О тождестве Борвейна и весовых неравенствах типа Турана на отрезке

Пусть $\Pi_n^*$ — класс алгебраических полиномов $P$ степени $n$, имеющих все корни на отрезке $[-1,1]$ и обращающихся в нуль в точках $1$ и $-1$. Пусть, кроме того, $w(x)=1-x^2$. Основной результат статьи можно сформулировать следующим образом: существует абсолютная константа $A>0$ такая, что
$$\|P'w^{1-s}\|_{C[-1,1]}>A\sqrt{n}\cdot \sqrt{1-\Delta_P^2}\,\|Pw^{-s}\|_{C[-1,1]}$$
для любых $P\in \Pi_n^*$ и $s\in [0,1]$, где $\Delta_P=\inf\big\{d\ge 0\colon \|Pw^{-s}\|_{C[-d,d]}=\|Pw^{-s}\|_{C[-1,1]}\big\}$. Это неравенство можно интерпретировать как весовой аналог классического неравенства П. Турана для производной полиномов с корнями на отрезке. Доказательство использует обобщение интересной формулы П. Борвейна для логарифмической производной таких полиномов. Оценка, полученная в работе, точна по порядку количества $n$ и дополняет известные результаты В. Ф. Бабенко, С. А. Пичугова, С. П. Чжоу и других авторов.