| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) К задаче о классификации интегрируемых цепочек с тремя независимыми переменными М. Н. Кузнецова, И. Т. Хабибуллин, А. Р. Хакимова Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН, Уфа, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923050070 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ настоящей работе представлены результаты разработки нового алгоритма классификации интегрируемых нелинейных цепочек с тремя независимыми переменными. Наш подход к этой проблеме основан на следующем любопытном наблюдении. Хорошо известно, что цепочки типа Вольтерра и Тоды можно свести путем наложения некоторых специальных условий обрыва к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), являющимся интегрируемыми по Лиувиллю гамильтоновыми системами. Отметим, что таких условий обрыва много, и они, как правило, согласованы с частью всех высших симметрий и с частью всех интегралов движения (см., например, [1], [2]). Однако интегрируемая цепочка имеет одно особое (вырожденное) условие обрыва, которое согласовано со всеми симметриями и интегралами. Конечномерные редукции, полученные наложением таких особых условий обрыва, обладают повышенной интегрируемостью в том смысле, что их общие решения выражаются в явном виде через элементарные функции. Например, цепочка Вольтерра $u_{n,t} = u_{n}(u_{n+1}-u_{n-1})$ при помощи нулевых (вырожденных) граничных условий сводится к системе ОДУ вида
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &u_{0} = 0, \\ &u_{n,t} = u_n(u_{n+1} - u_{n-1}), \qquad 1<n<N,\\ &u_{N+1} = 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
явное решение которой найдено в работе Березанского [3]. Упомянем также прорывную работу Адлера и Шабата [4], в которой решена явно дискретная версия задачи Гуревича–Питаевского об эволюции в силу уравнения Вольтерра начального состояния вида ступеньки, также связанная с особыми граничными условиями. Отметим, что в случае заведомо невырожденных периодических граничных условий и их вариантов общее решение этой цепочки выражается в терминах тета-функций Римана (см., например, [5]). В качестве следующего примера приведем красивый результат Мозера [6] по явному интегрированию открытой цепочки Тоды с вырожденными условиями обрыва $a_0=a_N=0$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_{n,t} &= a_n(b_n-b_{n+1}) , \\ b_{n,t} &= 2(a_{n-1}^2-a_{n}^2), \qquad 1<n<N-1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Известно, что функцию $f(\lambda)$, представленную непрерывной дробью:
$$
\begin{equation}
f(\lambda)=\frac{1}{\lambda-b_n-\frac{a_{n-1}}{\lambda-b_{n-1}-\cdots-\frac{a_1}{\lambda-b_1}}},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $a_j>0$, $b_j\in \mathbb{R}$, можно разложить в сумму простых дробей где $\lambda_i\in \mathbb{R}$, причем $\lambda_i\neq \lambda_j$, если $i\neq j$, $r_k\in \mathbb{R}$ и, кроме того, $\sum r_k^2=1$. Справедливо и обратное утверждение: функция (1.3) с параметрами $\lambda_j$, $r_k$, удовлетворяющими перечисленным выше условиям, представима в виде непрерывной дроби (1.2). Поэтому отображение, переводящее динамические переменные $(a_1,a_2,\dots,a_{n-1};b_1,\dots,b_n)$ в спектральные данные $(\lambda_1,\dots,\lambda_n;r_1,\dots,r_n)$, является взаимно однозначным, т. е. определяет замену переменных. Как показано в работе [6], эта замена переменных приводит рассматриваемую систему (1.1) к виду
$$
\begin{equation*}
\lambda_{k,t}=0, \qquad r_{k,t}=\biggl(\lambda_k-\sum\lambda_jr^2_j\biggr)r_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Общее решение полученной системы задается равенствами
$$
\begin{equation*}
\lambda_k=\mathrm{const}, \qquad r_k^2=\frac{r_k^2(0)e^{2\lambda_kt}}{\sum r^2_j(0)e^{2\lambda_jt}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для перехода к исходным переменным $a_j$ и $b_j$ можно воспользоваться алгоритмом Евклида о разложении функции в непрерывную дробь. Вырожденные условия обрыва встречаются и в случае уравнений размерности 3. Например, обобщенная цепочка Тоды серии $A_N$, а именно экспоненциальная система, соответствующая матрице Картана простой алгебры серии $A_N$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{0,xy}&=e^{u_{1}-2u_0}, \\ u_{n,xy}&=e^{u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}},\qquad 1\leqslant n \leqslant N, \\ u_{N,xy}&=e^{-2u_N+u_{N-1}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
получается из известной двумеризованной цепочки Тоды $u_{n,xy}=e^{u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}}$ наложением в двух точках вырожденных условий обрыва $u_{-1}=0$, $u_{N+1}=0$. Система уравнений (1.4) появилась еще в XIX веке в работах Дарбу (см., например, [7]). Дарбу показал, что общее решение системы можно предъявить в явном виде. Подробное обсуждение теории интегрирования экспоненциальных систем можно найти в замечательном обзоре [8]. Интерес к интегрируемым экспоненциальным системам возродился в 80-е годы прошлого столетия после работ [9]–[12], посвященных двумеризованным цепочкам Тоды и ее обобщениям. Отталкиваясь от примера (1.4) и других интегрируемых аналогов двумеризованной цепочки Тоды, в нашей работе [13] мы предложили следующую гипотезу. Гипотеза 1. Дифференциально-разностное уравнение вида является интегрируемым тогда и только тогда, когда существуют функции вида $f^0(u_1,u_0,u_{0,x}, u_{0,y})$ и $f^N(u_N,u_{N-1},u_{N,x}, u_{N,y})$ такие, что для любого целого числа $N$ система гиперболических уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_{0,x,y} &= f^0(u_1,u_0,u_{0,x},u_{0,y}), \\ u_{n,xy}&=f(u_{n+1},u_n,u_{n-1}, u_{n,x},u_{n,y}),\qquad 1\leqslant n \leqslant N-1, \\ u_{N,x,y}&=f^N(u_N,u_{N-1},u_{N,x}, u_{N,y}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
полученная из (1.5), является интегрируемой в смысле Дарбу, т. е. допускает полные наборы интегралов по обоим характеристическим направлениям. Гипотеза была подтверждена известными интегрируемыми примерами уравнений вида (1.5) из работы [14]. В наших работах [13], [15]–[17] перечислены все квазилинейные уравнения вида
$$
\begin{equation*}
u_{n,xy}=A_1u_{n,x}u_{n,y}+A_2u_{n,x}+A_3u_{n,y}+A_4,
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющие условию существования таких редукций, при дополнительном условии $|A_1|+|A_2|+|A_3|\neq0$. Здесь $A_i=A_i(u_{n+1},u_n,u_{n-1})$ – произвольные аналитические функции трех переменных. В результате классификации список интегрируемых уравнений типа цепочки Тоды, предъявленный ранее в работе [14], дополнился новым уравнением (см. уравнение 7 в списке ниже). Приведем список известных интегрируемых цепочек типа Тоды:
В работе [18] было установлено, что интегрируемые нелинейные модели с двумя дискретными и одной непрерывной независимыми переменными, найденные в статье [19], могут быть приведены к виду
$$
\begin{equation}
u^j_{n+1,x}=F(u^j_{n,x},u^{j+1}_{n},u^{j}_n,u^j_{n+1 },u^{j-1}_{n+1}), \qquad \frac{\partial F}{\partial u^{j+1}_{n}}\neq 0, \qquad \frac{\partial F}{\partial u^{j-1}_{n+1}}\neq 0.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Кроме того, было показано, что эти модели допускают интегрируемые по Дарбу редукции. Аналогичные свойства интегрируемых дискретных уравнений типа Хироты–Мивы были обнаружены в работах [20], [21]. После этих работ стало ясно, что наличие иерархии интегрируемых по Дарбу редукций является признаком интегрируемости и может применяться в качестве классификационного критерия для описания интегрируемых уравнений с тремя независимыми переменными, хотя бы одна из которых является дискретной. Кроме того, такие редукции можно использовать для построения локализованных частных решений цепочек. Пример 1. Рассмотрим нелинейную цепочку
$$
\begin{equation}
u^j_{n+1,x}=u^j_{n,x}\frac{(u^j_{n+1})^2}{u^{j-1}_{n+1}u^{j+1}_{n}},
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
которая допускает одномерную редукцию
$$
\begin{equation}
u_{n+1,x}=u_{n,x}(u_{n+1})^2, \qquad \text{где}\quad u_{n}=u^0_{n}.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Она получается наложением граничных условий обрыва ${u^{-1}_{n}=1}$ и ${u^{1}_{n}=1}$. Это скалярное уравнение имеет интегралы по характеристическим направлениям $x$ и $n$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J&=u_n+\frac{1}{u_{n+1}}, \qquad D_xJ=0, \\ I&=\frac{u_{n,xxx}}{u_{n,x}}-\frac{3}{2}\frac{(u_{n,xx})^2}{(u_{n,x})^2}, \qquad D_nI=I. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь через $D_x$ и $D_n$ обозначены операторы полной производной по $x$ и соответственно оператор сдвига аргумента $n$, т. е. $D_ny(n)=y(n+1)$. Произвольное решение $u_n(x)$ уравнения (1.8) удовлетворяет ОДУ
$$
\begin{equation*}
\frac{u_{n,xxx}}{u_{n,x}}-\frac{3}{2}\frac{(u_{n,xx})^2}{(u_{n,x})^2}=f(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где $f(x)$ – некоторая функция. Общее решение этого ОДУ параметризуется в следующем виде: где $\nu (x)$ и $A(n)$ – произвольные функции от параметров $x$ и $n$ соответственно, функции $B(n)$ и $C(n)$ определяются из уравнений
$$
\begin{equation*}
C(n+1)C(n)=\frac{A(n+1)-A(n)}{A(n)-A(n-1)},\qquad B(n)=C(n)(A(n)-A(n-1)).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы находим явное решение $u^j_n(x)$ цепочки (1.7), которое при $j\neq0$ принимает значение $u^j_n(x)=1$, а при $j=0$ – значение $u^0_n(x)=u_n(x)$, найденное выше, или в более наглядной форме: В настоящей работе мы обсудим практическую реализацию классификационного алгоритма, основанного на интегрируемых по Дарбу редукциях на примере дифференциально-разностного уравнения вида
$$
\begin{equation}
u^j_{n+1,x}=u^j_{n,x}+f(u^{j+1}_{n},u^{j}_n,u^j_{n+1 },u^{j-1}_{n+1}),
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
являющегося частным случаем уравнения (1.6). В процессе классификации предполагается найти функции $f^{-N_2}$, $f^{N_1}$ и $f$ такие, чтобы система дифференциально-разностных уравнений
$$
\begin{equation}
u^j_{n+1,x}=u^j_{n,x}+f^{j}_n, \qquad -N_2\leqslant j\leqslant N_1,
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &f^{-N_2}_n=f^{-N_2}(u^{-N_2+1}_{n},u^{-N_2}_n,u^{-N_2}_{n+1 }),\\ &f^j_{n}=f(u^{j+1}_{n},u^{j}_n,u^j_{n+1 },u^{j-1}_{n+1}), \qquad -N_2+1\leqslant j\leqslant N_1-1,\\ &f^{N_1}_n=f^{N_1}(u^{N_1}_n,u^{N_1}_{n+1 }, u^{N_1-1}_{n+1}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
была бы интегрируемой по Дарбу для любой пары неотрицательных чисел $N_1, N_2$. Тогда соответствующая найденной функции $f=f(u^{j+1}_{n},u^{j}_n,u^j_{n+1 },u^{j-1}_{n+1})$ трехмерная цепочка (1.10) по нашему предположению должна быть интегрируемой. Используемый в работе алгоритм классификации основан на эффективном критерии интегрируемости по Дарбу системы дифференциально-разностных уравнений, который состоит в конечномерности ее характеристических алгебр по обоим направлениям: как дискретному, так и непрерывному (см. [20]). Следует отметить, что задача классификации уравнений и систем общего положения, интегрируемых по Дарбу, является чрезвычайно сложной. Здесь наиболее ярким примером является сформулированная в конце XIX века проблема Гурса об описании нелинейных уравнений гиперболического типа, обладающих нетривиальными инвариантами характеристик, которая до сих пор остается нерешенной, несмотря на усилия многих исследователей (см., например, [22]–[24]). Статья имеет следующую структуру. В разделе 2 мы приводим определение характеристических интегралов системы дифференциально-разностных уравнений и обсуждаем критерий полноты набора интегралов, напоминаем понятие интегрируемости системы в смысле Дарбу. В разделе 3 мы определяем характеристическую алгебру $L_x$ системы (1.11) по направлению $x$ и обсуждаем алгебраический критерий интегрируемости по Дарбу этой системы. В этом же разделе доказано, что если система (1.11) имеет полный набор $x$-интегралов, то функция $f$, задающая цепочку (1.10), является квазимногочленом от динамических переменных. В разделе 4 решается задача дальнейшего уточнения вида квазимногочлена $f$ при некотором ограничении на свойства характеристической алгебры $L_x$. Основным результатом работы является доказательство того, что в рассматриваемом случае задача описания всех интегрируемых трехмерных цепочек вида (1.10) сводится к задаче определения численных значений двух постоянных параметров $k_1$ и $k_2$ так, чтобы система уравнений экспоненциального типа с двумя независимыми переменными (4.44) допускала полный набор интегралов. 2. Определение интегрируемости в смысле Дарбу системы дифференциально-разностных уравненийПонятие характеристического интеграла (инварианта характеристик) уравнения в частных производных гиперболического типа второго порядка было впервые введено в работах Дарбу в конце XIX века. Дарбу предложил метод построения общего решения уравнения в частных производных, когда известны нетривиальные интегралы по обоим характеристикам. Системы нелинейных уравнений гиперболического типа, допускающие полные наборы независимых интегралов по обоим характеристическим направлениям, активно изучались в последние несколько десятков лет в работах А.Б. Шабата, А.Н. Лезнова, А.В. Жибера и др. (см., например, монографию [25]). В настоящем разделе мы кратко напомним понятие интеграла системы дифференциально-разностных уравнений вида (1.11). Обозначим через $u_m\in \mathbb{R}^{N_1+N_2+1}$ точку с координатами $u_m=(u_m^{-N_2}, u_m^{-N_2+1},\dots,u_m^{N_1})$.
$$
\begin{equation*}
W = W(x,n,u_{n-k}, u_{n-k+1}, \ldots, u_{n-1}, u_n, u_{n+1}, \ldots, u_{n+m-1}, u_{n+m}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $k,m = 0,1,2,\ldots\,$, называется $x$-интегралом порядка $m+k$ системы (1.11), если хотя бы для одной пары чисел $j,s = -N_2,-N_2+1, \ldots, N_1$ произведение $\frac{\partial W}{\partial u^j_{n+m}}\times\frac{\partial W}{\partial u^s_{n-k}}$ отлично от тождественного нуля, причем выполняется равенство $D_x W = 0$ в силу системы (1.11). Здесь $D_x$ обозначает оператор полного дифференцирования по переменной $x$. Поскольку оператор $D_x$ перестановочен с оператором $D_n$, сдвигающим дискретный аргумент $n$ по правилу $D_n y(n) = y(n+1)$, то оператор $D_n$ переводит любой $x$-интеграл снова в $x$-интеграл. Поэтому без потери общности можно считать, что в определении 1 $k=0$.
$$
\begin{equation*}
I = I(x,n,u_n,u_{n,x}, u_{n,xx}, \ldots, u_{n, [m]}), \qquad u^j_{n,[m]} = \frac{\partial^m u^j_n}{\partial x^m},
\end{equation*}
\notag
$$
называется $n$-интегралом порядка $m$ системы (1.11), если хотя бы одна из производных $\partial I/\partial u^j_{n,[m]}$, где $j=-N_2,-N_2+1,\ldots,N_1$, отлична от тождественного нуля и для каждого целого $r>0$ выполняется условие $D_n^r I = I$ в силу системы (1.11). В развернутом виде последнее равенство имеет вид Отметим, что $x$-интеграл, зависящий только от переменной $n$ ($n$-интеграл, зависящий только от переменной $x$) называется тривиальным. Следуя Шабату (см. [10], [25]), введем понятие полного набора интегралов минимальных порядков $n_1 < n_2 < \dots < n_s$. Минимальность порядка $n_1$ состоит в том, что функция вида
$$
\begin{equation*}
\omega = \omega(x, n, u_n, u_{n,x}, \ldots, u_{n,[k]}),
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющая условию $D_n \omega = \omega$ и имеющая порядок $k$, меньший $n_1$, является тривиальным интегралом. При этом имеется хотя бы один нетривиальный интеграл порядка $n_1$. Обозначим через $\omega^{1,1}, \ldots, \omega^{1, m_1}$ полный набор функционально независимых интегралов порядка $n_1$. Далее подберем число $n_2$ такое, что любой интеграл порядка $k<n_2$ является функцией от $x$ и интегралов $\omega^{1,1}, \ldots, \omega^{1, m_1}$, построенных на предыдущем шаге, а также их сдвигов по $n$. А при $k=n_2$ имеются существенно новые интегралы, т. е. интегралы, уже не выражающиеся через найденные выше. Обозначим через $\omega^{2,1}, \ldots, \omega^{2, m_2}$ набор функционально независимых интегралов порядка $n_2$, которые не выражаются через $x$, интегралы $\omega^{1,1}, \ldots, \omega^{1, m_1}$ и их сдвиги. Продолжая этот процесс, мы получим набор интегралов минимальных порядков. Аналогично определяется набор $n$-интегралов минимальных порядков. Лемма 1 [20], [26]. Пусть задан набор $x$-интегралов минимальных порядков $n_1 \leqslant n_2 \leqslant \ldots \leqslant n_{N_1+N_2+1}$ системы (1.11) и пусть выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\left| \begin{array}{cccc} \frac{\partial W^1}{\partial u^{-N_2}_{n,[n_1]}} & \frac{\partial W^1}{\partial u^{-N_2+1}_{n,[n_1]}} & \dots & \frac{\partial W^1}{\partial u^{N_1}_{n,[n_1]}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ \frac{\partial W^{N_1+N_2+1}}{\partial u^{-N_2}_{n,[n_{N_1+N_2+1}]}} & \frac{\partial W^{N_1+N_2+1}}{\partial u^{-N_2+1}_{n,[n_{N_1+N_2+1}]}} & \dots & \frac{\partial W^{N_1+N_2+1}}{\partial u^{N_1}_{n,[n_{N_1+N_2+1}]}} \end{array} \right| \neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда набор (2.1) задает полный набор $x$-интегралов системы (1.11). Лемма 2 [20], [26]. Будем говорить, что система (1.11) допускает полный набор $n$-интегралов, если она имеет набор $n$-интегралов минимальных порядков $k_1 \leqslant k_2 \leqslant \ldots \leqslant k_{N_1+N_2+1}$ такой, что следующий определитель отличен от нуля:
$$
\begin{equation*}
\left| \begin{array}{cccc} \frac{\partial I^{1}}{\partial u^{-N_2}_{n+k_1}} & \frac{\partial I^1}{\partial u^{-N_2+1}_{n+k_1}} & \dots & \frac{\partial I^1}{\partial u^{N_1}_{n+k_1}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ \frac{\partial I^{N_1+N_2+1}}{\partial u^{-N_2}_{n+k_{N_1+N_2+1}}} & \frac{\partial I^{N_1+N_2+1}}{\partial u^{-N_2+1}_{n+k_{N_1+N_2+1}}} & \dots & \frac{\partial I^{N_1+N_2+1}}{\partial u^{N_1}_{n+k_{N_1+N_2+1}}} \end{array} \right| \neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 3. Система (1.11) называется интегрируемой в смысле Дарбу, если она допускает полные наборы интегралов по направлениям $x$ и $n$. 3. Характеристические алгебры системы дифференциально-разностных уравненийОтметим, что понятие характеристической алгебры было введено в работах [10], [11] при исследовании систем гиперболических уравнений экспоненциального типа. В этих работах было продемонстрировано, что конечномерность характеристических алгебр по обоим характеристическим направлениям является критерием интегрируемости систем экспоненциального типа, весьма эффективным с точки зрения классификации. В дальнейшем алгебраический подход к теории интегрируемости по Дарбу был адаптирован на случай системы дифференциальных уравнений гиперболического типа более общего вида, а также на случай дискретных моделей (см. монографию [25]). Ниже мы напомним понятие характеристической алгебры системы дифференциально-разностных уравнений и обсудим важные для приложений свойства этого понятия (см. [18], [20], [26]). Предположим, что система уравнений (1.11) допускает полный набор $x$-интегралов вида (2.1). Это означает, что уравнение имеет достаточно широкий класс решений вида $W=W(x,n,u_n,u_{n\pm 1},u_{n\pm 2},\ldots)$. Поскольку система (1.11) является автономной, можно ограничиться рассмотрением только автономных $x$-интегралов (см. [27]), т. е. можно считать, что Легко заметить, что на функции (3.2) оператор $D_x$ действует по следующему правилу:
$$
\begin{equation*}
D_xW=K_0W=\biggl(\,\sum_{j=-N_2}^{N_1} u^j_{n,x}\frac{\partial}{\partial u^j_{n}}+u^j_{n+1,x}\frac{\partial}{\partial u^j_{n+1}}+u^j_{n-1,x}\frac{\partial}{\partial u^j_{n-1}}+\cdots\biggr)W.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу уравнения (1.11) и его следствий имеем
$$
\begin{equation*}
u^j_{n+1,x}=u^j_{n,x}+f^j_{n}, \qquad u^j_{n-1,x}=u^j_{n,x}-f^j_{n-1}, \qquad u^j_{n+2,x}=u^j_{n,x}+f^j_{n}+f^j_{n+1}, \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Заменяя производные $u^j_{n+k,x}$, $u^j_{n-k,x}$, в силу этих равенств находим выражение для оператора $K_0$: где
$$
\begin{equation}
X_j= \sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{\partial}{\partial u^j_{n+k}}, \qquad j=-N_2,-N_2+1,\ldots,N_1,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
$$
\begin{equation}
Y= \sum_{j=-N_2}^{N_1}\biggl(f^j_{n}\frac{\partial}{\partial u^j_{n+1}}-f^j_{n-1}\frac{\partial}{\partial u^j_{n-1}}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad+(f^j_{n}+f^j_{n+1})\frac{\partial}{\partial u^j_{n+2}}-(f^j_{n-1}+f^j_{n-2})\frac{\partial}{\partial u^j_{n-2}}+\cdots\biggr).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Ясно, что в силу равенств (3.2), (3.3) уравнение $K_0W=0$ распадается в переопределенную систему уравнений следующего вида:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X_jW&=0, \qquad j=-N_2,-N_2+1,\ldots,N_1,\\ YW&=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, как легко заметить, должно выполняться уравнение вида $ZW=0$, где оператор $Z$ является произвольной линейной комбинацией с переменными коэффициентами кратных коммутаторов операторов $X_j$, $Y$, или, другими словами, $Z$ является произвольным элементом алгебры $L_x$, порожденной операторами $\left\{X_j,Y\right\}^{N_1}_{j=-N_2}$ над кольцом локально-аналитических функций от динамических переменных $\{u^j_n\}$. При этом операции коммутирования операторов и умножения оператора на функцию согласованы естественным образом. Отображение, действующее по правилу является автоморфизмом алгебры $L_x$ (см. [25]). Для образующих алгебры имеем равенства
$$
\begin{equation}
D_nX_jD^{-1}_n=X_j, \qquad D_nYD^{-1}_n=Y-\sum_{j=-N_2}^{N_1}f^j_nX_j.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Для удобства введем обозначение для операции коммутирования: $\mathrm{ad}_XW=[X,W]$, тогда $\mathrm{ad}^2_XW=\mathrm{ad}_X(\mathrm{ad}_XW)=[X,[X,W]]$ и т. д. При этом из формулы (3.5) легко следует, что для любого полинома с постоянными коэффициентами $P=P(\lambda)$ справедливо тождество
$$
\begin{equation}
P(\mathrm{ad}_{X_i})Y=\sum_{j=-N_2}^{N_1}Z_{P(X_i)f^j_n},
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где соответствие $h^j_n\mapsto Z_{h^j_n}$, определенное формулой
$$
\begin{equation*}
Z_{h^j_n}=h^j_n\frac{\partial}{\partial u^j_{n+1}}-h^j_{n-1}\frac{\partial}{\partial u^j_{n-1}}+(h^j_n+h^j_{n+1})\frac{\partial}{\partial u^j_{n+2}}-(h^j_{n-1}+h^j_{n-2})\frac{\partial}{\partial u^j_{n-2}}+\cdots,
\end{equation*}
\notag
$$
согласовано с представлением (3.5), т. е. Имеет место следующее утверждение. Теорема 1. Если система (1.11) допускает полный набор $x$-интегралов, то функция $f^0=f(u^1_n,u^0_n,u^0_{n+1},u^{-1}_{n+1})$ является квазимногочленом от переменных $u^1_n$, $u^0_n$, $u^{-1}_{n+1}$ с коэффициентами, зависящими от переменной $\tau_n=u^0_n-u^0_{n+1}$. Доказательство. Рассмотрим последовательность операторов в $L_x$, определенную по правилу $V_k=\mathrm{ad}^k_{X_i}Y$, где $i$ – произвольное целое число такое, что $-N_2\leqslant i\leqslant N_1$. В силу (3.8) имеем По условию теоремы система имеет полный набор $x$-интегралов, следовательно, ее характеристическая алгебра $L_x$ имеет конечную размерность [26]. Поэтому существует такое натуральное число $K$, что набор операторов $V_0,V_1,\ldots,V_{K-1}$ является линейно независимым, в то время как $V_{K}$ линейно выражается в виде Положим $P(\lambda)=\lambda^{K}+a_{K-1}\lambda^{K-1}+a_1\lambda+a_0$, тогда (3.9) принимает вид Покажем, что все коэффициенты полинома $P(\lambda)$ постоянны. С этой целью применим автоморфизм (3.6) к обеим частям равенства (3.9), в результате получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, -a_{K-1}V_{K-1}- \cdots &-a_1V_1-a_0V_0-\sum^{N_1}_{j=-N_2}X^{K}_i(f^j)X_j+{} \notag \\ &+\sum^{K-1}_{k=0}D_n(a_k)\biggl(V_k-\sum^{N_1}_{j=-N_2}X^{k}_i(f^j)X_j\biggr)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Сравнивая коэффициенты при $V_k$ в соотношении (3.10), легко можно убедиться, что коэффициенты $a_k$, $k=0,1,\dots,K-1$, постоянны. Далее, соберем коэффициенты при $X_j$ и найдем, что где для любого $i$ $P(X_i)$ – линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Пусть $j=0$, тогда $P(X_i)f^0=0$ для $i=-1,0,1$. При $i=\pm 1$ уравнения принимают вид В уравнении $P(X_0)f^0=0$ перейдем к новым переменным $u^1_n, u^0_n, \tau^{}_n, u^{-1}_{n+1}$, полагая $\tau_n=u^0_n-u^0_{n+1}$, в итоге получим $P\left(\frac{\partial}{\partial u^0_n}\right)\varphi=0$, где $\varphi(u^1_n, u^0_n, \tau^{}_n, u^{-1}_{n+1})=f(u^1_n, u^0_n, u^{0}_{n+1}, u^{-1}_{n+1})$. Отсюда следует утверждение теоремы. 4. Классификационная задачаДля известных примеров интегрируемых цепочек вида (3.1) полином $P(\lambda)$ имеет вторую либо третью степень. Отметим, что свободный член полинома обязательно равен нулю, т. е. $P(0)=0$. В этом легко можно убедиться, сравнив явные представления для операторов $V_0=Y$ (см. (3.5)) и $V_k$ при $k>0$. Цель настоящей работы состоит в том, чтобы исследовать структуру характеристической алгебры $L_x$ для интегрируемых цепочек вида (1.10), для которых полином $P(\lambda)$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
P(\lambda)=\lambda(\lambda-\alpha), \qquad \alpha\neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом без ограничения общности можно считать $\alpha=1$, так как этого легко добиться, применив к цепочке преобразование растяжения $u\mapsto cu$. Нетрудно проверить, что в этом случае искомая функция $f^0=f(u^1_n, u^0_n, u^{0}_{n+1}, u^{-1}_{n+1})$ представима в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f^0&=c_1e^{u^1_n+u^0_n+u^{-1}_{n+1}}+c_2e^{u^1_n+u^0_n}+c_3e^{u^1_n+u^{-1}_{n+1}}+{} \notag \\ &+c_4e^{u^0_n+u^{-1}_{n+1}}+c_5e^{u^{-1}_{n+1}}+c_6e^{u^0_n}+c_7e^{u^1_n}+c_8, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где коэффициенты $c_i=c_i(\tau_n)$ зависят от переменной $\tau_n=u^0_n-u^{0}_{n+1}$. 4.1. Поиск функции $c_1$Для поиска функции $c_1$ воспользуемся тождеством
$$
\begin{equation}
X_{-1}X_{0}X_{1}f^0_n=c_1e^{u^1_n+u^0_n+u^{-1}_{n+1}}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Рассмотрим оператор $R_0=\mathrm{ad}_{X_{-1}}\mathrm{ad}_{X_0}\mathrm{ad}_{X_1}Y$, где $Y$ – характеристический оператор системы (1.11) с функцией $f^j$, выбранной так, что при $j=0$ имеем (4.1). Тогда действие оператора сопряжения определено по правилу
$$
\begin{equation}
D_nR_0D^{-1}_n=R_0-c_1e^{u^1_n+u^0_n+u^{-1}_{n+1}}X_0.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Аналогично для оператора $R_1=\mathrm{ad}_{X_{0}}\mathrm{ad}_{X_1}\mathrm{ad}_{X_2}Y$ находим
$$
\begin{equation}
D_nR_1D^{-1}_n=R_1-c^{(1)}_1e^{u^2_n+u^1_n+u^{0}_{n+1}}X_1,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где $c^{(1)}_1=c_1(u^1_n-u^{1}_{n+1})$. Рассмотрим последовательность операторов в алгебре $L_x$
$$
\begin{equation}
R_0, \quad R_1, \quad R_2=[R_0,R_1], \quad R_3=[R_0,R_2], \quad \ldots\,.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Эту лемму легко можно доказать, пользуясь равенствами (4.3), (4.4). Опишем действие оператора сопряжения на элементы рассматриваемой последовательности. Имеем в силу (4.3), (4.4)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_nR_2D^{-1}_n&=R_2-c_1e^{w}R_1+\cdots, \\ D_nR_3D^{-1}_n&=R_3-2c_1e^{w}R_2+\cdots \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и в общем случае $k\geqslant 2$ где многоточием обозначены слагаемые, содержащие младшие члены последовательности и операторы $X_0$, $X_1$. Здесь принято обозначение $w=u^1_n+u^0_n+u^{-1}_{n+1}$. Предположим, что $L_x$ – конечномерная алгебра, тогда члены последовательности (4.5), начиная с $R_{N+1}$, линейно выражаются через $R_0, R_1, R_2, R_3,\ldots,R_N$, которые предполагаются линейно независимыми: Применим к обеим частям соотношения (4.6) операцию сопряжения $R\mapsto D_nRD^{-1}_n$ и получим новое соотношение
$$
\begin{equation*}
\lambda R_N+\mu R_{N-1}+\cdots-c_1Ne^{w}R_N+\cdots=D_n(\lambda)R_N+\cdots.
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая коэффициенты при $R_N$, получим уравнение на коэффициент $\lambda$, который может зависеть только от конечного числа динамических переменных $u^j_n$ и их сдвигов по $n$:
$$
\begin{equation*}
D_n(\lambda)-\lambda=-c_1(u^0_n-u^{0}_{n+1})Ne^{u^1_n+u^0_n+u^{-1}_{n+1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что это уравнение противоречиво, если $c_1$ не является нулем. Следовательно в (4.1) $c_1\equiv 0$. 4.2. Уточнение функции $c_3$Покажем, что функция $c_3=c_3(\tau_n)$ равна нулю. Поскольку $c_1=0$, имеем Легко проверить, пользуясь формулами (3.7), что операторы $P_0=[X_{-1},[X_1,Y]]$ и $P_1=[X_{0},[X_2,Y]]$ удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_nP_0D^{-1}_n&=P_0-c_3e^{u^1_n+u^{-1}_{n+1}}X_0, \\ D_nP_1D^{-1}_n&=P_1-c^{(1)}_3e^{u^2_n+u^{0}_{n+1}}X_1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где $c^{(1)}_3=c_3(u^1_n-u^1_{n+1})$, $c_3=c_3(u^0_n-u^0_{n+1})$. Рассмотрим последовательность операторов в $L_x$, заданную в виде
$$
\begin{equation*}
P_0, \quad P_1, \quad P_2=[P_0,P_1], \quad P_3=[P_0,P_2], \quad \ldots, \quad P_{k+1}=[P_0,P_k], \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Элементы этой последовательности удовлетворяют равенствам
$$
\begin{equation*}
[X_0,P_0]=0, \qquad [X_0,P_1]=P_1, \qquad [X_0,P_2]=P_2, \qquad \ldots, \qquad [X_0,P_k]=P_k, \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Автоморфизм (3.6) действует на первые элементы последовательности по правилу (4.7), из которого следует, что
$$
\begin{equation*}
D_nP_2D^{-1}_n=P_2-c_3e^{u^1_n+u^{-1}_{n+1}}P_1+c^{(1)}_3e^{u^2_n+u^{0}_{n+1}}P_0+\cdots,
\end{equation*}
\notag
$$
где многоточием обозначены линейные комбинации операторов $X_0$, $X_1$. Для оператора $P_3$ имеем
$$
\begin{equation*}
D_nP_3D^{-1}_n=P_3-2c_3e^{u^1_n+u^{-1}_{n+1}}P_2+\cdots.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно доказать по индукции, что для $k\geqslant 2$
$$
\begin{equation*}
D_nP_kD^{-1}_n=P_k-(k-1)c_3e^{u^1_n+u^{-1}_{n+1}}P_{k-1}+\cdots.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что операторы $P_0,P_1,P_2,\ldots,P_{M-1}$ линейно независимы, при этом оператор $P_M$ линейно выражается через эти операторы: Применим автоморфизм (3.6) к обеим частям равенства (4.8) и получим при $M\geqslant 2$
$$
\begin{equation*}
\lambda P_{M-1}-(M-1)c_3e^{u^1_n+u^{-1}_{n+1}}P_{M-1}+\cdots=D_n(\lambda)P_{M-1}+\cdots.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому коэффициент $\lambda=\lambda(u^{-1}_{n},u^{0}_{n})$ должен удовлетворять уравнению
$$
\begin{equation*}
D_n(\lambda)-\lambda=-(M-1)c_3e^{u^1_n+u^{-1}_{n+1}}, \qquad c_3=c_3(u^0_n-u^0_{n+1}),
\end{equation*}
\notag
$$
что возможно лишь при $c_3\equiv 0$. 4.3. Уточнение функций $c_2$ и $c_4$Для поиска функций $c_2$ и $c_4$ исследуем подалгебру характеристической алгебры $L_x$, порожденную операторами $X_0, X_1, X_2$, $R_0, R_1$, где $R_0=[X_1,[X_0,Y]]$ и $R_1=[X_2,[X_1,Y]]$. Последние два оператора, как легко проверить, под действием автоморфизма (3.6) преобразуются следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_nR_0D^{-1}_n&=R_0-c_2e^{u^1_n+u^{0}_{n}}X_0-c^{(1)}_4e^{u^1_n+u^{0}_{n+1}}X_1, \\ D_nR_1D^{-1}_n&=R_1-c^{(1)}_2e^{u^2_n+u^{1}_{n}}X_1-c^{(2)}_4e^{u^2_n+u^{1}_{n+1}}X_2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
где $c^{(j)}_k=c_k(u^j_n-u^j_{n+1})$. Рассмотрим последовательность операторов в $L_x$, заданную в виде
$$
\begin{equation}
R_0, \quad R_1, \quad R_2=[R_0,R_1],\quad \ldots, \quad R_k=[R_0,R_{k-1}], \quad \ldots\,.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Легко проверить, что выполняются коммутационные соотношения
$$
\begin{equation*}
[X_0,R_0]=R_0, \qquad [X_0,R_1]=0, \qquad [X_1,R_0]=R_0, \qquad [X_1,R_1]=R_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, при $k\geqslant 2$ имеем На основе соотношений (4.9), (4.10) можно описать действие автоморфизма (3.6) на любой элемент последовательности (4.10). Для операторов $R_2$, $R_3$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_nR_2D^{-1}_n&=R_2-c^{(1)}_4e^{u^1_n+u^{0}_{n+1}}R_1+c^{(1)}_2e^{u^2_n+u^{1}_{n}}R_0+\cdots, \\ D_nR_3D^{-1}_n&=R_3-(3c^{(1)}_4e^{u^1_n+u^0_{n+1}}+c_2e^{u^1_n+u^0_{n}})R_2+\cdots. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
По индукции можно показать, что автоморфизм (3.6) действует на произвольный элемент последовательности (4.10) при $k\geqslant 2$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
D_nR_{k+1}D^{-1}_n=R_{k+1}-\biggl(\frac{k^2+k}{2}c^{(1)}_4e^{u^1_n+u^0_{n+1}}+\frac{k^2-k}{2}c_2e^{u^1_n+u^0_{n}}\biggr)R_{k}+\cdots,
\end{equation*}
\notag
$$
где многоточием обозначены линейные комбинации операторов $X_0, X_1, X_2$ и младших членов последовательности. В силу конечномерности алгебры $L_x$ последовательность (4.10) может содержать лишь конечное число линейно независимых элементов, например
$$
\begin{equation*}
R_0, \quad R_1, \quad R_2, \quad \ldots, \quad R_{L}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следует рассмотреть по отдельности два существенно разных случая: $L=1$ и $L\geqslant 2$. Рассмотрим первый случай $L=1$. Пусть выполняется условие Применим автоморфизм (3.6) к обеим частям (4.12) и воспользуемся (4.11). В результате получим тождество
$$
\begin{equation*}
\lambda R_{0}+\mu R_1-c^{(1)}_4e^{u^1_n+u^{0}_{n+1}}R_1+c^{(1)}_2e^{u^2_n+u^{1}_{n}}R_0+\cdots=D_n(\lambda) R_{0}+D_n(\mu) R_1 +\cdots.
\end{equation*}
\notag
$$
Приравнивая коэффициенты при $R_0$ и $R_1$, получим следующие два уравнения:
$$
\begin{equation*}
\lambda+c^{(1)}_2e^{u^2_n+u^{1}_{n}}=D_n(\lambda),\qquad \mu-c^{(1)}_4e^{u^1_n+u^{0}_{n+1}}=D_n(\mu).
\end{equation*}
\notag
$$
Как легко заметить, если $c_2$, $c_4$ отличны от тождественного нуля, то полученные уравнения не имеют решений нужного вида. Поэтому операторы $R_{0}$, $R_{1}$, $R_{2}$ линейно независимы. Перейдем к рассмотрению случая $L\geqslant 2$. Предположим, что оператор $R_{L+1}$ линейно выражается через младшие члены последовательности (4.10), которые предполагаются линейно независимыми:
$$
\begin{equation*}
R_{L+1}=\lambda R_L+\cdots, \qquad \text{где} \quad L\geqslant2.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя к обеим частям отображение (3.6), после несложных преобразований получаем равенство
$$
\begin{equation}
D_n(\lambda)-\lambda=-\frac{L^2+L}{2}c^{(1)}_4e^{u^1_n+u^{0}_{n+1}}-\frac{L^2-L}{2}c_2e^{u^1_n+u^{0}_{n}},
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
где $\lambda=\lambda(u^{0}_{n},u^{1}_{n})$, $c_2=c_2(u^0_n-u^{0}_{n+1})$, $c^{(1)}_4=c_4(u^1_n-u^{1}_{n+1})$. Сравнительно простой анализ уравнения (4.13) позволяет получить следующие явные формулы для искомых функций:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, c_2(u^0_n-u^{0}_{n+1})&=-\frac{L+1}{L-1}\left(\alpha^{(1)}+\beta^{(1)}e^{u^{0}_{n+1}-u^0_n}\right),\\ c_4(u^0_n-u^{0}_{n+1})&=\alpha^{(1)}e^{u^{0}_{n+1}-u^0_n}+\beta^{(1)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
где $L\geqslant 2$, а коэффициенты $\alpha^{(1)}$, $\beta^{(1)}$ – некоторые константы. Продолжим изучение подалгебры характеристической алгебры $L_x$, порожденной операторами $X_0, X_1, X_2, R_0, R_1$. Рассмотрим теперь последовательность кратных коммутаторов, полученных повторным применением оператора $\mathrm{ad}_{R_1}$:
$$
\begin{equation*}
R_0, \quad R_1, \quad Q_2=[R_1,R_0], \quad Q_3=[R_1,Q_2], \quad \ldots, \quad Q_{k+1}=[R_1,Q_{k}], \qquad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеют место коммутационные соотношения вида
$$
\begin{equation*}
[X_2,R_0]=0, \qquad [X_2,R_1]=R_1, \qquad [X_2,Q_m]=(m-1)Q_m, \qquad [X_1,Q_m]=mQ_m.
\end{equation*}
\notag
$$
Действие автоморфизма (3.6) для $k\geqslant 2$ задается равенством
$$
\begin{equation*}
D_nQ_{k+1}D^{-1}_n=Q_{k+1}-\biggl(\frac{k^2+k}{2}c^{(1)}_2e^{u^2_n+u^1_{n}}+\frac{k^2-k}{2}c^{(2)}_4e^{u^2_n+u^1_{n+1}}\biggr)Q_{k}+\cdots.
\end{equation*}
\notag
$$
Предполагая, как и в предыдущем случае, что после несложных преобразований приходим к уравнению
$$
\begin{equation*}
\lambda-D_n(\lambda)=\biggl(\frac{S^2+S}{2}\biggr)c^{(1)}_2e^{u^2_n+u^1_{n}}+\biggl(\frac{S^2-S}{2}\biggr)c^{(2)}_4e^{u^2_n+u^1_{n+1}},
\end{equation*}
\notag
$$
анализируя которое можно получить следующее представление для искомых функций:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, c_2(u^0_n-u^{0}_{n+1})&=\alpha^{(2)}+\beta^{(2)}e^{u^{0}_{n+1}-u^0_n},\\ c_4(u^0_n-u^{0}_{n+1})&=-\frac{S+1}{S-1}(\beta^{(2)}+\alpha^{(2)}e^{u^{0}_{n+1}-u^0_n}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где $S\geqslant 2$ – натуральное число, коэффициенты $\alpha^{(2)}$, $\beta^{(2)}$ – некоторые постоянные. Из двух представлений (4.14) и (4.15) искомых функций $c_2$ и $c_4$ получаем два условия:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl(\frac{L+1}{L-1}\cdot\frac{S+1}{S-1}-1\biggr)\beta^{(2)}&=0,\\ \biggl(\frac{L+1}{L-1}\cdot\frac{S+1}{S-1}-1\biggr)\alpha^{(2)}&=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если хотя бы один из сомножителей $\alpha^{(2)}$, $\beta^{(2)}$ отличен от нуля, приходим к противоречивому соотношению где $S\geqslant 2$, $L\geqslant 2$. Следовательно, $\alpha^{(2)}=\beta^{(2)}=0$, но тогда в силу (4.15) $c_2\equiv c_4\equiv 0$. 4.4. Описание функций $c_5$, $c_6$, $c_7$Из полученных выше результатов следует, что искомая функция $f^0=f(u^{1}_{n},u^{0}_{n},u^{0}_{n+1},u^{-1}_{n+1})$ (см. (4.1)) имеет вид
$$
\begin{equation}
f^0=c_5e^{u^{-1}_{n+1}}+c_6e^{u^{0}_{n}}+c_7e^{u^{1}_{n}}+c_8,
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
где коэффициенты $c_k=c_k(u^{0}_{n}-u^{0}_{n+1})$ являются функциями, которые требуется найти. Замечание 1. В силу требования (1.6) должны выполняться следующие условия: $c_5\neq 0$, $c_7\neq 0$. Для этого введем операторы $Y_0=[X_0,Y]$, $Y_1=[X_1,Y]$. Пользуясь явным выражением (4.16), из тождеств (3.7) легко можно вывести формулы, описывающие действие автоморфизма (3.6) на эти операторы:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_nY_0D^{-1}_n&=Y_0-c^{(1)}_5e^{u^0_n}X_1-c_6e^{u^0_n}X_0-c^{(-1)}_7e^{u^0_n}X_{-1}, \\ D_nY_1D^{-1}_n&=Y_1-c^{(2)}_5e^{u^1_n}X_2-c^{(1)}_6e^{u^1_n}X_1-c_7e^{u^1_n}X_{0}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c^{(j)}_k=c_k(u^j_n-u^j_{n+1})$. Сосредоточимся на последовательности операторов в $L_x$, определенных повторным применением оператора $\mathrm{ad}_{Y_0}$:
$$
\begin{equation}
R_0=Y_0, \quad R_1=Y_1, \quad R_2=[R_0,R_1],\quad \ldots, \quad R_k=[R_0,R_{k-1}], \quad \ldots\,.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Операторы $\mathrm{ad}_{X_0}$, $\mathrm{ad}_{X_1}$ на элементы последовательности (4.17) действуют по следующему простому правилу:
$$
\begin{equation}
[X_0,R_0]=R_0, \qquad [X_0,R_1]=0, \qquad [X_1,R_0]=0, \qquad [X_1,R_1]=R_1.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
При $k\geqslant 2$ имеем Можно проверить, что
$$
\begin{equation*}
D_nR_2D^{-1}_n=R_2+c_7e^{u^{1}_{n}}R_0-c^{(1)}_5e^{u^{0}_{n+1}}R_1+\cdots.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $k\geqslant 2$, как легко доказать по индукции, действие автоморфизма (3.6) задается формулой
$$
\begin{equation*}
D_nR_{k+1}D^{-1}_n=R_{k+1}-\biggl(kc^{(1)}_5e^{u^0_{n+1}}+\frac{k(k-1)}{2}c_6e^{u^0_n}\biggr)R_{k}+\cdots.
\end{equation*}
\notag
$$
В двух последних равенствах многоточием обозначены линейные комбинации операторов $X_j$ и младших членов последовательности (4.17). В силу конечномерности алгебры $L_x$ существует такое натуральное число $M$, что операторы $R_0,R_1,\ldots,R_M$ линейно независимы, а оператор $R_{M+1}$ линейно выражается через них с коэффициентами, зависящими от динамических переменных: Применим к обеим частям последнего равенства автоморфизм (3.6) и преобразуем его к виду
$$
\begin{equation*}
\lambda R_{M}-\biggl(Mc^{(1)}_5e^{u^0_{n+1}}+\frac{M(M-1)}{2}c_6e^{u^0_n}\biggr)R_{M}+\cdots=D_n(\lambda)R_M+\cdots.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда имеем уравнение на $\lambda$:
$$
\begin{equation}
\lambda(u^0_n,u^1_n)-Mc_5(u^1_n-u^1_{n+1})e^{u^0_{n+1}}-\frac{M(M-1)}{2}c_6(u^0_n-u^0_{n+1})e^{u^0_n}=\lambda(u^0_{n+1},u^1_{n+1}).
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Продифференцируем (4.19) сначала по $u^0_n$:
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\lambda(u^0_n,u^1_n)}{\partial u^0_n}=\frac{M(M-1)}{2}\left(c'_6(\theta)+c_6(\theta)\right)e^{u^0_n}, \qquad \theta=u^0_n-u^0_{n+1},
\end{equation*}
\notag
$$
а затем еще раз по $u^0_{n+1}$, в итоге получим уравнение Проинтегрируем его и найденную функцию $c_6$ подставим в предыдущее уравнение, которое легко можно проинтегрировать и найти $\lambda$. Подставим найденные представления в (4.19) и уточним оставшиеся неизвестные функции. В результате получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, c_5(u^0_n-u^0_{n+1})&=-\frac{M-1}{2}(A+B),\\ c_6(u^0_n-u^0_{n+1})&=A+Be^{u^0_{n+1}-u^0_n}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
где $M\geqslant 2$. Предполагая, что $M=1$, т. е. выполнено равенство $R_2=\lambda R_0+\mu R_1$, можно показать, что должны выполняться условия $c_5=c_7=0$, что невозможно (см. замечание 1). Для дальнейшего уточнения функций $c_5, c_6, c_7$ построим еще одну последовательность, поменяв ролями $Y_0$ и $Y_1$:
$$
\begin{equation*}
P_0=Y_0, \quad P_1=Y_1, \quad P_2=[P_1,P_0],\quad \ldots, \quad P_{k+1}=[P_1,P_{k}], \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь, в дополнение к (4.18), нам понадобятся соотношения выполненные при $i\geqslant 2$. Кратные коммутаторы удовлетворяют равенству
$$
\begin{equation*}
D_nP_{k+1}D^{-1}_n=P_{k+1}-\biggl(kc_7+\frac{k(k-1)}{2}c^{(1)}_6\biggr)e^{u^1_n}P_{k}+\cdots.
\end{equation*}
\notag
$$
Предполагая, как и выше, что существует $L\geqslant 2$ такое, что $P_{L+1}=\lambda P_L+\cdots$, и применяя автоморфизм алгебры, выведем уравнение
$$
\begin{equation*}
D_n(\lambda)-\lambda=-e^{u^1_n}\biggl(Lc_7+\frac{L(L-1)}{2}c^{(1)}_6\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
на неизвестную функцию $\lambda=\lambda(u^0_n,u^1_n)$:
$$
\begin{equation}
\lambda(u^0_{n+1},u^1_{n+1})-\lambda(u^0_n,u^1_n)=-e^{u^1_n}\biggl(Lc_7(u^0_n-u^0_{n+1})+\frac{L(L-1)}{2}c_6(u^1_n-u^1_{n+1})\biggr).
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Дифференцируя уравнение (4.21) по $u^1_{n+1}$, найдем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\lambda(u^0_{n+1},u^1_{n+1})}{\partial u^1_{n+1}}=\frac{L(L-1)}{2}c'_6(\eta)e^{u^1_n}, \qquad \eta=u^1_n-u^1_{n+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Продифференцируем теперь полученное уравнение по $u^1_{n}$: Отсюда находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, c_6(u^1_n-u^1_{n+1})=\alpha e^{u^1_n-u^1_{n+1}}+\beta,\\ \lambda(u^0_n,u^1_n)=-\frac{L(L-1)}{2}\alpha e^{u^1_n}+\rho(u^0_n). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя полученные выражения в (4.21), можно показать, что $\rho(u^0_n)=\rho(u^0_{n+1})=\mathrm{const}$, а также найти $c_7$: Сравнивая полученные представления для искомых функций с представлениями (4.20), приходим к равенствам
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, c_5(u^0_n-u^0_{n+1})&=-\frac{M-1}{2}(\alpha+\beta),\\ c_6(u^0_n-u^0_{n+1})&=\alpha e^{u^0_{n+1}-u^0_n}+\beta,\\ c_7(u^0_n-u^0_{n+1})&=-\frac{L-1}{2}(\alpha+\beta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге имеем
$$
\begin{equation}
f^0=-\frac{M-1}{2}(\alpha+\beta)e^{u^{-1}_{n+1}}+\alpha e^{u^0_{n+1}}+\beta e^{u^{0}_{n}}-\frac{L-1}{2}(\alpha+\beta)e^{u^{1}_{n}}+c_8,
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
где $M\geqslant 2$, $L\geqslant 2$. Замечание 2. В силу условий $c_5\neq 0$, $c_7\neq 0$ (см. замечание 1) выполняется неравенство $\alpha+\beta\neq 0$. В представлении (4.22) все параметры, кроме $c_8$, постоянны, функцию $c_8(u^{0}_{n}-u^{0}_{n+1})$ требуется определить. 4.5. Уточнение вида граничных уравненийВыше было показано, что при $j\neq -N_2$, $j\neq N_1$ функция $f^j$, задающая правую часть системы (1.12), представляется в виде (см. (4.22))
$$
\begin{equation*}
f^j=r_1e^{u^{j-1}_{n+1}}+ r_2e^{u^j_{n}}+ r_3e^{u^{j}_{n+1}}+ r_4e^{u^{j+1}_{n}}+ r_5,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} r_1&=-\frac{M-1}{2}(\alpha+\beta), &\qquad &r_2=\beta, \quad r_3=\alpha,\\ r_4&=-\frac{L-1}{2}(\alpha+\beta),&\qquad &r_5=c_8(u^{j}_{n}-u^{j}_{n+1}). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Для поиска функций $f^{-N_2}$, $f^{N_1}$, определяющих первое и последнее уравнения системы (4.22), воспользуемся теми же соображениями, что и выше. При этом здесь задача несколько упрощается, поскольку эти функции зависят от меньшего числа переменных. Начнем с функции $f^{N_1}(u^{N_1}_n,u^{N_1}_{n+1},u^{N_1-1}_{n+1})$, которая является решением системы двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами
$$
\begin{equation*}
(X_{N_1}-1)X_{N_1}f^{N_1}=0, \qquad (X_{N_1-1}-1)X_{N_1-1}f^{N_1}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому она имеет вид
$$
\begin{equation}
f^{N_1}=a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}}+a_3e^{u^{N_1}_n}+a_4e^{u^{N_1-1}_{n+1}}+a_5,
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
где $a_j=a_j(u^{N_1}_{n}-u^{N_1}_{n+1})$ – неизвестные функции, которые требуется определить. 4.5.1. Поиск функции $a_2$Исследуем функцию (4.23). Рассмотрим последовательность операторов
$$
\begin{equation}
Y_{N_1}, \quad Z, \quad P_2=[Z,Y_{N_1}], \quad P_3=[Z,P_2], \quad \ldots, \quad P_{k+1}=[Z,P_k], \quad \ldots,
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
где $Y_{N_1}=[X_{N_1},Y]$, $Z=[X_{N_1-1},Y_{N_1}]$. Найдем, как действует автоморфизм (3.6) на последовательность (4.24). Для операторов $Y_{N_1}$ и $Z$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_nY_{N_1}D^{-1}_n&=Y_{N_1}-(a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}}+a_3e^{u^{N_1}_n})X_{N_1}-r_1e^{u^{N_1}_n}X_{N_1-1}+\cdots,\\ D_nZD^{-1}_n&=Z-a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}}X_{N_1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично можно проверить, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_nP_2D^{-1}_n&=P_2-a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}}Y_{N_1}+(a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}}+(a_3+r_1)e^{u^{N_1}_n})Z+\cdots, \\ D_nP_3D^{-1}_n&=P_3-2a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}}P_2+\cdots. \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
При $k\geqslant 3$ имеем единообразное выражение для описания действия автоморфизма
$$
\begin{equation*}
D_nP_kD^{-1}_n=P_k-(k-1)a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}}P_{k-1}+\cdots.
\end{equation*}
\notag
$$
Сначала мы рассмотрим случай, когда все операторы последовательности (4.24) выражаются через первые два, т. е. Тогда, действуя отображением (3.6) на (4.26) и воспользовавшись формулой (4.25), приходим к тождеству
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda Y_{N_1}+\mu Z-a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}}Y_{N_1}&+(a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}}+(a_3+r_1)e^{u^{N_1}_n})Z+\cdots={}\\ &=D_n(\lambda) Y_{N_1}+D_n(\mu) Z+\cdots. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнение коэффициентов при $Y_{N_1}$ приводит к уравнению
$$
\begin{equation*}
D_n(\lambda)-\lambda = -a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}},
\end{equation*}
\notag
$$
из которого следует, поскольку $a_2=a_2(u^{N_1}_n-u^{N_1}_{n+1})$, что не существует функции $\lambda$, удовлетворяющей (4.26), если $a_2$ отлично от тождественного нуля. Поэтому $a_2\equiv 0$. Аналогично проверяется, что при $k\geqslant 3$ представление может иметь место только при выполнении условия $a_2\equiv 0$. Поэтому в дальнейшем будем считать, что где $a_j=a_j(u^{N_1}_{n}-u^{N_1}_{n+1})$, $j=3,4,5$. 4.5.2. Поиск функций $a_3$ и $a_4$Построим последовательность операторов в $L_x$:
$$
\begin{equation}
Y_{N_1}, \,\, Y_{N_1-1}, \,\, S_2=[Y_{N_1},Y_{N_1-1}], \,\, S_3=[Y_{N_1},S_2], \,\, \ldots, \,\, S_k=[Y_{N_1},S_{k-1}], \ldots,
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
где $Y_{N_1}=[X_{N_1},Y]$, $Y_{N_1-1}=[X_{N_1-1},Y]$. Найдем в силу (3.7), что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_nY_{N_1}D^{-1}_n&=Y_{N_1}-a_3e^{u^{N_1}_n}X_{N_1}+r_1e^{u^{N_1}_n}X_{N_1-1},\\ D_nY_{N_1-1}D^{-1}_n&=Y_{N_1-1}-a_4e^{u^{N_1-1}_{n+1}}X_{N_1}-(r_2e^{u^{N_1-1}_{n}}+r_3e^{u^{N_1-1}_{n+1}})X_{N_1-1}-{}\\ &\qquad-r_1e^{u^{N_1-1}_{n}}X_{N_1-2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее находим
$$
\begin{equation*}
D_nS_{2}D^{-1}_n=S_{2}-r_1e^{u^{N_1}_{n}}Y_{N_1-1}+a_4e^{u^{N_1-1}_{n+1}}Y_{N_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предполагая, что все члены последовательности линейно выражаются через $Y_{N_1}$, $Y_{N_1-1}$, т. е. полагая легко можно вывести соотношение Это соотношение является противоречивым, поскольку $r_1\neq 0$, а функция $\mu$ зависит только от конечного числа динамических переменных и их сдвигов. Следовательно, операторы $Y_{N_1}$, $Y_{N_1-1}$, $S_{2}$ линейно независимы. Поэтому последовательность обрывается на некотором $k\geqslant 2$, иначе говоря, выполняется разложение которое в силу формулы
$$
\begin{equation*}
D_nS_{k+1}D^{-1}_n=S_{k+1}-k\biggl(r_1+\frac{k-1}{2}a_3\biggr)e^{u^{N_1}_{n}}S_{k}+\cdots
\end{equation*}
\notag
$$
приводит к уравнению на коэффициент $\lambda$:
$$
\begin{equation}
D_n(\lambda)-\lambda =-k\biggl(r_1+\frac{k-1}{2}a_3\biggr)e^{u^{N_1}_{n}}.
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
Учитывая, что $a_3=a_3(u^{N_1}_n-u^{N_1}_{n+1})$, можно заметить, что $\lambda=\lambda(u^{N_1}_n)$. Дифференцируя (4.28) по $u^{N_1}_{n+1}$, а затем по $u^{N_1}_{n}$, приходим к уравнению $a''_3(\theta)+a'_3(\theta)=0$, где $\theta=u^{N_1}_n-u^{N_1}_{n+1}$. Поэтому имеем Подставим найденное значение $a_3$ в (4.28) и найдем, что параметры $A$ и $B$ удовлетворяют условию В приведенных выше рассуждениях заменим последовательность (4.27) на другую, которая получается заменой $Y_{N_1}\leftrightarrow Y_{N_1-1}$:
$$
\begin{equation*}
Y_{N_1-1}, \,\, Y_{N_1}, \,\, Q_2=[Y_{N_1-1},Y_{N_1}], \,\, Q_3=[Y_{N_1-1},Q_2], \,\, \ldots, \,\, Q_k=[Y_{N_1-1},Q_{k-1}], \,\, \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом для $k \geqslant 2$ имеют место соотношения
$$
\begin{equation*}
D_nQ_{k+1}D^{-1}_n=Q_{k+1}-k\biggl(a_4e^{u^{N_1-1}_{n+1}}+\frac{k-1}{2}r_3e^{u^{N_1-1}_{n+1}}+\frac{k-1}{2}r_2e^{u^{N_1-1}_{n}}\biggr)Q_{k}+\cdots.
\end{equation*}
\notag
$$
Опуская вычисления, которые вполне аналогичны тем, которые соответствуют последовательности (4.27), приведем только вывод: функция $a_4$ является постоянной, где $\bar{M}\geqslant 2$ является целым числом. Следовательно, функция $f^{N_1}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
f^{N_1}=p_2e^{u^{N_1}_n}+p_3e^{u^{N_1}_{n+1}}+p_4e^{u^{N_1-1}_{n+1}}+p_5,
\end{equation*}
\notag
$$
где $p_2$, $p_3$, $p_4$ — некоторые постоянные, а последнее слагаемое является функцией $p_5=p_5(u^{N_1}_n-u^{N_1}_{n+1})$. Аналогичное представление, вообще говоря с другими коэффициентами, имеет место и для функции $f^{-N_2}_n$. В итоге для правых частей уравнений (1.11) имеем выражения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f^{N_1}&=p_2e^{u^{N_1}_n}+p_3e^{u^{N_1}_{n+1}}+p_4e^{u^{N_1-1}_{n+1}}+p_5(u^{N_1}_n-u^{N_1}_{n+1}), \\ f^j&=r_1e^{u^{j-1}_{n+1}}+ r_2e^{u^j_{n}}+ r_3e^{u^{j}_{n+1}}+ r_4e^{u^{j+1}_{n}}+ r_5(u^j_n-u^j_{n+1}), \\ f^{-N_2}&=q_1e^{u^{-N_2+1}_{n}}+ q_2e^{u^{-N_2}_{n}}+ q_3e^{u^{-N_2}_{n+1}}+ q_5(u^{-N_2}_n-u^{-N_2}_{n+1}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
Здесь постоянные коэффициенты перед экспонентами и функции $p_5$, $r_5$, $q_5$ нуждаются в дальнейшем уточнении. 4.6. Уточнение функций $p_5$, $r_5$ и $q_5$Покажем, что $p_5=r_5=q_5=0$. Для упрощения рассуждений будем считать, что в равенствах (4.29) $N_1=N_2=1$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f^1&=p_2e^{u^1_n}+p_3e^{u^{1}_{n+1}}+p_4e^{u^{0}_{n+1}}+p_5(u^1_n-u^1_{n+1}), \\ f^0&=r_1e^{u^{-1}_{n+1}}+ r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}}+ r_4e^{u^{1}_{n}}+ r_5(u^0_n-u^0_{n+1}), \\ f^{-1}&=q_1e^{u^{0}_{n}}+ q_2e^{u^{-1}_{n}}+ q_3e^{u^{-1}_{n+1}}+ q_5(u^{-1}_n-u^{-1}_{n+1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить непосредственным вычислением, что оператор $W:=Y-\sum_{j=-1}^1Y_j$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W={}&p_5(u^1_n-u^1_{n+1})\frac{\partial}{\partial u^1_{n+1}}-p_5(u^1_{n-1}-u^1_{n})\frac{\partial}{\partial u^1_{n-1}}+{}\\ &+r_5(u^0_n-u^0_{n+1})\frac{\partial}{\partial u^0_{n+1}}-r_5(u^0_{n-1}-u^0_{n})\frac{\partial}{\partial u^0_{n-1}}+{}\\ &+q_5(u^{-1}_n-u^{-1}_{n+1})\frac{\partial}{\partial u^{-1}_{n+1}}-q_5(u^{-1}_{n-1}-u^{-1}_{n})\frac{\partial}{\partial u^{-1}_{n-1}}+\cdots, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где многоточием обозначены дифференцирования по переменным $u^i_{n\pm 2}$, $u^i_{n\pm 3}, \ldots$ . Напомним, что операторы $Y_j$ определены как коммутаторы $Y_j=[X_j,Y]$, при этом действие автоморфизма на них задано формулой Нетрудно проверить, что
$$
\begin{equation}
D_nWD^{-1}_n=W-p_5(u^1_n-u^1_{n+1})X_1-r_5(u^0_n-u^0_{n+1})X_0-q_5(u^{-1}_n-u^{-1}_{n+1})X_{-1}.
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Ниже нам понадобится последовательность операторов в алгебре $L_x$:
$$
\begin{equation}
W, \quad Y_0, \quad W_1=[Y_0,W], \quad W_2=[Y_0,W_1], \quad \ldots, \quad W_k=[Y_0,W_{k-1}], \quad \ldots\,.
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
Опишем действие автоморфизма на элементы этой последовательности:
$$
\begin{equation}
D_nW_2D^{-1}_n=W_2-(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}})W_1+\cdots,\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
D_nW_3D^{-1}_n=W_3-3(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}})W_2+\cdots,\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots,\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
D_nW_kD^{-1}_n=W_k-\frac{k^2-k}{2}(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}})W_{k-1}+\cdots, \qquad k\geqslant 2.
\end{equation}
\tag{4.33}
$$
В силу конечномерности алгебры $L_x$ существует натуральное число $K$ такое, что оператор $W_K$ можно представить в виде линейной комбинации предшествующих членов последовательности (4.31): Применяя к (4.34) автоморфизм (3.6), получаем еще одно соотношение:
$$
\begin{equation*}
D_nW_KD^{-1}_n=D_n(\lambda)D_nW_{K-1}D^{-1}_n+\cdots,
\end{equation*}
\notag
$$
из которого в силу (4.33), (4.34) легко можно получить уравнение на коэффициент $\lambda$:
$$
\begin{equation*}
D_n(\lambda)=\lambda-\frac{k^2-k}{2}(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}}),
\end{equation*}
\notag
$$
которое должно выполняться при $K\geqslant 2$. Нетрудно проверить, что это уравнение может иметь решение $\lambda$, зависящее лишь от конечного набора динамических переменных, тогда и только тогда, когда выполняется равенство $r_2=-r_3$. А это невозможно в силу замечания 2, в котором следует положить $\alpha=r_3$, $\beta=r_2$. Поэтому число $K$ должно равняться единице, поскольку $Y_0$ и $W$ являются линейно независимыми, т. е. реализуется именно такой случай, когда Для того чтобы исследовать уравнение (4.35), нам потребуется уточнить все слагаемые в представлении (4.32), включая обозначенные многоточием. Для этого воспользуемся равенством (4.30) и формулой
$$
\begin{equation}
D_nY_0D^{-1}_n=Y_0-p_4e^{u^0_{n+1}}X_1-(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}})X_0-q_1e^{u^0_{n}}X_{-1}.
\end{equation}
\tag{4.36}
$$
Нетрудно проверить, что тогда из равенства $D_nW_1D^{-1}_n=[D_nY_0D^{-1}_n,D_nWD^{-1}_n]$ следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_nW_1D^{-1}_n={}&W_1+r_5Y_0+(W(p_4e^{u^0_{n+1}})-Y_0(p_5)-r_5p_4e^{u^0_{n+1}})X_1+{}\\ &+(W(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}})-Y_0(r_5)-r_5(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}}))X_0+{}\\ &+(W(q_1e^{u^0_{n}})-Y_0(q_5)-r_5q_1e^{u^0_{n}}t)X_{-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что имеют место соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &W(e^{u^{0}_{n+1}})=p_5(u^1_n-u^1_{n+1})e^{u^{0}_{n+1}}, \qquad W(e^{u^{0}_{n}})=0,\\ &Y_0(p_5(u^1_n-u^1_{n+1}))=-p_4e^{u^{0}_{n+1}}p'_5(u^1_n-u^1_{n+1}),\\ &Y_0(r_5(u^0_n-u^0_{n+1}))=-(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}})r'_5(u^0_n-u^0_{n+1}),\\ &Y_0(q_5(u^{-1}_n-u^{-1}_{n+1}))=-q_1e^{u^0_{n}}q'_5(u^{-1}_n-u^{-1}_{n+1}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_nW_1D^{-1}_n={}&W_1+r_5Y_0+(p_4p_5e^{u^{0}_{n+1}}-p_4p'_5e^{u^{0}_{n+1}}-p_4r_5e^{u^{0}_{n+1}})X_1+{} \notag \\ &+(r_3p_5e^{u^{0}_{n+1}}-r_5(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}})+r'_5(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}}))X_0+{} \notag\\ &+(q_1q'_5e^{u^0_{n}}-r_5q_1e^{u^0_{n}})X_{-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.37}
$$
Подействуем автоморфизмом (3.6) на (4.35) и преобразуем результат с помощью соотношений (4.30), (4.35)–(4.37), в итоге получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda Y_0&+\mu W+r_5Y_0+(p_4p_5e^{u^{0}_{n+1}}-p_4p'_5e^{u^{0}_{n+1}}-p_4r_5e^{u^{0}_{n+1}})X_1+{}\\ &\hphantom{={}}+(r_3p_5e^{u^{0}_{n+1}}+(r'_5-r_5)(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}}))X_0+(q_1q'_5e^{u^0_{n}}-r_5q_1e^{u^0_{n}})X_{-1}={}\\ &=D_n(\lambda)(Y_0-p_4e^{u^0_{n+1}}X_1-(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}})X_0-q_1e^{u^0_{n}}X_{-1})+{}\\ &\hphantom{={}}+D_n(\mu)(W-p_5X_1-r_5X_0-q_5X_{-1}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $p_5=p_5(u^1_n-u^1_{n+1})$, $r_5=r_5(u^0_n-u^0_{n+1})$, $q_5=q_5(u^{-1}_n-u^{-1}_{n+1})$. Сравнивая коэффициенты при линейно независимых операторах $Y_0$ и $W$, находим уравнения на $\lambda$ и $\mu$:
$$
\begin{equation*}
D_n(\lambda)-\lambda=r_5(u^0_n-u^0_{n+1}),\qquad D_n(\mu)=\mu.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих условий очевидным образом вытекает, что $\mu=\mathrm{const}$, $r_5(u^0_n-u^0_{n+1})=cu^0_n-cu^0_{n+1}$, где $c$ – некоторая постоянная, $\lambda=cu^0_n$. Далее соберем коэффициенты при $X_1$:
$$
\begin{equation*}
p_4e^{u^{0}_{n+1}}(p_5-p'_5-cu^0_n+cu^0_{n+1})=-cu^0_{n+1}p_4e^{u^0_{n+1}}-\mu p_5.
\end{equation*}
\notag
$$
Приравнивая коэффициенты при $u^0_ne^{u^{0}_{n+1}}$, получаем, что $p_4c=0$. Поскольку $p_4\neq 0$, то $c=0$, т. е. $r_5\equiv 0$. Повторяя приведенные выше рассуждения, заменив оператор $Y_0$ на $Y_1$, а затем на $Y_{-1}$, можно показать, что функции $p_5$ и $q_5$ также равны нулю. Подведем итог вычислениям, приведенным выше, в следующей теореме. Теорема 2. Цепочка вида (1.10), допускающая при любом $N$ интегрируемые по Дарбу редукции вида (1.11), при условии, что $P(\lambda)=\lambda(\lambda-1)$, принадлежит следующему классу цепочек: В равенстве (4.38) постоянные параметры $r_1-r_4$ требуют дальнейшего уточнения. 4.7. Вырожденные обрывы цепочкиДо сих пор мы рассматривали первое и последнее уравнения системы (1.11) вне связи с основным искомым объектом $f$. Теперь воспользуемся тем, что они получаются из цепочки (4.38) в результате наложения вырожденных условий обрыва, согласованных с динамикой, задаваемой цепочкой. Для отыскания вырожденного обрыва мы применим метод, использованный ранее в работе [16]. Посредством замены переменных, заданных формулами при $j\neq N_1+1$ и $j\neq -N_2-1$, а в этих точках заданных как
$$
\begin{equation*}
u^{N_1+1}_n=v^{N_1+1}_n, \qquad u^{-N_2-1}_n=v^{-N_2-1}_n,
\end{equation*}
\notag
$$
кроме того, полагая $x=\varepsilon\tau$, где $N_1$, $N_2$ – неотрицательные целые числа, приведем цепочку (4.38) к некоторому специальному виду. Сначала рассмотрим случай, когда $|N_1-N_2|\geqslant 1$. Тогда цепочка (4.38) перейдет в бесконечную систему уравнений, представленную в виде
$$
\begin{equation}
v^j_{n+1,\tau}=v^j_{n,\tau}+r_1e^{v^{j-1}_{n+1}}+ r_2e^{v^j_{n}}+ r_3e^{v^{j}_{n+1}}+ \varepsilon r_4e^{v^{j+1}_{n}}
\end{equation}
\tag{4.39}
$$
для $j=N_1$ либо $j=-N_2-2$;
$$
\begin{equation}
v^j_{n+1,\tau}=v^j_{n,\tau}+r_1e^{v^{j-1}_{n+1}}+\varepsilon r_2e^{v^j_{n}}+\varepsilon r_3e^{v^{j}_{n+1}}+r_4e^{v^{j+1}_{n}}
\end{equation}
\tag{4.40}
$$
для $j=N_1+1$ либо $j=-N_2-1$;
$$
\begin{equation}
v^j_{n+1,\tau}=v^j_{n,\tau}+\varepsilon r_1e^{v^{j-1}_{n+1}}+r_2e^{v^j_{n}}+ r_3e^{v^{j}_{n+1}}+r_4e^{v^{j+1}_{n}}
\end{equation}
\tag{4.41}
$$
для $j=N_1+2$ либо $j=-N_2$. В точках, отличных от упомянутых выше, цепочка (4.38) переходит в себя:
$$
\begin{equation}
v^j_{n+1,\tau}=v^j_{n,\tau}+r_1e^{v^{j-1}_{n+1}}+r_2e^{v^j_{n}}+ r_3e^{v^{j}_{n+1}}+r_4e^{v^{j+1}_{n}}.
\end{equation}
\tag{4.42}
$$
Положим теперь $\varepsilon=0$ в полученной системе (4.39)–(4.42) и придем к трем не связанным между собой системам уравнений:
Конечная система в представленном списке есть не что иное, как редукция вида (1.11), которая теперь имеет более конкретный вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v^{N_1}_{n+1,\tau}&=v^{N_1}_{n,\tau}+r_1e^{v^{N_1-1}_{n+1}}+r_2e^{v^{N_1}_{n}}+ r_3e^{v^{N_1}_{n+1}},\\ v^j_{n+1,\tau}&=v^j_{n,\tau}+r_1e^{v^{j-1}_{n+1}}+r_2e^{v^j_{n}}+ r_3e^{v^{j}_{n+1}}+r_4e^{v^{j+1}_{n}}, \qquad -N_2+1\leqslant j\leqslant N_1-1,\\ v^{-N_2}_{n+1,\tau}&=v^{-N_2}_{n,\tau}+r_2e^{v^{-N_2}_{n}}+ r_3e^{v^{-N_2}_{n+1}}+r_4e^{v^{-N_2+1}_{n}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь рассмотрим наиболее простой случай, когда $N_1=N_2=0$. При этом преобразованная цепочка немного отличается от (4.39)–(4.42). Опуская детали, приведем только полученное в результате редукции однополевое уравнение:
$$
\begin{equation}
v_{n+1,\tau}=v_{n,\tau}+r_2e^{v_{n}}+ r_3e^{v_{n+1}}.
\end{equation}
\tag{4.43}
$$
В работе [28] было показано (см. также [25]), что уравнение (4.43) является интегрируемым в смысле Дарбу тогда и только тогда, когда выполняется условие $r_2=\pm r_3$. Однако, как было отмечено в замечании 2, случай $r_2=-r_3$ противоречит другим условиям интегрируемости цепочки (4.38). Поэтому параметры цепочки должны удовлетворять условию $r_2=r_3$. В заключение отметим, что задача классификации 3D цепочек вида (1.10) с правой частью вида (4.1) (т. е. задача поиска функции $f$ от четырех переменных) свелась к задаче об отыскании двух констант $k_1$, $k_2$ таких, чтобы система уравнений экспоненциального типа
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v^{N_1}_{n+1,t}&=v^{N_1}_{n,t}+k_1e^{v^{N_1-1}_{n+1}}+e^{v^{N_1}_{n}}+ e^{v^{N_1}_{n+1}},\\ v^j_{n+1,t}&=v^j_{n,t}+k_1e^{v^{j-1}_{n+1}}+e^{v^j_{n}}+ e^{v^{j}_{n+1}}+k_2e^{v^{j+1}_{n}}, \qquad -N_2+1\leqslant j\leqslant N_1-1,\\ v^{-N_2}_{n+1,t}&=v^{-N_2}_{n,t}+e^{v^{-N_2}_{n}}+ e^{v^{-N_2}_{n+1}}+k_2e^{v^{-N_2+1}_{n}} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.44}
$$
была бы интегрируема по Дарбу для любой пары неотрицательных чисел $N_1$, $N_2$. Здесь $t=r_2\tau$, $k_1=r_1/r_2$, $k_2=r_4/r_2$. В работе Смирнова [29] показано, что конечно-полевая система (4.44), где $k_1=k_2=-1$, является интегрируемой в смысле Дарбу для любых $N_1\geqslant0$, $N_2\geqslant0$. При этом цепочка (4.38) сводится к хорошо известной интегрируемой модели – полудискретной цепочке Тоды, найденной в работе [30]:
$$
\begin{equation*}
w^j_{n+1,t}=w^j_{n,t}-e^{w^{j-1}_{n+1}}+e^{w^j_{n}}+ e^{w^{j}_{n+1}}-e^{w^{j+1}_{n}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, этот пример согласован с гипотезой о том, что любая интегрируемая цепочка с тремя независимыми переменными, хотя бы одна из которых является дискретной, допускает иерархию интегрируемых по Дарбу редукций. Вопрос о том, при каких значениях постоянных параметров $k_1$, $k_2$ цепочка
$$
\begin{equation*}
u^j_{n+1,x}=u^j_{n,x}+k_1e^{u^{j-1}_{n+1}}+ e^{u^j_{n}}+ e^{u^{j}_{n+1}}+ k_2e^{u^{j+1}_{n}}
\end{equation*}
\notag
$$
является интегрируемой, остается до конца не выясненным. Полное решение классификационной задачи возможно лишь при использовании других условий интегрируемости, которые связаны с конечномерностью характеристической алгебры по направлению $n$. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KuzHabKha23}
Эта публикация цитируется в следующих 4 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_03@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|