Особенности выпуклой оболочки гладкой замкнутой кривой общего положения в $\mathbb{R}^3$ расклассифицированы относительно диффеоморфизмов объемлющего пространства. Доказано, что особенности выпуклых оболочек кривых в $\mathbb{R}^4$, а также $k$-мерных подмногообразий в $\mathbb{R}^n$ при $k\geq 1, n\geq 5$ имеют функциональные модули, неустранимые малой деформацией многообразия. Получено трехмерное обобщение классической теоремы о $4$-х вершинах: “Всякая $C^3$-вложенная замкнутая кривая в $\mathbb{R}^3$, имеющая всюду ненулевую кривизну и лежащая на границе своей выпуклой оболочки, имеет не менее $4$-х геометрически различных точек нулевого кручения”. Найдены новые инварианты допустимых по Арнольду гомотопий замкнутой кривой в $\mathbb{R}P^3$. Построено соответствие между (лагранжевыми) особенностями огибающей семейства нормалей к подмногообразию в $\mathbb{R}^n$ и (лежандровыми) особенностями множества касательных гиперплоскостей к его стереографическому образу в $\mathbb{R}^{n+1}$ (симплектическое обобщение леммы Кнезера о точках уплощения сферических кривых в $\mathbb{R}^3$). Вычислены индексы примыкания особенностей волнового фронта общего положения в пространстве размерности не выше $6$. Доказано, что каждая связная компонента многообразия мультиособенностей любого данного типа у ростка образа лагранжева отображения с моноособенностью типа $D_\mu$ либо стягиваема, либо гомотопически эквивалентна окружности; вычислено количество компонент каждого вида. Разработана конструкция разрешения устойчивых мультиособенностей коранга $1$ в образе гладкого отображения замкнутого многообразия в пространство той же или большей размерности, обобщающая принцип итерации Клеймана: вместо циклов кратных точек рассматриваются циклы произвольных мультиособенностей. В качестве следствия получены полные системы универсальных линейных соотношений с вещественными коэффициентами между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей в образе устойчивого отображения (произвольного гладкого, лагранжева или лежандрова), имеющего лишь особенности коранга $1$. Найдены многомерные обобщения формулы Бозе, согласно которой число опорных окружностей кривизны выпуклой замкнутой кривой общего положения в $\mathbb{R}^2$ на $4$ больше числа опорных окружностей, касающихся кривой в трех точках. А именно, числа опорных гиперсфер разных типов, имеющих $(2n+1)$-й порядок касания с выпуклой замкнутой кривой общего положения в $\mathbb{R}^{2n}$, связаны универсальным линейным соотношением, коэффициенты которого определяются числами Каталана $c_k,k\leq n$.
Научная биография:
В 1978 г. с отличием окончил механико-математический факультет МГУ и поступил в аспирантуру там же (кафедра дифференциальных уравнений). Кандидатскую диссертацию защитил в МГУ в 1982 г. Тема диссертации: “Особенности выпуклых оболочек”. Научный руководитель — профессор В. И. Арнольд.
Докторскую диссертацию защитил в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук в 2006 г. Тема диссертации: “Глобальная теория вещественных особенностей коранга 1 и ее приложения в контактной геометрии пространственных кривых”. Опубликовано более 50 научных статей.
Основные публикации:
В. Д. Седых, “Теорема о четырех вершинах выпуклой пространственной кривой”, Функц. анализ и его прилож., 26:1 (1992), 35–41.
В. Д. Седых, “Соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей коранга 1 фронта общего положения”, Докл. РАН, 383:6 (2002), 735–739.
В. Д. Седых, “Разрешение особенностей коранга 1 фронта общего положения”, Функц. анализ и его прилож., 37:2 (2003), 52–64.
В. Д. Седых, “Разрешение особенностей коранга 1 образа устойчивого гладкого отображения в пространство большей размерности”, Изв. РАН. Сер. матем., 71:2 (2007), 173–222.
В. Д. Седых, “О топологии волновых фронтов в пространствах небольших размерностей”, Изв. РАН. Сер. матем., 76:2 (2012), 171–214.
В. Д. Седых, “О примыкании особенностей типа $D$ фронта”, УМН, 79:3(477) (2024), 183–184; V. D. Sedykh, “On the adjacency of type $D$ singularities of a front”, Russian Math. Surveys, 79:3 (2024), 550–552
2023
2.
В. Д. Седых, “Образ лагранжева ростка типа $E_6^\pm$”, Функц. анализ и его прил., 57:1 (2023), 100–103; V. D. Sedykh, “The image of a Lagrangian germ of type $E_6^\pm$”, Funct. Anal. Appl., 57:1 (2023), 80–82
В. Д. Седых, “Топология дополнения к каустике лагранжева ростка типа $E_6^\pm$”, УМН, 78:3(471) (2023), 181–182; V. D. Sedykh, “The topology of the complement to the caustic of a Lagrangian germ of type $E_6^\pm$”, Russian Math. Surveys, 78:3 (2023), 569–571
2021
4.
В. Д. Седых, “О вещественной каустике типа $E_6$”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:2 (2021), 113–141; V. D. Sedykh, “On a real caustic of type $E_6$”, Izv. Math., 85:2 (2021), 279–305
В. Д. Седых, “Топология особенностей ростка устойчивой вещественной каустики типа $E_6$”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:3 (2018), 154–169; V. D. Sedykh, “Topology of singularities of a stable real caustic germ of type $E_6$”, Izv. Math., 82:3 (2018), 596–611
В. Д. Седых, “О топологии устойчивых лагранжевых отображений с особенностями типов $A$ и $D$”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:3 (2015), 159–202; V. D. Sedykh, “On the topology of stable Lagrangian maps with singularities of types $A$ and $D$”, Izv. Math., 79:3 (2015), 581–622
В. Д. Седых, “Топология примыканий лагранжевых особенностей типов $A$ и $D$”, Функц. анализ и его прил., 48:4 (2014), 83–88; V. D. Sedykh, “The Topology of Adjacencies of Type $A$ and $D$ Lagrangian Singularities”, Funct. Anal. Appl., 48:4 (2014), 304–308
В. Д. Седых, “Об эйлеровых характеристиках многообразий особенностей волновых фронтов”, Функц. анализ и его прил., 46:1 (2012), 92–96; V. D. Sedykh, “On Euler Characteristics of Manifolds of Singularities of Wave Fronts”, Funct. Anal. Appl., 46:1 (2012), 77–80
В. Д. Седых, “О топологии волновых фронтов в пространствах небольших размерностей”, Изв. РАН. Сер. матем., 76:2 (2012), 171–214; V. D. Sedykh, “On the topology of wave fronts in spaces of low dimension”, Izv. Math., 76:2 (2012), 375–418
В. Д. Седых, “Индексы примыкания особенностей волновых фронтов в пространствах небольших размерностей”, Функц. анализ и его прил., 44:3 (2010), 88–91; V. D. Sedykh, “Adjacency Indices for Singularities of Wave Fronts in Low Dimensional Spaces”, Funct. Anal. Appl., 44:3 (2010), 234–236
В. Д. Седых, “Разрешение особенностей коранга 1 образа устойчивого гладкого отображения
в пространство большей размерности”, Изв. РАН. Сер. матем., 71:2 (2007), 173–222; V. D. Sedykh, “Resolution of corank 1 singularities in the image of a stable smooth map to a space of higher dimension”, Izv. Math., 71:2 (2007), 391–437
В. Д. Седых, “О сосуществовании мультиособенностей коранга 1 устойчивого гладкого отображения многообразий одинаковой размерности”, Труды МИАН, 258 (2007), 201–226; V. D. Sedykh, “On the Coexistence of Corank 1 Multisingularities of a Stable Smooth Mapping of Equidimensional Manifolds”, Proc. Steklov Inst. Math., 258 (2007), 194–217
В. Д. Седых, “Особенности коранга 1 устойчивых гладких отображений и особые касательные гиперплоскости пространственной кривой”, Матем. заметки, 78:3 (2005), 413–427; V. D. Sedykh, “Corank 1 Singularities of Stable Smooth Maps and Special Tangent Hyperplanes to a Space Curve”, Math. Notes, 78:3 (2005), 378–390
В. Д. Седых, “Полная система линейных соотношений между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей коранга $1$ фронта общего положения”, Функц. анализ и его прил., 38:4 (2004), 73–78; V. D. Sedykh, “A Complete System of Linear Relations between the Euler Characteristics of Manifolds of Corank $1$ Singularities of a Generic Front”, Funct. Anal. Appl., 38:4 (2004), 298–301
В. Д. Седых, “О топологии устойчивых особенностей коранга 1 на крае связной компоненты дополнения к фронту”, Матем. сб., 195:8 (2004), 91–130; V. D. Sedykh, “On the topology of stable corank 1 singularities on the boundary of a connected component of the complement to a front”, Sb. Math., 195:8 (2004), 1165–1203
В. Д. Седых, “Разрешение особенностей коранга $1$ фронта общего положения”, Функц. анализ и его прил., 37:2 (2003), 52–64; V. D. Sedykh, “Resolution of Corank $1$ Singularities of a Generic Front”, Funct. Anal. Appl., 37:2 (2003), 123–133
В. Д. Седых, “Некоторые инварианты допустимых гомотопий пространственных кривых”, Функц. анализ и его прил., 35:4 (2001), 54–66; V. D. Sedykh, “Some Invariants of Admissible Homotopies of Space Curves”, Funct. Anal. Appl., 35:4 (2001), 284–293
В. Д. Седых, “Теорема о четырех опорных вершинах ломаной”, Функц. анализ и его прил., 30:3 (1996), 88–90; V. D. Sedykh, “Theorem on Four Support Vertices of a Polygonal Line”, Funct. Anal. Appl., 30:3 (1996), 216–218
В. Д. Седых, “Инварианты неровных многообразий”, Функц. анализ и его прил., 29:3 (1995), 41–50; V. D. Sedykh, “Invariants of Nonflat Manifolds”, Funct. Anal. Appl., 29:3 (1995), 180–187
В. Д. Седых, “Строгая выпуклость выпуклого многообразия общего положения”, Тр. МИАН, 209 (1995), 200–219; V. D. Sedykh, “Strict convexity of a generic convex manifold”, Proc. Steklov Inst. Math., 209 (1995), 174–190
В. Д. Седых, “Связь лагранжевых особенностей с лежандровыми при стереографической проекции”, Матем. сб., 185:12 (1994), 123–130; V. D. Sedykh, “Connection of Lagrangian singularities with Legendrian singularities under stereographic projection”, Russian Acad. Sci. Sb. Math., 83:2 (1995), 533–540
В. Д. Седых, “Инварианты строго выпуклых многообразий”, Функц. анализ и его прил., 27:3 (1993), 67–75; V. D. Sedykh, “Invariants of Strictly Convex Manifolds”, Funct. Anal. Appl., 27:3 (1993), 205–210
В. Д. Седых, “Инварианты выпуклых многообразий”, Докл. РАН, 326:6 (1992), 948–952; V. D. Sedykh, “Invariants of convex manifolds”, Dokl. Math., 46:2 (1993), 392–396
В. Д. Седых, “Теорема о четырех вершинах выпуклой пространственной кривой”, Функц. анализ и его прил., 26:1 (1992), 35–41; V. D. Sedykh, “A theorem on four vertices of a convex space curve”, Funct. Anal. Appl., 26:1 (1992), 28–32
В. Д. Седых, “Бесконечно гладкая компактная выпуклая гиперповерхность, граница тени которой не дифференцируема дважды”, Функц. анализ и его прил., 23:3 (1989), 86–87; V. D. Sedykh, “An infinitely smooth compact convex hypersurface with a shadow whose boundary is not twice-differentiable”, Funct. Anal. Appl., 23:3 (1989), 246–248
В. Д. Седых, “Двойные касательные плоскости к пространственной кривой”, Сиб. матем. журн., 30:1 (1989), 209–211; V. D. Sedykh, “Double tangent planes to a space curve”, Siberian Math. J., 30:1 (1989), 161–162
В. Д. Седых, “Стабилизация особенностей выпуклых оболочек”, Матем. сб., 135(177):4 (1988), 514–519; V. D. Sedykh, “Stabilization of singularities of convex hulls”, Math. USSR-Sb., 63:2 (1989), 499–505
В. Д. Седых, “Выпуклые оболочки и преобразование Лежандра”, Сиб. матем. журн., 24:6 (1983), 122–134; V. D. Sedykh, “Convex hulls and the Legendre transform”, Siberian Math. J., 24:6 (1983), 923–933
В. Д. Седых, “Особенности выпуклых оболочек”, Сиб. матем. журн., 24:3 (1983), 158–175; V. D. Sedykh, “Singularities of convex hulls”, Siberian Math. J., 24:3 (1983), 447–461
В. Д. Седых, “Функциональные модули особенностей выпуклых оболочек
многообразий коразмерностей 1 и 2”, Матем. сб., 119(161):2(10) (1982), 233–247; V. D. Sedykh, “Functional moduli of singularities of convex hulls of manifolds of codimensions 1 and 2”, Math. USSR-Sb., 47:1 (1984), 223–236
В. Д. Седых, “Модули особенностей выпуклых оболочек”, УМН, 36:5(221) (1981), 191–192; V. D. Sedykh, “Moduli of singularities of convex hulls”, Russian Math. Surveys, 36:5 (1981), 175–176
В. Д. Седых, “Особенности выпуклой оболочки кривой в $\mathbb{R}^3$”, Функц. анализ и его прил., 11:1 (1977), 81–82; V. D. Sedykh, “Singularities of the convex hull of a curve in $\mathbb{R}^3$”, Funct. Anal. Appl., 11:1 (1977), 72–73
А. А. Аграчев, Д. В. Аносов, И. А. Богаевский, А. С. Бортаковский, А. Б. Будак, В. А. Васильев, В. В. Горюнов, С. М. Гусейн-Заде, А. А. Давыдов, В. К. Зародов, В. Д. Седых, Д. В. Трещёв, В. Н. Чубариков, “Владимир Михайлович Закалюкин (некролог)”, УМН, 67:2(404) (2012), 187–190; A. A. Agrachev, D. V. Anosov, I. A. Bogaevskii, A. S. Bortakovskii, A. B. Budak, V. A. Vassiliev, V. V. Goryunov, S. M. Gusein-Zade, A. A. Davydov, V. R. Zarodov, V. D. Sedykh, D. V. Treshchev, V. N. Chubarikov, “Vladimir Mikhailovich Zakalyukin (obituary)”, Russian Math. Surveys, 67:2 (2012), 375–379
Обратная связь: