О решётках типов интерпретируемости многообразий

Пусть $\Pi$ – множество всех простых чисел, $\mathbb A$ – поле всех алгебраических чисел, $Z$ – множество натуральных чисел, свободных от квадратов. Рассматриваются частично упорядоченные множества типов интерпретируемости
\begin{gather*} \mathbb L_\Pi=(\{[AD_\Gamma]\mid\Gamma\subseteq\Pi\},\le),\qquad \mathbb L_\mathbb A=(\{[M_\mathbb K]\mid\mathbb K\subseteq\mathbb A\},\le), \\ \mathbb L_Z=(\{[G_n]\mid n\in Z\},\le), \end{gather*}
где $AD_\Gamma$ – многообразие $\Gamma$-полных абелевых групп с однозначным извлечением $p$-го корня $\xi_p(x)$ для каждого $p\in\Gamma$, $M_{\mathbb K}$ – многообразие $\mathbb K$-модулей над нормальным полем $\mathbb K$, содержащимся в $\mathbb A$, $G_n$ – многообразие $n$-группоидов, определимое циклической подстановкой $(12\ldots n)$. Доказывается, что $\mathbb L_\Pi$, $\mathbb L_\mathbb A$ и ${\mathbb L}_Z$ – дистрибутивные решётки, причем ${\mathbb L}_\Pi\cong \mathbb L_\mathbb A\cong\mathbb S\rm ub\,\Pi$ и $\mathbb L_Z\cong\mathbb S\rm ub_f\Pi$, где $\mathbb S\rm ub\,\Pi$ и $\mathbb S\rm ub_f\Pi$ – решётки по включению всех и конечных подмножеств множества $\Pi$, соответственно.