| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Локальная динамика модели полупроводникового лазера с запаздыванием И. С. Кащенко, С. А. Кащенко Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923050069 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеПолупроводниковые лазеры, работающие в режиме пассивной синхронизации мод, являются надежными, компактными и дешевыми источниками коротких световых импульсов с высокими частотами повторения, которые находят широкое применение в различных технологических приложениях. В работах [1]–[3] в приближении однонаправленной генерации в кольцевом резонаторе предложена модель пассивной синхронизации мод в полупроводниковом лазере, основанная на системе дифференциальных уравнений с запаздыванием:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \biggl(1+\frac{1}{\gamma}\,\frac{d}{dt}\biggr)A =\sqrt{k}\exp\biggl\{\frac{1}{2}[(1{-}i\alpha_g)g(t-T)-(1-i\alpha_q)q(t-T)] -i\varphi\biggr\}A(t-T),\\ \begin{aligned} \, \frac{dg}{dt}&=\gamma_g(G_0-g)-e^{-q}[e^g-1]|A|^2, \\ \frac{dq}{dt}&=\gamma_q(Q_0-q)-s[1-e^{-q}]|A|^2, \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $A(t)$ – комплексная амплитуда электромагнитного поля на входе в поглощающую секцию лазера, $g(t)$ и $q(t)$ – действительные функции, описывающие соответственно интегральное усиление и поглощение за проход резонатора. Все параметры модели являются действительными константами. Их точный физический смысл, а также процедура вывода модельных уравнений подробно описаны в работе [1]. Значения ширины спектрального фильтра $\gamma$, фактора нерезонансных потерь $k<1$, скоростей релаксации усиления и поглощения $\gamma_g$ и $\gamma_q$, параметра насыщения $s>1$, а также параметров ненасыщенного усиления и поглощения $G_0$ и $Q_0$ являются положительными. Отметим, что в работе [1] скорость релаксации поглощения $\gamma_q$ нормирована на единицу: $\gamma_q=1$. При этом время $t$ является безразмерным (нормированным на скорость релаксации поглощения). Величина $T$ – время обхода резонатора – также безразмерна. Однако в настоящей статье мы вслед за работами [2]–[4] сохраним параметр $\gamma_q$ в модели (1), считая его положительной константой. При этом время $t$ и величину запаздывания $T>0$ по-прежнему будем считать безразмерными. В работе [4] исследованы некоторые, в том числе и нелокальные, свойства модели (1) в случае, когда $A(t)$ – вещественнозначная функция, т. е. $\alpha_g=\alpha_q=\varphi=0$. В настоящей работе мы исследуем поведение решений модели в некоторой малой окрестности состояния равновесия $A=0$, $g=G_0$, $q=Q_0$. Этот режим соответствует ситуации, когда лазер не излучает. Таким образом, нас интересует структура решений в окрестности порога генерации. Линеаризуем систему (1) на этом состоянии равновесия:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \biggl(1+\gamma^{-1}\,\frac{d}{dt}\biggr)x =\sqrt{k}\exp\biggl\{\frac{1}{2}[(1-i\alpha_g)G_0-(1-i\alpha_q)Q_0]-i\varphi\biggr\}x(t-T), \\ \frac{dy}{dt}=-\gamma_gy,\qquad \frac{dz}{dt}=-\gamma_qz. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2}
$$
Из положительности $\gamma_g$ и $\gamma_q$ видно, что $y$ и $z$ экспоненциально стремятся к нулю. Следовательно, потеря устойчивости может произойти только за счет переменной $x$. Характеристический квазимногочлен, расположение корней которого определяет устойчивость нулевого состояния равновесия линейной задачи (2), имеет вид Действительные параметры $a>0$ и $\psi$ – модуль и аргумент $\sqrt{k}\exp\{[(1-i\alpha_g)G_0-(1-i\alpha_q)Q_0]/2-i\varphi\}$ соответственно, т. е.
$$
\begin{equation*}
a=\sqrt{k}\exp\biggl\{\frac{1}{2}[G_0-Q_0]\biggr\},\qquad \psi=\frac{1}{2}[-\alpha_gG_0+\alpha_qQ_0]-\varphi.
\end{equation*}
\notag
$$
В работах авторов модели [1]–[3] отмечается важность ситуации, когда параметр $\gamma$, обозначающий ширину спектрального фильтра, достаточно большой, т. е. $\gamma\gg1$ (в силу этого $\gamma^{-1}\ll1$). Это предположение также позволяет использовать асимптотические методы анализа решений модели (1). Также мы рассмотрим важный для приложений случай (см., например, [5], [6]), когда достаточно большим является время запаздывания $T$. Относительно расположения корней уравнения (3) справедливы следующие утверждения. Если $a<1$, то все корни уравнения (3) лежат в левой комплексной полуплоскости и отделены от мнимой оси при достаточно больших значениях $\gamma T$. Если $a>1$, то при достаточно больших $\gamma$ найдется корень уравнения (3), вещественная часть которого положительна и отделена от нуля при достаточно больших $\gamma T$. Таким образом, локальная динамика модели (1) в окрестности состояния равновесия для достаточно больших $\gamma$ или $T$ при $a<1$ тривиальна: все решения из некоторой малой (но фиксированной) его окрестности стремятся к состоянию равновесия; при $a>1$ задача перестает быть локальной. В настоящей работе рассматриваются динамические свойства системы (1) в случае, близком к критическому, когда параметр $a$ достаточно близок к единице. В разделе 2 эту близость обеспечивает условие $\gamma\gg 1$ и равенство где $0<p\leqslant 2$, а параметр $a_1$ фиксирован.В этом случае уравнение (3) имеет бесконечное количество корней, которые стремятся к мнимой оси при $\gamma\to\infty$. На рис. 1 и 2 проиллюстрировано расположение корней уравнения (3) на комплексной плоскости при различных значениях $\gamma$ и $p$. Таким образом, рассматриваемый критический случай имеет бесконечную размерность. Для исследования поведения решений задачи (1) в этой ситуации воспользуемся методом, изложенным в [7], [8].  Рис. 1.Расположение корней уравнения (3) (точек спектра) при условии (4) и $p=2$. Значения параметров: $a_1=1$, $\psi=\pi$, $\psi_1=0$, $T=1$. Значения $\gamma$: $\gamma=50$ (а), $\gamma=100$ (б), $\gamma=200$ (в).  Рис. 2.Расположение корней уравнения (3) (точек спектра) при условии (4) и $p=1$. Значения параметров: $a_1=1$, $\psi=\pi$, $\psi_1=0$, $T=1$. Значения $\gamma$: $\gamma=50$ (а), $\gamma=100$ (б), $\gamma=200$ (в). В п. 2.1 предполагаем, что для параметра $p$ в (4) выполнено строгое равенство а в п. 2.2 параметр $p$ удовлетворяет неравенству Отметим, что результаты в случаях (5) и (6) существенно отличаются друг от друга.В п. 2.3 дополнительно к условию (4) предполагаем, что малым параметром является и коэффициент $\gamma_g$: С точки зрения приложений (см. [1]–[3]) к лазерным задачам это условие тоже является важным. Это ограничение является принципиальным, так как в этом случае у характеристического уравнения появляется еще один близкий к нулю корень.В разделе 3 рассмотрен случай, когда параметр $\gamma$ фиксирован, а большим является время запаздывания $T$: $T\gg1$. В качестве основного результата во всех случаях построены нелинейные уравнения, являющиеся уравнениями первого приближения для определения медленной огибающей электрического поля. 2. Случай большого $\gamma$2.1. Решения системы (1) при условии $p=2$Пусть $\gamma\gg 1$, а остальные параметры таковы, что выполнено условие (4) при $p=2$. В окрестности состояния равновесия $A=0$, $g=G_0$, $q=Q_0$ систему (1) представим в виде
$$
\begin{equation}
\varepsilon\dot A+A=(1+\varepsilon^2a_1)e^{i(\psi+\varepsilon^2\psi_1)}A(t-T)+{} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad{}+e^{i\psi}(\alpha (g(t-T)-G_0)+\beta (q(t-T)-Q_0))A(t-T)+\dotsb,
\end{equation}
\tag{8}
$$
$$
\begin{equation}
\dot g=-\gamma_g(g-G_0)-P|A|^2+\dotsb,\qquad q=-\gamma_q(q-Q_0)-R|A|^2+\dotsb,
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $\varepsilon=\gamma^{-1}\ll 1$, $\alpha=(1-i\alpha_g)/2$, $\beta=-(1-i\alpha_q)/2$, $P=e^{-Q_0}[e^{G_0}-1]$, $R=s[1-e^{-Q_0}]$, а многоточием обозначены слагаемые более высокого порядка малости по $\varepsilon$, $A$, $g-G_0$ и $q-Q_0$. Характеристическое уравнение для линеаризованного в окрестности состояния равновесия уравнения (8) имеет вид
$$
\begin{equation}
\varepsilon\lambda+1=(1+\varepsilon^2a_1)e^{i(\psi+\varepsilon^2\psi_1)-\lambda T}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Его корнями являются величины $\lambda_k(\varepsilon)$, для которых имеют место асимптотические формулы
$$
\begin{equation}
\lambda_k(\varepsilon)=2\pi ki T^{-1}+i\psi T^{-1} +\varepsilon T^{-2}\lambda_{k_1}+\varepsilon^2T^{-3}\lambda_{k_2}+\dotsb,\qquad k=0,\pm1,\pm2,\dots,
\end{equation}
\tag{11}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\lambda_{k_1}=-i(2\pi k+\psi),\qquad \lambda_{k_2}=-\frac{1}{2}(2\pi k+\psi)^2+i(2\pi k+\psi)+(a_1+i\psi_1)T^2
\end{equation*}
\notag
$$
(расположение $\lambda_k$ на мнимой оси см. на рис. 1). Поскольку бесконечно много корней $\lambda_k(\varepsilon)$ стремятся к мнимой оси при $\varepsilon\to 0$, то можно говорить о том, что в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия системы (8), (9) реализуется критический случай бесконечной размерности. Для его исследования воспользуемся методикой, развитой в [7], [8]. Введем в рассмотрение формальный ряд
$$
\begin{equation}
A=\varepsilon e^{it_0}\xi(\tau,r)+\varepsilon^3 e^{it_0} u_3(\tau, r)+\dotsb,
\end{equation}
\tag{12}
$$
$$
\begin{equation}
g=G_0+\varepsilon^2 g_1(\tau, r)+\dotsb,\qquad q=Q_0+\varepsilon^2 q_1(\tau, r)+\dotsb.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Здесь $\tau=\varepsilon^2t$ – “медленное” время,
$$
\begin{equation*}
t_0=\psi(1-\varepsilon T^{-1}+\varepsilon^2T^{-2})T^{-1}t,\qquad r=(1-\varepsilon T^{-1}+\varepsilon^2 T^{-2})t.
\end{equation*}
\notag
$$
Переменная $r$ играет роль пространственной переменной (см. [6]), будем предполагать, что $\xi$, $u_3$, $g_1$ и $q_1$ $T$-периодичны по $r$. Подставим (12), (13) в (8), (9) и будем собирать коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$. На втором шаге (при $\varepsilon^2$) приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_1&=-P\int_{-\infty}^0e^{ \gamma_g\sigma}|\xi(\tau,r+\sigma)|^2\,d\sigma, \\ q_1&=-R\int_{-\infty}^0e^{\gamma_q\sigma}|\xi(\tau,r+\sigma)|^2\,d\sigma. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
На третьем шаге, используя условие периодичности $u_3$ по $r$, получаем итоговое уравнение для определения неизвестной амплитуды $\xi(\tau,r)$:
$$
\begin{equation}
T\,\frac{\partial\xi}{\partial\tau}=\frac{1}{2T^2}\,\frac{\partial^2\xi}{\partial r^2} +\frac{i\psi}{T}\,\frac{\partial\xi}{\partial r} +\biggl(a_1+i\psi_1-\frac{1}{2}\psi^2T^{-2}\biggr)\xi +\xi\int_{-\infty}^0H(\sigma)|\xi(\tau,r+\sigma)|^2\,ds,
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $H(\sigma)=-\alpha Pe^{\gamma_g\sigma}-\beta Re^{\gamma_q\sigma}$, с периодическими краевыми условиями Из приведенных построений вытекает следующее утверждение. Теорема 1. Пусть $\xi(\tau,r)$ – ограниченное при $\tau\to\infty$ и $r\in[0,T]$ решение краевой задачи (14), (15). Тогда система (8), (9) имеет асимптотическое по невязке с точностью до $O(\varepsilon^4)$ равномерно по $t\geqslant 0$ решение Если дополнительно к условиям теоремы 1 потребовать, чтобы решение $\xi(\tau,r)$ было периодическим и экспоненциально орбитально устойчивым, то можно утверждать, что соответствующие ему ряды (12), (13) являются асимптотическим приближением устойчивого решения (8), (9). Таким образом, краевая задача (14), (15), в которой отсутствуют большие и малые параметры, играет роль нормальной формы (8), (9), а ее решения описывают главную часть асимптотического приближения амплитуды решений исходной задачи. Например, бегущим волнам в (14), (15) вида $c_ne^{i(2\pi nT^{-1}r+\omega\tau)}$ соответствуют моды внешнего резонатора (8), (9):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_n(t,\varepsilon)=\varepsilon\sqrt{c_n} e^{\psi T^{-1}i(1+O(\varepsilon))t}e^{2\pi n T^{-1}i(1+O(\varepsilon))t}+o(\varepsilon), \\ g_n(t,\varepsilon)=G_0-\varepsilon^2\frac{P}{\gamma_g}c_n^2+o(\varepsilon^2),\qquad q_n(t,\varepsilon)=Q_0-\varepsilon^2\frac{R}{\gamma_q}c_n^2+o(\varepsilon^2), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
c_n=\biggl(a_1+\frac{\psi^2}{2T^2}-\frac{2\pi\psi n}{T^2} -\frac{2n^2}{T^4}\biggr)H_0^{-1},\qquad H_0=-\operatorname{Re}\biggl(\frac{\alpha P}{\gamma_g}-\frac{\beta R}{\gamma_q}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
а $n$ принимает целые значения, для которых $c_n>0$. 2.2. Решения системы (1) при условии $0<p<2$Рассмотрим теперь ситуацию, когда в условии (4) значение $a$ сильнее отличается от единицы, чем в п. 2.1. При $\gamma\gg1$ это будет обеспечиваться неравенством $0<p<2$. В этом случае вместо системы (8), (9) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, [b] \varepsilon\dot A+A={}&(1+\varepsilon^p a_1)e^{i(\psi+\varepsilon^p\psi_1)}A(t-T)+{} \\ &+e^{i\psi}(\alpha(g(t-T)-G_0)+\beta(q(t-T)-Q_0))A(t-T)+\dotsb, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
$$
\begin{equation}
\dot g=-\gamma_g(g-G_0)-P|A|^2+\dotsb,\qquad q=-\gamma_q(q-Q_0)- R|A|^2+\dotsb.
\end{equation}
\tag{17}
$$
В этом случае ожидается, что формирование структур в (16), (17) происходит на модах с асимптотически большими номерами вида $(z\varepsilon^{p/2-1}+\Theta_z)n$, где $n$ – целое число, $z$ – произвольно фиксированный параметр, а через $\Theta_z=\Theta_z(\varepsilon)\in[0,1)$ обозначим такую величину, для которой значение выражения $z\varepsilon^{p/2-1}+\Theta_z$ является целым. Роль формального ряда (12), (13) для нахождения амплитуд для указанных мод играет ряд
$$
\begin{equation}
A =\varepsilon^{p/2}e^{t_0 i}\xi(\tau,r)+\varepsilon^{3p/2}u_3(\tau,r,t_0)+\dotsb,
\end{equation}
\tag{18}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g&=G_0+\varepsilon^{p}g_1(\tau,r)+\varepsilon^{3p/2-1}g_2(\tau,r)+\dotsb, \\ q&=Q_0+\varepsilon^{p}q_1(\tau,r)+\varepsilon^{3p/2-1}q_2(\tau,r)+\dotsb, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
$$
где $\tau=\varepsilon^pt$, $t_0=\psi(1-\varepsilon T^{-1})T^{-1}t$, $r=(z\varepsilon^{p/2-1}+\Theta_z-z\varepsilon^{p/2})t$, а функции $u_3$, $g_z$, $q_z$ периодичны по $r$ и $t_0$. Подставим (18), (19) в исходную систему. Сначала получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_1&=-\gamma_g^{-1}PT^{-1}\int_0^T|\xi(\tau,\sigma)|^2\,d\sigma, \\ q_1&=-\gamma_q^{-1}R T^{-1}\int_0^T|\xi(\tau,\sigma)|^2\,d\sigma. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
На следующем шаге приходим к краевой задаче для определения $\xi(\tau,r)$:
$$
\begin{equation}
T\,\frac{\partial\xi}{\partial\tau}=\frac{z^2}{2T^2}\,\frac{\partial^2\xi}{\partial r^2} +(a_1+i\psi_1)\xi-\frac{1}{T}H\xi\int_0^T|\xi(\tau,\sigma)|^2\,d\sigma,
\end{equation}
\tag{20}
$$
Здесь для $H$ имеем формулу $H=\alpha\gamma_g^{-1}P+\beta\gamma_q^{-1}R$. Краевая задача (20), (21) является уравнением первого приближения для определения амплитуд решений задачи (16), (17). Справедлива теорема, аналогичная теореме 1: каждому ограниченному (при $\tau\to\infty$) решению задачи (20), (21) соответствует решение (16), (17), определяемое по формулам (18), (19). При этом экспоненциально устойчивому решению задачи (20), (21) соответствует устойчивое решение задачи (16), (17). В свою очередь, устойчивые ограниченные решения задачи (20), (21) исследуются просто. Пусть
$$
\begin{equation*}
\xi(\tau,r)=\sum_{n=-\infty}^\infty\xi_n(\tau)e^{2\pi T^{-1}inr}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для величин $\eta_n(\tau)=\xi_n(\tau)e^{-i\psi_1 T^{-1}\tau}$ получаем систему
$$
\begin{equation}
\dot\eta_n=(-2z^2\pi^2T^{-4}n^2+a_1T^{-1}-M(\tau))\eta_n,
\end{equation}
\tag{22}
$$
где выражение
$$
\begin{equation*}
M(\tau)=\frac{1}{T^2}H\int_0^T|\eta(\tau,\sigma)|^2\,d\sigma
\end{equation*}
\notag
$$
не зависит от $n$. Значение вещественной части множителя при $\eta_n$ имеет максимум при $n=0$ и монотонно убывает по $n^2$. Тем самым, например, при $a_1>0$ и $\operatorname{Re}H>0$ решение определяется из (22) при $n=0$, т. е.
$$
\begin{equation*}
T\dot\eta_0=\biggl(a_1-\frac{1}{T}H|\eta_0|^2\biggr)\eta_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что $|\eta_0|^2=a_1T(\operatorname{Re}H)^{-1}$. Соответствующее решение задачи (16), (17) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A=\varepsilon^{p/2}\sqrt{a_1T(\operatorname{Re}H)^{-1}} e^{i\psi T^{-1}(1+O(\varepsilon))t}+o(\varepsilon^{3p/2}), \\ \begin{aligned} \, g&=G_0-\varepsilon^p\gamma_g^{-1}Pa_1T(\operatorname{Re}H)^{-1}+o(\varepsilon^{3p/2}), \\ q&=Q_0-\varepsilon^p\gamma_q^{-1}Ra_1T(\operatorname{Re}H)^{-1}+o(\varepsilon^{3p/2}). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
На рис. 3 приведены графики решений, построенных с помощью асимптотических формул (рис. 3a) и построенных численно (рис. 3б). Как видно, рисунки очень похожи с точностью до сдвига по фазе.  Рис. 3.Графики решений задачи (16), (17): построенные по асимптотическим формулам (а), построенные численно (б). Сплошная линия – график $\operatorname{Re}A$, штриховая линия – график $\operatorname{Im}A$. Значения параметров: $\gamma=100$ ($\varepsilon=0.01$), $a_1\!=1$, $\psi=1$, $\psi_1\!=0$, $\alpha=0.5-0.5i$, $\beta=-0.5$, $G_0=1$, $Q_0\!=1$, $s=5$. 2.3. Динамика системы (1) при малом $\gamma_g$В этом разделе изучим ситуацию, когда дополнительно к условию (4) параметр $\gamma_g$ является малым: Пусть для определенности $p=2$. Тогда вместо (12), (13) имеем
$$
\begin{equation}
A=\varepsilon^2e^{it_0}\xi(\tau,r)+\varepsilon^4u_2(\tau,r,t_0)+\dotsb,
\end{equation}
\tag{23}
$$
$$
\begin{equation}
g=G_0+\varepsilon^2\eta(\tau)+\varepsilon^4g_2(\tau,r)+\dotsb,\qquad q=Q_0+\varepsilon^4q_1(\tau,r)+\dotsb,
\end{equation}
\tag{24}
$$
где, как и в замене (12), (13),
$$
\begin{equation*}
\tau=\varepsilon^2t,\qquad t_0=\psi(1-\varepsilon T^{-1}+\varepsilon^2T^{-2})T^{-1}t, \qquad r=(1-\varepsilon T^{-1}+\varepsilon^2T^{-2})t,
\end{equation*}
\notag
$$
а функции $\xi$, $\eta$, $u_2$, $g_2$ и $q_1$ $T$-периодичны по $r$ и $2\pi$-периодичны по $t_0$. Система уравнений для определения $\xi$ и $\eta$ имеет вид
$$
\begin{equation}
T\,\frac{\partial\xi}{\partial\tau}=\frac{1}{2T^2}\,\frac{\partial^2\xi}{\partial r^2} +\frac{i\psi}{T}\,\frac{\partial\xi}{\partial r} +\biggl(a_1+i\psi_1-\frac{1}{2}\psi^2T^{-2}\biggr)\xi+\alpha\eta\xi,
\end{equation}
\tag{25}
$$
с периодическими краевыми условиями Отметим, что, в отличие от предыдущих случаев, здесь построенная задача содержит дополнительное уравнение на $\eta$. Тут также имеет место результат, аналогичный теореме 1, о связи ограниченных решений (25)–(27) с решениями исходной задачи через формулы (23), (24).
3. Случай большого запаздыванияРассмотрим теперь ситуацию, когда в задаче (1) время запаздывания $T$ достаточно велико, т. е. После замены времени $t\to Tt$ приходим к системе
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{gathered} \, \nu\gamma^{-1}\dot A+A=\sqrt{k}\exp\biggl\{\frac{1}{2}[(1{-}i\alpha_g)g(t-1)-(1{-}i\alpha_q)q(t-1)] -i\varphi\biggr\}A(t-1), \\ \begin{aligned} \, \nu\dot g&=\gamma_g(G_0-g)-e^{-q}[e^g-1]|A|^2, \\ \nu\dot q&=\gamma_q(Q_0-q)-s[1-e^{-q}]|A|^2. \end{aligned} \end{gathered} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{29}
$$
Как и выше, критический случай в задаче об устойчивости состояния равновесия $A=0$, $g=G_0$, $q=Q_0$ реализуется при значении $a$, близком к единице. Положим Пусть сначала $p=2$. Тогда роль уравнения первого приближения для амплитуд решений системы (29) в окрестности состояния равновесия играет краевая задача
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\xi}{\partial\tau}=\frac{1}{2}\,\frac{\partial^2\xi}{\partial r^2} +i\psi\,\frac{\partial\xi}{\partial r} +\biggl(a_1+i\psi_1-\frac{1}{2}\psi^2\biggr)\xi -(\alpha\gamma_g^{-1}P+\beta\gamma_q^{-1}R)\xi|\xi|^2,
\end{equation}
\tag{30}
$$
Здесь $\tau=\nu^2\gamma^{-2}t$, $r=(1-\nu\gamma^{-1}+\nu^2\gamma^{-2})t$, а связь между решениями систем (29) и (30), (31) задается формулой
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A=\nu\gamma^{-1}e^{i\psi(1-\nu\gamma^{-1}+\nu^2\gamma^{-2})t}\xi(\tau,r)+O(\nu^4), \\ g=-\nu^2\gamma^{-2}\gamma_g^{-1}P|\xi|^2+O(\nu^4),\qquad q=-\nu^2\gamma^{-2}\gamma_q^{-1}R|\xi|^2+O(\nu^4). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $0<p<1$ соответствующая уравнению (30) краевая задача имеет вид
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\xi}{\partial\tau}=\frac{z^2}{2}\,\frac{\partial^2\xi}{\partial r^2} +(a_1+i\psi_1)\xi-(\alpha \gamma_g^{-1}P+\beta\gamma_q^{-1}R)\xi|\xi|^2,
\end{equation}
\tag{32}
$$
Здесь $z>0$ произвольно фиксировано. Таким образом, соотношения (32), (33) представляют собой семейство краевых задач. Решения задачи (29) получаются из решений системы (32), (33) с помощью формул
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A=\nu^{p/2}\gamma^{-p/2}e^{i\psi(1-\nu\gamma^{-1})t}\xi(\tau,r)+o(\nu^{3p/2}), \\ g=-\nu^p\gamma^{-p}\gamma_g^{-1}P|\xi|^2+O(\nu^{3p/2}),\qquad q=-\nu^p\gamma^{-p}\gamma_q^{-1}R|\xi|^2+O(\nu^{3p/2}), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tau=\nu^p\gamma^{-p} t$, $r=(z\nu^{p/2-1}\gamma^{1-p/2}+\Theta_z-z\nu^{p/2}\gamma^{-p/2})t$, а через $\Theta_z$ обозначено такое число из интервала $[0,1)$, которое дополняет $z\nu^{p/2-1}\gamma^{1-p/2}$ до целого.
4. ЗаключениеДля системы уравнений (1) выделен критический случай (в задаче об устойчивости стационара) бесконечной размерности. Построены специальные нелинейные краевые задачи и семейства краевых задач, нелокальная динамика которых определяет структуру решений исходной системы в малой окрестности стационара. Показано, что в зависимости от некоторых параметров задачи нелинейные функции в построенных краевых задачах существенно отличаются друг от друга. Приведены формулы для первых членов асимптотических разложений решений исходной системы через решение краевых задач. Отметим, что при условии (7) поведение решений существенно зависит от соотношений между малыми параметрами $\gamma^{-1}$, $\gamma_g$ и $a_1$. В некоторых случаях, как в п. 2.2, соответствующая краевая задача интегрируется в явном виде. В других случаях, как, например, в разделе 3, это сделать принципиально невозможно. Более того, задачи (30), (31) и (32), (33) являются уравнениями типа Гинзбурга–Ландау, структура их решений может быть сложной (см., например, [9]–[11]). Известно, в частности, что это уравнение может иметь довольно богатую картину колебательных режимов. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KasKas23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|