Теоретическая и математическая физика
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Теоретическая и математическая физика, 2023, том 215, номер 2, страницы 232–241
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10362
(Mi tmf10362)
 

Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)

Локальная динамика модели полупроводникового лазера с запаздыванием

И. С. Кащенко, С. А. Кащенко

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, Россия
Список литературы:
Аннотация: Изучается модель с запаздыванием полупроводникового лазера. Исследована устойчивость состояния равновесия, выделены бифуркационные значения параметров. Как оказалось, возникающие критические случаи имеют бесконечную размерность. В ситуациях, когда значения параметров близки к критическим, построены уравнения первого приближения для определения асимптотических разложений амплитуд решений. Эти уравнения имеют вид нелинейных краевых задач параболического типа, содержащих в ряде случаев интегральные слагаемые в нелинейности. Приведены асимптотические формулы, связывающие решения исходной модели и построенных краевых задач.
Ключевые слова: запаздывание, модель лазера, динамика, асимптотика.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 21-71-30011
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 21-71-30011), https://rscf.ru/project/21-71-30011/.
Поступило в редакцию: 04.09.2022
После доработки: 02.10.2022
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 2, Pages 658–666
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923050069
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: 37G05

1. Введение

Полупроводниковые лазеры, работающие в режиме пассивной синхронизации мод, являются надежными, компактными и дешевыми источниками коротких световых импульсов с высокими частотами повторения, которые находят широкое применение в различных технологических приложениях. В работах [1]–[3] в приближении однонаправленной генерации в кольцевом резонаторе предложена модель пассивной синхронизации мод в полупроводниковом лазере, основанная на системе дифференциальных уравнений с запаздыванием:

(1+1γddt)A=kexp{12[(1iαg)g(tT)(1iαq)q(tT)]iφ}A(tT),dgdt=γg(G0g)eq[eg1]|A|2,dqdt=γq(Q0q)s[1eq]|A|2,
где A(t) – комплексная амплитуда электромагнитного поля на входе в поглощающую секцию лазера, g(t) и q(t) – действительные функции, описывающие соответственно интегральное усиление и поглощение за проход резонатора. Все параметры модели являются действительными константами. Их точный физический смысл, а также процедура вывода модельных уравнений подробно описаны в работе [1]. Значения ширины спектрального фильтра γ, фактора нерезонансных потерь k<1, скоростей релаксации усиления и поглощения γg и γq, параметра насыщения s>1, а также параметров ненасыщенного усиления и поглощения G0 и Q0 являются положительными.

Отметим, что в работе [1] скорость релаксации поглощения γq нормирована на единицу: γq=1. При этом время t является безразмерным (нормированным на скорость релаксации поглощения). Величина T – время обхода резонатора – также безразмерна. Однако в настоящей статье мы вслед за работами [2]–[4] сохраним параметр γq в модели (1), считая его положительной константой. При этом время t и величину запаздывания T>0 по-прежнему будем считать безразмерными.

В работе [4] исследованы некоторые, в том числе и нелокальные, свойства модели (1) в случае, когда A(t) – вещественнозначная функция, т. е. αg=αq=φ=0.

В настоящей работе мы исследуем поведение решений модели в некоторой малой окрестности состояния равновесия A=0, g=G0, q=Q0. Этот режим соответствует ситуации, когда лазер не излучает. Таким образом, нас интересует структура решений в окрестности порога генерации.

Линеаризуем систему (1) на этом состоянии равновесия:

(1+γ1ddt)x=kexp{12[(1iαg)G0(1iαq)Q0]iφ}x(tT),dydt=γgy,dzdt=γqz.
Из положительности γg и γq видно, что y и z экспоненциально стремятся к нулю. Следовательно, потеря устойчивости может произойти только за счет переменной x. Характеристический квазимногочлен, расположение корней которого определяет устойчивость нулевого состояния равновесия линейной задачи (2), имеет вид
1+γ1λ=aeiψeλT.
Действительные параметры a>0 и ψ – модуль и аргумент kexp{[(1iαg)G0(1iαq)Q0]/2iφ} соответственно, т. е.
a=kexp{12[G0Q0]},ψ=12[αgG0+αqQ0]φ.

В работах авторов модели [1]–[3] отмечается важность ситуации, когда параметр γ, обозначающий ширину спектрального фильтра, достаточно большой, т. е. γ1 (в силу этого γ11). Это предположение также позволяет использовать асимптотические методы анализа решений модели (1). Также мы рассмотрим важный для приложений случай (см., например, [5], [6]), когда достаточно большим является время запаздывания T.

Относительно расположения корней уравнения (3) справедливы следующие утверждения.

Если a<1, то все корни уравнения (3) лежат в левой комплексной полуплоскости и отделены от мнимой оси при достаточно больших значениях γT.

Если a>1, то при достаточно больших γ найдется корень уравнения (3), вещественная часть которого положительна и отделена от нуля при достаточно больших γT.

Таким образом, локальная динамика модели (1) в окрестности состояния равновесия для достаточно больших γ или T при a<1 тривиальна: все решения из некоторой малой (но фиксированной) его окрестности стремятся к состоянию равновесия; при a>1 задача перестает быть локальной.

В настоящей работе рассматриваются динамические свойства системы (1) в случае, близком к критическому, когда параметр a достаточно близок к единице. В разделе 2 эту близость обеспечивает условие γ1 и равенство

a=1+γpa1,
где 0<p2, а параметр a1 фиксирован.

В этом случае уравнение (3) имеет бесконечное количество корней, которые стремятся к мнимой оси при γ. На рис. 1 и 2 проиллюстрировано расположение корней уравнения (3) на комплексной плоскости при различных значениях γ и p. Таким образом, рассматриваемый критический случай имеет бесконечную размерность. Для исследования поведения решений задачи (1) в этой ситуации воспользуемся методом, изложенным в [7], [8].

GRAPHIC

Рис. 1.Расположение корней уравнения (3) (точек спектра) при условии (4) и p=2. Значения параметров: a1=1, ψ=π, ψ1=0, T=1. Значения γ: γ=50 (а), γ=100 (б), γ=200 (в).

GRAPHIC

Рис. 2.Расположение корней уравнения (3) (точек спектра) при условии (4) и p=1. Значения параметров: a1=1, ψ=π, ψ1=0, T=1. Значения γ: γ=50 (а), γ=100 (б), γ=200 (в).

В п. 2.1 предполагаем, что для параметра p в (4) выполнено строгое равенство

p=2,
а в п. 2.2 параметр p удовлетворяет неравенству
0<p<2.
Отметим, что результаты в случаях (5) и (6) существенно отличаются друг от друга.

В п. 2.3 дополнительно к условию (4) предполагаем, что малым параметром является и коэффициент γg:

0<γg1.
С точки зрения приложений (см. [1]–[3]) к лазерным задачам это условие тоже является важным. Это ограничение является принципиальным, так как в этом случае у характеристического уравнения появляется еще один близкий к нулю корень.

В разделе 3 рассмотрен случай, когда параметр γ фиксирован, а большим является время запаздывания T: T1.

В качестве основного результата во всех случаях построены нелинейные уравнения, являющиеся уравнениями первого приближения для определения медленной огибающей электрического поля.

2. Случай большого γ

2.1. Решения системы (1) при условии p=2

Пусть γ1, а остальные параметры таковы, что выполнено условие (4) при p=2. В окрестности состояния равновесия A=0, g=G0, q=Q0 систему (1) представим в виде

ε˙A+A=(1+ε2a1)ei(ψ+ε2ψ1)A(tT)+
+eiψ(α(g(tT)G0)+β(q(tT)Q0))A(tT)+,
˙g=γg(gG0)P|A|2+,q=γq(qQ0)R|A|2+,
где ε=γ11, α=(1iαg)/2, β=(1iαq)/2, P=eQ0[eG01], R=s[1eQ0], а многоточием обозначены слагаемые более высокого порядка малости по ε, A, gG0 и qQ0.

Характеристическое уравнение для линеаризованного в окрестности состояния равновесия уравнения (8) имеет вид

ελ+1=(1+ε2a1)ei(ψ+ε2ψ1)λT.
Его корнями являются величины λk(ε), для которых имеют место асимптотические формулы
λk(ε)=2πkiT1+iψT1+εT2λk1+ε2T3λk2+,k=0,±1,±2,,
где
λk1=i(2πk+ψ),λk2=12(2πk+ψ)2+i(2πk+ψ)+(a1+iψ1)T2
(расположение λk на мнимой оси см. на рис. 1).

Поскольку бесконечно много корней λk(ε) стремятся к мнимой оси при ε0, то можно говорить о том, что в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия системы (8), (9) реализуется критический случай бесконечной размерности. Для его исследования воспользуемся методикой, развитой в [7], [8].

Введем в рассмотрение формальный ряд

A=εeit0ξ(τ,r)+ε3eit0u3(τ,r)+,
g=G0+ε2g1(τ,r)+,q=Q0+ε2q1(τ,r)+.
Здесь τ=ε2t – “медленное” время,
t0=ψ(1εT1+ε2T2)T1t,r=(1εT1+ε2T2)t.
Переменная r играет роль пространственной переменной (см. [6]), будем предполагать, что ξ, u3, g1 и q1 T-периодичны по r. Подставим (12), (13) в (8), (9) и будем собирать коэффициенты при одинаковых степенях ε. На втором шаге (при ε2) приходим к выводу, что
g1=P0eγgσ|ξ(τ,r+σ)|2dσ,q1=R0eγqσ|ξ(τ,r+σ)|2dσ.

На третьем шаге, используя условие периодичности u3 по r, получаем итоговое уравнение для определения неизвестной амплитуды ξ(τ,r):

Tξτ=12T22ξr2+iψTξr+(a1+iψ112ψ2T2)ξ+ξ0H(σ)|ξ(τ,r+σ)|2ds,
где H(σ)=αPeγgσβReγqσ, с периодическими краевыми условиями
ξ(τ,r+T)ξ(τ,r).

Из приведенных построений вытекает следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть ξ(τ,r) – ограниченное при τ и r[0,T] решение краевой задачи (14), (15). Тогда система (8), (9) имеет асимптотическое по невязке с точностью до O(ε4) равномерно по t0 решение

A(t,ε)=εeψ(1εT1+ε2T2)T1itξ(ε2t,(1εT1+ε2T2)t),g(t,ε)=G0ε2P0eγgσ|ξ(ε2t,(1εT1+ε2T2)t+σ)|2dσ,q(t,ε)=Q0ε2R0eγqσ|ξ(ε2t,(1εT1+ε2T2)t+σ)|2dσ.

Если дополнительно к условиям теоремы 1 потребовать, чтобы решение ξ(τ,r) было периодическим и экспоненциально орбитально устойчивым, то можно утверждать, что соответствующие ему ряды (12), (13) являются асимптотическим приближением устойчивого решения (8), (9).

Таким образом, краевая задача (14), (15), в которой отсутствуют большие и малые параметры, играет роль нормальной формы (8), (9), а ее решения описывают главную часть асимптотического приближения амплитуды решений исходной задачи. Например, бегущим волнам в (14), (15) вида cnei(2πnT1r+ωτ) соответствуют моды внешнего резонатора (8), (9):

An(t,ε)=εcneψT1i(1+O(ε))te2πnT1i(1+O(ε))t+o(ε),gn(t,ε)=G0ε2Pγgc2n+o(ε2),qn(t,ε)=Q0ε2Rγqc2n+o(ε2),
где
cn=(a1+ψ22T22πψnT22n2T4)H10,H0=Re(αPγgβRγq),
а n принимает целые значения, для которых cn>0.

2.2. Решения системы (1) при условии 0<p<2

Рассмотрим теперь ситуацию, когда в условии (4) значение a сильнее отличается от единицы, чем в п. 2.1. При γ1 это будет обеспечиваться неравенством 0<p<2. В этом случае вместо системы (8), (9) имеем

[b]ε˙A+A=(1+εpa1)ei(ψ+εpψ1)A(tT)++eiψ(α(g(tT)G0)+β(q(tT)Q0))A(tT)+,
˙g=γg(gG0)P|A|2+,q=γq(qQ0)R|A|2+.

В этом случае ожидается, что формирование структур в (16), (17) происходит на модах с асимптотически большими номерами вида (zεp/21+Θz)n, где n – целое число, z – произвольно фиксированный параметр, а через Θz=Θz(ε)[0,1) обозначим такую величину, для которой значение выражения zεp/21+Θz является целым. Роль формального ряда (12), (13) для нахождения амплитуд для указанных мод играет ряд

A=εp/2et0iξ(τ,r)+ε3p/2u3(τ,r,t0)+,
g=G0+εpg1(τ,r)+ε3p/21g2(τ,r)+,q=Q0+εpq1(τ,r)+ε3p/21q2(τ,r)+,
где τ=εpt, t0=ψ(1εT1)T1t, r=(zεp/21+Θzzεp/2)t, а функции u3, gz, qz периодичны по r и t0. Подставим (18), (19) в исходную систему. Сначала получаем, что
g1=γ1gPT1T0|ξ(τ,σ)|2dσ,q1=γ1qRT1T0|ξ(τ,σ)|2dσ.
На следующем шаге приходим к краевой задаче для определения ξ(τ,r):
Tξτ=z22T22ξr2+(a1+iψ1)ξ1THξT0|ξ(τ,σ)|2dσ,
ξ(τ,r+T)ξ(τ,r).
Здесь для H имеем формулу H=αγ1gP+βγ1qR.

Краевая задача (20), (21) является уравнением первого приближения для определения амплитуд решений задачи (16), (17). Справедлива теорема, аналогичная теореме 1: каждому ограниченному (при τ) решению задачи (20), (21) соответствует решение (16), (17), определяемое по формулам (18), (19). При этом экспоненциально устойчивому решению задачи (20), (21) соответствует устойчивое решение задачи (16), (17).

В свою очередь, устойчивые ограниченные решения задачи (20), (21) исследуются просто. Пусть

ξ(τ,r)=n=ξn(τ)e2πT1inr.
Тогда для величин ηn(τ)=ξn(τ)eiψ1T1τ получаем систему
˙ηn=(2z2π2T4n2+a1T1M(τ))ηn,
где выражение
M(τ)=1T2HT0|η(τ,σ)|2dσ
не зависит от n. Значение вещественной части множителя при ηn имеет максимум при n=0 и монотонно убывает по n2. Тем самым, например, при a1>0 и ReH>0 решение определяется из (22) при n=0, т. е.
T˙η0=(a11TH|η0|2)η0.
Отсюда следует, что |η0|2=a1T(ReH)1. Соответствующее решение задачи (16), (17) имеет вид
A=εp/2a1T(ReH)1eiψT1(1+O(ε))t+o(ε3p/2),g=G0εpγ1gPa1T(ReH)1+o(ε3p/2),q=Q0εpγ1qRa1T(ReH)1+o(ε3p/2).
На рис. 3 приведены графики решений, построенных с помощью асимптотических формул (рис. 3a) и построенных численно (рис. 3б). Как видно, рисунки очень похожи с точностью до сдвига по фазе.

GRAPHIC

Рис. 3.Графики решений задачи (16), (17): построенные по асимптотическим формулам (а), построенные численно (б). Сплошная линия – график ReA, штриховая линия – график ImA. Значения параметров: γ=100 (ε=0.01), a1=1, ψ=1, ψ1=0, α=0.50.5i, β=0.5, G0=1, Q0=1, s=5.

2.3. Динамика системы (1) при малом γg

В этом разделе изучим ситуацию, когда дополнительно к условию (4) параметр γg является малым:

γg=εpμ.
Пусть для определенности p=2. Тогда вместо (12), (13) имеем
A=ε2eit0ξ(τ,r)+ε4u2(τ,r,t0)+,
g=G0+ε2η(τ)+ε4g2(τ,r)+,q=Q0+ε4q1(τ,r)+,
где, как и в замене (12), (13),
τ=ε2t,t0=ψ(1εT1+ε2T2)T1t,r=(1εT1+ε2T2)t,
а функции ξ, η, u2, g2 и q1 T-периодичны по r и 2π-периодичны по t0.

Система уравнений для определения ξ и η имеет вид

Tξτ=12T22ξr2+iψTξr+(a1+iψ112ψ2T2)ξ+αηξ,
dηdτ=μηP|ξ|2
с периодическими краевыми условиями
ξ(τ,r+T)ξ(τ,r).
Отметим, что, в отличие от предыдущих случаев, здесь построенная задача содержит дополнительное уравнение на η. Тут также имеет место результат, аналогичный теореме 1, о связи ограниченных решений (25)(27) с решениями исходной задачи через формулы (23), (24).

3. Случай большого запаздывания

Рассмотрим теперь ситуацию, когда в задаче (1) время запаздывания T достаточно велико, т. е.

0<ν=T11.
После замены времени tTt приходим к системе
νγ1˙A+A=kexp{12[(1iαg)g(t1)(1iαq)q(t1)]iφ}A(t1),ν˙g=γg(G0g)eq[eg1]|A|2,ν˙q=γq(Q0q)s[1eq]|A|2.
Как и выше, критический случай в задаче об устойчивости состояния равновесия A=0, g=G0, q=Q0 реализуется при значении a, близком к единице. Положим
a=1+νpa1.

Пусть сначала p=2. Тогда роль уравнения первого приближения для амплитуд решений системы (29) в окрестности состояния равновесия играет краевая задача

ξτ=122ξr2+iψξr+(a1+iψ112ψ2)ξ(αγ1gP+βγ1qR)ξ|ξ|2,
ξ(τ,r+1)=ξ(τ,r).
Здесь τ=ν2γ2t, r=(1νγ1+ν2γ2)t, а связь между решениями систем (29) и (30), (31) задается формулой
A=νγ1eiψ(1νγ1+ν2γ2)tξ(τ,r)+O(ν4),g=ν2γ2γ1gP|ξ|2+O(ν4),q=ν2γ2γ1qR|ξ|2+O(ν4).

В случае 0<p<1 соответствующая уравнению (30) краевая задача имеет вид

ξτ=z222ξr2+(a1+iψ1)ξ(αγ1gP+βγ1qR)ξ|ξ|2,
ξ(τ,r+1)=ξ(τ,r).
Здесь z>0 произвольно фиксировано. Таким образом, соотношения (32), (33) представляют собой семейство краевых задач. Решения задачи (29) получаются из решений системы (32), (33) с помощью формул
A=νp/2γp/2eiψ(1νγ1)tξ(τ,r)+o(ν3p/2),g=νpγpγ1gP|ξ|2+O(ν3p/2),q=νpγpγ1qR|ξ|2+O(ν3p/2),
где τ=νpγpt, r=(zνp/21γ1p/2+Θzzνp/2γp/2)t, а через Θz обозначено такое число из интервала [0,1), которое дополняет zνp/21γ1p/2 до целого.

4. Заключение

Для системы уравнений (1) выделен критический случай (в задаче об устойчивости стационара) бесконечной размерности. Построены специальные нелинейные краевые задачи и семейства краевых задач, нелокальная динамика которых определяет структуру решений исходной системы в малой окрестности стационара. Показано, что в зависимости от некоторых параметров задачи нелинейные функции в построенных краевых задачах существенно отличаются друг от друга. Приведены формулы для первых членов асимптотических разложений решений исходной системы через решение краевых задач. Отметим, что при условии (7) поведение решений существенно зависит от соотношений между малыми параметрами γ1, γg и a1.

В некоторых случаях, как в п. 2.2, соответствующая краевая задача интегрируется в явном виде. В других случаях, как, например, в разделе 3, это сделать принципиально невозможно. Более того, задачи (30), (31) и (32), (33) являются уравнениями типа Гинзбурга–Ландау, структура их решений может быть сложной (см., например, [9]–[11]). Известно, в частности, что это уравнение может иметь довольно богатую картину колебательных режимов.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

Список литературы

1. A. G. Vladimirov, D. Turaev, “Model for passive mode locking in semiconductor lasers”, Phys. Rev. A, 72:3 (2005), 033808, 13 pp.  crossref
2. A. Pimenov, J. Javaloyes, S. V. Gurevich, A. G. Vladimirov, “Light bullets in a time-delay model of a wide-aperture mode-locked semiconductor laser”, Philos. Trans. Roy. Soc. A, 376:2124 (2018), 20170372, 14 pp.  crossref  mathscinet
3. A. G. Vladimirov, D. Rachinskii, M. Wolfrum, “Modeling of passively mode-locked semiconductor lasers”, Nonlinear Laser Dynamics: From Quantum Dots to Cryptography, Wiley-VCH, New York, 2012  crossref
4. M. Nizette, D. Rachinskii, A. G. Vladimirov, M. Wolfrum, “Pulse interaction via gain and loss dynamics in passive mode locking”, Phys. D, 218:1 (2006), 95–104  crossref
5. M. Bestehorn, E. V. Grigorieva, H. Haken, S. A. Kaschenko, “Order parameters for class-B lasers with a long time delayed feedback”, Phys. D, 145:1–2 (2000), 110–129  crossref  mathscinet
6. S. Yanchuk, G. Giacomelli, “Spatio-temporal phenomena in complex systems with time delays”, J. Phys. A: Math. Theor., 50:10 (2017), 103001, 56 pp.  crossref  mathscinet
7. С. А. Кащенко, “Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностного уравнения с малым множителем при производной”, Дифференц. уравнения, 25:8 (1989), 1448–1451  mathnet  mathscinet  zmath
8. И. С. Кащенко, “Локальная динамика уравнений с большим запаздыванием”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 48:12 (2008), 2141–2150  mathnet  crossref  mathscinet
9. А. В. Гапонов-Грехов, М. И. Рабинович, “Уравнение Гинзбурга–Ландау и нелинейная динамика неравновесных сред”, Изв. вузов. Радиофизика, 30:2 (1987), 131–143  crossref
10. Т. С. Ахромеева, С. П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий, А. А. Самарский, Нестационарные структуры и диффузионный хаос, Наука, М., 1992  mathscinet
11. А. Ю. Лоскутов, А. С. Михайлов, Основы теории сложных систем, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2007

Образец цитирования: И. С. Кащенко, С. А. Кащенко, “Локальная динамика модели полупроводникового лазера с запаздыванием”, ТМФ, 215:2 (2023), 232–241; Theoret. and Math. Phys., 215:2 (2023), 658–666
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KasKas23}
\by И.~С.~Кащенко, С.~А.~Кащенко
\paper Локальная динамика модели~полупроводникового~лазера с~запаздыванием
\jour ТМФ
\yr 2023
\vol 215
\issue 2
\pages 232--241
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10362}
\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10362}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4602483}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...215..658K}
\transl
\jour Theoret. and Math. Phys.
\yr 2023
\vol 215
\issue 2
\pages 658--666
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923050069}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85159454240}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/tmf10362
  • https://doi.org/10.4213/tmf10362
  • https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v215/i2/p232
  • Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:
    1. Chunru Xiong, Qiang Li, “Optimization of LDPC decoding algorithm in semi-conductor storage based on artificial neural networks”, International Journal of Electronics, 2025, 1  crossref
    2. А. Д. Полянин, В. Г. Сорокин, “Решения линейных начально-краевых задач реакционно-диффузионного типа с запаздыванием”, Вестник, 12:3 (2023), 153  crossref
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Теоретическая и математическая физика Theoretical and Mathematical Physics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:167
    PDF полного текста:22
    HTML русской версии:109
    Список литературы:30
    Первая страница:8
     
      Обратная связь:
    math-net2025_02@mi-ras.ru
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2025