| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Интегрирование двумерной модели Гейзенберга методами дифференциальной геометрии А. Б. Борисов Институт физики металлов имени М. Н. Михеева Уральского отделения Российской академии наук, Екатеринбург, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923080081 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВихревые распределения параметра порядка (вихри) широко используются в физике конденсированных сред. В теории магнетизма к таким структурам относятся плоские вихри (мероны), инстантоны [1]–[3] и скирмионы [4] в несоизмеримых двумерных магнетиках, предсказанные много лет назад. Помимо академического интереса такие структуры важны для спинтронной промышленности, где они рассматриваются как перспективные объекты переноса и хранения информации. Гамильтониан, определяющий магнитные структуры в ферромагнетиках, учитывает довольно много взаимодействий (таких, как обменное, магнито-дипольное, взаимодействие Дзялошинского–Мори, взаимодействие с внешним полем, магнитостатическую энергию и т. д.), которые образуют определенную иерархию. Однако наибольший вклад вносит обменное взаимодействие Гейзенберга. Поэтому один из подходов к исследованию новых локализованных магнитных структур заключается в минимизации обменной энергии и предсказании тем самым метастабильных состояний. В континуальном приближении статическим структурам отвечает плотность энергии c постоянной
$$
\begin{equation}
E_0 = \sum_{i=1}^3{\frac{1}{2} J (\nabla n_i \cdot \nabla n_i)}
\end{equation}
\tag{1}
$$
для единичного вектора намагниченности $\mathbf{n} = \mathbf{M}/M_0$. В безразмерных переменных уравнения вариационной задачи для статических распределений параметра порядка имеют вид
$$
\begin{equation}
\Delta \mathbf{n} - (\mathbf{n} \cdot \Delta \mathbf{n}) \mathbf{n} = 0 ,\qquad \mathbf{n}^2 = 1.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Для дальнейшего анализа удобно параметризовать вектор $\mathbf{n}$ сферическими углами $\Phi$, $\theta$:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{n} = (\cos \Phi \sin \theta, \sin \Phi \sin \theta, \cos \theta).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда уравнения (2) записываются в виде
$$
\begin{equation}
\Delta \theta - \frac{1}{2}\sin 2 \theta (\nabla \Phi)^2 = 0,
\end{equation}
\tag{3}
$$
$$
\begin{equation}
2 \cos \Theta (\nabla \theta \cdot \nabla \Phi) + \sin \theta \Delta \Phi = 0.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Модель Гейзенберга (1) часто называется $O(3)$-моделью в двумерном пространстве. Она имеет многочисленные приложения в теории поля и физике конденсированных сред (жидкие кристаллы [5]). Уравнение (2) инвариантно относительно группы спиновых и пространственных вращений $SO(3) \times SO(3)$, что позволяет найти широкий класс вихревых структур в аналитическом виде. Модель (1) представляет простой пример киральных моделей в теории поля, в которых взаимодействие вводится наложением связей (в нашем случае $\mathbf{n}^2=1$) на параметр порядка, так что поле принимает значения на некотором нелинейном многообразии (в нашем случае на сфере $S^2$). Точные решения таких моделей интенсивно исследовались некоторое время назад (см., например, обзоры [6], [7]). Кроме того, глобальные решения таких уравнений с помощью гармонических отображений (экстремальных для функционала энергии) из римановых поверхностей в римановы многообразия детально изложены в лекциях [8]. Цель настоящей работы – предсказать и проанализировать новые типы метастабильных структур, включая вихревые, в двумерном ферромагнетике. Для этой цели мы используем методы классической дифференциальной геометрии (дифференциально-геометрический метод интегрирования [9]–[11]). Основная идея этой схемы интегрирования в нашем случае состоит в следующем. Используется то обстоятельство, что независимые переменные $x_1$, $x_2$ полей $\theta(x_1, x_2)$, $\Phi(x_1,x_2)$ являются декартовыми переменными в евклидовом пространстве. Вначале мы совершаем преобразование годографа, т. е. изменяем роль зависимых и независимых переменных. Такое преобразование означает введение криволинейной системы координат с определенным метрическим тензором. Подход применим, если искомые уравнения переписываются в терминах компонент метрического тензора и его производных, что возможно для уравнений (3), (4). Поскольку независимые переменные вначале были евклидовы, то тензор кривизны в терминах введенной метрики равен нулю. В итоге мы получаем самосогласованную систему уравнений для определения компонент метрического тензора. При этом уравнение нулевой кривизны оказывается главным уравнением, а искомая система уравнений – его редукциями. Их решение позволяет далее по формулам классической геометрии найти решение для искомого дифференциального уравнения в виде неявных функций. Мы показываем, что при определенной ограниченности в выборе модели такой дифференциально-геометрический подход, основанный на вложении нелинейного уравнения в частных производных в определенную дифференциальную связь в евклидовом пространстве, дает широкий класс решений, получение которых другими методами крайне затруднено. Многие из них определяются произвольными функциями. Статья имеет следующую структуру. В разделе 2 мы приводим необходимые сведения из классической дифференциальной геометрии и записываем уравнения (3), (4) в терминах компонент метрического тензора и его производных. В разделе 3 исследуем магнитные структуры в ортогональной системе координат. Получена общая формула для таких структур, зависящая от двух комплексных функций. В частных случаях она воспроизводит все ранее известные точные решения двумерной модели Гейзенберга, кроме плоского вихря где $\varphi$ – азимутальный угол полярной системы координат. Наконец, в разделе 4 мы находим явное решение модели, когда метрический тензор зависит только от одной независимой переменной $y^1 = \theta$. Оно описывает круговую вихревую полосу с конечной энергией в кольцевой области. Обсуждается возможность экспериментальной реализации такой структуры.2. Дифференциально-геометрический подход к интегрированию двумерной модели ГейзенбергаЗапишем уравнения (3), (4) в терминах компонент метрического тензора. Введем обозначения Поменяем роль зависимых и независимых переменных и будем искать как функции $y^1$, $y^2$. На геометрическом языке такая зависимость означает введение криволинейной системы координат $(y^1, y^2)$ с элементом длины в евклидовом пространстве с координатами $x_1$, $x_2$. Здесь и далее по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от $1$ до $2$. Напомним, что при переходе к криволинейной системе координат следует различать верхние (контравариантные) и нижние (ковариантные) индексы у координат векторов и элементов тензоров. Переменные $x_1$, $x_2$ являются координатами радиус-вектора точки наблюдения в декартовой системе координат: $\mathbf{r} = x_i \mathbf{i}_k$, где $\mathbf{i}_k$ – базисные орты декартовой системы координат. Только в декартовой системе координат положения верхних и нижних индексов равноценны:
$$
\begin{equation*}
x^i \equiv x_i,\qquad \mathbf{i}_k = \mathbf{i}^k, \qquad i,k=1,2,3.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому в дальнейшем анализе будем следить за положениями индексов у векторов и тензоров, записанных в криволинейной системе координат. Поднимание и опускание индексов в криволинейной системе координат осуществляется с помощью метрического тензора $g_{ik}$ и обратного ему тензора $g^{ik}$, которые имеют вид
$$
\begin{equation}
g_{ik} = \frac{\partial x_p}{\partial y^i} \frac{\partial x_p}{\partial y^k},\qquad g^{ik} = \frac{\partial y^i}{\partial x^p} \frac{\partial y^k}{\partial x_p}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Приведем для удобства и полноты изложения сведения из дифференциальной геометрии, необходимые для дальнейшего анализа. При введении криволинейной системы координат в евклидовом пространстве в каждой его точке с радиус-вектором $\mathbf{r} = x_k \mathbf{i}_k$ задается локальный базис
$$
\begin{equation*}
\mathbf{e}_n = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y^n} \equiv \frac{\partial x_p}{\partial y^n} \mathbf{i}_p, \qquad n = 1,2,3,
\end{equation*}
\notag
$$
пространственное изменение которого в векторной форме записи
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \mathbf{e}_i}{\partial y^j} = \Gamma_{ij}^k \mathbf{e}_k
\end{equation}
\tag{7}
$$
и в координатном виде
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2 x_n}{\partial y^i\, \partial y^j } = \Gamma_{ij}^k \frac{\partial x_n}{\partial y^k}
\end{equation}
\tag{8}
$$
определяется символами Кристоффеля
$$
\begin{equation}
\Gamma_{ij}^k = \frac{1}{2} g^{kn} \biggl( \frac{\partial g_{in}}{\partial y^i} + \frac{\partial g_{jn}}{\partial y^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial y^n} \biggr).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Условие интегрируемости системы (7) (условие евклидовости пространства) приводит к обращению в нуль тензора Римана $R_{prsi}$:
$$
\begin{equation}
R_{prsi} \equiv \frac{\partial \Gamma_{p,ri}}{\partial y^s}- \frac{\partial \Gamma_{p,rs}}{\partial y^j}+ \Gamma_{rs}^m \Gamma_{m,pi}- \Gamma_{ri}^m \Gamma_{m,ps}= 0,
\end{equation}
\tag{10}
$$
где $\Gamma_{m,ps} = g_{mn} \Gamma_{ps}^n$. Наконец, отметим важное соотношение
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2 y^p}{\partial x_i\, \partial x_j}= - \Gamma_{ks}^p \frac{\partial y_k}{\partial x_i} \frac{\partial y^s}{\partial x_j},
\end{equation}
\tag{11}
$$
котоpoe нетрудно вывести дифференцированием по переменной $y^j$ тождества
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial x_p}{\partial y^j} \frac{\partial y^j}{\partial x_n} = \delta_{pn}
\end{equation*}
\notag
$$
с последующим использованием формулы (8). Используя формулы (6), (11), запишем выражения $\Delta \theta$, $\Delta \Phi$, $(\nabla \theta \nabla \Phi)$, $(\nabla \Phi)^2$ с помощью метрического тензора $g^{ik}$. В терминах $g_{ik}$ уравнение (4) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 4 g_{12} (g_{12}^2 - g_{11} g_{22}) \cos y^1 &+[-2 g_{12}^2 g_{11,2}+ g_{11} (- g_{11} g_{22,2} +g_{22} \{g_{11,2} - 2 g_{12,1}\})+{} \notag \\ &\qquad\quad+ g_{12} (g_{12}g_{11,1} + g_{11} \{2 g_{12,1} + g_{22,1}\}) ] \sin y^1=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
для уравнения (3) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g_{11}(g_{11} g_{22} &- g_{12}^2) \sin 2y^1- g_{12} [g_{11}g_{22,2} + g_{22} (g_{11,2} + 2 g_{12,1})] +{} \notag \\ &+g_{22}[g_{22} g_{11,1} + g_{11}(2 g_{12,2} - g_{22,1})] +2 g_{12}^2 g_{22,1}= 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Условие обращения в нуль тензора Римана (скаляра в двумерном пространстве) дает главное уравнение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g_{11} (g_{11,2} g_{22,2}&- 2 g_{22,2} g_{12,1} + g_{12,1}^2) -g_{12} [g_{22,2}g_{11,1} + 2 g_{12,1}(2 g_{12,2} - g_{22,1}) -{} \notag \\ &- g_{11,2}(2 g_{12,2} + g_{22,1})] -2 g_{12}^2 (g_{11,2,2} - 2 g_{12,1,2} + g_{22,1,1}) -g_{22} [ g_{11,2}^2 +{} \notag \\ &+ g_{11,1} (g_{12,1} - 2 g_{22,2}) - 2 g_{11} (g_{11,2,2} - 2 g_{12,1,1} + g_{22,1,1})]= 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
Здесь и далее введены сокращенные обозначения $g_{ik,s}=\partial g_{ik}/\partial y^s$ и т. д. Таким образом, решение уравнений (3), (4) свелось к решению уравнений (12)–(14) для метрического тензора. По известным значениям компонент метрического тензора зависимость $x_i=x_i(y^1,y^2)$ и, следовательно, зависимость полей $\theta$, $\Phi$ от $x_1$, $x_2$ находятся интегрированием линейной системы (8). Интегрирование этой системы упрощает параметризация производных $\partial_{y^s} x_i$ полем $\Psi_1(y^1,y^2)$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \partial_{y^1} x_{1} = \sqrt{g_{11}}\cos \Psi_1,\qquad \partial_{y^1} x_{2} = \sqrt{g_{11}} \sin \Psi_1,\\ \partial_{y^2} x_{2} = \sqrt{q_{22}} \cos \Psi_2,\qquad \partial_{y^2} x_{1} =\partial_{y^1} x_{2} = \sqrt{g_{22}} \sin \Psi_2,\\ \Psi_2 = \Psi_1 + \arccos \frac{g_{12}}{\sqrt{g_{11}}\sqrt{g_{22}}}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{15}
$$
которая сразу следует из вида $g_{ik}$ (6). Введение полей $V(y^1,y^2)$, $W(y^1,y^2)$ заменами приводит уравнения (12), (13) к замкнутой системе для расчета этих полей:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 4 W(W^2 - V) \cos y^1&+[(\partial_{y^1} V - 2 W \partial_{y^2} V) W +{} \\ &\qquad+ (\partial_{y^2} + 2 \partial_{y^2} W\,W - 2 \partial_{y^1}W) V] \sin y^1 = 0, \\ (V - W^2) \sin 2 y^1&+ 2 \partial_{y^2} W \, V + \partial_{y^1}V- (\partial_{y^2}V+ 2 \partial_{y^1} W) W = 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{17}
$$
3. Магнитные структуры в ортогональной системе координатВ этом разделе исследуем магнитные структуры в ортогональной системе координат, когда $g_{12} = g^{12} = 0$, а значит, $(\nabla \theta \nabla \Phi) = 0$. Подстановка $W = 0$ в (17) не только приводит к условию $V(y^1,y^2)=V(y^1)$, но и определяет $V(y^1)$: с постоянной $C$. Тогда с учетом (18) замена $g_{22} = e^{-T(y^1,y^2)}$ редуцирует уравнение (14) в линейное уравнение
$$
\begin{equation}
-2 V^2 \partial_{y^2}^2 T + \partial_{y^1} V \partial_{y^1} T - 2 V \partial_{y^1}^2 T = 0,
\end{equation}
\tag{19}
$$
которое решается методом характеристик, и мы имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, T(y^1, y^2) = T_1(X) + T_2(X),\\ X = y^2 - i \int \sqrt{V(y^1)}\, dy^1,\qquad Y = y^2 + i \int \sqrt{V(y^1)}\, dy^1, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{20}
$$
с произвольными функциями $T_1(X)$, $T_2(Y)$. Так как по определению (6), (16) функция $V(y^1)$ положительна, то уравнение (19) принадлежит эллиптическому типу. Величина $T(y^1,y^2)$ является вещественной частью аналитической функции, поэтому поля $T_1(X)$, $T_2(Y)$ связаны комплексным сопряжением: $T_1 = T_2^*$. Исследуем зависимость $x_i = x_i(y^1,y^2)$. Подстановка (15) в (8) при найденных компонентах метрического тензора дает замкнутые уравнения для поля $\Psi_1(y^1,y^2)$, решение которых имеет вид При этом согласно (15), когда $g_{12} = 0$, получаем $\Psi_2=\pi/2+\Psi_1$. Декартовы координаты определяются интегрированием системы (15). Опуская вычисления, приведем окончательный результат:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, x_1&= \frac{i}{2} \int e^{-T_1(X)}\,dX- \text{к. с.},\\ x_2&= \frac{\mathrm{1}}{2} \int e^{-T_1(X)}\, dX+ \text{к. с.} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
Эти соотношения в неявном виде $x_i=x_i(y^1,y^2)$, $i=1,2$, дают решение уравнений (3), (4). Для непосредственной проверки этого утверждения перепишем уравнения (3), (4) в терминах полей $y^1[z,z^*]$, $y^2[z,z^*]$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, 2 \partial_{z}\partial_{z^*} y^1 - \partial_{z} y^2 \partial_{z^*} y^2 \sin y_1 = 0,\\ (\partial_z y^2 \partial_{z^*} y^1 + \partial_z y^1 \partial_{z^*} y^2) \cos y^1+ \partial_{z}\partial_{z^*} y^2 \sin y^1 = 0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{23}
$$
где $z = x_1 + i x_2$, $z = x_1 - i x_2$. Тогда согласно (22) или в развернутом виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, z &= i \int \exp [ - T_1(X(y^1[z,z^*],y^2[z,z^*]))]\, dX(y^1[z,z^*],y^2[z,z^*]), \\ z^* &= - i \int \exp [ - T_1(X^*(y^1[z,z^*],y^2[z,z^*]))]\, dX^*(y^1[z,z^*],y^2[z,z^*]), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, X(y^1[z,z^*],y^2[z,z^*])= y^2[z,z^*] - i \int \sqrt{V(y^1[z,z^*])}\, dy^1[z,z^*],\\ X^*(y^1[z,z^*],y^2[z,z^*])= y^2[z,z^*] + i \int \sqrt{V(y^1[z,z^*])}\, dy^1[z,z^*],\\ V(y^1[z,z^*]) = - \frac{2}{2C+ \cos 2 y^1[z,z^*]}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{26}
$$
Прямым дифференцированием уравнений (25) с учетом (26) нетрудно найти выражения $\partial_z y^1$, $\partial_{z^*}y^1$, $\partial_z y^2$, $\partial_{z^*}y^2$, которые обращают соотношения (23) в тождества. Отметим важное обстоятельство. Известно, что уравнения (23) инвариантны при замене $z$ на произвольную аналитическую функцию $F(z)$ (конформная инвариантность). После формальной замены в (25) мы также получаем решения уравнений (23). Они будут зависеть от двух комплексных или четырех вещественных функций.Покажем, что при частном выборе $T_1(X)$: полученные формулы воспроизводят известные ранее решения. В этом случае поля $\theta$, $\Phi$ определяются неявным соотношением Отметим, что уравнения (3), (4) инвариантны относительно масштабных преобразований $r \to rd$ и вращений около оси $z$: $\varphi \to \varphi + \varphi_0$. Поэтому далее в формулах опущены все несущественные постоянные.Обсудим сначала простейшее решение (26) при $C=-1/2$. Выражение для $X$ принимает простой вид
$$
\begin{equation*}
X(y^1,y^2) = - i \ln \operatorname{tg} \frac{y^1}{2} + y^2,
\end{equation*}
\notag
$$
и при из (28) мы получаем популярную магнитную структуру – инстантон [12] в полярной системе координат:
$$
\begin{equation*}
y^2=\Phi=Q\varphi,\qquad y^1=\theta=2 \operatorname{arctg} \frac{1}{r^Q}.
\end{equation*}
\notag
$$
В качестве второго примера рассмотрим соотношения (26)–(28) с параметром $C \in (- \infty, -1/2)$ при комплексных значениях $B = B_1 + iB_2$. Тогда выражение для
$$
\begin{equation*}
X = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2C + 1}} F(y^1,k_1),\qquad k_1^2 = \frac{2}{\sqrt{2C + 1}},
\end{equation*}
\notag
$$
определяется эллиптическим интегралом первого рода $F(y^1,k_1)$ с модулем $k_1$. Положим и воспользуемся соотношением
$$
\begin{equation*}
F\biggl(y^1, \frac{k}{\sqrt{1-k^2}} \biggr)= - \sqrt{1-k^2} F \biggl( \frac{\pi}{2}-y^1,k\biggr) + \sqrt{1-k^2}K(k)+ 2K \biggl( \frac{k}{\sqrt{1-k^2}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $K=K(k)$ – полный эллиптический интеграл первого рода с модулем $k$. Тогда из уравнения (28) получим
$$
\begin{equation}
\ln r + i \varphi= B_2 k F\biggl( \frac{\pi}{2} - y^1, k\biggr)-B_1y^2 -i \biggl[ B_1 k F\biggl( \frac{\pi}{2} - y^1, k\biggr) + B_2 y^2\biggr].
\end{equation}
\tag{29}
$$
Отсюда находим а $y^1$ определяется амплитудой Якоби $\mathrm{am}$:
$$
\begin{equation*}
y^1 = \frac{\pi}{2}- \operatorname{am} \biggl( \frac{B_1 y^2 + \ln r}{B_2 k}, k\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Условие однозначности полей $\theta$, $\Phi$ налагает жесткие условия на коэффициенты $B_1$, $B_2$. Только при
$$
\begin{equation*}
B_1 = \frac{2\pi k KN}{(2\pi k KN)^2 + \pi^2 Q^2},\qquad B_2 = \frac{\pi^2 Q}{(2\pi k KN)^2 + \pi^2 Q^2},\qquad Q,N \in \mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
получаем однозначные решения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \cos y^1 = \mathrm{sn} \biggl( \frac{2N k}{\pi}\varphi - \frac{Q}{k} \ln r, k\biggr),\\ y^2 = Q\varphi + \frac{2N K k}{\pi} \ln r, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
которые описывают магнитные вихревые спирали [13]. Здесь $Q$ – топологический заряд вихря, $N$ – число рукавов спирали. Для плоского вихря
$$
\begin{equation*}
\theta = \frac{\pi}{2},\qquad \Phi = Q \varphi,\qquad Q \in \mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
метрический тензор оказывается вырожденным, и эта структура не укладывается в изложенную здесь схему.
4. Вихревые полосы в двумерном ферромагнетикеМагнитные вихри являются частным случаем дефектов физики конденсированных сред, которые достаточно давно наблюдались и исследовались в различных средах. Исторически исследование вихрей прежде всего связано с гидродинамикой, поскольку гидродинамические вихри визуально наблюдаемы в жидкости, а вихревая динамика составляет существенную область общей гидродинамики [14]. Начиная с работы Гельмгольца в 1868 году, в гидродинамике исследуются различные типы вихревых структур [15], [16]. Среди них особый интерес вызывают вихревые структуры, существующие на плоскости в конечной области, вне которой течение жидкости потенциально. В этом разделе мы исследуем такие структуры в модели Гейзенберга (1). Уравнения (17) допускают точные решения
$$
\begin{equation*}
W(y^1) = \frac{\operatorname{cosec} y^1}{\sqrt{F_2(y^1)}},\qquad V(y^1) = \frac{\operatorname{cosec}^2 y^1 F_3(y^1)}{2 F_2(y^1)}
\end{equation*}
\notag
$$
с функциями
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_2(y^1) &= - 1 - 4 U^2 (A+ \cos^2 y^1) \sin^2 y^1,\\ F_3(y^1) &= 2 + 8U^2 \sin^4 y^1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
Подстановка (30) и $g_{22} = e^{-G(y^1)}$ в (14) определяет последнюю компоненту метрического тензора интегрированием соотношения В итоге метрический тензор характеризуется тремя постоянными $A$, $U$, $T$. Важно, что требование положительной определенности функции $F_2(\theta)$ при конкретных значениях $U$ и $A$ ограничивает диапазон допустимых значений поля $y^1$. Как мы увидим далее, оно задает область существования новой структуры в плоскости $xOy$. В качестве примера рассмотрим следующий набор постоянных: График функции $F_2(\theta)$ изображен на рис. 1. Видно, что область допустимых значений поля $\theta(r)$, при которых функция $F_2(\theta(r))$ неотрицательна, определяется отрезком $\theta(r) \in [\pi/4, 3\pi/4]$.Подстановка (15) в (8) приводит к уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Psi_1(y^1,y^2) = \Psi_1(y^1) - \frac{T y^2}{4\sqrt{2} U},\\ \partial_{y^1} \Psi_1 =\frac{T \mathrm{cosec} \, y^1}{4 U \sqrt{F_2}} - \frac{4 U \sin 2 y_1}{F_3}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{33}
$$
Эти соотношения позволяют проинтегрировать (15) и найти $x_i = x_i(y^1,y^2)$, а значит, функцию
$$
\begin{equation}
z = x_1 + i x_2= \frac{4\sqrt{2} i U}{T} \exp \biggl[\frac{1}{2} G(y^1) + i \Psi_2(y^1, y^2)\biggr].
\end{equation}
\tag{34}
$$
Отсюда находим поля $\Phi=y^2$, $\theta=y^1$. Для $y^2$ получаем соотношение
$$
\begin{equation}
y^2 =- \frac{4 \sqrt{2} U}{T} \varphi- \frac{4 \sqrt{2} U}{T} \biggl[ \arccos \biggl( \sqrt{\frac{2}{F_3}}\biggr) + \Psi_1\biggr],
\end{equation}
\tag{35}
$$
которое однозначно при условии
$$
\begin{equation*}
T = - 4\sqrt{2} \frac{U}{Q}, \qquad Q \in \mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующее из (34) уравнение показывает, что поле $y^1=\theta$ зависит только от $r$. Дифференцирование равенства (36) по $r$ c учетом (31) приводит к уравнению интегрирование которого дает неявное выражение для $\theta(r)$:
$$
\begin{equation}
F \biggl[ i \operatorname{arsh} \biggl( \sqrt{\frac{2}{T_+}} U \cos \theta \biggr), k \biggr] = \pm \frac{|Q|}{\sqrt{2}}\, \sqrt{\frac{1+4AU^2}{T_+}} \ln \frac{r}{a},
\end{equation}
\tag{38}
$$
где $a$ – вещественный параметр, $F[u,k]$ – эллиптический интеграл первого рода с модулем $k=\sqrt{-T_+/T_-}$ [17] и Обращение эллиптического интеграла в (38) приводит к простой формуле
$$
\begin{equation}
\cos \theta= \frac{1}{U} \sqrt{\frac{-T_+}{2}} \operatorname{sn} \biggl[ \pm \frac{|Q|}{\sqrt{2}}\, \sqrt{\frac{1+4AU^2}{T_+}} \ln \frac{r}{a}, k\biggr],
\end{equation}
\tag{39}
$$
где $\operatorname{sn}(u,k)$ – эллиптическая функция с модулем $k$ [17]. Соотношения (35), (36) указывают на простой вид полей
$$
\begin{equation}
\theta = \theta(r),\qquad \Phi = Q \varphi + H(\theta).
\end{equation}
\tag{40}
$$
Тогда из (33) находим
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dy^1} H(y^1) = \frac{\operatorname{cosec}(y^1)}{\sqrt{F_2}},
\end{equation*}
\notag
$$
и функция $H(\theta)$ определяется квадратурой
$$
\begin{equation}
H(\theta)= \pm \frac{1}{\sqrt{2} U}\, \sqrt{\frac{T_+}{1 + 4AU^2}} \Pi \biggl[ - \frac{T_+}{2U^2}, i \operatorname{arsh} \sqrt{\frac{2}{T_+}} U \cos \theta, k \biggr],
\end{equation}
\tag{41}
$$
где $\Pi(m,u,k)$ – эллиптический интеграл третьего рода [17]. Интервал вещественности поля $\theta(r)$ задает область существования решения $r_1 \leqslant r \leqslant r_2$ на плоскости $xOy$. Из (39) следует, что при выборе постоянных, как в (32), и при $Q=1$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, r_1 &= r \biggl(\frac{3\pi}{4} \biggr) = a \exp\biggl[- \sqrt{\frac{2}{3}K(k_1)}\biggr],\\ r_2 &= r \biggl( \frac{\pi}{4} \biggr) = a \exp \biggl[ \sqrt{\frac{2}{3}K(k_1)} \biggr],\\ k_1 &= \sqrt{ \frac{1}{3}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $K(k_1)$ – полный эллиптический интеграл первого рода с модулем $k_1$ [14]. Поэтому описанное выше решение существует только в круговой полосе, ограниченной двумя концентрическими окружностями радиусов $r_1$ и $r_2$. Интеграл
$$
\begin{equation*}
I= \frac{1}{2\pi} \oint_\Gamma \nabla \Phi\, d \mathbf{r}
\end{equation*}
\notag
$$
по любому замкнутому контуру $\Gamma$, обходящему начало координат внутри полосы против часовой стрелки, равен $Q$ согласно (35). Поэтому решению (39)–(41) соответствует вихревая круговая полоса. Ее примечательной особенностью, в отличие от известных ранее вихревых структур, является отсутствие центра вихря. Вихревая природа полосы отчетливо видна на рис. 2, заметны области с $n_z<0$, $n_z=0$ и $n_z>0$. На рис. 3 приведено распределение поля при $A=-5$, $U=1$. При таком выборе параметров хорошо заметны области $r < r_1$, $r > r_2$ плоскости $xOy$, где решения (13), (14) не существует. Другая важная особенность решения – ограниченность полной энергии полоски. Из теоремы Хоббарта–Деррика [18], [19] следует, что локализованные двумерные магнитные структуры в неограниченных соизмеримых ферромагнетиках с конечной энергией существуют только в обменном приближении. В нашем случае плотность энергии (1) после подстановки (40)
$$
\begin{equation}
E_0=\frac{Q^2 \sin^2 \theta(r)}{2 r} +\frac{1}{2} [1+[ H'(\theta(r))]^2 \sin^2 \theta(r)] ( \partial_r \theta(r))^2
\end{equation}
\tag{42}
$$
с учетом соотношения
$$
\begin{equation*}
H'(\theta)\, \partial_r \theta = \frac{Q}{2 U r \sin^2 \theta}
\end{equation*}
\notag
$$
конечна во всем интервале $(r_1,r_2)$, $\partial_r \theta(r)$ достигает нуля на границе дорожки. В отличие от двумерного магнитного вихря в односвязной плоскости, полная энергия вихревой дорожки не зависит от размеров кольца. Так, для значений констант интегрирования (32) и $Q=1$ имеем $r_1 \approx 0.24a$, $r_2 \approx 4.12a$, при этом полная энергия Предсказанные аксиально-симметричные вихревые конфигурации могут наблюдаться на торцевой поверхности сквозного наноцилиндра с поверхностной анизотропией на боковых поверхностях, согласованной с вихревым упорядочением краевых спинов. Описанные здесь магнитные структуры представляют только часть общих решений двумерной модели Гейзенберга. В общем случае метрический тензор зависит от двух переменных: Соответствующие результаты требуют специального изучения и будут изложены в другой работе.БлагодарностиАвтор глубоко признателен Е. А. Кузнецову за инициирование этой работы, К. Л. Метлову, Ф. Н. Рыбакову, Д. В. Долгих, В. В. Киселеву за интерес к работе, полезные замечания и плодотворные обсуждения экспериментальной реализации вихревой полоски. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bor23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|