|
|
Городской семинар по теории вероятностей и математической статистике
29 декабря 2023 г. 18:00–20:00, г. Санкт-Петербург, ПОМИ, ауд. 311 (наб. р. Фонтанки, 27)
|
|
|
|
|
|
О близости распределений последовательных сумм в метрике Прохорова
А. Ю. Зайцев |
Количество просмотров: |
Эта страница: | 305 |
|
Аннотация:
Этот доклад можно считать продолжением доклада 20 октября.
Утверждается, что результат, аналогичный изложенному в докладе 20
октября, получен и для расстояния Прохорова $\pi$ между распределениями
сумм, нормированных на корень из $n$.
Для любого $d$-мерного распределения $F$ существует $c_1(F)>0$, зависящее
только от $F$ и такое, что
$$
(F^n)\{A\}\leqslant (F^{n+1})\{A^{c_1(F)}\}+\frac{c_1(F)}{\sqrt{n}}\ \text{и}\ \ (F^{n+1})\{A\}\leqslant (F^n)\{A^{c_1(F)}\}+\frac{c_1(F)}
{\sqrt{n}}
$$
для любого борелевского множества $A$ для всех натуральных чисел $n$.
Здесь $A^{\varepsilon }$ – $\varepsilon $-окрестность множества $A$, а
$F^n$ – $n$-кратная свертка распределения $F$.
Применяя теорему Штрассена–Дадли, отсюда можно вывести следующее
утверждение.
Для любого $d$-мерного распределения $F$ найдется величина $c_2(F)$,
зависящая только от $F$ и такая что
для любого натурального $n$
можно построить на одном вероятностном
пространстве случайные векторы $\xi_n $ и $\eta_n $ с распределениями
$\mathcal{L}(\xi_n )=F^{n+1}$ и $\mathcal{L}(\eta_n )=F^n$, так что
$
\mathbf{P}\left\{ \Vert \xi_n -\eta_n \Vert >c_2(F) \right\} \leqslant
{c_2(F)}/{\sqrt{n}}
$.
Следовательно,
$\pi(\mathcal{L}(\xi_n/\sqrt{n} ), \mathcal{L}(\eta_n/\sqrt{n} ))\leqslant
{c_2(F)}/{\sqrt{n}}$.
|
|