| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Дискретная иерархия КП с ограничениями: условия на тау-функцию и калибровочные преобразования Цзя-Ци Сунa, Чун Лиb, Цзи-Пэн Чэнc, Минь-Жу Чэньa a School of Mathematics and Statistics, Henan University, Kaifeng, China b School of Mathematics and Statistics, Ningbo University, Ningbo, China c School of Mathematics, China University of Mining and Technology, Xuzhou, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923030030 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеДискретная иерархия Кадомцева–Петвиашвили (иерархия дКП) привлекает большое внимание исследователей в области дискретных интегрируемых систем. Она представляет собой классическую иерархию КП, в которой непрерывная производная $\partial_x$ заменена разностной производной $\Delta$ [1]–[9]. Существует другая форма иерархии дКП [10], [11], определяемая оператором сдвига $\Lambda$, и для этой иерархии были получены некоторые интересные результаты, в том числе вершинный оператор и преобразование Беклунда. Преимущество использования оператора $\Delta$ вместо оператора $\Lambda$ состоит в том, что он делает более прозрачной аналогию с классической теорией КП. Еще одно преимущество заключается в том, что тау-функция этой иерархии тесно связана с тау-функцией классической иерархии КП: тау-функция дискретной иерархии КП с оператором $\Delta$ может быть построена путем неравномерного сдвига пространственной переменной в тау-функции непрерывной иерархии КП [2]. По аналогии с методом потенциала квадрата собственной функции (squared eigenfunction potential), использующимся в классической иерархии КП [12], вводятся потенциал квадрата собственной функции и спектральное представление дискретной иерархии КП, и с помощью потенциала квадрата собственной функции задается призрачная (ghost) симметрия иерархии дКП [8]. В работе [3] изучались структура бесконечномерной алгебры [9], дополнительная симметрия и преобразования Сато–Беклунда иерархии дКП. Иерархия дКП с ограничениями (иерархия одКП) определяется путем наложения условия симметрии на оператор Лакса. В частном случае при этом можно вывести дискретное нелинейное уравнение Шредингера [13]. В работе [14] для иерархии дКП с ограничениями на оператор Лакса $k$-го порядка (иерархии $k$-одКП) в случае $k=1$ были построены дополнительные потоки симметрии, для чего использовалась модификация соответствующего потока иерархии дКП, и было показано, что эти дополнительные потоки порождают алгебраическую структуру, совпадающую с положительной половиной алгебры Вирасоро. В работе [15] была построена полная симметрия Вирасоро для иерархии одКП. Эффективным способом построения решений интегрируемых систем как в непрерывном, так и в дискретном случая является калибровочное преобразование. В работе [16] были введены два типа операторов калибровочного преобразования для иерархии КП и затем получены аналогичные операторы для иерархии КП с ограничениями (оКП) [17]–[20]. В работе [7] Лю и соавторы, основываясь на двух типах элементарных калибровочных операторов $T_{ \mathrm D }$ и $T_{ \mathrm I }$ иерархии дКП из работы [21], получили детерминантное представление оператора $T_{(m,k)}$, который представляет собой последовательное $m$-кратное применение оператора $T_{ \mathrm D }$ и $k$-кратное применение оператора $T_{ \mathrm I }$, для случаев $m>k$ и $m=k$. В настоящей работе мы дополняем этот результат, рассматривая случай $m<k$. Впоследствии в работе [22] было построено калибровочное преобразование иерархии одКП, а также обсуждалось детерминантное представление последовательности калибровочных преобразований разностного типа. Если применить два калибровочных преобразования $T_{ \mathrm D }(\Phi)$ и $T_{ \mathrm I }(\Psi)$, можно получить преобразованные собственные функции, сопряженные собственные функции и тау-функцию [7]. На основе спектрального представления из теоремы 1 мы доказываем, что преобразованные тау-функции удовлетворяют билинейному уравнению, что является нашим первым результатом в настоящей статье. В предложении 9 мы дополняем детерминантное представление многократного преобразования из работы [7], рассматривая случай $m<k$. Затем мы представляем эквивалентное описание иерархии $k$-одКП, этот результат содержится в теореме 2. Далее калибровочные преобразования $T_{ \mathrm D }$ и $T_{ \mathrm I }$ иерархии дКП применяются к иерархии 1-одКП, при этом мы имеем два способа выбора собственных функций (мы обозначаем их как способы $\mathbf{I}$ и $\mathbf{II}$), сохраняющих вид оператора Лакса при преобразованиях $T_{ \mathrm D }$ и $T_{ \mathrm I }$ соответственно. Аналогично рассуждениям в работах [7], [22] для преобразования $T_{(m,k)}$ мы видим, что возможны четыре комбинации способов выбора $\mathbf{I}$ и $\mathbf{II}$. Выбрав в качестве примера один из четырех случаев, мы получаем преобразованную собственную функцию, сопряженную собственную функцию и тау-функцию иерархии одКП (см. теорему 3). Для остальных случаев результат получается аналогично. Работа организована следующим образом. В разделе 2 мы сначала рассматриваем определение иерархии дКП и потенциал квадрата собственной функции в дискретном случае, а затем приводим некоторые полезные результаты, в том числе спектральное представление собственной функции и сопряженной собственной функции [8]. На основе спектрального представления и калибровочных преобразований иерархии дКП мы доказываем, что после калибровочных преобразований двух типов тау-функции удовлетворяют билинейному уравнению. Далее мы делаем некоторые заключения о детерминантном представлении многократного преобразования иерархии дКП, дополняя вывод работы [7]. В разделе 3 для иерархии $k$-одКП мы доказываем, что условие для оператора Лакса эквивалентно условию для тау-функции, тем самым получая эквивалентное описание иерархии $k$-одКП. Для двух элементарных калибровочных преобразований $T_{ \mathrm D }$ и $T_{ \mathrm I }$ непосредственным вычислением мы находим, что существуют два способа выбора $\mathbf{I}$ и $\mathbf{II}$ собственных функций, сохраняющих вид оператора Лакса иерархии 1-одКП. Для одного из четырех способов выбора оператора $T_{(m,k)}$ мы приводим подробный вывод преобразованной собственной функции, сопряженной собственной функции и тау-функции иерархии одКП. Последний раздел 4 посвящен подведению итогов и перспективам дальнейших исследований. 2. Иерархия дКПВ этом разделе мы вводим важные обозначения и представляем необходимые результаты, касающиеся иерархии дКП. Детали можно найти в [7], [8], [22]. 2.1. Разностный операторПусть $\mathcal{F}$ – ассоциативное кольцо функций, заданное как
$$
\begin{equation}
\mathcal F=\{f(n)=f(n;t_1,t_2,\ldots,t_j,\ldots),\;\;n\in\mathbb{Z},\;\,t_i\in\mathbb{R}\},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где каждая функция зависит от дискретной переменой $n\in\mathbb{Z}$ и бесконечно многих временн\’ых переменных $t_i\in\mathbb{R}$. Введем оператор сдвига $\Lambda$ и разностный оператор $\Delta=\Lambda-I$: Ассоциативное кольцо $\mathcal R$ формальных псевдоразностных операторов определяется как
$$
\begin{equation*}
\mathcal R=\mathcal F(\Delta)=\biggl\{\sum_{j=-\infty}^{d}f_j(n)\Delta^j,\;\; f_j\in\mathcal F\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сопряженное кольцо задается как
$$
\begin{equation*}
\mathcal R^*=\mathcal F(\Delta^*)=\biggl\{\sum_{j=-\infty}^{d}\Delta^{*j}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} f_j(n),\;\; f_j\in\mathcal F\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для псевдоразностного оператора $A=\sum_j a_j(n)\Delta^j\in\mathcal R$ введем чисто разностную и чисто псевдоразностную части
$$
\begin{equation*}
A_{\geqslant 0}=\sum_{j\geqslant 0}a_j(n)\Delta^j,\qquad A_{<0}=\sum_{j>0}a_{-j}(n)\Delta^{-j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Во избежание недоразумений будем использовать следующие обозначения: для любого (псевдо)разностного оператора $P$ и функции $f$ символ $Pf$ или $P(f)$ означает действие $P$ на $f$, а символ $P\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} f$ означает произведение оператора $P$ на оператор нулевого порядка $f$. Оператор, сопряженный к оператору $P$, мы обозначаем как $P^*$, для него выполнены равенства $(P\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} Q)^*=Q^*\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} P^*$, $f^*=f$ и $\Delta^*=\Lambda^{-1}-I=-\Delta\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\Lambda^{-1}$. Если функция стоит слева от разностного оператора, далее мы часто будем опускать знак $\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}$ композиции операторов. Для любого $j\in\mathbb{Z}$ $\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}$-произведение операторов $\Delta^j$ или $(\Delta^*)^j$ и функции $f$ удовлетворяет равенствам
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Delta^j\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} f&=\sum_{i=0}^{\infty}\binom{j}{i}(\Delta^{i}f(n+j-i))\Delta^{j-i}, \\ (\Delta^*)^j\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} f&=\sum_{i=0}^{\infty}\binom{j}{i}((\Delta^*)^{i}f(n-j+i))(\Delta^*)^{j-i}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Delta^jf&=\sum_{i=0}^{\infty}\binom{j}{i}(-1)^if(n+j-i), \\ (\Delta^*)^jf&=\sum_{i=0}^{\infty}\binom{j}{i}(-1)^if(n-j+i). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Здесь $\binom{j}{i}=\frac{j(j-1)\ldots(j-i+1)}{i!}$. 2.2. Уравнения Лакса для иерархии дКПИерархия дКП задается уравнениями Лакса
$$
\begin{equation}
\frac{\partial L}{\partial t_i}=[B_i,L],\qquad i=1,2,\ldots,
\end{equation}
\tag{5}
$$
где оператор Лакса $L$ – это пседоразностный оператор первого порядка,
$$
\begin{equation}
L=\Delta+u+\sum_{i=1}^{\infty}u_i\Delta^{-i},\qquad u,u_i\in\mathcal F,
\end{equation}
\tag{6}
$$
и $B_i=(L^i)_{\geqslant 0}$ – разностная часть оператора $L^i$. Еще одним важным объектом является волновая функция и сопряженная волновая функция, определяемые выражениями
$$
\begin{equation}
w(n;t,z) =W(n;t) \operatorname{Exp} (n;t,z)=\widetilde{W}(n;t,z) \operatorname{Exp} (n;t,z),
\end{equation}
\tag{7}
$$
$$
\begin{equation}
w^*(n;t,z) =(W^{-1}(n-1;t))^* \operatorname{Exp} ^{-1}(n;t,z)=\widetilde{W}^*(n;t,z) \operatorname{Exp} ^{-1}(n;t,z),
\end{equation}
\tag{8}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Exp} (n;t,z)=(1+z)^n \exp\biggl(\,\sum_{i=1}^{\infty}t_iz^i\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $W(n;t)=1+\sum_{i=1}^\infty w_i(n;t)\Delta^{-i}$ есть одевающий оператор, связанный с оператором Лакса равенством
$$
\begin{equation}
L=W\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\Delta\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} W^{-1},
\end{equation}
\tag{9}
$$
при этом $(W^{-1}(n-1;t))^*=1+\sum_{i=1}^\infty w^*(n;t)(\Delta^*)^{-i}$. Поскольку для $ \operatorname{Exp} (n;t,z)$ имеют место тождества
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Delta^j \operatorname{Exp} (n;t,z)&=z^j \operatorname{Exp} (n;t,z), \\ (\Delta^*)^j \operatorname{Exp} ^{-1}(n;t,z)&=z^j \operatorname{Exp} (n;t,z),\qquad j\in\mathbb{Z}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
напрямую получаем, что
$$
\begin{equation*}
\widetilde{W}(n;t,z)=1+\sum_{i=1}^\infty w_i(n;t)z^{-i},\qquad \widetilde{W}^*(n;t,z)=1+\sum_{i=1}^\infty w_i^*(n;t)z^{-i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Существует тау-функция $\tau(n;t)$ [2], такая что
$$
\begin{equation}
\widetilde{W}(n;t,z) =\frac{\tau(n;t-[z^{-1}])}{\tau(n;t)}=\sum_{i=0}^\infty\frac{p_i(-[\partial])\tau(n;t)}{\tau(n;t)}z^{-i},
\end{equation}
\tag{11}
$$
$$
\begin{equation}
{\widetilde{W}}^*(n;t,z) =\frac{\tau(n;t+[z^{-1}])}{\tau(n;t)}=\sum_{i=0}^\infty \frac{p_i([\partial])\tau(n;t)}{\tau(n;t)}z^{-i},
\end{equation}
\tag{12}
$$
где
$$
\begin{equation*}
[z^{-1}]=\biggl(\frac{1}{z},\frac{1}{2z^2},\frac{1}{3z^3},\ldots\biggl),\qquad [\partial]=\biggl(\frac{\partial}{\partial t_1},\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t_2},\frac{1}{3}\frac{\partial}{\partial t_3},\ldots\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и многочлены Шура $p_i(t)$ задаются равенством
$$
\begin{equation*}
\exp\biggl(\,\sum_{j=1}^\infty t_jz^j\biggr)=\sum_{i=0}^{\infty}p_i(t_1,t_2,\ldots)z^i.
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью (6), (7), (9) и (11) получаем $u(n;t)=-\Delta w_1(n;t)=\Delta\,\partial_x\ln\tau(n;t)$. Для многих известных интегрируемых систем, помимо уравнений Лакса, важной эквивалентной формулировкой является билинейное уравнение. Для иерархии дКП оно имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathop{\rm res}\limits _z w(m;t,z)w^*(n;t',z)=0,\qquad m\geqslant n.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Используя определение волновых функций, получаем следующие свойства:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} L^jw&=z^jw,&\qquad\frac{\partial w}{\partial t_i}&=B_iw, \\ (L^*(n-1))^jw^*&=z^jw^*,&\qquad\frac{\partial w^*}{\partial t_i}&=-B_i^*(n-1)w^*. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{14}
$$
2.3. Спектральное представление собственных функций иерархии дКППотенциал квадрата собственной функции играет важную роль в иерархии КП. В этом пункте мы в основном суммируем соответствующие результаты о спектральном представлении иерархии дКП из работы [8]. Как и в непрерывном случае, для собственной функции $\phi$ и сопряженной собственной функции $\psi$ иерархии дКП существует функция $S(\phi,\psi)$, такая что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Delta S(\phi,\psi)=\phi\psi, \\ \frac{\partial S(\phi,\psi)}{\partial t_i}= \mathop{\rm res}\limits _\Delta(\Delta^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\psi\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} B_i\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\phi\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\Delta^{-1}). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Здесь собственные функции $\phi$ и $\psi$ удовлетворяют уравнениям динамики
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \phi}{\partial t_i}=B_i\phi,\qquad\frac{\partial \psi}{\partial t_i}=-B_i^*\psi.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Очевидно, что (сопряженная) волновая функция является (сопряженной) собственной функцией. Приведем следующие результаты из работ [3], [8] и [2], важные для наших рассуждений. Лемма 1. Для $f\in\mathcal F$ и $A\in\mathcal R$ имеют место следующие тождества: Предложение 1. Для произвольно фиксированной бесконечномерной временн\’ой переменной $t'$ и произвольных фиксированных $m,n\in\mathbb{Z}$, $m\geqslant n$, собственная функция $q$ и сопряженная собственная функция $r$ иерархии дКП обладают спектральными представлениями вида Лемма 3. Для функции $S$ иерархии дКП от собственной функции $q(n;t)$ и сопряженной собственной функции $r(n;t)$ имеют место следующие равенства: Объединяя предложение 1 и лемму 3, получаем следующее предложение. Предложение 2. Спектральные представления собственной функции $q$ и сопряженной собственной функции $r$ иерархии дКП имеют вид Используя соотношения (8), (21), получаем тождество
$$
\begin{equation}
-S(q(n;t),w^*(n+1;t,z))=\frac{\tau(n;t+[z^{-1}])q(n;t+[z^{-1}])}{z\tau(n;t)} \operatorname{Exp} ^{-1}(n;t,z).
\end{equation}
\tag{23}
$$
Возьмем производную по $x$ от обеих частей тождества, заменим $t$ на $t-[z^{-1}]$ и поделим обе части получившегося равенства на $\tau(n;t)q(n;t)$, получим
$$
\begin{equation}
z\frac{q(n;t-[z^{-1}])}{q(n;t)}-z+\partial\ln q(n;t)=\partial\ln \frac{\tau(n;t-[z^{-1}])}{\tau(n;t)},
\end{equation}
\tag{24}
$$
где $\partial=\partial/\partial x$. Тождество (24) означает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sum_{i=2}^{\infty}\frac{p_i(-[\partial])q(n;t)z^{-i+1}}{q(n;t)}=\sum_{j=1}^{\infty} p_j(-[\partial])(\partial\ln\tau(n;t))z^{-j}, \\ p_i(-[\partial])q(n;t)=[p_{i-1}(-[\partial])(\partial\ln\tau(n;t))]q(n;t),\qquad i\geqslant 2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для краткости записи введем оператор $\hat\Delta_z$, который действует на каждую функцию $f(n;t)\in\mathcal F$ как Далее введем функцию $h(n;t,z)$,
$$
\begin{equation}
h(n;t,z)=\sum_{i=1}^{\infty}h_{i+1}(n;t)z^{-i}=\sum_{i=1}^{\infty} p_i(-[\partial])(\partial\ln\tau(n;t))z^{-i}=\hat\Delta_z\,\partial\ln\tau(n;t).
\end{equation}
\tag{25}
$$
Как обобщение выражения (25) положим для $l\geqslant 1$
$$
\begin{equation}
h^{(l)}(n;t,z)=\sum_{i=1}^{\infty}h_i^{(l)}(n;t)z^{-i}\triangleq\frac{\partial}{\partial t_l}\ln w(n;t,z)-z^l=\hat\Delta_z\,\partial_{t_l}\ln\tau(n;t),
\end{equation}
\tag{26}
$$
тогда $h_i^{(l)}(n;t)=p_i(-[\partial])\,\partial_{t_l}\ln\tau(n;t)$ и $h_i^{(1)}(n;t)=h_{i+1}(n;t)$ для $i\geqslant 1$. Нетрудно видеть, что формула (25) есть частный случай (26) при $l=1$. Для оператора Лакса (6) иерархии дКП напрямую выводится следующее тождество: Рассмотрим для $|\mu|\leqslant|z|$ билокальный вершинный оператор
$$
\begin{equation}
\chi(n;z,\mu)=\frac{1}{z-\mu} \operatorname{Exp} (n;t,\mu) \operatorname{Exp} ^{-1}(n;t,z)e^{\sum_i \frac{1}{i}(z^{-i}-\mu^{-i})\frac{\partial}{\partial t_i}},
\end{equation}
\tag{28}
$$
который можно также записать как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \chi(n;z,\mu)&=\frac{1}{z} \operatorname{Exp} (n;t+[z^{-1}],\mu) \operatorname{Exp} ^{-1}(n;t,z)e^{\sum_i\frac{1}{i}(z^{-i}-\mu^{-i})\frac{\partial}{\partial t_i}}= \nonumber\\ &=-\frac{1}{\mu} \operatorname{Exp} (n;t,\mu) \operatorname{Exp} ^{-1}(n;t-[\mu^{-1}],z)e^{\sum_i\frac{1}{i}(z^{-i}-\mu^{-i})\frac{\partial}{\partial t_i}}+\delta(z,\mu), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\delta(z,\mu)=\frac{1}{z}\frac{1}{1-\mu/z}+\frac{1}{\mu}\frac{1}{1-z/\mu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из представлений волновых функций через тау-функцию мы выводим следующие тождества:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\chi(n;z,\mu)\tau(n;t)}{\tau(n;t)}&=\frac{1}{z} w(n;t+[z^{-1}],\mu)w^*(n;t,z)= \nonumber\\ &=-\frac{1}{\mu} w(n;t,\mu)w^*(n;t-[\mu^{-1}],z)+\delta(z,\mu). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
Тау-функция $\tau(n;t)$ иерархии дКП удовлетворяет тождеству Фэя [3]
$$
\begin{equation}
(s_0-s_1)(s_2-s_{3})\tau(n;t+[s_0]+[s_1])\tau(n;t+[s_2]+[s_{3}])+\text{cycle}(1,2,3)=0.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Пусть $s_0=0$. Заменим в тождестве (31) $t$ на $t-[s_2]-[s_{3}]$ и поделим обе его части на $s_1s_2s_{3}$, получим стандартную форму тождества Фэя:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & (s^{-1}_2-s^{-1}_{3})\tau(n;t+[s_1]-[s_2]-[s_{3}])\tau(n;t)+{} \nonumber\\ &\qquad +(s^{-1}_1-s^{-1}_2)\tau(n;t-[s_2])\tau(n;t+[s_1]-[s_{3}])+{} \nonumber\\ &\qquad +(s^{-1}_{3}-s^{-1}_1)\tau(n;t-[s_{3}])\tau(n;t+[s_1]-[s_2])=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
Отсюда можно вывести разностное тождество Фэя [3]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (s^{-1}_{3}+1)&\Delta\biggl(\frac{\tau(n;t+[s_1]-[s_{3}])}{\tau(n;t)}\biggr)= \nonumber\\ &=(s^{-1}_{3}-s^{-1}_1)\biggl(\frac{\tau(n;t-[s_{3}])\tau(n+1;t+[s_1])}{\tau(n;t)\tau(n+1;t)}-\frac{\tau(n;t+[s_1]-[s_{3}])}{\tau(n;t)}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
В силу (30) и леммы 4 выполнены два тождества
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta\biggl(\frac{1}{z}w(n;t+[z^{-1}],\mu)w^*(n;t,z)\biggr)&=-w(n;t,\mu)w^*(n+1;t,z), \\ \Delta\biggl(\frac{1}{\mu}w(n;t,\mu)w^*(n;t-[\mu^{-1}],z)\biggr)&=w(n;t,\mu)w^*(n+1;t,z), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
из которых мы получаем следующее предложение. Предложение 3. Функция $S$ от волновой функции и сопряженной волновой функции удовлетворяет уравнениям Пусть в (32) $s_1=\mu^{-1}$, $s_2=z^{-1}$ и $s_3=\lambda^{-1}$, тогда, комбинируя определения (7) и (8) волновой функции и сопряженной волновой функции, получаем следующий результат. Лемма 5. Тождество Фэя эквивалентно следующему билинейному тождеству для волновых функций и сопряженных волновых функций: В силу этой леммы и спектральных представлений волновой функции и сопряженной волновой функции из предложений 2 и 3 имеем Предложение 4. Функция $S$ от собственной функции и сопряженной собственной функции удовлетворяет уравнению Все сделанные нами выводы верны для иерархии дКП и для любой собственной функции $q(n;t)$ и сопряженной собственной функции $r(n;t)$. 2.4. Калибровочное преобразование иерархии дКППрежде чем обсуждать калибровочное преобразование иерархии одКП, сначала вкратце рассмотрим калибровочное преобразование иерархии дКП. Мы говорим, что псевдоразностный оператор $T$ – калибровочное преобразование иерархии дКП, если оператор
$$
\begin{equation*}
L^{(1)}=T\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} L^{(0)}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T^{-1}
\end{equation*}
\notag
$$
также является оператором Лакса иерархии дКП, т. е. выполнено уравнение
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial L^{(1)}}{\partial{t_n}}=[B_n^{(1)},L^{(1)}],
\end{equation*}
\notag
$$
где $B_n^{(1)}={(L^{(1)})^n}_{\geqslant 0}$. Предложение 5. Если псевдоразностный оператор $T$ удовлетворяет уравнению то $T$ – калибровочное преобразование иерархии дКП. Пользуясь предложением 5, можно непосредственно проверить, что если $T$ – калибровочное преобразование иерархии дКП, соответствующее оператору Лакса $L$, а $\Phi$ и $\Psi$ – собственная функция и сопряженная собственная функция соответственно, то $T(\Phi)$ и $(T^*)^{-1}(\Psi)$ также являются собственной и сопряженной собственной функциями иерархии дКП с $L^{(1)}=TLT^{-1}$. При этом $L^i(\Phi)$ и $(L^*)^i(\Psi)$, $i\geqslant 1$, остаются собственной и сопряженной собственной функциями оператора $L$. Иерархия дКП обладает операторами калибровочных преобразований двух типов [21]:
$$
\begin{equation}
T_{ \mathrm D }(\Phi)=\Lambda(\Phi)\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\Delta\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\Phi^{-1},\qquad T_{ \mathrm I }(\Psi)=\Lambda^{-1}(\Psi^{-1})\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\Delta^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\Psi.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Здесь $\Phi$ и $\Psi$ – собственная функция и сопряженная собственная функция оператора $L$, которые удовлетворяют уравнениям динамики
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\Phi}{\partial_{t_n}}=B_n\Phi,\qquad \frac{\partial\Psi}{\partial_{t_n}}=-(B_n)^*\Psi.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим $T_{ \mathrm D }$ и $T_{ \mathrm I }$ дают нуль при действии на свои производящие функции:
$$
\begin{equation*}
T_{ \mathrm D }^{}(\Phi)\Phi=0,\qquad (T_{ \mathrm I }^*(\Psi))^{-1}\Psi=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Напрямую получаем, что для калибровочного преобразования $T_{ \mathrm D }(\Phi)$
$$
\begin{equation*}
L^{(1)}=T_{ \mathrm D }^{}(\Phi)\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} L\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm D }^{-1}(\Phi)=\Delta+\Delta\biggl(\frac{\Delta\Phi}{\Phi}\biggr)+u(n+1)+(L^{(1)})_{<0}^{},
\end{equation*}
\notag
$$
что дает
$$
\begin{equation}
u^{(1)}=\Delta\biggl(\frac{\Delta\Phi}{\Phi}\biggr)+u(n+1).
\end{equation}
\tag{40}
$$
Поскольку $\Phi$ – собственная функция, $\Phi_x=B_1\Phi=\Delta\Phi+u\Phi$. Если теперь подставить $\Delta\Phi=\Phi_x-u\Phi$ в (40) и заметить, что $u=\Delta\,\partial_x\ln\tau$ и $u^{(1)}=\Delta\,\partial_x\ln\tau^{(1)}$, то из (40) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u^{(1)}&=\Delta\biggl(\frac{\Phi_x-u\Phi}{\Phi}\biggr)+u(n+1)=\Delta\,\partial_x\ln\Phi+u= \\ &=\Delta\,\partial_x\ln\Phi+\Delta\,\partial_x\ln\tau=\Delta\,\partial_x\ln(\Phi\tau), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
таким образом, $\tau^{(1)}=\Phi\tau$ с точностью до постоянной. Аналогично для калибровочного преобразования $T_{ \mathrm I }(\Psi)$ получаем, что $\tau^{(1)}=\Lambda^{-1}(\Psi)\tau$. В работе [7] с помощью описанной выше процедуры был найден вид преобразованных тау-функций, но осталось неясным, удовлетворяют ли новые функции билинейному уравнению. Далее мы дадим утвердительный ответ на этот вопрос. Лемма 6. Собственная функция и сопряженная собственная функция иерархии дКП удовлетворяют тождествам Доказательство. Докажем тождество (41). В силу спектрального представления собственной функции из предложения 2 Теорема 1. При калибровочном преобразовании $T_{ \mathrm D }(\Phi)$ (калибровочном преобразовании $T_{ \mathrm I }(\Psi)$) функция $\Phi\tau$ (соответственно функция $\Lambda^{-1}(\Psi)\tau$) удовлетворяет билинейному тождеству. Доказательство. Функция $\tau$ является тау-функцией иерархии дКП, если и только если она удовлетворяет уравнению Докажем равенство (43). Учтем связь между волновой функцией $w(m;t,z)$ и тау-функцией, тогда, используя соотношения (21), (41) и (19), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathop{\rm res}\limits _z&[(\Phi\tau)(m;t-[z^{-1}])][(\Phi\tau)(n;t'+[z^{-1}])] \operatorname{Exp} (m;t,z) \operatorname{Exp} ^{-1}(n;t',z)= \\ &=\tau(m;t)\tau(n;t) \mathop{\rm res}\limits _z\Phi(m;t-[z^{-1}])w(m;t,z)\Phi(n;t'+[z^{-1}])w^*(n;t',z)= \\ &=-\tau(m;t)\tau(n;t) \mathop{\rm res}\limits _z\Phi(m;t-[z^{-1}])w(m;t,z)zS(\Phi(n;t'),w^*(n+1;t',z))= \\ &=-\tau(m;t)\tau(n;t) \mathop{\rm res}\limits _z \mu [w(m;t,z)\Phi(m;t-[\mu^{-1}])-{} \\ &\kern100pt-w(m, t-[\mu^{-1}],z)\Phi(m;t)]S(\Phi(n;t'),w^*(n+1;t',z))= \\ &=-\tau(m;t)\tau(n;t)\mu[\Phi(m;t)\Phi(m;t-[\mu^{-1}])-\Phi(m;t)\Phi(m;t-[\mu^{-1}])]=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично выводится тождество (44). $\blacksquare$ Мы говорим, что $\Phi\tau$ и $\Lambda^{-1}(\Psi)\tau$ являются преобразованиями тау-функции иерархии дКП при калибровочных преобразованиях $T_{ \mathrm D }(\Phi)$ и $T_{ \mathrm I }(\Psi)$ соответственно. В доказанной теореме мы, объединив результат теоремы 1 со спектральным представлением и применив билинейное уравнение, доказали, что $\Phi\tau$ и $\Lambda^{-1}(\Psi)\tau$ являются тау-функциями оператора $L^{(1)}$ после двух типов калибровочных преобразований. Теорему 1 можно использовать как дополнение к результатам работы [7]. Предложение 6 [7]. При элементарном калибровочном преобразовании $T_{ \mathrm D }(\Phi_1)$ соответствующие преобразования собственной функции $\Phi$, сопряженной собственной функции $\Psi$ и тау-функции иерархии дКП принимают вид При элементарном калибровочном преобразовании $T_{ \mathrm I }(\Psi_1)$ соответствующие преобразования имеют вид 2.5. Детерминантное представление последовательности калибровочных преобразованийПусть $\Phi_i$ и $\Psi_i$ ($1\leqslant i\leqslant m$) – это $m$ независимых собственных функций и сопряженных собственных функций. Непосредственным вычислением можно доказать, что $T_{ \mathrm D }(\Phi)$ и $T_{ \mathrm I }(\Psi)$ коммутируют, т. е.
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_{ \mathrm D }^{}(\Phi_2^{(1)})\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm D }^{}(\Phi_1^{(0)})&=T_{ \mathrm D }^{}(\Phi_1^{(1)})\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm D }^{}(\Phi_2^{(0)}), \\ T_{ \mathrm D }^{}(\Phi_1^{(1)})\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm I }^{}(\Psi_1^{(0)})&=T_{ \mathrm I }^{}(\Psi_1^{(1)})\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm D }^{}(\Phi_1^{(0)}), \\ T_{ \mathrm I }^{}(\Psi_2^{(1)})\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm I }^{}(\Psi_1^{(0)})&=T_{ \mathrm I }^{}(\Psi_1^{(1)})\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm I }^{}(\Psi_2^{(0)}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Этот факт имеет решающее значение при нахождении детерминантного представления для последовательности калибровочных преобразований $T_{(m,k)}$ иерархии дКП и иерархии одКП. Чтобы упростить это детерминантное представление, воспользуемся дискретным вронскианом
$$
\begin{equation*}
W_m^{\Delta}(\Phi_1,\ldots,\Phi_m)= \begin{vmatrix} \Phi_1 & \Phi_2 & \ldots & \Phi_m \\ \Delta\Phi_1 & \Delta\Phi_2 & \ldots & \Delta\Phi_m \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ \Delta^{m-1}\Phi_1 &\Delta^{m-1}\Phi_2 & \ldots & \Delta^{m-1}\Phi_m. \end{vmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем более общий определитель
$$
\begin{equation*}
IW_{m,k}^{\Delta}(\Psi_k,\ldots,\Psi_1;\Phi_1,\ldots,\Phi_m)= \begin{vmatrix} \Delta^{-1}(\Psi_k\Phi_1) & \Delta^{-1}(\Psi_k\Phi_2) & \ldots & \Delta^{-1}(\Psi_k\Phi_m) \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ \Delta^{-1}(\Psi_1\Phi_1) & \Delta^{-1}(\Psi_1\Phi_2) & \ldots & \Delta^{-1}(\Psi_1\Phi_m) \\ \Phi_1 &\Phi_2 & \ldots & \Phi_m \\ \Delta\Phi_1 &\Delta\Phi_2 & \ldots & \Delta\Phi_m \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ \Delta^{m-k-1}\Phi_1 &\Delta^{m-k-1}\Phi_2 & \ldots & \Delta^{m-k-1}\Phi_m. \end{vmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
и определитель
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &IW_{m,k}^{\Delta^*}(\Phi_m,\ldots,\Phi_1;\Psi_1,\ldots,\Psi_k)= \\ &\quad = \begin{vmatrix} (\Delta^*)^{-1}(\Phi_m\Psi_1) & (\Delta^*)^{-1}(\Phi_m\Psi_2) & \ldots & (\Delta^*)^{-1}(\Phi_m\Psi_k) \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ (\Delta^*)^{-1}(\Phi_1\Psi_1) & (\Delta^*)^{-1}(\Phi_1\Psi_2) & \ldots & (\Delta^*)^{-1}(\Phi_1\Psi_k) \\ \Psi_1 &\Psi_2 & \ldots & \Psi_k \\ \Delta^*(\Psi_1) &\Delta^*(\Psi_2) & \ldots & \Delta^*(\Psi_k) \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ (\Delta^*)^{k-m-1}(\Psi_1) & (\Delta^*)^{k-m-1}(\Psi_2) & \ldots & (\Delta^*)^{k-m-1}(\Psi_k) \end{vmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
IW_{m,m}^{\Delta^*}(\Phi_m,\ldots,\Phi_1;\Psi_1,\ldots,\Psi_m)=(-1)^m\Lambda(IW_{m,m}^{\Delta}(\Phi_m,\ldots,\Phi_1; \Psi_1,\ldots,\Psi_m)).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу предложения 6 общий оператор $T_{(m,k)}$ калибровочного преобразования, которое состоит из $m$ преобразований $T_{ \mathrm D }$ и $k$ преобразований $T_{ \mathrm I }$, задается как
$$
\begin{equation*}
T_{(m,k)}^{}=T_{ \mathrm I }^{}(\Psi_k^{(m+k-1)})\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\cdots\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm I }^{}(\Psi_1^{(m)})\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm D }^{}(\Phi_m^{(m-1)})\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\cdots\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm D }^{}(\Phi_2^{(1)})\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm D }^{}(\Phi_1^{(0)}),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Phi_i^{(i-1)}&=T_{ \mathrm D }^{}(\Phi_{i-1}^{(i-2)})\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\cdots\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm D }^{}(\Phi_2^{(1)})\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm D }^{}(\Phi_1^{(0)})(\Phi_i^{(0)}),\kern70pt 1\leqslant i\leqslant m, \\ \Psi_j^{(m)}&=(T_{ \mathrm D }^*(\Phi_m^{(m-1)}))^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\cdots\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} (T_{ \mathrm D }^*(\Phi_2^{(1)}))^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} (T_{ \mathrm D }^*(\Phi_1^{(0)}))^{-1}(\Psi_j^{(0)}),\quad 1\leqslant j\leqslant k, \\ \Psi_j^{(m+j-1)}&=(T_{ \mathrm I }^*(\Psi_{j-1}^{(m+j-2)}))^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\cdots\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} (T_{ \mathrm I }^*(\Psi_2^{(m+1)}))^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} (T_{ \mathrm I }^*(\Psi_1^{(m)}))^{-1}(\Psi_j^{(m)}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Преобразование тау-функции имеет вид
$$
\begin{equation}
\tau^{(m+k)}=\Lambda^{-1}(\Psi_k^{(m+k-1)})\ldots\Lambda^{-1}(\Psi_1^{(m)})\Phi_m^{(m-1)}\ldots\Phi_1^{(0)}\tau.
\end{equation}
\tag{47}
$$
При этом оператор Лакса иерархии дКП преобразуется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L^{(0)}&{}\stackrel{T_{ \mathrm D }^{}(\Phi_1^{(0)})}{\longrightarrow}L^{(1)}\stackrel{T_{ \mathrm D }^{}(\Phi_2^{(1)})} {\longrightarrow}L^{(2)}\longrightarrow\cdots\longrightarrow L^{(m-1)}\stackrel{T_{ \mathrm D }^{}(\Phi_m^{(m-1)})}{\longrightarrow}L^{(m)} \stackrel{T_{ \mathrm I }(\Psi_1^{(m)})}{\longrightarrow} \\ &{}\stackrel{T_{ \mathrm I }(\Psi_1^{(m)})}{\longrightarrow}L^{(m+1)}\stackrel{T_{ \mathrm I }(\Psi_2^{(m+1)})}{\longrightarrow} L^{(m+2)}\longrightarrow\cdots\longrightarrow L^{(m+k-1)}\stackrel{T_{ \mathrm I }(\Psi_k^{(m+k-1)})}{\longrightarrow}L^{(m+k)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее перечислим некоторые важные результаты. Детерминантные представления многократного калибровочного преобразования в случаях $m>k$ и $m=k$ были получены в работе [7], случай $m<k$ мы рассматриваем впервые. Предложение 7. Для $m>k$ операторы $T_{(m,k)}$ и $(T_{(m,k)}^*)^{-1}$ имеют следующие детерминантные представления: Предложение 8. Для $m=k$ операторы $T_{(m,m)}$ и $(T_{(m,m)}^*)^{-1}$ имеют следующие детерминантные представления: Следуя методике работы [7], мы получаем соответствующие выражения в случае $m<k$. Все определители разлагаются по строке или столбцу с операторными элементами, и оператор стоит справа, а алгебраическое дополнение – слева. Предложение 9. Для $m<k$ операторы $T_{(m,m)}$ и $(T_{(m,m)}^*)^{-1}$ имеют следующие детерминантные представления:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (T_{(m,k)}^*)^{-1}&=\frac{1}{IW_{m,k}^{\Delta^*}(\Phi_m,\ldots,\Phi_1;\Psi_1,\ldots,\Psi_k)}\times{} \\ &\qquad\times\begin{vmatrix} (\Delta^*)^{-1}(\Phi_m\Psi_1) & \ldots & (\Delta^*)^{-1}(\Phi_m\Psi_k) & (\Delta^*)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\Phi_m \\ \vdots & \ddots & \vdots &\vdots \\ (\Delta^*)^{-1}(\Phi_1\Psi_1) & \ldots & (\Delta^*)^{-1}(\Phi_1\Psi_k) & (\Delta^*)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\Phi_1 \\ \Psi_1 & \ldots & \Psi_k &1 \\ \Delta^*(\Psi_1) & \ldots & \Delta^*(\Psi_k) &\Delta^* \\ \vdots & \ddots & \vdots &\vdots \\ (\Delta^*)^{k-m}(\Psi_1) & \ldots & (\Delta^*)^{k-m}(\Psi_k) & (\Delta^*)^{k-m} \end{vmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
3. Иерархия одКПЕсли наложить на оператор Лакса (6) условие
$$
\begin{equation}
L^k=B_k+q\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\Delta^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} r,\qquad k\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{48}
$$
то получается иерархия $k$-одКП, которая задается уравнениями (5), (6) и (48), где $q$ и $r$ – собственная функция и сопряженная собственная функция. 3.1. Эквивалентное условие для тау-функцииДокажем, что для иерархии $k$-одКП условие (48) для оператора Лакса эквивалентно определенному условию для тау-функции. Доказательство. ${}\Rightarrow{}$. Используя (48), (22) и предложение 4, имеем ${}\Leftarrow{}$. Используя равенство $\partial\tau(n;t)/\partial t_k=S(q(n;t),r(n;t))\tau(n;t)$ и предложение 4, получаем
$$
\begin{equation}
\hat\Delta_z\,\partial_{t_k}\ln\tau(n;t)=\hat\Delta_z S(q(n;t),r(n;t))=-\frac{1}{z}q(n;t)r(n-1;t-[z^{-1}]).
\end{equation}
\tag{50}
$$
Далее с помощью непосредственных вычислений выводим следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\partial_{t_k}\ln w(n;t,z)=\hat\Delta_z\,\partial_{t_k}\ln\tau(n;t)+z^k.
\end{equation}
\tag{51}
$$
Сравнивая (50) и (51), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_{t_k}\ln w(n;t,z)&=z^k-\frac{1}{z}q(n;t)r(n-1;t-[z^{-1}]), \\ \partial_{t_k}w(n;t,z)&=\biggl(z^k-\frac{1}{z}q(n;t)r(n-1;t-[z^{-1}])\biggr)w(n;t,z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для $m\geqslant n$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathop{\rm res}\limits _z{}&\partial_{t_k}w(m;t,z)w^*(n;t',z)= \\ &= \mathop{\rm res}\limits _z\biggl(z^k-\frac{1}{z}q(m;t)r(m-1;t-[z^{-1}])\biggr)w(m;t,z)w^*(n;t',z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу билинейного тождества (13) левая часть последнего равенства равна нулю. Применяя спектральное представление сопряженной собственной функции из предложения 2, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathop{\rm res}\limits _z z^k w(m;t,z)w^*(n;t',z)&= \mathop{\rm res}\limits _z \frac{1}{z}q(m;t)r(m-1;t-[z^{-1}])w(m;t,z)w^*(n;t',z)= \\ &=q(m;t)r(n-1;t'). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В результате для $l\geqslant 0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\mathop{\rm res}\limits _z z^k w(m;t,z)[(\Delta^*)^l w^*(n;t',z)]=q(m;t)[(\Delta^*)^l r(n-1;t')].
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $m=n$ и $t'=t$, тогда
$$
\begin{equation*}
\mathop{\rm res}\limits _z z^k w(n;t,z)[(\Delta^*)^l w^*(n;t,z)]=q(n;t)[\Lambda^{-1}(\Delta^*)^l r(n;t)].
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 2 выполняется тождество $ \mathop{\rm res}\limits _{z} z^{k}w(n;t,z)[(\Delta^*)^lw^*(n;t,z)]= \mathop{\rm res}\limits _{\Delta}L^{k}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\Delta^{l}$. Предположим, что тогда
$$
\begin{equation*}
\mathop{\rm res}\limits _{\Delta}L^{k}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\Delta^{l}= \mathop{\rm res}\limits _{\Delta}(L^{k})_{-}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\Delta^{l} = \mathop{\rm res}\limits _{\Delta}\sum_{j=1}^{\infty}a_j(n;t)\Delta^{l-j}=a_{l+1}(n;t).
\end{equation*}
\notag
$$
Это влечет $a_{l+1}(n;t)=q(n;t)[\Lambda^{-1}(\Delta^*)^{l} r(n;t)]$ при $l\geqslant 0$. Далее имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (L^k)_{<0}&=\sum_{j=1}^{+\infty} a_j(n;t)\Delta^{-j}=\sum_{j=1}^{+\infty} q(n;t)[\Lambda^{-1}(\Delta^*)^{j-1} r(n;t)]\Delta^{-j}= \\ &=\sum_{j=1}^{+\infty} q(n;t)(-1)^{j-1}[\Lambda^{-j}\Delta^{j-1} r(n;t)]\Delta^{-j}= \\ &=\sum_{j=0}^{+\infty} q(n;t)(-1)^j[\Lambda^{-j-1}\Delta^j r(n;t)]\Delta^{-j-1}=q(n;t)\Delta^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} r(n;t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. $\blacksquare$ Теорема 2 аналогична соответствующему утверждению из работы [23] для непрерывной иерархии оКП. 3.2. Калибровочное преобразование иерархии одКПРассмотрим последовательное применение калибровочных преобразований иерархии одКП. Для этой иерархии существуют два типа операторов $T_{ \mathrm D }(\Phi)$ и $T_{ \mathrm I }(\Psi)$ калибровочных преобразований, заданных в (39). Если $k=1$, то оператор Лакса иерархии одКП равен $L=L^{(0)}=\Delta+u+q\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\Delta^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} r$. Под действием элементарного калибровочного преобразования он переходит в оператор $L^{(1)}$. Предложение 10. 1. При калибровочном преобразовании $T_{ \mathrm D }(\Phi)$ оператор $L^{(0)}$ переходит в оператор $L^{(1)}$, интегральная часть которого задается как 2. При калибровочном преобразовании $T_{ \mathrm I }(\Psi)$ оператор $L^{(0)}$ переходит в оператор $L^{(1)}$, интегральная часть которого задается как
$$
\begin{equation*}
(L^{(1)})_{<0}=(T_{ \mathrm I }^{}(\Psi)\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} L^{(0)}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm I }^{-1}(\Psi))_{<0}= q^{(1)}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\Delta^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} r^{(1)}+\widetilde{q^{(1)}}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\Delta^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\widetilde{r^{(1)}},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} q^{(1)}&=\Lambda^{-1}(\Psi^{-1}),&\qquad r^{(1)}&=(T_{ \mathrm I }^*(\Psi))^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}(L^{(0)})^*(\Psi), \\ \widetilde{q^{(1)}}&=T_{ \mathrm I }(\Psi)(q),&\qquad \widetilde{r^{(1)}}&=(T_{ \mathrm I }^*(\Psi))^{-1}(r). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется, что $q^{(1)}$ и $\widetilde{q^{(1)}}$ являются собственными функциями оператора $L^{(1)}$, а $r^{(1)}$ и $\widetilde{r^{(1)}}$ – сопряженные собственные функции. Предложение 10 показывает, что если мы потребуем, чтобы оператор $L^{(1)}$ по-прежнему оставался оператором Лакса иерархии одКП, то одно из двух слагаемых в $(L^{(1)})_{<0}$ должно быть равно нулю. Тем самым мы имеем два варианта.
Различные комбинации способов выбора $\mathbf{I}$ и $\mathbf{II}$ дают иерархию одКП, полученную в результате последовательных калибровочных преобразований. 3.3. Преобразование иерархии одКП под действием оператора $T_{(m,k)}$Если мы $m$ раз применяем оператор $T_{ \mathrm D }$ и $k$ раз применяем оператор $T_{ \mathrm I }$, то имеются четыре комбинации способов выбора $\mathbf{I}$ и $\mathbf{II}$. Используя уже полученные теоретические результаты, мы находим собственную функцию, сопряженную собственную функцию и тау-функция иерархии одКП после последовательного калибровочного преобразования $T_{(m,k)}$. Рассмотрим для примера случай, когда мы $m$ раз применяем оператор $T_{ \mathrm D }$ типа $\mathbf{I}$ и $k$ раз применяем оператор $T_{ \mathrm I }$ типа $\mathbf{II}$. Преобразование оператора Лакса выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L^{(0)}&{}\stackrel{T_{ \mathrm D }(\Phi_1^{(0)})}{\longrightarrow}L^{(1)} \stackrel{T_{ \mathrm D }(\Phi_2^{(1)})}{\longrightarrow}L^{(2)}\longrightarrow\cdots\longrightarrow L^{(m-1)} \stackrel{T_{ \mathrm D }(\Phi_m^{(m-1)})}{\longrightarrow}L^{(m)} \stackrel{T_{ \mathrm I }(r^{(m)})}{\longrightarrow} \nonumber\\ &{}\stackrel{T_{ \mathrm I }(r^{(m)})}{\longrightarrow}L^{(m+1)} \stackrel{T_{ \mathrm I }(r^{(m+1)})}{\longrightarrow}L^{(m+2)}\longrightarrow\cdots\longrightarrow L^{(m+k-1)} \stackrel{T_{ \mathrm I }(r^{(m+k-1)})}{\longrightarrow}L^{(m+k)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{52}
$$
где $\Phi_i$ ($i=1,2\ldots,m$) суть $m$ независимых волновых функций и $r$ – сопряженная собственная функция оператора $L_{-}=q\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\Delta^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} r$. Пусть $\beta_1=r^{(0)}=r$, $\beta_{i+1}=(L^{(0)})^{*i}$ $r^{(0)}$ для $i=1,2,\ldots,k-1$. Нетрудно видеть, что $\{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_k\}$ есть набор сопряженных собственных функций иерархии одКП, заданной оператором Лакса $L=\Delta+u+q\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\Delta^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} r$. После $i$-кратного ($i=1,2\ldots,m$) применения оператора $T_{ \mathrm D }$ типа $\mathbf{I}$ функции $q$, $r$ и тау-функция принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q^{(i)}&=T_{ \mathrm D }{(\Phi_i^{(i-1)}})\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\cdots\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm D }{(\Phi_1^{(0)})}(q)=T_{(i,0)}(q)= \\ &=\frac{W_{i+1}^{\Delta}(\Phi_1, \Phi_2,\ldots,\Phi_i, q)}{W_i^{\Delta}(\Phi_1, \Phi_2,\ldots,\Phi_i)}, \\ r^{(i)}&=\bigl(T_{ \mathrm D }^*{(\Phi_i^{(i-1)}})\bigr)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\cdots\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\bigl(T_{ \mathrm D }^*{(\Phi_1^{(0)})}\bigr)^{-1}(r)= \bigl(T_{(i,0)}^*\bigr)^{-1}(\beta_1)= \\ &=\frac{(-1)^i\Lambda(IW_{i,1}^{\Delta}(\beta_1;\Phi_1,\Phi_2,\ldots,\Phi_i))}{\Lambda(W_i^{\Delta}(\Phi_1,\Phi_2,\ldots,\Phi_i))}, \\ \tau^{(i)}&=W_i^{\Delta}(\Phi_1,\ldots,\Phi_i)\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
После $m$-кратного применения оператора $T_{ \mathrm D }$ типа $\mathbf{I}$ и однократного применения оператора $T_{ \mathrm I }$ типа $\mathbf{II}$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q^{(m+1)}&=\Lambda^{-1}\bigl((r^{(m)})^{-1}\bigr)=\Lambda^{-1}\bigl((\beta_1^{(m)})^{-1}\bigr), \\ r^{(m+1)}&=(T_{ \mathrm I }^*{(r^{(m)})})^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}(L^{(m)})^*(r^{(m)})= \\ &=\bigl(T_{ \mathrm I }^*(r^{(m)})\bigr)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\bigl(T_{ \mathrm D }^*(\Phi_m^{(m-1)})\bigr)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} \bigl(L^{(m-1)}\bigr)^*\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm D }^*(\Phi_m^{(m-1)})(r^{(m)})= \\ &=\bigl(T_{ \mathrm I }^*(r^{(m)})\bigr)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\bigl(T_{ \mathrm D }^*(\Phi_m^{(m-1)})\bigr)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\cdots \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\bigl(T_{ \mathrm D }^*(\Phi_1^{(0)})\bigr)^{-1}(L^{(0)})^*\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}{} \\ &\quad\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm D }^*(\Phi_1^{(0)})\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\cdots\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm D }^*(\Phi_m^{(m-1)})(r^{(m)})= \\ &=\bigl(T_{ \mathrm I }^*(\beta_1^{(m)})\bigr)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\bigl(T_{ \mathrm D }^*(\Phi_m^{(m-1)})\bigr)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\cdots \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\bigl(T_{ \mathrm D }^*(\Phi_1^{(0)})\bigr)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}(L^{(0)})^*(r)= \\ &=\beta_2^{(m+1)}=(T_{(m,1)}^*)^{-1}(\beta_2), \\ \tau^{(m+1)}&=[\Lambda^{-1}(r^{(m)})]\tau^{(m)}=[\Lambda^{-1}(\beta_1^{(m)})]\tau^{(m)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q^{(m+2)}&=\Lambda^{-1}((r^{(m+1)})^{-1})=\Lambda^{-1}((\beta_2^{(m+1)})^{-1}), \\ r^{(m+2)}&=\bigl(T_{ \mathrm I }^*{(r^{(m+1)})}\bigr)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}(L^{(m+1)})^*(r^{(m+1)})= \\ &=\bigl(T_{ \mathrm I }^*(r^{(m+1))}\bigr)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\bigl(T_{ \mathrm I }^*(r^{(m))}\bigr)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} \bigl(T_{ \mathrm D }^*(\Phi_m^{(m-1)})\bigr)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\cdots{} \\ &\quad\cdots\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\bigl(T_{ \mathrm D }^*(\Phi_1^{(0)})\bigr)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}(L^{(0)})^*\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm D }^*(\Phi_1^{(0)})\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\cdots \\ &\quad\cdots\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} T_{ \mathrm D }^*(\Phi_m^{(m-1)})\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\bigl(T_{ \mathrm I }^*(r^{(m))}\bigr)(r^{(m+1)})= \\ &=\bigl(T_{ \mathrm I }^*(\beta_2^{(m+1))}\bigr)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\bigl(T_{ \mathrm I }^*(\beta_1^{(m))}\bigr)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} \bigl(T_{ \mathrm D }^*(\Phi_m^{(m-1)})\bigr)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\cdots \\ &\quad\cdots\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}\bigl(T_{ \mathrm D }^*(\Phi_1^{(0)})\bigr)^{-1}\mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}}(L^{(0)})^{*2}(r)= \\ &=\beta_3^{(m+2)}=(T_{(m, 2)}^*)^{-1}(\beta_3), \\ \tau^{(m+2)}&=[\Lambda^{-1}(r^{(m+1)})]\tau^{(m+1)}=[\Lambda^{-1}(\beta_2^{(m+1)})][\Lambda^{-1}(\beta_1^{(m)})]\tau^{(m)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В общем случае
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q^{(m+i)}&=\Lambda^{-1}((r^{(m+i-1)})^{-1}), \\ r^{(m+i)}&=\beta_{i+1}^{(m+i)}=(T_{(m,i)}^*)^{-1}(\beta_{i+1}), \\ \tau^{(m+i)}&=[\Lambda^{-1}(\beta_i^{(m+i-1)})]\ldots[\Lambda^{-1}(\beta_1^{(m)})]\tau^{(m)}, \qquad i=1,2,\ldots,k. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, цепочка преобразований (52) может быть записана как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L^{(0)}&{}\stackrel{T_{ \mathrm D }(\Phi_1^{(0)})}{\longrightarrow}L^{(1)} \stackrel{T_{ \mathrm D }(\Phi_2^{(1)})}{\longrightarrow}L^{(2)}\longrightarrow\cdots\longrightarrow L^{(m-1)} \stackrel{T_{ \mathrm D }(\Phi_m^{(m-1)})}{\longrightarrow}L^{(m)} \stackrel{T_{ \mathrm I }(\beta_1^{(m)})}{\longrightarrow} \nonumber\\ &{}\stackrel{T_{ \mathrm I }(\beta_1^{(m)})}{\longrightarrow}L^{(m+1)} \stackrel{T_{ \mathrm I }(\beta_2^{(m+1)})}{\longrightarrow}L^{(m+2)}\longrightarrow\cdots\longrightarrow L^{(m+k-1)} \stackrel{T_{ \mathrm I }(\beta_k^{(m+k-1)})}{\longrightarrow}L^{(m+k)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{53}
$$
Из предложений 6–9 выводим следующую теорему. Теорема 3. Под действием оператора $T_{(m,k)}$, заданного как последовательность из $m$ преобразований $T_{ \mathrm D }$ типа $\mathbf{I}$ и $k$ преобразований $T_{ \mathrm I }$ типа $\mathbf{II}$ в цепочке (52), преобразованные собственные функции $q$ и $r$ и тау-функция записываются как: 1) если $m>k\geqslant 1$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q^{(m+k)}&= \frac{(-1)^m IW_{m,k-1}^{\Delta}(\beta_{k-1},\ldots,\beta_1;\Phi_1,\ldots,\Phi_m)} {IW_{m,k}^{\Delta}(\beta_k,\ldots,\beta_1;\Phi_1,\ldots,\Phi_m)}, \\ r^{(m+k)}&=\beta_{k+1}^{(m+k)}= \frac{(-1)^m\Lambda(IW_{m,k+1}^{\Delta}(\beta_{k+1},\ldots,\beta_1;\Phi_1,\ldots,\Phi_m))} {\Lambda(IW_{m,k}^{\Delta}(\beta_k,\ldots,\beta_1;\Phi_1,\ldots,\Phi_m))}, \\ \tau^{(m+k)}&=(-1)^{mk}IW^{\Delta}_{m,k}(\beta_k,\ldots,\beta_1;\Phi_1,\ldots,\Phi_m)\tau; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2) если $m=k\geqslant 1$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q^{(m+m)}&=\Lambda^{-1}((r^{(m+m-1)})^{-1})= \frac{(-1)^m IW_{m,m-1}^{\Delta}(\beta_{m-1},\ldots,\beta_1;\Phi_1,\ldots,\Phi_m)} {IW_{m,m}^{\Delta}(\beta_m,\ldots,\beta_1;\Phi_1,\ldots, \Phi_m)}, \\ r^{(m+m)}&=(T_{(m,m)}^*)^{-1}(\beta_{m+1})= \frac{IW^{\Delta}_{m,m+1}(\Phi_m,\ldots,\Phi_1;\beta_1,\ldots,\beta_m,\beta_{m+1})} {\Lambda (IW^{\Delta}_{m,m}(\beta_m,\ldots,\beta_1;\Phi_1,\ldots,\Phi_m))}= \\ &=\frac{(-1)^m IW^{\Delta^*}_{m,m+1}(\Phi_m,\ldots,\Phi_1;\beta_1,\ldots,\beta_m,\beta_{m+1})} {\Lambda (IW^{\Delta}_{m,m}(\beta_m,\ldots,\beta_1;\Phi_1,\ldots,\Phi_m))}, \\ \tau^{(m+m)}&=(-1)^{m^2}IW^{\Delta}_{m,m}(\beta_m,\ldots,\beta_1;\Phi_1,\ldots,\Phi_m)\tau; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
3) если $m<k$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q^{(m+k)}&=\Lambda^{-1}((r^{(m+k-1)})^{-1})= \frac{\Lambda^{-1}(IW_{m,k-1}^{\Delta^*}(\Phi_m,\ldots,\Phi_1;\beta_1,\ldots,\beta_{k-1}))} {\Lambda^{-1}(IW_{m,k}^{\Delta^*}(\Phi_m,\ldots,\Phi_1;\beta_1,\ldots,\beta_k))}, \\ r^{(m+k)}&=(T_{(m,k)}^*)^{-1}(\beta_{k+1})= \frac{IW_{m,k+1}^{\Delta^*}(\Phi_m,\ldots,\Phi_1;\beta_1,\ldots,\beta_k,\beta_{k+1})} {IW_{m,k}^{\Delta^*}(\Phi_m,\ldots,\Phi_1;\beta_1,\ldots,\beta_k)}, \\ \tau^{(m+k)}&=\Lambda^{-1}(IW^{\Delta^*}_{m,k}(\Phi_m,\ldots,\Phi_1;\beta_1,\ldots,\beta_k))\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\Lambda^{-1}(IW_{m,m}^{\Delta^*}(\Phi_m,\ldots, \Phi_1;\beta_1,\ldots,\beta_m))= (-1)^m IW_{m,m}^{\Delta}(\beta_1,\ldots,\beta_m;\Phi_1,\ldots,\Phi_m),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому $q^{(m+m+1)}=\Lambda^{-1}((r^{(m+m)})^{-1})$ имеют тот же вид, что $q^{(m+k)}$ при $k>m+1$. Взяв другие комбинации типов преобразований в $T_{(m,k)}$, мы аналогичным образом можем получить соответствующие преобразования иерархии одКП. 4. Заключение и обсуждениеОсновываясь на спектральном представлении и калибровочных преобразованиях иерархии дКП, в теореме 1 мы доказали, что преобразованные тау-функции удовлетворяют билинейному уравнению. Затем мы дополнили результаты о детерминантном представлении последовательности калибровочных преобразований разностного типа и псевдоразностного типа, этот результат содержится в предложении 9. Далее мы представили эквивалентное описание иерархии $k$-одКП и расширили калибровочное преобразование иерархии дКП на случай иерархии 1-одКП, рассмотрев для нее последовательность калибровочных преобразованиий, имеющих четыре возможных типа; один из них мы выбрали в качестве примера для получения явных формул преобразований иерархии одКП. Используя преобразованные собственные функции, сопряженные собственные функции и тау-функцию, можно найти решения иерархии одКП. Соответствующий анализ также можно применить к общему случай иерархии $k$-одКП. Мы намерены исследовать эти вопросы в будущем. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SonLiChe23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|