_{1,1}$ регулярны и шрейеровы. [Решетка $L(\mathfrak B_{1,1})$ изоморфна решетке $J(0,I_1,I_2)$, получающейся из решетки $J$ целых положительных чисел с отношением делимости $(x\leq y\Leftrightarrow x/y)$ последовательным внешним присоединением нуля 0 и двух единиц $I_1,I_2$.] Доказательство регулярности и шрейеровости многообразий из $L(\mathfrak B_{1,1})$ основано на рассмотрении некоторых общих свойств многообразий унарных алгебр, определяемых системой тождественных соотношений от одного неизвестного.