Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций

Пусть $r>0$, $\alpha\in\mathbf R$ и $W^r_\alpha(C)$ ($W^r_\alpha(L)$) есть класс непрерывных периодических функций $f$, представимых в форме
$$ f(x)=\frac{a_0}2+\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi \sum_{k=1}^\infty k^{-r}\cos\biggl(kt+\frac{\alpha\pi}2\biggr)\varphi(x+t)\,dt, $$
где $\varphi(x)$ – измеримая периодическая функция, удовлетворяющая условиям $\|\varphi\|_C\le1$ ($\|f\|_L\le1$), $\varphi\perp1$.
Положим
$$ S_n(W^r_\alpha)_C=\sup_{f\in W^r_\alpha(C)}\|f-s_{n-1}(f)\|_C,\qquad S_n(W^r_\alpha)_L=\sup_{f\in W^r_\alpha(l)}\|f-s_{n-1}(f)\|_L, $$
где $s_{n-1}(f)$ ($n=1,2,\dots$) – частичные суммы ряда Фурье функции $f$. Устанавливается, что для всех $n\ge1$, $r\ge1$, $\alpha\in\mathbf R$
$$ S_n(W^r_\alpha)_C=n^{-r}\biggl\{\frac8{\pi^2}\mathbf K(e^{r/n})+O(r^{-1})\biggr\}, $$
где
$$ \mathbf K(q)=\int_0^{\pi/2}\frac{du}{\sqrt{1-q^2\sin^2u}}\qquad(0\le q<1), $$
и что такая же формула справедлива для $S_n(W^r_\alpha)_L$.
Библиогр. – 20 назв.