| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Устойчивость стационарного решения с двухмасштабным внутренним переходным слоем системы уравнений типа активатор-ингибитор Н. Т. Левашова, Д. С. Самсонов Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923050082 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ работе исследуются вопросы существования и асимптотической устойчивости по Ляпунову стационарного решения системы уравнений типа реакция-диффузия, резко изменяющегося в области пространства, ширина которой много меньше ширины рассматриваемой области. Такие области называют внутренними переходными слоями. Исследуемая система относится к типу активатор-ингибитор и используется в математических моделях задач биофизики. Условием квазимонотонности называется условие на знаки производных функций в правых частях уравнений по переменной, отвечающей компоненте решения, которая входит в соответствующее уравнение как параметр. Физический смысл этих условий состоит в следующем: активатор усиливает действие ингибитора, а ингибитор ослабляет действие активатора. Задачи для систем уравнений реакция-диффузия возникают, например, при моделировании биофизических процессов, связанных с распространением автоволновых фронтов, в частности, они использовались в модели развития мегаполисов [1], [2]. В указанной модели в роли активатора выступал фронт городской застройки, и рассматривались условия образования города с четкими границами как в случае непрерывных характеристик среды, в которой распространялся фронт, так и в среде с барьерами (разрывными характеристиками). В качестве объектов моделирования были рассмотрены процессы развития отдельных районов Москвы. Численные расчеты проводились в областях прямоугольной формы для однородных граничных условий Неймана. Физически эти условия означают отсутствие влияния внешних источников на процессы внутри расчетной области. Вопрос об обосновании применявшихся моделей до конца так и не был закрыт. Настоящая работа является одним из шагов, ведущих к этому обоснованию. В ней получены условия существования устойчивого стационарного решения с внутренним переходным слоем для одномерного случая при достаточной гладкости функций, описывающих свойства среды. Такая же система уравнений, но с разрывной правой частью была рассмотрена в работе [3]. Доказательство существования и устойчивости решений в настоящей работе основано на методе верхних и нижних решений. Обоснование этого метода для систем с гладкими коэффициентами дано в [4]. Развитие метода верхних и нижних решений, направленное на задачи с внутренними переходными слоями, носит название асимптотического метода дифференциальных неравенств (см. по этой теме работы [5], [6]). Для систем уравнений с гладкими правыми частями этот метод применялся в статье [7], в которой был разобран случай условий квазимонотонности одноименных знаков. 2. Постановка задачиРассмотрим следующую начально-краевую задачу для системы параболических уравнений:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \varepsilon^4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial u}{\partial t}&=f(u,v,x,\varepsilon), \\ \varepsilon^2\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}-\frac{\partial v}{\partial t}&=g(u,v,x,\varepsilon), \end{aligned}\qquad x\in(0;1),\quad t>0; \\ \frac{\partial u}{\partial x}(0,t,\varepsilon)=\frac{\partial u}{\partial x}(1,t,\varepsilon)=0,\quad \frac{\partial v}{\partial x}(0,t,\varepsilon)=\frac{\partial v}{\partial x}(1,t,\varepsilon)=0,\qquad t>0; \\ u(x,0,\varepsilon)=u_{\text{init}},\quad v(x,0,\varepsilon)=v_{\text{init}},\qquad x\in[0,1], \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0]$ – малый параметр, $f$ и $g$ – достаточно гладкие функции в области $(u,v,x,\varepsilon)\in{I_u}\times{I_v}\times[0,1]\times(0,\varepsilon_0]$, а $I_u$ и $I_v$ – некоторые промежутки изменения переменных $u$ и $v$. Требуемый порядок гладкости функций $f$, $g$ связан с порядком строящейся асимптотики. В частности, для построения асимптотического приближения порядка $n$ согласно используемому алгоритму необходимо потребовать принадлежность этих функций классу $C^{n+2}$ в их областях определения. Чтобы у поставленной задачи существовало классическое решение с внутренним переходным слоем, потребуем выполнения следующих условий. Условие A1. Уравнение $f(u,v,x,0)=0$ имеет относительно $u$ ровно три корня $u=\varphi^i (v,x)\in{I_u}$, $i=1,2,3$, удовлетворяющих неравенствам причем при всех $(v,x)\in{I_v}\times[0,1]$ выполняются неравенства $f_u (\varphi^{1,3} (v,x),v,x,0)>0$. Условие A2. Каждое из уравнений $h^i(v,x):=g(\varphi^i(v,x),v,x,0)=0$, $i=1,3$, имеет при каждом $x\in[0,1]$ единственное решение $v=v^i(x)\in {I_v}$, причем для всех $x\in[0,1]$ выполнены неравенства $v^1(x)<v^3(x)$ и $h_v^i (v^i(x),x)>0$, $i=1,3$. Отметим, что при выполнении этого условия для всех $(v,x)\in(v^1,v^3)\times(0;1)$ выполняются неравенства Следующее условие носит название “условие квазимонотонности”. Условие A3. Всюду на множестве $(u,v,x)\in{I_u}\times{I_v}\times[0,1]$ выполняются неравенства $f_v(u,v,x,0)>0$, $g_u(u,v,x,0)<0$. Такие неравенства для производных правых частей уравнений (1) характерны для задач типа активатор-ингибитор. Далее нас будет интересовать устойчивое стационарное решение $(u_\varepsilon(x),v_\varepsilon(x))$ задачи (1) с внутренним переходным слоем, локализованным вблизи некоторой внутренней точки отрезка $[0,1]$, достаточно удаленной от его границ. Эту точку будем обозначать через $x^*$. Если стационарное решение задачи (1) существует, то оно, очевидно, является решением следующей краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon^4\frac{d^2u}{dx^2}=f(u,v,x,\varepsilon),\quad \varepsilon^2\frac{d^2 v}{dx^2}=g(u,v,x,\varepsilon),\qquad x\in(0;1); \\ \frac{du}{dx}\bigg|_{x=0}=\frac{du}{dx}\bigg|_{x=1}=0,\qquad \frac{dv}{dx}\bigg|_{x=0}=\frac{dv}{dx}\bigg|_{x=1}=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2}
$$
Обозначим через $v^*$ значение $v$-компоненты решения задачи (2) в точке $x^*$. Параметры $x^*$ и $v^*$ неизвестны, их приближенное значение будет определено в ходе построения асимптотического приближения. Будем считать, что значения $u$- и $v$-компонент решения связаны с этими параметрами посредством равенств
$$
\begin{equation}
v_\varepsilon(x^*)=v^*,\qquad u_\varepsilon(x^*)=\varphi^2(v^*,x^*).
\end{equation}
\tag{3}
$$
Условие A4. На множестве $(v,x)\in(v^1,v^3)\times(0,1)$ существует единственное решение $(v_0,x_0)$ следующей системы уравнений: Условие A5. Якобиан системы (4) отличен от нуля в точке $(v_0,x_0)$: Для детального описания внутреннего переходного слоя введем в окрестности точки $x^*$ растянутые переменные двух масштабов:
$$
\begin{equation}
\tau=\frac{x-x^*}\varepsilon,\qquad\sigma=\frac{x-x^*}{\varepsilon^2}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Рассмотрим следующие краевые задачи относительно функций $\tilde v^{1,3}(\tau,x^*)$ и $\tilde u(\sigma,x^*)$:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{8} \frac{\partial^2\tilde v^1}{\partial\tau^2}&=h^1(\tilde v^1,x^*),&\quad &\tau\leqslant 0;&\qquad \tilde v^1(0,x^*)&=v^*;&\quad \tilde v^1(\tau,x^*)&\to v^1(x^*),&\quad &\tau\to-\infty; \\ \frac{\partial^2\tilde v^3}{\partial\tau^2}&=h^3(\tilde v^3,x^*),&\quad &\tau\geqslant 0;&\qquad \tilde v^3(0,x^*)&=v^*;&\quad \tilde v^3(\tau,x^*)&\to v^3(x^*),&\quad &\tau\to+\infty. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{6}
$$
Рассмотрим также задачи для функции $\tilde u(\sigma,x^*)$ на полупрямых $\sigma\geqslant 0$ и $\sigma\leqslant 0$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\partial^2\tilde u}{\partial\sigma^2}=f(\tilde u,v^*,x^*,0),\quad \sigma\leqslant 0; \\ \tilde u(0,x^*)=\varphi^{2}(v^*,x^*);\qquad \tilde u(\sigma, x^*)\to\varphi^1(v^*,x^*),\quad \sigma \to-\infty; \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\partial^2\tilde u}{\partial\sigma^2}=f(\tilde u,v^*,x^*,0),\quad \sigma\geqslant 0;\vphantom{|^{\Big|}} \\ \tilde u(0,x^*)=\varphi^{2}(v^*,x^*);\qquad \tilde u(\sigma, x^*)\to\varphi^3(v^*,x^*),\quad \sigma\to+\infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Решение каждой из задач (6) существует для каждой пары параметров $x^*\in(0,1)$, $v^*\in(v^1(x^*),v^3(x^*))$ при выполнении условия A2, а каждой из задач (7) и (8) – при выполнении условия A1 (см. [8], [9]). Тем самым для всех $\sigma\in\mathbb R$ можно определить непрерывную функцию $\tilde u(\sigma,x^*)$. От уравнений второго порядка в (6)–(8) можно перейти к системам уравнений
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\tilde v^{1,3}}{\partial\tau} =\Phi^{(\mp)}, \qquad \frac{\partial\Phi^{(\mp)}}{\partial\tau} =h^{1,3}(\tilde v^{1,3},x^*);
\end{equation}
\tag{9}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\tilde u}{\partial\sigma} =\Psi, \qquad \frac{\partial\Psi}{\partial\sigma} =f(\tilde u,v^*,x^*,0).
\end{equation}
\tag{10}
$$
В силу условия A2 каждая из точек $(v^{1,3}(x^*),0)$ является точкой покоя типа седла соответствующей системы (9) на фазовой плоскости $(\tilde v,\Phi)$, а в силу условия A1 каждая из точек $(\varphi^{1,3}(v^*,x^*),0)$ является точкой покоя типа седла системы (10) на фазовой плоскости $(\tilde u,\Psi)$. Сепаратрисы седел даются выражениями
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi^{(\mp)}(\tilde v,x^*)&=\sqrt{2\int_{v^{1,3}(x^*)}^{\tilde v} h^{1,3}(v,x^*)\,dv}, \\ \Psi^{(\mp)}(\tilde u,v^*,x^*)&=\sqrt{2\int_{\varphi^{1,3}(v^*,x^*)}^{\tilde u} f(u,v^*,x^*,0)\,du}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Как было отмечено ранее, интегралы в правой части выражений для $\Phi^{(\mp)}$ неотрицательны при $\tilde v\in[v^1(x^*),v^3(x^*)]$ в силу условия A2. В свою очередь, в силу условия A1 в выражениях для $\Psi^{(\mp)}$ под корнем стоит неотрицательная величина, если $\tilde u\in[\varphi^1(v^*,x^*),\varphi^{2}(v^*,x^*)]$ для $\Psi^{(-)}$, и если $\tilde u\in[\varphi^{2}(v^*,x^*),\varphi^3(v^*,x^*)]$ для $\Psi^{(+)}$. В силу условия A4 значения функций $\Phi^{(-)}$ и $\Phi^{(+)}$ совпадают в точке $(v_0,x_0)$, а значения функций $\Psi^{(-)}$ и $\Psi^{(+)}$ совпадают в точке $(\varphi^2(v_0,x_0),v_0,x_0)$. Тем самым можно ввести обозначения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi(0)&:=\Phi^{(-)}(v_0,x_0)=\Phi^{(+)}(v_0,x_0), \\ \Psi(0)&:=\Psi^{(-)}(\varphi^2(v_0,x_0),v_0,x_0)=\Psi^{(+)}(\varphi^2(v_0,x_0),v_0,x_0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
Введем обозначения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \nu^{(\mp)}(v,x):=g_v(\varphi^{1,3}(v,x),v,x,0)+\frac{f_v(\varphi^{1,3}(v,x),v,x,0)}{f_u(\varphi^{1,3}(v,x),v,x,0)}g_u(\varphi^{1,3}(v,x),v,x,0), \\ \bar\nu^{(\mp)}(x):=\nu^{(\mp)}(v^{1,3}(x),x). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Условие A7. Пусть функция $\bar\nu^{(-)}(x)$ принимает строго положительные значения при $x\in[0,x_0]$, функция $\bar\nu^{(+)}(x)$ принимает строго положительные значения при $x\in[x_0,1]$, а для функций $\nu^{(\mp)}(v,x)$ справедливы соотношения Доказательство существования и устойчивости стационарного решения проведем с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств. Для этого построим верхнее и нижнее решение задачи (2) как модификации асимптотического приближения ее решения. Последнее ничем не отличается от построенного в работе [7], поэтому здесь кратко приведем основные выкладки. 3. Асимптотическое приближение решения стационарной задачиАсимптотическое представление решения задачи (2) будем строить отдельно слева и справа от точки $x^*$, обозначая верхним индексом $(-)$ асимптотическое приближение на отрезке $[0,x^*]$, а верхним индексом $(+)$ – асимптотическое приближение на отрезке $x\in[x^*,1]$. Эти решения складываются из функций регулярной части, описывающих поведение решения вдали от внутреннего переходного слоя и границ отрезка, и функций переходного и пограничных слоев. Функции переходного слоя и функции пограничных слоев являются двухмасштабными, т. е. состоят из двух слагаемых, зависящих от различных растянутых переменных: переходный слой описывается функциями аргументов $\tau$ и $\sigma$, заданных формулами (5), а пограничные слои – переменными $\zeta_1=x/\varepsilon$, $\xi_1=x/\varepsilon^2$ и $\zeta_2=(1-x)/\varepsilon$, $\xi_2=(1-x)/\varepsilon^2$. Левая и правая части асимптотического приближения, в свою очередь, представляются в виде разложений по степеням $\varepsilon$:
$$
\begin{equation}
U_n=\begin{cases} U^{(-)}_n, & 0\leqslant x\leqslant x^*,\quad\tau\leqslant 0,\quad\sigma\leqslant 0,\quad\zeta_1\geqslant 0,\quad\xi_1\geqslant 0, \\ U^{(+)}_n, & x^*\leqslant x\leqslant 1,\quad\tau\geqslant 0,\quad\sigma\geqslant 0,\quad\zeta_2\geqslant 0,\quad\xi_2\geqslant 0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{14}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U^{(-)}_n&=\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{u}\kern1pt _i^{(-)}(x)+Q_i^{(-)}u(\tau)+M_i^{(-)}u(\sigma)\bigr)+ \sum_{i=0}^{n+1}\varepsilon^iP_i^{(-)}u(\zeta_1)+ \sum_{i=0}^{n+2}\varepsilon^iR_i^{(-)}u(\xi_1), \\ U^{(+)}_n&=\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{u}\kern1pt _i^{(+)}(x)+Q_i^{(+)}u(\tau)+M_i^{(+)}u(\sigma)\bigr)+ \sum_{i=0}^{n+1}\varepsilon^iP_i^{(+)}u(\zeta_2)+ \sum_{i=0}^{n+2}\varepsilon^iR_i^{(+)}u(\xi_2), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
V_n=\begin{cases} V^{(-)}_n, & 0\leqslant x\leqslant x^*,\quad\tau\leqslant 0,\quad\sigma\leqslant 0,\quad\zeta_1\geqslant 0,\quad \xi_1\geqslant 0, \\ V^{(+)}_n, & x^*\leqslant x\leqslant 1,\quad\tau\geqslant 0,\quad\sigma\geqslant 0,\quad\zeta_2\geqslant 0,\quad\xi_2\geqslant 0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{15}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V^{(-)}_n&\!=\!\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{v}\kern1pt _i^{(-)}(x)\,{+}\,Q_i^{(-)}v(\tau)\bigr)\,{+}\!\sum_{i=0}^{n{+}2}\varepsilon^i M_i^{(-)}v(\sigma)\,{+}\! \sum_{i=0}^{n{+}1}\varepsilon^iP_i^{(-)}v(\zeta_1)\,{+}\!\sum_{i=0}^{n{+}2}\varepsilon^iR_i^{(-)}v(\xi_1), \\ V^{({+})}_n&\!=\!\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{v}\kern1pt _i^{({+})}(x)\,{+}\,Q_i^{({+})}v(\tau)\bigr)\,{+}\!\sum_{i=0}^{n{+}2}\varepsilon^i M_i^{({+})}v(\sigma)\,{+}\! \sum_{i=0}^{n{+}1}\varepsilon^iP_i^{({+})}v(\zeta_2)\,{+}\!\sum_{i=0}^{n{+}2}\varepsilon^iR_i^{({+})}v(\xi_2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пары функций $U^{(-)}_n$, $U^{(+)}_n$ и $V^{(-)}_n$, $V^{(+)}_n$ сшиваются непрерывно в точке $x^*$. С учетом равенств (3), а также экспоненциального убывания до нуля пограничных функций вне небольших окрестностей соответствующих граничных точек эти условия записываются как
$$
\begin{equation}
\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{v}\kern1pt _i^{(\mp)}(x^*)+Q_i^{(\mp)}v(0)+M_i^{(\mp)}v(0)\bigr)=v^*+O(\varepsilon^{n+1}),
\end{equation}
\tag{16}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{u}\kern1pt _i^{(\mp)}(x^*)+Q_i^{(\mp)}u(0)+M_i^{(\mp)}u(0)\bigr)=\varphi^2(v^*,x^*)+O(\varepsilon^{n+1}) .
\end{equation}
\tag{17}
$$
Величины $v^*$ и $x^*$ будем представлять в виде сумм
$$
\begin{equation}
x^*=x_0+\varepsilon x_1+\cdots, \qquad v^*=v_0+\varepsilon v_1+\cdots,
\end{equation}
\tag{18}
$$
а коэффициенты $x_k$, $v_k$ определять таким образом, чтобы в точке $x^*$ выполнялись следующие условия сшивания производных левых и правых частей асимптотического приближения:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{i=0}^{n-1}&\varepsilon^i\frac{d \overline{v}\kern1pt _i^{(-)}}{dx}\bigg|_{x=x^*}+ \frac{1}\varepsilon\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\frac{dQ_i^{(-)}v}{d\tau}\bigg|_{\tau=0}+ \frac{1}{\varepsilon^2}\sum_{i=0}^{n+1}\varepsilon^i\frac{dM_i^{(-)}v}{d\sigma}\bigg|_{\sigma=0}= \notag\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}\varepsilon^i\frac{d \overline{v}\kern1pt _i^{(+)}}{dx}\bigg|_{x=x^*}+ \frac{1}\varepsilon\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\frac{dQ_i^{(+)}v}{d\tau}\bigg|_{\tau=0}+ \frac{1}{\varepsilon^2}\sum_{i=0}^{n+1}\varepsilon^i\frac{dM_i^{(+)}v}{d\sigma}\bigg|_{\sigma=0}+O(\varepsilon^n); \notag\\ {} \\ \sum_{i=0}^{n-2}&\varepsilon^i\frac{d \overline{u}\kern1pt _i^{(-)}}{dx}\bigg|_{x=x^*}+ \frac{1}\varepsilon\sum_{i=0}^{n-1}\varepsilon^i\frac{dQ_i^{(-)}u}{d\tau}\bigg|_{\tau=0}+ \frac{1}{\varepsilon^2}\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\frac{d M_i^{(-)}u}{d\sigma}\bigg|_{\sigma=0}= \notag\\ &=\sum_{i=0}^{n-2}\varepsilon^i\frac{d \overline{u}\kern1pt _i^{(+)}}{dx}\bigg|_{x=x^*}+ \frac{1}\varepsilon\sum_{i=0}^{n-1}\varepsilon^i\frac{dQ_i^{(+)}u}{d\tau}\bigg|_{\tau=0}+ \frac{1}{\varepsilon^2}\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\frac{dM_i^{(+)}u}{d\sigma}\bigg|_{\sigma=0}+O(\varepsilon^{n-1}). \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
$$
3.1. Регулярная часть асимптотического представленияГлавные члены $ \overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_0(x)$, $ \overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_0(x)$ регулярной части суть решения вырожденной системы
$$
\begin{equation*}
f( \overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_0(x), \overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_0(x),x,0)=0,\qquad g( \overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_0(x), \overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_0(x),x,0)=0;
\end{equation*}
\notag
$$
они определяются условиями A1 и A2:
$$
\begin{equation*}
\overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_0(x)=\varphi^{1,3}(v^{1,3}(x),x),\qquad \overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_0(x)=v^{1,3}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $ \overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_k(x)$, $ \overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_k(x)$, $k\geqslant 1$, определяются из линейных систем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{f\kern-1pt}\kern1pt ^{(\mp)}_u(x) \overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_k(x)+ \overline{f\kern-1pt}\kern1pt ^{(\mp)}_v(x) \overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_k(x)&= \kern2pt\overline{\vphantom{F}\kern5.6pt}\kern-7.6pt F ^{(\mp)}_k(x), \\ \overline{g\kern-0.5pt}\kern0.5pt ^{(\mp)}_u(x) \overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_k(x)+ \overline{g\kern-0.5pt}\kern0.5pt ^{(\mp)}_v(x) \overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_k(x)&= \kern1.4pt\overline{\vphantom{G}\kern6.2pt}\kern-7.6pt G ^{(\mp)}_k(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь введены обозначения
$$
\begin{equation}
\overline{f\kern-1pt}\kern1pt ^{(\mp)}_u(x):=f_u(\overline{\varphi}^{1,3}(x),v^{1,3}(x),x,0),\qquad\overline{\varphi}^{1,3}(x):=\varphi^{1,3}(v^{1,3}(x),x),
\end{equation}
\tag{20}
$$
и аналогичный смысл имеют функции $ \overline{f\kern-1pt}\kern1pt ^{(\mp)}_v(x)$, $ \overline{g\kern-0.5pt}\kern0.5pt ^{(\mp)}_u(x)$, $ \overline{g\kern-0.5pt}\kern0.5pt ^{(\mp)}_v(x)$, а функции $ \kern2pt\overline{\vphantom{F}\kern5.6pt}\kern-7.6pt F ^{(\mp)}_k(x)$ и $ \kern1.4pt\overline{\vphantom{G}\kern6.2pt}\kern-7.6pt G ^{(\mp)}_k(x)$ в правых частях системы известны на $k$-м шаге и рекуррентно выражаются через $ \overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_i(x)$ и $ \overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_i(x)$ с номерами $i<k$. Эти системы разрешимы в силу условий A1–A3. 3.2. Функции переходного слояУравнения для функций переходного слоя $Q_i^{(\mp)}u(\tau)$, $Q_i^{(\mp)}v(\tau)$ и $M_i^{(\mp)}u(\sigma)$, $M_i^{(\mp)}v(\sigma)$, $i=0,1,\ldots{}$, получаются стандартным способом (см. [10], [7]): путем приравнивания коэффициентов при $\varepsilon^i$ в разложениях Тейлора по степеням $\varepsilon$ обеих частей равенств
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varepsilon^2\frac{d^2}{d\tau^2}\sum_{i=0}^{n-2}\varepsilon^i Q_i^{(\mp)}u&=Q^{(\mp)}f+O(\varepsilon^{n+1}), \\ \frac{d^2}{d\tau^2}\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i Q_i^{(\mp)}v&=Q^{(\mp)}g+O(\varepsilon^{n+1}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{d^2}{d\sigma^2}\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i M_i^{(\mp)}u&=M^{(\mp)}f+O(\varepsilon^{n+1}), \\ \frac{1}{\varepsilon^2}\frac{d^2}{d\sigma^2}\sum_{i=0}^{n+2}\varepsilon^i M_i^{(\mp)}v&=M^{(\mp)}g+O(\varepsilon^{n+1}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
где введены обозначения
$$
\begin{equation}
Q^{(\mp)}f :=f\biggl(\,\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{u}\kern1pt _i^{(\mp)}(\varepsilon\tau+x^*)+Q_i^{(\mp)}u(\tau)\bigr), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern40pt\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{v}\kern1pt _i^{(\mp)}(\varepsilon\tau+x^*)+Q_i^{(\mp)}v(\tau)\bigr),\varepsilon\tau+x^*,\varepsilon\biggr)-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad -f\biggl(\,\sum_{i=0}^{n} \varepsilon^i \overline{u}\kern1pt _i^{(\mp)}(\varepsilon\tau+x^*), \sum_{i=0}^{n} \varepsilon^i \overline{v}\kern1pt _i^{(\mp)}(\varepsilon\tau+x^*),\varepsilon\tau+x^*,\varepsilon\biggr),
\end{equation}
\tag{23}
$$
$$
\begin{equation}
M^{(\mp)}f: =f\biggl(\,\sum_{i=0}^{n} \varepsilon^i\bigl( \overline{u}\kern1pt _i^{(\mp)}(\varepsilon^2\sigma+x^*)+Q_i^{(\mp)}u(\varepsilon\sigma)+M_i^{(\mp)}u(\sigma)\bigr), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern40pt\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{v}\kern1pt _i^{(\mp)}(\varepsilon^2\sigma+x^*)+Q_i^{(\mp)}v(\varepsilon\sigma)\bigr)+ \sum_{i=0}^{n+2} \varepsilon^iM_i^{(\mp)}v(\sigma),\varepsilon^2\sigma+x^*,\varepsilon\biggr)-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad -f\biggl(\,\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{u}\kern1pt _i^{(\mp)}(\varepsilon^2\sigma+x^*)+Q_i^{(\mp)}u(\varepsilon\sigma)\bigr), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern50pt \sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{v}\kern1pt _i^{(\mp)}(\varepsilon^2\sigma+x^*)+Q_i^{(\mp)}v(\varepsilon\sigma)\bigr),\varepsilon^2\sigma+x^*,\varepsilon\biggr).
\end{equation}
\tag{24}
$$
Аналогично определяются функции $Q^{(\mp)}g$ и $M^{(\mp)}g$. Уравнения (21), (22) дополняются краевыми условиями при $\tau=0$ и $\sigma=0$, которые получаются из условий непрерывности (16), (17), и требованием равенства нулю функций переходного слоя на бесконечности, при этом оказывается, что функции $M_0^{(\mp)}v(\sigma)$ и $M_1^{(\mp)}v(\sigma)$ тождественно равны нулю. Из первой пары равенств (21) в нулевом порядке с учетом представлений (23) для функций $Q^{(\mp)}f$ получаем уравнения
$$
\begin{equation*}
f(\overline{\varphi}^{1,3}(x^*)+Q_0^{(\mp)}u(\tau),v^{1,3}(x^*)+Q_0^{(\mp)}v(\tau),x^*,0)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
из которых с учетом условия A1 следуют равенства
$$
\begin{equation*}
\overline{\varphi}^{1,3}(x^*)+Q_0^{(\mp)}u(\tau)=\varphi^{1,3}(v^{1,3}(x^*)+Q_0^{(\mp)}v(\tau),x^*).
\end{equation*}
\notag
$$
Введем обозначения
$$
\begin{equation}
\tilde v^{1,3}(\tau,x^*):=v^{1,3}(x^*)+Q_0^{(\mp)}v(\tau),\qquad \tilde\varphi^{1,3}(\tau,x^*):=\varphi^{1,3}(\tilde v^{1,3}(\tau,x^*),x^*).
\end{equation}
\tag{25}
$$
Задачи для функций $\tilde v^{1,3}(\tau, x^*)$ совпадают с (6). Как говорилось выше, их решения существуют и экспоненциально стремятся к значениям $v^{1,3}(x^*)$ при $\tau\to\mp\infty$ соответственно [8], [9], откуда с учетом равенств (25) для функций $Q_0^{(\mp)}v(\tau)$ получаются оценки где $C$ и $k$ – некоторые положительные числа, не зависящие от $\varepsilon$. Аналогичные оценки имеют место и для функций $Q_0^{(\mp)}u(\tau)$. Функция $M_0^{(-)}u(\sigma)$ определяется как разность $\tilde u(\sigma,x^*)-\varphi^1(v^*,x^*)$, где $\tilde u(\sigma,x^*)$ – решение задачи (7), а $M_0^{(+)}u(\sigma)$ определяется как разность $\tilde u(\sigma,x^*)-\varphi^3(v^*,x^*)$, где $\tilde u(\sigma,x^*)$ – решение задачи (8). Поскольку функция $\tilde u(\sigma,x^*)$ экспоненциально стремится к $\varphi^1(v^*,x^*)$ при $\sigma\to-\infty$ и к $\varphi^3(v^*,x^*)$ при $\sigma\to+\infty$ [8], [9], для функций $M_0^{(\mp)}u(\sigma)$ справедливы оценки Далее будем использовать обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \tilde f_u^{(\mp)}(\tau)=f_u(\tilde\varphi^{1,3}(\tau,x^*),\tilde v^{1,3}(\tau,x^*),x^*,0),\qquad \hat f_u(\sigma)=f_u(\tilde u(\sigma,x^*),v^*,x^*,0), \\ \tilde h_v^{(\mp)}(\tau)=h_v(\tilde v^{1,3}(\tau,x^*),x^*) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и аналогичные обозначения для остальных частных производных функций $f$, $g$ и $h$. Алгоритм построения функций порядка выше нулевого в суммах (14) и (15) такой же, как в работе [7]. Сначала определяются функции $M_k^{(\mp)}v(\sigma)$ из задач
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2}{\partial\sigma^2}M_k^{(\mp)}v(\sigma)=M_k^{(\mp)}g(\sigma),\qquad \sigma\in\mathbb R^{\mp},\quad M_k^{(\mp)}v(\mp\infty)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $M_k^{(\mp)}g(\sigma)$ – известные на $k$-м шаге функции, которые экспоненциально убывают до нуля соответственно при $\sigma\to\mp\infty$ по построению [7]. Как отмечалось ранее, $M_1^{(\mp)}v(\sigma)=0$. Далее из первой пары равенств (21) в порядке $\varepsilon^k$ получаем соотношение, связывающее функции $Q_k^{(\mp)}u(\tau)$ и $Q_k^{(\mp)}v(\tau)$:
$$
\begin{equation}
\overline{u}\kern1pt _k^{(\mp)}(x^*)+Q_k^{(\mp)}u(\tau)=\tilde\varphi^{1,3}_v(\tau,x^*)\bigl( \overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_k(x^*)+Q_k^{(\mp)}v(\tau)\bigr)+q_k^{(\mp)}f(\tau,x^*),
\end{equation}
\tag{28}
$$
где $q_k^{(\mp)}f(\tau,x^*)$ – известные на $k$-м шаге функции. С использованием равенств вида (28) и второй пары уравнений (21) можно получить задачи для функций $Q_k^{(\mp)}v(\tau)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\partial^2}{\partial\tau^2}Q_k^{(\mp)}v(\tau)=\tilde h_v^{(\mp)}(\tau)Q_k^{(\mp)}v(\tau)+H_k^{(\mp)}(\tau,x^*),\quad \tau\in\mathbb{R}^{\mp}; \\ Q_k^{(\mp)}v(0)=- \overline{v}\kern1pt _k^{(\mp)}(x^*)- M_k^{(\mp)}v(0),\qquad Q_k^{(\mp)}v(\mp\infty)=0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $H_k^{(\mp)}(\tau,x^*)$ – известные на $k$-м шаге функции. Наконец, из первой пары уравнений (22) получаем задачи для функций $M_k^{(\mp)}u(\sigma)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\partial^2}{\partial\sigma^2}M_k^{(\mp)}u(\sigma)=\hat f_u(\sigma)M_k^{(\mp)}u(\sigma)+F_k^{(\mp)}(\sigma,x^*),\quad\sigma\in\mathbb{R}^{\mp}; \\ M_k^{(\mp)}u(0)=- \overline{u}\kern1pt _k^{(\mp)}(x^*)-Q_k^{(\mp)}u(0),\qquad M_k^{(\mp)}u(\mp\infty)=0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $F_k^{(\mp)}(\sigma,x^*)$ – известные на $k$-м шаге функции. Отметим, что для функций $M_k^{(\mp)}v(\sigma)$, $Q_k^{(\mp)}v(\tau)$, $M_k^{(\mp)}u(\sigma)$, $Q_k^{(\mp)}u(\tau)$, $k=1,2,\ldots{}$, имеют место экспоненциальные оценки типа (26) и (27). Из условий сшивания производных (19) с учетом представлений (18) получаем системы уравнений для определения коэффициентов $v_k$, $x_k$. Система для $v_0$, $x_0$ совпадает с системой из условия A4. При $k\geqslant 1$ эти коэффициенты определяются из линейных систем с отличным от нуля в силу условия A5 определителем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v_k\frac{\partial J_0v}{\partial v}\bigg|_{\substack{v=v_0,\\ x=x_0\;}}+ x_k\frac{\partial J_0v}{\partial x}\bigg|_{\substack{v=v_0,\\ x=x_0\;}}+S_k=0, \\ v_k\frac{\partial J_0u}{\partial v}\bigg|_{\substack{v=v_0,\\ x=x_0\;}}+ x_k\frac{\partial J_0u}{\partial x}\bigg|_{\substack{v=v_0,\\ x=x_0\;}}+T_k=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $S_k$, $T_k$ – известные числа. 3.3. Функции пограничных слоевПроцесс построения пограничных функций для задачи (2) описан в работе [11]. 3.4. Асимптотическое приближение $n$-го порядкаОпределим коэффициенты разложений (18) до номера $n$ включительно. Составим суммы $\hat v_n$, $X_n$ и введем растянутые переменные $\tau_n$, $\sigma_n$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\hat v_n=\sum_{i=0}^{n}{\varepsilon^i v_i},\quad X_n=\sum_{i=0}^{n}{\varepsilon^ix_i},\qquad \tau_n=\frac{x-X_n}\varepsilon,\quad \sigma_n=\frac{x-X_n}{\varepsilon^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим все функции, входящие в следующие суммы:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, U_n^{(\mp)}&= \sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_i(x)+Q^{(\mp)}_i u(\tau_n)+M^{(\mp)}_i u(\sigma_n)\bigr)+{} \\ &\quad +\sum_{i=0}^{n+1}\varepsilon^i P^{(\mp)}_iu(\zeta_{1,2}) +\sum_{i=0}^{n+2}\varepsilon^i R^{(\mp)}_iu(\xi_{1,2}), \\ V_n^{(\mp)}&= \sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_i(x)+Q^{(\mp)}_iv(\tau_n)\bigr)+{} \\ &\quad +\sum_{i=0}^{n+2} \varepsilon^i\bigl(M^{(\mp)}_iv(\sigma_n)+R^{(\mp)}_iv(\xi_{1,2})\bigr) +\sum_{i=0}^{n+1} \varepsilon^i P^{(\mp)}_iv(\zeta_{1,2}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
В суммах (29) параметр $x^*$, входящий в $Q$- и $M$-функции (23), (24), заменен на $X_n$. Положим
$$
\begin{equation*}
U_n(x,\varepsilon)=\begin{cases} U^{(-)}_n, & x\in[0;X_n], \\ U^{(+)}_n, & x\in[X_n;1]; \end{cases}\qquad V_n(x,\varepsilon)=\begin{cases} V^{(-)}_n, & x\in[0;X_n], \\ V^{(+)}_n, & x\in[X_n;1].\end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $U_n$ и $V_n$ по построению удовлетворяют граничным условиям задачи (2) с точностью $O(\varepsilon^{n+1})$ и с той же точностью – уравнениям (2) всюду на отрезке $[0,1]$, за исключением точки $X_n$. Нашей дальнейшей целью будет доказательство существования классического решения $(u_\varepsilon(x),v_\varepsilon(x))$ задачи (2), для которого пара функций $(U_n,V_n)$ является равномерным асимптотическим приближением, а также устойчивости этого решения как стационарного решения задачи (1). Для доказательства мы будем использовать метод верхних и нижних решений [4], [3]. Последние будем строить как модификации асимптотического приближения, используя асимптотический метод дифференциальных неравенств [6], [7], [3], [12]. 4. Верхнее и нижнее решенияВерхнее и нижнее решения задачи (2) будем строить как модификации асимптотического приближения порядка $n+1$. Введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
X_{n+1}=\sum_{i=0}^{n+1}\varepsilon^{i}x_i,\qquad \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt =X_{n+1}- \varepsilon^{n+1}\delta,\quad \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt =X_{n+1}+\varepsilon^{n+1}\delta,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta$ – константа, которую уточним ниже. Согласно определениям, данным в [4], [3], [12], под верхним и нижним решениями задачи (2) мы будем понимать пары функций $ \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, $, $ \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, $ и $ \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, $, $ \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, $, непрерывных всюду на отрезке $[0,1]$ и дважды непрерывно дифференцируемых почти всюду на этом отрезке, за исключением, быть может, точек $X_{n+1}$ (для $ \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, $ и $ \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, $ ), $ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt $ (для $ \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, $) и $ \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt $ (для $ \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, $ ); кроме того, для верхнего и нижнего решений должны выполняться следующие условия:
$$
\begin{equation}
\underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, \leqslant \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ,\quad \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, \leqslant \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ,\qquad x\in[0,1];
\end{equation}
\tag{$1^\circ$}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varepsilon^4 \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ''- f( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, , \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ,x,\varepsilon)=:{}&L_u( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, , \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, \,)\leqslant 0,\qquad x\in(0,1)\backslash \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ,\vphantom{|^{\Big|}} \\ &L_u( \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, , \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, )\geqslant 0,\qquad \,x\in(0,1)\backslash \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt , \\ \varepsilon^2 \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ''- g( \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, , \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ,x,\varepsilon)=:{}&L_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, , \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, )\leqslant 0\leqslant L_v( \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, , \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, \,),\qquad x\in(0,1)\backslash X_{n+1}; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{$2^\circ$}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \frac{d \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, }{dx}\bigg|_{x=0}&\leqslant 0\leqslant\frac{d \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, }{dx}\bigg|_{x=0},&\qquad \frac{d \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, }{dx}\bigg|_{x=0}&\leqslant 0\leqslant\frac{d \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, }{dx}\bigg|_{x=0},\vphantom{|^{\bigg|}} \\ \frac{d \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, }{dx}\bigg|_{x=1}&\leqslant 0\leqslant\frac{d \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, }{dx}\bigg|_{x=1},&\qquad \frac{d \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, }{dx}\bigg|_{x=1}&\leqslant 0\leqslant\frac{d \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, }{dx}\bigg|_{x=1}; \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{$3^\circ$}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \frac{d \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, }{dx}\bigg|_{ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt -0}-\frac{d \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, }{dx}\bigg|_{ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt +0}&\geqslant 0,&\qquad \frac{d \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, }{dx}\bigg|_{X_{n+1}-0}-\frac{d \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, }{dx}\bigg|_{X_{n+1}+0}&\geqslant 0,\vphantom{|^{\bigg|}} \\ \frac{d \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, }{dx}\bigg|_{ \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt -0}-\frac{d \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, }{dx}\bigg|_{ \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt +0}&\leqslant 0,&\qquad \frac{d \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, }{dx}\bigg|_{X_{n+1}-0}-\frac{d \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, }{dx}\bigg|_{X_{n+1}+0}&\leqslant 0. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{$4^\circ$}
$$
4.1. Построение верхнего и нижнего решенийВерхнее и нижнее решения строятся как модификации асимптотического приближения $(n+1)$-го порядка. Далее будем считать, что $n\geqslant 3$. Введем растянутые переменные
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt =\frac{x- \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt }\varepsilon,\quad \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt =\frac{x- \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt }{\varepsilon^2},\qquad \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt =\frac{x- \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt }\varepsilon,\quad \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt =\frac{x- \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt }{\varepsilon^2}, \\ \tau_{n+1}=\frac{x-X_{n+1}}\varepsilon,\qquad \sigma_{n+1}=\frac{x-X_{n+1}}{\varepsilon^2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Также введем функции $ \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}$, $ \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}$ и $ \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}$, $ \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )&=U^{(\mp)}_{n+1}\big|_{ \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt }- \varepsilon^{n-1}\delta\Psi^{(\mp)}(\tilde u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ),\hat v_{n+1}, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )-{} \\ &\quad-\varepsilon^n\delta\tilde\varphi^{1,3}_v( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )\Phi^{(\mp)}(\tilde v^{1,3}( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ), \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )+ \varepsilon^{n+1}\alpha^{(\mp)}(x)+\varepsilon^{n+1}q_{n+1}^{(\mp)}u( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )+{} \end{aligned}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\quad+\sum_{i=n}^{n+1}\varepsilon^{i}m_i^{(\mp)}u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )+\varepsilon^{n+2} \overline{\vphantom{\Omega}\kern6.6pt}\kern-6.6pt\Omega ^{(\mp)}_u+ \varepsilon^{n+3}\widetilde R^{(\mp)}_{n+3}u({\xi_{1,2}}), \\ \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt )&=U^{(\mp)}_{n+1}\big|_{ \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt }+ \varepsilon^{n-1}\delta\Psi^{(\mp)}(\tilde u( \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ),\hat v_{n+1}, \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt )+{} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\kern65pt+\varepsilon^n\delta\tilde\varphi^{1,3}_v( \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt )\Phi^{(\mp)}(\tilde v^{1,3}( \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ), \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt )- \varepsilon^{n+1}\alpha^{(\mp)}(x)-\varepsilon^{n+1}q_{n+1}^{(\mp)}u( \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )-{} \\ &\kern65pt-\sum_{i=n}^{n+1}\varepsilon^i m_i^{(\mp)}u( \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt )+ \varepsilon^{n+2}\underline\Omega^{(\mp)}_u-\varepsilon^{n+3}\widetilde R^{(\mp)}_{n+3}u({\xi_{1,2}}), \end{aligned}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1})&=V^{(\mp)}_{n+1}+\varepsilon^{n+1}\beta^{(\mp)}(x)+ \varepsilon^{n+1} q_{n+1}^{(\mp)}v (\tau_{n+1})+{} \\ &\quad+\sum_{i=n+2}^{n+3}\varepsilon^im_i^{(\mp)}v(\sigma_{n+1})+\varepsilon^{n+2} \overline{\vphantom{\Omega}\kern6.6pt}\kern-6.6pt\Omega ^{(\mp)}_v+ \varepsilon^{n+2}\widetilde P^{(\mp)}_{n+2}v({\zeta_{1,2}}), \\ \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1})&=V^{(\mp)}_{n+1}-\varepsilon^{n+1}\beta^{(\mp)}(x)- \varepsilon^{n+1} q_{n+1}^{(\mp)}v (\tau_{n+1})-{} \\ &\quad-\sum_{i=n+2}^{n+3}\varepsilon^i m_i^{(\mp)}v (\sigma_{n+1})+\varepsilon^{n+2}\underline\Omega^{(\mp)}_v- \varepsilon^{n+2}\widetilde P^{(\mp)}_{n+2}v({\zeta_{1,2}}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{31}
$$
В этих формулах через $U^{(\mp)}_{n+1}|_{ \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt }$, $U^{(\mp)}_{n+1}|_{ \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt }$ обозначены асимптотические представления $(n+1)$-го порядка, в которых переменные $\tau_{n+1}$, $\sigma_{n+1}$ заменены соответственно на $ \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt $, $ \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt $ и $ \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt $, $ \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt $; функции $\Phi^{(\mp)}$ и $\Psi^{(\mp)}$ определены выражениями (11). К асимптотическим представлениям добавлены слагаемые $\alpha^{(\mp)}$, $\beta^{(\mp)}$, обеспечивающие выполнение условий $(1^\circ)$ и $(2^\circ)$ вдали от концов отрезка $[0,1]$ и достаточно малой окрестности точки $x=X_{n+1}$, а также слагаемые $m_i^{(\mp)}u$ (для $i=n,\,n+1$), $q_{n+1}^{(\mp)}u$, $q_{n+1}^{(\mp)}v $ и $m_i^{(\mp)}v$ (для $i=n+2,\,n+3$), устраняющие невязки порядка $O(\varepsilon^n)$ и $O(\varepsilon^{n+1})$. Эти невязки возникают в окрестности точки $x=X_{n+1}$ в выражениях для $L_u$ и $L_v$ из-за того, что в эти выражения входят функции, зависящие от различных растянутых переменных, а также из-за включения дополнительных слагаемых, не входящих в асимптотическое представление. Кроме того, добавлены пограничные функции, зависящие от переменных $\xi_{1,2}$ и $\zeta_{1,2}$, обеспечивающие выполнение условий $(3^\circ)$. Процесс построения этих функций описан в [11]. Будем сшивать функции $ \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}$, $ \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}$ и $ \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}$, $ \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}$ непрерывным образом так, чтобы выполнялись равенства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(-)}(X_{n+1},0,0)&= \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(+)}(X_{n+1},0,0)=\hat v_{n+1}+\varepsilon^{n+1}\mu, \\ \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(-)}(X_{n+1},0,0)&= \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(+)}(X_{n+1},0,0)=\hat v_{n+1}- \varepsilon^{n+1}\mu, \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(-)}( \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ,0,0)&= \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(+)}( \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ,0,0)=\varphi^2(\hat v_{n+1}, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )-\varepsilon^{n-1}\delta\Psi(0)+\varepsilon^n\gamma_n, \\ \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(-)}( \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ,0,0)&= \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(+)}( \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ,0,0)=\varphi^2(\hat v_{n+1}, \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt )+ \varepsilon^{n-1}\delta\Psi(0)-\varepsilon^n\gamma_n. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{32}
$$
Здесь $\hat v_{n+1}=v_0+\cdots+\varepsilon^{n+1}v_{n+1}$, величина $\Psi(0)$ определена в (12), $\mu$ – положительное число, $\gamma_n$ – константа, которая выбирается далее вместе с $\delta$ так, чтобы были выполнены условия $(1^\circ)$ и $(4^\circ)$. Все слагаемые порядка не выше $\varepsilon^{n+1}$, входящие в пары функций $ \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}$, $ \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}$, $ \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}$ и $ \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}$, сшиваются непрерывно. Чтобы устранить скачки в точках сшивания более высокого порядка, в суммы (30), (31) добавлены константы $\varepsilon^{n+2} \overline{\vphantom{\Omega}\kern6.6pt}\kern-6.6pt\Omega ^{(\mp)}_u$, $\varepsilon^{n+2}\underline\Omega^{(\mp)}_u$, $\varepsilon^{n+2} \overline{\vphantom{\Omega}\kern6.6pt}\kern-6.6pt\Omega ^{(\mp)}_v$, $\varepsilon^{n+2}\underline\Omega^{(\mp)}_v$. Составим непрерывные функции
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, (x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )&=\begin{cases} \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(-)}, & x\in{[0; \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ]}, \\ \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(+)}, & x\in{[ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ;1]}; \end{cases} &\quad\; \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, (x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1})&=\begin{cases} \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(-)}, & x\in{[0;X_{n+1}]}, \\ \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(+)}, & x\in{[X_{n+1};1]}; \end{cases} \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{33}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, (x, \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt )&=\begin{cases} \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(-)}, & x\in{[0; \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ]}, \\ \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(+)}, & x\in{[ \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ;1]}; \end{cases}&\quad\; \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, (x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1})&=\begin{cases} \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(-)}, & x\in{[0;X_{n+1}]}, \\ \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(+)}, & x\in{[X_{n+1};1]}.\end{cases} \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{34}
$$
Покажем теперь, каким образом следует определить функции $\alpha^{(\mp)}$, $\beta^{(\mp)}$, $q_{n+1}^{(\mp)}u$ и $m_i^{(\mp)}u$ (для $i=n,n+1$), $q_{n+1}^{(\mp)}v$, и $m_i^{(\mp)}v$ (для $i=n+2,n+3$), чтобы для пар функций $( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, , \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, )$ и $( \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, , \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, )$ выполнялись условия $(1^\circ)$–$(4^\circ)$. Приведем рассуждения для верхнего решения; для нижнего они будут аналогичными. Неравенства
$$
\begin{equation*}
L_u( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, (x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ), \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, (x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}))<0\quad\text{и}\quad L_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, (x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ), \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, (x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}))<0
\end{equation*}
\notag
$$
из условия $(2^\circ)$ будем рассматривать отдельно на каждом из отрезках $[0, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ]$, $[ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ,1]$ и на каждом из отрезков $[0,X_{n+1}]$, $[X_{n+1},1]$ соответственно. Заметим, что в силу непрерывности функции $ \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, $ в точке $ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt $ и условия сшивания производных (19) (с заменой $n$ на $n+1$) для всех $x\in[ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ,X_{n+1}]$, $\bar \tau\in[0,\varepsilon^n\delta]$, $ \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt \in[0,\varepsilon^{n-1}\delta]$ выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(-)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )= \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(+)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )+O(\varepsilon^{2n+1}),
\end{equation*}
\notag
$$
и аналогичные соотношения связывают пары функций $ \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(-)},\, \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(+)}$ и $ \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(-)}$, $ \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(+)}$ при $x\in[ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ,X_{n+1}]$. В выражениях для $L_u( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ), \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}))$ перейдем к переменным $ \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt $, $ \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt $, а в выражениях для $L_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ), \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}))$ – к переменным $\tau_{n+1}$, $\sigma_{n+1}$. В результате перепишем условия $(2^\circ)$ для верхнего решения в виде условия
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L_u&( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ), \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}))= \notag\\ &=\varepsilon^4\frac{d^2 \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}}{dx^2}- f( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ), \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ),x,\varepsilon)-{} \notag\\ &\quad-f_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ), \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ),x,\varepsilon)\times{} \notag\\ &\qquad\quad\times\bigl(-\varepsilon^n\delta\Phi^{(\mp)}(\tilde v( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ), \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )- \varepsilon^{n+1}\delta(Q_{1\tau}^{(\mp)}v( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )+ M_{2\sigma}^{(\mp)}v( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )-Q^{(\mp)}_{0x^*}v( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt ))\bigr)+{} \notag\\ &\quad+O(\varepsilon^{n+2})<0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{35}
$$
которое выполняется при $0\leqslant x\leqslant \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt $, $\tau\leqslant0$, $\sigma\leqslant 0$ для функций с верхним индексом $(-)$ и при $ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt \leqslant x\leqslant 1$, $\tau\geqslant 0$, $\sigma\geqslant 0$ для функций с верхним индексом $(+)$, и условия
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L_v&( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ), \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}))= \notag\\ &=\varepsilon^2 \frac{d^2 \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(-)}}{dx^2}- g( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}), \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}),x,\varepsilon)-{} \notag\\ &\quad-g_u( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}), \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}),x,\varepsilon)\times{} \notag\\ &\qquad\quad\times\biggl(\varepsilon^{n-1}\delta\Psi^{(\mp)}(\tilde u(\sigma_{n+1},X_{n+1}),\hat v_{n+1},X_{n+1})+{} \notag\\ &\qquad\qquad\quad+\varepsilon^n\delta \tilde\varphi^{1,3}_v (\tau_{n+1},X_{n+1})\Phi^{(\mp)}(\tilde v^{1,3}(\tau_{n+1},X_{n+1}),X_{n+1})+{} \notag\\ &\qquad\qquad\quad+\varepsilon^{n-1}\delta\sum_{i=1}^{2}\varepsilon^{i} M_{i\sigma}^{(\mp)}u(\sigma_{n+1})+{} \notag\\ &\qquad\qquad\quad+\varepsilon^{n+1}\delta( Q_{1\tau}^{(\mp)}u(\tau_{n+1})- Q_{0x^*}^{(\mp)}u(\tau_{n+1})- M^{(\mp)}_{0x^*}u(\sigma_{n+1}))\biggr)+{} \notag\\ &\quad+O(\varepsilon^{n+2})<0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{36}
$$
которое выполняется при $0\leqslant x\leqslant X_{n+1}$, $\tau_{n+1}\leqslant 0$, $\sigma_{n+1}\leqslant 0$ для функций с верхним индексом $(-)$ и при $X_{n+1}\leqslant x\leqslant 1$, $\tau_{n+1}\geqslant 0$, $\sigma_{n+1}\geqslant 0$ для функций с верхним индексом $(+)$. Отметим, что слагаемые $-\varepsilon^{n-1}\delta\Psi^{(\mp)}(\tilde u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ),\hat v_{n+1}, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )$, входящие в функции $ \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}$, компенсируют невязку порядка $O(\varepsilon^{n-1})$ в выражениях для $L_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}, \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)})$, а слагаемые $-\varepsilon^n\delta \tilde\varphi^{1,3}_v ( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )\Phi^{(\mp)}(\tilde v^{1,3}( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ), \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )$ в выражениях для $L_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}, \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)})$ компенсируют невязку порядка $O(\varepsilon^n)$, возникающую за счет перехода к одной “медленной” растянутой переменной $\tau_{n+1}$. В свою очередь, эти слагаемые вносят невязки порядка $O(\varepsilon^n)$ в выражение для $L_u( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}, \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)})$ в той области переходного слоя, в которой существенную роль играют функции, зависящие от “быстрой” растянутой переменной $ \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt $. Можно показать, что эти невязки будут устранены, если определить функции $m_n^{(\mp)}u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )$ как решения уравнений
$$
\begin{equation*}
\biggl[\frac{\partial^2}{\partial \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ^2}-\hat f_u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )\biggr] (m_n^{(\mp)}u +\delta M^{(\mp)}_{1 \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt }u)=0,\qquad \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt \in\mathbb{R}^{(\mp)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Убывающие соответственно при $ \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt \to\mp\infty$ решения этих уравнений с условиями
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, m_n^{(\mp)}u(0)&-\delta(\tilde\varphi^{1,3}_v (0,x_0)\Phi(0)+{} \\ &+\Psi^{(\mp)}_x(\varphi^2(v_0,x_0),v_0,x_0)x_1+\Psi^{(\mp)}_v(\varphi^2(v_0,x_0),v_0,x_0)v_1)=\gamma_n, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которые следуют из (32), имеют вид
$$
\begin{equation*}
m_n^{(\mp)}u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )=\gamma\frac{\Psi^{(\mp)}(\tilde u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ),\hat v_{n+1}, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )}{\Psi^{(\mp)}(\tilde u(0, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ),\hat v_{n+1}, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )}- \delta M^{(\mp)}_{1 \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt }u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь введено обозначение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \gamma&:=\gamma_n+\delta (\tilde\varphi^{1,3}_v (0,x_0)\Phi(0)+{} \notag\\ &\quad +\Psi^{(\mp)}_x(\varphi^2(v_0,x_0),v_0,x_0)x_1+\Psi^{(\mp)}_v(\varphi^2(v_0,x_0),v_0,x_0)v_1+M^{(\mp)}_{1 \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt }u(0)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
Равенство величин $\gamma$ для слагаемых с верхними индексами $(-)$ и $(+)$ следует из условия сшивания производных (19) в первом порядке (здесь $x_1$, $v_1$ – коэффициенты разложения (18), а обозначение $\Phi(0)$ введено в (12)). Заметим, что для любого значения $\delta$ можно подобрать величину $\gamma_n$ таким образом, чтобы выполнялось неравенство $\gamma>0$. Функции $m_{n+2}^{(\mp)}v(\sigma_{n+1})$ устраняют невязки порядка $O(\varepsilon^n)$, вносимые функциями $m_n^{(\mp)}u$ в $L_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}, \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)})$, а также невязки, возникающие в этом выражении в результате перехода к растянутой переменной $\sigma_{n+1}$. Определим эти функции как решения задач
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 m_{n+2}^{(\mp)}v}{\partial\sigma_{n+1}^2}= \hat g_u(\sigma_{n+1})\bigl(m_n^{(\mp)}u+\delta M^{(\mp)}_{1\sigma}u(\sigma_{n+1})\bigr), \quad\sigma_{n+1}\in\mathbb{R}^{\mp},\qquad m_{n+2}^{(\mp)}v(\mp\infty)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим функции $\alpha^{(\mp)}(x)$, $\beta^{(\mp)}(x)$, входящие в верхнее и нижнее решения, из систем уравнений
$$
\begin{equation}
\overline{f\kern-1pt}\kern1pt _u^{(\mp)}(x)\alpha^{(\mp)}- \overline{f\kern-1pt}\kern1pt _v^{(\mp)}(x)\beta^{(\mp)}=C,\qquad \overline{g\kern-0.5pt}\kern0.5pt _u^{(\mp)}(x)\alpha^{(\mp)}+ \overline{g\kern-0.5pt}\kern0.5pt _v^{(\mp)}(x)\beta^{(\mp)}=D,
\end{equation}
\tag{38}
$$
где $C$ и $D$ – положительные числа и использованы обозначения (20). При выполнении условия A7 функции $\alpha^{(\mp)}(x)$ и $\beta^{(\mp)}(x)$ принимают строго положительные значения соответственно на отрезках $[0,x_0]$ и $[x_0,1]$ (см. [12]). Чтобы устранить невязки порядка $O(\varepsilon^{n+1})$, зависящие от растянутой переменной $ \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt $, а также невязки, которые вносят слагаемые $\alpha^{(\mp)}(x)$ и $\beta^{(\mp)}(x)$ в выражение для $L_u( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}, \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)})$, потребуем, чтобы функции $q^{(\mp)}_{n+1}u( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )$ и $q^{(\mp)}_{n+1}v( \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )$ были связаны посредством равенств
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tilde f_u^{(\mp)}( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt ) \bigl(\alpha^{(\mp)}(x_0)&{}+q^{(\mp)}_{n+1}u( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )+\delta[Q_{1\tau}^{(\mp)}u( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )-Q_{0x^*}^{(\mp)}u( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )]\bigr)-{} \notag\\ &-\tilde f_v^{(\mp)}\bigl(\beta^{(\mp)}(x_0)+q^{(\mp)}_{n+1}v( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )\bigr)-C=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{39}
$$
Уравнения для функций $q^{(\mp)}_{n+1}v(\tau_{n+1})$ составим таким образом, чтобы устранить невязки порядка $O(\varepsilon^{n+1})$ в выражении (36) для $L_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}, \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)})$, зависящие от растянутой переменной $\tau_{n+1}.$ Воспользуемся выражениями для функций $q^{(\mp)}_{n+1}u( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )$, полученными из равенств (39), поскольку возникающие при этом невязки будут иметь порядок $ \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt -\tau_{n+1}=O(\varepsilon^n)$. Наконец, определим функции $q^{(\mp)}_{n+1}v(\tau_{n+1})$ как решения задач
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \frac{\partial^2q^{(\mp)}_{n+1}v}{\partial\tau_{n+1}^2}= \tilde\nu^{(\mp)}(\tau_{n+1})q^{(\mp)}_{n+1}v(\tau_{n+1})&+\tilde\nu^{(\mp)}(\tau_{n+1})\beta^{(\mp)}(x_0)+{} \\ &+C\frac{\tilde g_u^{(\mp)}(\tau_{n+1})}{\tilde f_u^{(\mp)}(\tau_{n+1})}-D-de^{-\kappa\tau_{n+1}},\quad \tau_{n+1}\in\mathbb{R}^{\mp}; \end{aligned}\\ q^{(\mp)}_{n+1}v(0)=\mu-\beta^{(\mp)}(x_0),\qquad q^{(\mp)}_{n+1}v(\mp\infty)=0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где функции $\tilde\nu^{(\mp)}(\tau_{n+1})$ заданы в (13), $d$ и $\kappa$ – положительные константы, которые можно выбрать так, чтобы неоднородности в правых частях уравнения принимали строго отрицательные значения соответственно на полупрямых $\tau_{n+1}\leqslant 0$ и $\tau_{n+1}\geqslant 0$. Заметим также, что эти неоднородности экспоненциально убывают до нуля при $\tau_{n+1}\to\mp\infty$ соответственно. Явные выражения для $q^{(\mp)}_{n+1}v(\tau_{n+1})$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q^{(\mp)}_{n+1}v(\tau_{n+1})&=\mu W^{(\mp)}(\tau_{n+1})+{} \\ &\quad+W^{(\mp)}(\tau_{n+1})\int_0^{\tau_{n+1}}\frac{d\tau_1}{[W^{(\mp)}(\tau_1)]^2}\times{} \\ &\qquad\times\int_{\mp\infty}^{\tau_1}W^{(\mp)}(\tau_2) \biggl(\tilde\nu^{(\mp)}(\tau_{n+1})\beta^{(\mp)}(x_0)+C\frac{\tilde g_u^{(\mp)}(\tau_2)}{\tilde f_u^{(\mp)}(\tau_2)}-D-de^{-\kappa\tau_2}\biggr)d\tau_2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $W^{(\mp)}(\tau_{n+1})$ – решения задач
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\partial^2 W^{(\mp)}}{\partial\tau_{n+1}^2}(\tau_{n+1})-\tilde\nu^{(\mp)}(\tau_{n+1})W^{(\mp)}(\tau_{n+1})=0,\quad\tau_{n+1}\in\mathbb{R}^{\mp}, \\ W^{(\mp)}(0)=1,\qquad W^{(\mp)}(\mp\infty)=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [3] доказана лемма, что при выполнении условия A7 функции $W^{(\mp)}(\tau_{n+1})$ строго положительны соответственно на полупрямых $\tau_{n+1}\leqslant 0$ и $\tau_{n+1}>0$, кроме того, выполняются неравенства
$$
\begin{equation}
\frac{dW^{(-)}}{d\tau_{n+1}}(0)>0,\qquad \frac{dW^{(+)}}{d\tau_{n+1}}(0)<0.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Функции $q^{(\mp)}_{n+1}u( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )$ экспоненциально убывают соответственно при $\tau_{n+1}\to\mp\infty$ и при указанном выборе констант $d$ и $\kappa$ принимают строго положительные значения соответственно при $\tau_{n+1}\leqslant 0$ и $\tau_{n+1}\geqslant0$. Функции $m_{n+1}^{(\mp)}u$ устраняют невязки порядка $O(\varepsilon^{n+1})$ в выражении (35) для $L_u( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}, \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)})$, зависящие от растянутой переменной $ \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt $. Они определяются как решения задач
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, &\biggl[\frac{\partial^2}{\partial \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ^2}-\hat f_u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )\biggr] \biggl(m_{n+1}^{(\mp)}u+\frac{\gamma}{\Psi(0)}\frac{\partial M_1^{(\mp)}u}{\partial \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt }- \delta\frac{\partial M_2^{(\mp)}u}{\partial \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt }\biggr)= \\ &\quad =F_{2n-2}( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )-C\biggl(1-\frac{\hat f_u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )}{\tilde f_u(0)}\biggr){-} \biggl(\mu+\gamma\frac{\Phi(0)}{\Psi(0)}-\delta\tilde{v}_x(0, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )\biggr) \bigl(\hat f_u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )\tilde\varphi^{1,3}_v(0, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )+\hat f_v( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )\bigr)\,+ \\ &\kern204pt +\delta\bigl(\hat f_u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )\tilde\varphi^{1,3}_x(0, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )+\hat f_x( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )\bigr),\quad \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt \in\mathbb{R}^{\mp}; \end{aligned}\\ m_{n+1}^{(\mp)}u(0)=-\alpha^{(\mp)}(x_0)-q_{n+1}^{(\mp)}u (0)+D^{(\mp)},\qquad m_{n+1}^{(\mp)}u(\mp\infty)=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь использованы обозначения (12), функция $F_{2n-2}$ задается как
$$
\begin{equation*}
F_{2n-2}=\begin{cases}\dfrac{1}{2}\hat f_{uu}\delta^2(\Psi^{(\mp)})^2, & n=3, \\ 0, & n>3, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
а через $D^{(\mp)}$ обозначены невязки порядка $O(\varepsilon^{n+1})$ в граничных условиях (32), вносимые функциями $\varepsilon^{n-1}\delta\Psi^{(\mp)}$ и $\varepsilon^n\delta \tilde\varphi^{1,3}_v\Phi^{(\mp)}$. Наконец, определим функции $m_{n+3}^{(\mp)}v(\sigma_{n+1})$ как решения задач
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2m_{n+3}^{(\mp)}v}{\partial \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ^2}=m_{n+1}^{(\mp)}g(\sigma_{n+1}),\quad \sigma_{n+1}\in\mathbb{R}^{\mp},\qquad m_{n+3}^{(\mp)}v(\mp\infty)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $m_{n+1}^{(\mp)}g$ – известные функции, содержащие невязки порядка $O(\varepsilon^{n+1})$ в выражении (36) для $L_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}, \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)})$, зависящие от растянутой переменной $\sigma_{n+1}$. Эти функции экспоненциально убывают до нуля соответственно при $\sigma_{n+1}\to\mp\infty$. Покажем, что построенные указанным способом функции (30), (31) удовлетворяют условиям $(1^\circ)$–$(4^\circ)$ определения верхних и нижних решений. 4.2. Проверка выполнения условий $(1^\circ)$–$(4^\circ)$В предыдущем пункте мы построили пары функций $( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, , \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, )$ и $( \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, , \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, )$, для которых справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_u( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, , \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, )&=-\varepsilon^{n+1}C+O(\varepsilon^{n+2}), \\ L_u( \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, , \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, )&=\varepsilon^{n+1}C+O(\varepsilon^{n+2}); \\ L_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, , \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, )&=-\varepsilon^{n+1}(D+de^{-\kappa\tau_{n+1}})+O(\varepsilon^{n+2}), \\ L_v( \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, , \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, )&=\varepsilon^{n+1}(D+de^{-\kappa\tau_{n+1}})+O(\varepsilon^{n+2}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $C$ и $D$ – положительные константы в правых частях уравнений (38). Правые части равенств положительны, тем самым условия $(2^\circ)$ выполнены. Выполнение условия $(3^\circ)$ следует из тех же соображений, что в работе [11]. Проверим справедливость условия $(1^\circ)$ упорядоченности верхнего и нижнего решений. Упорядоченность $V$-компонент следует из положительности константы $\mu$ и функций $q^{(\mp)}_{n+1}v(\tau_{n+1})$ (при $\tau_{n+1}\leqslant 0$ и $\tau_{n+1}\geqslant 0$ соответственно). Рассмотрим разность $U$-компонент верхнего и нижнего решений на отрезке $[ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ]$. Заметим, что взаимное расположение точек $ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt $ и $ \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt $ зависит от знака $\delta$. В случае положительного $\delta$ эта разность записывается как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, - \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, &= \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(+)}- \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(-)}= \\ &=\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i \bigl( \overline{u}\kern1pt _i^{(+)}(x)- \overline{u}\kern1pt _i^{(-)}(x)+Q_i^{(+)}u( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )- Q_i^{(-)}u( \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )+M_i^{(+)}u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )- M_i^{(-)}u( \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt )\bigr)\,- \\ &\quad-\varepsilon^{n-1}\delta(\Psi^{(+)}(\tilde u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ),\hat v_{n+1}, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )+ \Psi^{(-)}(\tilde u( \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ),\hat v_{n+1}, \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ))-{} \\ &\quad-\varepsilon^n\delta\bigl(\tilde\varphi^3_v ( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )\Phi^{(+)}(\tilde v^3( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ), \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )+ \tilde\varphi^1_v ( \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt )\Phi^{(-)}(\tilde v^1( \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ), \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt )\bigr)+{} \\ &\quad+\varepsilon^n\bigl(m_n^{(+)}u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )+m_i^{(-)}u( \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt )\bigr)+O(\varepsilon^{n+1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу непрерывности асимптотического приближения $U_{n+1}$ в точке $X_{n+1}$ и условия сшивания производных (19) в порядках $\varepsilon^{-2}$ и $\varepsilon^{-1}$ (см. также комментарий после формулы (37)), принимая во внимание явный вид функций $m_n^{(+)}u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )$, можно получить следующее выражение для разности $ \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, - \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, $ на рассматриваемом отрезке:
$$
\begin{equation*}
\,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(+)}- \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(-)}=2\varepsilon^n\gamma+O(\varepsilon^{n+1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Правая часть этого выражения положительна при достаточно малых $\varepsilon$ за счет выбора величины $\gamma>0$. Упорядоченность $U$-компонент верхнего и нижнего решений вне отрезка $[ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ]$ доказывается аналогично работе [7]. Для скачков производных верхнего решения в точках сшивания можно получить равенства вида
$$
\begin{equation*}
\varepsilon\biggl(\frac{d \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(-)}}{dx}-\frac{d \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(+)}}{dx}\biggr)\bigg|_{x=X_{n+1}}=\varepsilon^{n+1}A_1,\qquad \varepsilon^2\biggl(\frac{d \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(-)}}{dx}-\frac{d \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(+)}}{dx}\biggr)\bigg|_{x= \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt }=\varepsilon^{n+1}B_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A_1&=\mu\biggl(\frac{\partial W^{(-)}}{\partial\tau_{n+1}}-\frac{\partial W^{(+)}}{\partial\tau_{n+1}}\biggr)\bigg|_{\tau_{n+1}=0}- \gamma\frac{1}{\Psi(0)}\frac{\partial J_0v}{\partial v}(v_0,x_0)+A_2, \\ B_1&=\biggl({-\delta}\frac{\partial J_0v}{\partial x}(v_0,x_0)\biggl(\frac{\partial J_0v}{\partial v}(v_0,x_0)\biggr)^{\!-1}- \mu-\gamma\frac{\Phi(0)}{\Psi(0)}\biggr)\frac{1}{\Psi(0)}\frac{\partial J_0u}{\partial v}(v_0,x_0)+B_2 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{41}
$$
и $A_2$, $B_2$ – величины, не зависящие от $\mu$, $\gamma$ и $\delta$. В силу неравенств (40) величина $A_1$ может быть сделана положительной за счет выбора достаточно большого положительного значения $\mu$. Согласно условию A6 можно выбрать величину $\delta$ так, чтобы первое слагаемое в (41) было достаточно большим и положительным для выполнения неравенства $B_1>0$. Тем самым условие $(4^\circ)$ для верхнего решения окажется выполненным. При тех же значениях $\mu$ и $\delta$ будет выполнено также неравенство $(4^\circ)$ для нижнего решения. 5. Существование, локальная единственность и асимптотическая устойчивость стационарного решенияТеорема 1. При выполнении условий A1–A7 при достаточно малом $\varepsilon>0$ существует решение $u_\varepsilon(x)$, $v_\varepsilon(x)$ задачи (2), для которого функции $U_n(x,\varepsilon)$, $V_n(x,\varepsilon)$ являются равномерным на $[0,1]$ асимптотическим приближением с точностью порядка $O(\varepsilon^{n+1})$. Доказательство. Согласно асимптотическому методу дифференциальных неравенств [5], [6] построенные верхнее и нижнее решения гарантируют существование решения $u_\varepsilon(x)$, $v_\varepsilon(x)$ задачи (2), удовлетворяющего неравенствам:
$$
\begin{equation*}
\underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, (x,\varepsilon)\leqslant u_\varepsilon(x) \leqslant \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, (x,\varepsilon),\quad \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, (x,\varepsilon)\leqslant v_\varepsilon(x) \leqslant \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, (x,\varepsilon),\qquad x\in[0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $ \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, (x,\varepsilon)- \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, (x,\varepsilon)=O(\varepsilon^n)$ и $ \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, (x,\varepsilon)- \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, (x,\varepsilon)=O(\varepsilon^{n+1})$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_\varepsilon(x)&= \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, (x,\varepsilon)+O(\varepsilon^n)=U_{n-1}(x,\varepsilon)+O(\varepsilon^n), \\ v_\varepsilon(x)&= \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, (x,\varepsilon)+O(\varepsilon^{n+1})=V_{n-1}(x,\varepsilon)+O(\varepsilon^n). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заменяя $n$ на $n+1$, получаем утверждение теоремы. Теорема 2. Пусть выполняются условия A1–A7, тогда при достаточно малом $\varepsilon>0$ стационарное решение $(u_\varepsilon(x),v_\varepsilon(x))$ задачи (1) локально единственно как решение задачи (2) и асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова c областью притяжения не меньше $[ \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, , \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ]\times[ \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, , \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ]$, где функции $ \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, $, $ \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, $, $ \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, $, $ \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, $ определены выражениями (33), (34), (30), (31) при $n=3$. Доказательство этой теоремы проводится по стандартной схеме (см. например, [6]). Построим верхнее и нижнее решения задачи (1) в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat U(x,t,\varepsilon)=\begin{cases} \widehat U^{(-)}(x,t,\varepsilon), & x\in[0, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ], \\ \widehat U^{(+)}(x,t,\varepsilon), & x\in[ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ,1]; \end{cases}\qquad \widetilde U(x,t,\varepsilon)=\begin{cases} \widetilde U^{(-)}(x,t,\varepsilon), & x\in[0, \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ], \\ \widetilde U^{(+)}(x,t,\varepsilon), & x\in[ \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ,1], \end{cases}\\ \begin{aligned} \, \widehat U^{(\mp)}(x,t,\varepsilon)&=u_\varepsilon(x)+ \bigl( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\varepsilon)-u_\varepsilon(x)\bigr)e^{-\lambda\varepsilon^2t}, \\ \widetilde U^{(\mp)}(x,t,\varepsilon)&=u_\varepsilon(x)+ \bigl( \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\varepsilon)-u_\varepsilon(x)\bigr)e^{-\lambda\varepsilon^2t}. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $\widehat V(x,t,\varepsilon)$, $\widetilde V(x,t,\varepsilon)$ имеют схожий вид. 6. ПримерВ качестве примера рассмотрим систему уравнений, представленную в работе [1] в качестве одномерной модели развития городской среды:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \varepsilon^4\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\varepsilon^2\frac{\partial u}{\partial t}&=u(u-a(x))(u-1)+uv, \\ \varepsilon^2\frac{\partial^2v}{\partial x^2}-\varepsilon^2\frac{\partial v}{\partial t}&=v-bu, \end{aligned}\quad x\in(0;1),\quad t\in(0;T]; \\ u_x(0,t,\varepsilon)=u_x(1,t,\varepsilon)=v_x(0,t,\varepsilon)=v_x(1,t,\varepsilon)=0,\qquad t\in(0;T], \\ u(x,0)=u_{\text{init}}(x),\qquad v(x,0)=v_{\text{init}}(x),\quad x\in[0,1]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{42}
$$
Здесь $b$ – положительная константа из интервала $(0,1/2)$, $a(x)$ – достаточно гладкая функция, связанная с $b$ посредством неравенства При выполнении этого неравенства уравнение $ (u-a(x))(u-1)+uv=0$ имеет три вещественных корня относительно $u$:
$$
\begin{equation*}
\varphi^1=0,\qquad \varphi^{2,3}(v,x)=\frac{1}{2}\bigl(a(x)+1\mp\sqrt{(a(x)-1)^2-4v}\,\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $h^{1,3}(v,x)$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
h^1=v,\qquad h^3(v,x)=v-\frac{b}{2}\bigl(a(x)+1+\sqrt{(a(x)-1)^2-4v}\,\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Решениями уравнений $h^{1,3}=0$ являются соответственно функции
$$
\begin{equation*}
v^1=0,\qquad v^3(x)=\frac{b}{2}\bigl(a(x)+1-b\bigr)+b\sqrt{(a(x)+1-b)^2-4a}.
\end{equation*}
\notag
$$
Величины $v_0$, $x_0$ определяются из системы уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_0v& :=\frac{1}{2}(v^3(x_0))^2+\biggl[b\bigl(a(x_0)+1\bigr)v-\frac{b}{12}\bigl((a(x_0)-1)^2-4v\bigr)^{3/2}\biggr]\bigg|_{v^3(x_0)}^{v_0}=0, \\ J_0u&:=\frac{1}{6}(\varphi^3(v_0,x_0))^2\biggl(\varphi^{2}(v_0,x_0)-\frac{\varphi^3(v_0,x_0)}{2}\biggr)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из второго уравнения можно получить выражение Подставим его в уравнение $J_0v=0$ и получим уравнение, разрешимое относительно $x_0$ при выполнении условия которое также обеспечивает выполнение неравенства $\frac{\partial J_0v}{\partial x}(x_0,v_0)\neq 0$ из условия A6. Тем самым неравенства (43) и (44) можно считать условиями применимости модели, при выполнении которых задача (42) имеет устойчивое стационарное решение с внутренним переходным слоем.
7. ЗаключениеВ работе представлен алгоритм построения верхнего и нижнего решений для системы уравнений, применявшейся в модели развития мегаполисов. Хотя результаты по применению этой модели опубликованы [1], [2], до сих пор не существовало обоснования того, что у данной задачи существует решение с внутренним переходным слоем. Это было связано с большими трудностями, возникающими при построении верхнего и нижнего решений для специфических условий квазимонотонности, естественным образом возникающих в модели типа активатор-ингибитор. В настоящей работе предложен алгоритм построения верхнего и нижнего решений в этом случае. С небольшими модификациями этот алгоритм можно применять для систем с другими условиями квазимонотонности. Также исследование может быть распространено на системы параболических уравнений или многомерный случай. Результаты работы можно использовать для постановки обратных задач, связанных с внутренними переходными слоями [13], [14]. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LevSam23} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|