О дифференциальных свойствах решений одного класса псевдодифференциальных уравнений на бесконечности. I

Устанавливаются равномерные в нормах Гёльдера оценки на всем эвклидовом пространстве $E_n$ обобщенных решений псевдодифференциальных уравнений вида
$$\begin{equation} \Phi^{-1}p(\xi)\Phi U=f, \label{1} \end{equation}$$
где символ $p(\xi)\neq0$ для $\xi\in E_n$, $|\xi|\neq0$, квазиоднороден и имеет на бесконечности рост не выше степенного.
Показано, что каждое обобщенное решение (1) $U\in L_p^{\operatorname{loc}}$, $1<p<\infty$, имеющее рост на бесконечности не более степенного и удовлетворяющее условию
$$\lim_{|v|\to\infty}\prod_{k=1}^n\frac1{v_k} \int_0^{v_k} D^\rho U(t+x)\,dt=0$$
имеет оценку $|D^\rho U|\leq c|x_m|^\beta$, $1\leq m\leq n$, $\beta<0$, где $\rho=(\rho_1,\dots,\rho_n)$ и $\beta$ связаны некоторыми неравенствами, зависящими от свойств правой части $f$, размерности пространства $E_n$ и показателя квазиоднородности символа $p(\xi)$. Как следует из примеров, полученные оценки точны и являются новыми даже в случае квазиэллиптических уравнений.