| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Автоколебательные процессы в дискретной С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов Центр интегрируемых систем, Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923050045 
Реферативные базы данных:
   1. Постановка задачи и основной результатРассмотрим автогенератор, блок-схема которого приведена на рис. 1. Указанный генератор представляет собой цепочку из $N$ последовательно соединенных $RCL$-контуров, к левому концу которой подключен источник постоянного питания с напряжением $E$, а к правому – постоянная емкость $C_0$ и туннельный диод TD. Будем считать, что электрические параметры $R$, $C$, $L$ упомянутой выше цепочки заданы равенствами
$$
\begin{equation}
R=\frac{R_*}{N},\qquad C=\frac{C_*}{N},\qquad L=\frac{L_*}{N},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где величины $R_*$, $C_*$, $L_*$ не зависят от $N$. Что же касается туннельного диода TD, то мы предполагаем, что его вольт-амперная характеристика $i=f(u)$ имеет вид, показанный на рис. 2. Точнее говоря, нас интересует случай, когда уравнение имеет единственное решение $u=u_*$, а точка $(u_*, I_*)$, где $I_*=f(u_*)$, расположена на падающем участке нелинейной характеристики. Обозначим через $i_n=i_n(t)$, $u_n=u_n(t)$, $n=1, 2, \ldots, N$, токи и напряжения в рассматриваемых $RCL$-контурах, а через $i_{N+1}=i_{N+1}(t)$ – ток на входе в контур, содержащий элементы TD и $C_0$. Согласно законам Ома и Кирхгофа справедливы равенства
$$
\begin{equation}
C\frac{du_n}{dt}+i_{n+1}=i_n,\qquad R i_n+ L\frac{di_n}{dt}=u_{n-1}-u_n,\qquad n=1, 2, \ldots, N,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Эти равенства задают некоторую нелинейную систему дифференциальных уравнений, которая служит математической моделью интересующего нас генератора. Непосредственная проверка показывает, что система (1.3), (1.4) допускает положение равновесия с компонентами
$$
\begin{equation}
u_n^*=E-\frac{n}{N}R_*I_*,\qquad i^*_n=I_*,\qquad n=1, 2, \ldots, N,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где $I_*=f(u_*)$, а $u=u_*$ – решение уравнения (1.2). Далее, аппроксимируем нелинейную характеристику $i=f(u)$ кубическим полиномом
$$
\begin{equation*}
i=I_*-\widetilde{\alpha}_1(u-u_*)+\widetilde{\alpha}_2(u-u_*)^3,\qquad \widetilde{\alpha}_1, \widetilde{\alpha}_2>0,
\end{equation*}
\notag
$$
сделаем в системе (1.3), (1.4) замены $i_n-i_n^*\to i_n$, $u_n-u_n^*\to u_n$, $n=1, 2, \ldots, N$, переводящие состояние равновесия (1.5) в нулевое, и учтем равенства (1.1). В результате после нормировок
$$
\begin{equation*}
\tau=\frac{t}{\sqrt{L_*C_*}}\to t,\qquad \sqrt{\frac{L_*}{C_*}}i_n=v_n,\qquad n=1, 2, \ldots, N,
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к системе
$$
\begin{equation}
\dot{u}_n=-N(v_{n+1}-v_n),\qquad \dot{v}_n=-N(u_n-u_{n-1})-\varepsilon v_n,\qquad n=1, 2, \ldots, N,
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
$$
\begin{equation}
u_0=0,\qquad v_{N+1}=\beta\dot{u}_N-\alpha_1u_N+\alpha_2u_N^3,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\varepsilon=R_*\sqrt{\frac{C_*}{L_*}},\qquad\beta=\frac{C_0}{C},\qquad \alpha_j=\widetilde{\alpha}_j \sqrt{\frac{L_*}{C_*}},\qquad j=1, 2,
\end{equation*}
\notag
$$
а точка обозначает дифференцирование по $t$. Для удобства последующего анализа будем считать, что $\alpha_1=\mu$, $\alpha_2=1$ (этого всегда можно добиться посредством нормировок переменных $u_n$, $v_n$ из (1.6), (1.7)). В результате приходим к системе
$$
\begin{equation}
\dot{u}_1=-N(v_{2}-v_1),\qquad \dot{v}_1=-Nu_1-\varepsilon v_1,
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
$$
\begin{equation}
\dot{u}_n=-N(v_{n+1}-v_n),\qquad \dot{v}_n=-N(u_n-u_{n-1})-\varepsilon v_n,\qquad n=2, \ldots, N-1,
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
$$
\begin{equation}
\dot{u}_N=\frac{N}{1+\beta N}(\mu u_N-u_N^3+v_N),\qquad \dot{v}_N=-N(u_N-u_{N-1})-\varepsilon v_N,
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
где $\varepsilon$, $\beta$, $\mu$ – положительные параметры. Причина, по которой представляет интерес исследование аттракторов системы (1.8)–(1.10), состоит в том, что данная система является одной из возможных дискретизаций соответствующей непрерывной модели
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{\partial v}{\partial x},\qquad \frac{\partial v}{\partial t}=-\frac{\partial u}{\partial x}-\varepsilon v,
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
$$
\begin{equation}
u|_{x=0}=0,\qquad \beta\frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{x=1}+v|_{x=1}+ (\mu u-u^3)_{x=1}=0,
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
где $0\leqslant x\leqslant 1$, $t\geqslant 0$. Эта модель в различных ее вариантах рассматривалась многими авторами (см., например, [1]–[3]). Разработанные в работе [3] асимптотические методы позволяют изучить ее локальные аттракторы, бифурцирующие из нулевого положения равновесия при малых $\varepsilon$, $\mu$. Однако при $\mu\sim 1$ эти методы заведомо не работают и остается лишь один способ анализа аттракторов краевой задачи (1.11), (1.12) – численное исследование соответствующей дискретной модели. В настоящей статье в качестве такой модели предлагается система (1.8)–(1.10). Отметим [4], что в случае нелинейных краевых задач гиперболического типа возможна аномальная ситуация, когда динамические свойства непрерывной модели и ее дискретизации по пространственным переменным существенно различны. Поэтому к выбору дискретной модели следует подходить с некоторой степенью осторожности. В нашей ситуации выбор в качестве дискретизации задачи (1.11), (1.12) системы (1.8)–(1.10) представляется удачным, поскольку такая дискретизация имеет физический смысл не только при $N\gg 1$, но и при любом конечном натуральном $N$. Поставим вопрос о периодических решениях системы (1.8)–(1.10), бифурцирующих из нуля при условиях
$$
\begin{equation}
0<\varepsilon\ll 1,\qquad\mu=\varepsilon\alpha,\qquad\alpha=\mathrm{const}>0,\qquad \beta=\mathrm{const}>0.
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Для формулировки соответствующего результата введем в рассмотрение уравнение
$$
\begin{equation}
\operatorname{tg} (N\theta) \operatorname{tg} \biggl(\frac{\theta}{2}\biggr)=\frac{1}{1+2\beta N}
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
и заметим, что на промежутке $0<\theta<\pi$ оно имеет ровно $N$ простых корней $\theta_l$, $l=1, 2, \ldots, N$, где
$$
\begin{equation}
\frac{(l-1)\pi}{N}<\theta_l<\frac{(2l-1)\pi}{2N},\qquad l=1, 2, \ldots, N.
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
Далее, опираясь на факт существования корней (1.15), положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \omega_l&=2N\sin\biggl(\frac{\theta_l}{2}\biggr),\\ \varkappa_l&= \omega_l\biggl(\frac{(1+2\beta N)(2N+1+4\beta N^2)}{4(1+\beta N)} \operatorname{tg} ^2\biggl(\frac{\theta_l}{2}\biggr)+\frac{2N+1+2\beta N}{4(1+\beta N)}\biggr),\\ r_l&=\frac{N\omega_l}{(1+\beta N)\varkappa_l},\qquad \delta_l=\alpha-\frac{1}{r_l},\qquad l=1, 2, \ldots, N. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
Справедливо следующее утверждение, являющееся основным результатом настоящей статьи. Теорема 1. Предположим, что для величин $\omega_l$ из (1.16) выполняются условия нерезонансности Сформулированная теорема нуждается в ряде комментариев. Во-первых, условия (1.17) характеризуют некоторую общность положения и их выполнения всегда можно добиться за счет “шевеления” параметра $\beta$ из (1.13), (1.14). Во-вторых, свойство достаточной гладкости функций (1.21) означает существование для любого $k\in\mathbb{N}$ такого $\varepsilon_0=\varepsilon_{0, k}>0$, что $\Delta_{j, n}(\psi, \varepsilon), \Delta_*(\varepsilon)\in C^k$, $j=1, 2$, по $(\psi, \varepsilon)\in[0, 2\pi/\omega_{l_0}]\times [0, \varepsilon_0]$ и $\varepsilon\in[0, \varepsilon_0]$. В-третьих, требования (1.18) при надлежащем увеличении параметра $\alpha$ заведомо выполняются для всех $1\leqslant l_0\leqslant N$. Тем самым, при условиях (1.13) и при согласованном стремлении $N\to+\infty$, $\alpha\to+\infty$, $\varepsilon\to 0$ количество сосуществующих в системе (1.8)–(1.10) устойчивых циклов (1.19), (1.20) неограниченно растет, т. е. наблюдается известное явление буферности. Добавим еще, что нами построены явно только первые приближения (1.19), (1.20) циклов системы (1.8)–(1.10). Что же касается остатков (1.21), то они разлагаются в асимптотические ряды по степеням $\varepsilon$ и при необходимости их тоже можно найти. Вместе с тем для формулировки основных качественных результатов работы оказывается достаточно знания главных приближений. Отметим, что ряды для $\Delta_{j, n}(\psi, \varepsilon) $, $ j=1, 2$, $n=1, 2, \ldots, N$, асимптотические и, вообще говоря, не являются сходящимися. Доказательство существования и определение условий устойчивости соответствующих циклов, а тем самым и теоремы 1, содержится в следующем разделе. Оно опирается на асимптотические методы, развитые в монографии [5]. 2. Доказательство теоремы 1Для обоснования сформулированной выше теоремы воспользуемся предложенным в [5] специальным вариантом асимптотического метода Крылова–Боголюбова–Митропольского. В связи с этим обратимся сначала к линейной системе
$$
\begin{equation}
\dot{u}_n=-N(v_{n+1}-v_n),\qquad \dot{v}_n=-N(u_n-u_{n-1}),\qquad n=2, \ldots, N-1,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$$
\begin{equation}
\dot{u}_N=\frac{N}{1+\beta N}\,v_N,\qquad \dot{v}_N=-N(u_N-u_{N-1}),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
получающейся из (1.8)–(1.10) при $\varepsilon=\mu=0$ и при отбрасывании нелинейного слагаемого в правой части уравнения для $u_N$. В дальнейшем нам потребуются явные формулы для общего решения указанной системы. Для получения упомянутых формул исключим из (2.1)–(2.3) переменные $v_n$, $n=1, 2, \ldots, N$. А именно, продифференцируем по $t$ уравнения для $u_n$ и подставим в них формулы для $\dot{v}_n$, $n=1, 2, \ldots, N$. В результате для $u_n$ приходим к системе
$$
\begin{equation}
\ddot{u}_n=N^2(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}),\qquad u_0=0,\qquad n=1, 2, \ldots, N-1,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Решения последней будем искать в комплексной гармонической форме
$$
\begin{equation}
u_n=e^{i\omega t}\sin(n\theta),\qquad n=1, 2, \ldots, N,\qquad \omega=2N\sin\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr),
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $\theta\in\mathbb{R}$ – некоторый подлежащий определению параметр. Нетрудно видеть, что после подстановки формул (2.6) в (2.4) получаются верные равенства, а из (2.5) для отыскания $\theta$ после некоторых преобразований имеем уравнение
$$
\begin{equation}
2\sin\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr)\sin(N\theta)=\frac{1}{1+\beta N}\,\cos\biggl[\biggl(N-\frac{1}{2}\biggr)\theta\biggr].
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Далее, учитывая в (2.7) соотношение
$$
\begin{equation*}
\cos\biggl[\biggl(N-\frac{1}{2}\biggr)\theta\biggr]=\cos(N\theta)\cos\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr) +\sin(N\theta)\sin\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к выводу, что интересующее нас уравнение для $\theta$ преобразуется к виду (1.14) и допускает набор решений (1.15). А для компонент $v_n$ из (2.1)–(2.3), (2.6) вытекают формулы
$$
\begin{equation}
v_n=e^{i\omega t}i\cos\biggl[(2n-1)\frac{\theta}{2}\biggr],\qquad n=1, 2, \ldots, N.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Подводя итог, отметим, что пары $(u_n, v_n)$, $(\overline{u}_n, \overline{v}_n)$, где $n=1, 2, \ldots, N$, а $u_n$, $v_n$ – гармоники (2.6), (2.8) при $\theta=\theta_l$, $l=1, 2, \ldots, N$, образуют базис в пространстве решений системы (2.1)–(2.3). Таким образом, интересующее нас общее решение этой системы имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_n&=\sum_{l=1}^N(z_l e^{i\omega_l t}+\overline{z}_l e^{-i\omega_l t})\sin(n\theta_l),\\ v_n&=\sum_{l=1}^Ni(z_l e^{i\omega_l t}-\overline{z}_l e^{-i\omega_l t})\cos\biggl[\frac{(2n-1)\theta_l}{2}\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где $n=1, 2, \ldots, N$, $\omega_l$ – частоты из (1.16), а $z_l$, $l=1, 2, \ldots, N$, – произвольные комплексные амплитуды. Проделанный линейный анализ позволяет воспользоваться соответствующим вариантом асимптотического метода Крылова–Боголюбова–Митропольского [6]. А именно, обыгрывая факт существования у линейной системы (2.1)–(2.3) гармонических решений (2.9), возможные автоколебательные режимы исходной нелинейной системы (1.8)–(1.10) при условиях (1.13) будем искать в виде рядов:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_n&=\sqrt{\varepsilon}u_n^{(1)}(t, \tau)+\varepsilon^{3/2}u_n^{(2)}(t, \tau)+\cdots, \\ v_n&=\sqrt{\varepsilon}v_n^{(1)}(t, \tau)+\varepsilon^{3/2}v_n^{(2)}(t, \tau)+\cdots, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
где $n=1, 2, \ldots, N$, $\tau=\varepsilon t$, а компоненты $u_n^{(1)}$, $v_n^{(1)}$ задаются равенствами (2.9) при $z_l=z_l(\tau)$, $l=1, 2, \ldots, N$. Что же касается пока произвольных комплексных амплитуд $z_l(\tau)$, то они определяются в ходе последующего алгоритма из условий разрешимости уравнений для $u_n^{(2)}(t, \tau)$, $v_n^{(2)}(t, \tau)$, $n=1, 2, \ldots, N$, в классе тригонометрических полиномов переменных $\omega_l t$, $l=1, 2, \ldots, N$, с зависящими от $\tau$ коэффициентами. Дальнейший способ действий стандартен: подставляем формулы (1.13), (2.10) в систему (1.8)–(1.10) и приравниваем коэффициенты при $\varepsilon^{3/2}$ в левой и правой частях получившихся соотношений. В результате для отыскания функций $u_n^{(2)}(t, \tau)$, $v_n^{(2)}(t, \tau)$, $n=1, 2, \ldots, N$, приходим к линейной неоднородной системе:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u_1^{(2)}}{\partial t}=-N(v_2^{(2)}-v_1^{(2)})-\frac{\partial u_1^{(1)}}{\partial \tau},\quad \frac{\partial v_1^{(2)}}{\partial t}=-Nu_1^{(2)}-\frac{\partial v_1^{(1)}}{\partial \tau}-v_1^{(1)},
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial u_n^{(2)}}{\partial t}=-N(v_{n+1}^{(2)}-v_n^{(2)})-\frac{\partial u_n^{(1)}}{\partial \tau},\quad \frac{\partial v_n^{(2)}}{\partial t}=-N(u_{n}^{(2)}-u_{n-1}^{(2)})-\frac{\partial v_n^{(1)}}{\partial \tau}-v_n^{(1)},\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad n=2, \ldots, N-1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial u_N^{(2)}}{\partial t}&=\frac{N}{1+\beta N}(\alpha u_N^{(1)}-(u_N^{(1)})^3+v_N^{(2)}) -\frac{\partial u_N^{(1)}}{\partial \tau},\\ \frac{\partial v_N^{(2)}}{\partial t}&=-N(u_{N}^{(2)}-u_{N-1}^{(2)})-\frac{\partial v_N^{(1)}}{\partial \tau}-v_N^{(1)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
в которой переменная $\tau$ рассматривается как параметр. При анализе системы (2.11)–(2.13) сначала исключим из нее переменные $v_n^{(2)}$, $n=1, 2, \ldots, N$, по тому же правилу, что и в случае системы (2.1)–(2.3). На этом пути приходим к системе
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial^2u_n^{(2)}}{\partial t^2}-N^2(u_{n+1}^{(2)}-2u_n^{(2)}+u_{n-1}^{(2)})=-2\frac{\partial^2u_n^{(1)}}{\partial t\,\partial\tau}-\frac{\partial u_n^{(1)}}{\partial t},\\ &\qquad\qquad\qquad n=1, 2, \ldots, N-1,\qquad u_0^{(2)}=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial^2u_N^{(2)}}{\partial t^2}=\frac{N}{1+\beta N}\biggl[\frac{\partial}{\partial t}(\alpha u_N^{(1)}-(u_N^{(1)})^3)-{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -N(u_N^{(2)}-u_{N-1}^{(2)})-\frac{\partial v_N^{(1)}}{\partial \tau}-v_N^{(1)}\biggr] -\frac{\partial^2u_N^{(1)}}{\partial t\,\partial\tau}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Решение последней будем искать в виде тригонометрических полиномов переменных $\omega_l t$, $l=1, 2, \ldots, N$, той же структуры, что и соответствующие неоднородности. А именно, учтем в (2.14), (2.15) явные формулы для $u_n^{(1)}$, $v_n^{(1)}$ и положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_n^{(2)}=\sum_{l=1}^N A_n^l(\tau) e^{i\omega_l t}&+\overline{A}^{\,l}_n(\tau) e^{-i\omega_l t}+{} \notag \\ &+\sum B_n^{(l_1, l_2, l_3, k_1, k_2, k_3)}(\tau) e^{i(k_1\omega_{l_1}+k_2\omega_{l_2}+k_3\omega_{l_3})t}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
где во втором слагаемом суммирование ведется по всевозможным наборам индексов
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (l_1, l_2, l_3, k_1, k_2, k_3):\quad l_j\in\{1, 2, \ldots, N\},\quad k_j\in\mathbb{Z},\quad j=1, 2, 3,\quad |k_1|+|k_2|+|k_3|=3,\\ k_1\omega_{l_1}+k_2\omega_{l_2}+k_3\omega_{l_3}\ne\pm\omega_l,\quad l=1, 2, \ldots, N \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(в силу требований (1.17) из рассмотрения здесь исключаются лишь наборы, соответствующие тождественным резонансам). Описанная выше последовательность действий приводит для отыскания фигурирующих в (2.16) амплитуд $A_n^l=A_n^l(\tau)$ к линейным неоднородным алгебраическим системам
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \omega^2_lA_n^l+N^2(A_{n+1}^l-2A_n^l+A_{n-1}l)=i\omega_l(2\dot{z}_l+z_l)\sin(n\theta_l),\\ n=1, 2, \ldots, N-1,\qquad A_0^l=0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \;\;-\omega^2_lA_N^l&+\frac{N^2}{1+\beta N}(A_N^l-A_{N-1}^l)=-i\omega_l\dot{z}_l\sin(N \theta_l)+{}\\ &+\frac{N}{1+\beta N}\biggl[i\omega_l\biggl(\alpha{z}_l\sin(N \theta_l) -3|z_l|^2z_l\sin^3(N \theta_l)-{}\\ &-6{z}_l\sin(N \theta_l)\sum^{N}_{\substack{m=1,\\ m\ne l }} |z_m|^2\sin^2(N \theta_m)\biggr)- i(\dot{z}_l+z_l)\cos\biggl(\frac{(2N-1)\theta_l}{2}\biggr)\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
где $l=1, 2, \ldots, N$, точка означает дифференцирование по $\tau$. Подчеркнем, что все эти системы оказываются вырожденными, а выполнения условий их разрешимости добиваемся за счет подходящего выбора имеющихся комплексных амплитуд $z_l=z_l(\tau)$. Действительно, обратимся сначала к разностному уравнению (2.17) и заметим, что его частное решение, удовлетворяющее требованию $A_0^l=0$, имеет вид
$$
\begin{equation}
A_n^l=-\frac{i(2\dot{z}_l+z_l)n}{2N\cos(\theta_l/2)} \cos(n\theta_l),\qquad n\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Подставляя затем соотношения (2.19) при $l=1, 2, \ldots, N$ в уравнения (2.18), получаем систему дифференциальных уравнений для отыскания функций $z_l(\tau)$, $l=1, 2, \ldots, N$. Непосредственный подсчет с учетом равенств (1.14), (2.7) приводит к выводу, что упомянутая система имеет вид
$$
\begin{equation}
\varkappa_l(2\dot{\xi}_l+\xi_l)=\frac{\omega_l N}{1+\beta N}\biggl( \alpha\xi_l-3|\xi_l|^2\xi_l-6\xi_l\sum^{N}_{\substack{m=1,\\ m\ne l }} |\xi_m|^2\biggr),\qquad l=1, 2, \ldots, N,
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
где $\varkappa_l$ – величины из (1.16), $\xi_l=z_l\sin(N\theta_l)$, $l=1, 2, \ldots, N$. Подведем некоторый итог. Предположим, что фиксировано какое-либо решение $\xi_l=\xi_l(\tau)$, $l=1, 2, \ldots, N$, системы (2.20). Тогда коэффициенты $A_n^l$ задаются формулами (2.19), а для фигурирующих в (2.16) коэффициентов $B_n^{(l_1, l_2, l_3, k_1, k_2, k_3)}(\tau)$ в силу условий (1.17) получаются аналогичные (2.17), (2.18) невырожденные системы линейных неоднородных алгебраических уравнений, из которых эти коэффициенты определяются однозначно. И, наконец, подставляя формулы (2.16) в уравнения для $v_n^{(2)}$, $n=1, 2, \ldots, N$, из (2.11)–(2.13), находим компоненты $v_n^{(2)}(t, \tau)$, $n=1, 2, \ldots, N$, в виде аналогичных (2.16) тригонометрических полиномов переменных $\omega_l t$, $l=1, 2, \ldots, N$. В заключение остановимся на информации об аттракторах исходной системы (1.8)–(1.10) при условиях (1.13), которую можно извлечь из анализа системы (2.20). В связи с этим обратим внимание на тот факт, что от (2.20) отщепляется система для амплитудных переменных $\eta_l=|\xi_l|^2$, $l=1, 2, \ldots, N$, имеющая вид
$$
\begin{equation}
\dot{\eta}_l=r_l\biggl[\delta_l-3\eta_l-6\sum^{N}_{\substack{ m=1,\\ m\ne l }}\eta_m\biggr]\eta_l,\qquad l=1, 2, \ldots, N,
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
где $r_l$, $\delta_l$ – постоянные из (1.16). Далее, как следует из результатов монографии [5], каждому состоянию равновесия системы (2.21) с ненулевыми компонентами $\eta_{l_1}, \eta_{l_2}, \ldots, \eta_{l_m}$, $m\leqslant N$, экспоненциально устойчивому или дихотомичному, в исходной системе (1.8)–(1.10) при условиях (1.13) отвечает $m$-мерный инвариантный тор с теми же свойствами устойчивости. В частности, при условиях (1.18) амплитудная система (2.21) допускает экспоненциально устойчивое состояние равновесия с координатами
$$
\begin{equation}
\eta_{l_0}=\frac{\delta_{l_0}}{3}>0,\qquad \eta_{l}=0 \quad \text{при}\quad l=1, 2, \ldots, N,\quad l\ne l_0,
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
которому в системе (1.8)–(1.10) соответствует устойчивый цикл. Остается добавить, что в силу формул (2.9), (2.10), (2.22) этот цикл обладает требуемой асимптотикой (1.19), (1.20). Теорема 1 доказана.
3. Анализ непрерывной моделиВ данном разделе проведем сравнительный анализ локальных аттракторов дискретной модели (1.8)–(1.10) и ее непрерывного аналога (1.11), (1.12) при условиях (1.13) на параметры $\varepsilon$, $\mu$, $\beta$. При этом в качестве фазового пространства (пространства начальных условий $(u, v)|_{t=0}=(u(x), v(x))$) краевой задачи (1.11), (1.12) возьмем $\overset{\circ}{\mathrm{W}}\,_2^1(0, 1)\times \mathrm{W}_2^1(0, 1)$, где, как обычно, через $\mathrm{W}_2^1(0, 1)$ обозначено соответствующее соболевское пространство, а пространство $\overset{\circ}{\mathrm{W}}\,_2^1(0, 1)$ состоит из функций $u(x)\in\mathrm{W}_2^1(0, 1):\,u(0)=0$. Обратимся сначала к линейной краевой задаче
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{\partial v}{\partial x},\qquad \frac{\partial v}{\partial t}=-\frac{\partial u}{\partial x},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
u|_{x=0}=0,\qquad \beta\,\frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{x=1}+v|_{x=1}=0
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
и заметим, что ее общее решение задается аналогичными (2.9) формулами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u(t, x)&=\sum_{l=1}^{\infty}(z_l e^{i\omega_l t}+\overline{z}_l e^{-i\omega_l t})\sin(\omega_lx),\\ v(t, x)&=\sum_{l=1}^{\infty}i(z_l e^{i\omega_l t}-\overline{z}_l e^{-i\omega_l t})\cos(\omega_lx), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $\omega_l\in ((l-1)\pi, (2l-1)\pi/2)$, $l\in\mathbb{N}$, – занумерованные в порядке возрастания положительные корни уравнения Комплексные амплитуды $z_l$, $l\in\mathbb{N}$, удовлетворяют требованию гарантирующему справедливость при любых $t\in\mathbb{R}$ включений $u(t, x)\in\overset{\circ}{\mathrm{W}}\,_2^1(0, 1)$, $v(t, x)\in\mathrm{W}_2^1(0, 1)$ (по переменной $x$). Как и в случае системы (1.8)–(1.10), возможные автоколебательные режимы краевой задачи (1.11), (1.12) при условиях (1.13) будем искать в аналогичном (2.10) виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u&=\sqrt{\varepsilon}u_1(t, \tau, x)+\varepsilon^{3/2}u_2(t, \tau, x)+\cdots,\\ v&=\sqrt{\varepsilon}v_1(t, \tau, x)+\varepsilon^{3/2}v_2(t, \tau, x)+\cdots, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где $\tau=\varepsilon t$, функции $u_1(t, \tau, x)$, $v_1(t, \tau, x)$ задаются аналогичными (3.3) равенствами при $z_l=z_l(\tau)$, $l\geqslant 1$, а $z_l(\tau)$ – пока произвольные комплексные амплитуды. Считаем только, что для них сходится соответствующий ряд (3.5), а значит, функции $u_1(t, \tau, x)$, $v_1(t, \tau, x)$ удовлетворяют по переменным $t$, $x$ краевой задаче (3.1), (3.2). Последующий способ действий вполне аналогичен описанному в разделе 2. А именно, подставим в (1.11), (1.12) соотношения (1.13), (3.6) и приравняем в получившихся выражениях коэффициенты при $\varepsilon^{3/2}$. В результате для нахождения функций $u_2(t, \tau, x)$, $v_2(t, \tau, x)$ получаем линейную неоднородную краевую задачу
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u_2}{\partial t}+\frac{\partial v_2}{\partial x}= -\frac{\partial u_1}{\partial \tau},\qquad \frac{\partial v_2}{\partial t}+\frac{\partial u_2}{\partial x}= -\frac{\partial v_1}{\partial \tau}-v_1,
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
$$
\begin{equation}
u_2|_{x=0}=0,\qquad \beta\,\frac{\partial v_2}{\partial x}\bigg|_{x=1}+v_2|_{x=1}= -(\alpha u_1-u_1^3)|_{x=1},
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где переменная $\tau$ считается параметром. При анализе задачи (3.7), (3.8) удобно исключить из нее стандартным образом переменную $v_2$ (как в предыдущем разделе). Проделав эту операцию, убеждаемся в том, что оставшаяся переменная $u_2$ удовлетворяет задаче
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}\biggr)u_2= -2\frac{\partial^2u_1}{\partial t\,\partial\tau}-\frac{\partial u_1}{\partial t},\qquad u_2|_{x=0}=0,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
$$
\begin{equation}
\beta\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{\partial u_2}{\partial x}+\frac{\partial v_1}{\partial \tau}+v_1\biggr)\bigg|_{x=1}+\biggl(\frac{\partial u_2}{\partial x}+\frac{\partial v_1}{\partial \tau}+v_1\biggr)\bigg|_{x=1}=\frac{\partial}{\partial t}(\alpha u_1-u_1^3)|_{x=1}.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Решение задачи (3.9), (3.10) будем искать в виде формального тригонометрического ряда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_2(t, \tau, x)={}&\sum_{l=1}^{\infty} A_l(\tau, x) e^{i\omega_l t}+\overline{A}_{l}(\tau, x) e^{-i\omega_l t}+{} \notag \\ &+\sum B_{(l_1, l_2, l_3, k_1, k_2, k_3)}(\tau, x) e^{i(k_1\omega_{l_1}+k_2\omega_{l_2}+k_3\omega_{l_3})t}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
где, как и в случае (2.16), во втором слагаемом суммирование осуществляется по наборам индексов
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (l_1, l_2, l_3, k_1, k_2, k_3)\!:\quad l_j\in\mathbb{N},\quad k_j\in\mathbb{Z},\quad j=1, 2, 3,\quad |k_1|+|k_2|+|k_3|=3,\\ k_1\omega_{l_1}+k_2\omega_{l_2}+k_3\omega_{l_3}\ne\pm\omega_l\quad \forall l\in\mathbb{N}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В связи с этим обратим внимание на тот факт, что для корней уравнений (3.4) условия нерезонансности (1.17) (кроме, естественно, тривиальных случаев $(\omega_{l}+\omega_{m}- \omega_{m})^2=\omega_{l}^2$) выполняются автоматически. Это вытекает из серии равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varphi(\omega_{l_1}+\omega_{l_2}+\omega_{l_3})&=-\beta^3\sin\omega_{l_1} \sin\omega_{l_2}\sin\omega_{l_3}(\omega_{l_1}+\omega_{l_2})(\omega_{l_1}+\omega_{l_3}) (\omega_{l_2}+\omega_{l_3}),\\ \varphi(\omega_{l_1}+\omega_{l_2}-\omega_{l_3})&=\beta^3\sin\omega_{l_1} \sin\omega_{l_2}\sin\omega_{l_3}(\omega_{l_1}+\omega_{l_2})(\omega_{l_1}-\omega_{l_3}) (\omega_{l_2}-\omega_{l_3}),\\ \varphi(\omega_{l_1}-\omega_{l_2}-\omega_{l_3})&=\beta^3\sin\omega_{l_1} \sin\omega_{l_2}\sin\omega_{l_3}(\omega_{l_1}-\omega_{l_2})(\omega_{l_1}-\omega_{l_3}) (\omega_{l_2}+\omega_{l_3}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi(\omega)=\cos\omega-\beta\omega\sin\omega$, $l_1$, $l_2$, $l_3$ – произвольные натуральные числа. Подставляя формулу (3.11) в (3.9), (3.10), для отыскания амплитуд $A_l(\tau, x)$, $l\geqslant 1$, приходим к линейным неоднородным краевым задачам
$$
\begin{equation}
A_l''+\omega_l^2A_l=i\omega_l(2\dot{z}_l+z_l)\sin(\omega_lx),\qquad A_l|_{x=0}=0,
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \beta &A_l''|_{x=1}+A_l'|_{x=1}=i\beta\omega_l(\dot{z}_l+z_l)\sin\omega_l -i(\dot{z}_l+z_l)\cos\omega_l+{}\\ &+i\omega_l\biggl(\alpha{z}_l\sin\omega_l -3|z_l|^2z_l\sin^3\omega_l-6{z}_l\sin\omega_l\sum^{\infty}_{\substack{ m=1,\\ m\ne l }} |z_m|^2\sin^2\omega_m\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
где штрих означает производную по $x$, точка – производную по $\tau$. Нетрудно видеть, что все эти задачи оказываются вырожденными, а выполнения условий их разрешимости можно добиться за счет подходящего выбора комплексных амплитуд $z_l(\tau)$, $l\geqslant 1$. Действительно, частные решения уравнений из (3.12), удовлетворяющие требованиям $A_l|_{x=0}=0$, $l\geqslant 1$, задаются равенствами
$$
\begin{equation}
A_l(\tau, x)=-\frac{i}{2}(2\dot{z}_l+z_l)x\cos(\omega_l x),\qquad l\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Подставляя их вместе с соотношениями $\beta\omega_l\sin\omega_l=\cos\omega_l$, $l\geqslant 1$, в (3.13), для $z_l$, $l\geqslant 1$, приходим к счетной системе обыкновенных дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}(\beta^2\omega_l^2+\beta+1)(2\dot{\xi}_l+\xi_l)= \alpha\xi_l-3|\xi_l|^2\xi_l-6\xi_l\sum^{\infty}_{\substack{ m=1,\\ m\ne l }} |\xi_m|^2,\qquad l\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
где $\xi_l=z_l\sin\omega_l$, $l\geqslant 1$. Отметить также, что если фиксировано какое-либо решение системы (3.15), то коэффициенты $A_l(\tau, x)$, $l\geqslant 1$, определяются равенствами (3.14), а для коэффициентов $B_{(l_1, l_2, l_3, k_1, k_2, k_3)}(\tau, x)$ из (3.11) получаются аналогичные (3.12), (3.13), но уже невырожденные линейные неоднородные краевые задачи, из которых эти коэффициенты находятся однозначно. Кроме того, зная $u_2(t, \tau, x)$, из второго уравнения (3.7) находим и компоненту $v_2(t, \tau, x)$ в виде аналогичного (3.11) формального тригонометрического ряда с нулевым средним значением по $t$. Следуя установившейся традиции, будем называть систему (3.15) квазинормальной формой исходной краевой задачи (1.11), (1.12). Подобное название оправдано тем обстоятельством, что хотя система (3.15) и выведена формальным способом, она содержит информацию об аттракторах задачи (1.11), (1.12) при условиях (1.13). Для того чтобы сформулировать соответствующий строгий результат, перейдем от (3.15) к аналогичной (2.21) амплитудной системе
$$
\begin{equation}
\dot{\eta}_l=r_l^0\biggl[\delta_l^0-3\eta_l-6\sum^{\infty}_{\substack{ m=1,\\ m\ne l }}\eta_m\biggr]\eta_l,\qquad l\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
где
$$
\begin{equation}
r_l^0=\frac{2}{\beta^2\omega_l^2+\beta+1},\qquad \delta_l^0=\alpha-\frac{1}{r_l^0},\qquad \eta_l=|\xi_l|^2, \qquad l\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Из общих результатов монографии [5] вытекает следующее утверждение. Теорема 2. Предположим, что у амплитудной системы (3.16) существует состояние равновесия с компонентами Можно показать, что любое состояние равновесия (3.18) при $m\geqslant 2$ если и существует, то неустойчиво (соответствующая ему матрица (3.20) имеет хотя бы одно положительное собственное значение). Устойчивыми же в системе (3.16) могут быть только состояния равновесия вида
$$
\begin{equation}
O_{l_0}=\{(\eta_1, \eta_2,\ldots, \eta_l,\ldots)\!:\,\, \eta_{l_0}>0,\, \eta_{l}=0\,\, \text{при}\,\, l\geqslant1, \, l\ne l_0\}, \qquad l_0\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
А именно, анализ формул (3.19), (3.20) приводит к выводу, что состояние равновесия (3.21) с компонентой существует и устойчиво при Возвращаясь к исходной краевой задаче (1.11), (1.12), отметим что в силу теоремы 2 при условиях (1.13), (3.23) и при всех достаточно малых $\varepsilon>0$ она имеет экспоненциально орбитально устойчивый цикл с частотой, близкой к $\omega_{l_0}$. Более того, при соответствующем увеличении параметра $\alpha$ условия (3.23) будут выполняться для всех $l_0=1, \ldots, N$, где $N$ – произвольно фиксированное натуральное число. В этом случае амплитудная система (3.16) будет иметь $N$ устойчивых состояний равновесия (3.21), (3.22). В исходной же краевой задаче (1.11), (1.12) при условиях (1.13) этим состояниям равновесия будут соответствовать $N$ устойчивых циклов. Завершая рассмотрение непрерывной модели (1.11), (1.12), отметим, что при любом фиксированном $l\in\mathbb{N}$ справедливы предельные равенства
$$
\begin{equation*}
\lim_{N\to+\infty}r_l=r_l^0,\qquad \lim_{N\to+\infty}\delta_l=\delta_l^0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $r_l$, $\delta_l$ и $r_l^0$, $\delta_l^0$ – величины из (1.16) и (3.17) соответственно. Тем самым амплитудные системы (2.21) и (3.16) имеют по параметру $\alpha$ идентичную динамику: при увеличении $\alpha$ количество сосуществующих устойчивых состояний равновесия с одной ненулевой компонентой растет (до значения $N$ в случае системы (2.21)) и неограниченно в случае системы (3.16)), а все состояния равновесия с количеством ненулевых координат $m\geqslant 2$ в обоих случаях неустойчивы. Итак, мы убедились в том, что дискретная модель (1.8)–(1.10) адекватно описывает эволюцию локальных аттракторов непрерывной модели (1.11), (1.12) при условиях (1.13) и при увеличении параметра $\alpha$. Поэтому есть все основания ожидать, что эта адекватность сохраняется и в нелокальном случае, когда параметр $\mu$ имеет порядок единицы. Иными словами, мы считаем, что справедлива так называемая гипотеза об адекватности, в рамках которой дискретная модель (1.8)–(1.10) представляет собой некий инструмент, с помощью которого можно получить информацию о динамических свойствах краевой задачи (1.11), (1.12) при $\mu\sim 1$. 4. Результаты численного анализаВ настоящем разделе приведем результаты численного анализа дискретной модели (1.8)–(1.10) при фиксированных параметрах и при различных значениях $\mu$. Цель этого анализа – проследить за эволюцией устойчивых циклов, доставляемых теоремой 1, при увеличении параметра $\mu$ от значений порядка $\varepsilon$ до значений порядка единицы. Точнее говоря, мы проследим за трансформациями при увеличении $\mu$ лишь трех первых циклов (1.19), (1.20), отвечающих значениям $l_0=1, 2, 3$.При $\mu=0.1$ применима (по крайней мере на качественном уровне) теорема 1. В этом случае начальные условия системы (1.8)–(1.10) зададим равенствами, получающимися из (1.19), (1.20) при $\psi=0$, $l_0=1, 2, 3$ и при отбрасывании слагаемых порядка $O(\varepsilon^{3/2})$. Далее, решая численно соответствующие задачи Коши, убеждаемся в существовании у рассматриваемой системы трех устойчивых циклов простой структуры. Их проекции на плоскость $(u_1, u_7)$ при $l_0=1, 2, 3$ приведены соответственно на рис. 3а, 3б, 3в. Отметим, что выбор для показа на рисунках переменных $u_1(t)$ и $u_7(t)$ достаточно произволен, поскольку для других пар несовпадающих переменных наблюдается та же качественная картина. Кроме того, при достаточно малом $\varepsilon$ из формулы (1.19) следует, что отношение $u_j/u_k$, где $j, k=1, \dots,N$, $j\ne k$, близко к константе. Именно это и наблюдается на рис. 3а, 3б для $l_0=1,2$. График на рис. 3в для $l_0=3$ несколько хуже удовлетворяет данному свойству, поскольку циклы на разных модах изменяются при изменении параметров по-разному. Последующее увеличение параметра $\mu$ приводит к некоторой цепочке бифуркаций, первая из которых связана с потерей устойчивости каждого из трех обнаруженных выше циклов и с возникновением устойчивых двумерных торов. Эти торы, в свою очередь, могут содержать устойчивые циклы сложной структуры (см. рис. 4а, 4в), а могут иметь и всюду плотную обмотку (см. рис. 4б). Дальнейший рост параметра $\mu$ не дает принципиально новых эффектов. Например, при $\mu=1$ проекции соответствующих аттракторов приведены на рис. 5. Из этого рисунка видно, что фазовые кривые несколько усложняются, но качественно остаются прежними. Заканчивая описание численных экспериментов, отметим, что в рамках принятой нами гипотезы об адекватности аналогичную динамику по параметру $\mu$ имеет и непрерывная модель (1.11), (1.12). А именно, при $\mu=\varepsilon\alpha$ и при увеличении $\alpha$ на каждой частоте $\omega_l$, $l\geqslant 1$, из нулевого положения равновесия бифурцирует цикл, либо устойчивый (при $l=1$), либо неустойчивый, но обретающий устойчивость, подрастая по амплитуде (при $l\geqslant 2$). При дальнейшем же увеличении $\mu$ и при переходе от значений $\mu\sim \varepsilon$ к значениям $\mu\sim 1$ указанный цикл теряет устойчивость и от него ответвляется устойчивый двумерный тор. По всей видимости, этот тор сохраняется в широком диапазоне изменения $\mu$, но в некоторых случаях является носителем сложных устойчивых многообходных циклов. 5. ЗаключениеПриведенные выше результаты численного анализа дают некоторое представление о нелокальных аттракторах непрерывной модели (1.11), (1.12) при $\mu\sim 1$. Завершая исследование автоколебательных процессов в этой модели, отдельно остановимся на роли параметра $\beta$. В связи с этим обратим внимание на тот факт, что при $\beta\to+\infty$ правая часть неравенства (3.23) растет как $O(\beta^2)$. Таким образом, при больших $\beta$ для возбуждения устойчивого цикла с частотой, близкой к $\omega_{l_0}$, требуется существенное увеличение параметра $\alpha$ из (1.13) и, как следствие, надлежащее уменьшение $\varepsilon$. А это значит, что случай больших значений $\beta$ неблагоприятен для реализуемости феномена буферности. Напротив, при $\beta\to 0$ условие (3.23) переходит в неравенство Но в этом случае для корней $\omega_l$ уравнения (3.4) при любом фиксированном $l\in\mathbb{N}$ имеем
$$
\begin{equation}
\lim_{\beta\to 0}\omega_l=\sigma_l,\qquad \sigma_l=(2l-1)\frac{\pi}{2}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
А поскольку между фигурирующими в (5.2) частотами $\sigma_l$ выполняются некоторые из резонансных соотношений вида
$$
\begin{equation}
\sigma_l=k_1\sigma_{l_1}+k_2\sigma_{l_2}+k_3\sigma_{l_3}\!:\quad l, l_j\in\mathbb{N},\, k_j\in\mathbb{Z},\,j=1, 2, 3,\,|k_1|+|k_2|+|k_3|=3,
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
то мы не можем воспользоваться теоремой 2. Иными словами, при $\beta\ll 1$ требуется отдельная версия метода квазинормальных форм, учитывающая резонансы (5.3). Как оказывается (см. аналогичные результаты из [3], [5]), характерным порядком малости $\beta$ в данной задаче является $\varepsilon^{1/3}$. Поэтому всюду ниже считаем, что
$$
\begin{equation}
\mu=\varepsilon\alpha,\qquad\beta=\beta_0\varepsilon^{1/3},\qquad \alpha, \beta_0=\mathrm{const}>0.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
При условиях (5.4) возможные автоколебательные режимы краевой задачи (1.11), (1.12) будем искать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u&=\sqrt{\varepsilon}u_1(\tau, s, x)+\varepsilon^{5/6}u_2(\tau, s, x)+\varepsilon^{7/6} u_3(\tau, s, x)+\varepsilon^{3/2}u_4(\tau, s, x)+\cdots,\\ v&=\sqrt{\varepsilon}v_1(\tau, s, x)+\varepsilon^{5/6}v_2(\tau, s, x)+\varepsilon^{7/6} v_3(\tau, s, x)+\varepsilon^{3/2}v_4(\tau, s, x)+\cdots, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
где
$$
\begin{equation}
\tau=(1-\beta_0\varepsilon^{1/3}+\beta_0^2\varepsilon^{2/3})t,\qquad s=\varepsilon t,
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_1&=\sum_{l=1}^{\infty}(z_l(s) e^{i\sigma_l \tau}+\overline{z}_l(s) e^{-i\sigma_l \tau})\sin(\sigma_lx),\\ v_1&=\sum_{l=1}^{\infty}i(z_l(s) e^{i\sigma_l \tau}-\overline{z}_l(s) e^{-i\sigma_l \tau})\cos(\sigma_lx), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
а $z_l(s)$, $l\geqslant 1$, – пока произвольные комплексные амплитуды. Далее способ действий таков. Подставляя соотношения (5.4)–(5.7) в (1.11), (1.12) и приравнивая последовательно коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$ в левых и правых частях получившихся выражений, для нахождения $u_j$, $v_j$, $j=2, 3, 4$, приходим к рекуррентной последовательности линейных неоднородных краевых задач. Решения этих задач будем искать в виде аналогичных (5.7) формальных тригонометрических рядов
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_j&=\sum_{l=1}^{\infty}A_l^{j-1}(s, x) e^{i\sigma_l \tau}+\overline{A}_l^{\,j-1}(s, x) e^{-i\sigma_l \tau},\\ v_j&=\sum_{l=1}^{\infty}B_l^{j-1}(s, x) e^{i\sigma_l \tau}+\overline{B}_l^{\,j-1}(s, x) e^{-i\sigma_l \tau}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
где $j=2, 3, 4$. Специальный выбор поправок порядка $\varepsilon^{1/3}$ и $\varepsilon^{2/3}$ к частотам $\sigma_l$ (см. (5.6)) гарантирует разрешимость в требуемом классе функций краевых задач для $u_j$, $v_j$, $j=2, 3$. Проводя соответствующие подсчеты, для фигурирующих в (5.8) коэффициентов $A_l^{j-1}$, $B_l^{j-1}$, $j=2, 3$, $l\geqslant 1$, приходим к формулам
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A_l^{1}(s, x)&=-z_l(s)\beta_0\sigma_l x\cos(\sigma_l x),\\ A_l^{2}(s, x)&=z_l(s)\beta_0^2\biggl(\sigma_l x\cos(\sigma_l x)-\frac{1}{2}\sigma_l^2x^2 \sin(\sigma_l x)\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, B_l^{1}(s, x)&=iz_l(s)\beta_0\sigma_l x\sin(\sigma_l x),\\ B_l^{2}(s, x)&=-iz_l(s)\beta_0^2\biggl(\sigma_l x\sin(\sigma_l x)+\frac{1}{2}\sigma_l^2x^2 \cos(\sigma_l x)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Для $u_4$, $v_4$ получается краевая задача
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \frac{\partial u_4}{\partial \tau}+\frac{\partial v_4}{\partial x}&=\beta_0\frac{\partial u_3}{\partial \tau}-\beta_0^2\frac{\partial u_2}{\partial \tau}-\frac{\partial u_1}{\partial s},\\ \frac{\partial v_4}{\partial \tau}+\frac{\partial u_4}{\partial x}&=\beta_0\frac{\partial v_3}{\partial \tau}-\beta_0^2\frac{\partial v_2}{\partial \tau}-\frac{\partial v_1}{\partial s} -v_1, \end{aligned} \\ u_4|_{x=0}=0,\qquad \beta_0 \frac{\partial v_3}{\partial x}\bigg|_{x=1}+v_4|_{x=1}= -(\alpha u_1-u_1^3)|_{x=1}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
При анализе этой задачи исключим из нее переменную $u_4$. В результате для $v_4$ приходим к задаче вида
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial^2 v_4}{\partial\tau^2}-\frac{\partial^2 v_4}{\partial x^2}&= -\beta_0\biggl(\frac{\partial^2 u_3}{\partial\tau\partial x}-\frac{\partial^2 v_3}{\partial\tau^2}\biggr)+\beta_0^2\biggl(\frac{\partial^2 u_2}{\partial\tau\partial x}-\frac{\partial^2 v_2}{\partial\tau^2}\biggr)+\frac{\partial^2 u_1}{\partial x\partial s}-{}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;-\frac{\partial^2 v_1}{\partial\tau\partial s}-\frac{\partial v_1}{\partial\tau},\\ \frac{\partial v_4}{\partial x}\bigg|_{x=0}&=0,\qquad \beta_0\frac{\partial v_3}{\partial x}\bigg|_{x=1}+v_4|_{x=1}=-(\alpha u_1-u_1^3)|_{x=1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Далее, подставим в (5.12) соответствующие ряды (5.7), (5.8) и учтем уже известные равенства (5.9), (5.10). В итоге для коэффициентов $B_l^{3}(s, x)$ из (5.8) получаем серию линейных неоднородных краевых задач
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial^2}{\partial x^2}B_l^{3}+\sigma_l^2B_l^{3}&=i\sigma_l z_l(2\beta_0^3\sigma_l\cos(\sigma_l x)-5\beta_0^3\sigma_l^2x\sin(\sigma_l x)-{}\\ &\qquad\qquad-\beta_0^3\sigma_l^3x^2\cos(\sigma_l x))-(2\dot{z}_l+z_l)\sigma_l\cos(\sigma_l x), \\ B_l^{3}|_{x=0}&=0,\qquad \beta_0\frac{\partial}{\partial x}B_l^{2}|_{x=1}+B_l^{3}|_{x=1}=-f_l,\qquad l\geqslant 1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Здесь точкой обозначена производная по $s$, а $f_l$ – коэффициент Фурье при гармонике $e^{i\sigma_l\tau}$ функции $\alpha w-w^3$, где
$$
\begin{equation}
w(s, \tau)=\sum_{k=1}^{\infty}\xi_k(s)e^{i\sigma_k\tau}+ \overline{\xi}_k(s)e^{-i\sigma_k\tau},\qquad \xi_k=z_k\sin\sigma_k,\qquad k\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
Условия разрешимости краевых задач (5.13) будем рассматривать как уравнения для отыскания имеющихся комплексных амплитуд $z_l(s)$, $l\geqslant 1$. На этом пути для них получается счетная система обыкновенных дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation*}
\biggl(\dot{z}_l+\frac{1}{2}z_l\biggr)\sin\sigma_l=i\beta_0^3\sigma_l\biggl(-1+\frac{\sigma_l^2}{3}\biggr) z_l\sin\sigma_l+f_l,\qquad l\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
которая, в свою очередь, “сворачивается” в краевую задачу
$$
\begin{equation}
\frac{\partial w}{\partial s}+\beta_0^3\biggl(\frac{\partial w}{\partial \tau}+ \frac{1}{3}\frac{\partial^3 w}{\partial \tau^3}\biggr)=\biggl(\alpha-\frac{1}{2}\biggr)w-w^3,\qquad w(s, \tau+2)=-w(s, \tau)
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
для функции (5.14). Здесь $s$ играет роль времени, $\tau$ считаем пространственной переменной, а в качестве фазового пространства (пространства начальных условий $w(0, \tau)=w(\tau)$) этой задачи возьмем соболевское пространство $\mathrm{W}_2^3$ антипериодических с периодом $2$ скалярных функций $w(\tau)$. Строгий смысл проделанным формальным построениям придает следующее утверждение, аналоги которого в близких ситуациях установлены в монографиях [3], [5]. Теорема 3. Предположим, что краевая задача (5.15) имеет периодическое решение типа бегущей волны Остается добавить, что в силу результатов работы [3] при условии (5.1) краевая задача (5.15) (которую в данном случае уместно назвать квазинормальной формой исходной задачи (1.11), (1.12)) допускает счетное число устойчивых бегущих волн (5.16). А отсюда и из теоремы 3 заключаем, что при условиях (5.1), (5.4) и при соответствующем уменьшении параметра $\varepsilon$ непрерывная модель (1.11), (1.12) имеет любое наперед заданное конечное число сосуществующих устойчивых периодических решений. Добавим еще, что в отличие от циклов, доставляемых теоремой 2, зависимость от $t$ этих решений уже не близка к гармонической. Таким образом, побочным эффектом случая малых $\beta$ является усложнение пространственно-временной структуры автоколебательных режимов. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GlyKol23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|