Абсолютная непрерывность и сингулярность локально абсолютно непрерывных вероятностных распределений. I

Пусть $(\Omega,\mathscr F)$ – измеримое пространство, снабженное неубывающим семейством $\sigma$-алгебр ($\mathscr F_t)_{t\geqslant0}$ с $\mathscr F=\bigvee_{t\geqslant0}\mathscr F_t$, $\widetilde{\mathsf P}$ и $\mathsf P$ – две локально абсолютно непрерывные вероятностные меры на $(\Omega,\mathscr F)$, т.е. такие, что $\widetilde{\mathsf P}_t\ll\mathsf P_t$ при $t\geqslant0$ ($\widetilde{\mathsf P}_t$ и $\mathsf P_t$ – сужения мер $\widetilde{\mathsf P}$ и $\mathsf P$ на $\mathscr F_t$). Спрашивается, когда $\widetilde{\mathsf P}_t\ll\mathsf P_t$ или $\widetilde{\mathsf P}\perp\mathsf P$. Ответ на этот вопрос дается в терминах множества сходимости некоторого возрастающего предсказуемого процесса, который строится по мартингалу $\mathfrak Z=(\mathfrak Z_t,\mathscr F_t,\mathsf P)$ с $\mathfrak Z_t=d\widetilde{\mathsf P}_t/d\mathsf P_t$. Фактически рассматривается несколько более общая ситуация $\theta$-локальной абсолютной непрерывности мер. Доказательство основной теоремы опирается на ряд результатов, представляющих самостоятельный интерес.
В § 2 развивается теория интегрирования по случайным мерам, § 4 посвящен множествам сходимости семимартингалов, § 5 – преобразованию предсказуемых характеристик семимартингала при локально абсолютно непрерывной замене меры. В § 7 даны достаточные условия равномерной интегрируемости неотрицательных локальных мартингалов.
Библиография: 24 названия.