| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
О качественных свойствах решения одной краевой задачи для системы нелинейных интегральных уравнений Х. А. Хачатрянa, А. С. Петросянb a Факультет математики и механики, Ереванский государственный университет, Ереван, Армения b Кафедра высшей математики, физики и прикладной механики, Факультет технологий продовольственных продуктов, Национальный аграрный университет Армении, Ереван, Армения
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924010100 
Реферативные базы данных:
   1. Введение1.1. Постановка задачиРассмотрим следующую краевую задачу для системы нелинейных интегральных уравнений на полуоси с матричным ядром, зависящим от суммы и разности переменных:
$$
\begin{equation}
Q_i(f_i(x))=\sum_{j=1}^{n}\int_0^\infty (K_{ij}(x-t)-K_{ij}(x+t))f_j(t)\,dt,\qquad x\in\mathbb{R}^+:=[0,+\infty),
\end{equation}
\tag{1}
$$
$$
\begin{equation}
\lim_{x\to +\infty}f_i(x)=c_i<+\infty,\quad i=1,2,\ldots,n,
\end{equation}
\tag{2}
$$
относительно ограниченной на $\mathbb{R}^+$ векторнозначной функции с неотрицательными координатами $f_i(x)$, $i=1,2,\ldots,n$, от переменной $x\in\mathbb{R}^+$. Здесь и далее верхний индекс T означает транспонирование. Мы предполагаем, что матричное ядро $K(x)=(K_{ij}(x))_{i,j=1}^n$ в системе (1) удовлетворяет следующим условиям. Условие K1. Функции $K_{ij}(x)$ являются положительными и четными на $\mathbb{R}$, причем $K_{ij}(x)=K_{ji}(x)$, $x\in\mathbb{R}$, и $K_{ij}\in C_M(\mathbb{R})\cap\tilde L_1(\mathbb{R})$, $i,j=1,2,\ldots,n$, где $C_M(\mathbb{R})$ – пространство непрерывных ограниченных функций на $\mathbb{R}$, а $\tilde L_1(\mathbb{R})$ – пространство суммируемых функций на $\mathbb{R}$ с конечным первым моментом. Условие K2. Функции $K_{ij}(x)$, $i,j=1,2,\ldots,n$, монотонно убывают по $x$ на множестве $\mathbb{R}^+$. Условие K3. Спектральный радиус $r(A)$ матрицы $A=\bigl(\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x)\,dx\bigr)_{i,j=1}^n$, т. е. модуль ее максимального (по модулю) собственного значения, равен единице. Согласно теореме Перрона [1] существует вектор $\eta=\bigl(\eta_1,\ldots,\eta_n\bigr){}^{\mathrm T}$ с положительными координатами $\eta_i$, $i=1,2,\ldots,n$, такой что Нелинейности $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$ заданы на $\mathbb{R}^+$ и удовлетворяют следующим свойствам. Условие Q1. Функции $Q_i$, $i=1,2,\ldots,n$, принадлежат пространству $C(\mathbb{R}^+)$ и монотонно возрастают по $u$ на $\mathbb{R}^+$. Основной целью настоящей работы является исследование некоторых качественных свойств (монотонность, непрерывность, выпуклость) произвольного неотрицательного и ограниченного на $\mathbb{R}^+$ решения краевой задачи (1), (2). Также мы исследуем вопросы существования, отсутствия и единственности нетривиального неотрицательного решения указанной задачи. 1.2. Предыстория и возможные примененияКраевая задача (1), (2) имеет приложения в различных областях математической физики и математической биологии. В частности, такие системы нелинейных интегральных уравнений с конкретными ядрами $K_{ij}$ и нелинейностями $Q_i$ возникают в динамической теории $p$-адических открытых и открыто-замкнутых струн для скалярного поля тахионов [2]–[9]. Следует отметить, что академик В. С. Владимиров внес значительный вклад в исследование систем типа (1) со степенной нелинейностью в случае, когда ядром уравнения является распределение Гаусса. Например, статьи [2], [6] посвящены построению нетривиальных и ограниченных решений, а также изучению некоторых качественных свойств решений скалярных нелокальных уравнений для открытой $p$-адической струны. Исследованию открытых и замкнутых $p$-адических струн и сравнению их поведения посвящены работы [4]–[6]. Вопросы отсутствия непрерывных нетривиальных решений краевых задач для уравнений $p$-адических замкнутых и открыто-замкнутых струн в одномерном случае обсуждались в [7]. В работе [3] изучались системы нелокальных интегральных уравнений со степенной нелинейностью, описывающих взаимодействие открытых и замкнутых струн. Отметим также, что такие уравнения имеют важные приложения в космологии (см. работы [10], [11]). Системы нелинейных интегральных уравнений типа (1) возникают также в нелинейной задаче изотропного рассеяния, при исследованиях переноса излучения в однородной сферической среде, в кинетической теории газов (при исследовании нелинейного интегро-дифференциального уравнения Больцмана в рамках модифицированной модели Бхатнагара–Гросса–Крука) и в математической теории распространения эпидемий [12]–[16]. Вопросы существования неотрицательного и ограниченного решения краевой задачи (1), (2) в случае, когда предельные значения решений $\{f_i(x)\}_{i=1}^n$ на бесконечности равны $\eta_i$, $i=1,2,\ldots,n$, подробно обсуждались в работах [17] и [18]. В работах [19] и [20] изучались единственность и асимптотика на бесконечности решения краевой задачи (1), (2) в случае $c_i=\eta_i$, $i=1,2,\ldots,n$. Интересно отметить, что существование и единственность ограниченного решения скалярного аналога системы (1) при различных ограничениях на соответствующее скалярное ядро $K$ и нелинейность $Q$ обсуждались в работах [16] и [21]–[24]. 1.3. Краткий список основных результатовВ настоящей работе мы находим новые качественные свойства произвольного нетривиального неотрицательного и ограниченного решения системы (1). На основе этих свойств мы сначала доказываем, что краевая задача (1), (2) с нулевыми значениями на бесконечности имеет только тривиальное решение в классе ограниченных и неотрицательных на $\mathbb{R}^+$ функций. Далее мы доказываем, что если хотя бы одно из граничных значений $c_i$, $i=1,2,\ldots,n$, положительно, то эти значения совпадают с координатами вектора $\eta$, а краевая задача (1), (2) имеет единственное (выпуклое) неотрицательное ограниченное решение. Доказанные результаты обобщают и дополняют соответствующие утверждения из статьи [2] для скалярного аналога системы (1) в случае гауссова ядра $K$ и степенной нелинейности $Q$. Доказательство указанных свойств основано на выводе некоторых геометрических неравенств для произвольного неотрицательного и ограниченного решения задачи (1), (2). В конце статьи мы также приводим конкретные примеры функций $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$ и $\{K_{ij}(x)\}_{i ,j=1}^n$, удовлетворяющих всем условиям доказанных утверждений. 2. Вспомогательные утверждения2.1. О существовании нетривиального и ограниченного решенияНачнем этот пункт с изложения основных результатов статьи [18]. В ней было доказано, что система нелинейных интегральных уравнений (1) имеет неотрицательное непрерывное, монотонно возрастающее и ограниченное на $\mathbb{R}^+$ решение $f^*(x)=(f_1^*(x),\ldots,f_n^*(x))^{\mathrm T}$. Кроме того, $f_j^*(0)=0$, $j=1,2,\ldots,n$, и для каждого $r_j>0$ справедлива следующая оценка: При этом $f_j^*(x)<\eta_j$ для $x\in\mathbb{R}^+$, функции $\eta_j-f_j^*\in L_1^0(\mathbb{R}^+)$, $j=1,2,\ldots,n$, где $L_1^0(\mathbb{R}^+)$ – пространство суммируемых функций на $\mathbb{R}^+$, стремящихся к нулю на бесконечности. Это решение представляет собой поточечный предел при $m\to\infty$ следующих последовательных приближений:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q_i(f_i^{(m+1)}(x))=\sum_{j=1}^{n}\int_0^\infty (K_{ij}(x-t)-K_{ij}(x+t))f_j^{(m)}(t)\,dt, \\ f_i^{(0)}(x)\equiv\eta_i,\qquad x\in\mathbb{R}^+,\quad i=1,2,\ldots,n,\quad m=0,1,2,\ldots{}\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Кроме того, итерационная последовательность сходится равномерно на любом компакте из $\mathbb{R}^+$. Далее мы докажем оценку для $f_i^{(m)}(x)-f_i^{(m+1)}(x)$, равномерную по $x\in\mathbb{R}^+$, $i=1,2,\ldots,n$ и $m=1,2,\ldots{}$, при дополнительных предположениях о функциях $\{K_{ij}(x)\}_{i,j=1}^n$ и $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$. А именно, наложим следующие условия. Условие Q4. Существует число $\alpha\in(0,1)$, такое что для любых $\sigma\in(0,1)$ и любых $u_i\in[0,\eta_i]$, $i=1,2,\ldots,n$, выполняется неравенство где $G_i(u)$ – функция, обратная к $Q_i(u)$, на $\mathbb{R}^+$. Следующая лемма важна для построения приближенного решения системы нелинейных интегральных уравнений (1). Лемма 1. При условиях K1–K4 и Q1–Q4 существует число $\sigma_0\in(0,1)$, такое что для последовательных приближений (4) справедлива следующая оценка: Доказательство. Прежде всего, нетрудно проверить, что Введем обозначение
$$
\begin{equation*}
F_i(x):=\frac{Q_i(f_i^{(2)}(x))}{Q_i(f_i^{(1)}(x))},\qquad x\in(0,+\infty),\quad i=1,2,\ldots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что функции $\{F_i(x)\}_{i=1}^n$ непрерывны на $(0,+\infty)$ и
$$
\begin{equation}
F_i(x)>0\quad\text{при}\quad x>0,\quad i=1,2,\ldots,n,
\end{equation}
\tag{8}
$$
поскольку $f_i^{(m)}\in C(\mathbb{R}^+)$, $Q_i\in C(\mathbb{R}^+)$, $Q_i(f_i^{(1)}(x))>0$ при $x>0$, $i=1,2,\ldots,n$, $m=0,1,\ldots{}\,$. В силу того, что $K_{ij}\in C^1(\mathbb{R})$, $i,j=1,2,\ldots,n$, с учетом свойств K1–K3 и благодаря тому, что $f_j^{(m)}\in L_\infty(\mathbb{R}^+)$, $j=1,2,\ldots,n$, $m=0,1,\ldots$ (см. (5)), из соотношений (4) и (7) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{d Q_i(f_i^{(1)}(x))}{dx}\biggl|_{x=0}&=2\sum_{j=1}^{n}\eta_j K_{ij}(0)>0, \\ \frac{d Q_i(f_i^{(2)}(x))}{dx}\biggl|_{x=0}&= \sum_{j=1}^{n}\int_0^\infty\biggl(\frac{d}{dx}K_{ij}(x-t)-\frac{d}{dx}K_{ij}(x+t)\biggr)f_j^{(1)}(t)\,dt\biggl|_{x=0}= \\ &=\sum_{j=1}^{n}\int_0^\infty (K_{ij}'(-t)-K_{ij}'(t))f_j^{(1)}(t)\,dt= \\ &=-2\sum_{j=1}^{n} \int_0^\infty K_{ij}'(t)f_j^{(1)}(t)\,dt>0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $K_{ij}(x)\downarrow$ на $\mathbb{R}^+$ и $f_j^{(1)}(t)>0$ при $t>0$, $i,j=1,2,\ldots,n$. При этом
$$
\begin{equation*}
Q_i(f_i^{(2)}(0))=Q_i(f_i^{(1)}(0))=Q_i(0)=0,\qquad i=1,2,\ldots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
отсюда по правилу Лопиталя имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lim_{x\to 0} F_i(x)&=\lim_{x\to 0}\frac{d(Q_i(f_i^{(2)}(x)))/dx}{d(Q_i(f_i^{(1)}(x)))/dx}= \frac{d(Q_i(f_i^{(2)}(x)))/dx\bigl|_{x=0}}{d(Q_i(f_i^{(1)}(x)))/dx\bigl|_{x=0}}= \notag\\ &=\frac{-\sum_{j=1}^{n}\int_0^\infty K_{ij}'(t)f_j^{(1)}(t)\,dt}{\sum_{j=1}^{n}\eta_j K_{ij}(0)}=:\varepsilon_i>0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
и
$$
\begin{equation}
\varepsilon_i<\frac{-\sum_{j=1}^{n}\eta_j\int_0^\infty K_{ij}'(t)\,dt}{\sum_{j=1}^{n}\eta_j K_{ij}(0)}=1,\qquad i=1,2,\ldots,n.
\end{equation}
\tag{10}
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation}
\lim_{x\to+\infty}F_i(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{Q_i(f_i^{(2)}(x))}{Q_i(f_i^{(1)}(x))}= \frac{Q_i(\lim_{x\to +\infty}f_i^{(2)}(x))}{Q_i(\lim_{x\to +\infty}f_i^{(1)}(x))}= \frac{Q_i(\eta_i)}{Q_i(\eta_i)}=1.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Используя равенства (8), (9) и тот факт, что $F_i\in C(0,+\infty)$, получаем, что $\{F_i(x)\}_{i=1}^n$ являются непрерывными функциями на $\mathbb{R}^+=[0,+\infty)$. Учитывая (8)–(11), можно утверждать, что для каждого $i=1,2,\ldots,n$ существует $\sigma_i\in(0,1)$ такое, что Пусть $\sigma_0:=\min\{\sigma_1,\ldots,\sigma_n\}$. Очевидно, $\sigma_0\in(0,1)$ и
$$
\begin{equation}
F_i(x)\geqslant\sigma_0,\qquad x\in\mathbb{R}^+,\quad i=1,2,\ldots,n.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Из этого неравенств и условия Q1 немедленно следует оценка
$$
\begin{equation}
\sigma_0 Q_i(f_i^{(1)}(x))\leqslant Q_i(f_i^{(2)}(x))\leqslant Q_i(f_i^{(1)}(x)),\qquad x\in\mathbb{R}^+,\quad i=1,2,\ldots,n.
\end{equation}
\tag{14}
$$
В силу монотонности функций $\{G_i(u)\}_{i=1}^n$ отсюда получаем
$$
\begin{equation}
G_i(\sigma_0 Q_i(f_i^{(1)}(x)))\leqslant f_i^{(2)}(x)\leqslant f_i^{(1)}(x),\qquad x\in\mathbb{R}^+,\quad i=1,2,\ldots,n.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Учитывая условие Q4, из этого неравенства выводим двусторонние оценки
$$
\begin{equation}
\sigma_0^\alpha f_i^{(1)}(x)\leqslant f_i^{(2)}(x)\leqslant f_i^{(1)}(x),\qquad x\in\mathbb{R}^+,\quad i=1,2,\ldots,n.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Возьмем в (4) $m=0$, $m=1$ и в то же время учтем неотрицательность функций $K_{ij}(x-t)-K_{ij}(x+t)$, $(x,t)\in\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+$, $i,j=1,2,\ldots,n$. Тогда из (16) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sigma_0^\alpha\sum_{j=1}^{n}\int_{0}^\infty &(K_{ij}(x-t)-K_{ij}(x+t))f_j^{(1)}(t)\,dt\leqslant \\ &\leqslant\sum_{j=1}^{n}\int_{0}^\infty (K_{ij}(x-t)-K_{ij}(x+t))f_j^{(2)}(t)\,dt\leqslant \\ &\leqslant\sum_{j=1}^{n}\int_{0}^\infty (K_{ij}(x-t)-K_{ij}(x+t))f_j^{(1)}(t)\,dt \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
или, что то же самое,
$$
\begin{equation}
\sigma_0^\alpha Q_i(f_i^{(2)}(x))\leqslant Q_i(f_i^{(3)}(x))\leqslant Q_i(f_i^{(2)}(x)),\qquad x\in\mathbb{R}^+,\quad i=1,2,\ldots,n.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Вновь используем условие Q4 и из (17) получим
$$
\begin{equation}
\sigma_0^{\alpha^2}f_i^{(2)}(x)\leqslant f_i^{(3)}(x)\leqslant f_i^{(2)}(x),\qquad x\in\mathbb{R}^+,\quad i=1,2,\ldots,n.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Продолжая этот процедуру для произвольного $m\in\mathbb{N}$, приходим к оценкам
$$
\begin{equation}
\sigma_0^{\alpha^m}f_i^{(m)}(x)\leqslant f_i^{(m+1)}(x)\leqslant f_i^{(m)}(x),\qquad x\in\mathbb{R}^+,\quad i=1,2,\ldots,n.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, 0\leqslant f_i^{(m)}(x)-f_i^{(m+1)}(x)\leqslant (1-\sigma_0^{\alpha^m})f_i^{(m)}(x)\leqslant\eta_i(1-\sigma_0^{\alpha^m}), \\ x\in\mathbb{R}^+,\quad i=1,2,\ldots,n,\quad m=1,2,\ldots{}\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{20}
$$
С другой стороны, как известно, справедливо следующее легко проверяемое неравенство:
$$
\begin{equation}
1-\sigma_0^\beta\leqslant -\beta \ln\sigma_0,\qquad \beta>0.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Как результат, из неравенств (20) и (21) окончательно получаем, что для всех $i=1,2,\ldots,n$ и $m=1,2,\ldots{}$ Лемма доказана. Замечание 1. Лемма 1 для случая $n=1$, $K(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$, $x\in\mathbb{R}$, $Q(u)=u^p$, где нечетное число $p>2$, была доказана в работе [2]. В ходе доказательства леммы мы применили методы из работы [2]. 2.2. Априорные оценкиВ этом пункте мы представляем некоторые новые априорные оценки для произвольного нетривиального неотрицательного и ограниченного решения системы (1). Справедлива следующая лемма. Лемма 2. При условиях K1–K3 и Q1–Q3 любое нетривиальное неотрицательное и ограниченное на $\mathbb{R}^+$ решение $f(x)=\bigl(f_1(x),\ldots,f_n(x)\bigr){}^{\mathrm T}$ системы (1) удовлетворяет следующей оценке сверху: Доказательство. Сначала докажем, что выполняется неравенство С помощью индукции по $m$ докажем, что выполняются следущие неравенства:
$$
\begin{equation}
f_j(x)\leqslant f_j^{(m)}(x),\qquad x\in\mathbb{R}^+,\quad j=1,2,\ldots,n,\quad m=0,1,2,\ldots{}\,.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Это неравенство для $m=0$ немедленно вытекает из доказанных неравенств (23) с учетом определения нулевого приближения в итерациях (4). Предположим, что неравенство (27) выполнено для некоторого $m\in\mathbb{N}$. Тогда, принимая во внимание условия Q1, Q2, а также неравенство (24), из (1) и (4) получаем, что
$$
\begin{equation*}
Q_i(f_i(x))\leqslant\sum_{j=1}^n\int_0^\infty (K_{ij}(x-t)-K_{ij}(x+t))f_j^{(m)}(t)\,dt=Q_i(f_i^{(m+1)}(x))
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x\in\mathbb{R}^+$, $i=1,2,\ldots,n$. Учитывая монотонность функций $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$, приходим к неравенству (27) для $m+1$. Переходя в (27) к пределу при $m\to\infty$, получаем (22). Лемма доказана. 2.3. О непрерывности неотрицательного и ограниченного решения системы (1). Положительность решенияСправедлива следующая лемма. Лемма 3. В условиях леммы 2 любое нетривиальное неотрицательное и ограниченное на $\mathbb{R}^+$ решение $f(x)=\bigl(f_1(x),\ldots,f_n(x)\bigr){}^{\mathrm T}$ системы (1) обладает следующими свойствами: функции $f_j\in C(\mathbb{R}^+)$ и $f_j(0)=0$, $f_j(x)>0$ при $x>0$ для всех $j=1,2,\ldots,n$. Доказательство. Сначала докажем, что $f_j\in C(\mathbb{R}^+)$. Поскольку свертка ограниченной и интегрируемой функции является непрерывной функцией [25], из условий K1, K2 следует, что Перейдем к доказательству второго свойства. Имеем $K_{ij}\in C(\mathbb{R})$ и $f_j\in C(\mathbb{R}^+)$; таким образом, из условий Q1–Q3 следует, что $f_i(0)=0$, $i=1,2,\ldots,n$. Далее, $f(x)=\bigl(f_1(x),\ldots,f_n(x)\bigr){}^{\mathrm T}$ – нетривиальное неотрицательное решение системы (1), следовательно, существуют $x^*\in(0,+\infty)$ и $j^*\in\{1,2,\ldots,n\}$, такие что $f_{j^*}(x^*)>0$. В силу непрерывности функции $f_{j^*}(x)$ существует число $\delta\in(0,x^*)$, такое что
$$
\begin{equation}
\rho:=\inf_{x\in(x^*-\delta, x^*+\delta)}f_{j^*}(x)>0.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Из свойств K1–K3 матричного ядра $K$ немедленно вытекает, что
$$
\begin{equation}
K_{ij}(x-t)>K_{ij}(x+t),\qquad x>0,\quad t>0,\quad i,j=1,2,\ldots,n.
\end{equation}
\tag{31}
$$
С учетом (30), (31) и условия Q1 из (1) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_i(f_i(x))&\geqslant\sum_{j=1}^n\int_{x^*-\delta}^{x^*+\delta}(K_{ij}(x-t)-K_{ij}(x+t))f_j(t)\,dt\geqslant \\ &\geqslant\int_{x^*-\delta}^{x^*+\delta}(K_{ij^*}(x-t)-K_{ij^*}(x+t))f_{j^*}(t)\,dt\geqslant \\ &\geqslant\rho \int_{x^*-\delta}^{x^*+\delta} (K_{ij^*}(x-t)-K_{ij^*}(x+t))\,dt>0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $x>0$, $i=1,2,\ldots,n$. Следовательно, при $x>0$, $i=1,2,\ldots,n$. Лемма доказана. 3. О некоторых качественных свойствах решения3.1. Интегрируемость функций $f_i(x)-Q_i(f_i(x))$Из уравнения (1) с учетом (23) и (3) для произвольного нетривиального неотрицательного и ограниченного на $\mathbb{R}^+$ решения $f(x)=\bigl(f_1(x),\ldots,f_n(x)\bigr){}^{\mathrm T}$ системы (1) получаем, что
$$
\begin{equation}
0\leqslant\eta_i-Q_i(f_i(x))\leqslant 2\sum_{j=1}^n\eta_j\int_x^\infty K_{ij}(y)\,dy+\sum_{j=1}^n\int_0^\infty K_{ij}(x-t)(\eta_j-f_j(t))\,dt
\end{equation}
\tag{32}
$$
при $x\in\mathbb{R}^+$, $i=1,2,\ldots,n$. Пусть $R^*$ – произвольное положительное число. Тогда, используя лемму 3, условия K1–K3 и теорему Фубини [26], имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&\leqslant\int_0^{R^*}(\eta_i-Q_i(f_i(x)))\,dx\leqslant \\ &\leqslant 2\sum_{j=1}^n\eta_j\int_0^{R^*}\kern-8pt\int_x^\infty\kern-4pt K_{ij}(y)\,dy\,dx+ \sum_{j=1}^n\int_0^{R^*}\kern-8pt\int_0^\infty\kern-4pt K_{ij}(x-t)(\eta_j-f_j(t))\,dt\,dx\leqslant \\ &\leqslant 2\sum_{j=1}^n\eta_j\int_0^\infty\kern-4pt yK_{ij}(y)\,dy+ \sum_{j=1}^n\int_0^{R^*}\kern-8pt\int_0^{R^*}K_{ij}(x-t)(\eta_j-f_j(t))\,dt\,dx+{} \\ &\quad+\sum_{j=1}^n\eta_j\int_0^{R^*}\kern-8pt\int_{R^*}^\infty\kern-4pt K_{ij}(x-t)\,dt\,dx\leqslant \\ &\leqslant 2\sum_{j=1}^n\eta_j\int_0^{\infty}\kern-4pt yK_{ij}(y)\,dy+ \sum_{j=1}^n a_{ij}\int_0^{R^*}\kern-4pt(\eta_j-f_j(t))\,dt+{} \sum_{j=1}^n\eta_j\int_0^{R^*}\kern-8pt\int_{R^*}^\infty\kern-4pt K_{ij}(t-x)\,dt\,dx= \\ &=2\sum_{j=1}^n\eta_j\int_0^\infty\kern-4pt yK_{ij}(y)\,dy+ \sum_{j=1}^n\eta_j\int_0^{R^*}\kern-8pt\int_{R^*-x}^{\infty}\kern-4pt K_{ij}(y)\,dy\,dx+{} \sum_{j=1}^n a_{ij}\int_0^{R^*}\kern-4pt(\eta_j-f_j(t))\,dt= \\ &=2\sum_{j=1}^n\eta_j\int_0^\infty\kern-4pt yK_{ij}(y)\,dy+ \sum_{j=1}^n\eta_j\int_0^{R^*}\kern-8pt\int_{z}^{\infty}\kern-4pt K_{ij}(y)\,dy\,dz+{} \sum_{j=1}^n a_{ij}\int_0^{R^*}\kern-4pt(\eta_j-f_j(t))\,dt\leqslant \\ &\leqslant 3\sum_{j=1}^n\eta_j\int_0^\infty\kern-4pt yK_{ij}(y)\,dy+ \sum_{j=1}^n a_{ij}\int_0^{R^*}\kern-4pt(\eta_j-f_j(x))\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, приходим к неравенству
$$
\begin{equation}
\int_0^{R^*}(\eta_i-Q_i(f_i(x)))\,dx\leqslant 3\sum_{j=1}^n\eta_j\int_0^\infty yK_{ij}(y)\,dy+\sum_{j=1}^n a_{ij} \int_0^{R^*} (\eta_j-f_j(x))\,dx
\end{equation}
\tag{33}
$$
для любого $i=1,2,\ldots,n$. Умножим обе части этого неравенства на $\eta_i$ и просуммируем по $i=1,2,\ldots,n$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{i=1}^n\eta_i&\int_0^{R^*}(\eta_i-Q_i(f_i(x)))\,dx\leqslant 3\sum_{i=1}^n\eta_i\sum_{j=1}^n\eta_j\int_0^\infty yK_{ij}(y)\,dy+{} \\ &\kern125pt +\sum_{i=1}^n\eta_i\sum_{j=1}^n a_{ij}\int_0^{R^*}(\eta_j-f_j(x))\,dx= \\ &=\sum_{j=1}^n\int_0^{R^*}(\eta_j-f_j(x))\,dx\sum_{i=1}^n a_{ij}\eta_i+3\sum_{i=1}^n\eta_i\sum_{j=1}^n\eta_j\int_0^\infty yK_{ij}(y)\,dy= \\ &=\sum_{j=1}^n\int_0^{R^*}(\eta_j-f_j(x))\,dx\sum_{i=1}^n a_{ji}\eta_i+3\sum_{i=1}^n\eta_i\sum_{j=1}^n\eta_j\int_0^\infty yK_{ij}(y)\,dy= \\ &=\sum_{j=1}^n\eta_j\int_0^{R^*}(\eta_j-f_j(x))\,dx+ 3\sum_{i=1}^n\eta_i\sum_{j=1}^n\eta_j\int_0^\infty yK_{ij}(y)\,dy, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $a_{ij}=a_{ji}$, $i,j=1,2,\ldots,n$, и $A\eta=\eta$. Отсюда имеем
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n\eta_i\int_0^{R^*}(f_i(x)-Q_i(f_i(x)))\,dx\leqslant 3\sum_{i=1}^n\eta_i\sum_{j=1}^n\eta_j\int_0^\infty yK_{ij}(y)\,dy.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Устремив в этом неравенстве $R^*$ к бесконечности, получаем
$$
\begin{equation*}
f_i-Q_i(f_i)\in L_1(\mathbb{R}^+),\qquad i=1,2,\ldots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n\eta_i \int_0^{\infty}(f_i(x)-Q_i(f_i(x)))\,dx\leqslant 3\sum_{i=1}^n\eta_i \sum_{j=1}^n\eta_j\int_0^\infty yK_{ij}(y)\,dy.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Таким образом, мы доказали следующую теорему. Теорема 1. При условиях K1–K3 и Q1–Q3 для любого нетривиального неотрицательного и ограниченного на $\mathbb{R}^+$ решения $f(x)=\bigl(f_1(x),\ldots,f_n(x)\bigr){}^{\mathrm T}$ системы (1) имеет место включение $f_i-Q_i(f_i)\in L_1(\mathbb{R}^+)$, $i=1,2,\ldots,n$, и выполнена оценка (35). Используя аналогичные рассуждения, мы можем доказать следующую теорему. Теорема 2. В условиях теоремы 1, если матричное ядро $K(x)=(K_{ij}(x))_{i,j=1}^n$ для натурального $p\geqslant 2$ имеет конечный $p$-й момент, 3.2. Выпуклость решения $f^*(x)=(f_1^*(x),\ldots,f_n^*(x))^{\mathrm T}$ на $\mathbb{R}^+$Справедлива следующая теорема. Теорема 3. Пусть выполнены условия K1–K3 и Q1–Q3. Если $K_{ij}\in C^1(\mathbb{R}^+)$, $i,j=1,2,\ldots,n$, и существует вторая производная $Q_i''(u)>0$ при $u\in(0,+\infty)$, $i=1,2,\ldots,n$, то функции $\{f_i^*(x)\}_{i=1}^n$ выпуклы вверх на $\mathbb{R}^+$. Доказательство. Сначала индукцией по $m$ докажем, что существуют производные Пусть для некоторого натурального $m$ неравенство $\frac{d^2}{dx^2}f_i^{(m)}(x)<0$ выполнено при всех $x\in(0,+\infty)$, $i=1,2,\ldots,n$. Перепишем последовательные приближения (4) как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q_i(f_i^{(m+1)}(x))=\sum_{j=1}^{n}\biggl(\,\int_{-\infty}^x K_{ij}(y)f_j^{(m)}(x-y)\,dy-\int_x^{\infty} K_{ij}(y)f_j^{(m)}(y-x)\,dy\biggr), \\ f_i^{(0)}(x)\equiv\eta_i,\qquad x\in\mathbb{R}^+,\quad i=1,2,\ldots,n,\quad m=0,1,2,\ldots{}\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{37}
$$
и снова учтем условия K1, K2, Q1–Q3, неравенства (31) и тот факт, что $Q_i''(u)>0$ при $u\in(0,+\infty)$, а также, что $K_{ij}\in C^1(\mathbb{R})$, $i,j=1,2,\ldots,n$. Тогда из (37) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_i'(f_i^{(m+1)}(x))&\frac{d}{dx}f_i^{(m+1)}(x)= \\ &=\sum_{j=1}^n\biggl(K_{ij}(x)f_j^{(m)}(0)+ \int_{-\infty}^x K_{ij}(y)\frac{d}{dx} f_j^{(m)}(x-y)\,dy+{} \\ &\qquad\qquad +K_{ij}(x)f_j^{(m)}(0)+\int_x^\infty K_{ij}(y)\frac{d}{dy}f_j^{(m)}(y-x)\,dy\biggr)= \\ &=\sum_{j=1}^n\biggl(\,\int_{-\infty}^x K_{ij}(y)\frac{d}{dx} f_j^{(m)}(x-y)\,dy+\int_x^\infty K_{ij}(y)\frac{d}{dy}f_j^{(m)}(y-x)\,dy \biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x\in(0,+\infty)$, $i=1,2,\ldots,n$ и $m=1,2,\ldots{}$, поскольку $f_j^{(m)}(0)=0$. Далее имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_i'(f_i^{(m+1)}(x))&\frac{d^2}{dx^2}f_i^{(m+1)}(x)+\biggl(\frac{d}{dx}f_i^{(m+1)}(x)\biggr)^2 Q_i''(f_i^{(m+1)}(x))= \\ &=\sum_{j=1}^n\biggl(\frac{d}{dx} f_j^{(m)}(x)\biggl|_{x=0}K_{ij}(x)+\int_{-\infty}^x K_{ij}(y)\frac{d^2}{dx^2} f_j^{(m)}(x-y)\,dy-{} \\ &\qquad\qquad -\frac{d}{dx} f_j^{(m)}(x)\biggl|_{x=0}K_{ij}(x)-\int_x^\infty K_{ij}(y)\frac{d^2}{dy^2}f_j^{(m)}(y-x)\,dy\biggr)= \\ &=\sum_{j=1}^n\int_0^\infty (K_{ij}(x-t)-K_{ij}(x+t))\frac{d^2}{dt^2}f_j^{(m)}(t)\,dt<0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x\in(0,+\infty)$, $i=1,2,\ldots,n$. Поскольку $Q_i'(u)>0$, $Q_i''(u)>0$, $u\in(0,+\infty)$, отсюда получаем, что $\frac{d^2}{dx^2}f_i^{(m+1)}(x)<0$, $x\in(0,+\infty)$, $i=1,2,\ldots,n$. Тем самым мы показали, что $f_i^{(m)}(x)$ строго выпукла вверх на $\mathbb{R}^+$. Следовательно, для любых $x,y\in\mathbb{R}^+$ и $\alpha\in[0,1]$ выполняется неравенство Йенсена Переходя в этом неравенстве к пределу при $m\to\infty$, получаем, что для всех $i=1,2,\ldots,n$. Теорема доказана. Замечание 2. Следует отметить, что, в отличие от функций $\{G_i(u)\}_{i=1}^n$, решение $f^*(x)=\bigl(f_1^*(x),\ldots,f_n^*(x )\bigr){}^{\mathrm T}$ системы (1), вообще говоря, не обладает свойством строгой выпуклости на $\mathbb{R}^+$. 4. Единственность решения краевой задачи (1), (2). Примеры4.1. Отсутствие нетривиальных ограниченных решений при $c_i\kern-1pt=0$Имеет место следующая теорема. Теорема 4. При условиях K1–K3 и Q1–Q3 краевая задача имеет только тривиальное решение $f_i(x)\equiv 0$, $x\in\mathbb{R}^+$, $i=1,2,\ldots,n$, в классе неотрицательных и ограниченных на $\mathbb{R}^+$ функций. Доказательство. Сначала докажем, что если $f(x)=\bigl(f_1(x),\ldots,f_n(x)\bigr){}^{\mathrm T}$ является неотрицательным ограниченным решением краевой задачи (39), (40), то Поскольку $f_i\in C(\mathbb{R}^+)$ и $f_i(x)\geqslant 0$ для $x\in\mathbb{R}^+$ при всех $i=1,2,\ldots,n$ (см. лемму 3), из (40) немедленно следует, что для каждого $i=1,2,\ldots,n$ существует число $r_i>0$, такое что для $x\geqslant r_i$ выполняется неравенство $f_i(x)\leqslant\eta_i/2$. Введем обозначение $r^*:=\max(r_1,\ldots,r_n)$. Если $x\geqslant r^*$, то $f_i(x)\leqslant\eta_i/2$ для всех $i=1,2,\ldots,n$. Таким образом, из свойств Q1–Q3 функции $Q_i(u)$ следует, что Поскольку $f_i-Q_i(f_i)\in L_1(\mathbb{R}^+)$, $i=1,2,\ldots,n$ (см. теорему 1 в разделе 3), из (43) получаем, что $f_i\in L_1(r,+\infty)$, $i=1,2,\ldots,n$. С другой стороны, согласно лемме 3 решение $f(x)=\bigl(f_1(x),\ldots,f_n(x)\bigr){}^{\mathrm T}$ непрерывно на $\mathbb{R}^+$. Следовательно, $f_i\in L_1(\mathbb{R}^+)$, $i=1,2,\ldots,n$. Теперь докажем, что $f_i(x)\equiv 0$, $x\in\mathbb{R}^+$, $i=1,2,\ldots,n$. Предположим обратное: пусть $f(x)=\bigl(f_1(x),\ldots,f_n(x)\bigr){}^{\mathrm T}$ – нетривиальное неотрицательное и ограниченное решение краевой задачи (39), (40). Тогда в силу леммы 3 можно утверждать, что Используя лемму 2, из (1) получаем
$$
\begin{equation}
0\leqslant Q_i(f_i^*(x))-Q_i(f_i(x))=\sum_{j=1}^n\int_0^\infty (K_{ij}(x-t)-K_{ij}(x+t))(f_j^*(t)-f_j(t))\,dt
\end{equation}
\tag{45}
$$
для всех $x\in\mathbb{R}^+$, $i=1,2,\ldots,n$. Умножим обе части равенства на $f_i(x)$. Тогда, учитывая условия K1–K3 и соотношения (3), (41), по теореме Фубини имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{i=1}^n&\int_0^\infty f_i(x)(Q_i(f_i^*(x))-Q_i(f_i(x)))\,dx= \notag\\ &=\sum_{i=1}^n\int_0^\infty f_i(x)\sum_{j=1}^n\int_0^\infty (K_{ij}(x-t)-K_{ij}(x+t))(f_j^*(t)-f_j(t))\,dt\,dx= \notag\\ &=\sum_{j=1}^n\int_0^\infty (f_j^*(t)-f_j(t))\sum_{i=1}^n\int_0^\infty (K_{ij}(t-x)-K_{ij}(t+x))f_i(x)\,dx\,dt= \notag\\ &=\sum_{j=1}^n\int_0^\infty (f_j^*(t)-f_j(t))\sum_{i=1}^n\int_0^\infty (K_{ji}(t-x)-K_{ji}(t+x))f_i(x)\,dx\,dt= \notag\\ &=\sum_{j=1}^n\int_0^\infty Q_j(f_j(t))(f_j^*(t)-f_j(t))\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{46}
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n\int_0^\infty\bigl(f_i(x)[Q_i(f_i^*(x))-Q_i(f_i(x))]-[f_i^*(x)-f_i(x)]Q_i(f_i(x))\bigr)\,dx=0.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Поскольку $f_i^*(x)\uparrow\eta_i$ при $x\to +\infty$, для каждого $i=1,2,\ldots,n$ существует $l_i>0$, такое что при $x\geqslant l_i$ справедлива следующая оценка сверху: Очевидно, что при $x\geqslant l^*:=\max(l_1,\ldots,l_n)$ данное неравенство выполняется для всех $i=1,2,\ldots,n$. Отсюда при $x\geqslant\max(r^*,l^*)$ имеем
$$
\begin{equation}
0<f_i(x)\leqslant\frac{\eta_i}{2}<\frac{2}{3}\eta_i\leqslant f_i^*(x),\qquad i=1,2,\ldots,n.
\end{equation}
\tag{49}
$$
Введем следующие измеримые множества:
$$
\begin{equation}
\mathcal D_i:=\{x\in\mathbb{R}^+\colon f_i(x)<f_i^*(x)\}.
\end{equation}
\tag{50}
$$
Из неравенства (49) следует, что а из леммы 2 следует, что
$$
\begin{equation}
\mathbb{R}^+\setminus \mathcal D_i=\{x\in\mathbb{R}^+\colon f_i(x)=f_i^*(x)\}.
\end{equation}
\tag{52}
$$
Поскольку
$$
\begin{equation}
0\in\mathbb{R}^+\setminus\mathcal D_i,\quad i=1,2,\ldots,n,
\end{equation}
\tag{53}
$$
используя соотношения (44), (50)–(52), мы можем переписать (47) как
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n\int_{\mathcal D_i}\bigl(f_i(x)[Q_i(f_i^*(x))-Q_i(f_i(x))]-[f_i^*(x)-f_i(x)]Q_i(f_i(x))\bigr)\,dx=0
\end{equation*}
\notag
$$
или как
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n\int_{\mathcal D_i}f_i(x)(f_i^*(x)-f_i(x))\biggl(\frac{Q_i(f_i^*(x))-Q_i(f_i(x))}{f_i^*(x)-f_i(x)}-\frac{Q_i(f_i(x))}{f_i(x)}\biggr)dx=0.
\end{equation}
\tag{54}
$$
Из условий Q1–Q3 сразу следует, что для всех $x\in\mathcal D_i$ справедливо следующее строгое неравенство (см. рис. 1)
$$
\begin{equation}
\frac{Q_i(f_i^*(x))-Q_i(f_i(x))}{f_i^*(x)-f_i(x)}>\frac{Q_i(f_i(x))}{f_i(x)},\quad i=1,2,\ldots,n.
\end{equation}
\tag{55}
$$
Подставляя (44), (50), (51), (53) и (55) в (54), получаем противоречие, следовательно, Теорема доказана. 4.2. Единственность решения краевой задачи (1), (2)Как известно [27], для операции свертки справедливо следующее предельное соотношение:
$$
\begin{equation}
\lim_{x\to +\infty}\int_0^\infty T(x-t)F(t)\,dt=\int_{-\infty}^\infty T(y)\,dy\cdot\lim_{x\to+\infty}F(x),
\end{equation}
\tag{56}
$$
где $T\in L_1(\mathbb{R})$, $F\in L_\infty(\mathbb{R}^+)$ и $\lim_{x\to+\infty}F(x)<+\infty$. С другой стороны, поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\int_0^\infty T(x+t)F(t)\,dt\biggr|&\leqslant\sup_{t\in\mathbb{R}^+}|F(t)|\int_0^\infty |T(x+t)|\,dt= \\ &=\sup_{t\in\mathbb{R}^+}|F(t)|\int_x^\infty |T(y)|\,dy\to 0,\qquad x\to+\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
получаем С учетом соотношений (56), (57) и благодаря непрерывности функций $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$ получаем систему нелинейных алгебраических уравнений для задачи (1), (2):
$$
\begin{equation}
Q_i(c_i)=\sum_{j=1}^n a_{ij}c_j,\qquad i=1,2,\ldots,n,
\end{equation}
\tag{58}
$$
относительно предельных значений $c_i=\lim_{x\to+\infty}f_i(x)\geqslant 0$, $i=1,2,\ldots,n$. Существует индекс $j_0\in\{0,1,2,\ldots,n\}$ такой, что $c_{j_0}>0$, поэтому в силу леммы 2.1 из работы [28] система (58) имеет единственное решение $c_i=\eta_i$, $i=1,2,\ldots,n$. Таким образом, в случае, когда хотя бы одно из краевых значений положительно, краевая задача (1), (2) преобразуется в следующую задачу:
$$
\begin{equation}
Q_i(f_i(x))=\sum_{j=1}^{n}\int_0^\infty (K_{ij}(x-t)-K_{ij}(x+t))f_j(t)\,dt,\qquad x\in\mathbb{R}^+,
\end{equation}
\tag{59}
$$
$$
\begin{equation}
\lim_{x\to +\infty}f_i(x)=\eta_i,\qquad i=1,2,\ldots,n.
\end{equation}
\tag{60}
$$
Поскольку для любого $i=1,2,\ldots,n$ существует $b_i>0$, такое что $\inf_{x\geqslant b_i}f_i(x)>0$, в соответствии с теоремой 3 из работы [20] краевая задача (59), (60) имеет единственное решение $f^*(x)=\bigl(f_1^*(x),\ldots,f_n^*(x)\bigr){}^{\mathrm T}$ в классе неотрицательных и ограниченных на $\mathbb{R}^+$ функций. Таким образом, объединяя результаты, полученные в п. 4.1 и 4.2, можно сформулировать следующую альтернативную теорему. Теорема 5. Пусть выполнены условия K1–K3 и Q1–Q3. Тогда: 1) если все $c_i=0$, то краевая задача (1), (2) в классе неотрицательных и ограниченных на $\mathbb{R}^+$ функций имеет только тривиальное решение $f_i(x)\equiv 0$, $x\in\mathbb{R}^+$, $i=1,2,\ldots,n$; 2) если все $c_i\geqslant 0$ и существует $j_0\in\{1,2,\ldots,n\}$, такое что $c_{j_0}>0$, то краевая задача (1), (2) в классе неотрицательных и ограниченных на $\mathbb{R}^+$ функций имеет единственное решение $f^*(x)=\bigl(f_1^*(x),\ldots,f_n^*(x)\bigr){}^{\mathrm T}$, которое обладает следующими свойствами: 4.3. ПримерыВ конце статьи мы приведем полезные с практической точки зрения примеры матричных ядер $K(x)=(K_{ij}(x))_{i,j=1}^n$ и нелинейностей $\{Q_i(u) \}_{i=1}^n$. Примеры матричных ядер $K$. Пример K.1. Пусть
$$
\begin{equation*}
K_{ij}(x)=\frac{a_{ij}}{2\sqrt{\pi d}}\,e^{-x^2/4d},\qquad x\in\mathbb{R},\quad i,j=1,2,\ldots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $d>0$ – параметр, $a_{ij}=a_{ji}>0$, $i,j=1,2,\ldots,n$, и матрица $A=(a_{ij})_{i,j=1}^n$ имеет единичный спектральный радиус. Пример K.2. Пусть
$$
\begin{equation*}
K_{ij}(x)=\int_a^b e^{-|x|s}\,d\sigma_{ij}(s),\qquad x\in\mathbb{R},\quad i,j=1,2,\ldots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma_{ij}(s)=\sigma_{ji}(s)$ являются монотонно возрастающими функциями на отрезке $[a,b)$, $0<a<b\leqslant+\infty$, и матрица
$$
\begin{equation*}
A=\biggl(2\int_a^b \frac{1}{s}\,d\sigma_{ij}(s)\biggr)_{i,j=1}^n
\end{equation*}
\notag
$$
имеет единичный спектральный радиус. Примеры нелинейностей $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$. Пример Q.1. Пусть $Q_i(u)=u^{p_i}$, $u\in\mathbb{R}^+$, числа $p_i\geqslant 2$ произвольны. Пример Q.2. Пусть $Q_i(u)=t_i u^3+(1-t_i)u$, $u\in\mathbb{R}^+$, параметры $t_i\in(0,1]$. Пример Q.3. Пусть
$$
\begin{equation*}
Q_i(u)=\biggl(\frac{\sqrt{8u+\eta_i}-\sqrt{\eta_i}}{2}\biggr)^{\!2},\quad u\in\mathbb{R}^+,\qquad \sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j=\eta_i,\quad \eta_i>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Для полноты приведем пример матрицы $A$:
$$
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 2/3 & 1/3 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Проверим условия Q1–Q4 для функций из примера Q.3. Поскольку
$$
\begin{equation*}
Q_i(0)=0,\quad Q_i(\eta_i)=\eta_i,\qquad i=1,2,\ldots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
Q_i'(u)=\frac{4(\sqrt{8u+\eta_i}-\sqrt{\eta_i}\,)}{\sqrt{8u+\eta_i}}\geqslant 0,\quad Q_i''(u)=\frac{16\sqrt{\eta_i}}{(8u+\eta_i)^{3/2}}>0,\quad u\geqslant0,\quad i=1,2,\ldots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
выполняются условия Q1–Q3. Проверим условие Q4. Легко заметить, что функция, обратная к функции $Q_i(u)$ на $\mathbb{R}^+$, есть
$$
\begin{equation*}
G_i(u)=\frac{\sqrt{u\eta_i}+u}{2},\qquad u\in\mathbb{R}^+,\qquad i=1,2,\ldots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Проверим, что при $\alpha\in[3/4,1)$
$$
\begin{equation}
G_i(\sigma u_i)\geqslant\sigma^\alpha G_i(u_i),\qquad u_i\in[0,\eta_i],\quad\sigma\in(0,1),\quad i=1,2,\ldots,n.
\end{equation}
\tag{61}
$$
В самом деле, чтобы доказать (61), достаточно проверить, что
$$
\begin{equation*}
\sqrt{\sigma\eta_i}+\sigma\sqrt{u_i}\geqslant\sigma^\alpha\sqrt{\eta_i}+\sigma^\alpha\sqrt{u_i},\qquad i=1,2,\ldots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation}
\sqrt{\eta_i}(\sqrt{\sigma}-\sigma^\alpha)\geqslant (\sigma^\alpha-\sigma)\sqrt{u_i},\qquad i=1,2,\ldots,n.
\end{equation}
\tag{62}
$$
Поскольку $u_i\in[0,\eta_i]$, $i=1,2,\ldots,n$, $\sigma\in(0,1)$, чтобы доказать неравенство (62), достаточно доказать, что
$$
\begin{equation}
\frac{\sqrt{\sigma}-\sigma^\alpha}{\sigma^\alpha-\sigma}\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{63}
$$
Имеем $\sigma+\sqrt{\sigma}\geqslant 2\sigma^{3/4}\geqslant 2\sigma^\alpha$ для $\alpha\in[3/4,1)$. Следовательно, неравенство (63) доказано. Замечание 3. Нетрудно проверить, что для примеров K.1, Q.1, Q.3 выполнены условия лемм 1–3 и теорем 1–5, а для примеров K.1, K.2, Q.1–Q.3 выполнены условия лемм 2, 3 и теорем 1, 3–5. Замечание 4. Примеры K.1, K.2, Q.1, Q.2 можно найти в динамической теории $p$-адических струн, в кинетической теории газов, в теории переноса излучения (см. [2]–[14]). Примеры K.1, Q.3 можно найти в задачах математической биологии (см. [15], [16]). БлагодарностиАвторы благодарят рецензента за полезные замечания. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KhaPet24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|