| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) О вещественной каустике типа В. Д. Седых Российский государственный университет нефти и газа (национальный исследовательский университет) имени И. М. Губкина, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9015 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеМы изучаем многообразия особых точек разных типов в образе ростка лагранжева отображения общего положения с устойчивыми простыми особенностями. В статье рассматриваются только собственные лагранжевы отображения. Согласно Арнольду (см. [1]) простые устойчивые ростки лагранжева отображения в гладкое $n$-мерное многообразие лагранжево эквивалентны росткам в нуле отображения
$$
\begin{equation*}
\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n,\quad (\overline{t},\overline{q})\mapsto \biggl( -\frac{\partial S(\overline{t},\overline{q})}{\partial \overline{t}},\overline{q}\biggr),\qquad \overline{t}=(t_1,\dots,t_k),\quad \overline{q}=(q_{k+1},\dots,q_n),
\end{equation*}
\notag
$$
где $S=S(\overline{t},\overline{q})$ – функция одного из следующих типов ($\mu\leqslant n+1$ – целое):
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} A_{\mu}^\pm&\colon &\quad S&=\pm t_1^{\mu+1}+q_{\mu-1}t_1^{\mu-1}+\dots+q_2t_1^2, &\qquad \mu&\geqslant1, \\ D_{\mu}^{\pm}&\colon &\quad S&=t_1^2t_2\pm t_2^{\mu-1}+q_{\mu-1}t_2^{\mu-2}+\dots+q_3t_2^2, &\qquad \mu&\geqslant4, \\ E_6^\pm&\colon &\quad S&=t_1^3\pm t_2^4+q_5t_1t_2^2+q_4t_1t_2+q_3t_2^2, &\qquad \mu&=6, \\ E_7&\colon &\quad S&=t_1^3+t_1t_2^3+q_6t_1^2t_2+q_5t_1^2+q_4t_1t_2+q_3t_2^2, &\qquad \mu&=7, \\ E_8&\colon &\quad S&=t_1^3+t_2^5+q_7t_1t_2^3+q_6t_1t_2^2+q_5t_2^3+q_4t_1t_2+q_3t_2^2, &\qquad \mu&=8. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Лагранжево отображение общего положения в многообразие размерности $n\leqslant 5$ может иметь лишь простые устойчивые особенности. Тип функции $S$ определяет тип особенности (ростка) лагранжева отображения. Число $\mu-1$ называется коразмерностью особенности. Если $\mu$ четное или $\mu=1$, то ростки типов $A_{\mu}^+$ и $A_{\mu}^-$ лагранжево эквивалентны (они обозначаются через $A_{\mu}$). В остальных случаях ростки перечисленных типов попарно лагранжево не эквивалентны. Каждой точке $y$ пространства $V$ образа лагранжева отображения $f$ общего положения с устойчивыми простыми особенностями можно сопоставить формальное коммутативное произведение $\mathcal{A}$ символов из теоремы Арнольда, обозначающих типы ростков $f$ в прообразах точки $y$. Произведение $\mathcal{A}$ называется типом мультиособенности лагранжева отображения $f$ в точке $y$ (или типом моноособенности, если $y$ имеет лишь один прообраз). Тип мультиособенности отображения $f$ в критическом значении $y$ определяет тип ростка его каустики в этой точке. Множество $\mathcal{A}_f$ точек $y$, в которых отображение $f$ имеет мультиособенность типа $\mathcal{A}$, является гладким подмногообразием в многообразии $V$. Оно называется многообразием мультиособенностей типа $\mathcal{A}$. Коразмерность многообразия $\mathcal{A}_f$ в $V$ равна сумме коразмерностей особенностей, которые отображение $f$ имеет в прообразах произвольной точки $y\in \mathcal{A}_f$. Эта сумма обозначается через $\operatorname{codim}\mathcal{A}$ и называется коразмерностью мультиособенности типа $\mathcal{A}$. В работе [2] мы изучали топологию многообразий мультиособенностей у ростков лагранжева отображения типов $A_\mu^\pm$ и $D_\mu^\pm$. В работе [3] проведены исследования многообразий мультиособенностей в особых точках ростка каустики типа $E_6$, кроме многообразий точек трансверсального пересечения его гладких ветвей (ростки каустики типов $E_6^+$ и $E_6^-$ вложенно диффеоморфны и обозначаются через $E_6$). Настоящая работа является продолжением этой деятельности. Теперь, мы изучаем топологию многообразий точек трансверсального пересечения гладких ветвей ростка каустики типа $E_6$, а также многообразия его неособых точек. Оказывается, что связные компоненты всех этих многообразий стягиваемы. В статье вычислено их количество. А именно, гладкая часть каустики состоит из $20$ компонент ($2$ компоненты многообразия моноособенностей типа $A_2$, $6$ компонент многообразия мультиособенностей типа $A_2A_1^2$ и $12$ – типа $A_2A_1^4$). Пересечение двух гладких ветвей каустики состоит из $19$ компонент ($3$ компоненты многообразия мультиособенностей типа $A_2^2$ и $16$ – типа $A_2^2A_1^2$). Многообразие точек пересечения трех гладких ветвей имеет $4$ связные компоненты (они образуют многообразие мультиособенностей типа $A_2^3$). Пересечений четырех ветвей не бывает. О других результатах, полученных разными авторами в ходе исследования топологии лагранжевых отображений, можно узнать, например, из книги [4]. § 2. Формулировка результатаОсновные понятия и факты теории особенностей лагранжевых отображений, которые потребуются нам в дальнейшем, изложены в работе [2]. Мы кратко напомним здесь лишь некоторые обозначения (см. также [3]). Типы мультиособенностей лагранжева отображения $f$ общего положения с устойчивыми простыми особенностями образуют свободную абелеву мультипликативную полугруппу $\mathbb{S}^+$ с образующими
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_1,\qquad A_{2k},A_{2k+1}^+,A_{2k+1}^-\quad (k=1,2,\dots), \\ D_{\mu}^+,D_{\mu}^-\quad (\mu=4,5,\dots),\qquad E_6^+, E_6^-, E_7, E_8. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что отображение $f$ имеет мультиособенность типа $\mathcal{B}\in\mathbb{S}^+$ в точке $y$ пространства образа $V$, где $\operatorname{codim}\mathcal{B}=c$. Выберем окрестность $U$ начала координат $0$ в $\mathbb{R}^{c}$ и рассмотрим гладкое вложение $h\colon U\to V$ такое, что $h(0)=y$, причем подмногообразие $h(U)\subset V$ трансверсально многообразию $\mathcal{B}_f$ в точке $y$. Через $B_{\varepsilon}\subset \mathbb{R}^{c}$ обозначим открытый $c$-мерный шар с радиусом $\varepsilon>0$ и центром в $0$. Тогда существует положительное число $\varepsilon_0=\varepsilon_0(f,y,h)$ такое, что для любых $\mathcal{A}\in\mathbb{S}^+$ и $\varepsilon<\varepsilon_0$ множество $h(B_{\varepsilon})\cap \mathcal{A}_f$ является гладким многообразием, класс эквивалентности которого относительно диффеоморфизмов зависит только от $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$. Мы обозначим это многообразие через $\Xi_{\mathcal{A}}(\mathcal{B})$. Мультиособенность типа $\mathcal{B}$ примыкает к мультиособенности типа ${\cal A}$, если $\mathcal{A}\neq\mathcal{B}$ и $\Xi_\mathcal{A}(\mathcal{B})\neq\varnothing$. Эйлерова характеристика $J_{\mathcal{A}}(\mathcal{B})$ многообразия $\Xi_{\mathcal{A}}(\mathcal{B})$ называется индексом примыкания мультиособенности типа $\mathcal{B}$ к мультиособенности типа $\mathcal{A}$. Примыкание мультиособенности типа $\mathcal{B}$ к мультиособенности типа $\mathcal{A}$ называется простым, если все связные компоненты многообразия $\Xi_{\mathcal{A}}(\mathcal{B})$ стягиваемые. Зафиксируем $\delta=\pm1$. В дальнейшем, на протяжении всей работы, $E_{\mu}^\delta$ обозначает $E_{\mu}^+$, если $\delta=+1$, и $E_{\mu}^-$, если $\delta=-1$. Аналогичное соглашение действует относительно символов $A_{\mu}^\delta$ и $D_{\mu}^\delta$. Теорема. Индексы всех примыканий моноособенности типа $E_6^\delta$ к мультиособенностям типов $A_2^kA_1^m$, $k\neq0$, в образе лагранжева отображения общего положения указаны в следующей таблице: Все эти примыкания простые. Отсюда и из основного результата работы [3] получаем следующее утверждение. Следствие. Индексы всех примыканий моноособенности типа $E_6^\delta$ к мультиособенностям лагранжева отображения общего положения в точках его каустики указаны в следующей таблице:
Все эти примыкания простые. Индексы примыкания лагранжевых мультиособенностей удовлетворяют многочисленным соотношениям (см. [2]). Поэтому выполнение этих соотношений для индексов, найденных непосредственно, свидетельствует о правильности проведенных вычислений. В частности, нетрудно убедиться, что все индексы, указанные выше, удовлетворяют соотношению
$$
\begin{equation*}
\sum_{X\in\mathbb{S}^+} (-1)^{\operatorname{codim} X}J_{\mathcal{A}}(X)\,J_{X}(E_6^\delta)=0
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $\mathcal{A}\neq E_6^\delta$ и такого, что $\operatorname{codim}\mathcal{A}>0$. Замечание. Индекс $J_{A_2^3}(E_6^\delta)$ был первоначально вычислен в работе [3] при помощи соотношений между индексами примыканий. В данной работе этот индекс вычислен непосредственно. Более того, доказана простота примыкания моноособенности типа $E_6^\delta$ к мультиособенности типа $A_2^3$. § 3. Разрешение точек самопересечения гладких ветвей каустикиРассмотрим отображение
$$
\begin{equation*}
f\colon \mathbb{R}^{5}\to \mathbb{R}^5,\qquad (\overline{t},\overline{q})\mapsto \biggl(-\frac{\partial S}{\partial \overline{t}},\overline{q}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline{t}=(t_1,t_2)\in\mathbb{R}^2$, $\overline{q}=(q_3,q_4,q_5)\in\mathbb{R}^3$ и
$$
\begin{equation*}
S=S(\overline{t},\overline{q})=t_1^3+\delta t_2^4+q_5t_1t_2^2+q_4t_1t_2+q_3t_2^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Оно лагранжево и имеет особенность типа $E_6^\delta$ в нуле. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S_3=\frac{\partial^2 S}{\partial t_2^2}(\overline{t},\overline{q})=2(6\delta t_2^2+q_5t_1+q_3),\qquad S_4=\frac{\partial^2 S}{\partial t_1\,\partial t_2}(\overline{t},\overline{q})=2q_5t_2+q_4, \\ H_1=H_1(\overline{t},\overline{q})=6t_1S_3-S_4^2,\qquad H_2=H_2(\overline{t},\overline{q})=144\delta t_1^2t_2-S_3S_4-6t_1S_4q_5, \\ H_3=H_3(\overline{t},\overline{q})=48\delta t_1^3-(S_3+2t_1q_5)^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Набор $(t_1,t_2,S_3,S_4,q_5)$ определяет гладкие координаты в пространстве $\mathbb{R}^{5}=\{(\overline{t},\overline{q})\}$. Лемма 1 (см. [3]). Отображение $f$ имеет в точке $(\overline{t},\overline{q})\neq 0$ особенность следующего типа: 1) $A_1$, если $H_1\neq0$; 2) $A_2$, если либо $t_1=0$, $S_4=0$, $S_3\neq0$, либо $H_1=0$, $H_2\neq0$; 3) $A_3^\pm$, если $H_1=H_2=0$, $\pm t_1H_3>0$; 4) $A_4$, если $H_1=H_2=H_3=0$, $S_4\neq0$; 5) $A_5^\pm$, если $t_1=\delta q_5^2/12$, $t_2=0$, $S_3=0$, $S_4=0$, $\mp \delta q_5>0$; 6) $D_4^\pm$, если $t_1=0$, $S_3=0$, $S_4=0$, $\pm(q_5^3+108t_2^2)>0$; 7) $D_5^\delta$, если $t_1=0$, $S_3=0$, $S_4=0$, $q_5^3+108t_2^2=0$, $t_2\neq0$. Рассмотрим многообразие $A_2^f$ точек $(\overline{t},\overline{q})\in\mathbb{R}^5$, в которых отображение $f$ имеет особенность типа $A_2$. Это многообразие лежит в гиперповерхности, заданной уравнением $H_1(\overline{t},\overline{q})=0$. Оно лежит также и в открытом множестве точек, удовлетворяющих условию $6t_1+S_3\neq0$. Пусть $C_\varepsilon$ – часть гиперповерхности $H_1(\overline{t},\overline{q})=0$, состоящая из точек, в которых
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sign}(6t_1+S_3)=\varepsilon,\qquad \varepsilon=\pm1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда гладкое отображение
$$
\begin{equation*}
\varphi_\varepsilon\colon \mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^5,\qquad w=(a,b,t_2,q_5)\mapsto(\overline{t},\overline{q}),
\end{equation*}
\notag
$$
заданное формулами
$$
\begin{equation*}
t_1=\varepsilon a^2, \qquad S_3=6\varepsilon b^2, \qquad S_4=6ab,
\end{equation*}
\notag
$$
определяет двулистное накрытие гиперповерхности $C_\varepsilon$ пространством Рассмотрим множество $\Sigma_\varepsilon$ точек $w\in\mathbb{R}^4$ таких, что коразмерность мультиособенности отображения $f$ в точке $f(\varphi_\varepsilon(w))$ больше $1$. Поскольку отображение $f$ квазиоднородно с весами
$$
\begin{equation*}
\deg t_1=4,\qquad \deg t_2=3,\qquad \deg q_3=6,\qquad \deg q_4=5,\qquad \deg q_5=2,
\end{equation*}
\notag
$$
а отображение $\varphi_\varepsilon$ задается однородными функциями степени $2$, то $\Sigma_\varepsilon$ является квазиоднородной гиперповерхностью в $\mathbb{R}^4$ с весами
$$
\begin{equation}
\deg a=2, \qquad \deg b=3, \qquad \deg t_2=3, \qquad \deg q_5=2.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Гиперповерхность $\Sigma_\varepsilon$ инвариантна относительно отражения
$$
\begin{equation}
\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4,\qquad (a,b,t_2,q_5)\mapsto (-a,-b,t_2,q_5).
\end{equation}
\tag{2}
$$
Поскольку функция $S(\overline{t},\overline{q})$ не меняется при одновременном изменении знаков переменных $t_2$ и $q_4$ на противоположные, то гиперповерхность $\Sigma_\varepsilon$ инвариантна также относительно отражения
$$
\begin{equation}
\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4,\qquad (a,b,t_2,q_5)\mapsto (a,-b,-t_2,q_5).
\end{equation}
\tag{3}
$$
Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
K_{\varepsilon}\colon \mathbb{R}^4\to\mathbb{R},\qquad w=(a,b,t_2,q_5)\mapsto 4a^3t_2-\varepsilon\delta b(b^2+a^2q_5).
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнение $K_{\varepsilon}(w)=0$ определяет квазиоднородную гиперповерхность в $\mathbb{R}^4$ с весами (1). Эта гиперповерхность инвариантна относительно отражений (2), (3). Ее часть, лежащая в $\mathbb{R}^4\setminus\{a=b=0\}$, является гладкой гиперповерхностью. Лемма 2. Уравнение $K_{\varepsilon}(w)=0$ задает часть гиперповерхности $\Sigma_\varepsilon$. Дополнение к гиперповерхности $K_{\varepsilon}(w)=0$ в $\mathbb{R}^4$ равно $\varphi_\varepsilon^{-1}(A_2^f)$. Доказательство. По лемме 1 точка $\varphi_\varepsilon(w)$ лежит в многообразии $A_2^f$, если и только если либо $a=0,b\neq0$, либо $(H_2\circ\varphi_\varepsilon)(w)\neq0$. Поэтому лемма 2 следует из того, что $(H_2\circ\varphi_\varepsilon)(w)=36\delta aK_{\varepsilon}(w)$. Обозначим через $\Sigma_\varepsilon^{\ast}$ множество точек $w\in\Sigma_\varepsilon$ таких, что $K_{\varepsilon}(w)\neq0$. Это множество является квазиоднородной гиперповерхностью в $\mathbb{R}^4$ с весами (1). Она инвариантна относительно отражений (2), (3). Лемма 3. Росток гиперповерхности $\Sigma_\varepsilon^{\ast}$ в каждой точке является ростком каустики лагранжева отображения общего положения в $\mathbb{R}^4$ с мультиособенностями типов $A_2$, $A_2A_1^2$, $A_2^2$, $A_3^{\pm}A_1$, $A_4$, $D_4^+$. Доказательство. Сужение лагранжева отображения $f$ на многообразие $A_2^f$ является иммерсией. Росток этой иммерсии в каждой точке $(\overline{t},\overline{q})\in A_2^f$ трансверсален ростку в точке $f(\overline{t},\overline{q})$ многообразия мультиособенностей сужения отображения $f$ на дополнение в $\mathbb{R}^5$ к замыканию достаточно малой окрестности точки $(\overline{t},\overline{q})$. Лемма 3 доказана. Рассмотрим дополнение к гиперповерхности $K_{\varepsilon}(w)=0$ в пространстве $\mathbb{R}^4$. Из лемм 2 и 3 следует, что разбиение $\mathfrak{S}_\varepsilon$ этого множества на связные компоненты (страты) многообразий вида $\varphi_\varepsilon^{-1}(\mathcal{A}^f)$, $\mathcal{A}\in\mathbb{S}^+$, является конечной полуалгебраической стратификацией Уитни. Связные компоненты многообразия $\varphi_\varepsilon^{-1}(\mathcal{A}^f)$ называются стратами типа $\mathcal{A}$. Объединение стратов типа $\mathcal{A}$ стратификации $\mathfrak{S}_\varepsilon$ обозначается через $\mathfrak{S}_\varepsilon(\mathcal{A})$. Лемма 4. Пусть $\mathcal{A}=A_2^kA_1^m$, где $k\neq0$ и $\mathcal{A}_f\neq\varnothing$. Тогда объединение многообразий $\mathfrak{S}_+(\mathcal{A})$ и $\mathfrak{S}_-(\mathcal{A})$ является пространством локально-тривиального расслоения над многообразием $\mathcal{A}_f$, слой которого состоит из $2k$ точек. Доказательство. Пусть $\mathcal{A}\in\mathbb{S}^+$ и $X$ – любая образующая полугруппы $\mathbb{S}^+$, имеющая максимальную коразмерность среди всех образующих, произведением которых является элемент $\mathcal{A}$. Рассмотрим объединение связных компонент многообразия $f^{-1}(\mathcal{A}_f)$, лежащих в замыкании множества точек $(\overline{t},\overline{q})\,{\in}\,\mathbb{R}^{5}$, в которых $f$ имеет особенность типа $X$. Тогда сужение отображения $f$ на это многообразие является гладким расслоением над многообразием $\mathcal{A}_f$, слой которого состоит из $\#(X,\mathcal{A})$ точек, где $\#(X,\mathcal{A})$ – число сомножителей, равных $X$, в разложении элемента $\mathcal{A}$ в произведение образующих полугруппы $\mathbb{S}^+$. Лемма 4 следует теперь из того, что отображения $\varphi_\pm$ являются двулистными накрытиями. Рассмотрим произвольную трехмерную гиперплоскость $a=\mathrm{const}$ (с координатами $b$, $t_2$, $q_5$). Разбиение $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ разности этой гиперплоскости с гиперповерхностью $K_{\varepsilon}(w)=0$ на связные компоненты ее пересечений со стратами стратификации $\mathfrak{S}_\varepsilon$ является конечной полуалгебраической стратификацией Уитни. При этом связные компоненты пересечения страта типа $\mathcal{A}$ с рассматриваемой гиперплоскостью называются стратами типа $\mathcal{A}$ стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$. Заметим, что все стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$, $a\neq0$, диффеоморфны, поскольку гиперповерхность $\Sigma_\varepsilon^{\ast}$ квазиоднородна и инвариантна относительно отражений (2), (3). Следовательно, чтобы изучить стратификацию $\mathfrak{S}_\varepsilon$, необходимо описать стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,0}$ и $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$, $a\neq0$, а также выяснить поведение стратов стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ при $a\to0$. § 4. Описание стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$Зафиксируем произвольное $(\overline{t},\overline{q})\in C_\varepsilon$ и предположим, что существует ненулевой вектор $\overline{v}=(v_1,v_2)\in\mathbb{R}^2$ такой, что
$$
\begin{equation}
f(\overline{t}+\overline{v},\overline{q})=f(\overline{t},\overline{q}).
\end{equation}
\tag{4}
$$
Мы разобьем исследование ненулевых решений системы (5) на три случая. Случай 1. $v_2=0,v_1\neq0$. Лемма 6. Пусть $w=(a,b,t_2,q_5)$, $(\overline{t},\overline{q})=\varphi_\varepsilon(w)$ и $\overline{v}=(v_1,v_2)$ – решение уравнения (4) такое, что $v_2=0$, $v_1\neq0$. Тогда $a\neq0$, $b=0$ и $v_1=-2\varepsilon a^2$. Росток $f$ в точке $(\overline{t}+\overline{v},\overline{q})$ имеет особенность следующего типа: 1) $A_1$, если $q_5\neq0$; 2) $A_2$, если $q_5=0$, $t_2\neq0$; 3) $A_3^{\delta}$, если $q_5=t_2=0$. Доказательство. Из системы (5) следует, что если $v_2=0,v_1\neq0$, то $v_1=-2\varepsilon a^2$ и $b=0$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, t_1+v_1=-\varepsilon a^2\neq0,\qquad S_3(\overline{t}+\overline{v},\overline{q})=-4\varepsilon a^2q_5,\qquad S_4(\overline{t}+\overline{v},\overline{q})=0, \\ H_1(\overline{t}+\overline{v},\overline{q})=24a^4q_5,\qquad H_2(\overline{t}+\overline{v},\overline{q})=144\delta a^4t_2, \\ H_3(\overline{t}+\overline{v},\overline{q})=-12(4\varepsilon\delta a^2+3q_5^2)a^4. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тип особенности $f$ в точке $(\overline{t}+\overline{v},\overline{q})$ определяется при помощи леммы 1. Случай 2. $v_2\neq0$, $a=0$, $b\neq0$. Пусть $v_2\neq0$. Тогда существует $u\in\mathbb{R}$ такое, что $v_1=uv_2$. Поэтому из системы (5) получаем:
$$
\begin{equation}
(3u^2+q_5)v_2+6a(\varepsilon au+b)=0, \qquad 2\delta v_2^2+(q_5u+6\delta t_2)v_2+3\varepsilon b(\varepsilon au+b)=0.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Лемма 7. Пусть $w=(a,b,t_2,q_5)$, $(\overline{t},\overline{q})=\varphi_\varepsilon(w)$ и $\overline{v}=(v_1,v_2)$ – решение уравнения (4) такое, что $v_1=uv_2$, $v_2\neq0$, $u\in\mathbb{R}$. Предположим, что $a=0$, $b\neq0$. Тогда Росток $f$ в точке $(\overline{t}+\overline{v},\overline{q})$ имеет особенность следующего типа: 1) $A_1$, если $u\neq0$, $(q_5u+6\delta t_2)^2>24\varepsilon\delta b^2$; 2) $A_2$, если $u\neq0$, $(q_5u+6\delta t_2)^2=24\varepsilon\delta b^2$; 3) $A_2$, если $u=0$, $3t_2^2>2\varepsilon\delta b^2$; 4) $D_4^+$, если $u=0$, $3t_2^2=2\varepsilon\delta b^2$. Доказательство. Из системы (6) следует, что если $a=0$, $b\neq 0$ и $v_2 \neq 0,$ то
$$
\begin{equation*}
q_5=-3u^2,\qquad 2\delta v_2^2+(q_5u+6\delta t_2)v_2+3\varepsilon b^2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, t_1+v_1=uv_2, \\ S_3(\overline{t}+\overline{v},\overline{q})=-4((q_5u+3\delta t_2)v_2+3\varepsilon b^2),\qquad S_4(\overline{t}+\overline{v},\overline{q})=2q_5v_2, \\ H_1(\overline{t}+\overline{v},\overline{q})=-12uv_2((q_5u+6\delta t_2)v_2+6\varepsilon b^2), \\ H_2(\overline{t}+\overline{v},\overline{q})=4q_5v_2(5(q_5u+6\delta t_2)v_2+24\varepsilon b^2). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается применить лемму 1. Замечание. Значения $v_2$, определяемые формулой (7), отличны от нуля для любого допустимого $u$, поскольку $b\neq0$. Леммы 2 и 7 позволяют подробно описать стратификацию $\mathfrak{S}_{\varepsilon,0}$. Предложение 1. Пусть $w=(a,b,t_2,q_5)$, где $a=0$, $b\neq0$. Тогда при $\varepsilon\,{=}\,-\delta$: 1) отображение $f$ имеет в точке $f(\varphi_\varepsilon(w))$ мультиособенность типа $A_2A_1^4$, если $q_5<0$; $A_2^3$, если $q_5=0$; $A_2$, если $q_5>0$; 2) все страты стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ стягиваемы; количество стратов указано в табл. 1; в первой строке перечислены типы всех имеющихся стратов; во второй строке указано количество стратов соответствующего типа. Таблица 1.Количество стратов стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ при $\varepsilon=-\delta$, $a=0$
В случае $\varepsilon=\delta$ аналитическое описание стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,0}$ выглядит довольно сложным. Поэтому мы дадим ее геометрическое описание. А именно, рассмотрим произвольную двумерную плоскость $a=\mathrm{const}$, $q_5=\mathrm{const}$ (с кординатами $b$, $t_2$). Разбиение $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$ разности этой плоскости с гиперповерхностью $K_{\varepsilon}(w)=0$ на связные компоненты ее пересечений со стратами стратификации $\mathfrak{S}_\varepsilon$ является конечной полуалгебраической стратификацией Уитни. При этом связные компоненты пересечения страта типа $\mathcal{A}$ с рассматриваемой плоскостью называются стратами типа $\mathcal{A}$ стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$. Таблица 2.Количество стратов стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ при $\varepsilon=\delta$, $a=0$
Предложение 2. Пусть $\varepsilon=\delta$, $a=0$, $b\neq0$. Тогда: 1) имеется ровно одно значение $q_5$, при переходе через которое стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$ меняет дифференцируемый тип; это бифуркационное значение равно нулю; оно разбивает ось $q_5$ на два открытых интервала; стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$, отвечающие двум разным значениям $q_5$, диффеоморфны, если и только если оба этих значения одновременно принадлежат одному из интервалов небифуркационных значений; 2) стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$ для значений $q_5\,{\leqslant}\,0$ изображены (с точностью до диффеоморфизма) на рисунках, номера которых указаны в последнем столбце табл. 2; рисунки центрально симметричны; ось $b$ горизонтальна, ось $t_2$ вертикальна; пунктирная линия обозначает сечение гиперповерхности $K_{\varepsilon}(w)\,{=}\,0$, сплошная линия – сечение гиперповерхности $\Sigma_\varepsilon^{\ast}$; на рисунках указаны типы стратов стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$; при трансверсальном пересечении пунктирной линии в точке, не лежащей на сплошной линии, тип двумерного страта не меняется; 3) стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$ при $q_5>0$ состоит из двух двумерных стратов типа $A_2$; они составляют дополнение к прямой $b=0$ на плоскости; 4) в строках табл. 2, соответствующих интервалам небифуркационных значений $q_5$, выписано количество стратов стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$ каждого из типов $A_2^kA_1^m$, где $k\neq0$; 5) заштрихованная строка содержит информацию об изменении числа стратов при переходе значения $q_5$ через нуль в порядке возрастания: “$-n$” означает исчезновение $n$ стратов, каждый из которых принадлежит страту стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$, не пересекающемуся с гиперплоскостью $q_5=0$; запись “$\pm n$” говорит о том, что в момент $q_5=0$ появляются $n$ новых стратов, исчезающих при $q_5>0$; 6) в последней строке таблицы указано количество стратов стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$; все страты этой стратификации стягиваемые. Случай 3. $v_2\neq0$, $a\neq0$. Пусть $w=(a,b,t_2,q_5)$, $a\neq0$ и $\overline{v}=(v_1,v_2)$ – решение уравнения (4) такое, что $v_1=uv_2$, $v_2\neq0$, $u\in\mathbb{R}$. Тогда из системы (6) следует, что
$$
\begin{equation}
v_2=\frac{b(3u^2+q_5)-2\varepsilon a(q_5u+6\delta t_2)}{4\varepsilon \delta a},
\end{equation}
\tag{8}
$$
а число $u$ является вещественным корнем уравнения где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P_{\varepsilon}\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}, \\ (u,w)\mapsto b(3u^2+q_5)^2-2\varepsilon a(q_5u+6\delta t_2)(3u^2+q_5)+24\varepsilon\delta a^2(\varepsilon au+b). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 8. Пусть $a\neq0$ и $K_{\varepsilon}(w)\neq0$. Тогда формула (8) определяет ненулевое значение $v_2$ для любого корня $u$ уравнения (9). Доказательство. Число $u$ является общим корнем уравнений (9) и при $a\neq0$, если и только если $u=-\varepsilon b/a$, а $w$ удовлетворяет уравнению $K_{\varepsilon}(w)\,{=}\,0$. Лемма 8 доказана. Мы будем рассматривать функцию $P_{\varepsilon}$ как семейство многочленов от $u$, зависящих от параметра $w\in\mathbb{R}^4\setminus\{a=0\}$. Бифуркационное множество $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$ нулей этого семейства, т. е. множество точек $w$, для которых уравнение (9) имеет кратный вещественный корень $u$, равно разности замыкания гиперповерхности $\Sigma_\varepsilon^{\ast}$ и гиперплоскости $a=0$. Множество $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$ является квазиоднородной гиперповерхностью в $\mathbb{R}^4$ с весами (1). Она инвариантна относительно отражений (2), (3) и является частью гиперповерхности $\Sigma_\varepsilon$. Ветвью гиперповерхности $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$ в точке $w$, соответствующей кратному вещественному корню $u$ уравнения (9), называется росток бифуркационного множества нулей сужения семейства $P_{\varepsilon}$ на достаточно малую окрестность точки $(u,w)$ в пространстве $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^4$. Замечание. Сумма кратностей всех корней уравнения (9) не превосходит четырех для любого $w\in\mathbb{R}^4\setminus\{a=b=0\}$. Поэтому гиперповерхность $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$ имеет не более двух ветвей в каждой своей точке. Лемма 9. Любой кратный корень $u$ уравнения (9) удовлетворяет системе В частности, $(q_5+3u^2)^2\neq24\varepsilon\delta a^2$, если $a\neq0$. Доказательство. Кратные корни уравнения (9) удовлетворяют условию
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial P_{\varepsilon}}{\partial u}(u,w)=12bu(q_5+3u^2)-2\varepsilon aq_5(q_5+3u^2)-12\varepsilon au(q_5u+6\delta t_2)+24\delta a^3=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует первое уравнение системы (10). Второе уравнение получается из (9) умножением на $3u$ и заменой выражения $6\varepsilon au(q_5u+6\delta t_2)$ на правую часть первого уравнения. Остается заметить, что два равенства
$$
\begin{equation*}
(q_5+3u^2)^2-24\varepsilon\delta a^2=0,\qquad \varepsilon\delta q_5(q_5+3u^2)^2-12a^2(q_5-3u^2)=0
\end{equation*}
\notag
$$
не выполняются одновременно при $a\neq0$. Лемма 9 доказана. Пусть ${\mathcal D}_{\varepsilon}$ – множество точек $z=(a,u,q_5)\in\mathbb{R}^3$, удовлетворяющих неравенству Рассмотрим гладкое отображение
$$
\begin{equation*}
\Gamma_{\varepsilon}\colon {\mathcal D}_{\varepsilon}\to\mathbb{R}^4,\qquad z\mapsto w=(a,b(z),t_2(z),q_5),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \delta b(z)=\frac{a(\varepsilon\delta q_5(q_5+3u^2)^2-12a^2(q_5-3u^2))}{3u((q_5+3u^2)^2-24\varepsilon\delta a^2)}, \\ \delta t_2(z)=\frac{q_5(q_5+3u^2)^2(q_5-3u^2)+12\varepsilon\delta a^2(q_5^2+24q_5u^2+27u^4)-288a^4}{36u((q_5+3u^2)^2-24\varepsilon\delta a^2)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Оно определяет гиперповерхность в пространстве $\mathbb{R}^4\setminus\{a=0\}$. Лемма 10. Если $\varepsilon=-\delta$, то гиперповерхность $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$ совпадает с $\Gamma_{\varepsilon}$. Если же $\varepsilon=\delta$, то $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$ получается из $\Gamma_{\varepsilon}$ добавлением точек $w=(a,b,t_2,q_5)$, удовлетворяющих условиям Каждая из этих точек определяет уравнение (9), имеющее кратный корень $u=0$. Доказательство. Точки гиперповерхности $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$, для которых уравнение (9) имеет ненулевой кратный вещественный корень $u$, определяются системой (10). Из этой системы при $au\neq0$ следуют формулы (11).
Если $a\neq0$ и уравнение (9) имеет кратный корень $u=0$, то $q_5^2=12\varepsilon\delta a^2$ в силу первого уравнения системы (10). Но это возможно лишь при $\varepsilon\delta=1$. Условие $t_2q_5=3ab$ следует из уравнения (9). Лемма 10 доказана. Замечание. Множество точек $w\in\Gamma_{\varepsilon}$, удовлетворяющих условиям (12), задается формулами Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
G_{\varepsilon}\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R},\qquad z=(a,u,q_5)\mapsto q_5(q_5+3u^2)^3-36\varepsilon\delta a^2(q_5^2-9u^4)+288a^4
\end{equation*}
\notag
$$
и кривую в $\mathbb{R}^3$, заданную формулами
$$
\begin{equation}
a^2=\frac{3}{4}(5\sqrt{5}+11\varepsilon\delta)u^4,\quad q_5=-3(2+\varepsilon\delta\sqrt{5})u^2,\qquad u\in\mathbb{R} \setminus\{0\}.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Непосредственная подстановка показывает, что кривая (14) лежит на поверхности в пространстве ${\mathcal D}_{\varepsilon}$, заданной уравнением $G_{\varepsilon}(z)=0$. Замечание. Образ кривой (14) при отображении $\Gamma_{\varepsilon}$ задается формулами где Лемма 11. Пусть $w=(a,b,t_2,q_5)\in\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$, $u$ – кратный вещественный корень уравнения (9), определенного точкой $w$, и $z=(a,u,q_5)$. Тогда справедливы утверждения. I) Кратность корня $u$ равна $2$, если и только если имеет место один из следующих двух случаев:
В каждом из случаев ветвь гиперповерхности $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$ в точке $w$, соответствующая корню $u$, является ростком гладкой гиперповерхности. II) Кратность корня $u$ равна $3$, если и только если имеет место один из следующих двух случаев:
В каждом из случаев росток гиперповерхности $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$ в точке $w$ диффеоморфен ростку прямого произведения полукубической параболы на двумерную плоскость. III) Кратность корня $u$ равна $4$, если и только если точка $z$ лежит на кривой (14); в этом случае росток гиперповерхности $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$ в точке $w$ диффеоморфен ростку прямого произведения ласточкина хвоста на прямую. Доказательство. Рассмотрим росток семейства $P_{\varepsilon}$ в точке $(u,w)$. Пусть корень $u$ имеет кратность $2$, т. е. $\partial^2P_{\varepsilon}(u,w)/\partial u^2\neq0$. Тогда росток $P_{\varepsilon}$ является $V$-версальной деформацией ростка функции одной переменной в невырожденной критической точке с нулевым критическим значением (см. [5]). Действительно, частные производные не обращаются одновременно в нуль при $a\neq0$. Следовательно, ветвь $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$ в точке $w$, соответствующая корню $u$, является ростком гладкой гиперповерхности.
Пусть кратность корня $u$ больше $2$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2P_{\varepsilon}}{\partial u^2}(u,w)=12\bigl(b(q_5+9u^2)-2\varepsilon auq_5-\varepsilon a(q_5u+6\delta t_2)\bigr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $u$ – единственный кратный корень уравнения (9), удовлетворяющий условию
$$
\begin{equation}
\varepsilon a(q_5u+6\delta t_2)=b(q_5+9u^2)-2\varepsilon auq_5.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Система уравнений (10), (15) при $au\neq0$ равносильна системе, составленной из уравнения $G_{\varepsilon}(z)=0$ и формул (11). В случае $a\neq0$, $u=0$ система, составленная из уравнений (9), (15) и первого уравнения системы (10), имеет решения только при $\varepsilon\delta=1$. Эти решения определяются формулами (12) и $b=t_2=0$.
Если кратность корня $u$ равна $3$, т. е. $\partial^3P_{\varepsilon}(u,w)/\partial u^3\neq0$, то росток $P_{\varepsilon}$ является $V$-версальной деформацией ростка функции одной переменной в критической точке кратности $2$ с нулевым критическим значением. Действительно, определители
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \det\begin{pmatrix} \dfrac{\partial P_{\varepsilon}}{\partial b}(u,w)&\dfrac{\partial^2 P_{\varepsilon}}{\partial u\,\partial b}(u,w) \\ \dfrac{\partial P_{\varepsilon}}{\partial t_2}(u,w)&\dfrac{\partial^2 P_{\varepsilon}}{\partial u\,\partial t_2}(u,w) \end{pmatrix}&=72\varepsilon\delta au\bigl((3u^2+q_5)^2-24\varepsilon\delta a^2\bigr), \\ \det\begin{pmatrix} \dfrac{\partial P_{\varepsilon}}{\partial b}(u,w)&\dfrac{\partial^2 P_{\varepsilon}}{\partial u\,\partial b}(u,w) \\ \dfrac{\partial P_{\varepsilon}}{\partial q_5}(u,w)&\dfrac{\partial^2 P_{\varepsilon}}{\partial u\,\partial q_5}(u,w) \end{pmatrix}&=24\delta a^2(2q_5^2+3 q_5 u^2+9u^4-36\delta ut_2) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
обращаются одновременно в нуль только при $u=q_5=0$. Но $u$ и $q_5$ не могут обратиться в нуль одновременно для ростка $P_{\varepsilon}$ при $a\neq0$ в силу первого уравнения системы (10). Следовательно, росток $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$ в точке $w$ диффеоморфен ростку прямого произведения полукубической параболы на двумерную плоскость.
Пусть теперь кратность корня $u$ больше $3$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^3 P_{\varepsilon}}{\partial u^3}(u,w)=36(6bu-\varepsilon aq_5)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из второго уравнения системы (10) и условия $a\neq0$ получаем Это равенство вместе с уравнением $G_{\varepsilon}(z)=0$ образует систему, из которой следуют соотношение и формулы (14).
Заметим, что в данном случае
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^4 P_{\varepsilon}}{\partial u^4}(u,w)=216b\neq0,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. кратность корня $u$ равна $4$. В точках кривой (14)
$$
\begin{equation*}
\det\begin{pmatrix} \dfrac{\partial P_{\varepsilon}}{\partial b}(u,w)&\dfrac{\partial^2 P_{\varepsilon}}{\partial u\,\partial b}(u,w)&\dfrac{\partial^3 P_{\varepsilon}}{\partial u^2\,\partial b}(u,w) \\ \dfrac{\partial P_{\varepsilon}}{\partial t_2}(u,w)&\dfrac{\partial^2 P_{\varepsilon}}{\partial u\,\partial t_2}(u,w)&\dfrac{\partial^3 P_{\varepsilon}}{\partial u^2\,\partial t_2}(u,w) \\ \dfrac{\partial P_{\varepsilon}}{\partial q_5}(u,w)&\dfrac{\partial^2 P_{\varepsilon}}{\partial u\,\partial q_5}(u,w)&\dfrac{\partial^3 P_{\varepsilon}}{\partial u^2\,\partial q_5}(u,w) \end{pmatrix}{=}\,46656\varepsilon(275+123\sqrt{5}\,\varepsilon\delta)u^{10}\,{\neq}\,0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому росток $P_{\varepsilon}$ является $V$-версальной деформацией ростка функции одной переменной в критической точке кратности $3$ с нулевым критическим значением.
Таким образом, росток гиперповерхности $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$ в точке $w$ диффеоморфен ростку прямого произведения ласточкина хвоста на прямую. Лемма 11 доказана. Замечание. При $\varepsilon=\delta$ прямые (12) в гиперплоскости $a=\mathrm{const}\neq0$ являются касательными в точках $q_5=\pm2\sqrt{3}\,|a|$, $b=t_2=0$ к ребру возврата сечения гиперповерхности $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$ этой гиперплоскостью. Из лемм 3 и 11 получаем следующее утверждение. Лемма 12. Пусть $w=(a,b,t_2,q_5)$, $(\overline{t},\overline{q})=\varphi_\varepsilon(w)$, $z=(a,u,q_5)$ и $\overline{v}=(v_1,v_2)$ – решение уравнения (4) такое, что $v_1=uv_2$, $v_2\neq0$, $u\in\mathbb{R}$. Предположим, что $a\neq0$ и $K_{\varepsilon}(w)\neq0$. Тогда росток $f$ в точке $(\overline{t}+\overline{v},\overline{q})$ имеет особенность следующего типа: $A_1$, если $u\neq0$, $w\notin \Gamma_\varepsilon$; $A_1$, если $u=0$, $w$ не удовлетворяет условиям (12); $A_2$, если $u\neq0$, $w\in \Gamma_\varepsilon$, $G_\varepsilon(z)\neq0$; $A_2$, если $u=0$, $w$ удовлетворяет условиям (12), $bt_2\neq0$; $A_3^\pm$, если $u\neq0$, $w\in \Gamma_\varepsilon$, $G_\varepsilon(z)=0$, $z$ не лежит на кривой (14); $A_4$, если $u\neq0$, $w\in \Gamma_\varepsilon$, $z$ лежит на кривой (14). Замечание. Верхний индекс типа особенности в предпоследнем случае определяется при помощи леммы 1. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
Q_{\varepsilon}\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R},\qquad z=(a,u,q_5)\mapsto q_5^3\bigl((q_5+3u^2)^2-24\varepsilon\delta a^2\bigr)+144a^4(q_5-3u^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственная подстановка показывает, что кривая (14) лежит на поверхности в пространстве ${\mathcal D}_{\varepsilon}$, заданной уравнением $Q_{\varepsilon}(z)=0$. Лемма 13. Пусть $w=(a,b,t_2,q_5)\in\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$, $u$ – кратный вещественный корень уравнения (9), определенного точкой $w$, и $z=(a,u,q_5)$. Тогда уравнение (9) имеет второй кратный вещественный корень $u_*\neq u$, если и только если имеет место один из следующих двух случаев: 1) $u\neq0$, $Q_{\varepsilon}(z)=0$ и точка $z$ не лежит на кривой (14); 2) $\varepsilon=\delta$, $u=0$ и точка $w$ лежит на кривой (13). В обоих случаях кратности корней $u,u_*$ равны $2$, а росток гиперповерхности $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$ в точке $w$ является ростком трансверсального пересечения двух гладких гиперповерхностей. Доказательство. Уравнение (9) при $a\neq0$ имеет два различных кратных корня, если и только если $b\neq0$. В этом случае оно равносильно уравнению относительно $U=6bu-\varepsilon aq_5$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X=-6(a^2q_5^2-4b^2q_5+24\varepsilon\delta abt_2), \qquad Y=-8\delta a^2(\varepsilon\delta aq_5^3+36bt_2q_5-72ab^2), \\ Z\,{=}\,{-}3\bigl(a^4q_5^4\,{+}\,8a^2b^2q_5^3\,{-}\,48b(b^3\,{-}\,\varepsilon\delta a^3t_2)q_5^2\,{+}\,192\varepsilon\delta ab^2(3bt_2\,{-}\,a^3)q_5\,{-}\,1152\varepsilon\delta a^2b^4\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнение (16) имеет два различных кратных вещественных корня, если и только если где $U\neq0$. При этом корни уравнения равны $U$ и $-U$.Пусть $u\neq0$ и $X+2U^2=0$. Тогда из формул (11) и условия $a\neq0$ следует $Q_{\varepsilon}(z)=0$. Если $U=0$, то из второго уравнения системы (10) получим Это равенство вместе с уравнением $Q_{\varepsilon}(z)=0$ образует систему, из которой следуют соотношение и формулы (14). Если же уравнение (9) имеет кратный корень $u=0$, то $\varepsilon\delta=1$, а $w$ удовлетворяет условиям (13) в силу леммы 10. При этом уравнение имеет еще и ненулевой кратный вещественный корень.Пусть $u$ и $u_*$ – два различных кратных вещественных корня уравнения (9). Тогда оба этих корня имеют кратность $2$. Соответствующие им ветви гиперповерхности $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$ в точке $w$ являются ростками гладких гиперповерхностей по лемме 11. Докажем, что эти ветви трансверсальны в точке $w$, т. е. определитель
$$
\begin{equation}
\det\begin{pmatrix} \dfrac{\partial P_{\varepsilon}}{\partial b}(u,w)&\dfrac{\partial P_{\varepsilon}}{\partial b}(u_*,w) \\ \dfrac{\partial P_{\varepsilon}}{\partial t_2}(u,w)&\dfrac{\partial P_{\varepsilon}}{\partial t_2}(u_*,w) \end{pmatrix}=36\varepsilon\delta a(u_*^2-u^2)\bigl((q_5+3u_*^2)(q_5+3u^2)-24\varepsilon\delta a^2\bigr)
\end{equation}
\tag{17}
$$
отличен от нуля.
Действительно, Если $q_5=0$, то из $Q_{\varepsilon}(z)=0$ следует $u=0$. Но $u$ и $q_5$ не могут обратиться в нуль одновременно при $a\neq0$ в силу условий (12). Следовательно, $u_*+u\neq0$.Далее, без ограничения общности можно считать, что $u\neq0$. Поэтому из равенства (18) и первой формулы (11) следует, что если то
$$
\begin{equation*}
q_5^3(q_5+3u^2)\bigl((q_5+3u^2)^2-24\varepsilon\delta a^2\bigr)+144a^4(q_5-3u^2)^2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Но такое уравнение не имеет общих решений с уравнением $Q_{\varepsilon}(z)=0$ в $\mathbb{R}^3\,{\setminus}\,\{au\,{=}\,0\}$. Таким образом, все множители в левой части равенства (17) отличны от нуля. Лемма 13 доказана. Рассмотрим функции
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, R_{\varepsilon,1}\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}, \\ z=(a,u,q_5)\mapsto (q_5+3u^2)^2-12\varepsilon\delta a^2, \\ R_{\varepsilon,2}\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}, \\ z=(a,u,q_5)\mapsto 3456a^4u^2+q_5(q_5+3u^2)^4-12\varepsilon\delta a^2(q_5+3u^2)^2(q_5+9u^2). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнение $R_{\varepsilon,2}(z)=0$ задает гладкую поверхность в ${\mathcal D}_{\varepsilon}$. Множество точек $z\in{\mathcal D}_{\varepsilon}$ таких, что $R_{\varepsilon,1}(z)=0$, пусто, если $\varepsilon=-\delta$, и является гладкой поверхностью, если $\varepsilon=\delta$. Эта поверхность не пересекает поверхность $R_{\varepsilon,2}(z)=0$ в ${\mathcal D}_{\varepsilon}$. Лемма 14. Множество точек пересечения гиперповерхностей $K_{\varepsilon}(w)=0$ и $\Gamma_{\varepsilon}$ в пространстве $\mathbb{R}^4\setminus\{a=0\}$ является образом поверхностей $R_{\varepsilon,1}(z)=0$ и $R_{\varepsilon,2}(z)=0$ при отображении $\Gamma_{\varepsilon}$. Точки поверхности $R_{\varepsilon,1}(z)=0$ переходят при этом в точки касания указанных гиперповерхностей. Это утверждение следует из того, что уравнение $K_{\varepsilon}(\Gamma_{\varepsilon}(z))=0$ равносильно в ${\mathcal D}_{\varepsilon}$ уравнению $R_{\varepsilon,1}^2(z)R_{\varepsilon,2}(z)=0$. Лемма 15. Если $\varepsilon=\delta$, то поверхность в ${\mathcal D}_{\varepsilon}$, заданная уравнением $R_{\varepsilon,1}(z)\,{=}\,0$, не пересекает поверхность $G_{\varepsilon}(z)=0$, но пересекает поверхность $Q_{\varepsilon}(z)=0$ по кривым Поверхность в ${\mathcal D}_{\varepsilon}$, заданная уравнением $R_{\varepsilon,2}(z)=0$, не пересекает поверхность $G_{\varepsilon}(z)=0$ ни при каком $\varepsilon$. Она не пересекает поверхность $Q_{\varepsilon}(z)=0$ при $\varepsilon=-\delta$, но пересекает ее при $\varepsilon=\delta$ по кривым Справедливость этого утверждения проверяется непосредственным вычислением. Замечание. Образы кривых (19) и (22) при отображении $\Gamma_{\varepsilon}$ совпадают и задаются формулами Из лемм 12–15 получаем следующее утверждение. Лемма 16. Рассмотрим сечение $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon,a}$ гиперповерхности $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon}$ гиперплоскостью $a=\mathrm{const}\neq 0$. Оно является двумерной поверхностью, параметризованной формулами (11). Плоскость параметров $u$, $q_5$ этой параметризации изображена на рис. 3 и 4. Точечные линии не входят в область определения параметризации. Сплошные толстые линии определяют особые точки поверхности $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon,a}$ (ребра возврата, линии самопересечения и ласточкины хвосты). Точки пунктирных линий переходят в точки пересечения поверхности $\widetilde{\Sigma}_{\varepsilon,a}$ с гиперповерхностью $K_{\varepsilon}(w)=0$. Тонкие горизонтальные прямые соответствуют значениям $q_5$, при которых указанные выше линии пересекаются (касаются, в частности), имеют особые точки, или касаются горизонтальных прямых $q_5=\mathrm{const}$. Все эти значения указаны в заштрихованных ячейках первого столбца табл. 3 и табл. 4. Таблица 3.Количество стратов стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ при $\varepsilon=-\delta$, $a\neq0$
 Рис. 5.Стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$ при $\varepsilon=-\delta$, $a\neq0$, $q_5<0$  Рис. 6.Стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$ при $\varepsilon=-\delta$, $a\neq0$, $q_5=0$ Таблица 4.Количество стратов стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ при $\varepsilon=\delta$, $a\neq0$
 Рис. 14.Стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$ при $\varepsilon=\delta$, $a\neq0$, $q_5=0$ Теперь мы можем подробно описать стратификацию $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ при $a\neq0$. Предложение 3. Пусть $\varepsilon=-\delta$ и $a\neq0$. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) имеется ровно два значения $q_5$, при переходе через которые стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$ меняет дифференцируемый тип; эти бифуркационные значения указаны в заштрихованных ячейках первого столбца табл. 3; бифуркационные значения разбивают ось $q_5$ на три открытых интервала; стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$, отвечающие двум разным значениям $q_5$, диффеоморфны, если и только если оба этих значения одновременно принадлежат одному из интервалов небифуркационных значений; 2) стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$ для разных значений $q_5$ изображены (с точностью до диффеоморфизма) на рисунках, номера которых указаны в последнем столбце табл. 3; эти рисунки обладают всеми свойствами, перечисленными в п. 2 предложения 2; кроме того, точки возврата являются стратами типа $A_3^{\pm}A_2A_1$; при движении по сплошной линии тип одномерного страта не меняется при переходе через точку возврата или через точку, лежащую на пунктирной линии; заштрихованные страты исчезают (вместе с границами) при переходе $q_5$ через бифуркационное значение в порядке возрастания; заштрихованные двумерные страты на рис. 7 имеют тип $A_2A_1^4$; 3) в строках табл. 3, соответствующих интервалам небифуркационных значений $q_5$, выписано количество стратов стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$ каждого из типов $A_2^kA_1^m$, где $k\neq0$; 4) заштрихованные строки содержат информацию об изменении числа стратов при переходе $q_5$ через бифуркационное значение (указанное в первой ячейке) в порядке возрастания; а именно, если $c$ – бифуркационное значение, то “$-n$” (или “$(-n)$”) означает исчезновение $n$ стратов, каждый из которых принадлежит страту стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$, не пересекающемуся (соответственно пересекающемуся) с гиперплоскостью $q_5=c$; запись “$+n$” означает появление $n$ стратов, каждый из которых принадлежит страту стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$, не пересекающемуся с гиперплоскостью $q_5=c$; 5) в последней строке таблицы указано количество стратов стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$; все страты этой стратификации стягиваемые. Предложение 4. Пусть $\varepsilon=\delta$ и $a\neq0$. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) имеется ровно $10$ значений $q_5$, при переходе через которые, стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$ меняет дифференцируемый тип; эти бифуркационные значения указаны в заштрихованных ячейках первого столбца табл. 4; бифуркационные значения разбивают ось $q_5$ на $11$ открытых интервалов; стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$, отвечающие двум разным значениям $q_5$, диффеоморфны, если и только если оба этих значения одновременно принадлежат одному из интервалов небифуркационных значений; 2) стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$ для разных значений $q_5$ изображены (с точностью до диффеоморфизма) на рисунках, номера которых указаны в последнем столбце табл. 4; эти рисунки обладают всеми свойствами, перечисленными в п. $2$ предложений 2 и 3; заштрихованные двумерные страты на рис. 10 и 12 имеют тип $A_2A_1^4$; 3) в строках табл. 4, соответствующих интервалам небифуркационных значений $q_5$, выписано количество стратов стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a,q_5}$ каждого из типов $A_2^kA_1^m$, где $k\neq0$; 4) заштрихованные строки содержат информацию об изменении числа стратов при переходе $q_5$ через бифуркационное значение (указанное в первой ячейке) в порядке возрастания; а именно, если $c$ – бифуркационное значение, то “$-n$” (или “$(-n)$”) означает исчезновение $n$ стратов, каждый из которых принадлежит страту стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$, не пересекающемуся (соответственно пересекающемуся) с гиперплоскостью $q_5=c$; запись “$+n$” (или “$(+n)$”) означает появление $n$ стратов, каждый из которых принадлежит страту стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$, не пересекающемуся (соответственно пересекающемуся) с гиперплоскостью $q_5=c$; 5) в последней строке таблицы указано количество стратов стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$; все страты этой стратификации стягиваемые. Замечание. Каждое число в последней строке табл. 3 и табл. 4 определяется числами, стоящими в том же столбце. А именно, оно равно сумме числа в предпоследней строке с абсолютными величинами всех чисел вида “$-n$” (без скобок!), указанными в других строках таблицы. § 5. Доказательство теоремыДля доказательства теоремы необходимо проанализировать информацию, представленную в предыдущем параграфе. Страты типа $A_2^3$. Пусть $\varepsilon=-\delta$. Тогда при $a=0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $2$ двумерных страта типа $A_2^3$. Они стягиваемые и лежат в гиперплоскости $q_5=0$. При $a\neq0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $2$ одномерных страта типа $A_2^3$. Они стягиваемые и принадлежат разным стратам стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon}$, не пересекающимся с гиперплоскостью $a=0$. Следовательно, многообразие $\mathfrak{S}_\varepsilon(A_2^3)$ состоит из $2+2\cdot2=6$ стягиваемых связных компонент. Пусть $\varepsilon=\delta$. Тогда при $a=0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $4$ двумерных страта типа $A_2^3$. Они стягиваемые и лежат в гиперплоскости $q_5=0$. Кроме того, она имеет $2$ одномерных страта типа $A_2^3$. Они стягиваемые и лежат в полупространстве $q_5<0$. При $a\neq0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $8$ одномерных стратов типа $A_2^3$. Они стягиваемые и принадлежат разным стратам стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon}$, из которых $6$ не пересекают гиперплоскость $a=0$, а $2$ других пересекают эту гиперплоскость по одномерным стратам типа $A_2^3$ стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,0}$. Следовательно, многообразие $\mathfrak{S}_\varepsilon(A_2^3)$ состоит из $4+2+2\cdot6=18$ стягиваемых связных компонент. Таким образом, многообразие $\mathfrak{S}_-(A_2^3)\cup\mathfrak{S}_+(A_2^3)$ имеет $6+18=24$ связных компоненты, причем все они стягиваемые. По лемме 4 многообразие $\Xi_{A_2^3}(E_6^\delta)$ состоит из $24:6=4$ стягиваемых связных компонент. Значит, примыкание лагранжевой моноособенности типа $E_6^\delta$ к мультособенности типа $A_2^3$ является простым, а $J_{A_2^3}(E_6^\delta)=4$. Страты типа $A_2^2$. Пусть $\varepsilon=-\delta$. Тогда при $a=0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ не имеет стратов типа $A_2^2$. При $a\neq0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $2$ двумерных страта типа $A_2^2$. Они стягиваемые и принадлежат разным стратам стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon}$, не пересекающимся с гиперплоскостью $a=0$. Следовательно, многообразие $\mathfrak{S}_\varepsilon(A_2^2)$ состоит из $2\cdot2=4$ стягиваемых связных компонент. Пусть $\varepsilon=\delta$. Тогда при $a=0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $4$ двумерных страта типа $A_2^2$. Они стягиваемые и лежат в полупространстве $q_5<0$. При $a\neq0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $6$ двумерных стратов типа $A_2^2$. Они стягиваемые и принадлежат разным стратам стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon}$, из которых $2$ не пересекают гиперплоскость $a=0$, а $4$ других пересекают эту гиперплоскость по стратам типа $A_2^2$ стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,0}$. Следовательно, многообразие $\mathfrak{S}_\varepsilon(A_2^2)$ состоит из $2\cdot2+4=8$ стягиваемых связных компонент. Таким образом, многообразие $\mathfrak{S}_-(A_2^2)\cup\mathfrak{S}_+(A_2^2)$ имеет $4+8=12$ связных компонент, причем все они стягиваемые. По лемме 4 многообразие $\Xi_{A_2^2}(E_6^\delta)$ состоит из $12:4=3$ стягиваемых связных компонент. Значит, примыкание лагранжевой моноособенности типа $E_6^\delta$ к мультособенности типа $A_2^2$ является простым, а $J_{A_2^2}(E_6^\delta)=3$. Страты типа $A_2$. Пусть $\varepsilon=-\delta$. Тогда при $a=0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $2$ трехмерных страта типа $A_2$. Они стягиваемые и лежат в полупространстве $q_5>0$. При $a\neq0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $2$ трехмерных страта типа $A_2$. Они стягиваемые и принадлежат разным стратам стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon}$, пересекающим гиперплоскость $a=0$ по стратам типа $A_2$ стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,0}$. Следовательно, многообразие $\mathfrak{S}_\varepsilon(A_2)$ состоит из $2$ стягиваемых связных компонент. Пусть $\varepsilon=\delta$. Тогда при $a=0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $2$ трехмерных страта типа $A_2$, причем оба они стягиваемые. При $a\neq0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ также имеет $2$ трехмерных страта типа $A_2$. Оба они стягиваемые и принадлежат разным стратам стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon}$, пересекающим гиперплоскость $a=0$ по стратам типа $A_2$ стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,0}$. Следовательно, многообразие $\mathfrak{S}_\varepsilon(A_2)$ состоит из $2$ стягиваемых связных компонент. Таким образом, многообразие $\mathfrak{S}_-(A_2)\cup\mathfrak{S}_+(A_2)$ имеет $2+2=4$ связных компоненты, причем все они стягиваемые. По лемме 4 многообразие $\Xi_{A_2}(E_6^\delta)$ состоит из $4:2=2$ стягиваемых связных компонент. Значит, примыкание лагранжевой моноособенности типа $E_6^\delta$ к мультособенности типа $A_2$ является простым, а $J_{A_2}(E_6^\delta)=2$. Страты типа $A_2^2A_1^2$. Пусть $\varepsilon=-\delta$. Тогда при $a=0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ не имеет стратов типа $A_2^2A_1^2$. При $a\neq0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $8$ двумерных стратов типа $A_2^2A_1^2$. Они стягиваемые и принадлежат разным стратам стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon}$, не пересекающимся с гиперплоскостью $a=0$. Следовательно, многообразие $\mathfrak{S}_\varepsilon(A_2^2A_1^2)$ состоит из $2\cdot8=16$ стягиваемых связных компонент. Пусть $\varepsilon=\delta$. Тогда при $a=0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $8$ двумерных стратов типа $A_2^2A_1^2$. Они стягиваемые и лежат в полупространстве $q_5<0$. При $a\neq0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $28$ двумерных стратов типа $A_2^2A_1^2$. Они стягиваемые и принадлежат разным стратам стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon}$, из которых $8$ лежат в множестве $-\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)|a|<q_5<2\sqrt{6}\,|a|$, $12$ пересекаются с областью $q_5<-\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)|a|$, но не пересекают гиперплоскость $a=0$, а $8$ пересекают эту гиперплоскость по стратам типа $A_2^2A_1^2$ стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,0}$. Следовательно, многообразие $\mathfrak{S}_\varepsilon(A_2^2A_1^2)$ состоит из $2\cdot8+2\cdot12+8=48$ стягиваемых связных компонент. Таким образом, многообразие $\mathfrak{S}_-(A_2^2A_1^2)\cup\mathfrak{S}_+(A_2^2A_1^2)$ имеет $16+48=64$ связных компоненты, причем все они стягиваемые. По лемме 4 многообразие $\Xi_{A_2^2A_1^2}(E_6^\delta)$ состоит из $64:4=16$ стягиваемых связных компонент. Значит, примыкание лагранжевой моноособенности типа $E_6^\delta$ к мультособенности типа $A_2^2A_1^2$ является простым, а $J_{A_2^2A_1^2}(E_6^\delta)=16$. Страты типа $A_2A_1^4$. Пусть $\varepsilon=-\delta$. Тогда при $a=0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $2$ трехмерных страта типа $A_2A_1^4$. Они стягиваемые и лежат в полупространстве $q_5<0$. При $a\neq0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $4$ трехмерных страта типа $A_2A_1^4$. Они стягиваемые и принадлежат разным стратам стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon}$, из которых $2$ не пересекают гиперплоскость $a=0$, а $2$ других пересекают эту гиперплоскость по стратам типа $A_2A_1^4$ стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,0}$. Следовательно, многообразие $\mathfrak{S}_\varepsilon(A_2A_1^4)$ состоит из $2\cdot2+2=6$ стягиваемых связных компонент. Пусть $\varepsilon=\delta$. Тогда при $a=0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $6$ трехмерных стратов типа $A_2A_1^4$. Они стягиваемые и лежат в полупространстве $q_5<0$. При $a\neq0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $12$ трехмерных стратов типа $A_2A_1^4$. Они стягиваемые и принадлежат разным стратам стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon}$, из которых $6$ не пересекают гиперплоскость $a=0$, а $6$ других пересекают эту гиперплоскость по стратам типа $A_2A_1^4$ стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,0}$. Следовательно, многообразие $\mathfrak{S}_\varepsilon(A_2A_1^4)$ состоит из $2\cdot6+6=18$ стягиваемых связных компонент. Таким образом, многообразие $\mathfrak{S}_-(A_2A_1^4)\cup\mathfrak{S}_+(A_2A_1^4)$ имеет $6+18=24$ связных компоненты, причем все они стягиваемые. По лемме 4 многообразие $\Xi_{A_2A_1^4}(E_6^\delta)$ состоит из $24:2=12$ стягиваемых связных компонент. Значит, примыкание лагранжевой моноособенности типа $E_6^\delta$ к мультособенности типа $A_2A_1^4$ является простым, а $J_{A_2A_1^4}(E_6^\delta)=12$. Страты типа $A_2A_1^2$. Пусть $\varepsilon=-\delta$. Тогда при $a=0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ не имеет стратов типа $A_2A_1^2$. При $a\neq0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $2$ трехмерных страта типа $A_2A_1^2$. Они стягиваемые и принадлежат разным стратам стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon}$, которые не пересекают гиперплоскость $a=0$. Следовательно, многообразие $\mathfrak{S}_\varepsilon(A_2A_1^2)$ состоит из $2\cdot2=4$ стягиваемых связных компонент. Пусть $\varepsilon=\delta$. Тогда при $a=0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $4$ трехмерных страта типа $A_2A_1^2$. Они стягиваемые и лежат в полупространстве $q_5<0$. При $a\neq0$ стратификация $\mathfrak{S}_{\varepsilon,a}$ имеет $6$ трехмерных стратов типа $A_2A_1^2$. Они стягиваемые и принадлежат разным стратам стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon}$, из которых $2$ не пересекают гиперплоскость $a=0$, а $4$ других пересекают эту гиперплоскость по стратам типа $A_2A_1^2$ стратификации $\mathfrak{S}_{\varepsilon,0}$. Следовательно, многообразие $\mathfrak{S}_\varepsilon(A_2A_1^2)$ состоит из $2\cdot2+4=8$ стягиваемых связных компонент. Таким образом, многообразие $\mathfrak{S}_-(A_2A_1^2)\cup\mathfrak{S}_+(A_2A_1^2)$ имеет $4+8=12$ связных компонент, причем все они стягиваемые. По лемме 4 многообразие $\Xi_{A_2A_1^2}(E_6^\delta)$ состоит из $12:2=6$ стягиваемых связных компонент. Значит, примыкание лагранжевой моноособенности типа $E_6^\delta$ к мультособенности типа $A_2A_1^2$ является простым, а $J_{A_2A_1^2}(E_6^\delta)=6$. Теорема доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sed21} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|