Улучшенный многомерный вариант второй равномерной предельной теоремы Колмогорова

А.Н.Колмогоров (1956) поставил задачу оценки точности безгранично делимой аппроксимации распределений сумм независимых случайных величин, распределение которых сосредоточено на коротких интервалах длины $\tau<1/2$ с точностью до малой вероятности $p$. Ограничение на распределения слагаемых является неасимптотическим аналогом классического условия бесконечной малости (пренебрежимости) в схеме серий независимых случайных величин. Оценка скорости приближений может быть рассмотрена как количественное уточнение классической теоремы Хинчина о множестве бесконечно делимых распределений как множестве предельных законов для распределений сумм, участвующих в схеме серий. А.Ю. Зайцев (1983) доказал, что в одномерном случае точность аппроксимации в метрике Леви имеет порядок $p+\tau \log(1/\tau)$, что значительно точнее как первоначального результата А.Н. Колмогорова, так и полученных позднее результатов других авторов. В качестве приближающих использовались так называемые сопровождающие безгранично делимые распределения. Более того, как показал Т. Арак, оценка оказалась правильной по порядку. Позднее А.Ю. Зайцев (1989) показал, что аналогичная оценка справедлива и в многомерном случае, причем вместо абсолютной константы в оценке появляется множитель $c(d)$, зависящий только от размерности $d$. Многомерный аналог метрики Леви определялся так же, как расстояние Прохорова, только вместо произвольных борелевских множеств использовались параллелепипеды со сторонами, параллельными координатным осям. Основной результат доклада состоит в том, что вместо параллелепипедов в этом результате можно взять выпуклые многогранники.
Доклад основан на совместной работе с Ф. Гётце и Д.Н. Запорожцем.