Равномерные по параметру $a\in(0,1)$ двусторонние оценки сумм синус- и косинус-рядов с коэффициентами вида $1/k^a$ через первые слагаемые их асимптотик

Для функций $f_a(x)=\sum_{k=1}^{\infty}k^{-a}\cos kx$ и $g_a(x)=\sum_{k=1}^{\infty}k^{-a}\sin kx$ получены равномерные по параметру $a\in(0,1)$ оценки приближений этих функций первыми членами их асимптотик $F_a(x)=\sin(\pi a/2)\Gamma(1-a)x^{a-1}$ и $G_a(x)=\cos(\pi a/2)\Gamma(1-a)x^{a-1}$. А именно, доказано, что для всех $a\in(0,1)$ и $x\in(0,\pi]$ верны неравенства
$$G_a(x)-\dfrac{x}{2}<g_a(x)<G_a(x)-\dfrac{x}{12}$$
и
$$F_a(x)+\zeta(a)+\dfrac{\zeta(3)}{4\pi^3}\,x^2\sin(\pi a/2)<f_a(x)<F_a(x)+\zeta(a)+\dfrac{1}{18}\,x^2\sin(\pi a/2).$$
Показано, что эти оценки неулучшаемы в следующем смысле. В оценке снизу синус-ряда вычитаемое $x/2$ нельзя заменить на $kx$, взяв какое-либо число $k<1/2$: после этого оценка перестанет быть верной при малых $x$ и значениях $a$, близких к $1$. В оценке сверху вычитаемое $x/12$ нельзя заменить на $kx$, взяв какое-либо число $k>1/12$: после этого оценка перестанет быть верной при значениях $a$ и $x$, близких к $0$. В оценке снизу косинус-ряда множитель $\zeta(3)/(4\pi^3)$ при $x^2\sin(\pi a/2)$ нельзя заменить бо́льшим числом: после этого оценка перестанет быть верной при близких к $0$ значениях $a$ и $x$. В оценке сверху косинус-ряда множитель $1/18$ при $x^2\sin(\pi a/2)$, вероятно, можно уменьшить, но заменить его числом $1/24$ нельзя: при любом $a\in[0.98,1)$ такая оценка не будет выполняться не только в точке $x=\pi$, но и на некотором отрезке $x_0(a)\le x\le\pi$, где $x_0(a)\to0$ при $a\to1-$. Полученные результаты позволяют уточнить оценки функций $f_a$ и $g_a$, найденные недавно другими авторами.