Осенью 2024 года исполняется 50 лет со дня выхода статьи С.П.Новикова “Периодическая задача для уравнения Кортевега–де Фриза”, положившей начало алгебро-геометрическому подходу в теории солитонных уравнений. В честь этого события МЦМУ МИАН, ММЦ ИМ СО РАН и МЦМУ им. Л. Эйлера проводят конференцию «50 лет конечнозонному интегрированию», на которой сделают доклады ведущие специалисты в этой области. Конференция состоится 16–18 сентября в МИАН им. В.А.Стеклова, Москва.

Формат конференции: очно и онлайн.

Данные для подключения:
Просьба направлять запросы на получение данных для подключения по ZOOM на адрес FGI_50@mi-ras.ru.

Расписание

Программа:

Бабич Михаил Васильевич, Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук

Об уравнения изомонодромных деформаций дифференциальных систем, как регулярных, так и иррегулярных

Я рассмотрю понятия как истинной, так и обобщенной монодромии дифференциальной системы. Будет показано, что уравнения Пенлеве подразумевают постоянство монодромии для всех значений параметров, а не только в общем положении, и почему обратное неверно.

Буряк Александр Юрьевич, Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"; Сколковский институт науки и технологий

Построение интегрируемых систем с помощью геометрии пространств модулей кривых и связанные задачи классификации

Я расскажу про построение интегрируемых систем с помощью геометрии пространств модулей кривых. Ключевую роль здесь играет понятие когомологической теории поля (КогТП), а также относительно недавно появившееся обобщение, называемое F-КогТП (название отражает связь с теорией F-многообразий). Для простоты будет затронут случай систем с одной зависимой переменной. Этой случай особенно интересен двумя гипотезами, утверждающими, что получаемые системы выделяются очень простыми свойствами в классе всех интегрируемых систем.

Веселов Александр Петрович, Университет Лафборо, Великобритания

Теория солитонов и геометрия пространств модулей

50 лет назад в Докладах Академии Наук СССР вышла работа Б.А. Дубровина и С.П. Новикова о связи периодической задачи для уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ) с алгебраической геометрией пространства модулей гиперэллиптических кривых и их якобианов. Связь иного рода иерархии КдФ с пространством модулей всех кривых с отмеченными точками была высказана в качестве гипотезы Виттеном в 1991 и вскоре была доказана Концевичем. Это вызвало огромный интерес к приложению интегрируемых систем в теории различных пространств модулей, связанных с алгебраическими кривыми, который продолжается до сих пор.

Я расскажу об одном из таких приложений к вычислению объемов (Мазура-Вича) пространства модулей мероморфных квадратичных дифференциалов на кривых с отмеченными точками, следуя недавней совместной работе с Алексом Стоксом и Джоном Гиббонсом.

Гарифуллин Рустем Наилевич, Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН, г. Уфа

Классификации полудискретных и непрерывных уравнений гиперболического типа с симметриями пятого порядка

В докладе обсуждаются результаты симметрийной классификации уравнений гиперболического типа. Рассматриваются как непрерывные так и полудискретные уравнения. Получены списки уравнений у которых обе высшие симметрии являются уравнениями пятого порядка.

Гриневич Петр Георгиевич, Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва

Доброхотов Сергей Юрьевич, Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук, г. Москва

Некоторые решенные и нерешенные задачи о квазиклассических асимптотиках, основанных на конечнозонных решениях

В докладе обсуждаются некоторые решенные и нерешенные вопросы, связанные с асимптотиками уиземовского типа для нелинейных уравнений с частными производными и основанные на конечнозонных решениях.

Итс Александр Рудольфович, Университет штата Индиана в Индианаполисе; Санкт-Петербургский Государственный Университет; Университет Бристоля

Конечнозонное интегрирование в теории случайных матриц и в задачах статистической физики

Написанная в 1974 году знаменитая работа С.П. Новикова про периодическую задачу для уравнения КдФ привела к открытию фундаментальных связей теории солитонов с алгебраической геометрией. В результате, несколько давно стоящих задач алгебраической геометрии были решены с помощью солитонных уравнений и, одновременно, в теории самих солитонных уравнений возник новый и очень эффективный подход - алгебро-геометрический метод или метод конечнозонного интегрирования. Знаменательно, что начиная с 90х годов, метод конечнозонного интегрирования начал завоевывать все новые и новые разделы математики, причем многие из них никогда ранее не воспринимались как принадлежащие к теории дифференциальных уравнений. В докладе мы рассмотрим некоторые из этих новых областей применения конечнозонного интегрирования. Основное внимание будет уделено задачам пришедшим из теории случайных матриц и статистической механики. В основном доклад следует совместным работам докладчика с Перси Дэйфтом, Жин Жоу и Игорем Красовским. Результаты , полученные другими авторами будут, конечно, также представлены и обсуждены.

Казарян Максим Эдуардович, Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва и Сколтех

Global KP integrability

We say that a (formal) solution of KP hierarchy posses a (rationl) spectral curve if its associated $n$-point functions extend as global rational functions after a suitable change of variables, ona and the same for all $n$. We show that the KP integrability is an internal property of a system of $n$-point functions: the corresponding potential associated with their power expansion at some point in some local coordinate satisfies KP hierarchy if and only if the same holds for any other expansion point and any other local coordinate. As a consequence, we show that potentials govern by the procedure of topological recursion of Chekhov-Eynard-Orantin on a rational spectral curve posses KP integrability property.

The talk is based on a series of joint papers with A.Alexandrov, B.Bychkov, P.Dunin-Barkowsky, and S.Shadrin.

Кузнецов Евгений Александрович, Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук, г. Москва

Dressing method in stability problem of nonlinear waves

Ландо Сергей Константинович, Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва

Мальцев Андрей Яковлевич, Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, отделение в г. Москве

Конечнозонные решения и гамильтоновы структуры уравнений медленных модуляций интегрируемых иерархий

Мы рассматриваем гамильтоновы структуры уравнений медленных модуляций (уравнений Уизема) для семейств многофазных решений интегрируемых иерархий. Построение структур такого типа задается методом усреднения гамильтоновых структур исходной системы, впервые введенном в работах Б.А. Дубровина и С.П. Новикова. Получаемые структуры имеют специальную форму и тесно связаны с параметрами поверхностей Римана, возникающих при определении семейства многофазных решений. Наличие таких структур, как хорошо известно, при этом тесно связано с задачей интегрирования уравнений медленных модуляций для интегрируемых систем.

Маршаков Андрей Владимирович, Центр перспективных исследований им. Кричевера, Сколтех

Тау-функция Кричевера и формула Верлинде

Миронов Андрей Евгеньевич, Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск

Разностный аналог оператора Ламе

В докладе будет рассказано о связи между обыкновенными коммутирующими дифференциальными и разностными операторами. В частности, будет рассмотрен разностный аналог оператора Ламе. А именно, разностный оператор второго порядка, коэффициенты которого зависят от малого параметра, коммутирующий с разностным оператором порядка $2g+1$. При стремлении малого параметра к нулю, разностный оператор переходит в оператор Ламе. Доклад основан на совместных результатах с Г.С. Маулешовой.

Мохов Олег Иванович, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Новокшенов Виктор Юрьевич, Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН, г. Уфа

Кривые Бутру и распределение нулей ортогональных многочленов

Гиперэллиптические кривые являются существенным ингредиентом метода конечнозонного интегрирования. При условии вещественности всех циклов на таких кривых они называются кривыми Бутру. Помимо конечнозонных решений они возникают в методе наискорейшего спуска при интегрировании уравнений Пенлеве методом изомонодромных деформаций. Для многочленов, ортогональных относительно экспоненциального веса $e^{-nV(z)}$, оказывается, что кривые Бутру служат носителями нулей в пределе $n\to\infty $. При полиномиальных функциях $V(z)$ многочлены удовлетворяют рекуррентным соотношениям с коэффициентами, определяемыми по моментам экспоненциального веса.

В случае $V(z) =z^3$ коэффициенты вычисляются с помощью дискретного уравнения Пенлеве первого типа (dPI). Для него построены классы асимптотических решений для больших значений независимой переменной. Изучен частный случай переходной асимптотики, когда один из коэффициентов dPI столь же велик, что и независимая переменная. Найдена оценка момента перехода, когда решение стремится к бесконечности. Этот момент, в свою очередь, определяет предельные точки на кривой Бутру, к которым накапливаются нули многочленов. Также эта переходная асимптотика порождает особенности в моделях лапласовского роста и в распределениях собственных значений ансамблей нормальных матриц.

Павлов Максим Валентинович, Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук, г. Москва

Триады Лакса, конечно-зонное интегрирование и псевдо-дифференциальные операторы

Смирнов Александр Олегович, Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Вещественное уравнение мКдФ: классическая и альтернативные формулы конечнозонных решений

Соколов Владимир Вячеславович, Высшая школа современной математики, Физтех

Об алгебраических свойствах уравнения Кричевера-Новикова

Обсуждается структура алгебры квазилокальных рекурсионных операторов и согласованные гамильтоновы структуры для уравнения Кричевера-Новикова.

Шейнман Олег Карлович, Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва

К конечнозонной теории систем Хитчина

Как замечено В.Е.Захаровым и А.В.Михайловым, уравнения нулевой кривизны на римановой поверхности переопределены. И.М.Кричевер преодолел это препятствие, введя в уравнение дополнительные параметры - параметры Тюрина. В частности, им были введены матрицы Лакса со спектральным параметром на алгебраических кривых, построены соответствующие иерархии уравнений типа Лакса, их гамильтонова теория, и дана схема их конечнозонного интегрирования. Эти матрицы представляют собой мероморфные функции на римановой поверхности со значениями в полной линейной алгебре. В частности, с их помощью интегрируются системы Хитчина со структурной группой $GL(n)$. Системам Хитчина с простыми структурными группами, и многим классическим интегрируемым системам соответствуют матрицы Лакса из простых алгебр Ли. В докладе я расскажу о решённых задачах и возникающих проблемах в этом случае, на примере группы $SO(2n)$ (и её алгебры Ли). Предварительно я дам обзор результатов И.М.Кричевера.

Постер

Программный комитет
Бухштабер Виктор Матвеевич, Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Семенов-Тян-Шанский Михаил Арсеньевич, Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Тайманов Искандер Асанович, Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск

Организационный комитет
Бунькова Елена Юрьевна, Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Дынников Иван Алексеевич, Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Миронов Андрей Евгеньевич, Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск
Постнова Ольга Викторовна, Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Шейнман Олег Карлович, Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва

Финансовая поддержка
Мероприятие проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение № 075-15-2022-265).

Организации
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)
Математический центр мирового уровня «Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук» (ММЦ ИМ СО РАН)
Математический центр мирового уровня «Cанкт-Петербургский международный математический институт имени Леонарда Эйлера» (МЦМУ им. Л. Эйлера)