| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 56 научных статьях (всего в 56 статьях) Четырехкомпонентные интегрируемые иерархии гамильтоновых уравнений с парами Лакса ( Вэнь-Сю Маabcd a Department of Mathematics, Zhejiang Normal University, Jinhua, Zhejiang, China b Department of Mathematics, King Abdulaziz University, Jeddah, Saudi Arabia c Department of Mathematics and Statistics, University of South Florida, Tampa, FL, USA d School of Mathematical and Statistical Sciences, North-West University, Mmabatho, South Africa
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923080093 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеБесконечномерные интегрируемые гамильтоновы уравнения представляют собой разновидность дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), обладающих бесконечным числом сохраняющихся функционалов, коммутирующих относительно соответствующей скобки Пуассона [1]. Такие гамильтоновы уравнения часто имеют богатый набор аналитических и геометрических структур, изучение которых может выявить новые и неожиданные связи с другими областями математической физики. Самый известный пример – уравнение Кортвега–де Фриза. Известно, что построение интегрируемых гамильтоновых уравнений – это сложная задача, требующая сочетания физической интуиции, математической проницательности и технических знаний. Распространенным подходом в теории солитонов является формулировка нулевой кривизны. В этом подходе сначала формулируются пары Лакса матричных спектральных задач, а затем с помощью уравнений нулевой кривизны генерируются интегрируемые гамильтоновы уравнения в частных производных [2], [3]. Рекуррентные структуры в матричных спектральных задачах гарантируют существование интегрируемых иерархий гамильтоновых уравнений, которые коммутируют относительно коммутатора векторных полей над соответствующим пространством джетов. Мы рассматриваем ДУЧП с векторным потенциалом или зависимой переменной $u=(u_1,\ldots,u_q)^{\mathrm T}$. Пусть $\lambda$ – спектральный параметр матричных спектральных задач. Стартовой точкой является матричная алгебра петель $\tilde g$ с петлевым параметром $\lambda$. Возьмем линейные независимые элементы $e_1,\ldots,e_q$ и псевдорегулярный элемент $e_0$, т. е. элемент, удовлетворяющий условиям
$$
\begin{equation}
\operatorname{Ker}\operatorname{ad}_{e_0}\oplus\operatorname{Im}\operatorname{ad}_{e_0}=\tilde g,\qquad [\operatorname{Ker}\,\operatorname{ad}_{e_0},\operatorname{Ker}\operatorname{ad}_{e_0}]=0,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
и зададим спектральную матрицу следующим образом:
$$
\begin{equation}
U=U(u,\lambda)=e_0(\lambda)+u_1 e_1(\lambda)+\cdots+u_qe_q(\lambda).
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Свойства псевдорегулярного элемента $e_0$ влекут существование решения типа ряда Лорана $Z=\sum_{s\geqslant 0}\lambda^{-s} Z^{[s]}$ для стационарного уравнения нулевой кривизны Теперь, если ввести матрицы
$$
\begin{equation}
V^{[r]}=V^{[r]}(u,\lambda)=(\lambda^r Z)_{+}+\Delta_r=\sum_{s=0}^r\lambda^s Z^{[r-s]}+\Delta_r,\qquad r\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
интегрируемая иерархия гамильтоновых уравнений может быть представлена как иерархия уравнений нулевой кривизны
$$
\begin{equation}
U_{t_r}-V^{[r]}_x+i[U,V^{[r]}]=0,\qquad r\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
которые являются условиями совместности пространственной и временно́й матричных спектральных задач
$$
\begin{equation}
-i\phi_x=U\phi,\qquad -i\phi_{t_r}=V^{[r]}\phi,\quad r\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
где $\phi$ – собственная функция. Для этих задач гамильтоновы структуры и соответствующая интегрируемость по Лиувиллю обычно выводятся с помощью следового тождества [4], [5]
$$
\begin{equation}
\frac{\delta}{\delta u}\int\operatorname{tr}\biggl(Z\frac{\partial U}{\partial\lambda}\biggr)= \lambda^{-\gamma}\frac{\partial}{\partial\lambda}\lambda^\gamma\operatorname{tr}\biggl(Z\frac{\partial U}{\partial u}\biggr),
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где $\delta/\delta u$ – вариационная производная по $u$, а постоянная $\gamma$ задается как
$$
\begin{equation}
\gamma=-\frac\lambda 2\frac{\partial}{\partial\lambda}\ln |\operatorname{tr}(Z^2)|.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Многие интегрируемые иерархии гамильтоновых уравнений были введены с помощью уравнений нулевой кривизны, основанных на специальных линейных алгебрах (см., например, работы [2], [6]–[13]) и специальных ортогональных алгебрах (см., например, работы [14]–[17]). Комбинация гамильтоновых и рекуррентных структур дает бигамильтоновы структуры, существование которых показывает, что исследуемые гамильтоновы уравнения интегрируемы по Лиувиллю [18]. Интегрируемые иерархии с двумя скалярными потенциалами включают в себя иерархию Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура [2], иерархию Каупа–Ньюэлла [19], иерархию Вадати–Конно–Итикавы [20] и иерархию спиновых цепочек Гейзенберга [21]. Эти иерархии связаны со следующими четырьмя спектральными матрицами:
$$
\begin{equation*}
U=\begin{bmatrix} \lambda & \phantom{-}p \\ q & -\lambda \end{bmatrix},\quad U=\begin{bmatrix} \lambda^2 & \lambda p \\ \lambda q & -\lambda^2 \end{bmatrix},\quad U=\begin{bmatrix} \lambda & \lambda p\\\lambda q &-\lambda \end{bmatrix},\quad U=\begin{bmatrix} \lambda r & \phantom{-}\lambda p \\ \lambda q & -\lambda r \end{bmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $pq+r^2=1$ и $p$, $q$ – два скалярных потенциала. Аналогичные интегрируемые иерархии получатся для четырех спектральных матриц, связанных с группой $so(3,\mathbb{R})$:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} U&=\begin{bmatrix} 0 & q & -\lambda \\ q & 0& -p \\ \lambda & p & 0 \end{bmatrix},&\qquad U&=\begin{bmatrix} 0 & -\lambda q & -\lambda^2 \\ \lambda q & 0 & -\lambda p \\ \lambda^2 &\lambda p & 0 \end{bmatrix}, \\ U&=\begin{bmatrix} 0 & -\lambda q & -\lambda \\ \lambda q & 0 & -\lambda p \\ \lambda & \lambda p & 0 \end{bmatrix},&\qquad U&=\begin{bmatrix} 0 & -\lambda q & -\lambda r \\ \lambda q & 0& -\lambda p \\ \lambda r &\lambda p & 0 \end{bmatrix}, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $p^2+q^2+r^2=1$ (см., например, работу [15]). Цель настоящей статьи – сформулировать класс матричных спектральных задач высокого порядка с четырьмя компонентами и получить соответствующие интегрируемые иерархии в формулировке нулевой кривизны. С помощью следового тождества мы устанавливаем гамильтоновы структуры получающихся иерархий. Рассмотрены два иллюстративных примера, которые представляют собой интегрируемые комбинированные нелинейные уравнения Шредингера и комбинированные модифицированные уравнения Кортевега–де Фриза. Последний раздел посвящен выводам и заключительным замечаниям. 2. Пары Лакса высшего порядка и интегрируемые иерархииПусть $m$ и $n$ – два произвольных натуральных числа и $\delta=\pm 1$. В формулировке нулевой кривизны вводится матричная спектральная задача ($m+n+2$)-го порядка
$$
\begin{equation}
-i\phi_x=U\phi,\qquad U=U(u,\lambda)=\left[\begin{array}{c|c|c} \lambda &\begin{array}{cc} \mathbf p_1 & \mathbf p_2 \end{array} & 0 \\ \hline \begin{gathered} \, \mathbf q_1^{} \vphantom{\Big|} \\ \mathbf q_2^{} \vphantom{\Big|}\end{gathered} & 0 & \begin{gathered} \, \delta\mathbf p^{\mathrm T}_1 \vphantom{\Big|} \\ \mathbf p^{\mathrm T}_2 \vphantom{\Big|}\end{gathered} \\ \hline 0 & \begin{array}{cc} \delta\mathbf q^{\mathrm T}_1 & \mathbf q^{\mathrm T}_2 \end{array} & -\lambda \vphantom{\Big|} \end{array} \right]_{(m+n+2)\times (m+n+2)},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathbf p_1=(\,\underbrace{p_1,\ldots,p_1}_m\,),\quad \mathbf p_2=(\,\underbrace{p_2,\ldots,p_2}_n\,),\quad \mathbf q_1=(\,\underbrace{q_1,\ldots,q_1}_m\,)^{\mathrm T},\quad \mathbf q_2=(\,\underbrace{q_2,\ldots,q_2}_n\,)^{\mathrm T},
\end{equation*}
\notag
$$
а векторный потенциал $u$ задается как $u=(p_1,p_2,q_1,q_2)^{\mathrm T}$. Эта спектральная задача отличается от матричной спектральной задачи Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура. (см., например, [2]). Как обычно, будем искать решение стационарного уравнения нулевой кривизны (1.3) в виде ряда Лорана. Опираясь на технику машинного обучения, мы можем принять следующую форму решения $Z$:
$$
\begin{equation}
Z=\left[\begin{array}{c|cc|c} a & \mathbf b_1 & \mathbf b_2 & 0 \\ \hline \mathbf c_1 & 0 & \mathbf d & \delta\mathbf b_1^{\mathrm T} \vphantom{\Big|}\\ \mathbf c_2 & -\delta\mathbf d^{\mathrm T} & 0 & \mathbf b_2^{\mathrm T} \vphantom{\big|_{|}}\\ \hline 0 & \delta\mathbf c_1^{\mathrm T} & \mathbf c_2^{\mathrm T} & -a \vphantom{\Big|} \end{array}\right]_{(m+n+2)\times (m+n+2)} =\sum_{s\geqslant 0}\lambda^{-s} Z^{[s]},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf b_1=(\,\underbrace{b_1,\ldots,b_1}_m\,),\quad \mathbf b_2=(\,\underbrace{b_2,\ldots,b_2}_n\,),\quad \mathbf c_1=(\,\underbrace{c_1,\ldots,c_1}_m\,)^{\mathrm T},\quad \mathbf c_2=(\,\underbrace{c_2,\ldots,c_2}_n\,)^{\mathrm T}, \\ \mathbf d=d\begin{bmatrix} 1 &1 & \ldots & 1 \\ 1 &1 & \ldots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 &1 & \cdots & 1 \end{bmatrix}_{m\times n}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы полагаем, что имеют место разложения в ряды Лорана
$$
\begin{equation}
a=\sum_{s\geqslant 0}\lambda^{-s}a^{[s]},\quad\; b_j=\sum_{s\geqslant 0}\lambda^{-s}b_j^{[s]},\quad\; c_j=\sum_{s\geqslant 0}\lambda^{-s}c_j^{[s]},\quad\; d=\sum_{s\geqslant 0}\lambda^{-s}d^{[s]},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $j=1,2$. Нетрудно видеть, что соответствующее стационарное уравнение нулевой кривизны (1.3) приводит к уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{3} b_{1,x}&=i(\lambda b_1-p_1a-\delta np_2d),&\qquad b_{2,x}&=i(\lambda b_2-p_2a+mp_1d), \\ c_{1,x}&=-i(\lambda c_1-q_1a+nq_2d),&\qquad c_{2,x}&=-i(\lambda c_2-q_2a-\delta mq_1d), \end{alignedat}\\ \begin{aligned} \, d_x&=i(q_1b_2-\delta q_2b_1+\delta p_1c_2-p_2c_1), \\ a_x&=i(mp_1c_1+np_2c_2-mq_1b_1-nq_2b_2)= \\\ &=-\lambda^{-1}(mq_1b_{1,x}+nq_2b_{2,x}+mp_1c_{1,x}+np_2c_{2,x}). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Из этих уравнений получаем начальные условия
$$
\begin{equation}
a^{[0]}_x=0,\qquad b_1^{[0]}=b_2^{[0]}=c_1^{[0]}=c_2^{[0]}=0,\qquad d^{[0]}_x=0
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
и рекуррентные соотношения для $s\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, b_1^{[s+1]}&=-ib_{1,x}^{[s]}+p_1a^{[s]}+\delta np_2d^{[s]}, \\ b_2^{[s+1]}&=-ib_{2,x}^{[s]}+p_2a^{[s]}-mp_1d^{[s]}, \\ c_1^{[s+1]}&=ic_{1,x}^{[s]}+q_1a^{[s]}-nq_2d^{[s]},\vphantom{|^{\big|}} \\ c_2^{[s+1]}&= ic_{2,x}^{[s]}+q_2a^{[s]}+\delta mq_1d^{[s]}, \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, d^{[s+1]}_x&=i(q_1b_2^{[s+1]}-\delta q_2b_1^{[s+1]}+\delta p_1c_2^{[s+1]}-p_2c_1^{[s+1]}), \\ a^{[s+1]}_x&=i(-mq_1b_1^{[s+1]}-nq_2b_2^{[s+1]}+mp_1c_1^{[s+1]}+np_2c_2^{[s+1]})= \\ &=-(mq_1b_{1,x}^{[s]}+nq_2b_{2,x}^{[s]}+mp_1c_{1,x}^{[s]}+np_2c_{2,x}^{[s]}). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Далее, чтобы выделить единственное решение $Z$, мы выберем начальные значения и положим постоянные интегрирования равными нулю:
$$
\begin{equation}
a^{[0]}=1,\quad d^{[0]}=0,\qquad a^{[s]}|_{u=0}=0,\quad d^{[s]}|_{u=0}=0,\quad s\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
В результате получаем $a^{[s]}$, $b_1^{[s]}$, $b_2^{[s]}$, $c_1^{[s]}$, $c_2^{[s]}$ и $d^{[s]}$. Приведем первые четыре набора коэффициентов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a^{[1]}&=0,\qquad b_1^{[1]}=p_1,\quad b_2^{[1]}=p_2,\quad c_1^{[1]}=q_1,\quad c_2^{[1]}=q_2,\quad d^{[1]}=0; \\ a^{[2]}&=-mp_1q_1- np_2q_2,\qquad b_1^{[2]}=-ip_{1,x},\quad b_2^{[2]}=-ip_{2,x}\vphantom{\big|^{\big|}}, \\ c_1^{[2]}&=iq_{1,x},\quad c_2^{[2]}=iq_{2,x},\quad d^{[2]}=-\delta p_1q_2+p_2q_1; \\ a^{[3]}&=-i(mp_1q_{1,x}-mp_{1,x}q_1+np_2q_{2,x}- np_{2,x}q_2),\vphantom{\big|^{\big|}} \\ b_1^{[3]}&=-p_{1,xx}-mp_1^2q_1-2np_1p_2q_2+\delta np_2^2q_1, \\ b_2^{[3]}&=-p_{2,xx}+\delta mp_1^2q_2-2mp_1p_2q_1-np_2^2q_2, \\ c_1^{[3]}&=-q_{1,xx}-mp_1q_1^2+\delta np_1q_2^2-2 np_2q_1q_2, \\ c_2^{[3]}&=-q_{2,xx}-2mp_1q_1q_2+\delta mp_2q_1^2-np_2q_2^2, \\ d^{[3]}&=-i(\delta p_1q_{2,x}-p_2q_{1,x}-\delta p_{1,x}q_2+p_{2,x}q_1); \\ a^{[4]}&=\frac{3}{2}m^2p_1^2q_1^2-\frac{3}{2}\delta mnp_1^2q_2^2+6mnp_1p_2q_1q_2- \frac{3}{2}\delta m np_2^2q_1^2+\frac{3}{2}n^2p_2^2q_2^2+{}\vphantom{|^{\Big|}} \\ &\quad +mp_1q_{1,xx}+mp_{1,x,x}q_1+np_2q_{2,xx}+np_{2,xx}q_2-mp_{1,x}q_{1,x}-np_{2,x}q_{2,x}, \\ b_1^{[4]}&=i(p_{1,xxx}+3mp_1p_{1,x}q_1+3np_1p_{2,x}q_2-3\delta np_2p_{2,x}q_1+3np_{1,x}p_2q_2), \\ b_2^{[4]}&=i(p_{2,xxx}+3mp_1p_{2,x}q_1-3\delta mp_1p_{1,x}q_2+3mp_{1,x}p_2q_1+3np_2p_{2,x}q_2), \\ c_1^{[4]}&=-i(q_{1,xxx}+3mp_1q_1q_{1,x}-3\delta np_1q_2q_{2,x}+3np_2q_1q_{2,x}+3np_2q_{1,x}q_2), \\ c_2^{[4]}&=-i(q_{2,xxx}+3 mp_1q_1q_{2,x}+3mp_1q_{1,x}q_2-3\delta mp_2q_1q_{1,x}+3 np_2q_2q_{2,x}), \\ d^{[4]}&=3(mp_1q_1+np_2q_2)(\delta p_1q_2-p_2q_1)+\delta p_{1,xx}q_2-p_{2,xx}q_1-{} \\ &\quad -p_2q_{1,xx}+\delta p_1q_{2,xx}-\delta p_{1,x}q_{2,x}+p_{2,x}q_{1,x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь сформулируем матричные временны́е спектральные задачи:
$$
\begin{equation}
-i\phi_{t_r}=V^{[r]}\phi=V^{[r]} (u,\lambda)\phi,\qquad V^{[r]}= (\lambda^r Z)_{+}=\sum_{s=0}^r\lambda^s Z^{[r-s]},\quad r\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
которые представляют собой вторые части пар Лакса для матричных спектральных задач в формулировке нулевой кривизны. Уравнения нулевой кривизны (1.5) являются условиями совместности пространственных и временны́х матричных спектральных задач (2.1) и (2.8). Эти уравнения дают четырехкомпонентную интегрируемую иерархию
$$
\begin{equation}
u_{t_r}=K^{[r]}= (ib_1^{[r+1]},ib_2^{[r+1]},-i c_1^{[r+1]},-i c_2^{[r+1]})^{\mathrm T},\qquad r\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
или, более точно,
$$
\begin{equation}
p_{1,t_r}=ib_1^{[r+1]},\quad p_{2,t_r}=ib_2^{[r+1]},\quad q_{1,t_r}=-ic_1^{[r+1]},\quad q_{2,t_r}=-ic_2^{[r+1]},\qquad r\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Первые два нелинейных примера в приведенной выше интегрируемой иерархии – это связанные нелинейные уравнения Шредингера
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, ip_{1,t_2}&=p_{1,xx}+mp_1^2q_1+2 np_1p_2q_2-\delta np_2^2q_1, \\ ip_{2,t_2}&=p_{2,xx}-\delta mp_1^2q_2+2 mp_1p_2q_1+np_2^2q_2, \\ iq_{1,t_2}&=-q_{1,xx}- mp_1q_1^2+\delta np_1q_2^2-2 np_2q_1q_2, \\ iq_{2,t_2}&=-q_{2,xx}-2mp_1q_1q_2+\delta mp_2q_1^2-np_2q_2^2 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
и связанные модифицированные уравнения Кортевега–де Фриза
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, p_{1,t_3}&=p_{1,xxx}+3 mp_1p_{1,x}q_1+3 np_1p_{2,x}q_2-3\delta np_2p_{2,x}q_1+3np_{1,x}p_2q_2, \\ p_{2,t_3}&= p_{2,xxx}+3 mp_1p_{2,x}q_1-3\delta mp_1p_{1,x}q_2+3 mp_{1,x}p_2q_1+3np_2p_{2,x}q_2, \\ q_{1,t_3}&=q_{1,xxx}+3 mp_1q_1q_{1,x}-3\delta np_1q_2q_{2,x}+3np_2q_1q_{2,x}+3np_2q_{1,x}q_2, \\ q_{2,t_3}&=q_{2,xxx}+3 mp_1q_1q_{2,x}+3mp_1q_{1,x}q_2-3\delta mp_2q_1q_{1,x}+3 np_2q_2q_{2,x}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
где, напомним, $m$ и $n$ – два произвольных натуральных числа и $\delta=\pm 1$.
3. Гамильтоновы структурыЧтобы получить гамильтоновы структуры для интегрируемой иерархии (2.9), мы применяем следовое тождество (1.7) к матричной спектральной задаче (2.1). С учетом того, что решение $Z$ задается выражением (2.2), мы можем напрямую получить равенства
$$
\begin{equation*}
\operatorname{tr}\biggl(Z\frac{\partial U}{\partial\lambda}\biggr)=2a,\qquad \operatorname{tr}\biggl(Z\frac{\partial U}{\partial u}\biggr)=(2mc_1,2nc_2,2m b_1,2nb_2)^{\mathrm T},
\end{equation*}
\notag
$$
таким образом, применение следового тождества (1.7) приводит к уравнениям
$$
\begin{equation*}
\frac{\delta}{\delta u}\int\lambda^{-s-1}a^{[s+1]}\,dx= \lambda^{-\gamma}\frac\partial{\partial\lambda}\lambda^{\gamma-s} (mc_1^{[s]},nc_2^{[s]},mb_1^{[s]},nb_2^{[s]})^{\mathrm T},\qquad s\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассматривая случай $s=2$, получаем $\gamma=0$, отсюда имеем вариационные тождества
$$
\begin{equation}
\frac{\delta\mathcal H^{[s]}}{\delta u}= (m c_1^{[s+1]},n c_2^{[s+1]},m b_1^{[s+1]},n b_2^{[s+1]})^{\mathrm T},\qquad s\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где гамильтоновы функционалы задаются как
$$
\begin{equation}
\mathcal H^{[s]}=-\int\frac{a^{[s+2]}}{s+1}\,dx,\qquad s\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Три первых функционала имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal H^{[0]}&=\int(mp_1q_1+np_2q_2)\,dx, \notag\\ \mathcal H^{[1]}&=\int\frac{i}{2}(mp_1q_{1,x}-mp_{1,x}q_1+np_2q_{2,x}-np_{2,x}q_2)\,dx, \\ \mathcal H^{[2]}&=\int\biggl[\frac{1}{2}(-m^2p_1^2q_1^2+\delta mnp_1^2q_2^2-4mnp_1p_2q_1q_2+\delta mnp_2^2q_1^2-n^2p_2^2q_2^2)-{} \notag\\ &\qquad-\frac{1}{3}(mp_1q_{1,xx}+mp_{1,x,x}q_1+np_2q_{2,xx}+np_{2,xx}q_2-mp_{1,x}q_{1,x}- np_{2,x}q_{2,x})\biggr]\kern1pt dx. \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Из вариационных тождеств без труда получаются гамильтоновы структуры для соответствующих интегрируемых уравнений:
$$
\begin{equation}
u_{t_r}= K^{[r]}= (ib_1^{[r+1]},ib_2^{[r+1]},-ic_1^{[r+1]},-ic_2^{[r+1]})^{\mathrm T}=J\frac{\delta\mathcal H^{[r]}}{\delta u},\qquad r\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где
$$
\begin{equation}
J=\left[\begin{array}{c|c} 0 & \begin{array}{cc} i/m & 0 \\ 0 & i/n \end{array} \\ \hline \begin{array}{cc} -i/m & 0 \vphantom{|^{A^2}}\\ 0 & -i/n \end{array} & 0 \end{array}\right].
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Ассоциированные гамильтоновы структуры показывают, что сохраняющийся функционал $\mathcal H$ связан с симметрией $S$ равенством $S=J\frac{\delta\mathcal H}{\delta u}$, и их можно использовать для демонстрации интегрируемости по Лиувиллю иерархии (2.9). Одно из основных свойств интегрируемости – коммутативность векторных полей $K^{[r]}$:
$$
\begin{equation}
[\kern-0.7pt[K^{[s_1]},K^{[s_2]}]\kern-0.7pt]=K^{[s_1]}{'}(u)[K^{[s_2]}]-K^{[s_2]}{'}(u)[K^{[s_1]}]=0,\qquad s_1,s_2\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
которая гарантируется алгеброй операторов Лакса
$$
\begin{equation}
[\kern-0.7pt[V^{[s_1]},V^{[s_2]}]\kern-0.7pt]= V^{[s_1]}{'}(u)[K^{[s_2]}]-V^{[s_2]}{'}(u)[K^{[s_1]}]+[V^{[s_1]},V^{[s_2]}]=0,\qquad s_1,s_2\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
являющейся следствием изоспектральных уравнений нулевой кривизны (детали см. в работе [22]). Кроме того, из рекуррентного соотношения $K^{[r+1]}=\Phi K^{[r]}$ можно найти оператор рекурсии $\Phi=(\Phi_{jk})_{4\times 4}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \Phi_{11}&=i(-\partial_x-mp_1\partial^{-1}q_1-np_2\partial^{-1}q_2),&\qquad \Phi_{12}&=i(-np_1\partial^{-1}q_2+\delta np_2\partial^{-1}q_1), \\ \Phi_{13}&=i(-mp_1\partial^{-1}p_1+\delta np_2\partial^{-1}q_2),&\qquad \Phi_{14}&=i(-np_1\partial^{-1}p_2-np_2\partial^{-1}p_1), \\ \Phi_{21}&=i(-mp_2\partial^{-1}q_1+\delta mp_1\partial^{-1}q_2),&\qquad \Phi_{22}&=i(-\partial_x-np_2\partial^{-1}q_2-mp_1\partial^{-1}q_1), \\ \Phi_{23}&=i(-mp_2\partial^{-1}p_1-mp_1\partial^{-1}p_2),&\qquad \Phi_{24}&=i(np_2\partial^{-1}p_2+\delta mp_1\partial^{-1}p_1), \\ \Phi_{31}&=i(mq_1\partial^{-1}q_1-\delta nq_2\partial^{-1}q_2),&\qquad \Phi_{32}&=i( nq_1\partial^{-1}q_2+nq_2\partial^{-1}q_1), \\ \Phi_{33}&=i(\partial_x+mq_1\partial^{-1}p_1+nq_2\partial^{-1}p_2),&\qquad \Phi_{34}&=i( nq_1\partial^{-1}p_2-\delta nq_2\partial^{-1}p_1), \\ \Phi_{41}&=i(mq_2\partial^{-1}q_1+mq_1\partial^{-1}q_2),&\qquad \Phi_{42}&=i( nq_2\partial^{-1}q_2-\delta mq_1\partial^{-1}q_1), \\ \Phi_{43}&=i(mq_2\partial^{-1}p_1-\delta mq_1\partial^{-1}p_2),&\qquad \Phi_{44}&=i(\partial_x+nq_2\partial^{-1}p_2+mq_1\partial^{-1}p_1). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что оператор $\Phi J$ кососимметричен, а значит, сохраняющиеся функционалы коммутируют относительно соответствующей скобки Пуассона [4]:
$$
\begin{equation}
\{\mathcal H^{[s_1]},\mathcal H^{[s_2]}\}_J= \int\biggl(\frac{\delta\mathcal H^{[s_1]}}{\delta u}\biggr)^{\!\mathrm T}J\frac{\delta\mathcal H^{[s_2]}}{\delta u}\,dx=0,\qquad s_1,s_2\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Наконец, комбинация оператора Гамильтона $J$ с оператором рекурсии $\Phi$ [23] дает бигамильтонову структуру [18] для иерархии (2.9). Таким образом, каждое уравнение в иерархии (2.9) обладает бесконечным числом коммутирующих симметрий $\{K^{[s]}\}_{s=0}^\infty$ и сохраняющихся функционалов $\{\mathcal H^{[s]}\}_{s=0}^\infty$, следовательно, она интегрируема по Лиувиллю благодаря соотношениям (3.6) и (3.8). В частности, (2.11) и (2.12) – это два простейших примера нелинейных гамильтоновых интегрируемых уравнений в этой иерархии. 4. Заключительные замечанияВ представленной работе мы сформулировали класс матричных спектральных задач высокого порядка и с помощью уравнений нулевой кривизны получили связанные с ними интегрируемые иерархии. Важной составляющей предложенной конструкции является решение типа ряда Лорана для соответствующего стационарного уравнения нулевой кривизны. Получив с помощью следового тождества гамильтоновы структуры этих иерархий, мы показали, что все уравнения интегрируемы по Лиувиллю. Заметим, что матричные спектральные задачи (2.1) являются специфическими редукциями матричных спектральных задач из работ [24]–[26] и [17], которые приводят к интегрируемым уравнениям, обобщающим уравнения Кулиша–Склянина [27]. Но остается открытым вопрос: как можно редуцировать данную матричную спектральную задачу? Не работает любой пример модификации матричной задачи (2.1), в котором $\delta\mathbf p_1^{\mathrm T}$ и $\delta\mathbf q_1^{\mathrm T}$ заменяются на $(\delta_1p_1,\ldots,\delta_mp_1)^{\mathrm T}$ и $(\delta_1q_1,\ldots,\delta_mq_1)$, где $\delta_i$ равны $\pm 1$, но не совпадают (скажем, на $(\delta p_1,\ldots,\delta p_1,-\delta p_1)^{\mathrm T}$ и $(\delta q_1,\ldots,\delta q_1,-\delta q_1)$ соответственно), так как в этом случае не существует ненулевое решение типа ряда Лорана. С другой стороны, можно было бы обобщить предыдущие матричные спектральные задачи (2.1), включив третью пару потенциалов $p_3$ и $q_3$. Задача тогда состоит в том, чтобы найти осмысленное решение типа ряда Лорана для соответствующего стационарного уравнения нулевой кривизны. Когда спектральная матрица в спектральной задаче имеет высокий порядок, нахождение такого решения затруднительно. В нашем примере мы нашли решение с помощью техники типа глубокого обучения. Всегда представляет интерес исследование структуры решений интегрируемых уравнений путем привлечения и использования широкого спектра методов теории солитонов. Эти методы включают подход Римана–Гильберта [28], метод одевания Захарова–Шабата [29], преобразование Дарбу [30], [31] и детерминантный подход [32], [33]. Особенно интересны редукции, опирающиеся на теорию $\tau$-функций. Специальные виды решений, такие как лампы и волны-убийцы, часто можно получить из $N$-солитонных решений путем редукции по волновому числу (см., например, [34]–[41]). Также можно было бы рассмотреть нелокальные интегрируемые уравнения, если применить для рассматриваемых матричных спектральных задач нелокальные групповые редукции (см., например, работы [42]–[45] для новых видов нелокальных интегрируемых уравнений типа нелинейного уравнения Шредингера). Однако о нелокальных интегрируемых уравнениях известно сравнительно мало, и необходимо дальнейшее исследование. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ma23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|