| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Функция напряжений Эри для двумерной неупорядоченной упаковки Д. В. Гринёв Центр интегрируемых систем, Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923050057 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВывод “из первых принципов” уравнений, описывающих распространение напряжений в неупорядоченных гранулированных средах, все еще остается актуальной задачей [1]. С одной стороны, существуют классические подходы, удовлетворительно описывающие механическое поведение почв и грунтов под воздействием внешних сил [2]. С другой стороны, накоплено достаточно много экспериментального материала о реологических свойствах таких систем [3], которые требуют статистически-механического подхода к изучению. Имели место многочисленные попытки разработать статистически-механические описания упомянутых выше сред [4]. Однако представители академических сообществ, занимающиеся механикой почв и грунтов, восприняли такого рода усилия с долей здорового скептицизма. Отчасти это вызвано тем, что существуют классические задачи механики гранулированных сред с хорошо известными решениями. Такие решения, несомненно, имеет смысл использовать при проверках новых подходов “на разумность”, поскольку они должны появляться в качестве частных случаев вполне естественным образом. Например, недавно такие попытки заключались в сочетании аналитического подхода с методом конечных элементов для изучения распространения напряжений и эффекта Янсена в гексагональных упаковках дисков [5], [6]. Упорядоченные упаковки являются удобной и широко используемой “игрушечной” моделью [7], но в реальном мире так или иначе приходится иметь дело с неупорядоченностью структуры на разных пространственных уровнях и думать о том, как добраться до макроскопических уравнений системы. В настоящей работе предлагается аналитический подход, позволяющий связать классические теории для нахождения макроскопического тензора напряжений в двумерной упаковке с уравнениями механического равновесия для ее частиц. 2. Законы Ньютона и определяющее уравнениеРассмотрим упаковку абсолютно твердых тел (далее в качестве синонима будет использоваться привычный термин “частица”), находящихся в контакте друг с другом и в состоянии механического равновесия. Если внешние силы приложены к неподвижной упаковке на ее границах, то эти силы будут распространяться через точки межчастичных контактов. Данная совокупность в нашей модели задается множеством точек контакта. Поэтому для того чтобы проанализировать распространение сил в упаковке, нужно ввести описание точек контакта. Будем исходить из того, что множество точек контакта $C_i^{\alpha \beta}$ полностью задает геометрию упаковки в состоянии равновесия. Определим так называемый центроид контактов частицы $\alpha$ с помощью вектора
$$
\begin{equation}
R_i^\alpha=\frac{\sum_{\beta} C_i^{\alpha \beta}}{z^\alpha},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $i = 1,\dots , d$ является декартовым индексом, а $z_\alpha$ – координационное число частицы $\alpha$. Расстояние между частицами $\alpha$ и $\beta$ определим как расстояние между их центроидами контактов
$$
\begin{equation}
R_i^{\alpha \beta}=R_i^{\beta}-R_i^\alpha=r_i^{\alpha \beta}-r_i^{\beta \alpha},
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $r_i^{\alpha \beta}$ – $i$-я координата вектора, соединяющего центроид контакта с точкой контакта, так что В $d$ измерениях уравнения механического равновесия для каждой частицы дают систему из $Nd(d+1)/2$ уравнений для сил межчастичного взаимодействия $f_i^{\alpha \beta}$:
$$
\begin{equation}
\sum_{\beta} \epsilon_{i k l} f_{k}^{\alpha \beta} r_{l}^{\alpha \beta}+c_i^\alpha=0,
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $g_i^\alpha$ является внешней слой, действующей на частицу $\alpha$, а $c_i^\alpha$ – внешний момент сил, действующих на частицу $\alpha$, который без потери общности можно принять равным нулю. Пусть все частицы в контакте являются бесконечно твердыми с бесконечным коэффициентом трения и координационное число частицы $\alpha$ есть $z_\alpha= d + 1$. Подсчет числа уравнений и входящих в них неизвестных дает возможность сформулировать простейшую статически определенную и разрешимую задачу. Введем момент сил $S_{i j}^\alpha$ для частицы $\alpha$ как
$$
\begin{equation}
S_{i j}^\alpha=\sum_{\beta} f_i^{\alpha \beta} r_{j}^{\alpha \beta}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
В предположении наличия у каждой частицы $\alpha$ координационного числа $z_\alpha= d + 1$ макроскопическое среднее величин $S_{i j}^\alpha$ по объему упаковки будет определяться изначально заданными множествами межчастичных сил и точек контакта. Процедура “усреднения” тензорной функции в неоднородной и неупорядоченной среде обычно является нетривиальной задачей, но в рамках данной работы мы будем использовать простейшее выражение вида
$$
\begin{equation}
\sigma_{i j}(\vec{r}\,)=\frac{1}{V} \sum_\alpha^{N} S_{i j}^\alpha \delta(\vec{r} - \vec{R^\alpha}).
\end{equation}
\tag{8}
$$
Число независимых компонент данного симметрического тензора равно $d(d+1)/2$, в то время как число имеющихся для него в наличии уравнений равно $d$. Они представляют собой классические уравнения Эйлера–Коши для макроскопического тензора напряжений системы в состоянии механического равновесия, вытекающие из второго закона Ньютона [8]. Таким образом, в двух измерениях необходимо еще одно уравнение (обычно называемое определяющим). Имели место многочисленные попытки вывести данное уравнение для статических и квазистатических упаковок частиц (см., например, [5]–[10]). Однако в настоящей работе усилия будут сосредоточены на выводе хорошо известных уравнений. Обоснованием в данном случае является необходимость провести “проверку на разумность” (так называемый sanity check) ранее предложенного метода [9] и, возможно, углубить понимание взаимосвязей между механическими и структурными характеристиками на разных пространственных уровнях. Главная идея данного метода заключается в рассмотрении вероятностного функционала для множеста моментов сил частиц в упаковке
$$
\begin{equation}
P\{S_{i j}^\alpha\}= \mathcal{M} \int \prod_{\alpha, \beta}^{N} \delta\biggl(S_{i j}^\alpha-\sum_{\beta} f_i^{\alpha \beta} r_{j}^{\alpha \beta}\biggr) P\{\vec{f}^{\alpha \beta}\} \mathcal{D} \vec{f}^{\alpha \beta},
\end{equation}
\tag{9}
$$
в котором величина $\mathcal{M}$ определена множеством точек контакта частиц. В упаковке с зафиксированной геометрией точек контакта распределение вероятностей множества сил межчастичного взаимодействия, удовлетворяющих системе уравнений Ньютона для состояния равновесия, можно представить в виде
$$
\begin{equation}
P\{\vec{f}^{\alpha \beta}\}= \mathcal{N} \prod_{\substack{\alpha=1,\\ \beta=n . n . }}^{N} \delta\biggl(\sum_{\beta} f_i^{\alpha \beta}+g_i^\alpha\biggr) \delta\biggl(\sum_{\beta} \epsilon_{i k l} f_{k}^{\alpha \beta} r_{l}^{\alpha \beta}\biggr) \delta(f_i^{\alpha \beta}+f_i^{\beta \alpha}),
\end{equation}
\tag{10}
$$
где величина $\mathcal{N}$ задается выражением вида
$$
\begin{equation}
\mathcal{N}^{-1} = \int \prod_{\alpha, \beta}^{N} P\{\vec{f}^{\alpha \beta}\} \mathcal{D} \vec{f}^{\alpha \beta}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Ключевым шагом является преобразование $P\{S_{i j}^\alpha\}$ к виду
$$
\begin{equation}
P\{S_{i j}^\alpha\} = P\{S_{i j}^\alpha|\text{force}\}P\{S_{i j}^\alpha|\text{geometry}\}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Экспоненциируя все дельта-функции, получим
$$
\begin{equation}
P\{S_{i j}^\alpha\} = \mathcal{N} \prod_{\substack{\alpha=1,\\ \beta=n . n .}}^{N} e^{iA}\mathcal{D} \vec{f}^{\alpha \beta}\mathcal{D} {\zeta_{ij}}^\alpha\mathcal{D}\vec{\gamma}^\alpha\mathcal{D}\vec{\lambda}^\alpha\vec{\eta}^{\alpha\beta},
\end{equation}
\tag{13}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A=& \sum_\alpha \zeta_{i j}^\alpha\biggl(S_{i j}^\alpha-\sum_\beta f_i^{\alpha \beta} r_j^{\alpha \beta}\biggr)+\gamma_i^\alpha\biggl(\sum_\beta f_i^{\alpha \beta}-g_i^\alpha\biggr) +{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad+\lambda_i^\alpha\biggl(\sum_\beta \varepsilon_{i k l} f_k^{\alpha \beta} r_l^{\alpha \beta}\biggr)+\eta_i^{\alpha \beta}(f_i^{\alpha \beta}+f_i^{\beta \alpha}) . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
Интегрирование по переменным $\vec{f}^{\alpha \beta},\vec{\lambda}^\alpha,\vec{\eta}^{\,\alpha\beta}$ дает выражение вида
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P\{S_{i j}^\alpha\} = \mathcal{N} &\prod_{\substack{\alpha=1,\\ \beta=n . n .}}^{N} \exp\biggl[i\biggl(\sum_\alpha^{N}S_{i j}^\alpha\zeta_{ij}^\alpha-\gamma_i^\alpha g_i^\alpha\biggr)\biggr]\times {} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\times \delta(\zeta_{ij}^\alpha r_{j}^{\alpha\beta}-\gamma_i^\alpha-\zeta_{ij}^{\beta}r_{j}^{\beta\alpha}+\gamma_i^{\beta}) \mathcal{D} {\zeta_{ij}}^\alpha\mathcal{D}\vec{\gamma}^\alpha. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Обратим внимание на то, что третий член в уравнении (14) дает $\prod_\alpha^{N}\delta(S_{ij}^\alpha-S_{ji}^\alpha)$. Таким образом, заменив $\alpha$ и $\beta$ в последнем члене (14) и использовав формулу для произведения дельта-функций $\delta(x+y+z_{1})\delta(x+y+z_{2})=\delta(z_{1}-z_{2})\delta(x+y+(z_{1}+z_{2})/2)$, получим систему линейных алгебраических уравнений для $\zeta_{ij}^\alpha$ и $\gamma_i^\alpha$:
$$
\begin{equation}
\zeta_{ij}^\alpha r_{j}^{\alpha\beta}-\gamma_i^\alpha=\zeta_{ij}^{\beta}r_{j}^{\beta\alpha}-\gamma_i^{\beta}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Будем использовать эту систему уравнений для получения системы дискретных уравнений для множества тензоров $S_{i j}^\alpha$ и, применив простейший метод “усреднения”, выведем систему уравнения для макроскопического тензора напряжений двумерной упаковки.
3. Приближение первой координационной оболочки для уравнения Эйлера–КошиПредставим $\zeta_{ij}^\alpha$ в виде суммы двух переменных
$$
\begin{equation}
\zeta_{ij}^\alpha = \zeta_{ij}^{\alpha 0}+\zeta_{ij}^{\alpha *},
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $\zeta_{ij}^{\alpha 0}$ удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation}
\zeta_{ij}^{\alpha 0}r_{j}^{\alpha\beta}-\gamma_i^\alpha=\zeta_{ij}^{\beta 0}r_{j}^{\beta\alpha}-\gamma_i^{\beta}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Таким образом, $\zeta_{ij}^{\alpha \,*}$ удовлетворяет набору из $zNd/2$ уравнений
$$
\begin{equation}
\zeta_{ij}^{\alpha *}r_{j}^{\alpha\beta}-\zeta_{ij}^{\beta *}r_{j}^{\beta\alpha} = 0.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Эта система линейных уравнений дает необходимое число выражений для $S_{ij}^\alpha$. Введем тензор $M_{ij}^\alpha$ в качестве обратного для $\sum_{\beta}R_i^{\alpha \beta}R_{j}^{\alpha \beta}$ и перепишем уравнение (18) в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\zeta_{i j}^{\alpha 0}=M_{j l}^\alpha \sum_\beta R_l^{\alpha \beta}(\gamma_i^\alpha-\gamma_i^\beta)+M_{j l}^\alpha \sum_\beta R_l^{\alpha \beta} r_k^{\beta \alpha}(\zeta_{i k}^{\beta 0}-\zeta_{i k}^{\alpha 0}).
\end{equation}
\tag{20}
$$
Можно итерировать это выражение далее таким образом, чтобы связать его левую часть с величинами, соответствующими второй координационной оболочке рассматриваемой частицы $\alpha$. Последующая итерация позволит продвинуться далее через точки контакта следующих соседей, но если мы ограничимся первой координационной оболочкой частицы $\alpha$, то получим набор из $Nd$ дискретных уравнений
$$
\begin{equation}
\sum_\beta S_{i j}^\alpha M_{j l}^\alpha R_l^{\alpha \beta}-\sum_\beta S_{i j}^\beta M_{j l}^\beta R_l^{\beta \alpha}=g_i^\alpha.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Простейшая процедура “усреднения”, применная к этим уравнениям, дает $d$ хорошо известных уравнений Эйлера–Коши для макроскопического тензора напряжений двумерной упаковки Данное приближение основано на предположении, что упаковка является изотропной и однородной, с постоянной плотностью частиц на макроскопическом уровне. Можно придумать более изощренную процедуру “усреднения”, чтобы исследовать влияние неоднородности структуры упаковки [11]. 4. Функция напряжений Эри и уравнение НавьеВыведем теперь недостающие $d(d-1)/2$ уравнений для макроскопического тензора напряжений двумерной упаковки. Для получения $P\{S_{i j}^\alpha|\text{geometry}\}$ исследуем набор уравнений (19). В первую очередь, необходимо заметить, что (19) на первый взгляд содержит слишком много уравнений. Но это не так вследствие наличия линейной комбинации $\sum_{\beta} r_i^{\alpha \beta}=0$, порождающей одинаковые выражения, и методичный подсчет числа таких выражений показывает, что есть только $dN$ разных уравнений. Суммируя (19) по $\beta$, получим
$$
\begin{equation}
\sum_{\beta}\zeta_{ij}^{\beta *}r_{j}^{\beta\alpha} = 0.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Подставим это выражение в интеграл для $P\{S_{i j}^\alpha|\text{geometry}\}$:
$$
\begin{equation}
P\{S_{i j}^\alpha |\text{geometry}\}=\int \prod_\alpha^N \exp\biggl(i \sum_\alpha^N S_{i j}^\alpha \zeta_{i j}^{\alpha *}\biggr) \delta\biggl(\sum_\beta \zeta_{i j}^{\beta *} r_j^{\beta \alpha}\biggr) \mathcal{D} \zeta^{\alpha *}.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Набор дельта-функций (19) можно экспоненциировать, и после интегрирования по $\zeta^{\alpha *}$ это дает
$$
\begin{equation}
P\{S_{i j}^\alpha |\text{geometry}\}=\int \prod_\alpha^N \delta\biggl(S_{i j}^\alpha-\frac{1}{2} \sum_\beta(\phi_i^\beta r_j^{\alpha \beta}+\phi_j^\beta r_i^{\alpha \beta})\biggr) \mathcal{D} \phi^\alpha.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Проинтегрировав теперь это выражение по $\phi^\alpha$, получим требуемое число $Nd(d-1)/2$ уравнений для $S_{i j}^\alpha$. Для проведения проверки на разумность в двух измерениях построим простейшую интерполяцию $\phi^{\beta}$:
$$
\begin{equation}
\phi^{\beta}_i=\phi^\alpha_i + R_{j}^{\alpha \beta}\nabla_{j}\phi^\alpha_i.
\end{equation}
\tag{26}
$$
После подстановки данного выражения в (23) и суммирования по $\beta$ получим
$$
\begin{equation}
S_{i j}^\alpha=\nabla_{k} \phi_i^\alpha \sum_{\beta} R_{k}^{\alpha \beta} r_{j}^{\alpha \beta}.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Ранее использованная процедура “усреднения” дает макроскопический тензор напряжений
$$
\begin{equation}
\sigma_{i j}=\frac{1}{V} \sum_\alpha^{N} \sum_{\beta} r_{j}^{\alpha \beta} R_{k}^{\alpha \beta} \nabla_{k} \phi_i^\alpha=F_{j k} \nabla_{k} \phi_i,
\end{equation}
\tag{28}
$$
где $F_{ij}=\sum_{\beta}R_i^{\alpha \beta} R_{j}^{\alpha \beta}$ есть так называемый тензор текстуры. Ограничиваясь случаем изотропной упаковки, избавимся от $\phi_i$ и получим хорошо известное уравнение Навье, налагающее условие кинематической совместимости на компоненты тензора напряжений [12]
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^{2} \sigma_{x x}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \sigma_{y y}}{\partial x^{2}}-2 \frac{\partial^{2} \sigma_{x y}}{\partial x\, \partial y}=0.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Наличие этого уравнения дает возможность выразить компоненты тензора напряжений через функцию напряжений Эри [12]. В случае трехмерной упаковки возникают математические трудности, связанные с процедурой “усреднения”, преодоление которых пока что остается нерешенной задачей. 5. ЗаключениеПрименение изложенного выше метода позволяет вывести классические уравнения Эйлера–Коши и Навье для изотропной и однородной двумерной упаковки. Этот вывод можно рассматривать в качестве давно назревшей “проверки на разумность” для данного формализма. Представляют интерес дальнейшее развитие представленного метода и его применение в рамках задачи о распространении напряжений в гранулированных средах. БлагодарностиАвтор выражает благодарность проф. Дж. Д. Годдарду за обсуждения и дискуссии. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gri23} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|