| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Построение локализованных частных решений цепочек с тремя независимыми переменными М. Н. Кузнецова Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской академии наук, Уфа, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792308007X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеДанная работа посвящена построению локализованных частных решений для цепочек из класса
$$
\begin{equation}
u^j_{n+1,x} = F(u^j_{n,x}, u^{j+1}_n, u^j_n, u^j_{n+1}, u^{j-1}_{n+1})
\end{equation}
\tag{1}
$$
при помощи редукций, интегрируемых в смысле Дарбу. Здесь искомая функция $u^j_{n}(x)$ зависит от одной непрерывной переменной $x$ и двух дискретных переменных $j, n$. В работе [1] было предложено в качестве признака интегрируемости трехмерной цепочки рассматривать существование редукций в виде систем уравнений с двумя независимыми переменными, интегрируемых в смысле Дарбу. Ключевым моментом здесь является свойство конечномерности характеристических алгебр по обоим направлениям. Применение характеристической алгебры для исследования редукций позволило эффективно решать задачу классификации цепочек с тремя независимыми переменными. В результате в работах [2]–[5] была проведена классификация интегрируемых цепочек вида
$$
\begin{equation*}
u_{n,xy} = \alpha_1 u_{n,x} u_{n,y} + \alpha_2 u_{n,x}+ \alpha_3 u_{n,y} + \alpha_4, \qquad -\infty < n < \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha_i = \alpha_i(u_{n+1}, u_n, u_{n-1})$ – произвольные аналитические функции трех переменных, $|\alpha_1| + |\alpha_2| + |\alpha_3| \neq 0$. Далее исследования были распространены на цепочки с одной непрерывной и двумя дискретными переменными [6]–[8]. В работе [6] был рассмотрен список интегрируемых дифференциально-разностных уравнений, полученный в работе [9]. Было показано, что все модели из списка приводятся к виду (1) и удовлетворяют следующему критерию интегрируемости: цепочка вида (1) является интегрируемой тогда и только тогда, когда существуют функции $H^{(1)}$ и $H^{(2)}$ такие, что для любого выбора целого $N$ система дифференциально-разностных уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u^1_{n+1,x} &= H^{(1)}(u^1_{n,x}, u^2_n, u^1_n, u^1_{n+1}),\\ u^j_{n+1,x} &= F^j(u^j_{n,x}, u^{j+1}_n, u^j_n, u^j_{n+1}, u^{j-1}_{n+1}), \qquad 1< j < N, \\ u^N_{n+1,x} &= H^{(2)}(u^N_{n,x}, u^N_n, u^N_{n+1}, u^{N-1}_{n+1}), \qquad -\infty < n < \infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
полученная из (1), является интегрируемой в смысле Дарбу. В статье [8] проведена частичная классификация интегрируемых цепочек вида
$$
\begin{equation*}
u^j_{n+1,x} = u^j_{n,x} + f(u^{j+1}_n, u^j_n, u^j_{n+1}, u^{j-1}_{n+1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируемость в смысле Дарбу нелинейного гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными подразумевает наличие интегралов по обоим характеристическим направлениям. Благодаря этому свойству интегрирование уравнения сводится к интегрированию двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Обычно это позволяет получить явную формулу для общего решения (см. [10], [11]). В книге [12] решена задача построения явных формул для решений двумерных экспоненциальных систем, отвечающих полупростым алгебрам Ли. В обзоре [13] приводится процедура нахождения общего решения нелинейных гиперболических уравнений лиувиллевского типа (эквивалентное название для уравнений, интегрируемых в смысле Дарбу), основанная на использовании инвариантов Лапласа. В статье [14] была проведена классификация двухкомпонентных нелинейных гиперболических систем, обладающих интегралами первого и второго порядка по каждому характеристическому направлению. Для полученных систем были построены общие решения при помощи найденных интегралов. В работе [15] обсуждается метод построения явной формулы для общего решения для интегрируемых по Дарбу дифференциально-разностных цепочек. Для цепочек вида $u_{n+1,x}=u_{n,x}+d(u_n, u_{n+1})$ построены общие решения. В работе [16] приводятся интегралы и строятся формулы общего решения для редукций некоторых полудискретных и дискретных цепочек. Со свойством интегрируемости в смысле Дарбу тесно связано понятие характеристической алгебры. Характеристическая алгебра была введена в работах [17], [18] для гиперболических систем экспоненциального типа. Было показано, что конечномерность характеристических алгебр по обоим характеристическим направлениям является критерием интегрируемости по Дарбу таких систем. В дальнейшем алгебраический подход был распространен на системы дифференциальных уравнений гиперболического типа более общего вида, а также на дискретные модели (см. монографию [19]). Кратко напомним определение интегрируемости в смысле Дарбу дифференциально-разностных систем уравнений. Рассмотрим дифференциально-разностную систему следующего вида:
$$
\begin{equation}
u^j_{n+1,x}= f^{j}_n ( u^j_{n,x}, u^{j+1}_{n},u^{j}_n,u^j_{n+1 },u^{j-1}_{n+1}), \qquad -N_2\leqslant j\leqslant N_1.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Правая часть данной системы при $j=-N_2$ не зависит от переменной $u^{-N_2-1}_{n+1}$, а при $j=N_1$ не зависит от $u^{N_1+1}_n$. Введем обозначение $u_m=(u_m^{-N_2}, u_m^{-N_2+1},\dots,u_m^{N_1})$. Определение 1. Функция Здесь $D_x$ – оператор полного дифференцирования по переменной $x$. Определение 2. Функция Здесь $D_n$ – оператор сдвига дискретного аргумента, действующий по правилу $D_n t(n) = t(n+1)$. Определение 3. Система (2) называется интегрируемой в смысле Дарбу, если она допускает $N_2+N_1+1$ функционально независимых интегралов по каждому направлению $x$ и $n$. В работе [8] была рассмотрена цепочка
$$
\begin{equation*}
u^j_{n+1,x}=u^j_{n,x}\frac{(u^j_{n+1})^2}{u^{j-1}_{n+1}u^{j+1}_{n}}.
\end{equation*}
\notag
$$
На цепочку налагались условия обрыва, в результате чего была записана редукция в виде одного уравнения, интегрируемого в смысле Дарбу. При помощи интегралов было найдено общее решение уравнения, а затем построено частное решение указанной цепочки. В настоящей работе применяется этот метод. В настоящее время для всех известных цепочек вида (1) не доказано, что обрыв любой длины будет интегрируемым в смысле Дарбу. Для некоторых классов цепочек с тремя независимыми переменными этот факт доказан. В работе [20] доказана полная интегрируемость по Дарбу полудискретных и дискретных двумеризованных цепочек Тоды, соответствующих простым алгебрам Ли серий $A$ и $C$. Построены полные наборы интегралов для обрывов произвольной длины. В работе [4] приводятся цепочки с одной дискретной и двумя непрерывными переменными, обладающие редукциями сколько угодно большой длины, которые являются интегрируемыми в смысле Дарбу. Интегрируемость по Дарбу доказывается при помощи алгебраического подхода. В работе [6] для большого количества цепочек вида (1) доказано, что обрывы небольшой длины являются интегрируемыми в смысле Дарбу. Несмотря на то что интегрируемость в смысле Дарбу редукций произвольной длины не доказана для всех известных цепочек с тремя независимыми переменными, можно ожидать, что общее решение можно получить для обрыва любой длины. Работа имеет следующую структуру. В разделе 2 строятся локализованные частные решения дифференциально-разностных цепочек с тремя независимыми переменными при помощи интегралов соответствующих редукций. Рассматриваются редукции в виде одного уравнения. В разделе 3 рассматривается редукция трехмерной цепочки в виде системы двух дифференциально-разностных уравнений. Находятся $n$-интегралы этой системы. При помощи найденных $n$-интегралов строятся общее решение указанной системы и затем локализованное частное решение соответствующей трехмерной цепочки. 2. Построение частных решений на основе редукций в виде дифференциально-разностных уравненийПокажем, как, используя редукции, интегрируемые в смысле Дарбу, строить локализованные частные решения цепочек. В данном разделе используются редукции в виде одного дифференциально-разностного уравнения. Рассмотрим цепочку (см. [6])
$$
\begin{equation}
u^j_{n+1,x} = u^j_{n,x} \frac{u^j_{n+1} - u^{j+1}_n}{u^{j-1}_{n+1} - u^j_n}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Налагаем граничные условия обрыва $u^1_n = c$, $u^{-1}_n = 0$. Получаем следующее уравнение: Уравнение (4) обладает $n$- и $x$-интегралами
$$
\begin{equation}
I = \frac{u_{n,xxx}}{u_{n,x}} - \frac{3}{2} \frac{u^2_{xx}}{u^2_x}, \qquad J = (u_{n+1} - c) u_n.
\end{equation}
\tag{5}
$$
По определению интегралов это означает, что на любом решении уравнения (4) выполняются равенства $D_n I = I$, $D_x J = 0$. Отсюда следует, что $I$ на любом решении уравнения (4) есть некоторая функция, зависящая только от $x$ (вообще говоря, разная для разных решений), а $J$ – функция, зависящая только от $n$. Найдем решение уравнения
$$
\begin{equation}
\frac{u_{n,xxx}}{u_{n,x}} - \frac{3}{2} \frac{u^2_{n,xx}}{u^2_{n,x}} = \varphi(x),
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $\varphi(x)$ – некоторая функция от $x$. После замены $u_x = w$, $w_x / w = v$ уравнение приобретает вид Последнее уравнение имеет решение
$$
\begin{equation*}
v = \frac{\nu'(x)}{a(n) - \nu(x)/2} + (\ln \nu'(x))'.
\end{equation*}
\notag
$$
Возвращаясь к заменам, находим решение уравнения (6): Далее, используя интеграл $I$ (см. (5)) и исходное уравнение (4), находим связь между функциями дискретного переменного:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, B(n) &= (c - g(n))(A(n) - A(n-1)),\\ g(n) &= \frac{c ( A(n) - A(n-1))}{A(n+1) - A(n)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Итак, решение уравнения (4) задается формулами (7), (8). Соответственно, локализованное частное решение цепочки (3) определяется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
u^j_n(x) = \begin{cases} 0, & j < 0,\\ \dfrac{B(n)}{\nu(x) + A(n)} + g(n), & j = 0,\\ c, & j > 0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим цепочку
$$
\begin{equation}
u^j_{n+1,x} = u^j_{n,x} \frac{u^j_{n+1} (u^j_{n+1} - u^{j+1}_n)}{u^{j+1}_n (u^{j-1}_{n+1} - u^j_n)}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Граничные условия $u^1_n = c_1$, $u^{-1}_n = c_0$ приводят к уравнению
$$
\begin{equation*}
u_{n+1,x} = u_{n,x} \frac{u_{n+1}(u_{n+1} - c_1)}{c_1 (c_0 - u^1_n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Интегралы последнего уравнения имеют вид (см. [6])
$$
\begin{equation*}
I = \frac{u_{n,xxx}}{u_{n,x}} - \frac{3}{2} \frac{u_{n,xx}}{(u_{n,x})^2}, \qquad J = \frac{u_n}{u_{n+1}} - \frac{c_0}{u_{n+1}} - \frac{u_n}{c_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем, что решение $u_n(x)$ цепочки (9) задается формулой
$$
\begin{equation*}
u^j_n(x) = \begin{cases} c_0, & j < 0,\\ \dfrac{B(n)}{\nu(x) + A(n)} + g(n), & j = 0,\\ c_1, & j > 0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &B(n) = (c_1 - g(n))( A(n) - A(n-1)), \\ &c_1 (A(n+1) - A(n)) (g(n) - c_0) = (c_1 - g(n)) (A(n) - A(n-1)) g(n+1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим цепочку
$$
\begin{equation}
u^j_{n+1} = u^j_{n,x} \frac{\operatorname{sh} (u^{j-1}_{n+1} - u^j_{n+1}) \operatorname{sh} (u^j_{n+1} - u^{j+1}_n)}{\operatorname{sh} (u^{j-1}_{n+1} - u^j_{n}) \operatorname{sh} (u^j_{n} - u^{j+1}_n)}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Зададим условия обрыва $u^{1}_n = c $, $u^{-1}_n = 0$, получим уравнение
$$
\begin{equation*}
u_{n+1,x} = u_{n,x} \frac{\operatorname{sh} (u_{n+1}) \operatorname{sh} (u_{n+1} - c) }{\operatorname{sh} (u_n) \operatorname{sh} (u_n - c)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для нахождения $n$-интеграла удобно переписать исходное уравнение в виде
$$
\begin{equation}
u_{n+1,x} = u_{n,x} \frac{e^{2 u_{n+1} - c} + e^{-2 u_{n+1} + c} - (e^c + e^{-c})}{e^{2 u_n - c} + e^{-2 u_n + c} - (e^c + e^{-c})}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Находим интегралы последнего уравнения:
$$
\begin{equation}
I = \frac{u_{n,x}}{\operatorname{sh} (u_n) \operatorname{sh} (u_n - c)}, \qquad J = \frac{1}{2(e^{2c} - 1)} \ln \frac{(e^{2 u_{n+1}} - e^{2c})(e^{2 u_n} - 1)}{(e^{2 u_n} - e^{2c})(e^{2 u_{n+1}} - 1)}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Поскольку по определению $I$ на любом решении уравнения (11) есть некоторая функция, зависящая только от $x$, то для любого решения выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\frac{u_{n,x}}{\operatorname{sh} (u_n) \operatorname{sh} (u_n - c)} = p(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Переписывая гиперболический синус через экспоненциальную функцию, приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению на функцию $u_n(x)$:
$$
\begin{equation*}
\frac{4 u_{n,x}}{e^{2u_{n,x}-c} - (e^c + e^{-c})+ e^{-2 u_{n,x}+c} } = p(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируя, получаем
$$
\begin{equation}
e^{2u_{n}} = \frac{e^{2c} - b(x) \psi(n)}{1 - b(x) \psi(n)},
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $b$, $\psi$ – произвольные функции. Подставляя последнее выражение в $x$-интеграл $J$ (см. (12)), получаем, что $J = \psi(n+1) / \psi(n)$, и определение $x$-интеграла выполняется автоматически. Подставляя функцию $u_n(x)$, определенную формулой (13), в уравнение (11), получаем тождество. Итак, уравнение (11) имеет решение
$$
\begin{equation*}
u_n(x) = \frac{1}{2} \ln \biggl( \frac{e^{2c} - b(x) \psi(n)}{1 - b(x) \psi(n)} \biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
а цепочка (10) – соответственно частное решение
$$
\begin{equation*}
u^j_n(x) = \begin{cases} 0, & j < 0,\\ \dfrac{1}{2} \ln \biggl( \dfrac{e^{2c} - b(x) \psi(n)}{1 - b(x) \psi(n)} \biggr), & j = 0,\\ c, & j > 0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
3. Построение общего решения дифференциально-разностной системы двух уравнений. Частное решение трехмерной цепочкиРассмотрим цепочку [6]
$$
\begin{equation}
u^j_{n+1,x} = u^j_{n,x} \frac{\operatorname{sh} (u^{j-1}_{n+1} - u^j_{n+1}) \operatorname{sh}(u^j_{n+1} - u^{j+1}_n)}{\operatorname{sh}(u^{j-1}_{n+1}-u^j_n) \operatorname{sh}(u^j_n - u^{j+1}_n)}.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Налагаем граничные условия $u^0_n = 0$, $u^3_n = 0$, получаем систему следующего вида:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u^1_{n+1,x} &= u^1_{n,x} \frac{\operatorname{sh}(u^1_{n+1}) \operatorname{sh}(u^1_{n+1} - u^2_n)}{\operatorname{sh}(u^1_n) \operatorname{sh}(u^1_n - u^2_n)}, \\ u^2_{n+1,x} &= u^2_{n,x} \frac{\operatorname{sh}(u^1_{n+1}-u^2_{n+1}) \operatorname{sh}(u^2_{n+1})}{\operatorname{sh}(u^1_{n+1}-u^2_n)\operatorname{sh}(u^2_n)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В экспоненциальной форме система имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u^1_{n+1,x} &= \frac{(e^{u^1_{n+1}} - e^{-u^1_{n+1}})(e^{u^1_{n+1}- u^2_n} - e^{-u^1_{n+1} + u^2_n})}{(e^{u^1_n} - e^{-u^1_n})(e^{u^1_n-u^2_n} - e^{-u^1_n + u^2_n})},\\ u^2_{n+1,x} &= \frac{(e^{u^1_{n+1}-u^2_{n+1}} - e^{-u^1_{n+1} + u^2_{n+1}})(e^{u^2_{n+1}} - e^{-u^2_{n+1}})}{(e^{u^1_{n+1}-u^2_n} - e^{-u^1_{n+1}+u^2_n})(e^{u^2_n} - e^{-u^2_n})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
В настоящей работе найдены $n$-интегралы:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1 &= \frac{2 e^{2 u_1} e^{2 u_2} u_{1,x} u_{2,x}}{(e^{2u_2} - 1)(e^{2u_1} - 1)(e^{2u_1} - e^{2u_2})} , \\ I_2 &= \frac{u_{1,xx}}{u_{1,x}} - 2 \frac{e^{2 u_1 + 1}}{e^{2 u_1} - 1} u_{1,x} + 2 \frac{e^{2 u_2} (e^{2 u_1} - 1) u_{2,x}}{(e^{2 u_2} - 1)(e^{2 u_1} - e^{2 u_2})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По определению $n$-интегралы на любом решении системы являются функциями только от $x$. Таким образом, для того чтобы найти решение исходной системы, необходимо решить систему $I_1 = \varphi(x)$, $I_2 = \psi(x)$. Замена переменных $u_i = \ln(e^{v_i} + 1) / 2$, $i = 1, 2$, приводит интегралы и соответственно последнюю систему к виду
$$
\begin{equation}
I_1 = \frac{V_{1,x} V_{2,x}}{e^{V_1} - e^{V_2}} = \varphi(x),
\end{equation}
\tag{16}
$$
$$
\begin{equation}
I_2 = \frac{V_{1,xx}}{V_{1,x}} - V_{1,x} + \frac{e^{V_1}}{e^{V_1}-e^{V_2}} V_{2,x} = \psi(x).
\end{equation}
\tag{17}
$$
Используя уравнение (16), можно переписать уравнение (17) следующим образом:
$$
\begin{equation}
V_{1,xx} - (V_{1,x})^2 + e^{V_1} \varphi(x) - \psi(x) V_{1,x} = 0.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Замена $\omega = e^{-V_1}$ приводит последнее уравнение к линейному уравнению Решение последнего уравнения имеет вид
$$
\begin{equation*}
\omega = \int (p(x) \tilde{\psi}(x) + c_1(n) \tilde{\psi}(x))\, dx + c_2(n),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\psi(x) = \ln (\tilde{\psi}(x) )', \qquad p(x) = \int\frac{\varphi(x)}{\tilde{\psi}(x)}\, dx,
\end{equation*}
\notag
$$
$c_1(n)$, $c_2(n)$ – произвольные функции. Далее введем обозначения
$$
\begin{equation*}
q(x) = \int p(x)\tilde{\psi}(x)\, dx, \qquad a(x) = \int\tilde{\psi}(x)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда Возвращаясь к замене, получаем, что решение уравнения (18) имеет вид
$$
\begin{equation}
V_1 = -\ln h(x,n), \qquad h(x,n) = q(x) + c_1(n) a(x) + c_2(n).
\end{equation}
\tag{19}
$$
Перепишем уравнение (17):
$$
\begin{equation*}
\frac{-(\omega_x/\omega) V_{2,x}}{(1/\omega) - e^{V_2}} = \varphi(x),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда имеем
$$
\begin{equation*}
V_{2,x} h_x(x, n) - \varphi(x) h(x,n) e^{V_2} + \varphi(x) = 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Замена $S = e^{-V_2}$ сводит последнее уравнение к линейному уравнению
$$
\begin{equation*}
s_x(x,n) - \frac{\varphi(x)}{h_x(x,n)} s(x,n) + \frac{\varphi(x) h(x,n)}{h_x(x,n)} = 0,
\end{equation*}
\notag
$$
которое имеет решение
$$
\begin{equation*}
s = -\int \frac{\varphi(x) h(x,n)}{h_x(x,n)} \exp{\biggl[-\int \frac{\varphi(x)}{h_x(x,n)}\, dx\biggr]} \,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Соответственно решение $V_2$ имеет вид
$$
\begin{equation}
V_2 = -\int \frac{\varphi(x)}{h_x(x,n)}\, dx - \ln \biggl( -\int \frac{\varphi(x) h(x,n)}{h_x(x,n)} \exp{\biggl[-\int \frac{\varphi(x)}{h_x(x,n)}\, dx\biggr]}\, dx + c_4(n) \biggr).
\end{equation}
\tag{20}
$$
Теперь следует уточнить функцию $h(x,n)$. Подставляем найденное решение (19), (20) в систему (16), (17). Первое уравнение обращается в тождество. Второе уравнение дает Находим решение последнего уравнения:
$$
\begin{equation}
h(x, n) = \int \frac{\eta(x) \varphi(x)}{\eta'(x)}\, dx + c_2(n) \int \frac{\varphi(x)}{\eta'(x)}\, dx + c_3(n).
\end{equation}
\tag{21}
$$
Отметим, что при этом $\psi = \varphi'/\varphi - \eta''/\eta'$. Итак, получаем, что решение системы (16), (17) задается формулами (19)–(21). Теперь наша цель – переписать формулы для решения без использования интегралов. Для этого введем обозначение тогда $\varphi(x) = B'(x) \eta'(x)$ и
$$
\begin{equation*}
\int \frac{\eta(x) \varphi(x)}{\eta'(x)}\, dx = \eta(x) B(x) - \int \eta'(x) B(x)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $h$ запишется в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h(x,n) &= \eta(x) B(x) - \int \eta'(x) B(x)\, dx + c_2(n) B(x) + c_3(n), \\ h_x(x, n) &= (\eta(x) + c_2(n)) B'(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда интеграл, фигурирующий в формуле (20), вычисляется:
$$
\begin{equation*}
\int \frac{\varphi(x)}{h_x(x,n)}\, dx = \int \frac{\eta'(x)}{\eta(x) + c_2(n)}\, dx = \ln (\eta(x) + c_2(n)).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int &\biggl( \frac{\varphi(x) h(x,n)}{h_x(x,n)} \exp{\biggl[-\int \frac{\varphi(x)}{h_x(x,n)}}\, dx\biggr] \biggr) dx ={} \\ &= \int \biggl( B(x) \eta(x) - \int \eta'(x) B(x)\, dx + c_2(n) B(x) + c_3(n) \biggr) \frac{\eta'(x)}{(\eta(x) + c_2)^2}\, dx ={}\\ & = - \frac{1}{\eta(x) + c_2(n)} \biggl( B(x) \eta(x) - \int \eta'(x) B(x)\, dx + c_2(n) B(x) + c_3(n) \biggr) + B(x) ={}\\ & = \frac{1}{\eta(x) + c_3(n)}\biggl[\int \eta'(x) B(x)\, dx - c_3(n)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, имеем следующие формулы для $V_1$, $V_2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V_1(x,n) &= -\ln \biggl( B(x)(\eta(x) + c_2(n)) - \int \eta'(x) B(x)\,dx + c_3(n) \biggr),\\ V_2(x,n) &= -\ln \biggl( c_4(n) (\eta(x) + c_2(n)) - \int \eta'(x) B(x)\, dx + c_3(n) \biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\eta = \eta(x)$, $B = B(x)$, $c_i = c_i(n)$. Теперь введем обозначение тогда окончательно получаем решение системы (19), (20):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V_1(x,n) &= -\ln \biggl[ \frac{a'(x) (\eta(x) + c_2(n))}{\eta'(x)} - a(x) + c_3(n) \biggr], \\ V_2(x,n) &= - \ln [ c_4(n)(\eta(x) + c_2(n)) - a(x) + c_3(n)], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\eta = \eta(x)$, $a = a(x)$, $c_i = c_i(n)$, $i=1,2$. Вернемся к замене
$$
\begin{equation*}
u_1 = \frac{1}{2} \ln (e^{V_1} + 1), \qquad u_2 = \frac{1}{2} \ln(e^{V_2}+1).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя полученное решение в исходную систему (15), находим связь между функциями дискретного аргумента: Итак, найдено общее решение исходной системы (15):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_1(x,n) &= \frac{1}{2} \ln \biggl( \frac{\eta'(x)}{a'(x)( \eta(x) + c_2(n)) + \eta'(x) ( c_3(n) - a(x) )} + 1\biggr), \\ u_2(x,n) &= \frac{1}{2} \ln \biggl(\frac{1}{c_4(n) ( \eta(x) + c_2(n) ) + c_3(n) - a(x)} + 1 \biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\eta'(x) \neq 0$, а функции $c_2$, $c_3$, $c_4$ связаны соотношением (22). Локализованное частное решение соответcтвующей цепочки (15) задается формулой
$$
\begin{equation*}
u^j_n(x) = \begin{cases} 0, & j < 1,\\ \dfrac{1}{2} \ln \biggl( \dfrac{\eta'(x)}{a'(x)( \eta(x) + c_2(n) ) + \eta'(x) ( c_3(n) - a(x) )} + 1\biggr), & j = 1,\\ \dfrac{1}{2} \ln \biggl( \dfrac{1}{c_4(n) ( \eta(x) + c_2(n) ) + c_3(n) - a(x)} + 1 \biggr), & j = 2,\\ 0, & j > 2, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\eta'(x) \neq 0$, а функции $c_2$, $c_3$, $c_4$ связаны соотношением (22). Отметим также, что цепочка (15) связана заменой $u^j_n \to \frac{1}{2} \ln (u^j_n + 1)$ с цепочкой
$$
\begin{equation*}
u^j_{n+1,x} = u^j_{n,x} \frac{(u^{j-1}_{n+1} - u^j_{n+1})(u^j_{n+1} - u^{j+1}_n)}{(u^{j-1}_{n+1} - u^j_n)(u^j_n - u^{j+1}_n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
БлагодарностиАвтор выражает благодарность И. Т. Хабибуллину за постановку задачи и полезные обсуждения. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у нее нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kuz23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|