Гай-Хуа Ван, “Многосолитонные решения двухкомпонентного уравнения Камассы–Холма и его редукций”, ТМФ, 214:3 (2023), 359–386; Theoret. and Math. Phys., 214:3 (2023), 308

Теоретическая и математическая физика

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2023, том 214, номер 3, страницы 359–386
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10366 (Mi tmf10366)

Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)

Многосолитонные решения двухкомпонентного уравнения Камассы–Холма и его редукций

Гай-Хуа Ван

School of Mathematics and Physics, Nanjing Institute of Technology, Nanjing, China

PDF полного текста (1120 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (2)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10366

Аннотация: Анализируются преобразования Беклунда для интегрируемого двухкомпонентного уравнения Камассы–Холма (2КХ), в которые входят как зависимые, так и независимые переменные. Получена формула нелинейной суперпозиции для построения многосолитонного, многопетлевого и многокинкового решений уравнения 2КХ. Предъявлены решения уравнения Камассы–Холма, двухкомпонентного уравнения Хантера–Сакстона (2ХС) и уравнения Хантера–Сакстона, все они возникают из решений уравнения 2КХ. В частности, с помощью перехода к соответствующему пределу решение уравнения 2ХС можно успешно получить из решения уравнения 2КХ, это показано методом преобразования Беклунда. Путем анализа решения получены солитонное и петлевое решения уравнения 2ХС.

Ключевые слова: двухкомпонентное уравнение Камассы–Холма, двухкомпонентное уравнение Хантера–Сакстона, преобразование Беклунда, солитон, редукция.

Финансовая поддержка	Номер гранта
National Natural Science Foundation of China	11905110 12001560
Работа поддержана National Natural Science Foundation of China (гранты № 11905110 и № 12001560).

Поступило в редакцию: 12.09.2022
После доработки: 21.10.2022

Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 3, Pages 308–333
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923030029

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

PACS: 02.30.Ik, 02.30.Jr

1. Введение

В данной работе рассматривается двухкомпонентное уравнение Камассы–Холма (уравнение 2КХ). Оно имеет вид

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &m_t+um_x+2mu_x-\rho\rho_x=0, \\ &\rho_t+(u\rho)_x=0, \end{aligned} \end{equation} \tag{1}$

где

$m=u-u_{xx}+\kappa$ ,

$u,\rho$ – функции от

$x,t$ , а

$\kappa$ считается неотрицательным вещественным числом. Впервые это уравнение было предложено в работе [1] (и независимо в работе [2]). У этого уравнения есть пара Лакса [3] и бигамильтонова структура [1], которые являются важными атрибутами интегрируемых систем. Таким образом, это уравнение полностью интегрируемо. При

$\rho=0$ уравнение (1) сводится к уравнению Камассы–Холма, которое является известным уравнением волн на мелкой воде и описывает однонаправленное распространение волн над плоским дном. Это уравнение получено из физических соображений Камассой и Холмом [4] (а также выведено из физических принципов Фокасом [5]). Оно имеет вид

$\begin{equation} m_t+um_x+2mu_x=0. \end{equation} \tag{2}$

На самом деле уравнение Камассы–Холма впервые появилось в работе [6] и всесторонне подробно исследовалось (см., например, [7]–[19]). При замене в уравнении (1)

$\rho\rho_x$ на

$-\rho\rho_x$ оно превращается в похожую систему, а именно в другое двухкомпонентное уравнение Камассы–Холма (обозначим его КХ2), которое впервые появилось в работе [20], где оно было выведено в рамках три-гамильтоновой дуальности. Оба уравнения 2КХ и КХ2 считаются двухкомпонентными обобщениями уравнения Камассы–Холма (КХ) и привлекают большое внимание (см., например, [10], [21]–[38] и ссылки в этих работах). В частности, в работе [27] установлена связь между уравнением 2КХ (1) и отрицательными потоками иерархии АКНС и получены пиконы и многокинковые решения. Затем в работе [28] была найдена более простая связь между уравнением 2КХ и первым отрицательным потоком иерархии АКНС, а затем применено преобразование Дарбу для нахождения солитонных решений этого уравнения при

$n\leqslant 4$ . Кроме того, путем масштабирования переменных

$\begin{equation} u=\epsilon^2\bar{u},\quad \rho=\epsilon \bar{\rho}, \quad m=\bar{m},\quad x=\epsilon \bar{x},\quad t=\frac{\bar{t}}{\epsilon} \end{equation} \tag{3}$

уравнение (1) переходит в двухкомпонентное уравнение Хантера–Сакстона (уравнение 2ХС) при

$\epsilon\to 0$ . Его можно записать в виде

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\bar{m}_{\bar{t}}+\bar{u}\bar{m}_{\bar{x}}+2\bar{m}\bar{u}_{\bar{x}}-\bar{\rho}\bar{\rho}_{\bar x}=0,\\ &\bar {\rho}_{\bar {t}}+(\bar {u}\bar {\rho})_{\bar {x}}=0, \end{aligned} \end{equation} \tag{4}$

где

$\bar{m}=-\bar{u}_{\bar{x}\bar{x}}+\kappa$ , что отличается от

$m$ в уравнении (1). Уравнение 2ХС – еще одна редукция уравнения 2КХ, оно является коротковолновым пределом уравнения 2КХ. Более того, уравнение 2ХС является частным случаем системы Гуревича–Зыбина [39], а его математические свойства подробно изучались во многих работах (см. [40]–[47] и ссылки в этих работах). Кроме того, при

$\bar{\rho}=0$ уравнение 2ХС переходит в уравнение Хантера–Сакстона (ХС)

$\begin{equation} \bar{u}_{\bar{x}\bar{x}\bar{t}}-2 \kappa \bar{u}_{\bar{x}}+\bar{u}\bar{u}_{\bar{x}\bar{x}\bar{x}}+2\bar{u}_{\bar{x}}\bar{u}_{\bar{x}\bar{x}}=0. \end{equation} \tag{5}$

Впервые уравнение ХС было предложено Хантером и Сакстоном в качестве модели для изучения нелинейной неустойчивости в поле директора нематического жидкого кристалла [48], его также считают коротковолновым пределом уравнения КХ.

Уравнение 2КХ и указанные выше его редукции полностью интегрируемы. Кроме того, уравнения 2КХ и 2ХС можно описать с помощью одной и той же пары Лакса

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \Psi_{xx}&=\biggl(\frac{\mu}{4}-\lambda m+\lambda^2\rho^2\biggr)\Psi,\\ \Psi_t&=-\biggl(\frac{1}{2\lambda}+u\biggr)\Psi_x+\frac{1}{2}u_x\Psi, \end{aligned} \end{equation} \tag{6}$

где

$\lambda$ – спектральный параметр,

$m=\kappa+\mu u-u_{xx}$ . Уравнение (6) является парой Лакса для уравнения 2КХ при

$\mu=1$ , а при

$\mu=0$ – парой Лакса для уравнения 2ХС. Система (6) сводится к спектральной задаче для уравнения КХ при

$\rho=0$ . Мы знаем, что преобразование Дарбу–Беклунда уравнения КХ, основанное на паре Лакса, отличается от стандартных. Расин и Шифф [13] исследовали преобразование Беклунда уравнения КХ, применяя преобразование взаимности, и использовали его для построения различных решений. Позже большое количество уравнений было исследовано методом преобразования Беклунда [49]–[52]. Под влиянием этих примеров мы также рассмотрим преобразование Беклунда для уравнений 2КХ и 2ХС, применяя соответствующим образом метод, указанный в работе [13]. Мы увидим, что уравнения КХ, 2ХС и ХС возникают из уравнения 2КХ при различных редукциях, что побуждает нас попытаться найти решения этих трех уравнений непосредственно из решения уравнения 2КХ с помощью метода преобразования Беклунда.

Целью работы является построение преобразования Беклунда уравнения 2КХ и его использование для построения некоторых решений. Затем мы применяем другие редукции для нахождения решений уравнений КХ, 2ХС и ХС. Мацуно развивает систематический метод построения многосолитонных решений уравнения КХ2 методом билинейных преобразований [53], [54] и применяет в работе [11] редукцию для получения многосолитонных решений уравнений КХ и 2ХС из решений уравнения КХ2 путем преобразования переменных, связывающего $x,t,y,\tau$ . В настоящей работе предлагается другой способ представления решений уравнения 2КХ и его редукций с помощью метода преобразования Беклунда. Анализируя решения уравнения 2КХ, мы получили различные решения, включая солитоны, кинки и петлевые решения. Более того, нетрудно получить решение уравнения КХ из решения уравнения 2КХ просто с помощью затравочного решения $\rho_0=0$ (ср. с решением в работе [11]). Предложенный Мацуно метод сведения уравнения 2КХ к уравнению 2ХС путем редукций позволяет получать решения уравнения 2ХС из решений уравнения 2КХ с помощью метода преобразования Беклунда путем масштабирования переменных и перехода к соответствующему пределу при $\kappa \neq 0$ .

Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы напоминаем преобразование взаимности уравнения 2КХ и преобразуем уравнение 2КХ в ассоциированное уравнение 2КХ. Затем с помощью преобразования взаимности и преобразования Беклунда для ассоциированного уравнения 2КХ получим преобразование Беклунда для уравнения 2КХ. На основе теоремы Бьянки предложена формула нелинейной суперпозиции для построения двухволнового решения. В разделе 3 исходя из затравочного решения $\rho=\rho_0$ , $u=u_0$ получаем многосолитонное, многопетлевое и многокинковое решения уравнения 2КХ при $\kappa=0$ и $\kappa \ne 0$ . Далее, переопределив затравочное решение $\rho_0=0$ , получаем солитонное решение и каспон уравнения КХ. В разделе 4 мы провели соответствующее преобразование переменных при $\kappa\ne 0$ и выполнили нужный предельный переход с целью получения решений уравнений 2ХС и ХС из решений уравнения 2КХ.

2. Преобразование Беклунда и формула нелинейной суперпозиции для уравнения 2КХ

В данном разделе мы строим преобразование Беклунда и формулу нелинейной суперпозиции для уравнения 2КХ. Для этого сначала напомним преобразование взаимности для уравнения 2КХ [27], [11]. Во втором уравнении (1), которое представляет собой закон сохранения, проведем преобразование взаимности $(x,t)\to (y,\tau)$ следующим образом:

$\begin{equation} dy=\rho\, dx-\rho u\,dt,\qquad d\tau=dt. \end{equation} \tag{7}$

Таким образом, справедливы соотношения

$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial x}=\rho\frac{\partial}{\partial y},\qquad \frac{\partial}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial\tau}-\rho u\frac{\partial}{\partial y} \end{equation} \tag{8}$

$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial y}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x},\qquad \frac{\partial}{\partial \tau}=u\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial t}. \end{equation} \tag{9}$

Под действием преобразования (8) уравнение 2КХ (1) преобразуется в уравнение относительно (

$y,\tau$ ), которое можно назвать ассоциированным уравнением 2КХ. Его можно представить в виде

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\rho_{y}-\biggl(\frac{m}{\rho^2}\biggr)_{\tau}=0,\\ &\rho_{\tau}+\rho^2u_{y}=0, \end{aligned} \end{equation} \tag{10}$

где

$m=u+\rho(\ln\rho)_{y\tau}+\kappa$ . Линейная спектральная задача (6) для уравнения 2КХ также изменяется и становится уравнением относительно (

$y, \tau$ ) благодаря преобразованию (8). Осуществив деформацию, получим пару Лакса ассоциированного уравнения 2КХ

$\begin{equation} \Phi_y=U\Phi,\qquad \Phi_\tau=V\Phi, \end{equation} \tag{11}$

где

$\begin{equation*} U=\begin{pmatrix} \lambda&\dfrac{1}{\rho}\\ -\biggl(\dfrac{m}{\rho}+\rho_{y}\biggr)\lambda+\dfrac{1}{4\rho}&-\lambda \end{pmatrix},\qquad V=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}\rho(u_{y}-1)&-\dfrac{1}{2\lambda}\\\dfrac{1}{2}u+\dfrac{1}{2}\kappa-\dfrac{1}{8\lambda}&-\dfrac{1}{2}\rho(u_{y}-1) \end{pmatrix} \end{equation*} \notag$

$\Phi=(\phi_1,\phi_{2})^\mathrm{T}$ . Отсюда получаем (10) с условием совместности

$\Phi_{y\tau}=\Phi_{\tau y}$ . Таким образом, преобразование Дарбу основано на системе (11). Начнем с элементарной матрицы

$T$ такой, что

$\begin{equation*} \hat{\Phi}=T\Phi,\qquad T=\lambda F+G,\qquad F=(f_{ij})_{2\times2}, \qquad G=(g_{ij})_{2\times2}, \end{equation*} \notag$

$\hat{\Phi}$ удовлетворяет уравнениям

$\begin{equation*} \hat{\Phi}_y=\hat{U}\hat{\Phi},\qquad \hat{\Phi}_\tau=\hat{V}\hat{\Phi}, \end{equation*} \notag$

где

$\hat{\Phi}=(\hat{\phi}_1,\hat{\phi}_{2})^\mathrm{T}$ , а выражения для

$\hat{U},\hat{V}$ такие же, как и для

$U$ ,

$V$ , с подстановкой

$\hat{m}$ ,

$\hat{\rho}$ ,

$\hat{u}$ вместо

$m$ ,

$\rho$ ,

$u$ . После прямых вычислений найдем матрицы

$F$ и

$G$ , в которых

$f_{11}=b(y,\tau)$ ,

$g_{21}=a(y,\tau)$ , в следующем виде:

$\begin{equation*} F=\begin{pmatrix}b&0\\ \dfrac{b}{2}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{\alpha}{4a}& \dfrac{1}{b}\end{pmatrix}, \qquad G=\begin{pmatrix}2a&4a\\a&2a\end{pmatrix}. \end{equation*} \notag$

Продолжив анализ, получим связь между

$b$ и

$a$ :

$\begin{equation*} b=4a(\rho-\rho u_{y}-u-\kappa)-\frac{\alpha}{4a}, \end{equation*} \notag$

где

$\alpha$ служит соответствующим параметром Беклунда. Кроме того, получим также преобразование Беклунда для ассоциированного уравнения 2КХ в виде

$\begin{equation} \hat{\rho} =\frac{\rho}{1+\rho (\ln |\eta|)_{y}}, \end{equation} \tag{12}$

$\begin{equation} \hat{u} =u+(\ln |\eta|)_{\tau}, \end{equation} \tag{13}$

где

$\eta=a^2$ и удовлетворяет уравнениям

$\begin{equation} \eta_{y} =\frac{16}{\rho}((\rho u_{y}+u+\kappa)^2-\rho^2)\eta^2+\frac{1}{\rho}(2\alpha\rho u_{y}+2\alpha(u+\kappa)-1)\eta+\frac{\alpha^2}{16\rho}, \end{equation} \tag{14}$

$\begin{equation} \eta_{\tau} =\frac{8}{\alpha}(\rho^2-(u+\kappa)^2+2\rho u_{y\tau}-\rho^2u_{y}^2+2u_{\tau})\eta^2-\biggl(u+\kappa-\frac{1}{2\alpha}\biggr)\eta-\frac{\alpha}{32}. \end{equation} \tag{15}$

Таким образом, с помощью преобразования взаимности и преобразования Беклунда (12)–(15) для ассоциированного уравнения 2КХ мы получили связь между

$\hat{\rho}$ ,

$\hat{u}$ и

$\rho$ ,

$u$ на плоскости

$(x,t)$ в виде

$\begin{equation} \hat{\rho} =\frac{\rho}{16((u+\kappa+u_x)^2-\rho^2)\eta+2\alpha (u_x+u+\kappa)+\alpha^2/16\eta}, \end{equation} \tag{16}$

$\begin{equation} \hat{u} =\frac{8}{\alpha}(\rho^2-(u+\kappa)^2+u_x^2+2(uu_x+uu_{xx}+(u+u_x)_t))\eta+\frac{1}{2\alpha}-\frac{\alpha}{32\eta}-\kappa, \end{equation} \tag{17}$

где

$\begin{equation} \eta_x={}16((u+\kappa+u_x)^2-\rho^2)\eta^2+(2\alpha(u+\kappa+ u_x)-1)\eta+\frac{\alpha^2}{16}, \end{equation} \tag{18}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \eta_t={}&8\biggl((\rho^2-(u+\kappa)^2-u_x(u_x+2u+2\kappa))\biggl(2u+\frac{1}{\alpha}\biggr)+\frac{2}{\alpha}[(u^2+\kappa u+uu_x)_x+{} \nonumber \\ &+(u+u_x)_t]\biggr)\eta^2-\biggl(2\alpha u(u+\kappa+u_x)+\kappa-\frac{1}{2\alpha}\biggr)\eta-\frac{\alpha (1+2\alpha u)}{32}. \end{aligned} \end{equation} \tag{19}$

Заметим, что независимая переменная $x$ в уравнении 2КХ также изменяется под воздействием преобразования Дарбу. Поэтому, чтобы получить преобразование Беклунда для уравнения 2КХ, нужно найти связь между $\hat{x}$ и $x$ . Из преобразования взаимности (7) получим

$\begin{equation*} d\hat{x}-dx=\biggl(\frac{1}{\hat{\rho}}-\frac{1}{\rho}\biggr)dy+(\hat{u}-u)d\tau=d(\ln |\eta|), \end{equation*} \notag$

что означает

$\begin{equation} \hat{x}=x+\ln|\eta|+c_0, \end{equation} \tag{20}$

где

$c_0$ – константа интегрирования. Таким образом получим преобразование Беклунда для уравнения 2КХ, а именно (16), (17), (20), при этом

$\eta$ является решением уравнений (18), (19).

Далее построим формулу нелинейной суперпозиции и двухволновое решение для уравнения 2КХ. Чтобы унифицировать стиль изложения, поясним и будем использовать обозначения, аналогичные обозначениям в нашей предыдущей работе [49]: решения $u$ (или $\rho$ ) уравнения 2КХ – решения, полученные с помощью преобразования Беклунда с параметрами $\alpha$ и $\beta$ , будем обозначать $u_1$ (или $\rho_1$ ) и $u_2$ (или $\rho_2$ ), а решения уравнений (19), (20), соответствующие этим параметрам $\alpha$ и $\beta$ , обозначим $a_1(\eta_1)$ и $a_{2}(\eta_{2})$ соответственно. Тогда на основе определения $a_1(\nu_1)$ (или $a_2(\nu_2)$ ), делая преобразование Беклунда снова с параметром $\beta$ (или $\alpha$ ), будем обозначать решения уравнения (18), (19) через $a_{12}(\nu_{12})$ (или $a_{21}(\nu_{21})$ ). Окончательные полевые переменные обозначим $u_{12}$ и $u_{21}$ . Согласно перестановочной теореме Бьянки имеем соотношение $T(a_{12},\beta)T(a_1,\alpha)=T(a_{21},\alpha)T(a_{2},\beta)$ , которое можно решить:

$\begin{equation} \eta_{12}=\frac{(\alpha\eta_{2}-\beta\eta_1)(u+\kappa-\rho+u_x)\eta_{2}}{16\eta_1\eta_{2}(u+\kappa-\rho+u_x)(s_{2}-s_1)+\beta\eta_1s_{2}-\alpha\eta_{2}s_1}, \end{equation} \tag{21}$

где

$s_k=\rho_k-u_k-\kappa-(\rho_k/\rho)u_{k,x}$ ,

$k=1,2$ , и

$\eta_1=a_1^2$ ,

$\eta_{2}=a_{2}^2$ ,

$\eta_{12}=a_{12}^2$ ,

$\eta_{21}=a_{21}^2$ . Тогда из (16), (17), (20) получим формулу нелинейной суперпозиции для уравнения 2КХ:

$\begin{equation} x_{12}=x+\ln|\eta_1\eta_{12}|+c_0, \end{equation} \tag{22}$

$\begin{equation} \rho_{12}=\frac{\rho_1}{16((u_1+\kappa+u_{1x_1})^2-\rho_1^2)\eta_{12}+2\beta (u_1+\kappa+u_{1x_1})+\beta^2/16\eta_{12}}, \end{equation} \tag{23}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, u_{12}={}&\frac{8}{\beta}(\rho_1^2-(u_1+\kappa)^2+u_{1x_1}^2+2(u_1u_{1x_1}+u_1u_{1x_1x_1}+(u_1+u_{1x_1})_{t_1}))\eta_{12}+{} \\ &+\frac{1}{2\beta}-\frac{\beta}{32\eta_{12}}-\kappa, \end{aligned} \end{equation} \tag{24}$

где

$u_{1x_1}=u_{1x}(-F_{x_1}/F_x)$ ,

$u_{1t_1}=u_{1t}-u_{1x}(F_t/F_x)$ ,

$F=x_1-x-\ln|\eta_1|$ . Далее эта формула нелинейной суперпозиции применяется для построения многосолитонных, многопетлевых и многокинковых решений уравнения 2КХ.

3. Решения уравнений 2КХ и КХ

В разделе 2 получены выражения (16), (17) и (20) для $u_1$ , $\rho_1$ и $x_1$ , а также формулы нелинейной суперпозиции для них (22)–(24). Чтобы найти решение уравнения 2КХ в виде бегущей волны (более конкретно, солитонное решение, петлевое решение и кинк), начнем с постоянного затравочного решения $u=u_0$ , $\rho=\rho_0$ и найдем $\eta$ как решение системы (18), (19), причем это решение $\eta$ связано с параметрами $\kappa$ , $u_0$ и $\rho_0$ .

Если $\kappa \neq 0$ , то

$\begin{equation} \eta_1=\frac{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha(u_0+\kappa)-1}{32(\rho_0^2-(u_0+\kappa)^2)}, \end{equation} \tag{25}$

где

$U_1=\sqrt{4\alpha^2\rho_0^2-4\alpha(u_0+\kappa)+1}$ ,

$z_1=x-(u_0+1/2\alpha)t-x_{01}$ ,

$x_{01}$ – произвольная постоянная. Подставив (25) в (16), (17), (20), получим одноволновое решение уравнения 2КХ в параметрическом виде:

$\begin{equation} x_1={} x+\ln\biggl|U_1\operatorname{th}\biggl(\frac{1}{2}U_1z_1\biggr)+2\alpha(u_0+\kappa)-1\biggr|+c_0, \end{equation} \tag{26}$

$\begin{equation} \rho_1={} \rho_0 \biggl[\frac{1+2\alpha(u_0+\kappa)-U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)}{2} +\frac{2\alpha^2(\rho_0^2-(u_0+\kappa)^2)}{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha(u_0+\kappa)-1}\biggr]^{-1}, \end{equation} \tag{27}$

$\begin{equation} u_1={} \frac{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha(u_0-\kappa)+1}{4\alpha}-\frac{\alpha(\rho_0^2-(u_0+\kappa)^2)}{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha(u_0+\kappa)-1}. \end{equation} \tag{28}$

У системы (18), (19) есть другое решение, такое же, как (25), но с заменой функции

$\operatorname{th}$ на

$\operatorname{cth}$ . Легко показать, что функция

$x_1$ всегда сингулярна, это справедливо и для (20), поэтому мы обсудим только решение типа “

$\operatorname{th}$ ” в качестве одноволнового решения. Перейдем теперь к решению (26)–(28). Чтобы получить вещественное решение, напишем

$\alpha (u_0+\kappa)<\alpha^2\rho_0^2+1/4$ . Как и в работах [13], [49]–[52], у нас нет гарантии того, что отображения из

$x_1$ в

$x$ являются биекциями. Поэтому первый шаг анализа указанного выше решения – установить, являются ли отображения из

$x_1$ в

$x$ биекциями. Мы нашли, что уравнение 2КХ имеет солитонные и петлевые решения при разных условиях. Например, при

$\begin{equation*} (u_0+\kappa)^2>\rho_0^2, \qquad \frac{1}{2}<\alpha\rho_0<\alpha (u_0+\kappa)<\alpha^2\rho_0^2+\frac{1}{4} \end{equation*} \notag$

отображения из

$x_1$ в

$x$ являются биекциями, причем

$u_1\to u_0$ ,

$\rho_1\to \rho_0$ при

$x\to\pm\infty$ , что соответствует солитонному решению уравнения 2КХ, которое изображено на рис. 1. Это же решение также было получено в работе [11] при

$\rho\to i\rho$ . В другом случае, когда

$\begin{equation*} (u_0+\kappa)^2>\rho_0^2, \qquad \alpha (u_0+\kappa)<\frac{1}{2}, \qquad \alpha^2\rho_0^2>\frac{1}{4}, \qquad \alpha (u_0+\kappa)<\alpha^2\rho_0^2+\frac{1}{4}, \end{equation*} \notag$

отображения из

$x_1$ в

$x$ не являются биекциями. На рис. 2 показано, что отображение из

$x$ в

$x_1$ является отображением 3 в 1, а профиль решения

$u_1$ как функция от

$x$ является солитоном. Таким образом, оно порождает петлевое решение

$u_1$ как функцию от

$x_1$ . Интересно, что это решение, насколько нам известно, ранее не указывалось и является новым решением уравнения 2КХ. Как бы то ни было, функция

$\rho_1$ при таких условиях сингулярна, что следует из (26). Графики петлевого решения

$u_1$ и сингулярного решения

$\rho_1$ уравнения 2КХ изображены на рис. 3.

Если $\kappa=0$ , нужно рассмотреть связь между $u_0^2$ и $\rho_0^2$ .

1. Если $u_0^2\neq\rho_0^2$ , решение $\eta_1$ и выражения $x_1$ , $\rho_1$ , $u_1$ возникают соответственно из (25) и (26), (27), (28) при $\kappa=0$ . Таким образом,

$\begin{equation} \eta_1=\frac{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha u_0-1}{32(\rho_0^2-u_0^2)}, \end{equation} \tag{29}$

что может породить решение типа “

$\operatorname{th}$ ” со скоростью

$c=u_0+1/2\alpha$ , а одноволновое решение для уравнения 2КХ имеет вид

$\begin{equation} x_1 =x+\ln\biggl|U_1\operatorname{th}\biggl(\frac{1}{2}U_1z_1\biggr)+2\alpha u_0-1\biggr|+c_0, \end{equation} \tag{30}$

$\begin{equation} \rho_1 =\rho_0\biggl[\frac{1+2\alpha u_0-U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)}{2}+\frac{2\alpha^2(\rho_0^2 -u_0^2)}{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha u_0-1}\biggr]^{-1}, \end{equation} \tag{31}$

$\begin{equation} u_1 =\frac{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha u_0+1}{4\alpha}-\frac{\alpha(\rho_0^2-u_0^2)}{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha u_0-1}, \end{equation} \tag{32}$

где

$U_1=\sqrt{4\alpha^2\rho_0^2-4\alpha u_0+1}$ . Как и в случае

$\kappa\neq0$ , решения, представленные в (30)–(32), содержат также солитонное и петлевое решения. Если

$u_0^2>\rho_0^2$ ,

$1/2<\alpha\rho_0<\alpha u_0<\alpha^2\rho_0^2+1/4$ , отображения из

$x_1$ в

$x$ являются биекциями, при этом

$u_1$ ,

$\rho_1$ порождают солитонные решения. Этот результат также был получен в работе [28] с помощью преобразования Дарбу. Если

$u_0^2>\rho_0^2$ ,

$\alpha u_0<1/2$ ,

$\alpha^2\rho_0^2>1/4$ ,

Рис. 1.Односолитонное решение уравнения 2КХ с параметрами $\alpha=-3$ , $\rho_0=-1$ , $u_0=-3$ , $\kappa=1$ , $x_{01}=0$ , $c_0=2$ , $t=0$ (а) и $\alpha=3$ , $\rho_0=1$ , $u_0=2$ , $\kappa=1/2$ , $x_{01}=0$ , $c_0=2$ , $t=0$ (б).

Рис. 2.Профили $x_1$ как функции от $x$ , $u_1$ как функции от $x$ и $\rho_1$ как функции от $x$ с параметрами $\alpha=2$ , $\rho_0=1$ , $u_0=-3$ , $\kappa=1$ , $x_{01}=0$ , $c_0=1$ , $t=0$ .

Рис. 3.Однопетлевое решение $u_1$ и решение с одной сингулярностью $\rho_1$ с параметрами $\alpha=2$ , $\rho_0=1$ , $u_0=-3$ , $\kappa=1$ , $x_{01}=0$ , $c_0=1$ , $t=0$ .

$\alpha u_0<\alpha^2\rho_0^2+1/4$ , то отображения $x_1$ в $x$ не являются биекциями, и они порождают петлевое решение $u_1$ , новое, насколько нам известно, решение уравнения 2КХ с $\kappa= 0$ . Отметим, что петлевое решение $\rho$ получено в работе [29], но оно отличается от петлевого решения $u$ в нашей работе.

2. Если $u_0^2=\rho_0^2$ , положим $\rho_0=-u_0$ без ограничения общности. Согласно уравнениям (18), (19) выражение для $\eta_1$ имеет вид

$\begin{equation*} \eta_1=-\frac{\alpha^2}{16(2\alpha u_0-1)}+\widetilde{C}e^{(2\alpha u_0-1)z_1}, \end{equation*} \notag$

где

$\widetilde{C}$ – произвольная постоянная. Подставив затравочное решение и

$\widetilde{C}=1$ в (16), (17) и (20), получим

$\begin{equation} x_1 =x+\ln\biggl|-\frac{\alpha^2}{16(2\alpha u_0-1)}+e^{(2\alpha u_0-1)z_1}\biggr|+c_0, \end{equation} \tag{33}$

$\begin{equation} \rho_1 =-\frac{u_0(16(2\alpha u_0-1)e^{(2\alpha u_0-1)z_1}-\alpha^2)}{\alpha(32u_0(2\alpha u_0-1)e^{(2\alpha u_0-1)z_1}-\alpha)}, \end{equation} \tag{34}$

$\begin{equation} u_1 =\frac{8(2\alpha u_0-1)e^{(2\alpha u_0-1)z_1}-\alpha^{3}u_0}{\alpha (16(2\alpha u_0-1)e^{(2\alpha u_0-1)z_1}-\alpha^2)}. \end{equation} \tag{35}$

Можно показать, что все решения

$\rho_1$ ,

$u_1$ ,

$x_1$ несингулярны и отображения из

$x_1$ в

$x$ являются биекциями при

$0<\alpha u_0<1/2$ . Возвращаясь к второму уравнению в (1), заметим, что оба решения

$\pm\rho$ удовлетворяют уравнению 2КХ, это означает, что

$-\rho_1$ также является решением, если решением является

$\rho_1$ . Из (34) и (35) имеем, что

$\rho_1\to -u_0$ ,

$u_1\to u_0$ при

$x\to +\infty$ и

$\rho_1\to -1/2\alpha$ ,

$u_1\to 1/2\alpha$ при

$x\to -\infty$ . Это означает, что оба решения

$u_1$ ,

$\rho_1$ являются кинками, что также показано в работе [27]. Их графики показаны на рис. 4.

Рис. 4.Однокинковое решение уравнения 2КХ с параметрами $\alpha=2$ , $u_0=1/5$ , $x_{01}=0$ , $c_0=1$ , $t=0$ (а) и $\alpha=-2$ , $u_0=-1/5$ , $x_{01}=0$ , $c_0=1$ , $t=0$ (б).

Рис. 5.Односолитонное решение уравнения КХ с параметрами $\alpha=1/10$ , $u_0=1$ , $x_{01}=0$ , $c_0=1$ , $t=0$ (а) и $\alpha=-1/20$ , $u_0=-3$ , $x_{01}=0$ , $c_0=1$ , $t=0$ (б) для $\kappa=0$ (сплошные кривые) и $\kappa =1$ (пунктирные кривые).

Рис. 6.Одиночный каспон для уравнения КХ с параметрами $\alpha=-2$ , $u_0=3$ , $x_{01}=0$ , $c_0=1$ , $t=0$ (а) и $\alpha=2$ , $u_0=-3$ , $x_{01}=0$ , $c_0=1$ , $t=0$ (б) для $\kappa=0$ (сплошные кривые) и $\kappa=1$ (пунктирные кривые).

Теперь нужно представить решение уравнения 2КХ в параметрическом виде и исследовать его при различных условиях, приводящих к трем типам решений. Хорошо известно, что уравнение (1) сводится к уравнению (2) при $\rho=0$ , так что интересно рассмотреть уравнение КХ и получить его решение из решения уравнения 2КХ. Мацуно [11] ввел $\rho=\rho_0\bar{\rho}$ и другие переменные для получения решений уравнения КХ в пределе $\rho_0\to 0$ из решений уравнения 2КХ, применяя метод билинейного преобразования. В настоящей работе мы показали, что решение уравнения 2КХ порождает решение уравнения КХ просто выбором затравочного решения $\rho_0=0$ . Таким образом, из (26)–(28) получим $\rho_1=0$ и одноволновое решение уравнения КХ

$\begin{equation} x_1 =x+\ln\biggl|U_1\operatorname{th}\biggl(\frac{1}{2}U_1z_1\biggr)+2\alpha (u_0+\kappa)-1\biggr|+c_0, \end{equation} \tag{36}$

$\begin{equation} u_1 =\frac{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha (u_0-\kappa)+1}{4\alpha}+\frac{\alpha (u_0+\kappa)^2}{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha (u_0+\kappa)-1}, \end{equation} \tag{37}$

где

$U_1=\sqrt{1-4\alpha(u_0+\kappa)}$ ,

$\kappa$ – неотрицательное вещественное число. Анализ решения (36), (37) показал, что оно может представлять собой гладкое солитонное решение и каспон, которые также представлены в работе [13]. Если

$0<\alpha (u_0+\kappa)<1/4$ , то отображения из

$x_1$ в

$x$ являются биекциями, что соответствует гладкому солитонному решению уравнения КХ (рис. 5). Если

$\alpha (u_0+\kappa)<0$ , то существует

$x_{1x}\geqslant 0$ , которому соответствует негладкое сингулярное солитонное решение

$u_1$ (рис. 6). Тогда из рис. 7 видно, что для негладкого сингулярного солитонного решения уравнения КХ профили

$u_{1x_1}$ как функции

$x_1$ не являются непрерывными, а стремятся к бесконечности на гребне, а это означает, что негладкое сингулярное солитонное решение является каспоном как при

$\kappa=0$ , так и при

$\kappa \neq 0$ .

Рис. 7.Профили $u_{1x_1}$ как функции от $x_1$ с параметрами $\alpha=-2$ , $u_0=3$ , $x_{01}=0$ , $c_0=1$ , $t=0$ для $\kappa=0$ (сплошные кривые) и $\kappa=1$ (пунктирные кривые).

Имея одноволновые решения для уравнений 2КХ и КХ, согласно работе [13] мы знаем, что принцип суперпозиции дает простой способ построения двухволнового решения, которое представлено формулами (23)–(25). В процессе изучения одноволнового решения получены следующие результаты.

Если $\kappa\neq 0$ или $\kappa=0, \rho_0^2\neq u_0^2$ , то, имея

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} \eta_1&=\frac{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha(u_0+\kappa)-1}{32(\rho_0^2-(u_0+\kappa)^2)}, &\qquad \eta_{2}&=\frac{U_{2}\operatorname{cth}(U_{2}z_{2}/2)+2\beta(u_0+\kappa)-1}{32(\rho_0^2-(u_0+\kappa)^2)},\\ U_1&=\sqrt{4\alpha^2\rho_0^2-4\alpha(u_0+\kappa)+1},&\qquad U_2&=\sqrt{4\beta^2\rho_0^2-4\beta(u_0+\kappa)+1},\\ z_1&=x-\biggl(u_0+\frac{1}{2\alpha}\biggr)t-x_{01},&\qquad z_2&=x-\biggl(u_0+\frac{1}{2\beta}\biggr)t-x_{02}, \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

где

$x_{01}$ ,

$x_{02}$ – произвольные постоянные, а

$\kappa$ – неотрицательное вещественное число, можно получить решения разных типов при различных условиях. Например, при

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, (u_0+\kappa)^2>\rho_0^2,\qquad \frac{1}{2}<\alpha\rho_0<\alpha (u_0+\kappa)<\alpha^2\rho_0^2+\frac{1}{4}, \\ \frac{1}{2}<\beta\rho_0<\beta (u_0+\kappa)<\beta^2\rho_0^2+\frac{1}{4}, \qquad |\beta|>|\alpha| \end{gathered} \end{equation*} \notag$

получим солитон-солитонное решение для уравнения 2КХ (рис. 8, 9). При

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, (u_0+\kappa)^2>\rho_0^2, \qquad \frac{1}{2}<\alpha\rho_0<\alpha (u_0+\kappa)<\alpha^2\rho_0^2+\frac{1}{4}, \quad \beta (u_0+\kappa)<\frac{1}{2}, \\ \beta^2\rho_0^2>\frac{1}{4}, \quad \beta (u_0+\kappa)<\beta^2\rho_0^2+\frac{1}{4}, \qquad \alpha>0, \quad\beta<0 \end{gathered} \end{equation*} \notag$

получим солитонно-петлевое решение

$u_{12}$ и солитонно-сингулярное решение

$\rho_{12}$ (рис. 10). При

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, (u_0+\kappa)^2>\rho_0^2, \qquad \alpha (u_0+\kappa)<\frac{1}{2}, \qquad \alpha^2\rho_0^2>\frac{1}{4}, \qquad \alpha(u_0+\kappa)<\alpha^2\rho_0^2+\frac{1}{4}, \\ \beta (u_0+\kappa)<\frac{1}{2}, \qquad \beta^2\rho_0^2>\frac{1}{4}, \qquad \beta( u_0+\kappa)<\beta^2\rho_0^2+\frac{1}{4}, \qquad |\beta|<|\alpha| \end{gathered} \end{equation*} \notag$

получим двухпетлевое решение

$u_{12}$ и сингулярное решение

$\rho_{12}$ (рис. 11).

Рис. 8.Взаимодействие двух гладких солитонов уравнения 2КХ с параметрами $\alpha=3$ , $\beta=4$ , $\rho_0=1$ , $u_0=2$ , $x_{01}=-3$ , $x_{02}=3$ , $c_0=0$ при $t=0$ (а), $t=100$ (б), $t=150$ (в), $t=300$ (г) для $\kappa=0$ (сплошные кривые) и $\kappa=1/2$ (пунктирные кривые).

Рис. 9.Взаимодействие двух гладких солитонов уравнения 2КХ с параметрами $\alpha=-3$ , $\beta=-4$ , $\rho_0=-1$ , $u_0=-3$ , $x_{01}=-3$ , $x_{02}=3$ , $c_0=0$ при $t=-400$ (а), $t=-190$ (б), $t=-60$ (в), $t=0$ (г) для $\kappa=0$ (сплошные кривые) и $\kappa=1/2$ (пунктирные кривые).

Рис. 10.Взаимодействие гладкого солитона и сингулярного решения $\rho_{12}$ , а также взаимодействие гладкого солитона и петлевого решения $u_{12}$ с параметрами $\alpha=3$ , $\beta=-4$ , $\rho_0=1$ , $u_0=2$ , $x_{01}=-3$ , $x_{02}=3$ , $c_0=0$ при $t=0$ (а), $t=10$ (б), $t=27$ (в), $t=40$ (г) для $\kappa=0$ (сплошные кривые) и $\kappa=1/2$ (пунктирные кривые).

Рис. 11. Взаимодействие двух петлевых решений $u_{12}$ с параметрами $\alpha=-2$ , $\rho_0=1$ , $u_0=2$ , $\beta=-1$ , $x_{01}=-3$ , $x_{02}=3$ , $c_0=0$ (а–г) при $t=0$ (а), $t=15$ (б), $t=28$ (в), $t=36$ (г) и с параметрами $\alpha=2$ , $\rho_0=1$ , $u_0=-3$ , $\beta=1$ , $x_{01}=-3$ , $x_{02}=3$ , $c_0=0$ (д–з) при $t=-40$ (д), $t=-30$ (е), $t=-15$ (ж), $t=0$ (з) для $\kappa=0$ (сплошные кривые) и $\kappa=1$ (пунктирные кривые).

Рис. 12.Взаимодействие двух кинков уравнения 2КХ с параметрами $\alpha=1/3$ , $u_0=1$ , $\beta=1/6$ , $x_{01}=10$ , $x_{02}=-20$ , $c_0=0$ при $t=-50$ (а), $t=-10$ (б), $t=0$ (в), $t=10$ (г).

Рис. 13.Взаимодействие двух гладких солитонов уравнения КХ с параметрами $\alpha=1/5$ , $u_0=1/2$ , $\beta=1/6$ , $x_{01}=0$ , $x_{02}=3$ , $c_0=0$ при $t=-60$ (а), $t=15$ (б), $t=0$ (в), $t=10$ (г) для $\kappa=0$ (сплошные кривые) и $\kappa=1/2$ (пунктирные кривые).

Рис. 14.Взаимодействие двух каспонов уравнения КХ с параметрами $\alpha=3$ , $u_0=-1$ , $\beta=2$ , $x_{01}=0$ , $x_{02}=3$ , $c_0=0$ при $t=-90$ (а), $t=-40$ (б), $t=-30$ (в), $t=0$ (г) для $\kappa=0$ (сплошные кривые) и $\kappa=1/2$ (пунктирные кривые).

Кроме того, при $\kappa=0$ , $\rho_0=-u_0$ , имея

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \eta_1=-\frac{\alpha^2}{16(2\alpha u_0-1)}+e^{(2\alpha u_0-1)z_1},\qquad \eta_{2}=-\frac{\beta^2}{16(2\beta u_0-1)}-e^{(2\beta u_0-1)z_{2}},\\ 0<\alpha u_0<\frac{1}{2}, \quad 0<\beta u_0<\frac{1}{2},\quad |\alpha|>|\beta|, \end{gathered} \end{equation*} \notag$

построим двухкинковое решение для уравнения 2КХ с помощью (22)–(24) (рис. 12).

Рассмотрим двухволновое решение уравнения КХ. Его можно получить из двухволнового решения уравнения 2КХ при $\rho_0=0$ . Согласно одноволновому решению уравнения КХ, выбирая

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \eta_1=-\frac{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha(u_0+\kappa)-1}{32(u_0+\kappa)^2}, \quad \eta_{2}=-\frac{U_{2}\operatorname{cth}(U_{2}z_{2}/2)+2\beta(u_0+\kappa)-1}{32(u_0+\kappa)^2},\\ U_1=\sqrt{1-4\alpha(u_0+\kappa)},\qquad U_{2}=\sqrt{1-4\beta(u_0+\kappa)}, \end{gathered} \end{equation*} \notag$

где

$\kappa\neq0$ или

$\kappa=0$ ,

$\rho_0^2\neq u_0^2$ , при

$0<\alpha u_0<1/4$ ,

$0<\beta u_0<1/4$ ,

$|\alpha|>|\beta|$ построим по формулам (22)–(24) солитон-солитонное решение уравнения КХ. При

$\alpha u_0<0$ ,

$\beta u_0<0$ и

$|\alpha|>|\beta|$ получим решение типа “каспон-каспон”. Графики этих решений показаны на рис. 13, 14.

4. Редукции к уравнениям 2ХС и ХС

В этом разделе рассматриваются уравнения 2ХС и ХС, а также их решения при $\kappa \neq 0$ . С помощью пары Лакса (6) и преобразования (8) можно убедиться, что преобразования Дарбу ассоциированных уравнений 2КХ и 2ХС различаются по форме. Ассоциированное уравнение 2ХС – это уравнение, полученное из уравнения 2ХС путем перехода к переменным $y,\tau$ . Очевидно, можно также изучить уравнение 2ХС и его решения методом преобразования Беклунда, который нужно просто применить к уравнению 2КХ, а затем решение уравнения ХС получится при $\bar{\rho}_0=0$ . Мацуно [11] успешно провел редукцию и получил многосолитонное решение уравнения 2ХС. Это побудило нас попытаться получить решение уравнения 2ХС из решения уравнения 2КХ с помощью метода преобразования Беклунда.

Пометим переменные в одноволновом решении уравнения 2ХС чертой сверху ( $\bar{u}_1$ , $\bar{\rho}_1$ , $\bar{m}_1$ , $\bar{x}_1$ , $\bar{t}_1$ , $\bar{\alpha}$ , $\bar{x}_{01}$ ) и введем соотношения

$\begin{equation} \begin{aligned} \, u_1&=\epsilon^2\bar{u}_1,\qquad \rho_1=\epsilon \bar{\rho_1},\qquad x_1=\epsilon \bar{x_1},\qquad t_1=\frac{\bar{t}_1}{\epsilon},\\ u_0&=\epsilon^2\bar{u}_0,\qquad \rho_0=\epsilon \bar{\rho}_0, \qquad x_{01}=\epsilon \bar{x}_{01}, \qquad \alpha=\frac{\bar{\alpha}}{\epsilon^2}. \end{aligned} \end{equation} \tag{38}$

Заметим, что соотношения (38) отличаются от соотношений (4.16) для

$x,t,y,\tau$ в работе [11]. Подставив (38) в (25) и упростив при

$\epsilon\to 0$ , получим для функции

$\eta_1$ , которая заменяет

$\bar{\eta_1}$ , выражение

$\begin{equation} \bar{\eta_1}=\frac{2\kappa \bar{\alpha}+\epsilon^2(2\bar{\alpha}\bar{u_0}-1)+\epsilon\sqrt{4\bar{\alpha}^2\bar{\rho_0}^2-4\kappa\bar{\alpha}+\epsilon^2(1-4\bar{\alpha}\bar{u_0})}\operatorname{th} \bar{z_1}}{32\epsilon^2(\epsilon^2\bar{\rho_0}^2-(\epsilon^2\bar{u_0}+\kappa)^2)}, \end{equation} \tag{39}$

где

$\begin{equation*} \bar{z}_1=\sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho_0}^2-\kappa \bar{\alpha}}\,\biggl(\bar{x}-\biggl(\bar{u_0}+\frac{1}{2\bar{\alpha}}\biggr)\bar{t}-\bar{x}_{01}\biggr). \end{equation*} \notag$

Возвращаясь к (12), (13) и применяя преобразования (9), (38), получим

$\begin{equation} \bar{\rho}_1 =\frac{\bar{\rho}_0\bar{\eta}_1}{\bar{\eta}_1+\bar{\eta}_{1\bar{x}}/\epsilon}, \end{equation} \tag{40}$

$\begin{equation} \bar{u}_1 =\bar{u}_0\biggl(1+\frac{1}{\epsilon}\frac{\bar{\eta}_{1\bar{x}}}{\bar{\eta}_1}\biggr)+\frac{1}{\epsilon}\frac{\bar{\eta}_{1\bar{t}}}{\bar{\eta}_1}. \end{equation} \tag{41}$

В силу (39) выражения (40) и (41) в пределе

$\epsilon\to 0$ принимают вид

$\begin{equation} \bar{\rho}_1 =\frac{\kappa \bar{\rho}_0(e^{\bar{z}_1}+e^{-\bar{z}_1})^2}{4\bar{\alpha}\bar{\rho}_0^2+\kappa(e^{\bar{z}_1}-e^{-\bar{z}_1})^2}, \end{equation} \tag{42}$

$\begin{equation} \bar{u}_1 =\bar{u}_0+\frac{2(\kappa-\bar{\alpha}\bar{\rho}_0^2)}{\kappa \bar{\alpha}(e^{\bar{z}_1}+e^{-\bar{z}_1})^2}. \end{equation} \tag{43}$

Рис. 15. Односолитонное решение уравнения 2ХС с параметрами $\bar{\alpha}=1/2$ , $\kappa=1$ , $\bar{\rho}_0=2$ , $\bar{u}_0=2$ , $\bar{x}_{01}=0$ , $d=0$ , $t=0$ .

Теперь попытаемся найти взаимосвязь между переменными $\bar{x}_1$ и $\bar{x}$ . С помощью (3) и (38) соотношение (20) принимает вид

$\begin{equation} \bar{x}_1=\bar{x}+\frac{1}{\epsilon}\ln |\bar{\eta}_1|+\frac{1}{\epsilon} c_0. \end{equation} \tag{44}$

Очевидно, что

$\bar{x}_1$ нельзя преобразовать точно так же, как

$\bar{u}_1, \bar{\rho}_1$ . Следуя методу редукции между уравнениями 2КХ и 2ХС, изложенному в работе [11], применив разложение Тейлора по

$\epsilon$ к (45) и взяв в асимптотике главный порядок

$\epsilon^{1}$ , получим

$\begin{equation} \bar{x}_1=\bar{x}+\frac{\sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa \bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1}{\kappa \bar{\alpha}}+d, \end{equation} \tag{45}$

где

$c_0$ принимает значение соответствующей переменной,

$d$ – произвольная постоянная. Таким образом, решение уравнения 2ХС получено из решения уравнения 2КХ с помощью соответствующего предельного перехода. Чтобы получить вещественное решение уравнения 2ХС, положим

$\bar{\rho}_0^2>\kappa/\bar{\alpha}$ . Анализируя, являются ли отображения из

$\bar{x}_1$ в

$\bar{x}$ биекциями, получим, что при

$\kappa \bar{\alpha}>0$ отображения из

$\bar{x}_1$ в

$\bar{x}$ являются биекциями, и одноволновое решение (42), (43), (45) порождает солитонное решение уравнения 2ХС (рис. 15). При

$\kappa \bar{\alpha}<0$ отображение из

$\bar{x}$ в

$\bar{x}_1$ является отображением 3 в 1 и профиль решения

$\bar{u}_1$ как функция от

$\bar{x}$ является солитоном, который порождает петлевое решение

$\bar{u}_1$ как функцию

$\bar{x}_1$ . Насколько нам известно, это новое решение уравнения 2ХС. Из (42) видно, что

$\bar{\rho}_1$ является при этом условии сингулярным решением (рис. 16).

Рис. 16. Однопетлевое решение $\bar{u}_1$ и решение с одной сингулярностью $\bar{\rho}_1$ с параметрами $\bar{\alpha}=-1/5$ , $\kappa=1$ , $\bar{\rho}_0=2$ , $\bar{u}_0=3$ , $\bar{x}_{01}=0$ , $d=0$ , $t=0$ .

Полученный результат можно описать подробнее. Из преобразования (3), (38), (9) и выражений (12), (13), (20) имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \bar{\rho}_1&=\frac{\bar{\rho}_0\bar{\eta}_1}{\bar{\eta}_1+\bar{\eta}_{1\bar{x}}/\epsilon},\\ \bar{u}_1&=\bar{u}_0\biggl(1+\frac{1}{\epsilon}\frac{\bar{\eta}_{1\bar{x}}}{\bar{\eta}_1}\biggr)+\frac{1}{\epsilon}\frac{\bar{\eta}_{1\bar{t}}}{\bar{\eta}_1},\\ \bar{x}_1&=\bar{x}+\frac{1}{\epsilon}\ln |\bar{\eta}_1|+\frac{1}{\epsilon} c_0, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation} \bar{\eta}_{1\bar{x}}=16\epsilon\biggl((\epsilon^2\bar{u}+\kappa+\epsilon \bar{u}_{\bar{x}})^2-\epsilon^2\bar{\rho}^2\biggr)\bar{\eta}_1^2+\biggl(2\bar{\alpha}\biggl(\epsilon \bar{u}+\bar{u}_{\bar{x}}+\frac{\kappa}{\epsilon}\biggr)-\epsilon\biggr)\bar{\eta}_1+\frac{\bar{\alpha}^2}{16\epsilon^{3}}, \end{equation} \tag{46}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \bar{\eta}_{1\bar{t}}={}&8\biggl[\epsilon\biggl(2\bar{u}+\frac{1}{\bar{\alpha}}\biggr)(\epsilon^2\bar{\rho}^2-(\epsilon^2\bar{u}+\kappa)^2-\epsilon \bar{u}_{\bar{x}}(\epsilon \bar{u}_{\bar{x}}+2\epsilon^2\bar{u}+2\kappa))+{} \\ &\qquad\qquad\qquad+\frac{2\epsilon^2}{\bar{\alpha}}((\epsilon^2\bar{u}^2+\kappa \bar{u}+\epsilon \bar{u}\bar{u}_{\bar{x}})_{\bar{x}}+\epsilon(\epsilon \bar{u}+\bar{u}_{\bar{x}})_{\bar{t}})\biggr]\bar{\eta}_1^2-{} \\ &-\frac{1}{\epsilon}\biggl(2\bar{\alpha} \bar{u}(\epsilon^2\bar{u}+\epsilon \bar{u}_{\bar{x}}+\kappa)+\kappa-\frac{\epsilon^2}{2\bar{\alpha}}\biggr)\bar{\eta}_1-\frac{\bar{\alpha}(1+2\bar{\alpha}\bar{ u})}{32\epsilon^{3}}. \end{aligned} \end{equation} \tag{47}$

Чтобы получить одноволновое решение уравнения 2ХС, возьмем сначала затравочное решение $\bar{\rho}=\bar{\rho}_0,\bar{u}=\bar{u}_0$ , которое соответствует затравочному решению $\rho=\rho_0$ , $u=u_0$ в уравнении 2КХ. Из уравнений (46), (47) получим выражение для $\bar{\eta}_1$ , которое совпадает с (39). Кроме того, $\bar{\rho}_1$ , $\bar{u}_1$ можно переписать в виде

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \bar{\rho}_1&=\frac{\bar{\rho}_0}{16(\epsilon^{4}\bar{u}_0^2-\epsilon^2\bar{\rho}_0^2+\bar{\kappa}^2+2\bar{\kappa}\epsilon^2\bar{u}_0)\bar{\eta}_1+2(\bar{\alpha} \bar{u}_0+\kappa\bar{\alpha}/\epsilon^2)+\bar{\alpha}^2/16\epsilon^{4}\bar{\eta}_1},\\ \bar{u}_1&=-\frac{8}{\bar{\alpha}}((\epsilon^2\bar{u}_0+\kappa)^2-\epsilon^2\bar{\rho}_0^2)\bar{\eta}_1-\frac{\kappa}{\epsilon^2}+\frac{1}{2\bar{\alpha}}-\frac{\bar{\alpha}}{32\epsilon^{4}\bar{\eta}_1}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Подставляя (39) в приведенные выше выражения для

$\bar{\rho}_1$ ,

$\bar{u}_1$ и переходя к пределу

$\epsilon\to 0$ , непосредственно получим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \bar{\rho}_1&=\frac{\kappa\bar{\rho}_0}{\bar{\alpha}\bar{\rho}_0^2+(\kappa-\bar{\alpha}\bar{\rho}_0^2)\operatorname{th}^2\bar{z}_1}, \\ \bar{u}_1&=\bar{u}_0+\frac{(\bar{\alpha}\bar{\rho}_0^2-\kappa)\operatorname{th}^2\bar{z}_1+\kappa-\bar{\alpha}\bar{\rho}_0^2}{2\bar{\alpha}\kappa}, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

что совпадает с (42) и (43).

Теперь можно построить формулу нелинейной суперпозиции для уравнения 2ХС, которая зависит от (40), (41), (44), а $\bar{\eta}_{12}$ получим из (21) с помощью масштабного преобразования (3), (38). Выражения для решений имеют вид

$\begin{equation} \bar{\rho}_{12}=\bar{\rho}_1\biggl[16((\epsilon^2\bar{u}_1+\kappa+\epsilon \bar{u}_{1\bar{x}_1})^2-\epsilon^2\bar{\rho}_1^2)\bar{\eta}_{12}+\frac{2\bar{\beta}}{\epsilon^2}(\epsilon^2\bar{u}_1+\epsilon \bar{u}_{1\bar{x}_1}+\kappa)+\frac{\bar{\beta}^2}{16\epsilon^{4}\bar{\eta}_{12}}\biggr]^{-1}, \end{equation} \tag{48}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \bar{u}_{12}={}&-\frac{8}{\bar{\beta}}(\epsilon^{4}\bar{u}_1^2+\kappa^2-\epsilon^2(\bar{\rho}_1^2+\bar{u}_{1\bar{x}_1}^2-2\kappa \bar{u}_1+2\bar{u}_1\bar{u}_{1\bar{x}_1\bar{x}_1}+2\bar{u}_{1\bar{x}_1\bar{t}_1})-{}\\ &-2\epsilon^{3}(\bar{u}_1\bar{u}_{1\bar{x}_1}+\bar{u}_{1\bar{t}_1}))\bar{\eta}_{12}+\frac{1}{2\bar{\beta}}-\frac{\kappa}{\epsilon^2}-\frac{\bar{\beta}}{32\epsilon^{4}\bar{\eta}_{12}}, \end{aligned} \end{equation} \tag{49}$

$\begin{equation} \bar{x}_{12}=\bar{x}+\frac{1}{\epsilon}\ln(\bar{\eta}_1\bar{\eta}_{12})+\frac{1}{\epsilon}c_0, \end{equation} \tag{50}$

где

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \bar{\eta}_{12}=\frac{(\bar{\alpha}\bar{\eta}_{2}-\bar{\beta}\bar{\eta}_1)(\epsilon^2\bar{u}+\kappa-\epsilon \bar{\rho}+\epsilon \bar{u}_{\bar{x}})\bar{\eta}_{2}}{16\epsilon^2\bar{\eta}_1\bar{\eta}_{2}(\epsilon^2\bar{u}+\kappa-\epsilon\bar{\rho}+\epsilon \bar{u}_{\bar{x}})(\bar{s}_{2}-\bar{s}_1)+\bar{\beta}\bar{\eta}_1\bar{s}_{2}-\bar{\alpha}\bar{\eta}_{2}\bar{s}_1},\\ \bar{s}_k=\epsilon\bar{\rho}_k-\epsilon^2\bar{u}_k-\kappa-\frac{\epsilon \bar{\rho}_k}{\bar{\rho}}\bar{u}_{k,\bar{x}},\quad k=1,2,\\ \bar{u}_{1\bar{x}_1}=\bar{u}_{1\bar{x}}\biggl(-\frac{\bar{F}_{\bar{x}_1}}{\bar{F}_{\bar{x}}}\biggr),\quad \bar{u}_{1\bar{t}_1}=\bar{u}_{1\bar{t}} -\bar{u}_{1\bar{x}}\biggl(\frac{\bar{F}_{\bar{t}}}{\bar{F}_{\bar{x}}}\biggr),\quad \bar{F}=\bar{x}_1-\bar{x}-\frac{\sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2 -\kappa \bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1}{\kappa \bar{\alpha}}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Таким образом, для двухволнового решения уравнения 2ХС выберем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \bar{\eta_1}&=\frac{2\kappa \bar{\alpha}+\epsilon^2(2\bar{\alpha}\bar{u_0}-1)+\epsilon\sqrt{4\bar{\alpha}^2\bar{\rho_0}^2-4\kappa\bar{\alpha}+\epsilon^2(1-4\bar{\alpha}\bar{u_0})}\operatorname{th} \bar{z_1}}{32\epsilon^2(\epsilon^2\bar{\rho_0}^2-\epsilon^{4}\bar{u_0}^2-2\kappa\epsilon^2\bar{u_0}-\kappa^2)}, \\ \bar{\eta_{2}}&=\frac{2\kappa \bar{\beta}+\epsilon^2(2\bar{\beta}\bar{u_0}-1)+\epsilon\sqrt{4\bar{\beta}^2\bar{\rho_0}^2-4\kappa\bar{\beta}+\epsilon^2(1-4\bar{\beta}\bar{u_0})}\operatorname{cth} \bar{z_{2}}}{32\epsilon^2(\epsilon^2\bar{\rho_0}^2-\epsilon^{4}\bar{u_0}^2-2\kappa\epsilon^2\bar{u_0}-\kappa^2)}, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \bar{z}_1=\sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho_0}^2-\kappa \bar{\alpha}}\biggl(\bar{x}-\biggl(\bar{u_0}+\frac{1}{2\bar{\alpha}}\biggr)\bar{t}-\bar{x}_{01}\biggr),\quad \bar{z}_{2}=\sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho_0}^2-\kappa \bar{\beta}}\biggl(\bar{x}-\biggl(\bar{u_0}+\frac{1}{2\bar{\beta}}\biggr)\bar{t}-\bar{x}_{02}\biggr), \end{equation*} \notag$

и подставим в (48)–(50). Разложив (50) в ряд Тейлора по

$\epsilon$ и взяв главный порядок

$\epsilon^{1}$ , получим в пределе

$\epsilon\to 0$ для двухволнового решения уравнения 2ХС следующие выражения:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \bar{x}_{12}={}&\bar{x}+\frac{\sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa \bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1}{\kappa \bar{\alpha}}+\frac{\sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa \bar{\beta}}\operatorname{cth} \bar{z}_{2}}{\kappa \bar{\beta}}+d+ \bar{\alpha}\bar{\rho}_{2}(\bar{\rho}_0-\bar{u}_{2\bar{x}})\times {} \nonumber \\ &\times\frac{(\sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa \bar{\beta}}\operatorname{cth} \bar{z}_{2}-\bar{\beta}\bar{\rho}_0)-\bar{\beta}\bar{\rho}_1(\bar{\rho}_0-\bar{u}_{1\bar{x}})(\sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa \bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1-\bar{\alpha}\bar{\rho}_0)}{\kappa\bar{\rho}_0(\bar{\alpha}\sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa \bar{\beta}}\operatorname{cth} \bar{z}_{2}-\bar{\beta}\sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa \bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1)}, \end{aligned} \end{equation} \tag{51}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \bar{\rho}_{12}={}&\kappa \bar{\rho}_1\biggl[2\kappa \bar{\beta}\bar{ u}_1-\bar{\beta}(\bar{u}_{1\bar{x}_1}^2+2\kappa \bar{u}_1-\bar{\rho}_1^2)-{} \nonumber \\ &+\frac{\bar{\beta} W(W-2\bar{\rho}_0\bar{u}_{1\bar{x}_1}(\bar{\alpha} \sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\beta}}\operatorname{cth} \bar{z}_{2}-\bar{\beta} \sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1))}{\bar{\rho}_0^2(\bar{\alpha} \sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\beta}}\operatorname{cth} \bar{z}_{2}-\bar{\beta} \sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1)^2}\biggr]^{-1}, \end{aligned} \end{equation} \tag{52}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \bar{u}_{12}={}&\frac{1}{2\bar{\beta}}+\frac{ W^2}{2\kappa\bar{\rho}_0^2(\bar{\alpha} \sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\beta}}\operatorname{cth} \bar{z}_{2}-\bar{\beta} \sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1)^2}-{} \\ &-\frac{1}{2\kappa}(\bar{\rho}_1^2+\bar{u}_{1\bar{x}_1}^2+2\bar{u}_1\bar{u}_{1\bar{x}_1\bar{x}_1}+2\bar{u}_{1\bar{x}_1\bar{t}_1}-2\kappa \bar{u}_1), \end{aligned} \end{equation} \tag{53}$

где

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, W={}&\bar{\alpha}\bar{\rho}_0(\kappa-\bar{\beta}\bar{\rho}_0^2)\operatorname{cth}^2\bar{z}_{2} +\bar{\alpha}\bar{\beta}\bar{\rho}_0(\bar{\rho}_1\bar{u}_{1\bar{x}}-\bar{\rho}_{2}\bar{u}_{2\bar{x}} +\bar{\rho}_0(\bar{\rho}_{2}-\bar{\rho}_1))+{} \\ &+\bar{\alpha}\bar{\rho}_{2}\bar{u}_{2\bar{x}}\sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2 -\kappa\bar{\beta}}\operatorname{cth} \bar{z}_{2}-\bar{\beta}\bar{\rho}_1\bar{u}_{1\bar{x}}\sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1+{} \\ &+\bar{\rho}_0^2(\bar{\alpha} \sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\beta}}\operatorname{cth} \bar{z}_{2}-\bar{\beta} \sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1) +{} \\ &+\bar{\rho}_0(\bar{\beta}\bar{\rho}_1\sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1-\bar{\alpha}\bar{\rho}_{2}\sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\beta}}\operatorname{cth} \bar{z}_{2}+{} \\ &+\sqrt{(\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\alpha})(\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa \bar{\beta})}\operatorname{th} \bar{z}_1\operatorname{cth} \bar{z}_{2}). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

По аналогии с одноволновым решением по формулам (51)–(53) строится солитон-солитонное решение уравнения 2ХС при

$\bar{\rho}_0^2>\kappa/\bar{\alpha}$ ,

$\bar{\rho}_0^2>\kappa/\bar{\beta}$ ,

$\kappa\bar{\alpha}>0$ ,

$\kappa\bar{\beta}>0$ ,

$\bar{\beta}>\bar{\alpha}$ (рис. 17). Если выполняются условия

$\bar{\rho}_0^2>\kappa/\bar{\alpha}$ ,

$\bar{\rho}_0^2>\kappa/\bar{\beta}$ ,

$\kappa\bar{\alpha}<0$ ,

$\kappa\bar{\beta}<0$ ,

$|\bar{\alpha}|>|\bar{\beta}|$ , получим двухпетлевое решение

$\bar{u}_{12}$ и сингулярное решение

$\bar{\rho}_{12}$ (рис. 18).

Наконец, обратимся к уравнению ХС и его решениям. Уравнение ХС является коротковолновым пределом уравнения КХ, и его также можно получить из уравнения 2ХС при $\bar{\rho}=0$ . Таким образом, его решение можно получить двумя способами. Очевидно, более простой способ – получить решение уравнения ХС из решения уравнения 2ХС. Подставив $\bar{\rho}_0=0$ в (42), (43) и (45), получим $\bar{\rho}_1=0$ и одноволновое решение уравнения ХС:

$\begin{equation} \bar{u}_1 =\bar{u}_0+\frac{2}{\bar{\alpha}(e^{\bar{z}_1}+e^{-\bar{z}_1})^2}, \end{equation} \tag{54}$

$\begin{equation} \bar{x}_1 =\bar{x}+\frac{\sqrt{-\kappa \bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1}{\kappa \bar{\alpha}}+d, \end{equation} \tag{55}$

где

$\begin{equation*} \bar{z}_1=\sqrt{-\kappa \bar{\alpha}}\biggl(\bar{x}-\biggl(\bar{u}_0+\frac{1}{2\bar{\alpha}}\biggr)\bar{t}-\bar{x}_{01}\biggr). \end{equation*} \notag$

Очевидно, для вещественных решений нужно положить

$\kappa \bar{\alpha} <0$ , при этом по формулам (54), (55) строится каспон уравнения ХС (рис. 19). Аналогичным способом двухволновые решения уравнения ХС возникают из решений уравнения 2ХС (51)–(53) при

$\bar{\rho}_0=0$ , а при

$\kappa\bar{\alpha}<0,\kappa\bar{\beta}<0, |\bar{\alpha}|>|\bar{\beta}|$ они порождают решение типа “каспон-каспон“ для уравнения ХС (рис. 20).

Рис. 17. Взаимодействие двух гладких солитонов уравнения 2ХС с параметрами $\bar{\alpha}=1/3$ , $\bar{\rho}_0=2$ , $\bar{u}_0=2$ , $\kappa=1$ , $\bar{\beta}=1/2$ , $\bar{x}_{01}=-10$ , $\bar{x}_{02}=10$ , $d=0$ при $t=-10$ (а), $t=20$ (б), $t=45$ (в), $t=80$ (г).

Рис. 18.Взаимодействие двух петлевых решений $\bar{u}_{12}$ и взаимодействие двух сингулярных решений $\bar{\rho}_{12}$ с параметрами $\bar{\alpha}=-1/2$ , $\bar{\rho}_0=1$ , $\bar{u}_0=4$ , $\kappa=1$ , $\bar{\beta}=-1/3$ , $\bar{x}_{01}=-1$ , $\bar{x}_{02}=1$ при $t=-8$ (а), $t=-1$ (б), $t=5$ (в), $t=15$ (г).

Рис. 19. Решение в виде одиночного каспона для уравнения ХС с параметрами $\bar{\alpha}=-1/5$ , $\kappa=1$ , $\bar{u}_0=3$ , $\bar{x}_{01}=0$ , $d=0$ , $t=0$ .

Рис. 20.Взаимодействие двух каспонов уравнения ХС с параметрами $\bar{\alpha}=-1/2$ , $\bar{u}_0=4$ , $\kappa=1$ , $\bar{\beta}=-1/3$ , $\bar{x}_{01}=-1$ , $\bar{x}_{02}=2$ , $d=0$ при $t=-20$ (а), $t=-1$ (б), $t=5$ (в), $t=20$ (г).

5. Заключительные замечания

В данной работе построено преобразование Беклунда уравнения 2КХ, в которое входят как зависимые, так и независимые переменные, а также представлена соответствующая формула нелинейной суперпозиции. Анализируя решения уравнения 2КХ, мы не только получили представленные в работах [27], [28] многосолитонные и многокинковые решения, но и нашли многопетлевые решения $u$ для уравнения 2КХ. Анализируя однопетлевое решение, мы показали, что отображение из $x$ в $x_1$ является отображением 3 в 1, а решение $u_1$ как функция $x$ является солитоном. Вместе они порождают петлевое решение $u_1$ как функцию от $x_1$ , которая является многозначной. В частности, проведены различные редукции для нахождения решений уравнений КХ, 2ХС и ХС при $\kappa \neq0$ с помощью метода преобразования Беклунда. Анализируя эти решения, мы получили многосолитонные и многокаспонные решения уравнения КХ, а также многосолитонные и многопетлевые решения уравнения 2ХС. Заметим, что петлевое решение $u$ уравнения 2КХ и петлевое решение $\bar{u}$ уравнения 2ХС, насколько нам известно, ранее не появлялись в литературе. Это означает, что они новые для двух указанных уравнений. Наконец, представлено также многокаспонное решение уравнения ХС. Однако пиконное решение уравнения 2KX, которое получено в работе [27], в нашей работе не получено, а также пока не обсуждалось общее $N$ -пиконное решение указанного уравнения. Эта интересная задача будет рассмотрена в следующей работе.

Конфликт интересов

Автор заявляет, что у него нет конфликта интересов.



Список литературы

1.	S.-Q. Liu, Y. J. Zhang, “Deformation of semisimple bihamiltonian structures of hydrodynamic type”, J. Geom. Phys., 54:4 (2005), 427–453
2.	G. Falqui, On a two-component generalization of the CH equation, Talk given at the conference “Analytic and Geometric Theory of the Camassa–Holm Equation and Integrable Systems” (Bologna, September 22–25, 2004)
3.	J. Schiff, “Zero curvature formulations of dual hierarchies”, J. Math. Phys., 37:4 (1996), 1928–1938
4.	R. Camassa, D. D. Holm, “An integrable shallow water equation with peaked solitons”, Phys. Rev. Lett., 71:11 (1993), 1661–1664
5.	A. S. Fokas, “On a class of physically important integrable equations”, Phys. D, 87:1–4 (1995), 145–150
6.	B. Fuchssteiner, A. S. Fokas, “Symplectic structures, their Bäcklund transformations and hereditary symmetries”, Phys. D, 4:1 (1981), 47–66
7.	A. Parker, “On the Camassa–Holm equation and a direct method of the solution. I. Bilinear form and solitary waves”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 460:2050 (2004), 2929–2957
8.	A. Parker, “On the Camassa–Holm equation and a direct method of the solution. II. Soliton solutions”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 461:2063 (2005), 3611–3632
9.	Y. S. Li, J. E. Zhang, “The multiple-soliton solution of the Camassa–Holm equation”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 460:2049 (2004), 2617–2627
10.	Y. Matsuno, “Parametric representation for the multisoliton solution of the Camassa–Holm equation”, J. Phys. Soc. Japan, 74:7 (2005), 1983–1987
11.	Y. Matsuno, “Multisoliton solutions of the two-component Camassa–Holm system and their reductions”, J. Phys. A: Math. Theor., 50:34 (2017), 345202, 28 pp.
12.	B. Q. Xia, R. G. Zhou, Z. J. Qiao, “Darboux transformation and multi-soliton solutions of the Camassa–Holm equation and modified Camassa–Holm equation”, J. Math. Phys., 57:10 (2016), 103502, 12 pp.
13.	A. G. Rasin, J. Schiff, “Bäcklund transformations for the Camassa–Holm equation”, J. Nonlinear Sci., 27:1 (2017), 45–69
14.	A. Constantin, “On the scattering problem for the Camassa–Holm equation”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 457:2008 (2001), 953–970
15.	R. Beals, D. H. Sattinger, J. Szmigielski, “Acoustic scattering and the extended Korteweg–de Vries hierarchy”, Adv. Math., 140:2 (1998), 190–206
16.	J. Schiff, “The Camassa–Holm equation: a loop group approach”, Phys. D, 121:1–2 (1998), 24–43
17.	A. Constantin, W. A. Strauss, “Stability of peakons”, Commun. Pure Appl. Math., 53:5 (2000), 603–610
18.	A. Constantin, W. A. Strauss, “Stability of the Camassa–Holm solitons”, J. Nonlinear Sci., 12:4 (2002), 415–422
19.	R. S. Johnson, “On solutions of the Camassa–Holm equation”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 459:2035 (2003), 1687–1708
20.	P. J. Olver, P. Rosenau, “Tri-Hamiltonian duality between solitons and solitary-wave solutions having compact support”, Phys. Rev. E, 53:2 (1996), 1900–1906
21.	D. D. Holm, R. I. Ivanov, “Two-component CH system: inverse scattering, peakons and geometry”, Inverse Problems, 27:4 (2011), 045013, 19 pp.
22.	A. Constantin, R. I. Ivanov, “On an integrable two-component Camassa–Holm shallow water system”, Phys. Lett. A, 372:48 (2008), 7129–7132
23.	M. J. Ablowitz, H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform, SIAM Studies in Applied Mathematics, 4, SIAM, Philadelphia, PA, 1981
24.	J. Escher, O. Lechtenfeld, Z. Y. Yin, “Well-posedness and blow-up phenomena for the 2-component Camassa–Holm equation”, Discrete Continuous Dyn. Syst., 19:3 (2007), 493–513
25.	G. L. Gui, Y. Liu, “On the global existence and wave-breaking criteria for the two-component Camassa–Holm system”, J. Funct. Anal., 258:12 (2010), 4251–4278
26.	J. B. Li, Y. S. Li, “Bifurcations of travelling wave solutions for a two-component Camassa–Holm equation”, Acta. Math. Sin. (English Ser.), 24:8 (2008), 1319–1330
27.	M. Chen, S.-Q. Liu, Y. J. Zhang, “A two-component generalization of the Camassa–Holm equation and its solutions”, Lett. Math. Phys., 75:1 (2006), 1–15
28.	C.-Z. Wu, “On solutions of the two-component Camassa–Holm system”, J. Math. Phys., 47:8 (2006), 083513, 11 pp.
29.	J. Lin, B. Ren, H.-M. Li, Y.-S. Li, “Soliton solutions for two nonlinear partical differential equations using a Darboux transformation of the Lax pairs”, Phys. Rev. E, 77:3 (2008), 036605, 10 pp.
30.	Юй-Цинь Яо, Е-Хуэй Хуань, Юнь-Бо Цзен, “Двухкомпонентное уравнение Камассы–Холма с самосогласованными источниками и его многосолитонные решения”, ТМФ, 162:1 (2010), 75–86
31.	B. Q. Xia, Z. J. Qiao, “A new two-component integrable system with peakon solutions”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 471:2175 (2015), 20140750, 20 pp.
32.	Q. Y. Hu, Z. Y. Yin, “Well-posedness and blow-up phenomena for a periodic two-component Camassa–Holm equation”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 141:1 (2011), 93–107
33.	M. Chen, S.-Q. Liu, Y. J. Zhang, “Hamiltonian structures and their reciprocal transformations for the $r$ -KdV-CH hierarchy”, J. Geom. Phys., 59:9 (2009), 1227–1243
34.	G. Falqui, “On a Camassa–Holm type equation with two dependent variables”, J. Phys. A: Math. Gen., 39:2 (2006), 327–342
35.	H. Aratyn, J. F. Gomes, A. H. Zimerman, “On a negative flow of the AKNS hierarchy and its relation to a two-component Camassa–Holm equation”, SIGMA, 2 (2006), 070, 12 pp.
36.	H. Aratyn, J. F. Gomes, A. H. Zimerman, “On negative flows of the AKNS hierarchy and a class of deformations of a bihamiltonian structure of hydrodynamic type”, J. Phys. A: Math. Gen., 39:5 (2006), 1099–1114
37.	J. B. Li, Z. J. Qiao, “Peakon, pseudo-peakon, and cuspon solutions for two generalized Camassa–Holm equations”, J. Math. Phys., 54:12 (2013), 123501, 14 pp.
38.	Z. G. Guo, Y. Zhou, “On solutions to a two-component generalized Camassa–Holm equation”, Stud. Appl. Math., 124:3 (2010), 307–322
39.	M. V. Pavlov, “The Gurevich–Zybin system”, J. Phys. A: Math. Gen., 38:17 (2005), 3823–3840
40.	S. Y. Lou, B.-F. Feng, R. X. Yao, “Multi-soliton solution to the two-component Hunter–Saxton equation”, Wave Motion, 65 (2016), 17–28
41.	L. Yan, J.-F. Song, C.-Z. Qu, “Nonlocal symmetries and geometric integrability of multi-component Camassa–Holm and Hunter–Saxton systems”, Chinese Phys. Lett., 28:5 (2011), 050204, 5 pp.
42.	C. X. Guan, Z. Y. Yin, “Global weak solutions and smooth solutions for a two-component Hunter–Saxton system”, J. Math. Phys., 52:10 (2011), 103707, 9 pp.
43.	J. J. Liu, Z. Y. Yin, “Global weak solutions for a periodic two-component $\mu$ -Hunter–Saxton system”, Monatsh. Math., 168:3–4 (2012), 503–521
44.	B. Moon, Y. Liu, “Wave breaking and global existence for the generalized periodic two-component Hunter–Saxton system”, J. Differ. Eq., 253:1 (2012), 319–355
45.	D. F. Zuo, “A two-component $\mu$ -Hunter–Saxton equation”, Inverse Problems, 26:8 (2010), 085003, 9 pp.
46.	C. H. Li, S. Q. Wen, A. Y. Chen, “Single peak solitary wave and compacton solutions of the generalized two-component Hunter–Saxton system”, Nonlinear Dyn., 79:2 (2015), 1575–1585
47.	B. Moon, “Solitary wave solutions of the generalized two-component Hunter–Saxton system”, Nonlinear Anal., 89 (2013), 242–249
48.	J. K. Hunter, R. Saxton, “Dynamics of director fields”, SIAM J. Appl. Math., 51:6 (1991), 1498–1521
49.	G. H. Wang, Q. P. Liu, H. Mao, “The modified Camassa–Holm equation: Bäcklund transformation and nonlinear superposition formula”, J. Phys. A: Math. Theor., 53:29 (2020), 294003, 15 pp.
50.	Хуэй Мао, Гай-Хуа Ван, “Преобразование Беклунда для уравнения Дегаспериса–Прочези”, ТМФ, 203:3 (2020), 365–379
51.	H. Mao, Q. P. Liu, “The short pulse equation: Bäcklund transformations and applications”, Stud. Appl. Math., 145:4 (2020), 791–811
52.	M. Xue, Q. P. Liu, H. Mao, “Bäcklund transformations for the modified short pulse equation and complex modified short pulse equation”, Eur. Phys. J. Plus, 137 (2022), 500
53.	R. Hirota, “Exact solution of the Korteweg–de Vries equation for multiple collisions of solitons”, Phys. Rev. Lett., 27:18 (1971), 1192–1194
54.	R. Hirota, The Direct Method in Soliton Theory, Translated from the 1992 Japanese original, Cambridge Tracts in Mathematics, 155, eds. A. Nagai, J. Nimmo, C. Gilson, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004

Образец цитирования: Гай-Хуа Ван, “Многосолитонные решения двухкомпонентного уравнения Камассы–Холма и его редукций”, ТМФ, 214:3 (2023), 359–386; Theoret. and Math. Phys., 214:3 (2023), 308–333

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Wan23}

\by Гай-Хуа~Ван

\paper Многосолитонные решения двухкомпонентного уравнения Камассы--Холма и~его редукций

\jour ТМФ

\yr 2023

\vol 214

\issue 3

\pages 359--386

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10366}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10366}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4563413}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...214..308W}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2023

\vol 214

\issue 3

\pages 308--333

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923030029}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85160064631}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/tmf10366

https://doi.org/10.4213/tmf10366

https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v214/i3/p359

Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:

Цзы-Ци Ли, Кай Тянь, “Нелокальные симметрии двух двухкомпонентных уравнений типа уравнения Камассы–Холма”, ТМФ, 220:3 (2024), 482–499 ; Ziqi Li, Kai Tian, “Nonlocal symmetries of two 2-component equations of Camassa–Holm type”, Theoret. and Math. Phys., 220:3 (2024), 1471–1485
Gaihua Wang, “The multi-soliton solutions of another two-component Camassa–Holm equation with Darboux transformation approach”, Wave Motion, 131 (2024), 103396

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	187
PDF полного текста:	51
HTML русской версии:	111
Список литературы:	43
Первая страница:	1

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы