Аннотация:
В работе рассматривается шкала пространств Соболева Hm(G) векторных полей в ограниченной области G из R3 с гладкой границей Γ.
Операторы градиент дивергенции и ротор ротора (∇div и rot2) и их степени являются аналогами скалярного оператора Δm в R3 и порождают пространства A2k(G) и Wm(G) потенциальных и вихревых полей, где числа k, m>0 — целые.
Доказано, что A2k(G) и Wm(G) являются проекциями пространств Соболева H2k(G) и Hm(G) на подпространства A и B в L2(G). Их прямые суммы A2k(G)⊕Wm(G) образуют сеть пространств, элементами которой являются классы C(2k,m)≡A2k⊕Wm.
Рассмотрены пространства A−m и W−m, которые соответствуют пространствам
Am и Wm.
Также рассмотрены прямые суммы Ak(G)⊕Wm(G) для любых целых чисел k и m.
В пространстве L2(G) строится ортонормированный базис, состоящий из базисов ортогональных подпространств A и B. Его элементы — собственные поля операторов rot и ∇div. Доказательство их гладкости — важный этап разработанной теории.
В сети {C(k,m)}k,m исследованы модельные краевые задачи для операторов rot+λI, ∇div+λI, их суммы, а также для оператора Стокса. Получены условия разрешимости для рассматриваемых модельных задач.
Образец цитирования:
Р. С. Сакс, “Сеть пространств Соболева и краевые задачи для операторов вихрь и градиент дивергенции”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 27:1 (2023), 23–49