О близости распределений последовательных сумм на выпуклых множествах и в метрике Прохорова

Пусть X1, X2, ... — независимые одинаково распределенные случайные векторы в d-мерном евклидовом пространстве с распределением F. Тогда Sn=X1+...+Xn имеет распределение F^n (степени мер понимаются в смысле свертки). Пусть R(F,G) = sup|F(A)-G(A)|, где супремум берется по всем выпуклым подмножествам d-мерного евклидова пространства. Тогда для любых нетривиальных распределений F найдется c(F), зависящее только от F и такое, что R(F^n,F^{n+1}) не превосходит c(F), деленного на корень из n, для любых натуральных n. Распределение F считается тривиальным, если оно сосредоточено на аффинной гиперплоскости, не содержащей начало координат. Ясно, что для таких F R(F^n,F^{n+1})=1. Аналогичный результат получен также для расстояния Прохорова между распределениями векторов S_n и S_{n+1}, нормированных на корень из n. При этом утверждение остается верным для любых распределений, в том числе и тривиальных.