Я рассмотрю понятия как истинной, так и обобщенной монодромии дифференциальной системы. Будет показано, что уравнения Пенлеве подразумевают постоянство монодромии для всех значений параметров, а не только в общем положении, и почему обратное неверно.

Я расскажу про построение интегрируемых систем с помощью геометрии пространств модулей кривых. Ключевую роль здесь играет понятие когомологической теории поля (КогТП), а также относительно недавно появившееся обобщение, называемое F-КогТП (название отражает связь с теорией F-многообразий). Для простоты будет затронут случай систем с одной зависимой переменной. Этой случай особенно интересен двумя гипотезами, утверждающими, что получаемые системы выделяются очень простыми свойствами в классе всех интегрируемых систем.

50 лет назад в Докладах Академии Наук СССР вышла работа Б.А. Дубровина и С.П. Новикова о связи периодической задачи для уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ) с алгебраической геометрией пространства модулей гиперэллиптических кривых и их якобианов. Связь иного рода иерархии КдФ с пространством модулей всех кривых с отмеченными точками была высказана в качестве гипотезы Виттеном в 1991 и вскоре была доказана Концевичем. Это вызвало огромный интерес к приложению интегрируемых систем в теории различных пространств модулей, связанных с алгебраическими кривыми, который продолжается до сих пор.

Я расскажу об одном из таких приложений к вычислению объемов (Мазура-Вича) пространства модулей мероморфных квадратичных дифференциалов на кривых с отмеченными точками, следуя недавней совместной работе с Алексом Стоксом и Джоном Гиббонсом.

В докладе обсуждаются результаты симметрийной классификации уравнений гиперболического типа. Рассматриваются как непрерывные так и полудискретные уравнения. Получены списки уравнений у которых обе высшие симметрии являются уравнениями пятого порядка.

П.Г. Гриневич, П.М. Сантини

В настоящее время ведется активная работа по созданию теории аномальных волн (известных также как волны-убийцы). С одной стороны, это очень интересная научная задача, с другой стороны, она имеет серьезное значение и для практики. Основным механизмом генерации таких волн считается модуляционная неустойчивость d нелинейных средах, при этом, как было показано еще в 60-е годы 20 века в работах Беспалова-Таланова и Захарова, в качестве модели можно использовать фокусирующее Нелинейное уравнение Шредингера, которое в пространственной размерности 1 является вполне интегрируемым.

Для построения пространственно-периодических решений солитонных уравнений основным методом является конечнозонный (алебро-геометрический). Как было нами понято, в задаче о генерации аномальных волн из-за специального вида начальных условий естественно возникают римановы поверхности, близкие к вырожденным, что позволяет получить простые приближенные асимптотические формулы для решений. На примере фокусирующего уравнения Дэви-Стюартсона 2 показано, что данный подход применим и для пространственно-двумерных интегрируемых систем.

В докладе обсуждаются некоторые решенные и нерешенные вопросы, связанные с асимптотиками уиземовского типа для нелинейных уравнений с частными производными и основанные на конечнозонных решениях.

Написанная в 1974 году знаменитая работа С.П. Новикова про периодическую задачу для уравнения КдФ привела к открытию фундаментальных связей теории солитонов с алгебраической геометрией. В результате, несколько давно стоящих задач алгебраической геометрии были решены с помощью солитонных уравнений и, одновременно, в теории самих солитонных уравнений возник новый и очень эффективный подход - алгебро-геометрический метод или метод конечнозонного интегрирования. Знаменательно, что начиная с 90х годов, метод конечнозонного интегрирования начал завоевывать все новые и новые разделы математики, причем многие из них никогда ранее не воспринимались как принадлежащие к теории дифференциальных уравнений. В докладе мы рассмотрим некоторые из этих новых областей применения конечнозонного интегрирования. Основное внимание будет уделено задачам пришедшим из теории случайных матриц и статистической механики. В основном доклад следует совместным работам докладчика с Перси Дэйфтом, Жин Жоу и Игорем Красовским. Результаты , полученные другими авторами будут, конечно, также представлены и обсуждены.

We say that a (formal) solution of KP hierarchy posses a (rationl) spectral curve if its associated $n$-point functions extend as global rational functions after a suitable change of variables, ona and the same for all $n$. We show that the KP integrability is an internal property of a system of $n$-point functions: the corresponding potential associated with their power expansion at some point in some local coordinate satisfies KP hierarchy if and only if the same holds for any other expansion point and any other local coordinate. As a consequence, we show that potentials govern by the procedure of topological recursion of Chekhov-Eynard-Orantin on a rational spectral curve posses KP integrability property.

The talk is based on a series of joint papers with A.Alexandrov, B.Bychkov, P.Dunin-Barkowsky, and S.Shadrin.

Мы рассматриваем гамильтоновы структуры уравнений медленных модуляций (уравнений Уизема) для семейств многофазных решений интегрируемых иерархий. Построение структур такого типа задается методом усреднения гамильтоновых структур исходной системы, впервые введенном в работах Б.А. Дубровина и С.П. Новикова. Получаемые структуры имеют специальную форму и тесно связаны с параметрами поверхностей Римана, возникающих при определении семейства многофазных решений. Наличие таких структур, как хорошо известно, при этом тесно связано с задачей интегрирования уравнений медленных модуляций для интегрируемых систем.

В докладе будет рассказано о связи между обыкновенными коммутирующими дифференциальными и разностными операторами. В частности, будет рассмотрен разностный аналог оператора Ламе. А именно, разностный оператор второго порядка, коэффициенты которого зависят от малого параметра, коммутирующий с разностным оператором порядка $2g+1$. При стремлении малого параметра к нулю, разностный оператор переходит в оператор Ламе. Доклад основан на совместных результатах с Г.С. Маулешовой.

Мы развиваем хорошо-известный алгебро-геометрический метод Кричевера построения ортогональных криволинейных систем координат в евклидовом пространстве, который основан на замечательных свойствах функций Бейкера-Ахиезера на алгебраических кривых и является, в свою очередь, развитием метода конечнозонного интегрирования. Мы предлагаем метод построения по алгебро-геометрическим данным подмногообразий с голономной сетью линий кривизны и ортогональных сетей в (псевдо)евклидовых пространствах, которые играют важную роль в дифференциальной геометрии, в теории систем гидродинамического типа и других областях математики и математической физики. При этом были открыты новые свойства функций Бейкера-Ахиезера, с помощью которых был развит метод построения полугамильтоновых систем гидродинамического типа по алгебро-геометрическим данным. Доклад большей частью основан на следующих опубликованных статьях:

[1] Е.В. Глухов, О.И. Мохов, “Об алгебро-геометрических методах построения подмногообразий с плоской нормальной связностью и голономной сетью линий кривизны”, Функц. анализ и его прил., 54:3 (2020), 26–37.

[2] Е.В. Глухов, О.И. Мохов, “Алгебро-геометрический подход к построению полугамильтоновых систем гидродинамического типа”, Изв. РАН. Сер. матем., 87:6 (2023), 35–48.

Гиперэллиптические кривые являются существенным ингредиентом метода конечнозонного интегрирования. При условии вещественности всех циклов на таких кривых они называются кривыми Бутру. Помимо конечнозонных решений они возникают в методе наискорейшего спуска при интегрировании уравнений Пенлеве методом изомонодромных деформаций. Для многочленов, ортогональных относительно экспоненциального веса $e^{-nV(z)}$, оказывается, что кривые Бутру служат носителями нулей в пределе $n\to\infty $. При полиномиальных функциях $V(z)$ многочлены удовлетворяют рекуррентным соотношениям с коэффициентами, определяемыми по моментам экспоненциального веса.

В случае $V(z) =z^3$ коэффициенты вычисляются с помощью дискретного уравнения Пенлеве первого типа (dPI). Для него построены классы асимптотических решений для больших значений независимой переменной. Изучен частный случай переходной асимптотики, когда один из коэффициентов dPI столь же велик, что и независимая переменная. Найдена оценка момента перехода, когда решение стремится к бесконечности. Этот момент, в свою очередь, определяет предельные точки на кривой Бутру, к которым накапливаются нули многочленов. Также эта переходная асимптотика порождает особенности в моделях лапласовского роста и в распределениях собственных значений ансамблей нормальных матриц.

Обсуждается структура алгебры квазилокальных рекурсионных операторов и согласованные гамильтоновы структуры для уравнения Кричевера-Новикова.

Как замечено В.Е.Захаровым и А.В.Михайловым, уравнения нулевой кривизны на римановой поверхности переопределены. И.М.Кричевер преодолел это препятствие, введя в уравнение дополнительные параметры - параметры Тюрина. В частности, им были введены матрицы Лакса со спектральным параметром на алгебраических кривых, построены соответствующие иерархии уравнений типа Лакса, их гамильтонова теория, и дана схема их конечнозонного интегрирования. Эти матрицы представляют собой мероморфные функции на римановой поверхности со значениями в полной линейной алгебре. В частности, с их помощью интегрируются системы Хитчина со структурной группой $GL(n)$. Системам Хитчина с простыми структурными группами, и многим классическим интегрируемым системам соответствуют матрицы Лакса из простых алгебр Ли. В докладе я расскажу о решённых задачах и возникающих проблемах в этом случае, на примере группы $SO(2n)$ (и её алгебры Ли). Предварительно я дам обзор результатов И.М.Кричевера.