Характеристика проекций моногенных полугрупп частичных преобразований, I

Пусть $A_k$, $B_k$ — подмножества из некоторого универсума при $k\in\overline{0,n}$, и $A_0=B_0=A_1\cup B_1$; $A_{kl}=A_kB_l=A_k\cap B_l$; $a_{kl}=(A_k\setminus A_{k+1})(B_l\setminus B_{l+1})$ при $k\in\overline{0,n}$, $l\in\overline{0,n-1}$ и $B_n=\varnothing$; $b_{k-1\ l+1}=a_{k-1\ l+1}$ при тех же индексах, но с $A_n=\varnothing$; $\overline C$ — кардинал подмножества $C$. Для моногенной полугруппы частичных преобразований $P$ первой проекцией $(\operatorname{pr}_1P)$ называется система подмножеств $\{\operatorname{pr}_1f\mid f\in P\}$ (аналогично определяется вторая проекция).
Теорема 1. {\em Для того чтобы две системы подмножеств $(A_k)$ и $(B_k)$ с $k\in\overline{1,n}$ вмещались как левые сегменты в первую и вторую проекции некоторой моногенной полугруппы частичных преобразований, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
$
\begin{array}{ll} 1.&A_k\supset A_{k+1};\\ 2.&B_k\supset B_{k+1}\text{ при }k\in\overline{0,n+1};\\ 3.&\overline a_{kl}\ge\overline b_{k-1\ l+1};\\ 4.&A_{k-1\ l+1}=A_{k\ l+1}-A_{kl}=A_{k+1\ l}\text{ при }k\in\overline{1,n}. \end{array}
$}
В других теоремах найдены характеристики левых сегментов из $\operatorname{pr}_1P$, $\operatorname{pr}_2P$ в отдельности. Кроме того, описаны образующие $f$ рассматриваемых полугрупп с заданными левыми сегментами, а также указан кардинал наименьшего универсума, на котором реализуется моногенная полугруппа типа $(k,n)$.
Во второй части работы, используя характеристику левых сегментов $\operatorname{pr}_1P$ и $\operatorname{pr}_2P$, полученную в первой части работы, находим совместную и раздельную характеристики самих проекций моногенных полугрупп частичных преобразований любого типа.