| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Симметрии Вирасоро связанной рациональной редуцированной двумерной иерархии Тоды Чуань-Чжун Ли College of Mathematics and Systems Science, Shandong University of Science and Technology, Qingdao, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923030017 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеИерархия цепочки Тоды как полностью интегрируемая система имеет множество важных приложений в математике и физике, включая теорию представлений алгебр Ли, теорию ортогональных полиномов и модель случайных матриц [1]–[5]. Система Тоды имеет множество редукций или расширений, таких как расширенная иерархия Тоды [6], [7], биградуированная иерархия Тоды [8]–[11] и т. д. Если говорить о применении иерархии Тоды в теории Громова–Виттена, то в этой теории рассматривается расширенная иерархия Тоды [6], которая управляет инвариантами Громова–Виттена на $\mathbb{C} P^1$. Она представляет собой обобщение биградуированной иерархии Тоды, включающее в себя дополнительные логарифмические потоки [8]–[10], и используется в теории Громова–Виттена орбифолдов $C_{N,M}$. В работе [12] были построены расширенные уравнения потоков многокомпонентной иерархии Тоды, а также представлены преобразование Дарбу и бигамильтонова структура этой новой расширенной многокомпонентной иерархии Тоды. Мы рассматриваем квадратичное уравнение Хироты из коммутативной подыерархии расширенной многокомпонентной иерархии Тоды, которое может быть полезно в теории многообразий Фробениуса (см. работу [13]). В работе [13] мы построили расширенные уравнения потоков новой $Z_N$-иерархии Тоды, которая принимает значения в коммутативной подалгебре $Z_N$ в $gl(N,\mathbb C)$. Универсальным свойством интегрируемых систем является наличие дополнительных симметрий [14]–[16]. Среди алгебраических структур дополнительных симметрий важное значение имеет симметрия Вирасоро, например такая, как рассмотренная в [17]. В работе [18] мы определили алгебраическую структуру типа алгебры Блока для биградуированной иерархии Тоды [9], [10]. Позже эта лиева алгебра Блока снова возникла в бездисперсионной биградуированной иерархии Тоды [11]. В статье [19] было ввведено и проанализировано двухпараметрическое семейство симметрийных редукций двумерной иерархии цепочки Тоды, характеризующееся рациональной факторизацией оператора Лакса, который представляется как произведение верхнедиагонального и обратного к нижнедиагональному формальных разностных операторов, а также было показано, каким образом в бездисперсионном случае классический предел Такасаки–Такебе порождает семейство неконформных многообразий Фробениуса с плоским единичным полем. Настоящая статья организована следующим образом. В разделе 2 мы строим интерполированную связанную двумерную иерархию Тоды, а в разделе 3 приводим ее рациональную редукцию. В разделе 4 в контексте рациональной редукции рассматривается калибровочное преобразование рациональной редуцированной связанной двумерной иерархии Тоды. В разделе 5 для этой иерархии построена дополнительная симметрия, множество таких симметрий образует связанную лиеву алгебру Вирасоро или алгебру Блока. 2. Интерполированная связанная двумерная иерархия ТодыВведем оператор слвига $\Lambda:=e^{\epsilon\partial_x}$, который действует на функцию $f(x)$ как $\Lambda^k f(x)=f(x+k\epsilon)$. Связанная двумерная иерархия Тоды определяется как следующая система уравнений Лакса для коммутирующих потоков $(\partial_{t_r^{(1)}},\partial_{t_r^{(2)}},\,r>0)$ при заданной постоянной $\sigma$:
$$
\begin{equation}
\partial_{t_r^{(1)}}L_i^{} =[(C_1^r)_{+},L_i^{}]+\sigma[( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _1^r)_{+}, \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _i^{}], \quad\; \partial_{t_r^{(2)}}L_i^{} =[-(C_2^r)_{-},L_i^{}]+\sigma[-( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _2^r)_{-}, \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _i^{}],
\end{equation}
\tag{2.1a}
$$
$$
\begin{equation}
\partial_{t_r^{(1)}} \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _i^{} =[( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _1^r)_{+},L_i^{}]+[(C_1^r)_{+}, \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _i^{}], \quad\; \partial_{t_r^{(2)}} \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _i^{} =[-( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _2^r)_{-},L_i^{}]+[-(C_2^r)_{-}, \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _i^{}]
\end{equation}
\tag{2.1b}
$$
для $i=1,2$, где операторы Лакса – это формальные разностные операторы, заданные соотношениями
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} L_1&=\Lambda+\sum_{j\geqslant 0} u_j^{(1)}\Lambda^{-j},&\qquad L_2&=\sum_{j\geqslant -1} u_{j}^{(2)}\Lambda^j, \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _1&=\sum_{j\geqslant 0}\bar u_j^{(1)}\Lambda^{-j},&\qquad \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2&=\sum_{j\geqslant -1}\bar u_{j}^{(2)}\Lambda^j \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{bmatrix} L_i & \sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _i \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _i & L_ i \end{bmatrix}^k= \begin{bmatrix} C_i^k & \sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _i^k \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _i^k & C_i^k \end{bmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Коммутативность потоков иерархии следует из условий нулевой кривизны
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \partial_{t_q^{(j)}}L_i^r&{}-\partial_{t_r^{(i)}}L_j^q+[(C_i^r)_{+},(C_j^q)_{+}]-{} \\ &{}-[(C_i^r)_{-},(C_j^q)_{-}]+\sigma[( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _i^r)_{+},( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _j^q)_{+}]-\sigma[( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _i^r)_{-},( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _j^q)_{-}]=0, \\ \partial_{t_q^{(j)}} \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _i^r&{}-\partial_{t_r^{(i)}} \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _j^q+[( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _i^r)_{+},(C_j^q)_{+}]-{} \\ &{}-[( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _i^r)_{-},(C_j^q)_{-}]+[(C_i^r)_{+},( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _j^q)_{+}]-[(C_i^r)_{-},( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _j^q)_{-}]=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
которые эквивалентны условию совместности системы Захарова–Шабата:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{3} L_1^{}\Psi_1^{}+\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _1^{} \overline{\vphantom{\Psi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Psi _1^{}&=w\Psi_1^{}, &\qquad L_2^*\Psi_2^{}+\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2^* \overline{\vphantom{\Psi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Psi _2^{}&=w\Psi_2^{}, \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _1^{}\Psi_1^{}+L_1^{} \overline{\vphantom{\Psi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Psi _1^{}&=w \overline{\vphantom{\Psi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Psi _1^{}, &\qquad \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2^*\Psi_2^{}+L_2^* \overline{\vphantom{\Psi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Psi _2^{}&=w \overline{\vphantom{\Psi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Psi _2^{}, \end{alignedat}\\ \begin{alignedat}{3} \partial_{s^{(1)}_q}\Psi_1^{}&=(C_1^q)_{+}^{}\Psi_1^{}+\sigma( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _1^q)_{+}^{} \overline{\vphantom{\Psi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Psi _1^{}, &\qquad \partial_{s^{(1)}_q}\Psi_2^{}&=-(C_1^q)^*_{+}\Psi_2^*-\sigma( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _1^q)^*_{+} \overline{\vphantom{\Psi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Psi _2^*, \\ \partial_{s^{(2)}_q}\Psi_1^{}&=(C_2^q)^*_{-}\Psi_1^{}+\sigma( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _2^q)^*_{-} \overline{\vphantom{\Psi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Psi _1^{}, &\qquad \partial_{s^{(2)}_q}\Psi_2^{}&=-(C_2^q)^*_{-}\Psi_2^*-\sigma( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _2^q)^*_{-} \overline{\vphantom{\Psi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Psi _2^*, \\ \partial_{s^{(1)}_q} \overline{\vphantom{\Psi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Psi _1^{}&=( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _1^q)_{+}^{}\Psi_1^{}+(C_1^q)_{+} \overline{\vphantom{\Psi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Psi _1^{}, &\qquad \partial_{s^{(1)}_q} \overline{\vphantom{\Psi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Psi _2^{}&=-( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _1^q)^*_{+}\Psi_2^*-(C_1^q)^*_{+} \overline{\vphantom{\Psi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Psi _2^*, \\ \partial_{s^{(2)}_q} \overline{\vphantom{\Psi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Psi _1^{}&=( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _2^q)^*_{-}\Psi_1^{}+(C_2^q)^*_{-} \overline{\vphantom{\Psi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Psi _1^{}, &\qquad \partial_{s^{(2)}_q} \overline{\vphantom{\Psi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Psi _2^{}&=-( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _2^q)^*_{-}\Psi_2^*-(C_2^q)^*_{-} \overline{\vphantom{\Psi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Psi _2^*. \end{alignedat} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь для любого оператора $A=\sum_ia_i\Lambda^i$ его транспонированный оператор задается как $A^*=\sum_i\Lambda^{-i}a_i$. Можно эквивалентным образом записать связанную двумерную иерархию Тоды через уравнения Сато
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \partial_{t_r^{(i)}}S_1&=-(C_i^r)_{-} S_1-\sigma ( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _i^r)_{-} \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _1,&\qquad \partial_{t_r^{(i)}}S_2&=-(C_i^r)_{-} S_2-\sigma( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _i^r)_{-} \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _2, \\ \partial_{t_r^{(i)}} \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _1&=-( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _i^r)_{-} S_1-(C_i^r)_{-} \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _1,&\qquad \partial_{t_r^{(i)}} \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _2&=-( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _i^r)_{-} S_2-(C_i^r)_{-} \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _2 \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
для операторов одевания
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} S_1&=1+p_1^{(1)}\Lambda^{-1}+\cdots, &\qquad S_2&=p_0^{(2)}+p_1^{(2)}\Lambda+\cdots{}, \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _1&=\bar p_1^{(1)}\Lambda^{-1}+\cdots, &\qquad \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _2&=\bar p_0^{(2)}+\bar p_1^{(2)}\Lambda+\cdots . \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Операторы Лакса выражаются через операторы одевания как
$$
\begin{equation}
L_1S_1+\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _1 \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _1 =S_1\Lambda, \qquad L_2S_2+\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2 \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _2 =S_2\Lambda^{-1},
\end{equation}
\tag{2.7a}
$$
$$
\begin{equation}
\kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _1S_1+L_1 \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _1 = \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _1\Lambda, \qquad \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2S_2+L_2 \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _2 = \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _2\Lambda^{-1},
\end{equation}
\tag{2.7b}
$$
а коммутативность потоков $t_r^{(i)}$ при действии на $S_i$, $ \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _i$ опять же следует из (2.4). Предположим, что $\mu$, $\bar\mu$ – матрицы, зависящие от времен $t_r^{(i)}$, и зададим факторизацию
$$
\begin{equation}
S_1\mu+\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _1\bar\mu=S_2,\qquad \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _1\mu+S_1\bar\mu= \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _2,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
считая, что выполнены уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \frac{\partial\mu}{\partial t_r^{(1)}}&=\Lambda^r\mu, &\qquad \frac{\partial\bar\mu}{\partial t_r^{(1)}}&=\Lambda^r\bar\mu, \\ \frac{\partial\mu}{\partial t_r^{(2)}}&=\mu\Lambda^{-r}, &\qquad \frac{\partial\bar\mu}{\partial t_r^{(2)}}&=\bar\mu\Lambda^{-r} \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
или, эквивалентно, уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mu&=\exp\biggl(\,\sum_{r\geqslant 1}t_r^{(1)}\Lambda^r\biggr)\mu_0\exp\biggl(\,\sum_{r\geqslant 1}t_r^{(2)}\Lambda^{-r}\biggr), \\ \bar\mu&=\exp\biggl(\,\sum_{r\geqslant 1}t_r^{(1)}\Lambda^r\biggr)\bar\mu_0\exp\biggl(\,\sum_{r\geqslant 1}t_r^{(2)}\Lambda^{-r}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
3. Рациональные редукции связанной двумерной иерархии ТодыДля $a,b>0$ рассмотрим разностные операторы
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} A&=\Lambda^a+\alpha_{a-1}\Lambda^{a-1}+\cdots+\alpha_0, &\qquad B&=1+\beta_1\Lambda^{-1}+\cdots+\beta_b\Lambda^{-b}, \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt &=\bar\alpha_{a-1}\Lambda^{a-1}+\cdots+\bar\alpha_0, &\qquad \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B &=\bar\beta_1\Lambda^{-1}+\cdots+\bar\beta_b\Lambda^{-b}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Аналогично работе [19] зададим условия факторизации
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} L_1^aB+\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _1^a \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B &=A, &\qquad &L_2^bA+\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2^b \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt =B, \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _1^aB+L_1^a \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B &= \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt , &\qquad & \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2^bA+L_2^b \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt = \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B ; \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
также удобно ввести дуальные операторы $\widehat L_1$, $ \kern0.6pt\overline{\vphantom{\widehat L}\kern6pt}\kern-6.6pt\widehat L _1$, $\widehat L_2$, $ \kern0.6pt\overline{\vphantom{\widehat L}\kern6pt}\kern-6.6pt\widehat L _2$,
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} B\widehat L{}_1^a+\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B \kern0.6pt\overline{\vphantom{\widehat L}\kern6pt}\kern-6.6pt\widehat L {}_1^a&=A, &\qquad &A\widehat L{}_2^b+\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt \kern0.6pt\overline{\vphantom{\widehat L}\kern6pt}\kern-6.6pt\widehat L {}_2^b=B, \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B \widehat L{}_1^a+B \kern0.6pt\overline{\vphantom{\widehat L}\kern6pt}\kern-6.6pt\widehat L {}_1^a&= \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt , &\qquad & \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt \widehat L{}_2^b+A \kern0.6pt\overline{\vphantom{\widehat L}\kern6pt}\kern-6.6pt\widehat L {}_2^b= \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B . \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Теорема 3.1. Для $i=1,2$, $r>0$ уравнения связанной рациональной редуцированной двумерной иерархии Тоды задаются как следующие уравнения для действия коммутативных потоков на $A$, $ \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt $, $B$, $ \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B $: Доказательство. Докажем, что эти потоки корректно определены. Из уравнений Чтобы доказать коммутативность потоков, заметим, что если для некоторых разностных операторов $W^i$, $\widehat W{}^i$, $i=1,2$, мы имеем
$$
\begin{equation*}
\partial_{t_i}A=W^i A-A\,\widehat W{}^i+\sigma \kern0.6pt\overline{\vphantom{W^*}\kern9.6pt}\kern-10.2pt W ^i \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt -\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt \kern0.5pt\overline{\vphantom{\widehat W}\kern10pt}\kern-10.5pt\widehat W{} ^i,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_{t_1}\partial_{t_2}A-\partial_{t_2}\partial_{t_1}A&= (W^1_{t_2}-W^2_{t_1}+[W^1,W^2]+\sigma[ \kern0.6pt\overline{\vphantom{W^*}\kern9.6pt}\kern-10.2pt W ^1, \kern0.6pt\overline{\vphantom{W^*}\kern9.6pt}\kern-10.2pt W ^2])A+{} \\ &\quad+\sigma( \kern0.6pt\overline{\vphantom{W^*}\kern9.6pt}\kern-10.2pt W ^1_{t_2}- \kern0.6pt\overline{\vphantom{W^*}\kern9.6pt}\kern-10.2pt W ^2_{t_1}+[ \kern0.6pt\overline{\vphantom{W^*}\kern9.6pt}\kern-10.2pt W ^1,W^2]+[W^1, \kern0.6pt\overline{\vphantom{W^*}\kern9.6pt}\kern-10.2pt W ^2]) \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt -{} \\ &\quad-A(\widehat W{}^1_{t_2}-\widehat W{}^2_{t_1}+[\widehat W{}^1,\widehat W{}^2]+\sigma[ \kern0.5pt\overline{\vphantom{\widehat W}\kern10pt}\kern-10.5pt\widehat W{}^1, \kern0.5pt\overline{\vphantom{\widehat W}\kern10pt}\kern-10.5pt\widehat W{}^2])-{} \\ &\quad -\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt ( \kern0.5pt\overline{\vphantom{\widehat W}\kern10pt}\kern-10.5pt\widehat W{}^1_{t_2}- \kern0.5pt\overline{\vphantom{\widehat W}\kern10pt}\kern-10.5pt\widehat W{}^2_{t_1}+[ \kern0.5pt\overline{\vphantom{\widehat W}\kern10pt}\kern-10.5pt\widehat W{}^1,\widehat W{}^2]+[\widehat W{}^1, \kern0.5pt\overline{\vphantom{\widehat W}\kern10pt}\kern-10.5pt\widehat W{}^2]) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя эту формулу к потокам, заданным в (3.4), мы находим, что ее правая часть обращается в нуль, и это говорит нам о том, что потоки коммутируют. 4. Калибровочное преобразование и интегрируемые системы уравнений на решеткеНепосредственным вычислением находим, что дуальные операторы Лакса связанной двумерной иерархии Тоды также удовлетворяют уравнениям Лакса (2.1a) с оператором $\widehat L_i$ вместо $L_i$ для $i=1,2$:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \partial_{t_r^{(1)}}\widehat L_i&=[(\widehat C{}_1^r)_{+},\widehat L_i]+\sigma[( \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat C}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat C{} _1^r)_{+}, \kern0.6pt\overline{\vphantom{\widehat L}\kern6pt}\kern-6.6pt\widehat L _i], &\qquad \partial_{t_r^{(2)}}\widehat L_i&=[-(\widehat C{}_2^r)_{-},\widehat L_i]+\sigma[-( \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat C}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat C{} _2^r)_{-}, \kern0.6pt\overline{\vphantom{\widehat L}\kern6pt}\kern-6.6pt\widehat L _i], \\ \partial_{t_r^{(1)}} \kern0.6pt\overline{\vphantom{\widehat L}\kern6pt}\kern-6.6pt\widehat L _i&=[( \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat C}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat C{} _1^r)_{+},\widehat L_i]+[(\widehat C{}_1^r)_{+}, \kern0.6pt\overline{\vphantom{\widehat L}\kern6pt}\kern-6.6pt\widehat L _i], &\qquad \partial_{t_r^{(2)}} \kern0.6pt\overline{\vphantom{\widehat L}\kern6pt}\kern-6.6pt\widehat L _i&=[-( \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat C}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat C{} _2^r)_{-},\widehat L_i]+[-(\widehat C{}_2^r)_{-}, \kern0.6pt\overline{\vphantom{\widehat L}\kern6pt}\kern-6.6pt\widehat L _i]. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Преобразования $L_i\mapsto\widehat L_i$, $ \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _i\mapsto \kern0.6pt\overline{\vphantom{\widehat L}\kern6pt}\kern-6.6pt\widehat L _i$ индуцируют калибровочное преобразование рациональной редуцированной связанной двумерной иерархии Тоды. В более общем виде мы можем рассматривать операторы Лакса
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} C_1^{a+m}B+\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _1^{a+m} \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B &=\Lambda^mA, &\qquad &C_2^{b+m}\Lambda^mA+\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _2^{b+m}\Lambda^m \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt =B, \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _1^{a+m}B+C_1^{a+m} \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B &=\Lambda^m \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt , &\qquad & \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _2^{b+m}\Lambda^mA+C_2^{b+m}\Lambda^m \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt = \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B . \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Заметим, что в этом случае потоки в уравнениях (3.6a), (3.6c) должны быть определены через оператор $\Lambda^m A$, а не $A$. Пусть набор операторов $(L_1,L_2, \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _1, \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2)$ задан, как в (4.2). По аналогии с работой [19] будем называть соответствующую редукцию связанной двумерной иерархии Тоды $m$-обобщенной связанной рациональной двумерной иерархией Тоды бистепени $(a,b)$. Далее мы увидим, что различные новые редукции связанной двумерной иерархии Тоды приводят к нескольким интегрируемым бесконечномерным системам на решетке. Пример 4.1 (связанная иерархия Абловица–Ладика). Определим связанную систему Абловица–Ладика как дискретизацию комплексифицированного нелинейного уравнения Шредингера, задающуюся следующими уравнениями второго порядка: Пример 4.2 (связанная $q$-деформированная иерархия Гельфанда–Дикого). Обозначим как $D_q$ $q$-разностный оператор, действующий по формуле $D_qf(x)=f(x q)$. Тогда $q$-аналогом связанной иерархии КП являются уравнения Лакса Пример 4.3 (связанная биградуированная иерархия Тоды). Биградуированная решеточная иерархия Тоды может быть представлена как обобщенная связанная рациональная редукция двумерной иерархии Тоды с операторами а уравнения Лакса для нее задаются следующим образом. Определение. Уравнения Лакса связанной биградуированной иерархии Тоды имеют вид Вводя соответствующие одевающие операторы $\widehat S_i$, $ \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat S}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat S _i$ для связанной двумерной иерархии Тоды, удовлетворяющие уравнениям Сато
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \partial_{t_r^{(i)}}\widehat S_1&=-(\widehat L{}_i^r)_{-}\widehat S_1-\sigma( \kern0.6pt\overline{\vphantom{\widehat L}\kern6pt}\kern-6.6pt\widehat L{} _i^r)_{-} \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat S}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat S _1, &\qquad \partial_{t_r^{(i)}}\widehat S_2&=-(\widehat L{}_i^r)_{-}\widehat S_2-\sigma( \kern0.6pt\overline{\vphantom{\widehat L}\kern6pt}\kern-6.6pt\widehat L{} _i^r)_{-} \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat S}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat S _2, \\ \partial_{t_r^{(i)}} \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat S}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat S _1&=-( \kern0.6pt\overline{\vphantom{\widehat L}\kern6pt}\kern-6.6pt\widehat L{} _i^r)_{-}\widehat S_1-(\widehat L{}_i^r)_{-} \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat S}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat S _1, &\qquad \partial_{t_r^{(i)}} \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat S}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat S _2&=-( \kern0.6pt\overline{\vphantom{\widehat L}\kern6pt}\kern-6.6pt\widehat L{} _i^r)_{-}\widehat S_2-(\widehat L{}_i^r)_{-} \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat S}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat S _2, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
мы можем переписать рациональную редукцию связанной двумерной иерархии Тоды бистепени $(a,b)$ как уравнения связи
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_1\Lambda^a=A\widehat S_1+\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat S}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat S _1, &\qquad\quad S_2=A\widehat S_2+\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat S}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat S _2, \\ S_1=B\widehat S_1+\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat S}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat S _1, &\qquad\quad S_2\Lambda^{-b}=B\widehat S_2+\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat S}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat S _2, \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _1\Lambda^a= \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt \widehat S_1+A \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat S}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat S _1, &\qquad\quad \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _2= \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt \widehat S_2+A \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat S}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat S _2, \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _1= \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B \widehat S_1+B \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat S}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat S _1, &\qquad\quad \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _2\Lambda^{-b}= \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B \widehat S_2+B \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat S}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat S _2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Из этих уравнений следует, что операторы $A$, $ \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt $, $B$, $ \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B $ имеют вид (3.1). Соответствующие операторы Лакса $L_i$, $ \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _i$, определенные в (2.7a), факторизуются, как в (3.2), а уравнения Сато индуцируют потоки (3.4). Связи, заданные уравнениями (4.5), сохраняются уравнениями Сато для $S_i$, $ \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _i$, $\widehat S_i$, $ \kern1.5pt\overline{\vphantom{\widehat S}\kern6pt}\kern-7.5pt\widehat S _i$ и, следовательно, определяют редукцию связанной двумерной иерархии Тоды бистепени $(a,b)$. Простейшая нетривиальная рациональная редукция связанной двумерной иерархии Тоды приводит к связанной иерархии Абловица–Ладика, которая является обобщением классической иерархии Абловица–Ладика [20]. Это соответствует проблеме факторизации тёплицевых матриц моментов $\mu$, $\bar\mu$ как блочных тёплицевых операторов би-степени $(a,b)$, если
$$
\begin{equation}
\Lambda^a\mu\Lambda^{-b}=\mu, \qquad \Lambda^a\bar\mu\Lambda^{-b}=\bar\mu.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Другими словами, матричные элементы удовлетворяют уравнениям $\mu_{i+a,j+b}=\mu_{ij}$, $\bar\mu_{i+a,j+b}=\bar\mu_{ij}$, которые сводятся к обычному тёплицевому условию при $a=b=1$. $(1,1)$–Редуцированная двумерная иерархия ТодыВ этом пункте мы изучаем рациональную редукцию бистепени $(1,1)$ для двумерной иерархии Тоды:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} L_1B+\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _1 \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B &=A, &\qquad &L_2A+\sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2 \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt =B, \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _1B+L_1 \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B &= \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt , &\qquad & \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2A+L_2 \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt = \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B , \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} A&=\Lambda+\alpha, &\qquad B=1+\beta\Lambda^{-1}, \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{A^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt A\kern0.2pt &=\Lambda+\bar\alpha, &\qquad \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B =1+\bar\beta\Lambda^{-1}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Преобразование
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha(x)-\beta(x+\epsilon)=\delta_{x_1}\phi(x), \\ \beta(x+\epsilon)=e^{\phi(x+\epsilon)-\phi(x)} [ \operatorname{ch} (\sigma\phi(x+\epsilon)-\sigma\phi(x))\alpha(x)+ \operatorname{sh} (\sigma\phi(x+\epsilon)-\sigma\phi(x))\bar\alpha(x)], \\ \bar\alpha(x)-\bar\beta(x+\epsilon)=\delta_{x_1}\bar\phi(x),\vphantom{\bigg|} \\ \bar\beta(x+\epsilon)=e^{\phi(x+\epsilon)-\phi(x)} [\sigma^{-1} \operatorname{sh} (\sigma\phi(x+\epsilon)-\sigma\phi(x))\alpha(x)+ \operatorname{ch} (\sigma\phi(x+\epsilon)-\sigma\phi(x))\bar\alpha(x)] \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
приводит к следующей системе Тоды:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\delta^2\phi(x)}{\delta x_1\delta y_1}&= e^{\phi(x)-\phi(x-\epsilon)} \operatorname{ch} (\sigma\phi(x)-\sigma\phi(x-\epsilon))-{} \\ &\quad -e^{\phi(x+\epsilon)-\phi(x)} \operatorname{ch} (\sigma\phi(x+\epsilon)-\sigma\phi(x)), \\ \frac{\delta^2\bar\phi(x)}{\delta x_1\delta y_1}&= \sigma^{-1}e^{\phi(x)-\phi(x-\epsilon)} \operatorname{sh} (\sigma\phi(x)-\sigma\phi(x-\epsilon))-{} \\ &\quad -\sigma^{-1}e^{\phi(x+\epsilon)-\phi(x)} \operatorname{sh} (\sigma\phi(x+\epsilon)-\sigma\phi(x)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
5. Дополнительные симметрии рациональной редукции двумерной иерархии ТодыВ этом разделе строим дополнительные симметрии рациональной редукции двумерной иерархии Тоды с помощью операторов Орлова–Шульмана $M_i$, $ \kern1.6pt\overline{\vphantom{M^*}\kern8.6pt}\kern-10.4pt M\kern0.1pt _i$, которые строятся в рамках следующей одевающей процедуры:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} M_1\Phi_1+\sigma \kern1.6pt\overline{\vphantom{M^*}\kern8.6pt}\kern-10.4pt M\kern0.1pt _1 \overline{\vphantom{\Phi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Phi _1&=\Phi_1\Gamma, &\qquad \kern1.6pt\overline{\vphantom{M^*}\kern8.6pt}\kern-10.4pt M\kern0.1pt _1\Phi_1+\sigma M_1 \overline{\vphantom{\Phi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Phi _1&= \overline{\vphantom{\Phi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Phi _1\Gamma, \\ M_2\Phi_2+\sigma \kern1.6pt\overline{\vphantom{M^*}\kern8.6pt}\kern-10.4pt M\kern0.1pt _2 \overline{\vphantom{\Phi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Phi _2&=\Phi_2 \kern0.6pt\overline{\vphantom{\Gamma^*}\kern5.3pt}\kern-5.7pt \Gamma\kern0.07pt , &\quad \kern1.6pt\overline{\vphantom{M^*}\kern8.6pt}\kern-10.4pt M\kern0.1pt _2\Phi_2+\sigma M_2 \overline{\vphantom{\Phi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Phi _2&= \overline{\vphantom{\Phi^*}\kern7.4pt}\kern-7.4pt\Phi _2 \kern0.6pt\overline{\vphantom{\Gamma^*}\kern5.3pt}\kern-5.7pt \Gamma\kern0.07pt , \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Gamma=\frac{x}{\epsilon}+\sum_{k\in\mathbb{Z}}k t_k^{(1)}\Lambda^k,\qquad \kern0.6pt\overline{\vphantom{\Gamma^*}\kern5.3pt}\kern-5.7pt \Gamma\kern0.07pt =-\frac{x}{\epsilon}-\sum_{k\in\mathbb{Z}}kt_k^{(2)}\Lambda^{-k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно получить следующую лемму. Лемма 5.1. Операторы $M_i$ и $ \kern1.6pt\overline{\vphantom{M^*}\kern8.6pt}\kern-10.4pt M\kern0.1pt _i$ удовлетворяют уравнениям С этого момента для любой пары целых чисел $(m,l)$, $m,l\geqslant 0$, мы вводим матрицы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \begin{aligned} \, \begin{bmatrix} B_{1m l} & \sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _{1m l} \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _{1m l} & B_{1m l} \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} M_1 & \sigma \kern1.6pt\overline{\vphantom{M^*}\kern8.6pt}\kern-10.4pt M\kern0.1pt _1 \\ \kern1.6pt\overline{\vphantom{M^*}\kern8.6pt}\kern-10.4pt M\kern0.1pt _1 & M_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} L_1 & \sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _1 \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _1 & L_1 \end{bmatrix}^{m+1} \begin{bmatrix} L_2 & \sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2 \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2 & \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2 \end{bmatrix}^l, \\ \begin{bmatrix} B_{2m l} & \sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _{2m l} \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _{2m l} & B_{2m l} \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} L_1 & \sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _1 \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _1 & L_1 \end{bmatrix}^m \begin{bmatrix} L_2 & \sigma \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2 \\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2 & \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2\end{bmatrix}^{l-1} \begin{bmatrix} M_2 & \sigma \kern1.6pt\overline{\vphantom{M^*}\kern8.6pt}\kern-10.4pt M\kern0.1pt _2 \\ \kern1.6pt\overline{\vphantom{M^*}\kern8.6pt}\kern-10.4pt M\kern0.1pt _2 & M_2\end{bmatrix}. \end{aligned} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Имеет место следующее утверждение: для любых $ \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _{jm l}$, $B_{jm l}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial B_{jm l}}{\partial t_k^{(1)}}&=[(C_1^k)_{+},B_{jm l}]+\sigma[( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _2^k)_{+}, \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _{jm l}], \\ \frac{\partial B_{jm l}}{\partial t_k^{(2)}}&=[-(C_2^k)_{-},B_{jm l}]-\sigma[( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _2^k)_{-}, \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _{jm l}], \\ \frac{\partial \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _{jm l}}{\partial t_k^{(1)}}&=[( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _1^k)_{+},B_{jm l}]+[(C_1^k)_{+}, \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _{jm l}], \\ \frac{\partial \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _{jm l}}{\partial t_k^{(2)}}&=[-( \kern1.2pt\overline{\vphantom{C^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt C\kern0.2pt _2^k)_{-},B_{jm l}]-[(C_2^k)_{-}, \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _{jm l}]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Тогда верны следующие уравнения для дополнительных потоков:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \frac{\partial S_1}{\partial b_{j,m,l}}&=-(B_{jm l})_{-}S_1-\sigma( \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _{jm l})_{-} \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _1, &\qquad \frac{\partial S_2}{\partial b_{j,m,l}}&=(B_{jm l})_{+}S_2+\sigma ( \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _{jm l})_{+} \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _1, \\ \frac{\partial \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _1}{\partial b_{j,m,l}}&=-( \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _{jm l})_{-}S_1- (B_{jm l})_{-} \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _1, &\qquad \frac{\partial \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _2}{\partial b_{j,m,l}}&=( \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _{jm l})_{+}S_2+(B_{jm l})_{+} \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _2. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Эти уравнения эквивалентны уравнениям Лакса
$$
\begin{equation}
\frac{\partial L_1}{\partial b_{j,m,l}} =[-(B_{jm l})_{-},L_1]-\sigma[( \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _{jm l})_{-}, \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _1],
\end{equation}
\tag{5.5a}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _1}{\partial b_{j,m,l}} =[( \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _{jm l})_{+},L_1]+\sigma[(B_{jm l})_{+}, \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _1],
\end{equation}
\tag{5.5b}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial L_2}{\partial b_{j,m,l}} =[- (B_{jm l})_{-},L_2]-[(B_{jm l})_{-}, \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2],
\end{equation}
\tag{5.5c}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2}{\partial b_{j,m,l}} =[( \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _{jm l})_{+},L_2]+[(B_{jm l})_{+}, \kern1.2pt\overline{\vphantom{L^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt L\kern0.2pt _2].
\end{equation}
\tag{5.5d}
$$
Теорема 5.1. Для $j=1,2$, $r>0$ уравнения Доказательство. Проверим корректность определения этих потоков. Из соотношений Предложение 5.1. Для любых $b_{j,m,l}$ справедливы уравнения которые выполняются в смысле действия на $S_i$ или $ \kern1.2pt\overline{\vphantom{S^*}\kern5.6pt}\kern-6.8pt S\kern0.2pt _i$. А именно, дополнительные потоки являются симметриями рациональной редукции связанной двумерной иерархии Тоды. Доказательство можно получить в каждом конкретном случае с помощью соотношений (5.3)–(5.5). Детали мы опускаем. Подобно двумерной иерархии Тоды, алгебраическая структура дополнительных симметрий рациональной редукции связанной двумерной иерархии Тоды описывается следующим предложением. Предложение 5.2. Алгебра дополнительных симметрий рациональной редукции связанной двумерной иерархии Тоды изоморфна алгебре Ли квазидифференциальных операторов, которая, в свою очередь, изоморфна (как алгебра Ли) связанной лиевой алгебре Вирасоро [21] Если взять комбинацию всех этих потоков
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial c_{m_1,l_1}}:=(l_1+1)\frac{\partial}{\partial b_{1,m_1,l_1}}-m_1\frac{\partial}{\partial b_{2,m_1,l_1}},
\end{equation*}
\notag
$$
то можно получить симметрию Блока [11], [18], [21]
$$
\begin{equation*}
\biggl[\frac{\partial}{\partial c_{m_1,l_1}},\frac{\partial}{\partial c_{m_2,l_2}}\biggr]= ((l_2+1)m_1-(l_1+1)m_2)\frac{\partial}{\partial c_{m_1+m_2,l_1+l_2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Li23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|