В начале своей научной деятельности А.Ю. Зайцев занимался решением задачи, поставленной в середине 50-х годов А.Н. Колмогоровым. Ему удалось получить правильную по порядку оценку точности безгранично делимой аппроксимации распределений сумм независимых случайных величин, распределения которых сосредоточены на отрезках малой длины $\tau$ с точностью до малой вероятности $p$. Оказалось, что точность аппроксимации в метрике Леви имеет порядок $p + \tau \log(1/\tau )$, что значительно точнее как первоначального результата А.Н. Колмогорова $p^{1/5}+ \tau ^{1/2} \log^{1/4} (1/\tau )$, так и полученных позднее результатов других авторов. В качестве приближающих использовались так называемые сопровождающие безгранично делимые распределения. Более того, как показал Т.В. Арак, оценка оказалась правильной по порядку. В 1986 году в Трудах МИАН была опубликована совместная монография Т.В. Арака и А.Ю. Зайцева, содержащая изложение этих результатов. Позднее А.Ю. Зайцев (1989) показал, что аналогичная оценка справедлива и в многомерном случае, причем вместо абсолютной константы в оценке появляется множитель $c(d)$, зависящий только от размерности $d$. В процессе доказательства было установлено, что при $p = 0$ (то есть когда нормы слагаемых ограничены постоянной $\tau $ с вероятностью единица) для любого $\lambda > 0$ случайный вектор $X$, имеющий то же распределение, как рассматриваемая сумма, может быть так построен на одном вероятностном пространстве с соответствующим гауссовским вектором $Y$, что ${\mathbf P}(\|X – Y \|>\lambda)\le c_1(d)\exp(–\lambda /c_2(d)\tau )$. Более того, А.Ю. Зайцев (1986) доказал, что такой же результат справедлив для векторов с распределениями из введенного им некоторого класса $A_d(\tau)$ распределений с достаточно медленно растущими семиинвариантами, содержащего, в частности, произвольные безгранично делимые распределения со спектральными мерами, сосредоточенными на шаре радиуса $c\tau$ с центром в нуле. Другой важный частный случай оценки точности безгранично делимой аппроксимации получается при $\tau = 0$, когда правая часть оценки равномерного расстояния между функциями распределения $\rho(\,\cdot\,,\,\cdot\,)$ имеет вид $c(d)p$. В работе, опубликованной в 2003 году в Записках научных семинаров ПОМИ, этот результат интерпретируется как общая оценка точности аппроксимации выборки, составленной из неодинаково распределенных редких событий общего вида, пуассоновским точечным процессом. Некоторые оптимальные оценки получены в других работах для равномерного расстояния в общем случае. В частности, в одномерном случае удалось получить простые формулировки результатов, из которых одновременно вытекают как правильные по порядку оценки точности безгранично делимой аппроксимации сверток сопровождающими законами, так и весьма общие оценки в центральной предельной теореме. Поскольку "хвосты" распределений слагаемых произвольны, результаты охватывают и популярный в последнее время случай так называемых "тяжелых хвостов" распределений слагаемых.

Аналогичными методами был также получен следующий парадоксальный результат. Существует такая зависящая только от размерности $d$ величина $c(d)$, что для любого симметричного распределения $F$ и любого натурального $n$ равномерное расстояние между степенями в смысле свертки $F^n$ допускает оценки $\rho(F^n,F^{n+1})\le c(d)n^{-1/2}$ и $\rho(F^n,F^{n+2})\le c(d)n^{-1}$, причем обе оценки имеют неулучшаемый порядок.

В недавних совместных работах большинство из упомянутых выше результатов было перенесено на значения распределений в гильбертовом пространстве на выпуклых многогранниках. Константы при этом зависят только от числа полупространств, участвующих в определении многогранника.

В недавно опубликованной статье был получен следующий аналогичный общий результат о близости последовательных сверток произвольных конечномерных вероятностных распределений. Пусть $ \rho_{\mathcal{C}_d}(F,G) = \sup_A |F\{A\} - G\{A\}| $, где верхняя грань берется по всем выпуклым подмножествам $\mathbb R^d$. Для любого нетривиального распределения $F$ существует $c_1(F)$, такое что $$ \rho_{\mathcal{C}_d}(F^n, F^{n+1})\leq \frac{c_1(F)}{\sqrt n} $$ для любого натурального $n$. Распределение $F$ считается тривиальным, если оно сосредоточено на гиперплоскости, не содержащей начало координат. Очевидно, что для таких $F$ $ \rho_{\mathcal{C}_d}(F^n, F^{n+1}) = 1 $. Аналогичный результат получен и для расстояния Прохорова. Для любого $d$-мерного распределения $F$ существует $c_2(F)>0$, зависящее только от $F$ и такое, что \begin{multline}\nonumber (F^n)\{A\}\le (F^{n+1})\{A^{c_2(F)}\}+\frac{c_2(F)}{\sqrt{n}}\ \ \text{и}\quad (F^{n+1})\{A\}\leq (F^n)\{A^{c_2(F)}\}+\frac{c_2(F)} {\sqrt{n}} \end{multline} для любого борелевского множества $A$ для всех натуральных чисел $n$. Здесь $A^{\varepsilon }$ – $\varepsilon $-окрестность множества $A$.

Применяя теорему Штрассена-Дадли, отсюда можно вывести следующее утверждение. Для любого $d$-мерного распределения $F$ найдется величина $c_3(F)$, зависящая только от $F$ и такая что для любого натурального $n$ можно построить на одном вероятностном пространстве случайные векторы $\xi_n $ и $\eta_n $ с $\mathcal{L}(\xi_n )=F^{n+1}$ и $\mathcal{L}(\eta_n )=F^n$, так что $ \mathbf{P}\left\{ \Vert \xi_n -\eta_n \Vert >c_3(F) \right\} \le \frac{c_3(F)}{\sqrt{n}} $. Следовательно, справедлива оценка расстояния Прохорова $\pi(\mathcal{L}(\xi_n/\sqrt{n} ), \mathcal{L}(\eta_n/\sqrt{n} ))\leqslant {c_3(F)}/{\sqrt{n}}$.

Удалось также дать отрицательный ответ на вопрос А.Н. Колмогорова и Ю.В. Прохорова о возможности безгранично делимой аппроксимации распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин в смысле расстояния по вариации. Было построено такое одномерное вероятностное распределение, все $n$-кратные свертки которого равномерно отделены от множества безгранично делимых законов в смысле расстояния по вариации не менее чем на расстояние $1/14$.

Наиболее существенным результатом, полученным в 90-е годы, является многомерный вариант классического одномерного результата Комлоша, Майора и Тушнади (1975) об оценке точности сильной гауссовской аппроксимации сумм независимых одинаково распределенных случайных величин при существовании экспоненциальных моментов у слагаемых. При этом в явном виде указана зависимость постоянных от размерности и распределений слагаемых. Тем самым, решена задача, стоявшая более 20 лет. Несколько позднее результат удалось обобщить на случай разнораспределенных слагаемых и получить полный многомерный аналог одномерных результатов А.И. Саханенко 1984 года. Эти результаты докладывались в приглашенном докладе на Международном математическом конгрессе в Пекине (2002). Позднее были получены оценки точности сильной гауссовской аппроксимации сумм независимых $d$-мерных случайных векторов $X_j$ с конечными моментами вида ${\mathbf E} H(\|X_j\|)$, где $H$ – монотонная функция, растущая не медленнее, чем $x^2$ и не быстрее, чем $\exp(cx)$. Получены многомерные обобщения и уточнения результатов Комлоша, Майора и Тушнади (1975), А.И. Саханенко (1985) и У. Айнмаля (1989). В частном случае, когда $H(x) = x^\gamma$, $\gamma > 2$, в совместной работе с Ф. Гётце получены оптимальные по порядку оценки для одинаково распределенных слагаемых. В совместной работе 2011 года рассмотрен и бесконечномерный случай.

В работе А.Ю. Зайцева 1994 года для любого $\varepsilon>0$ построены такие двумерные распределения, что расстояние по вариации между их проекциями на произвольное одномерное направление не превосходят $\varepsilon$, хотя равномерное расстояние между соответствующими двумерными функциями распределения равно $1/2$. Это свидетельствует о неустойчивости обращения преобразования Радона многомерных вероятностных распределений. Существуют распределения, практически неразличимые методами томографии и в то же время далекие друг от друга.

В 2003–2005 годах А.Ю. Зайцев получил новые оценки точности сильной аппроксимации $L_1$-нормы центрированных и нормированных ядерных оценок плотности. При этом предполагалось, что ядро ограничено и имеет ограниченный носитель. Рассмотрены различные естественные классы плотностей, с ограничениями на гладкость, рост, убывание и размеры носителя. Получены оценки расстояния Прохорова и размеров зон, в которых справедлива нормальная аппроксимация для вероятностей больших уклонений. В совместной работе с Э. Жине и Д. Мейсоном (2003) центральная предельная теорема для $L_1$-нормы центрированных и нормированных ядерных оценок произвольной плотности перенесена на процессы, индексированные ядрами.

В предположении, что независимые одинаково распределенные многомерные случайные слагаемые имеют нулевые математические ожидания и конечные моменты четвертого порядка, А.Ю. Зайцев (2010, 2014, совместно с Ф. Гётце) показал, что для множеств, ограниченных поверхностями второго порядка, точность аппроксимации короткими асимптотическими разложениями в центральной предельной теореме имеет порядок $O(1/N)$, где $N$ – число слагаемых при условии, что размерность пространства не ниже пяти. Ранее аналогичные утверждения были получены в 1997 году в совместной работе Ф. Гётце и В. Бенткуса при условии, что размерность пространства не ниже девяти. В работе Ф. Гётце и А.Ю. Зайцева девять заменено на пять, причем дальнейшее понижение размерности невозможно. Получены также новые явные простые выражения для степенной зависимости соответствующих констант от моментов четвертого порядка и от собственных чисел ковариационного оператора конечномерных слагаемых. Оценки равномерны относительно изометричных операторов, участвующих в определении поверхностей.

В последние годы опубликовано несколько совместных работ А.Ю. Зайцева об оценивании функций концентрации распределений сумм независимых случайных величин. Для решения задачи Колмогорова об аппроксимации $n$-кратных сверток одномерных вероятностных распределений безгранично делимыми законами Арак использовал новые оценки для функций концентрации сумм независимых случайных величин. Эти оценки были сформулированы в терминах арифметической структуры носителей распределений слагаемых. Было показано, что если функция концентрации суммы велика, то носители распределений слагаемых сосредоточены вблизи некоторого множества с нетривиальной арифметической структурой. В недавно опубликованной работе Ф. Гётце, Ю.С. Елисеевой и А.Ю. Зайцева (2017) показано, что результаты Арака позволяют получить оценки функций концентрации $Q$ взвешенных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин $S_a=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k X_k$ в проблеме Литтлвуда-Оффорда, В этом случае мы имеем дело с суммами неодинаково распределенных случайных величин с распределениями специального вида. Получены оценки, имеющие неасимптотический характер, справедливые без дополнительных предположений, выраженных в терминах количества слагаемых $n$, типа условия $Q(\mathcal L(S_a), \tau)\ge n^{-A}$, предполагаемого в формулировке введенного в работах Нгуена, Тао и Ву так называемого "обратного принципа" в проблеме Литтлвуда-Оффорда. Исследована взаимосвязь этих оценок. В работе показано, что из результатов Арака вытекают следствия, которые можно интерпретировать как проявления обратного принципа для проблемы Литтлвуда-Оффорда. Часть из них имеет непустое пересечение с результатами Нгуена, Тао и Ву, в которых обсуждается арифметическая структура коэффициентов $a_1,\ldots,a_n$ при условии $Q(\mathcal L(S_a), \tau)\ge n^{-A}$, где $A$ -- некоторая положительная константа.

А.Ю. Зайцев — специалист в области теории вероятностей и математической статистики, автор более 100 публикаций, в том числе одной монографии. Основные результаты относятся к изучению сумм независимых слагаемых.

В сентябре 1973 г. А.Ю. Зайцев поступил на математико-механический факультет Ленинградского государственного университета. В июне 1978 г. окончил его по специальности математика. В августе 1978 г. был принят на работу в Ленинградское отделение Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР в лабораторию статистических методов. В январе 1981 г. защитил кандидатскую диссертацию на тему «Об аппроксимации распределений сумм независимых случайных векторов безгранично делимыми распределениями» под руководством И.А. Ибрагимова. В январе 1989 г. защитил докторскую диссертацию на тему «Равномерные предельные теоремы для сумм независимых случайных векторов». В декабре 1992 г. А.Ю. Зайцев был избран на должность ведущего научного сотрудника ПОМИ РАН. С марта 2001 г. по март 2006 г. работал в должности ученого секретаря ПОМИ. С марта 2006 г. он снова ведущий научный сотрудник ПОМИ. С января 2005 г. по июнь 2006 г. и с января 2010 г. по настоящее время А.Ю. Зайцев работает по совместительству в должности профессора кафедры теории вероятностей и математической статистики Санкт-Петербургского государственного университета.

А.Ю. Зайцев является членом специализированного совета Д 002.202.01 по защите докторских диссертаций, членом редколлегии журналов "Journal of Statistical Planning and Inference", "European Journal of Mathematics" и "Записки научных семинаров ПОМИ". В 2009 г. А.Ю.Зайцев был награжден премией имени А.А. Маркова РАН за цикл работ «Оценки точности аппроксимации распределений сумм независимых слагаемых».

1. T. V. Arak, A. Yu. Zaitsev, “Uniform limit theorems for sums of independent random variables”, Proc. Steklov Inst. Math., 174 (1988), 1–222
2. A. Yu. Zaitsev, “The accuracy of strong Gaussian approximation for sums of independent random vectors”, Russian Math. Surveys, 68:4 (2013), 721–761
3. A. Yu. Zaitsev, “Multidimensional version of a result of Sakhanenko in the invariance principle for vectors with finite exponential moments. I, II, III”, Theory Probab. Appl., 45:4 (2001), 624–641; 46:3 (2002), 490–514; 46:4 (2002), 676–698
4. Ф. Гётце, А. Ю. Зайцев, “Об альтернативных аппроксимирующих распределениях в многомерном варианте второй равномерной предельной теоремы Колмогорова”, Теория вероятн. и ее примен., 67:1 (2022), 3–22
5. А. Ю. Зайцев, “Оценки устойчивости по количеству слагаемых для распределений последовательных сумм независимых одинаково распределенных векторов”, Записки научных семинаров ПОМИ, 525 (2023), 86–95

• Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук
• Санкт-Петербургский государственный университет