О $C$-свойстве Лузина для сопряженной функции

В работе получены количественные оценки $C$-свойства H. Н. Лузина, т.е. оценки разностей сопряженной функции $\hat f(x)$, имеющие вид
$$ |\tilde f(x)-\tilde f(y)|\le(C_f(x)+C_f(y))w(|x-y|). $$

Здесь $w(\delta)$ – функция, неотрицательная при $\delta>0$ и монотонно стремящаяся к нулю при $\delta>0$, а множитель $C_f(x)$ – неотрицателен и конечен для почти всех $x$. При этом предполагается, что исходная функция $f(x)$, для которой $\hat f(x)$ является тригонометрически сопряженной, непрерывна и что известна мажоранта $w(\delta)$ ее равномерного модуля непрерывности. Установлено, что в качестве $w(\delta)=w(\omega,\delta)$ можно взять функции
$$ w(\delta)=\omega(\delta)\log\log\min\biggl(\frac1{\omega(\delta)},\frac{\omega(\delta)}\delta\biggr),\quad w(\delta)=\omega(\delta)\log\log(1/\delta), $$
и показано, что для некоторых модулей непрерывности (вблизи класса $\operatorname{Lip}1$, а также класса существенно ограниченных функций) наличие при $\omega(\delta)$ множителей, стремящихся к $+\infty$ при $\delta\to0$, является, вообще говоря, необходимым. В ряде случаев выяснен штатный порядок роста этих множителей. Библиогр. – 9 назв.