Новые оценки в проблеме Литтлвуда-Оффорда

В докладе обсуждаются результаты совместных работ докладчика и Фридриха Гётце (Билефельд). В проблеме Литтлвуда–Оффорда функции концентрации взвешенных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин и векторов оцениваются в терминах структурных арифметических свойств весов, используемых при построении взвешенных сумм. В препринте arXiv:2112.12574 (2021) (опубликованном в журнале Mathematics, 2022, 10(10), 1740) получено новое общее неравенство, показывающее, что проблема Литтлвуда–Оффорда может быть сведена к оцениванию функций концентрации некоторых симметричных безгранично делимых распределений, спектральные меры Леви которых сосредоточены на множестве плюс-минус весов. При изучении распределений собственных чисел случайных матриц в последнее время систематически используются оценки функций концентрации в проблеме Литтлвуда–Оффорда. Следует в этой связи упомянуть работы Тао и Ву (2009), (2010); Рудельсона и Вершинина (2008), (2009), (2014); Нгуена и Ву (2011), (2013), а также К. Тихомирова (2018) и Кампоса с соавторами (2021), (2022). В работах Ю.С. Елисеевой, Ф. Гётце и А.Ю. Зайцева результаты большинства из перечисленных выше работ удалось усилить и обобщить. Была изучена связь работ Тао, Ву и Нгуена, посвященных проблеме Литтлвуда–Оффорда, с достаточно давними результатами Т. Арака, также обнаружившего зависимость малости функции концентрации сумм независимых случайных величин от арифметического строения носителей слагаемых. Арак рассматривал общий случай, не ограничиваясь случаем взвешенных сумм одинаково распределенных величин. Обсуждению этой связи посвящена совместная работа Ю.С. Елисеевой, Ф. Гётце и А.Ю. Зайцева (2017), а также Ф. Гётце и А.Ю. Зайцева (2018). Последние достижения в области оценивания вероятности сингулярности случайных матриц были основаны на так называемом методе наименьшего общего знаменателя Рудельсона и Вершинина. В серии совместных работ Ю.С. Елисеевой, Ф. Гётце и А.Ю. Зайцева результаты Рудельсона и Вершинина были существенно уточнены и усовершенствованы. В докладе уточняется зависимость констант в перечисленных выше результатах от распределений взвешиваемых случайных величин. Используются результаты упомянутой выше работы Ф. Гётце и А.Ю. Зайцева (2022).