И. А. Тайманов, “Геометрия и квазиклассическое квантование магнитных монополей”, ТМФ, 218:1 (2024), 149–167; Theoret. and Math. Phys., 218:1 (2024), 129

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js

Теоретическая и математическая физика

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2024, том 218, номер 1, страницы 149–167
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10559 (Mi tmf10559)

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Геометрия и квазиклассическое квантование магнитных монополей

И. А. Тайманов

Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, Новосибирск, Россия

PDF полного текста (552 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10559

Аннотация: Излагаются основные физические и математические идеи (П. Кюри, Дарбу, Пуанкаре, Дирак), приведшие к понятию магнитного заряда, общая конструкция магнитных лапласианов для магнитных монополей на римановых многообразиях и результаты Ю. А. Кордюкова и автора по квазиклассическому приближению для собственных сечений этих операторов.

Ключевые слова: квазиклассическое приближение, магнитный лапласиан, магнитный монополь.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации	FWNF-2022-0004
Эта работа была выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, тема FWNF-2022-0004.

Поступило в редакцию: 05.06.2023
После доработки: 05.06.2023

Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 1, Pages 129–144
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924010094

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

1. Введение

Данная статья посвящена схеме квазиклассического квантования магнитных монополей, предложенной Кордюковым и автором в работе [1], примыкающей к статьям этих же авторов по формулам следа для магнитных лапласианов [2], [3]. Она является расширенным изложением доклада автора на международной конференции по математической физике, посвященной столетию со дня рождения В. С. Владимирова, в январе 2023 г. в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН.

Мы подробно останавливаемся на предыстории вопроса.

В разделе 2 обсуждаются работы П. Кюри, Дарбу и Пуанкаре, в которых с различных точек зрения рассматривались магнитные монополи в классической электродинамике. В разделе 3 излагается вывод условия квантования электрических зарядов, ради которого Дирак и ввел магнитные монополи в квантовой механике. Эта идея оказалась плодотворной, современное состояние ее развития изложено в монографии [4]. Общая конструкция магнитных лапласианов представлена в разделе 4.

В разделах 5, 6 мы излагаем на физическом уровне конструкцию квазиклассического квантования магнитного лапласиана. Она основана на расширении многомерного метода Вентцеля–Крамерса–Бриллюэна (ВКБ) (канонического оператора Маслова) на случай операторов, действующих на сечениях нетривиальных расслоений. Такое изложение делает конструкцию прозрачной, а за строгими математическими деталями мы отсылаем к работе [1].

2. Кюри, Пуанкаре и магнитный монополь

По-видимому, впервые с физической точки зрения магнитные монополи обсуждались Кюри. В краткой заметке [5] он привел некоторые физические следствия их существования. В 1894 г. Кюри пытался использовать эти выводы в своих экспериментах по обнаружению монополей, которые не привели к успеху. Тем не менее он указал, что¹ “с точки зрения энергетики, с точки зрения симметрии, можно представить себе без абсурда токи магнетизма и свободные магнитные заряды. Конечно, было бы опрометчиво делать из этого выводы, что эти явления действительно существуют. Но если бы это было так, они должны удовлетворять указанным нами условиям”.

В 1896 г. Пуанкаре предпринял попытку найти объяснение результатам экспериментов Биркеланда, норвежского физика и его бывшего ученика, с трубками Крукса (электрическими разрядными трубками). Обнаруженные в них катодные лучи были тогда предметом интенсивного исследования. Пуанкаре предложил математическую модель обнаруженного Биркеландом поведения катодных лучей [6]. Он начал со следующего предположения²: “напишем уравнения катодного луча, уподобляя его быстро движущейся материальной электрически заряженной частице”, и далее³: “Предположим, что есть одиночный магнитный полюс, который мы примем за начало координат”.

После этого Пуанкаре выписал уравнения движения $\mathbf r(t)=(x(t)$ , $y(t)$ , $z(t))$ заряженной частицы в магнитном поле с особенностью в начале координат:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \frac{d^2x}{dt^2}=\frac{\lambda}{r^3}\biggl(y\,\frac{dz}{dt}-z\,\frac{dy}{dt}\biggr), \\ \frac{d^2y}{dt^2}=\frac{\lambda}{r^3}\biggl(z\,\frac{dx}{dt}-x\,\frac{dz}{dt}\biggr), \\ \frac{d^2z}{dt^2}=\frac{\lambda}{r^3}\biggl(x\,\frac{dy}{dt}-y\,\frac{dx}{dt}\biggr), \end{aligned} \end{equation} \tag{1}$

где

$r=|\mathbf r|$ , а

$\lambda$ – постоянная, зависящая от интенсивности магнитного поля и “природы катодных лучей”⁴.

Обозначая через $\dot{\mathbf r}$ и $\ddot{\mathbf r}$ скорость и ускорение частицы, перепишем эти уравнения в виде

$\begin{equation*} \ddot{\mathbf r}=\frac{\lambda}{r^3}[\mathbf r\times\dot{\mathbf r}]. \end{equation*} \notag$

Из уравнений (1) Пуанкаре выводит закон сохранения энергии

$\begin{equation*} |\dot{\mathbf r}|^2=C=\mathrm{const} \end{equation*} \notag$

и важное соотношение

$\begin{equation*} r^2=Ct^2+2Bt+A, \end{equation*} \notag$

где постоянные

$A$ ,

$B$ и

$C$ зависят от начальных условий. Действительно,

$\begin{equation*} \frac{d^2r^2}{dt^2}=\frac{d^2\langle\mathbf r,\mathbf r\rangle}{dt^2} =2\langle\dot{\mathbf r},\dot{\mathbf r}\rangle +2\langle\mathbf r,\ddot{\mathbf r}\rangle=2|\dot{\mathbf r}|^2=2C, \end{equation*} \notag$

где через

$\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle$ мы обозначаем скалярное (евклидово или эрмитово) произведение векторов. Прямым следствием основных уравнений также является то, что вектор

$[\mathbf r\times\dot{\mathbf r}]+(\lambda/r)\mathbf r$ тоже постоянный, и мы получаем еще три закона сохранения:

$\begin{equation} [\mathbf r\times \dot{\mathbf r}]+\frac{\lambda}{r}\mathbf r =v=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c\end{pmatrix}, \end{equation} \tag{2}$

где вектор

$v$ является постоянным вдоль траекторий. Отсюда немедленно следует, что

$\begin{equation} \langle v,\mathbf r\rangle=ax+by+cz=\lambda r, \end{equation} \tag{3}$

т. е. частица движется по конусу вращения с вершиной в начале координат. Так как вектор ускорения

$\ddot{\mathbf r}$ в каждой точке конуса, кроме его вершины, перпендикулярен вектору скорости

$\dot{\mathbf r}$ и образующей

$\mathbf r$ этого конуса, то траектория является геодезической.

Таким образом, траектории движения частицы массы $m$ и с зарядом $q$ в магнитном поле (монополя)

$\begin{equation*} \mathbf H=\frac{H_0}{r^3}\mathbf r,\qquad H_0=-\frac{mc\lambda}{q}, \end{equation*} \notag$

где

$c$ – скорость света в вакууме, являются геодезическими на конусах (3), где векторы

$v$ определяются начальными данными согласно (2).

Заметим, что это объяснение Пуанкаре зависит от предположения Крукcа о том, что катодные линии являются потоками массивных заряженных частиц⁵. Более того, он подчеркивает, что⁶ “теория неполна, поскольку мы предполагаем существование одиночного магнитного заряда”.

Уравнения (1), как оказалось, уже рассматривались в 1878 г. Дарбу в краткой заметке [7], не предполагавшей существование магнитного монополя, но тоже связанной с теорией магнетизма. Дарбу решил задачу о нахождении равновесия гибкого и нерастяжимого невесомого провода, проводящего ток и находящегося под действием полюса магнита⁷. Дарбу свел ее к уравнениям (1) и описал возникающие кривые как геодезические на конусах вращения, совершенно аналогично тому, как это позднее сделал Пуанкаре (он видимо не был знаком с работой Дарбу и не ссылался на нее).

Через год после работы Пуанкаре, изучая катодные лучи, Томсон показал, что они являются потоками заряженных частиц, которые были названы электронами [8].

3. Монополь Дирака

В работе Дирака [9], занимающей чуть более 12 страниц, первая страница посвящена развитию математических основ современной физики и приведенные на ней рассуждения до сих пор не потеряли актуальность, вторая – обсуждению существования странных частиц, которые имеют ту же массу, что и электрон, но отрицательную энергию. Было отмечено, что их можно трактовать как дырки в ненаблюдаемом полностью заполненном распределении состояний с отрицательной энергией. Как отмечает Дирак⁸, “Дырка, если бы нашлась хоть одна, была бы частицей нового сорта, не известной экспериментальной физике, имеющей такую же массу, что и электрон, и противоположный заряд. Можно назвать такую частицу антиэлектроном. Не следует надеяться обнаружить какие-нибудь из них в природе из-за большой скорости их рекомбинации с электронами, и все же если бы они были получены экспериментально, то в высоком вакууме были бы вполне стабильными и поддающимися наблюдению ”.

Существование таких частиц вытекало из знаменитого уравнения Дирака, выведенного в 1928 г. Через год после выхода статьи [9], в 1932 г. эти частицы были открыты Андерсоном и известны сейчас как позитроны.

Далее Дирак переходит к основной цели статьи, состоящей в том, чтобы⁹ “выдвинуть новую идею, которая во многих отношениях сравнима с идеей об отрицательных энергиях. Она будет, по существу, относиться не к электронам и протонам, а к причине существования наименьшего электрического заряда”.

Пусть волновая функция $\psi(x,y,z,t)$ задает движение частицы. Представим ее в виде

$\begin{equation*} \psi=Ae^{i\gamma}, \end{equation*} \notag$

где

$A$ и

$\gamma$ – вещественнозначные функции. Если предположить, что функция

$\psi$ нормированная, она определяет состояние с точностью до произвольного постоянного множителя, равного по модулю нулю. Значит, можно предположить, что

$\gamma$ не имеет определенного значения в точке и для двух точек разность фаз определена по отношению к кривой, их соединяющей.

Для пары волновых функций $\varphi$ и $\psi$ модуль величины

$\begin{equation*} \langle\varphi|\psi\rangle=\int\bar{\varphi}\psi\,dx\,dy\,dz \end{equation*} \notag$

имеет физический смысл и, как отмечает Дирак, мы должны предположить, что¹⁰ “изменение фазы волновой функции при обходе любой замкнутой кривой должно быть одинаковым для всех волновых функций”.

Достичь выполнения этих требований и принципа суперпозиции можно следующим образом. Пусть

$\begin{equation*} \psi=\psi_1e^{i\beta}, \end{equation*} \notag$

где

$\psi_1$ – волновая функция с фазой, определенной в каждой точке, а неопределенность фазы

$\psi$ выражается в множителе

$e^{i\beta}$ . Предположим, что фаза не определена в каждой точке, но ее производные

$\begin{equation*} \varkappa_x=\frac{\partial\beta}{\partial x},\qquad \varkappa_y=\frac{\partial\beta}{\partial y},\qquad \varkappa_z=\frac{\partial\beta}{\partial z},\qquad \varkappa_t=\frac{\partial\beta}{\partial t} \end{equation*} \notag$

определены, но при этом не обязаны удовлетворять условиям интегрируемости

$\begin{equation*} \frac{\partial\varkappa_x}{\partial y}=\frac{\partial\varkappa_y}{\partial x},\qquad \dots\;. \end{equation*} \notag$

Если

$\psi$ удовлетворяет какому-то уравнению, содержащему операторы импульса и энергии

$\mathbf p$ и

$W$ , то

$\psi_1$ удовлетворяет тому же уравнению, в котором

$\mathbf p$ и

$W$ заменены на

$\mathbf p+ h\varkappa$ и

$W-h\varkappa_0$ . Таким образом, переход от

$\psi$ к

$\psi_1$ сводится к включению электромагнитного поля с потенциалом

$\begin{equation*} A=\frac{\hbar c}{e}\varkappa, \end{equation*} \notag$

где

$h$ – постоянная Планка,

$c$ – скорость света в вакууме,

$e$ – элементарный заряд (положительный заряд, равный по модулю заряду электрона). При этом Дирак отмечает, что он рассматривает частицу с зарядом

$q=-e$ . Тем самым общая формула для

$A$ принимает вид

$\begin{equation} A=-\frac{\hbar c}{q}\varkappa, \end{equation} \tag{4}$

где

$q$ – заряд частицы, для которой

$\psi$ является волновой функцией.

Дирак замечает, что связь между неинтегрируемостью фазы и электромагнитным полем является проявлением вейлевского принципа калибровочной инвариантности. Однако есть два дополнительных обстоятельства:

1) фаза всегда определена с точностью до числа, кратного $2\pi$ ;

2) изменения фаз различных волновых функций вдоль замкнутых кривых могут быть различными и различаться на величины, кратные $2\pi$ .

Если первое утверждение очевидно, то остановимся на проявлениях второго утверждения. Изменение фазы вдоль замкнутой кривой $\tau$ в ( $x,y,z$ )-пространстве согласно теореме Стокса равно

$\begin{equation*} \int_\tau(\varkappa_x\,dx+\varkappa_y\,dy+\varkappa_z\,dz) =\int_\Gamma(\operatorname{curl}\varkappa,dS), \end{equation*} \notag$

где

$dS$ – элемент площади поверхности

$\Gamma$ , ограничивающей

$\tau$ . Если в некоторой точке

$P$ мы имеем

$\psi(P)\ne 0$ , то при стягивании замкнутых кривых, обходящих эту точку, изменение фазы стремится к нулю. Если же

$\psi(P)=0$ , то мы можем только утверждать, что

$\begin{equation*} \frac{e}{\hbar c}\int_\Gamma(\mathbf H,dS)=2\pi n_\tau, \end{equation*} \notag$

где

$\mathbf H=(\hbar c/e)\operatorname{curl}\varkappa$ – магнитное поле,

$\tau=\partial\Gamma$ .

Если мы имеем замкнутую поверхность $\Gamma$ такую, что она разбивается на малые области, содержащие по одному нулю функции $\psi$ , мы, складывая предыдущее соотношение по всем таким областям, получим

$\begin{equation} \frac{e}{\hbar c}\int_\Gamma(\mathbf H,dS)=2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z, \end{equation} \tag{5}$

т. е. поток магнитного поля такой системы квантуется и кратен

$2\pi$ . При

$N\ne 0$ область, ограниченная поверхностью

$\Gamma$ , должна содержать магнитные заряды.

Рассмотрим простейший случай одноточечного магнитного заряда, находящегося в начале координат, и предположим, что электрическое поле равно нулю. Тогда магнитное поле имеет вид

$\begin{equation} \mathbf H=g_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }\frac{\mathbf r}{r^3}, \end{equation} \tag{6}$

где

$\mathbf r$ – радиус-вектор точки,

$r=|\mathbf r|$ . Рассмотрим сферические координаты

$r$ ,

$\varphi$ ,

$\theta$ . В качестве вектор-потенциала этого магнитного поля можно взять

$\begin{equation*} \varkappa_\theta=\varkappa_r=0,\qquad \varkappa_\varphi=\frac{1}{2r}\operatorname{tg}\frac{\theta}{2}. \end{equation*} \notag$

В этом случае с помощью разделения переменных представим

$\psi_1$ в виде

$\begin{equation*} \psi_1=f(r)S(\theta,\varphi). \end{equation*} \notag$

Волновое уравнение

$\begin{equation*} -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi=W\psi \end{equation*} \notag$

для

$\psi=\psi_1e^{i\beta}$ распадается в следующую систему:

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \biggl\{\frac{d^2}{dr^2}+\frac{2}{r}\,\frac{d}{dr}-\frac{E}{r^2}\biggr\} =-\frac{2mW}{\hbar^2}f, \\ -\biggl\{\frac{1}{\sin\theta}\,\frac{\partial}{\partial\theta} \sin\theta\,\frac{\partial}{\partial\theta} +\frac{1}{\sin^2\theta}\,\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} +\frac{i}{2}\sec^2\frac{\theta}{2}\,\frac{\partial}{\partial\varphi} -\frac{1}{4}\operatorname{tg}^2\frac{\theta}{2}\biggr\}S=ES. \end{gathered} \end{equation} \tag{7}$

Второе из этих уравнений мы перепишем как

$\begin{equation*} \Delta^LS=ES \end{equation*} \notag$

и назовем оператор

$\Delta^L$ магнитным лапласианом на двумерной единичной сфере. Общее определение этого оператора и смысл символа

$L$ мы изложим в разделе 4.

В данном случае общее решение волнового уравнения было получено Таммом¹¹ [10]. Он показал, что собственные значения $E_N$ , $N=0,1,\dots$ , имеют вид

$\begin{equation*} E_N=N^2+2N+\frac{1}{2} \end{equation*} \notag$

с кратностью

$2N+2$ . Базис собственных “функций” при наименьшем собственном значении

$E=1/2$ задан “функциями”

$\begin{equation} S_a=\cos\frac{\theta}{2},\qquad S_b=\sin\frac{\theta}{2}\,e^{-i\varphi}. \end{equation} \tag{8}$

Причем

$S_a$ непрерывна всюду, а

$S_b$ имеет особенность при

$\theta=\pi$ и ее фаза изменяется при обходе этой точки по малому контуру на

$2\pi$ .

Базис (8) был получен Таммом [10]. В работе Дирака [9] он был воспроизведен с опечаткой: был неверный знак при $\varphi$ в определении $S_b$ . Приведенные ниже формулы (15) показывают, что $S_a$ и $S_b$ как сечения линейного расслоения с $c_1=-1$ не имеют особенностей.

Однако основной целью Дирака был важный физический вывод. Из условия квантования (5) следует, что

$\begin{equation} eg_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }=\frac{\hbar c}{2}n,\qquad n\in\mathbb Z. \end{equation} \tag{9}$

В § 1 в [9]

$e$ обозначает “наименьший” электрический заряд, но в § 3 в [9] в качестве

$e$ взят заряд произвольной частицы. Поэтому (9) есть условие квантования зарядов электрических частиц. Как отметил Дирак¹²^[x]¹² “

$\dots$ if there exists any monopole at all in the universe, all electric charges would have to be such that

$e$ times this monopole strength is equal to

$\frac{1}{2}n\hbar c$ ”. [11], “

$\dots$ если существует всего лишь один монополь во всей Вселенной, то все электрические заряды вынуждены быть такими, чтобы величина

$e$ , умноженная на заряд этого монополя, была равна

$\frac{1}{2}n\hbar c$ ”.

Монополь Дирака до сих пор не обнаружен. Оценим его физические характеристики.

Поскольку в системе СГС постоянная тонкой структуры имеет вид

$\begin{equation*} \alpha=\frac{e^2}{\hbar c}\approx\frac{1}{137}, \end{equation*} \notag$

мы перепишем при

$n=1$ условие квантования (5) в виде

$\begin{equation*} g_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} } \approx \frac{137}{2} e. \end{equation*} \notag$

Мы не можем оценить массу монополя (как и электрона) из каких-либо теоретических предположений. Но если, например, предположить, что классические радиусы электрона и магнитного монополя совпадают:

$\begin{equation*} r_e=r_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} r_e=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_ec^2},\qquad r_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }=\frac{g_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }^2}{4\pi\mu_0 m_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} } c^2} \end{equation*} \notag$

$\varepsilon_0$ и

$\mu_0$ – электрическая и магнитная постоянные, то

$\begin{equation*} m_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }=\frac{g_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }^2}{e^2}m_e=\frac{1}{(2\alpha)^2}m_e \approx 4692m_e\approx 2.4\text{ ГэВ}. \end{equation*} \notag$

4. Магнитный лапласиан

Мы привели выше рассуждения Дирака, чтобы показать, как он подошел с физической точки зрения к такому важному понятию, как $U(1)$ -расслоение, и к условию квантования классов Черна таких расслоений. Объяснение работы Дирака с помощью этих топологических понятий было дано в работах [12], [13].

Мы рассмотрим более общую ситуацию, когда система определена на $d$ -мерном дифференцируемом многообразии $M$ . Все объекты на этом многообразии – формы, связности, метрики и т. д. – мы предполагаем дифференцируемыми необходимое число раз.

Под магнитным полем понимается замкнутая $2$ -форма $F^{(0)}$ :

$\begin{equation*} F^{(0)}=\sum F^{(0)}_{jk}\,dx^j\wedge dx^k,\qquad dF^{(0)}=0. \end{equation*} \notag$

Вектор-потенциал этой формы определяется как

$\begin{equation} A^{(0)}=(A^{(0)}_k),\qquad \frac{\partial A^{(0)}_k}{\partial x^j} -\frac{\partial A^{(0)}_j}{\partial x^k}=F^{(0)}_{jk}. \end{equation} \tag{10}$

Мы предполагаем, что

$c=\hbar=1$ , как принято в естественной системе единиц.

Если форма $F^{(0)}$ некогомологична нулю, то вектор-потенциал определяется только локально, в областях, на которые $F^{(0)}$ ограничивается до точной формы.

Пусть на $M$ задана риманова метрика $g_{jk}\,dx^j\,dx^k$ (здесь и далее мы подразумеваем суммирование по верхним и нижним повторяющимся индексам), с помощью которой определяется гамильтониан (кинетическая энергия) движения частиц на $M$ :

$\begin{equation*} H=\frac{m}{2}g^{jk}p_jp_k, \end{equation*} \notag$

где

$g^{jk}$ – тензор, обратный к

$g_{jk}\colon g^{jk}g_{kl}=\delta^j_l$ ,

$\mathbf p=(p_1,\dots,p_d)^\top$ – импульс частицы. Далее для простоты положим

$m=1$ . Перепишем гамильтониан в виде

$\begin{equation*} 2H=\frac{1}{\sqrt{g}}p_j\sqrt{g}g^{jk}p_k,\qquad g=\det(g_{jk}), \end{equation*} \notag$

и заменим импульс на отвечающий ему при квантовании оператор импульса,

$\begin{equation*} p_j\to -i\,\frac{\partial}{\partial x^j}, \end{equation*} \notag$

получив оператор Лапласа–Бельтрами как результат квантования гамильтониана свободной частицы:

$\begin{equation} \Delta=-\frac{1}{\sqrt{g}}\,\frac{\partial}{\partial x^j} \sqrt{g}g^{jk}\,\frac{\partial}{\partial x^k}. \end{equation} \tag{11}$

Этот оператор задается ковариантным выражением, т. е. инвариантен относительно замен координат.

Предположим теперь, что частица заряжена и имеет заряд $q=Ze$ . В этом случае включение взаимодействующего с частицей магнитного поля $F^{(0)}$ состоит в следующей замене импульса:

$\begin{equation*} p_j\to p_j-qA^{(0)}_j. \end{equation*} \notag$

Для краткости введем обозначения

$\begin{equation*} F=q F^{(0)},\qquad A=qA^{(0)},\qquad dA=F. \end{equation*} \notag$

При квантовании это приводит к замене оператора Лапласа–Бельтрами на магнитный лапласиан:

$\begin{equation} \Delta=-\frac{1}{\sqrt{g}}\biggl(\frac{\partial}{\partial x^j}-iA_j\biggr)\sqrt{g}g^{jk} \biggl(\frac{\partial}{\partial x^k}-iA_k\biggr). \end{equation} \tag{12}$

Рассуждения Дирака о неоднозначности функций $\psi$ переформулируются следующим образом:

$\bullet$ $\psi$ есть сечения линейного, т. е. одномерного комплексного расслоения $L$ со структурной группой $U(1)$ (далее будем говорить просто об $U(1)$ -расслоениях);
$\bullet$ вектор-потенциал $A=(A_k)$ задает связность
$\begin{equation*} \nabla_k=\frac{\partial}{\partial x^k}-iA_k \end{equation*} \notag$
на расслоении $L$ ;
$\bullet$ на сечениях $\psi$ расслоения $L$ действуют (локально) калибровочные преобразования:
$\begin{equation*} \psi(x)\to\eta(x)\cdot\psi(x),\qquad \eta(x)=e^{i f(x)}\in U(1); \end{equation*} \notag$
$\bullet$ так как должно выполняться требование инвариантности связности при калибровочном преобразовании:
$\begin{equation*} \psi\to\tilde\psi=\eta\cdot\psi,\qquad \widetilde\nabla_k\tilde\psi=\eta\cdot(\nabla_k\psi),\qquad k=1,\dots,d, \end{equation*} \notag$
то при этом связность преобразуется по формуле
$\begin{equation} A_k(x)\to\widetilde A_k(x)=\eta(x)\cdot A_k(x)\cdot\eta^{-1}(x) +i\,\frac{\partial\eta(x)}{\partial x^k}\eta^{-1}(x) =A_k-\frac{\partial f}{\partial x^k}; \end{equation} \tag{13}$
$\bullet$ согласно (13) $F$ и разность $A-A'$ любых двух связностей на одном и том же расслоении являются корректными $2$ - и $1$ -формами на $M$ ;
$\bullet$ согласно (10) $2$ -форма $F$ является формой кривизны связности $A$ ;
$\bullet$ условие квантования: форма кривизны $F$ замкнута и после деления на $2\pi$ определяет целочисленный класс когомологий:
$\begin{equation} c_1(L)=\biggl[\frac{F}{2\pi}\biggr]\in H^2(M;\mathbb Z), \end{equation} \tag{14}$
который является первым классом Черна расслоения $L$ .

Заметим, что если условие квантования не выполняется, то $A$ не задает связности в каком-либо линейном расслоении.

Магнитный лапласиан

$\begin{equation*} \Delta=-\frac{1}{\sqrt{g}}\nabla_j\sqrt{g}g^{jk}\nabla_k \end{equation*} \notag$

инвариантен относительно калибровочных преобразований:

$\begin{equation*} \widetilde{\Delta} (\eta\cdot \psi) = \eta\cdot \Delta\psi, \end{equation*} \notag$

но его определение существенно зависит от выбора связности

$A$ с заданной формой кривизны (“магнитным полем”)

$F$ .

Предположим, что связности $A$ и $A'$ задают операторы $\Delta$ и $\Delta'$ , отвечающие одному и тому же магнитному полю $F$ и действующие на сечениях одного и того же расслоения $L$ . Тогда их разность $Q=A'-A$ является замкнутой $1$ -формой: $dQ=q(F-F)=0$ .

Если замкнутая форма $Q=A'-A$ реализует нулевой класс одномерных когомологий:

$\begin{equation*} [A'-A]=0\in H^1(M;\mathbb R), \end{equation*} \notag$

то

$A'-A=df$ , где

$f\colon M\to\mathbb R$ – некоторая функция. Тогда согласно (13) из

$\begin{equation*} \Delta\psi=E\psi \end{equation*} \notag$

следует, что

$\begin{equation*} \Delta'(e^{-if}\psi)=E(e^{-if}\psi), \end{equation*} \notag$

и тем самым спектр магнитного лапласиана не зависит от выбора связности

$qA$ .

Если расслоение $L$ тривиально, то, выбрав его тривиализацию $L=M\times\mathbb C$ , можно определить связность на нем с помощью $1$ -формы $A=A_k\,dx^k$ на многообразии $M$ .

Пример “Монополь Дирака” на двумерной сфере. Рассмотрим единичную двумерную сферу $M=S^2$ в трехмерном пространстве и ограничим на нее $2$ -форму, отвечающую магнитному полю (6). Мы получим

$\begin{equation*} F^{(0)}=g_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }\sin\theta\,d\theta\wedge d\varphi. \end{equation*} \notag$

Условие квантования дает

$\begin{equation*} 2eg_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }\in\mathbb Z. \end{equation*} \notag$

В области, полученной из сферы выкалыванием нижнего полюса (

$\theta=\pi$ ), вектор-потенциал магнитного поля

$F^{(0)}$ можно задать в виде

$\begin{equation*} A^{(0)}_\theta=0,\qquad A^{(0)}_\varphi=g_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }(1-\cos\theta). \end{equation*} \notag$

Умножим

$A^{(0)}$ на заряд частицы

$\begin{equation*} q=Ze,\qquad Z\in\mathbb Z. \end{equation*} \notag$

При

$\begin{equation*} eg_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }=\frac{1}{2},\qquad q=Ze,\qquad Z=-1\quad \text{(электрон)}, \end{equation*} \notag$

подставляя выражение для

$A=qA^{(0)}$ в (12), получим в точности оператор

$\Delta$ из уравнения (7).

Согласно монографии [10] наименьшее собственное значение для этого оператора равно $\lambda=1/2$ . Базис собственных сечений можно выбрать в виде

$\begin{equation*} S_a=\cos\frac{\theta}{2},\qquad S_b=\sin\frac{\theta}{2}\,e^{-i\varphi}. \end{equation*} \notag$

Мы уже упоминали замечание Дирака о том, что

$S_b$ имеет особенность при

$\theta=0$ . Как показали впервые Ву и Янг [13], эти “функции” являются сечениями линейного расслоения

$L$ и не имеют особенностей.

$U(1)$ -расслоения над двумерной сферой классифицируются первым классом Черна. Рассмотрим стереографическую проекцию единичной сферы $x^2+y^2+z^2=1$ на плоскость $(x,y)$ , которую мы отождествим с комплексной прямой с координатой $z=x+iy$ . Эта проекция сохраняет ориентации и отождествляет двумерную сферу с комплексной проективной прямой $\mathbb CP^1=\mathbb C\cup\{\infty\}$ . Комплексное линейное расслоение $L$ с $c_1(L)=n$ над $\mathbb CP^1$ обозначается через $\mathcal O(n)$ .

Любое $U(1)$ -расслоение, т. е. комплексное одномерное расслоение со структурной группой $U(1)$ , над $\mathbb C P^1$ задается функцией сцепления.

Пусть $[u:v]$ – однородные координаты на $\mathbb CP^1$ : точка на $\mathbb CP^1$ задается парой координат $[u:v]$ , которые не равны одновременно нулю и определены с точностью до умножения их на ненулевую постоянную, т. е. $[u:v]\sim[\lambda u:\lambda v]$ , $\lambda\ne 0$ . Сфера представляется как объединение перекрывающихся областей

$\begin{equation*} U_a=\{u\ne 0\},\qquad U_b=\{v\ne 0\} \end{equation*} \notag$

или как склейка двух дисков

$\begin{equation*} D_a=\{[1:z]\in U_a,\,|z|\leqslant 1\},\qquad D_b=\{[w:1]\in U_b,\,|w|\leqslant 1\} \end{equation*} \notag$

по общей границе. Так как диски

$D_a$ и

$D_b$ стягиваемы, то ограничения любого линейного расслоения на них тривиальны. Два тривиальных расслоения

$D_a\times\mathbb C$ и

$D_b\times\mathbb C$ склеиваются по границам в линейное расслоение над

$\mathbb CP^1$ . Склейка задается функцией сцепления

$\gamma(z)$ ,

$z=e^{i\varphi}$ ,

$|\gamma(z)|=1$ , по формуле

$\begin{equation*} (w=z^{-1},\mu)=(w,\gamma(z)\lambda)\sim(z,\lambda). \end{equation*} \notag$

По определению

$\begin{equation*} \gamma\colon\{|z|=1\}=S^1\to U(1)\approx S^1, \end{equation*} \notag$

и топологический тип расслоения определяется гомотопическим классом отображения

$\gamma\colon S^1\to S^1$ . Любое отображение из

$S^1$ в

$S^1$ гомотопно отображению вида

$\varphi\to e^{ik\varphi}$ , где

$k\in\mathbb Z$ .

Приведем в качестве примера тавтологическое расслоение $\mathcal O(-1)$ . Так как точке $[u:v]\in\mathbb C P^1$ отвечает прямая с направляющим вектором $(u,v)$ в $\mathbb C^2$ , то все такие прямые образуют линейное расслоение над $\mathbb C P^1$ . На $D_a$ расслоение тривиализуется $D_a\times\mathbb C$ , и при этом паре координат $(z,\lambda)$ отвечает точка с координатами $(\lambda,\lambda z)$ . Аналогично при тривиализации $D_b\times\mathbb C$ имеет место соответствие $(w,\mu)\to(\mu w,\mu)$ . Эти расслоения склеиваются по границам $D_a$ и $D_b$ по очевидным правилам

$\begin{equation*} (\lambda,\lambda z)=\biggl(\frac{\mu}{z},\mu\biggr)\qquad \text{при}\quad \mu=z\lambda. \end{equation*} \notag$

Следовательно, для

$\mathcal O(-1)$ функция сцепления имеет вид

$\begin{equation*} \gamma(\varphi) = e^{i\varphi}. \end{equation*} \notag$

Для двойственного расслоения

$\mathcal O(1)=\mathcal O(-1)^\ast$ функция сцепления суть

$e^{-i\varphi}$ . Для тензорных степеней этих расслоений

$\mathcal O(-1)^k$ и

$\mathcal O(1)^k$ ,

$k>0$ , функции сцепления суть

$e^{-ik\varphi}$ и

$e^{ik\varphi}$ . Очевидно, что для тривиального расслоения

$\mathbb CP^1\times\mathbb C$ в качестве функции сцепления можно положить

$\gamma=1$ . Так как

$\begin{equation*} c_1(\mathcal O(-1))=-1 \end{equation*} \notag$

$c_1(L\otimes L')=c_1(L)+c_1(L')$ для любой пары линейных расслоений

$L$ и

$L'$ , то

$c_1(\mathcal O(k))=k$ , и для любого линейного расслоения

$L$ над

$\mathbb CP^1$ функцию сцепления можно взять в виде

$\begin{equation*} \gamma_L=e^{-ic_1(L)\varphi}. \end{equation*} \notag$

Для монополя Дирака с $qg_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }=-1/2$ имеем

$\begin{equation*} c_1=2qg_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }=-1. \end{equation*} \notag$

$U_a$ базис собственных сечений, отвечающих собственному значению

$E=1/2$ , задается сечениями

$\begin{equation*} S_a=\cos\frac{\theta}{2},\qquad S_b=\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\varphi}, \end{equation*} \notag$

которые в

$U_b$ с учетом выражения для

$\gamma_L$ принимают вид

$\begin{equation} S_a=\cos\frac{\theta}{2}e^{i\varphi},\qquad S_b=\sin\frac{\theta}{2} \end{equation} \tag{15}$

и не имеют особенностей. Они является сечениями тавтологического расслоения

$\mathcal O(-1)$ над

$\mathbb CP^1$ .

Явные формулы для монопольных гармоник – собственных сечений магнитных лапласианов, отвечающих постоянным магнитным полям на двумерной сфере, – выведены в работе [13].

Очевидно, что если $\Delta^L\psi=E\psi$ , то, комплексно сопрягая аналитическое выражение для $\psi$ , мы получим сечение $\bar\psi$ сопряженного расслоения $L^\ast=\overline L$ и $\Delta^{L^\ast}\bar\psi=E\bar\psi$ . Физически это трактуется как обращение заряда частицы.

5. Квазиклассическое квантование оператора Шредингера

В квантовой механике метод ВКБ позволяет строить (квазиклассические) приближения собственных функций волновых операторов. Так как при этом “постоянная Планка” $\hbar$ является малым параметром, по степеням которого строятся приближения, в дальнейшем мы не будем переходить в естественную систему измерений и полагать ее равной единице.

Напомним метод ВКБ для одномерного уравнения Шредингера

$\begin{equation*} \biggl(-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{d^2}{dx^2}+U(x)\biggr)\psi=E\psi. \end{equation*} \notag$

Будем искать решение в виде

$\begin{equation*} \psi(x)=\exp\biggl[\frac{i}{\hbar}\sum_{k\geqslant 0}f_k(x) \biggl(\frac{\hbar}{i}\biggr)^k\biggr]. \end{equation*} \notag$

Подставим это приближение в уравнение Шредингера и формально разложим полученное выражение по степеням

$\hbar$ . После деления на

$\psi$ мы получим

$\begin{equation*} \biggl[\frac{1}{2m}f_0^{\prime 2}+U-E\biggr] +\biggl[-\frac{1}{2m}(f''_0+2f'_0 f'_1)\biggr]\hbar=0 \mod O(\hbar^2). \end{equation*} \notag$

Приравнивая свободный член левой части к нулю, мы выведем, что

$\begin{equation*} f'_0=\pm\sqrt{2m(E-U(x))}. \end{equation*} \notag$

Так как полная энергия частицы массы

$m$ , движущейся по прямой в потенциальном поле

$U(x)$ , равна

$p^2/(2m)+U(x)=E$ , где

$p$ – импульс частицы, то

$\begin{equation*} f'_0=\pm\sqrt{p^2}=\pm p, \end{equation*} \notag$

а с учетом этой формулы

$\begin{equation*} f_1=-\frac{1}{2}\log p. \end{equation*} \notag$

Мы получаем квазиклассическую собственную функцию в виде

$\begin{equation} \psi=\frac{C_1}{\sqrt{p}}\exp\biggl[\frac{i}{\hbar}\int p\,dx\biggr] +\frac{C_2}{\sqrt{p}}\exp\biggl[-\frac{i}{\hbar}\int p\,dx\biggr], \end{equation} \tag{16}$

где

$C_1$ и

$C_2$ – постоянные.

Если мы имеем движение точки в потенциальной яме $\{U(x)\leqslant E\}$ , ограниченной парой точек, в которых $U(x)=E$ , то вне этой ямы импульс $p$ становится чисто мнимым. Хотелось бы с помощью выбора постоянных $C_1$ и $C_2$ достичь такой ситуации, чтобы вне ямы эта формула давала экспоненциально затухающие решения. Это можно сделать при выполнении условия Бора–Зоммерфельда

$\begin{equation} \frac{1}{2\pi\hbar}\oint p\,dx=n+\frac{1}{2},\qquad n\in\mathbb Z, \end{equation} \tag{17}$

где интеграл взят по замкнутой траектории частицы в потенциальной яме. Естественно, это возможно не при всех значениях энергии

$E$ .

Метод канонического оператора Маслова, предложенный в [14] (см. также [15]), является многомерным вариантом метода ВКБ. В случае многомерного оператора Шредингера

$\begin{equation*} \widehat H=\frac{\hbar^2}{2}\Delta+U(x) \end{equation*} \notag$

он состоит в следующем. Пусть

$M$ – риманово многообразие размерности

$d$ с метрикой

$g_{jk}$ , а

$\Delta$ – оператор Лапласа–Бельтрами (11). Рассмотрим на кокасательном расслоении

$T^\ast M$ со стандартной симплектической структурой

$\begin{equation*} \Omega_0=\sum_{k=1}^d\,dp_k\wedge dx^k \end{equation*} \notag$

гамильтонову систему с гамильтонианом

$\begin{equation*} H(x,p)=\frac{1}{2}|p|^2+U(x)=\frac{1}{2}g^{jk}(x)p_jp_k+U(x). \end{equation*} \notag$

Пусть

$\Lambda$ – лагранжево подмногообразие в

$T^\ast M$ , инвариантное относительно гамильтонова потока и с инвариантной мерой

$d\mu$ на

$\Lambda$ . Напомним, что подмногообразие

$T^\ast M$ лагранжево, если оно

$d$ -мерно и ограничение симплектической формы на него равно нулю.

Выберем покрытие $\{V_\alpha\}$ подмногообразия $\Lambda$ односвязными открытыми множествами (картами) с локальными координатами вида $x^{j_1},\dots,x^{j_m}$ , $p_{k_1},\dots,p_{k_{d-m}}$ . Выберем на $\Lambda$ разбиение единицы $\{\phi_\alpha\}$ : $\phi_\alpha\colon\Lambda\to\mathbb R$ , $0\leqslant\phi_\alpha\leqslant 1$ , $\sum\phi_\alpha\equiv 1$ , $\phi_\alpha=0$ вне $V_\alpha$ .

Канонический оператор действует на дифференцируемых функциях $u(s)$ на $\Lambda$ и переводит их в функции на $M$ . Он определяется для каждой карты $V_\alpha$ с каноническими координатами $(x^I,p_I)$ : $K^\hbar_\Lambda(V_\alpha)(\phi_\alpha u)(x)$ , и общий оператор имеет вид

$\begin{equation} (K^\hbar_\Lambda u)(x)=\sum_\alpha C_\alpha K^\hbar_\Lambda(V_\alpha)(\phi_\alpha u)(x), \end{equation} \tag{18}$

где

$C_\alpha$ – некоторые постоянные.

Наиболее простой вид имеет оператор $K^\hbar_\Lambda(V)$ в случае, когда карта $V$ проецируется на область в $M$ с координатами $x^1,\dots,x^d$ :

$\begin{equation} K^\hbar_\Lambda(V)(u)(x)=e^{(i/\hbar)S(y)}\sqrt{\frac{d\mu(y)}{\sqrt{g}\,dx}}u(y), \end{equation} \tag{19}$

где

$\pi\colon\Lambda\to M$ – проекция

$\Lambda$ на

$M$ ,

$\pi(y)=x$ , а

$\sqrt{g}\,dx$ – форма объема на

$M$ (

$g=\det(g_{jk})$ ,

$dx=dx^1\wedge\dotsb\wedge dx^d$ ). Здесь

$\begin{equation} S(y)=\int_{y_0}^y\sum_{k=1}^dp_k\,dx^k \end{equation} \tag{20}$

– действие, которое получается интегрированием вдоль пути в

$V_\alpha\subset\Lambda$ из некоторой начальной точки

$y_0$ в

$y$ . Так как область

$V_\alpha$ односвязна, а

$d(\sum p_k\,dx^k)=\Omega_0$ и

$\Omega_0|_\Lambda=0$ , значение интеграла не зависит от выбора пути.

Сравним (16) и (19). Пусть $\gamma$ – периодическая траектория частицы в одномерном потенциальном поле. Она является лагранжевым подмногообразием в $T^\ast\mathbb R$ . Инвариантная мера на ней имеет вид

$\begin{equation*} d\mu=\frac{dx}{p},\qquad \sqrt{\frac{d\mu}{dx}}=\frac{1}{\sqrt{p}}. \end{equation*} \notag$

Замкнутая траектория

$\gamma$ с выкинутыми точками перегиба, в которых

$p=0$ , разбивается на два интервала, которые проецируются на интервал. Они задают две карты на

$\gamma$ , проходятся по отношению к

$x$ в разных направлениях, и отсюда возникают знаки

$\pm$ при

$\int p\,dx$ . Условие (17) заменяется в многомерной ситуации следующим условием квантования: для любой замкнутой кривой

$\gamma$ на

$\Lambda$ имеет место

$\begin{equation} \frac{1}{2\pi\hbar}\int_\gamma\sum_kp_k\,dx^k-\frac{\mu(\gamma)}{4}=n,\qquad n\in\mathbb Z, \end{equation} \tag{21}$

где

$\mu(\gamma)$ – индекс Маслова кривой

$\gamma$ . В одномерной ситуации (21) сводится к (17).

Квазиклассические собственные функции оператора $\widehat H$ строятся по лагранжевым подмногообразиям, лежащим на уровне энергии $E$ и удовлетворяющим условию квантования (21). Для их построения канонический оператор применяется к функции $u\equiv 1$ на $\Lambda$ :

$\begin{equation*} \psi(x)=(K^\hbar_\Lambda(1))(x),\qquad \widehat H\psi=E\psi\mod O(\hbar^2). \end{equation*} \notag$

В одномерном случае (16) аналогом

$u$ является

$\begin{equation*} \exp\biggl[\,\sum_{k\geqslant 2}f_k(x)\biggl(\frac{\hbar}{i}\biggr)^{k-1}\biggr]=1\mod O(\hbar). \end{equation*} \notag$

6. Квазиклассическое квантование магнитных монополей

Перейдем к расширению многомерного метода ВКБ на случай магнитных монополей, предложенному в работе [1].

Пусть на римановом многообразии $M$ заданы магнитное поле (замкнутая $2$ -форма) $F^{(0)}$ и частица с зарядом $q$ . Определим $2$ -форму:

$\begin{equation*} F=qF^{(0)}. \end{equation*} \notag$

Если она удовлетворяет условию квантования

$\begin{equation*} \biggl[\frac{F}{2\pi}\biggr]\in H^2(M;\mathbb Z), \end{equation*} \notag$

то на

$M$ существует

$U(1)$ -расслоение

$L$ с первым классом Черна

$c_1(L)=[\frac{F}{2\pi}]$ и в расслоении можно задать связность

$A=(A_k)$ такую, что

$\begin{equation*} F=dA. \end{equation*} \notag$

При квантовании этой системы происходит замена импульса:

$\begin{equation*} p_k\to p_k-A_k,\qquad k=1,\dots,d. \end{equation*} \notag$

Магнитный лапласиан принимает вид

$\begin{equation*} \Delta^L=-\frac{1}{\sqrt{g}} \biggl(\frac{\partial}{\partial x^j}-iA_j\biggr)\sqrt{g}g^{jk} \biggl(\frac{\partial}{\partial x^k}-iA_k\biggr). \end{equation*} \notag$

Движение частицы в магнитном поле описывается гамильтоновой системой на $T^\ast M$ с гамильтонианом $H(x,p)=|p|^2/2$ по отношению к скрученной симплектической структуре [16]:

$\begin{equation*} \Omega=\sum_k\,d(p_k-A_k)\wedge dx^k =\sum_k dp_k\wedge dx^k-\sum_{j<k}F_{jk}\,dx^j\wedge dx^k =\Omega_0-F. \end{equation*} \notag$

Если форма $F$ точна, то к системе можно применить канонический оператор, как это сделано в разделе 5. Только надо рассматривать лагранжевы подмногообразия по отношению к скрученной симплектической структуре и определять действие как

$\begin{equation} S=\int\,d^{-1}(\Omega)=\int\sum_k(p_k-A_k)\,dx^k. \end{equation} \tag{22}$

Пусть форма $F$ не точна. Параллельный перенос сечений расслоения $L$ вдоль кривой $\gamma$ задается уравнением

$\begin{equation*} \dot\gamma^k\biggl(\frac{\partial}{\partial x^k}\psi-iA_k\psi\biggr)=0, \end{equation*} \notag$

которое переписывается в виде

$\begin{equation*} \dot\gamma^k\biggl(\frac{\partial}{\partial x^k}\log\psi-iA_k\biggr)=0. \end{equation*} \notag$

Следовательно, выражение

$\begin{equation*} \exp\biggl[\int iA_k\,dx^k\biggr] \end{equation*} \notag$

задает сечение расслоения

$L$ .

В разделе 4 при изложении общей схемы квантования мы предполагали $\hbar=1$ . Здесь же у нас $\hbar$ – малый параметр, и мы должны рассматривать выражения вида

$\begin{equation} \exp\biggl[\frac{i}{\hbar}\int\sum_k(p_k-A_k)\,dx^k\biggr]. \end{equation} \tag{23}$

Придать им ясный геометрический смысл можно только при выполнении условий квантования

$\hbar$ :

$\begin{equation} \frac{1}{\hbar}\in\mathbb N\qquad \text{или}\qquad \hbar= 1,\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{N},\dots, \end{equation} \tag{24}$

так как при

$\hbar=1/N$ выражение (23) задает сечение расслоения

$L^N$ , т. е.

$N$ -й тензорной степени расслоения

$L$ .

Схема квазиклассического квантования магнитного монополя состоит в следующем [1]:

1) выбор лагранжева (по отношению к скрученной форме $\Omega$ ) подмногообразия $\Lambda\subset T^\ast M$ , на котором гамильтониан равен постоянной: $H\equiv E/2$ (в отличие от рассмотренных ранее операторов Шредингера, здесь мы опускаем множитель $1/2$ перед $\Delta$ );

2) выбор покрытия $\Lambda$ такими картами, что над их проекциями на $M$ расслоение $L$ тривиально;

3) для каждой карты $V$ выбор ограничения на нее связности $A_V=A_{V,k}\,dx^k$ ;

4) далее построение канонического оператора по обычной схеме с заменой везде $p_k$ на $p_k-A_k$ , в частности для карты, проецирующейся на область из $M$ , оператор $K^\hbar_\Lambda(V)$ строится по формуле (19) с заменой действия $S$ на (22), для других карт это потребует некоторых модификаций (см. [1]).

Для $\hbar=1/N$ также должно выполняться дополнительное условие квантования на $\Lambda$ (оно зависит от $N=\hbar^{-1}$ ): для любой замкнутой кривой $\gamma$ на $\Lambda$

$\begin{equation} N\biggl(\int_\gamma\sum_k p_k\,dx^k+h_A(\gamma)\biggr) =\frac{\pi}{2}\mu(\gamma) \mod 2\pi\mathbb Z, \end{equation} \tag{25}$

где

$e^{ih_A(\gamma)}$ – голономия проекции

$\gamma$ на

$M$ относительно связности

$A$ , а

$\mu(\gamma)$ – индекс Маслова кривой

$\gamma$ .

При выполнении условия квантования можно корректно построить оператор $K^{1/N}_\Lambda$ и полученное выражение

$\begin{equation*} \psi(x)=K^{1/N}_\Lambda(1)(x) \end{equation*} \notag$

будет являться сечением расслоения

$L^N$ , удовлетворяющим уравнению

$\begin{equation*} \hbar^2\Delta^{L^N}\psi=E\psi \mod O(\hbar^2), \end{equation*} \notag$

что с учетом

$\hbar=1/N$ принимает вид

$\begin{equation*} \Delta^{L^N}\psi=N^2E\psi \mod O(1). \end{equation*} \notag$

Заметим, что собственные сечения и их квазиклассические приближения являются сечениями одного и того же расслоения.

Поиск серий почти собственных значений сводится теперь к нахождению лагранжевых многообразий, удовлетворяющих условию квантования (25). В работе [1] это было сделано для монополя Дирака.

Гамильтонова система, отвечающая монополю Дирака на двумерной сфере (см. разделы 3, 4), описывает движение частицы с зарядом $q=Ze$ на $S^2$ во внешнем магнитном поле $F^{(0)}=\frac{1}{2}\sin\theta\,d\theta\wedge d\varphi$ . Эта система интегрируема, и два ее первых интеграла имеют вид

$\begin{equation*} E=\frac{1}{2}\biggl(p_\theta^2+\frac{1}{\sin^2\theta}p_\varphi^2\biggr),\qquad P=p_\theta-\frac{Z}{2}\cos\theta. \end{equation*} \notag$

Для фиксированного значения $|Z|=N\geqslant 0$ точные собственные значения магнитного лапласиана равны

$\begin{equation*} E_{N,j}=j(j+1)+\frac{N}{2}(2j+1),\qquad j=0,1,\dots, \end{equation*} \notag$

и имеют кратность

$\begin{equation*} \mu_{N,j}=2j+1+N. \end{equation*} \notag$

В то же время лагранжевы торы

$\{E=\mathrm{const},\,P=\mathrm{const}\}$ , удовлетворяющие (25), дают почти собственные значения

$\begin{equation*} \widehat E_{N,j}=j(j+1)+\frac{N}{2}(2j+1)+\frac{1}{4} \end{equation*} \notag$

кратности

$\begin{equation*} \hat\mu_{N,j}=\mu_{N,j}=2j+1+N, \end{equation*} \notag$

т. е. приближенный спектр сдвигается на постоянную

$1/4$ с сохранением кратности.

7. Заключительные замечания

Как мы уже отмечали, почти собственные числа находятся по инвариантным торам, удовлетворяющим условиям квантования (25). Выписать отвечающие им почти собственные сечения тоже несложно. Недавно явные формулы для случая монополя Дирака были получены Кордюковым и автором [17].

В [18] предложен иной подход к построению почти собственных значений – асимптотическое квантование. Оно сопоставляет символам на произвольном симплектическом многообразии операторы, которые действуют на так называемых пучках волновых пакетов на данном многообразии. Обсуждение асимптотического квантования магнитного лапласиана дано в работе [19], где подчеркнуто, что пучки волновых пакетов являются более сложными объектами, чем $U(1)$ -расслоения, однако локально в координатах действия асимптотически квантованного лапласиана и самого лапласиана почти совпадают. В [19] найдены серии асимптотических собственных чисел для магнитных монополей на замкнутых гиперболических поверхностях в постоянных магнитных полях. Они строятся по лагранжевым торам, удовлетворяющим условиям квантования. Формулы для волновых пакетов (“асимптотических собственных функций”) пока не выписывались.

На отличие асимптотического квантования от квазиклассического указывает отсутствие в нем аналогов условия квантования постоянной Планка (24) и то, что настоящие собственные функции и их асимптотические приближения являются сечениями разных расслоений.

Благодарности

Автор благодарит Ю. А. Кордюкова за полезные обсуждения.

Конфликт интересов

Автор заявляет, что у него нет конфликта интересов.



Список литературы

1.	Ю. А. Кордюков, И. А. Тайманов, “Квазиклассическое приближение для магнитных монополей”, УМН, 75:6(456) (2020), 85–106
2.	Ю. А. Кордюков, И. А. Тайманов, “Формула следа для магнитного лапласиана”, УМН, 74:2(446) (2019), 149–186
3.	Y. A. Kordyukov, I. A. Taimanov, “Trace formula for the magnetic Laplacian on a compact hyperbolic surface”, Regul. Chaotic Dyn., 27:4 (2022), 460–476
4.	Ya. M. Shnir, Magnetic Monopoles, Theoretical and Mathematical Physics, Springer, Berlin, 2005
5.	P. Curie, “Sur la possibilité d'existence de la conductibilité magnétique et du magnétisme libre”, J. Phys. Theor. Appl., 3:1 (1894), 415–417
6.	H. Poincaré, “Remarques sur une expérience de M. Birkeland”, C. R. Acad. Sci., 123 (1896), 530–533
7.	G. Darboux, “Problème de mécanique”, Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques, Serie 2, 2:1 (1878), 433–436
8.	J. J. Thomson, “Cathode rays”, Philos. Mag., 44:269 (1897), 293–316
9.	П. А. М. Дирак, “Квантованные сингулярности в электромагнитном поле”, Собрание научных трудов, т. II, Квантовая теория (научные статьи 1924–1947 гг.), Физматлит, М., 2003, 388–398
10.	И. Е. Тамм, “Обобщенные шаровые функции и волновые функции электрона в поле магнитного полюса”, Собрание научных трудов, Наука, М., 1975, 186–195
11.	П. А. М. Дирак, “Концепция монополя”, Собрание научных трудов, т. III, Квантовая теория (научные статьи 1948–1984 гг.), Физматлит, М., 2004, 189–200
12.	T. T. Wu, C. N. Yang, “Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields”, Phys. Rev. D, 12:12 (1975), 3845–3857
13.	T. T. Wu, C. N. Yang, “Dirac monopole without strings: monopole harmonics”, Nucl. Phys. B, 107:3 (1976), 365–380
14.	В. П. Маслов, Теория возмущений и асимптотические методы, Изд-во Моск. ун-та, M., 1965
15.	В. П. Маслов, М. В. Федорюк, Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, Наука, М., 1976
16.	С. П. Новиков, “Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса”, УМН, 37:5(227) (1982), 3–49
17.	Ю. А. Кордюков, И. А. Тайманов, “Квазиклассическое приближение монопольных гармоник”, Матем. заметки, 114:6 (2023), 848–862
18.	М. В. Карасев, В. П. Маслов, Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование, Наука, М., 1991
19.	Й. Брюнинг, Р. В. Некрасов, А. И. Шафаревич, “Квантование периодических движений на компактных поверхностях постоянной отрицательной кривизны в магнитном поле”, Матем. заметки, 81:1 (2007), 32–42

Образец цитирования: И. А. Тайманов, “Геометрия и квазиклассическое квантование магнитных монополей”, ТМФ, 218:1 (2024), 149–167; Theoret. and Math. Phys., 218:1 (2024), 129–144

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Tai24}

\by И.~А.~Тайманов

\paper Геометрия и квазиклассическое квантование магнитных монополей

\jour ТМФ

\yr 2024

\vol 218

\issue 1

\pages 149--167

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10559}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10559}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4700048}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2024TMP...218..129T}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2024

\vol 218

\issue 1

\pages 129--144

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577924010094}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85183755720}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/tmf10559

https://doi.org/10.4213/tmf10559

https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v218/i1/p149

Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:

И. А. Тайманов, “Функции Флоке–Блоха на неодносвязных многообразиях, потоки Ааронова–Бома и конформные инварианты погруженных поверхностей”, Геометрия, топология, математическая физика, Сборник статей. К 85-летию академика Сергея Петровича Новикова, Труды МИАН, 325, МИАН, М., 2024, 297–308 ; I. A. Taimanov, “Floquet–Bloch Functions on Non-simply Connected Manifolds, the Aharonov–Bohm Fluxes, and Conformal Invariants of Immersed Surfaces”, Proc. Steklov Inst. Math., 325 (2024), 280–291

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	235
PDF полного текста:	18
HTML русской версии:	35
Список литературы:	38
Первая страница:	20

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы