| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Случайные блуждания, остающиеся неотрицательными, и ветвящиеся процессы в неблагоприятной среде В. А. Ватутинa, К. Донгb, Е. Е. Дьяконоваa a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Xidian University, Xi'an, P. R. China
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9908e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеИсследование условных распределений случайных блужданий при условии их положительности или неотрицательности имеет долгую историю (см., например, статьи [4], [6]–[12], [14], [17], [18], [20], [25]). Интерес к доказательству различных принципов инвариантности для условных процессов, чему и посвящено большинство указанных работ, обусловлен не только естественным развитием теории случайных блужданий, но и широким использованием таких результатов в теории ветвящихся процессов, эволюционирующих как в постоянной, так и в случайной средах (см. [2], [19], [26]), в статистической физике, в частности, для изучения случайных полимеров (см. [13]), а также в других областях. В настоящей работе мы также анализируем свойства случайных блужданий, рассматриваемых при условии их неотрицательности. Наше исследование мотивировано работой Ф. Каравенны и Л. Шамона [11]. Авторы статьи [11] показали, что если распределение шага случайного блуждания принадлежит (без центрирования) области притяжения устойчивого закона, то при условии неотрицательности такого блуждания на отрезке длины $n$ распределение соответствующим образом нормированной экскурсии длины $n$, порожденной этим случайным блужданием, сходится к распределению экскурсии устойчивого процесса Леви, рассматриваемого при условии его неотрицательности на отрезке $[0,1]$. Мы дополняем этот результат исследованием поведения подходящим образом нормированной траектории случайного блуждания в левой окрестности $n-m$ экскурсии, где $m=o(n)$. Оказалось, что в зависимости от скорости стремления отношения $m/n$ к нулю в пределе возникает три различных распределения. Эти три режима приводят к трем различным скоростям роста числа частиц в критических ветвящихся процессах, эволюционирующих в неблагоприятной случайной среде и рассматриваемых при условии их невырождения к далекому моменту времени $n$. Наши утверждения для критических ветвящихся процессов в случайной среде дополняют соответствующие теоремы, установленные в работах [26], [27] и [28], в которых при условии невырождения таких процессов к моменту $n$ были исследованы распределения числа частиц в них в моменты времени $m=o(n)$ и $m=[nt]$, $0<t\leqslant 1$. Статья организована следующим образом. В § 2 мы вводим основные понятия, описываем наши основные условия, накладываемые на случайные блуждания, напоминаем некоторые известные локальные предельные теоремы и доказываем вспомогательные утверждения для случайных блужданий при условии их неотрицательности. В § 3 содержится несколько условных предельных теорем для экскурсий решетчатого случайного блуждания при условии его неотрицательности. В § 4 мы доказываем соответствующие условные предельные теоремы для экскурсий случайных блужданий, шаг которых имеет абсолютно непрерывное распределение. В § 5 мы устанавливаем условную предельную теорему для последовательности случайных величин, сходящихся почти наверное. В § 6 мы применяем полученные результаты для случайных блужданий при условии их неотрицательности для описания распределения размера популяции критического ветвящегося процесса, эволюционирующего в неблагоприятной среде при условии его выживания к далекому моменту времени. § 2. Обозначения и предположенияДля сохранения единства изложения и удобства ссылок мы будем в основном придерживаться обозначений и предположений, введенных в работе [11]. В последующем изложении через $C_{1},C_{2},\dots$ мы будем обозначать некоторые абсолютные константы, не обязательно совпадающие в различных формулах. Введем множества $\mathbb{N}\mathbf:=\{1,2,\dots\} $ и $\mathbb{N}_{0}:=\mathbb{N}\,\cup\,\{0\}$. Для двух положительных последовательностей $\{c_{n},\,n\in \mathbb{N}\} $ и $\{d_{n},\,n\in\mathbb{N}\} $ будем, как обычно, писать: $c_{n}\sim d_{n}$, если $\lim_{n\to \infty}(c_{n}/d_{n})=1$; $c_{n}=o(d_{n})$, если $\lim_{n\to \infty}(c_{n}/d_{n})=0$; $c_{n}=O(d_{n})$, если $\lim \sup_{n\to\infty}(c_{n}/d_{n})<\infty$; $c_n\asymp d_n$, если $0<\liminf_{n\to\infty}(c_n/d_n)\leqslant \limsup_{n\to\infty}(c_n/d_n)<\infty$. Напомним, что положительная последовательность $\{c_{n},\,n\in \mathbb{N}\} $ (или действительная функция $c(x))$ называется правильно меняющейся на бесконечности с индексом $\gamma \in \mathbb{R}$, что обозначается как $c_{n}\in R_{\gamma}$ или соответственно $c(x)\in R_{\gamma}$, если $c_{n}\sim n^{\gamma }l(n) $ (соответственно $c(x)\sim x^{\gamma}l(x)$), где $l(x)$ – медленно меняющаяся функция, т.е. такая положительная функция, что $l(cx)/l(x)\to 1$ при $x\to \infty $ для любого фиксированного $c>0$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{A} &:=\{0<\alpha <1,\, |\beta |<1\}\cup \{1<\alpha <2,\, |\beta |<1\} \\ &\qquad\cup \{\alpha =1,\, \beta=0\}\cup \{\alpha =2,\, \beta =0\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
– подмножество в пространстве $\mathbb{R}^{2}$. Для пары $(\alpha,\beta)\in \mathcal{A}$ и случайной величины $X$ мы будем использовать запись $X\in \mathcal{D}(\alpha,\beta)$, если распределение величины $X$ принадлежит (без центрирования) области притяжения устойчивого закона с плотностью $g(x)=g_{\alpha,\beta }(x)$, $x\in (-\infty,+\infty)$, и характеристической функцией
$$
\begin{equation*}
G(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{iwx}g(x)\,dx =\exp\biggl\{-c|w|^{\alpha}\biggl(1-i\beta \frac{w}{|w|}\operatorname{tg} \frac{\pi \alpha}{2}\biggr)\biggr\}, \qquad c>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим случайное блуждание
$$
\begin{equation*}
S_{0}=0, \qquad S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}, \quad n\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
с независимыми и одинаково распределенными приращениями. Всюду далее в этом параграфе мы предполагаем, что случайное блуждание $(\mathcal{S}=\{S_{n}, n\in \mathbb{N}_{0}\},\,\mathbb{P})$ удовлетворяет следующим условиям. Условие A1. Приращения $X_{n}$, $n=1,2,\dots$, случайного блуждания $\mathcal{S}$ принадлежат $\mathcal D(\alpha,\beta)$ с $|\beta|<1$. Это означает, в частности, что существует такая возрастающая последовательность положительных чисел где последовательность $\ell (1),\ell (2),\dots $ медленно меняется на бесконечности, что при $n\to \infty $
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}\biggl\{\frac{S_{[nt]}}{a_n},\,t\geqslant 0\biggr\} \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{L}\{Y_t,\,t\geqslant 0\};
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
символ $\Longrightarrow $ обозначает сходимость по распределению в пространстве $D[0,+\infty)$ с топологией Скорохода, а процесс $(\mathcal{Y}=\{Y_t,\,t\geqslant 0\},\,\mathbf{P})$ является строго устойчивым, т.е. имеет стационарные независимые приращения и маргинальные распределения, описываемые характеристическими функциями
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}e^{iwY_{t}}=G_{\alpha,\beta}(wt^{1/\alpha}), \qquad t\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно (см., например, [5; с. 380]), что если $X_{n}\stackrel{d}{=}X\in \mathcal{D}( \alpha,\beta) $ при всех $n\in \mathbb{N}$, то существует предел
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\mathbf{P}(S_{n}>0) =\rho =\mathbf{P}(Y_{1}>0),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\rho =\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi \alpha}\operatorname{arctg}\biggl(\beta \operatorname{tg} \frac{\pi \alpha}{2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\Omega^{\mathrm{RW}}:=\mathbb{R}^{\mathbb{N}_{0}}$ – пространство непрерывных справа функций со скачками в целочисленных точках неотрицательной полуоси, и пусть $\Omega :=D([0,\infty),\mathbb{R}) $ – пространство непрерывных справа и имеющих конечные пределы слева действительных функций на множестве $[0,\infty)$. Снабженное топологией Скорохода пространство $\Omega $ становится польским пространством с соответствующей $\sigma$-алгеброй борелевских множеств. Положим также $\Omega_{N}^{\mathrm{RW}}:=\mathbb{R}^{\{0,1,\dots,N\}}$ и $\Omega_t:=D([0,t],\mathbb{R})$ для $t\in (0,\infty)$. Обозначим через $\mathbb{P}_x$ закон распределения случайного блуждания, начинающегося в точке $x\in \mathbb{R}$, т.е. вероятностный закон на $\Omega^{\mathrm{RW}}$, порождаемый случайным блужданием $\mathcal{S}+x$, где $\mathbb{P}$ – закон распределения случайного блуждания $\mathcal{S}$, начинающегося в нуле; а для процесса $\mathcal{Y}=\{Y_t,\,t\geqslant 0\} $ с распределением $\mathbf{P}$ на $\Omega $ будем обозначать через $\mathbf{P}_a$ распределение смещенного процесса $\mathcal{Y}+a$ для $a\in \mathbb{R}$. Условие A2. Будем предполагать, что выполнено одно из следующих ограничений. $\bullet$ ($(h;c)$-решетчатый случай.) Мера $\mathbb{P}$ приращения $X_1$ случайного блуждания сосредоточена на решетке $c+hZ$, где шаг $h>0$ выбран максимальным (т.е. распределение $X_1$ не сосредоточено на какой-либо решетке $c_{0}+h_{0}Z$ при $h_{0}>h$ и $c_{0}\in R$). Отметим, что мы можем взять $c\in [0,h)$. $\bullet$ (абсолютно непрерывный случай.) Мера $\mathbb{P}$ приращения $X_1$ случайного блуждания абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на множестве $\mathbb{R}$, причем существует $n\in \mathbb N$ такое, что плотность распределения $f_{n}(x):=\mathbb{P}(S_{n}{\kern0.3pt}{\in}{\kern0.4pt}dx){/}dx$ случайной величины $S_{n}$ ограничена (и, следовательно, $f_{n}(x){\kern0.4pt}{\in}{\kern0.2pt}L^{\infty}$). Положим Законом распределения моста длины $N\in \mathbb{N}$ положительного случайного блуждания, начинающего в точке $x\in [0,\infty)$ и заканчивающегося в точке $y\in [0,\infty)$, мы будем называть вероятностный закон на множестве $\Omega_{N}^{\mathrm{RW}}$, задаваемый равенством
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x,y}^{\uparrow,N}(\cdot) :=\mathbb{P}_{x}(\cdot \mid L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=y).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что в решетчатом случае для корректности определения закона распределения $\mathbb{P}_{x,y}^{\uparrow,N}(\cdot)$ необходимо предположить положительность вероятностей
$$
\begin{equation*}
q_{N}^{+}(x,y) :=\mathbb{P}_{x}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=y) >0.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, в абсолютно непрерывном случае нам нужно обеспечить положительность функции
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &f_{N}^{+}(x,y) :=\frac{\mathbb{P}_{x}(L_{N-1}>0,\,S_{N}\in dy)}{dy} \\ &\quad=\int_{\mathcal{K}(N-1)}\biggl[f(s_{1}-x)\biggl( \prod_{i=2}^{N-1}f(s_{i}-s_{i-1})\biggr) f(y-s_{N-1})\biggr]ds_{1}\dotsb ds_{N-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\mathcal{K}(N-1):=\{s_{1}>0,\dots,s_{N-1}>0\} $ – область интегрирования, а $f(\cdot)=f_{1}(\cdot)$ – плотность приращения $X_1$ случайного блуждания. Для $t\in [0,\infty)$ и $a,b\in [0,\infty)$ обозначим через $\mathbf{P}_{a,b}^{\uparrow,t}$ закон распределения на множестве $\Omega_{t}$, соответствующий мосту длины $t$ неотрицательного процесса Леви, начинающемуся в точке $a$ и заканчивающемуся в точке $b$, который неформально может быть определен как
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}_{a,b}^{\uparrow,t}(\cdot) :=\mathbf{P}_{a}( \cdot \mid Y_{s}\geqslant 0\ \forall\, s\in [0,t],\,Y_{t}=b)
\end{equation*}
\notag
$$
(см. п. 6.1 статьи [11], где содержится детальное обоснование корректности такого определения). В случае $\alpha =2$, $\rho =1/2$, т.е. когда процесс $\mathcal{Y}$ является стандартным броуновским движением, закон распределения $\mathbf{P}_{a,b}^{\uparrow,1}(\cdot) $ задает распределение броуновской экскурсии. Для $N\in \mathbb{N}$ определим нормированное отображение $\phi_{N}\colon \Omega _{N}^{\mathrm{RW}}\to \Omega_{1}$ соотношением где $\{a_{N},\,N\in \mathbb{N}\} $ – нормирующая последовательность из условия A1.Используя это определение, обозначим через $\mathbb{P}_{x,y}^{\uparrow,N}\,{\circ}\, \phi_{N}^{-1}$ закон распределения, индуцируемый на множестве $\Omega_{1}:=D([0,1],\mathbb{R}) $ при помощи распределения $\mathbb{P}_{x,y}^{\uparrow,N}$ и отображения $\phi_{N}$. Следующая важная теорема была установлена в [11]. Теорема 1. Пусть $a,b\in [0,\infty)$, и пусть $\{x_{N},\,N\in \mathbb{N}\} $ и $\{y_{N},\,N\in \mathbb{N}\} $ – две неотрицательные последовательности такие, что $x_{N}/a_{N}\to a$ и $y_{N}/a_{N}\to b$ (в $(h;c)$-решетчатом случае будем предполагать, что $(y_{N}-x_{N}) \in Nc+h\mathbb{Z}$ для всех $N\in \mathbb{N}$). Если выполнены условия A1 и A2, то при $N\to \infty $ Из этой теоремы вытекает, что если $a=b=0$, распределение $X_{1}$ решетчато, а $m=m(N)=o(N)$ при $N\to \infty $, то для любого $z>0$
$$
\begin{equation*}
\lim_{N\to \infty}\mathbb{P}_{x_{N}}\biggl(\frac{S_{N-m}}{a_{N}}\geqslant z\biggm|L_{N}\geqslant 0,\, S_{N}=y_{N}\biggr) =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $S_{N-m}/a_{N}\to 0$ по вероятности при $N\to \infty $, и, таким образом, теорема 1 дает мало информации о распределении случайной величины $S_{N-m}$ в этой ситуации. В этом параграфе мы укажем такие центрирование и нормирование случайной величины $S_{N-m}$, которые обеспечивают сходимость преобразованной случайной величины к собственному невырожденному распределению. Оказывается, что вид предельного распределения существенным образом зависит от скорости изменения параметра $y_{N}$. Более того, чтобы включить в рассмотрение и абсолютно непрерывны случай, мы покажем, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{N\to \infty}\mathbb{P}_{x_{N}}\biggl( \frac{S_{N-m}-S_{N}}{a_{m}}\leqslant z\biggm|L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}\biggr) =A(z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $A(z)$ – собственное невырожденное распределение, вид которого различается в случаях $y_{N}/a_{m}\to 0$, $y_{N}/a_{m}\to T\in (0,\infty)$, $y_{N}/a_{m}\to \infty $. Для доказательства заявленных результатов нам понадобятся новые обозначения, в которых инфимум по пустому множеству есть бесконечность. Положим $S_{0}:=0$, $\tau _{0}^{\pm}:=0$ и при $k\geqslant 1$ обозначим через
$$
\begin{equation*}
\tau_{k}^{-}:=\inf \bigl\{n>\tau_{k-1}^{-}\colon S_{n}\leqslant S_{\tau_{k-1}^{-}}\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
слабые нижние лестничные моменты и через
$$
\begin{equation*}
\tau_{k}^{+}:=\inf \bigl\{n>\tau_{k-1}^{+}\colon S_{n}\geqslant S_{\tau_{k-1}^{+}}\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
слабые верхние лестничные моменты. Положим и введем параметр
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \zeta &:=\mathbb{P}(H_{1}^{+}=0) =\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(S_{1}<0,\,\dots,\,S_{n-1}<0,\,S_{n}=0) \\ &\,=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(S_{1}>0,\,\dots,\,S_{n-1}>0,\,S_{n}=0) =\mathbb{P}(H_{1}^{-}=0) \in (0,1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Укажем, что для проверки третьего равенства необходимо использовать соотношение
$$
\begin{equation*}
\{S_{n}-S_{n-k},\,k=0,1,\dots,n\} \stackrel{d}{=}\{S_{k},\,k=0,1,\dots,n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $x\geqslant 0$ ведем функции восстановления
$$
\begin{equation*}
V^{\pm}(x):=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(H_{k}^{\pm}\leqslant x) =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\mathbb{P}(\tau_{k}^{\pm}=n,\,\pm S_{n}\leqslant x).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что функции $V^{\pm}(x)$ непрерывны справа и не убывают, причем
$$
\begin{equation}
V^{\pm}(0)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(H_{k}^{\pm}=0) =\frac{1}{1-\zeta}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Далее, если выполнено условие A1, то $\lim_{n\to\infty}\mathbf{P}(S_n>0)=\rho\in (0,1)$ и, следовательно, случайные величины $\tau_1^+$ и $\tau_1^-$ являются собственными, причем (см., например, [21] или [23])
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>n) \in R_{-\rho}, \qquad V^{+}(x)\in R_{\alpha \rho},
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}(\tau_{1}^{-}>n) \in R_{-(1-\rho)}, \qquad V^{-}(x)\in R_{\alpha (1-\rho)}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Отметим, что в силу [25; соотношения (15) и (31)] и [11; соотношение (3.18)] существуют такие положительные константы $\widehat{C}$, $\mathcal{C}^{+}$ и $\mathcal{C}^{-}$, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, n\,\mathbb{P}(\tau_{1}^{-}>n) \,\mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>n) \sim \widehat{C}, \\ V^{+}(a_{n})\sim \frac{\mathcal{C}^{+}}{1-\zeta}\, n\, \mathbb{P}(\tau_{1}^{-}>n), \qquad V^{-}(a_{n})\sim \frac{\mathcal{C}^{-}}{1-\zeta}\, n\, \mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>n) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to \infty $ и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>n) V^{+}(a_{n})\sim C^{\ast }:=\frac{\mathcal{C}^{+}\widehat{C}}{1-\zeta}\in (0,\infty),
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}(\tau_{1}^{-}>n) V^{-}(a_{n})\sim C^{\ast \ast }:=\frac{\mathcal{C}^{-}\widehat{C}}{1-\zeta}\in (0,\infty),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
$$
\begin{equation}
V^{+}(a_{n})V^{-}(a_{n})\sim nC^{\ast \ast \ast }:=\frac{\widehat{C}\mathcal{C}^{+}\mathcal{C}^{-}}{(1-\zeta)^{2}}n.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Для $x\geqslant 0$ введем непрерывные слева функции восстановления
$$
\begin{equation*}
\underline{{V}}^{\pm}(x):=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(H_{k}^{\pm}<x) =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\mathbb{P}(\tau_{k}^{\pm}=n,\, \pm S_{n}<x).
\end{equation*}
\notag
$$
Если распределение случайной величины $X_{1}$ абсолютно непрерывно, то Мы неоднократно будем использовать этот факт, ссылаясь на результаты работ [14] и [25]. Далее нам потребуются различные функции вида $T(x_{N}$, $y_{N})$, зависящие от действительных параметров $x_{N}$ и $y_{N}$. Для фиксированной положительной последовательности $a_{n}$, $n=1,2,\dots$, будем для краткости писать “$T(x_{N},y_{N})=o(1)$ или $T(x_{N},y_{N})\sim c>0$ равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$, $y_{N}=o(a_{m})$ при $\min(m,N)\to \infty$”, имея в виду, что “$T(x_{N},y_{N})=o(1)$ или $T(x_{N},y_{N})\sim c>0$ равномерно по $x_{N}\in (0,\delta_{N}a_{N}]$, $y_{N}\in (0,\delta _{N}a_{m}]$ для любой положительной последовательности $\delta _{N}\to 0$ при $\min(m,N)\to \infty$”. Для упрощения последующего изложения напомним несколько локальных предельных теорем, справедливых в решетчатом случае и установленных в [11; § 4]. Пусть $g(\cdot)$ – плотность распределения случайной величины $Y_{1}$ и $g^{+}(\cdot)$ – плотность распределения извилины процесса Леви $\mathcal{Y}$ в момент $t=1$ (см. [8]):
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{y}g^{+}(x)\,dx=\mathbf{P}_{0} \Bigl(Y_{1}\leqslant y\Bigm|\inf_{0\leqslant s\leqslant 1}Y_{s}\geqslant0\Bigr), \qquad y\geqslant 0
\end{equation*}
\notag
$$
(см. лемму 4 в [12], где дано детальное описание свойств этой плотности). Аналогично, пусть $g^{-}(\cdot)$ – плотность распределения извилины процесса Леви $-\mathcal{Y}$ в момент $t=1$. Наконец, для $a,b\in [0,\infty)$ введем функцию
$$
\begin{equation*}
C(a,b):=\mathbf{P}_{a}\Bigl(\inf_{0\leqslant s\leqslant 1}Y_{s}\geqslant 0\Bigm|Y_{1}=b\Bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1. Пусть выполнены условие A1 и условие A2 ($(h;c)$-решетчатый случай). Тогда при $n\to \infty $ для $x,y\geqslant 0$, где $(y-x) \in nc+h\mathbb{Z}$, верны следующие соотношения: 1) равномерно по $x=o(a_{n})$ и $y\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
g_{n}^{+}(x,y)=\frac{h\mathbb{P}(\tau_{1}^{-}>n) }{a_{n}}V^{-}(x)\biggl(g^{+}\biggl(\frac{y}{a_{n}}\biggr) +o(1)\biggr) ;
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
2) равномерно по $y=o(a_{n})$ и $x\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
g_{n}^{+}(x,y) =\frac{h\mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>n) }{a_{n}}V^{+}(y)\biggl(g^{-}\biggl(\frac{x}{a_{n}}\biggr) +o(1)\biggr) ;
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
3) равномерно по $y=o(a_{n})$ и $x=o(a_{n})$
$$
\begin{equation}
g_{n}^{+}(x,y) =h(1-\zeta )\frac{g(0)}{na_{n}}V^{-}(x)V^{+}(y)(1+o(1)) ;
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
4) для любого $T>1$ равномерно по $x,y\in (T^{-1}a_{n}, Ta_{n}) $ Отметим, что соотношение (2.12) является следствием принципа инвариантности Лиггетта для мостов (см. [20]) и локальной теоремы Гнеденко (см. [16]). Введенные выше функции восстановления были определены в терминах характеристик слабых лестничных моментов случайных блужданий. Следует заметить, что и строгие лестничные моменты $\{\widehat{\tau}_{k}^{\pm},\,k\geqslant 0\} $, и величины $\{\widehat{H}_{k}^{\pm}, k\geqslant 0\} $, определяемые соотношениями $\widehat{\tau}_{0}^{\pm}:=0$, $\widehat{H}_{0}^{\pm}:=0$ и
$$
\begin{equation*}
\widehat{\tau}_{k}^{\pm}:=\inf \{n>\widehat{\tau}_{k-1}^{\pm}\colon \pm S_{n}>\pm S_{\widehat{\tau}_{k-1}^{\pm}}\}, \qquad \widehat{H}_{k}^{\pm}:=\pm S_{\tau_{k}^{\pm}}
\end{equation*}
\notag
$$
при $k\geqslant 1$, также часто используются при исследовании свойств случайных блужданий и ветвящихся процессов в случайной среде (см., например, [1], [3], [14], [25], [27]). Последовательности $\{\widehat{H}_{k}^{\pm},\,k\geqslant 0\} $ порождают функции восстановления
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{V}^{\pm}(x) &:=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(\widehat{H}_{k}^{\pm}\leqslant x) =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\mathbb{P}(\widehat{\tau}_{k}^{\pm}=n,\,\pm S_{n}\leqslant x), \\ \underline{\widehat{V}}^{\pm}(x) &:=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(\widehat{H}_{k}^{\pm}<x) =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty }\mathbb{P}(\widehat{\tau}_{k}^{\pm}=n,\,\pm S_{n}<x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Известно (см. [15; § XII.1, равенство (1.13)]), что
$$
\begin{equation}
\widehat{V}^{\pm}(x)=(1-\zeta) V^{\pm}(x), \qquad \underline{\widehat{V}}^{\pm}(x)=(1-\zeta) \underline{{V}}^{\pm}(x).
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Кроме того (см. [11; приложение 3]),
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}(\widehat{\tau}_{1}^{-}>n) \sim \frac{1}{1-\zeta}\, \mathbb{P}(\tau_{1}^{-}>n),
\end{equation*}
\notag
$$
и в силу симметрии
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}(\widehat{\tau}_{1}^{+}>n) \sim \frac{1}{1-\zeta}\, \mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>n).
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Для абсолютно непрерывного случая результаты, аналогичные лемме 1, были также получены в [11]. Лемма 2. Пусть выполнены условие A1 и условие A2 (абсолютно непрерывный случай). При $n\to \infty $ для $x,y\geqslant 0$ верны следующие соотношения: 1) равномерно по $x=o(a_{n})$ и $y\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
f_{n}^{+}(x,y) =\frac{\mathbb{P}(\tau_{1}^{-}>n) }{a_{n}}V^{-}(x)\biggl(g^{+}\biggl(\frac{y}{a_{n}}\biggr) +o(1)\biggr) ;
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
2) равномерно по $y=o(a_{n})$ и $x\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
f_{n}^{+}(x,y) =\frac{\mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>n) }{a_{n}}V^{+}(y)\biggl(g^{-}\biggl(\frac{x}{a_{n}}\biggr) +o(1)\biggr) ;
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
3) равномерно по $y=o(a_{n})$ и $x=o(a_{n})$
$$
\begin{equation}
f_{n}^{+}(x,y) =\frac{g(0)}{na_{n}}V^{-}(x)V^{+}(y)( 1+o(1)) ;
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
4) для любого $T>1$ равномерно по $x,y\in (T^{-1}a_{n},Ta_{n}) $ Соотношение (2.16) не было явно упомянуто в статье [11]. Однако его несложно вывести из (2.15) и (2.2) в силу симметрии, а именно, рассматривая случайное блуждание $-\mathcal{S}$ вместо $\mathcal{S}$, меняя местами $x$ и $y$ и заменяя каждый встречающийся знак “$+$” на знак “$-$”. Соотношение (2.18) является следствием принципа инвариантности Лиггетта для мостов (см. [20]) и локальной теоремы, доказанной Стоуном в [24]. Проясним теперь значение константы $C^{\ast}$ в (2.6). Лемма 3. Пусть выполнено условие A1. Тогда Замечание 1. Отметим, что значение константы $C^{\ast}$ не является универсальным в следующем смысле. Если мы изменим нормирующую последовательность, положив $\overline{a}_{n}=ca_{n}$ для некоторого $c>0$, то Доказательство леммы 3. Согласно (2.7), (2.13) и (2.14)
$$
\begin{equation*}
C^{\ast \ast}=\lim_{n\to \infty}V^{-}(a_{n})\mathbb{P}(\tau_{1}^{-}>n) =\lim_{n\to \infty }\widehat{V}^{-}(a_{n})\mathbb{P}(\widehat{\tau}_{1}^{-}>n).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть, далее, $U(w):=C^{\ast \ast}w^{\alpha (1-\rho)},w\geqslant 0$. Из доказательства теоремы 1.1 в [10] (см. рассуждения между формулами (3.11) и (3.12) и определение (3.1)) следует, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}\Bigl[U(Y_{1})\Bigm|\inf_{0\leqslant s\leqslant 1}Y_{s}\geqslant 0\Bigr] =C^{\ast\ast}\int_{0}^{\infty}w^{\alpha (1-\rho)}g^{+}(w)\,dw=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, рассматривая распределение извилины процесса $-\mathcal{Y}$ в момент $t=1$ и замечая, что параметр положительности процесса $-\mathcal{Y}$ равен $1-\rho $, нетрудно вывести в силу соображений симметрии, что и, вводя функцию $\overline{U}(w):=C^{\ast}w^{\alpha \rho}$, получить соотношение
Лемма доказана. Положим
$$
\begin{equation}
b_{n}:=\frac{1}{na_{n}}=\frac{1}{n^{1+1/\alpha}\ell (n)}.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Из [3; предложение 2.3] и равенств (2.13) несложно вывести следующее утверждение, дополняющее леммы 1 и 2. Лемма 4. Пусть выполнено условие A1. Тогда существует такое число $C>0$, что равномерно по всем $x,y\geqslant 0$ и $n\in \mathbb{N}$ выполняется соотношение Доказательство. В [3; утверждение 2.3] было показано, что если выполнено условие A1, то существует число $C>0$ такое, что равномерно по всем $x,y\geqslant 0$ и всем $n$
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x}(y-1\leqslant S_{n}<y,\,L_{n}\geqslant 0) \leqslant Cb_{n}\widehat{V}^{-}(x)\underline{\widehat{V}}^{+}(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь соотношение (2.20) следует из (2.13) и неравенств Второе и третье утверждения леммы выводятся с помощь суммирования и интегрирования соответственно.
Лемма доказана. § 3. Предельные теоремы для решетчатого случаяСледуя [11], в дальнейшем мы будем рассматривать лишь $(1;0)$-решетчатый случай условия A2, т.е. будем предполагать, что распределение величины $X_{1}$ сосредоточено на множестве $\mathbb{Z}$ и является апериодическим. Общий $(h;c)$-решетчатый случай требует лишь более громоздких обозначений, в то время как проводимые при этом доказательства не нуждаются в дополнительных соображениях. Нашей целью является исследование асимптотического поведения вероятностей
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=y_{N})
\end{equation*}
\notag
$$
при условии, что $\max (x_{N},y_{N})/a_{N}\to 0$ и $m=o(N)$ при $N\to \infty $. Рассмотрим отдельно три случая: $y_{N}/a_{m}\to 0$, $y_{N}/a_{m}\to T\in (0,\infty)$ и $y_{N}/a_{m}\to \infty $. 3.1. Случай $y_{N}/a_{m}\to 0$ Лемма 5. Пусть выполнены условия A1 и A2 и распределение случайной величины $X_{1}$ является $(1;0)$-решетчатым. Если $\min (m,N)\to \infty $ так, что $m=o(N)$, то для любого $z\in (0,\infty)$ Доказательство. Согласно (2.11) при $N\to \infty$
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=j) \sim (1-\zeta )b_{N}g(0)V^{-}(x_{N})V^{+}(j)
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N}) $ и $j=o(a_{N})$, откуда получаем, что
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) \sim (1-\zeta )b_{N}g(0)V^{-}(x_{N})\sum_{j=0}^{y_{N}}V^{+}(j)
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N}) $ и $y_{N}=o( a_{N}) $. Отсюда и из (2.3) следует, что равномерно по $x_{N}=o(a_{N}) $ и $y_{N}=o(a_{N}) $.
Зафиксируем теперь $z>\varepsilon \in (0,1)$ и рассмотрим асимптотическое поведение вероятности
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{n}=y_{N}) =R_{1}(\varepsilon,m,N)+R_{2}(\varepsilon,m,N),
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{1}(\varepsilon,m,N) &:=\sum_{0\leqslant k\leqslant \varepsilon a_{m}} \mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}=k,\,L_{N-m}\geqslant 0)\, \mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0), \\ R_{2}(\varepsilon,m,N) &:= \sum_{\varepsilon a_{m}<k\leqslant za_{m}} \mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}=k,\,L_{N-m}\geqslant 0)\, \mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя лемму 4, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{1}(\varepsilon,m,N) &\leqslant Cb_{m}V^{+}(y_{N})\sum_{0\leqslant k\leqslant\varepsilon a_{m}} \mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}=k,\,L_{N-m}\geqslant 0) V^{-}(k) \\ &\leqslant Cb_{m}V^{+}(y_{N})V^{-}(\varepsilon a_{m})\, \mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant \varepsilon a_{m},\,L_{N-m}\geqslant 0) \\ &\leqslant C_{1}b_{m}b_{N-m}V^{+}(y_{N})V^{-}(x_{N})V^{-}(\varepsilon a_{m}) \sum_{0\leqslant k\leqslant \varepsilon a_{m}}V^{+}(k) \\ &\leqslant \varepsilon C_{1}a_{m}b_{m}b_{N-m}V^{+}(y_{N})V^{-}(x_{N})V^{-} (\varepsilon a_{m})V^{+}(\varepsilon a_{m}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя (2.8) и (2.19) и используя эквивалентность $b_{N-m}\sim b_{N}$ при $m=o(N)$, $N\to \infty $, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &a_{m}b_{m}b_{N-m}V^{+}(y_{N})V^{-}(x_{N})V^{-} (\varepsilon a_{m})V^{+}(\varepsilon a_{m}) \\ &\qquad \leqslant Ca_{m}b_{m}b_{N}V^{+}(y_{N})V^{-}(x_{N})V^{-}(a_{m})V^{+}(a_{m}) \\ &\qquad \leqslant 2CC^{\ast \ast \ast}a_{m}b_{m}b_{N}mV^{+}(y_{N})V^{-}(x_{N}) =2CC^{\ast \ast \ast}b_{N}V^{+}(y_{N})V^{-}(x_{N}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
R_{1}(\varepsilon,m,N)\leqslant \varepsilon C_{1}b_{N}V^{+}(y_{N})V^{-}(x_{N}).
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Для оценки величины $R_{2}(\varepsilon,m,N)$ заметим сначала, что в силу леммы 1
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}=k,\,L_{N-m}\geqslant 0) \sim \frac{(1-\zeta )g(0)}{(N-m) a_{N-m}}V^{-}(x_{N})V^{+}(k)
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
равномерно по $\varepsilon a_{m}\leqslant k\leqslant za_{m}$ и $x_{N}=o(a_{N-m})=o(a_{N})$, а также, что
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0) =\frac{\mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>m)}{a_{m}}V^{+}\biggl(y_{N})(g^{-} \biggl(\frac{k}{a_{m}}\biggr) +o(1)\biggr)
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
равномерно по $\varepsilon a_{m}\leqslant k\leqslant za_{m}$ и $y_{N}=o(a_{m})$. Следовательно, равномерно по $\varepsilon a_{m}\leqslant k\leqslant za_{m}$, $y_{N}=o(a_{m})$ и $x_{N}=o(a_{N})$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{2}(\varepsilon,m,N) &\sim \frac{(1-\zeta)g(0)}{Na_{N}}\, \frac{\mathbb{P}(\tau_{1}^{+}>m)}{a_{m}}V^{-}(x_{N})V^{+}(y_{N}) \\ &\qquad \times \sum_{\varepsilon a_{m}<k\leqslant za_{m}}V^{+}(k)g^{-} \biggl(\frac{k}{a_{m}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (2.6), заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{2}(\varepsilon,m,N) &\sim \frac{C^{\ast}(1-\zeta)g(0)}{Na_{N}}V^{-}(x_{N})V^{+}(y_{N}) \\ &\qquad \times \sum_{\varepsilon a_{m}<k\leqslant za_{m}} \frac{V^{+}(k)}{V^{+}(a_{m})}g^{-}\biggl(\frac{k}{a_{m}}\biggr) \frac{1}{a_{m}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (2.4) и свойств правильно меняющихся функций (см. [22]) следует, что при $m\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\frac{V^{+}(wa_{m})}{V^{+}(a_{m})}\to w^{\alpha \rho}
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $\varepsilon \leqslant w\leqslant z$. Следовательно, при $m\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\sum_{\varepsilon a_{m}<k\leqslant za_{m}}\frac{V^{+}(k)}{V^{+}(a_{m})}g^{-}\biggl(\frac{k}{a_{m}}\biggr) \frac{1}{a_{m}}\sim \int_{\varepsilon}^{z}w^{\alpha \rho}g^{-}(w)\,dw.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате имеем
$$
\begin{equation*}
R_{2}(\varepsilon,m,N)\sim C^{\ast}(1-\zeta) g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(y_{N})\int_{\varepsilon}^{z}w^{\alpha \rho }g^{-}(w)\,dw
\end{equation*}
\notag
$$
при $N\to \infty $ равномерно по $y_{N}=o(a_{m})$ и $x_{N}=o(a_{N})$. Так как $\varepsilon >0$ может быть выбрано произвольно малым, то, опираясь на (3.6) и (3.2), мы выводим, что при $N\to\infty$
$$
\begin{equation}
\frac{\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m} \leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant0,\,S_{N}=y_{N})}{\mathbb{P}_{x_{N}} (L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=y_{N})} \sim C^{\ast}\int_{0}^{z}w^{\alpha \rho}g^{-}( w) \,dw=A_{1}(z)
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $y_{N}=o(a_{m})$.
Лемма доказана. Следствие 1. Пусть выполнены условия A1 и A2 и распределение случайной величины $X_{1}$ является $(1;0)$-решетчатым. Если $\min (m,N)\to \infty $ так, что $m=o(N)$, то для любого $z\in (0,\infty)$ равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $y_{N}=o(a_{m})$. Используя суммирование, из (3.9), (3.2) и (3.3) получаем требуемое утверждение. 3.2. Случай $y_{N}\asymp a_{m}$Пусть $0<t_{0}<t_{1}<\infty $ – фиксированные положительные числа. Лемма 6. Пусть выполнены условия A1 и A2, а распределение случайной величины $X_{1}$ является $(1;0)$-решетчатым. Если $\min (m,N)\to \infty $ так, что $m=o(N)$, то для любого $z\in (0,\infty)$ равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $j\in [t_{0}a_{m},t_{1}a_{m}]$, где Доказательство. Воспользуемся снова разложением (3.5). Оценки (3.6) и (3.7) остаются неизменными. Далее, используя (2.12) вместо (3.8), получаем, что при $m\to \infty $
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{k}(S_{m}=j,\,L_{m}\geqslant 0) \sim \frac{1}{a_{m}}g\biggl( \frac{j-k}{a_{m}}\biggr) C\biggl(\frac{k}{a_{m}},\,\frac{j}{a_{m}}r\biggr)
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
равномерно по $\varepsilon a_{m}\leqslant k\leqslant za_{m}$ и $j\in [ t_{0}a_{m},t_{1}a_{m}]$. Отсюда, учитывая (3.7) и (3.10), заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{2}(\varepsilon,m,N) &\sim \frac{(1-\zeta)g(0)}{(N-m) a_{N-m}}V^{-}(x_{N}) \\ &\qquad\times \sum_{\varepsilon a_{m}<k\leqslant za_{m}} V^{+}(k)\frac{1}{a_{m}}g\biggl(\frac{j-k}{a_{m}}\biggr) C\biggl(\frac{k}{a_{m}},\,\frac{j}{a_{m}}\biggr) \\ &\sim \frac{(1-\zeta)g(0)}{Na_{N}}V^{-}(x_{N})V^{+}(a_{m}) \\ &\qquad\times \sum_{\varepsilon a_{m}<k\leqslant za_{m}} \frac{V^{+}(k)}{V^{+}(a_{m})}\,\frac{1}{a_{m}}g\biggl(\frac{j-k}{a_{m}}\biggr) C\biggl(\frac{k}{a_{m}},\,\frac{j}{a_{m}}\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $j\in [t_{0}a_{m},t_{1}a_{m}]$. Рассуждая теперь так же, как и в лемме 5, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{\varepsilon a_{m}<k\leqslant za_{m}} \frac{V^{+}(k)}{V^{+}(a_{m})}\,\frac{1}{a_{m}}g\biggl(\frac{j-k}{a_{m}}\biggr) C\biggl(\frac{k}{a_{m}},\,\frac{j}{a_{m}}\biggr) \\ &\qquad\sim \int_{\varepsilon}^{z}w^{\alpha \rho }g\biggl(\frac{j}{a_{m}}-w\biggr) C\biggl(w,\frac{j}{a_{m}}\biggr)\,dw \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $m\to \infty $. Значит,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_{2}(\varepsilon,m,N) &\sim (1-\zeta )g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(a_{m}) \notag \\ &\qquad \times \int_{\varepsilon}^{z}w^{\alpha \rho} g\biggl(\frac{j}{a_{m}}-w\biggr) C\biggl(w,\frac{j}{a_{m}}\biggr)\,dw. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Так как $\varepsilon >0$ может быть выбрано произвольно малым и
$$
\begin{equation*}
V^{+}(a_{m})=V^{+}\biggl(\frac{a_{m}}{j}j\biggr) \sim \biggl(\frac{a_{m}}{j}\biggr)^{\alpha \rho}V^{+}(j)
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $j\in [t_{0}a_{m},t_{1}a_{m}]$, то объединение (3.6), (3.11) и (3.2) приводит к равенству справедливому равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $j\in [ t_{0}a_{m},t_{1}a_{m}]$.
Лемма 6 доказана. Следствие 2. Если $\min (m,N)\to \infty$, $m=o(N)$ и $y_{N}\sim Ta_{m}$, $T\in (0,\infty)$, то в условиях леммы 6 для любого $z\in (0,\infty)$ равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$, где Доказательство. Ввиду (2.21) для любого $\varepsilon \in (0,1)$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant \varepsilon y_{N}) \notag \\ &\qquad \leqslant \mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant \varepsilon y_{N})\leqslant C_{1}b_{N}V^{-}(x_{N})\sum_{0\leqslant j\leqslant \varepsilon y_{N}}V^{+}(j). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Далее, из леммы 6 и соотношений (2.11) и (2.4) следует, что при $N\to\infty$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,\varepsilon y_{N}\leqslant S_{N}\leqslant y_{N}) \notag \\ &\qquad \sim \sum_{\varepsilon y_{N}<j\leqslant y_{N}}\mathbb{P}_{x_{N}}( L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=j) A_{2}\biggl(z,\frac{j}{a_{m}}\biggr) \notag \\ &\qquad \sim (1-\zeta)g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})\sum_{\varepsilon y_{N}<j\leqslant y_{N}}V^{+}(j)A_{2}\biggl(z,\frac{j}{a_{m}}\biggr) \notag \\ &\qquad =(1-\zeta)g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(a_{m})\sum_{\varepsilon Ta_{m}<j\leqslant Ta_{m}}\frac{V^{+}(j)}{V^{+}(a_{m})}A_{2}\biggl(z,\frac{j}{a_{m}}\biggr) \notag \\ &\qquad \sim (1-\zeta )g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(a_{m})a_{m}\int_{\varepsilon T}^{T}t^{\alpha \rho}A_{2}(z,t)\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\varepsilon T}^{T}t^{\alpha \rho}A_{2}(z,t)\,dt &=\int_{\varepsilon T}^{T}dt\int_{0}^{z}w^{\alpha \rho}g(t-w) C(w,t)\,dw \\ &=\int_{0}^{z}w^{\alpha \rho}dw\int_{\varepsilon T}^{T}g(t-w) C(w,t)\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation}
V^{+}(a_{m})a_{m}\sim V^{+}(T^{-1}y_{N})T^{-1}y_{N}\sim T^{-\alpha \rho -1}V^{+}(y_{N})y_{N}
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
согласно (2.4), то в силу (3.14)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,\varepsilon y_{N}\leqslant S_{N}\leqslant y_{N}) \\ &\qquad\sim (1-\zeta)g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(y_{N})y_{N} T^{-\alpha \rho -1}\int_{0}^{z}w^{\alpha \rho}\,dw \int_{\varepsilon T}^{T}g(t-w) C(w,t) \,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обращаясь снова к (2.4), мы видим, что
$$
\begin{equation*}
(\alpha \rho +1) \sum_{j=0}^{y_{N}}V^{+}(j)\sim y_{N}V^{+}(y_{N})
\end{equation*}
\notag
$$
при $y_{N}\to \infty $. Отсюда, используя соотношения (3.13), (3.3) и устремляя $\varepsilon $ к нулю, получаем, что равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$.
Следствие доказано. 3.3. Случай $a_{m}=o(y_{N})$В отличие от п. 3.1 и п. 3.2, где изучалось распределение случайной величины $S_{N-m}$, здесь мы исследуем распределение разности $S_{N-m}-S_{N}$. Лемма 7. Пусть выполнены условия A1 и A2, а распределение случайной величины $X_{1}$ является $(1;0)$-решетчатым. Если $\min (m,N)\to \infty $ и $a_{m}=o(y_{N})$, то для любого $z\in (-\infty,\infty)$ Доказательство. Зафиксируем достаточно большое значение $M$ и воспользуемся разложением
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}-y_{N}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=y_{N}) =R_{3}(M,m,N)+R_{4}(M,m,N),
\end{equation*}
\notag
$$
в котором
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{3}(M,m,N) &:=\sum_{0\leqslant k\leqslant y_{N}-Ma_{m}}\mathbb{P}_{x_{N}}( S_{N-m}=k,\,L_{N-m}\geqslant 0) \, \mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0), \\ R_{4}(M,m,N) &:=\sum_{y_{N}-Ma_{m}<k\leqslant y_{N}+za_{m}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}=k,\,L_{N-m}\geqslant 0) \, \mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что в силу (2.11)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{3}(M,m,N) &\leqslant Cb_{N-m}V^{-}(x_{N})\sum_{0\leqslant k\leqslant y_{N}-Ma_{m}}V^{+}(k)\, \mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0) \\ &\leqslant C_{1}b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(y_{N})\sum_{0\leqslant k\leqslant y_{N}-Ma_{m}}\mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{0\leqslant k\leqslant y_{N}-Ma_{m}}\mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0)=\sum_{0\leqslant k\leqslant y_{N}-Ma_{m}}\mathbb{P}(S_{m}=y_{N}-k,\,L_{m}\geqslant -k) \\ &\qquad \leqslant \sum_{0\leqslant k\leqslant y_{N}-Ma_{m}}\mathbb{P}(S_{m}=y_{N}-k) \leqslant \mathbb{P}(S_{m}\geqslant Ma_{m}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\lim_{M\to \infty}\lim_{m\to \infty}\mathbb{P}(S_{m}\geqslant Ma_{m}) =0$, то где $\varepsilon (M)\downarrow 0$ при $M\to \infty $.
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &R_{4}(M,m,N) \\ &\qquad\sim(1-\zeta )g(0)b_{N-m}V^{-}(x_{N})\sum_{y_{N}-Ma_{m}<k\leqslant y_{N}+za_{m}}V^{+}(k)\, \mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0) \\ &\qquad\sim(1-\zeta )g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(y_{N})\sum_{y_{N}-Ma_{m}<k\leqslant y_{N}+za_{m}}\mathbb{P}_{k}(S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $y_{N}=o(a_{N})$. Таким образом, осталось оценить сумму:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{y_{N}-Ma_{m}<k\leqslant y_{N}+za_{m}}\mathbb{P}_{k}( S_{m}=y_{N},\,L_{m}\geqslant 0) \\ &\qquad\qquad =\sum_{y_{N}-Ma_{m}<k\leqslant y_{N}+za_{m}}\mathbb{P}( S_{m}=y_{N}-k,\,L_{m}\geqslant -k) \\ &\qquad\qquad=\sum_{-Ma_{m}<j\leqslant za_{m}}\mathbb{P}(S_{m}=j,\,L_{m}\geqslant j-y_{N}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}(S_{m}\in [-Ma_{m},za_{m}],\,L_{m} \geqslant za_{m}-y_{N}) \\ &\qquad\leqslant \sum_{-Ma_{m}<j\leqslant za_{m}}\mathbb{P}(S_{m}=j,\,L_{m}\geqslant j-y_{N})\leqslant \mathbb{P}(S_{m}\in [-Ma_{m},za_{m}]). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}(S_{m}\in [-Ma_{m},za_{m}],\,L_{m}\geqslant za_{m}-y_{N}) \\ &\qquad \geqslant\mathbb{P}(S_{m}\in [-Ma_{m},za_{m}]) -\mathbb{P}(L_{m}<za_{m}-y_{N}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $y_{N}/a_{m}\to \infty $, то согласно принципу инвариантности для случайных блужданий, распределения приращений которых принадлежат без центрирования области притяжения устойчивого закона,
$$
\begin{equation*}
\lim_{N\to \infty}\mathbb{P}\biggl( \frac{L_{m}}{a_{m}}<z-\frac{y_{N}}{a_{m}}\biggr) =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $b_{N-m}\sim b_{N}$, если $m=o(N)$ при $N\to \infty $, и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
R_{4}(M,m,N)\sim (1-\zeta )g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(y_{N})\, \mathbf{P}(Y_{1}\in [-M,z])
\end{equation*}
\notag
$$
при $N\to \infty $. Так как параметр $M$ может быть выбран произвольно большим и $\varepsilon (M)>0$ в (3.16) – произвольно малым, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}-y_{N}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{n}=y_{N}) \\ &\qquad\sim (1-\zeta )g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})V^{+}(y_{N})\, \mathbf{P}(Y_{1}\leqslant z) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $y_{N}=o(a_{N})$. Ввиду (2.1) это влечет утверждение леммы. Следствие 3. Пусть выполнены условия A1 и A2, а распределение случайной величины $X_{1}$ является $(1;0)$-решетчатым. Если $m\to \infty $ и $a_{m}=o(y_{N})$, то для любого $z\in (-\infty,\infty)$ равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $y_{N}=o(a_{N}),a_{m}=o(y_{N})$. Доказательство. В силу (2.21) для любого $\varepsilon \in (0,1)$
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}-S_{N}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant \varepsilon y_{N}) \leqslant C_{1}b_{N}V^{-}(x_{N})\sum_{0\leqslant j\leqslant \varepsilon y_{N}}V^{+}(j).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, по лемме 7
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}-S_{N}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,\varepsilon y_{N}\leqslant S_{N}\leqslant y_{N}) \\ &\qquad \sim \sum_{\varepsilon y_{N}<j\leqslant y_{N}}\, \mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}=j) \mathbf{P}(Y_{1}\leqslant z) \\ &\qquad \sim \mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,\varepsilon y_{N}\leqslant S_{N}\leqslant y_{N}) \, \mathbf{P}(Y_{1}\leqslant z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (2.11)
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) \sim (1-\zeta )g(0)b_{N}V^{-}(x_{N})\sum_{j=0}^{y_{N}}V^{+}(j).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, используя (2.4) и устремляя $\varepsilon$ к нулю, мы получаем требуемое утверждение.
Следствие доказано. § 4. Предельные теоремы для абсолютно непрерывного случаяВ этом параграфе мы установим аналоги следствий 1–3 для абсолютно непрерывного случая. Лемма 8. Пусть выполнены условие A1 и условие A2 (абсолютно непрерывный случай), и пусть $\min (m,N)\to \infty,m=o(N)$. Тогда: 1) равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $y_{N}=o(a_{m})$
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m}\mid L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) \sim A_{1}(z), \qquad z\in (0,\infty);
\end{equation*}
\notag
$$
2) если $y_{N}\sim Ta_{m},T\in (0,\infty)$, то равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m}\mid L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) \sim B(z,T), \qquad z\in (0,\infty);
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
3) если $a_{m}=o(y_{N})$, то равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $y_{N}=o(a_{N})$ Доказательство. Доказательства утверждений 1)–3) идейно повторяют аргументы соответствующих утверждений следствий 1–3. Поэтому мы проверим лишь справедливость соотношения (4.1).
Согласно (2.20) для любого $\varepsilon \in (0,1)$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,S_{N}<\varepsilon y_{N}) \\ &\qquad \leqslant\mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}<\varepsilon y_{N}) \leqslant C_{1}b_{N-m}V^{-}(x_{N})\int_{0}^{\varepsilon y_{N}}V^{+}(w)\,dw. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}<\varepsilon y_{N},\,L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) \\ &\qquad\leqslant \mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}<\varepsilon y_{N},\,L_{N-m}\geqslant 0) \leqslant C_{1}b_{N-m}V^{-}(x_{N})\int_{0}^{\varepsilon y_{N}}V^{+}(w)\,dw. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{x_{N}}(\varepsilon y_{N}\leqslant S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,\varepsilon y_{N}\leqslant S_{N}\leqslant y_{N}) \\ &\qquad =\int_{\varepsilon y_{N}}^{za_{m}}\mathbb{P}_{x_{N}} (S_{N-m}\in dw,\,L_{N-m}\geqslant 0)\, \mathbb{P}_{w}(L_{m}\geqslant 0,\,\varepsilon y_{N}\leqslant S_{m}\leqslant y_{N}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (2.18) для любых $0<t_{0}<t_{1}<\infty $
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{w}(L_{m}\geqslant 0,\,\varepsilon y_{N}\leqslant S_{m}\leqslant y_{N}) \\ &\qquad=\int_{\varepsilon y_{N}}^{y_{N}}\mathbb{P}_{w}(L_{m}\geqslant 0,\,S_{m}\in dq)\sim \int_{\varepsilon y_{N}}^{y_{N}}\frac{1}{a_{m}}g\biggl( \frac{q-w}{a_{m}}\biggr) C\biggl(\frac{w}{a_{m}},\,\frac{q}{a_{m}}\biggr) \,dq \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $w\in [t_{0}a_{m},t_{1}a_{m}]$. Далее, ввиду (2.17)
$$
\begin{equation}
\frac{\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\in dw,\,L_{N-m}\geqslant 0)}{dw}\sim \frac{g(0)}{Na_{N}}V^{-}(x_{N})V^{+}(w)
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N-m})=o(a_{N}),w=o(a_{N-m})$. Поскольку $m=o(N)$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}_{x_{N}}(\varepsilon y_{N}\leqslant S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,\,\varepsilon y_{N}\leqslant S_{N}\leqslant y_{N}) \\ &\qquad \sim \frac{g(0)V^{-}(x_{N})}{Na_{N}}\int_{\varepsilon y_{N}}^{za_{m}}V^{+}(w)\,dw \int_{\varepsilon y_{N}}^{y_{N}} \frac{1}{a_{m}}g\biggl(\frac{q-w}{a_{m}}\biggr) C\biggl(\frac{w}{a_{m}},\,\frac{q}{a_{m}}\biggr) \,dq \\ &\qquad \sim \frac{g(0)V^{-}(x_{N})a_{m}}{Na_{N}}\int_{\varepsilon T}^{z}V^{+}(sa_{m})\, ds\int_{\varepsilon T}^{T}g(r-s) C(s,r)\, dr \\ &\qquad =\frac{g(0)V^{-}(x_{N})a_{m}V^{+}(a_{m})}{Na_{N}}\int_{\varepsilon T}^{z}\frac{V^{+}(sa_{m})}{V^{+}(a_{m})}\,ds\int_{\varepsilon T}^{T}g( r-s) C(s,r) \,dr \\ &\qquad \sim \frac{g(0)V^{-}(x_{N})a_{m}V^{+}(a_{m})}{Na_{N}} \int_{\varepsilon T}^{z}s^{\alpha \rho}\,ds\int_{\varepsilon T}^{T}g(r-s)C(s,r) \,dr. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя соотношение (3.15), эквивалентность
$$
\begin{equation*}
(\alpha \rho +1) \int_{0}^{y_{N}}V^{+}(w)\,dw\sim y_{N}V^{+}(y_{N})
\end{equation*}
\notag
$$
и представление
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) =(1+o(1))\frac{g(0)}{Na_{N}}V^{-}(x_{N})\int_{0}^{y_{N}}V^{+}(w)\,dw,
\end{equation*}
\notag
$$
которое вытекает из (4.2), и устремляя $\varepsilon$ к нулю, мы видим, что при $N\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathbb{P}_{x_{N}}(S_{N-m}\leqslant za_{m},\,L_{N}\geqslant 0,S_{N}\leqslant y_{N})}{\mathbb{P}_{x_{N}}(L_{N}\geqslant 0,\,S_{N}\leqslant y_{N}) }\sim \frac{\alpha \rho +1}{T^{\alpha \rho +1}}\int_{0}^{z}s^{\alpha \rho }\,ds \int_{0}^{T}g(r-s) C(s,r) \,dr
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $x_{N}=o(a_{N})$ и $y_{N}\sim Ta_{m}=o(a_{N})$.
Соотношение (4.1) доказано. Лемма 8 доказана. § 5. Предельная теорема для последовательностей, сходящихся почти наверноеВ этом параграфе нам понадобится условная мера $\mathbb{P}_x^{\uparrow}(\cdot)$, которая порождает случайное блуждание, начинающееся в точке $x$ и рассматриваемое при условии неотрицательности этого блуждания на всей временно́й оси (см., например, [4], [10] и [25]). Эта новая мера задается следующим образом: для $x\geqslant 0$, всех $N\in \mathbb{N}$ и любого измеримого множества $B$, принадлежащего $\sigma $-алгебре, порожденной случайными величинами $S_{1},\dots,S_{N}$, положим
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{x}^{\uparrow}(B):=\frac{1}{V^{-}(x)}\mathbb{E}_{x}[ V^{-}(S_{N})I\{B\} ;\,L_{N}\geqslant 0].
\end{equation*}
\notag
$$
Для функции $\varphi (n)\to \infty $ при $n\to \infty $ введем условные математические ожидания
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_{n}(z,m,\varphi):=\mathbb{E}[H_{n};\,S_{n-m}\leqslant za_{m}\mid S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}\geqslant 0], \qquad z\in (0,\infty), \\ I_{n}^{\ast}(z,m,\varphi):=\mathbb{E}[H_{n};\,S_{n-m}-S_{n}\leqslant za_{m}\mid S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}\geqslant 0], \qquad z\in (-\infty,\infty). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2. Пусть выполнены гипотезы A1 и A2, а $H_{1},H_{2},\dots$ – равномерно ограниченная последовательность случайных величин, согласованная с фильтрацией $\widetilde{\mathcal{F}}\,{=}\,\{\widetilde{\mathcal{F}}_{k},\,k\,{\in}\,\mathbb{N}\}$ и сходящаяся $\mathbb{P}_{0}^{\uparrow}$-п.н. к случайной величине $H_{\infty}$ при $n\to \infty $. Предположим, что параметр $m=m(n)$ стремится к бесконечности при $n\to \infty $ так, что $m=o(n)$. Тогда: 1) если $\varphi (n)=o(a_{m})$, то
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}I_{n}(z,m,\varphi)=A_{1}(z)\,\mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{\infty}] ;
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
2) если $\varphi (n)\sim Ta_{m},T\in (0,\infty)$, то
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}I_{n}(z,m,\varphi)=B(z,T)\,\mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{\infty}] ;
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
3) если $m\to \infty $ и $a_{m}=o(\varphi (n))$, то Замечание 2. Теорема 2 обобщает лемму 4 из работы [27], в которой при $n\to\infty$ исследовалось поведение математического ожидания Доказательство теоремы 2. Докажем (5.1) для $(1;0)$-решетчатого случая. Для фиксированных $1\leqslant k<n$ и $z\in (0,\infty)$ рассмотрим величину
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{E}[H_{k};\,S_{n-m}\leqslant za_{m}\mid S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}\geqslant 0] \\ &\qquad =\mathbb{E}\biggl[H_{k}\frac{\mathbb{P}_{S_{k}}(S_{n-m-k}' \leqslant za_{m},\,S_{n-k}'\leqslant \varphi (n),\,L_{n-k}'\geqslant 0)}{\mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}\geqslant 0)};L_{k}\geqslant 0\biggr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{S}'=\{S_{n}',\,n=0,1,2,\dots\} $ – вероятностная копия случайного блуждания $\mathcal{S}$, не зависящая от множества $\{S_{j},\,j=0,1,\dots,k\} $. Согласно следствиям 1, 2 и соотношению (2.21) существуют константы $C$, $C_{1}$, $C_{2}$ и $C_{3}$ такие, что для любого фиксированного $k$ и всех $n\geqslant k$ и $z>0$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\mathbb{P}_{x}(S_{n-m-k}'\leqslant za_{m},\,S_{n-k}'\leqslant \varphi (n),L_{n-k}'\geqslant 0)}{\mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi(n),\,L_{n}\geqslant 0)} \\ &\qquad \leqslant \frac{\mathbb{P}_{x}(S_{n-k}'\leqslant \varphi(n),\,L_{n-k}'\geqslant 0)}{\mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi(n),\,L_{n}\geqslant 0)} \leqslant \frac{C_{1}\,b_{n-k}\,V^{-}(x)\sum_{j=0}^{\varphi(n)}V^{+}(j)}{Cb_{n}\sum_{j=0}^{\varphi (n)}V^{+}(j)}\leqslant C_{3}V^{-}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, обращаясь к следствию 1, соотношению (3.4) и определению (2.19), мы видим, что для любых фиксированных $x\geqslant 0$ и $k\in \mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}_{x}(S_{n-m-k}'\leqslant za_{m},\,S_{n-k}'\leqslant \varphi (n),L_{n-k}'\geqslant 0)}{\mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}\geqslant 0)}=(1-\zeta )A_{1}(z)V^{-}(x).
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Ввиду соотношения (2.3)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbb{E}[H_{k}V^{-}(S_{k});\,L_{k}\geqslant 0] &=\frac{1}{1-\zeta}\cdot \frac{1}{V^{-}(0)}\, \mathbb{E}[H_{k}V^{-}(S_{k});\,L_{k}\geqslant0] \\ &=\frac{1}{1-\zeta}\, \mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{k}] <\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, используя теорему о мажорируемой сходимости и равенство (5.4), заключаем, что для любого фиксированного $k$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty}\mathbb{E} \biggl[H_{k}\frac{\mathbb{P}_{S_{k}}(S_{n-m-k}'\leqslant za_{m}, \,S_{n-k}'\leqslant \varphi(n),\,L_{n-k}'\geqslant 0)}{\mathbb{P}(S_{n-m}\leqslant za_{m}\,,S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}\geqslant 0)};L_{k}\geqslant 0\biggr] \\ &\qquad =\mathbb{E}\biggl[H_{k}\cdot \lim_{n\to \infty} \frac{\mathbb{P}_{S_{k}}(S_{n-m-k}'\leqslant za_{m}, \,S_{n-k}'\leqslant \varphi (n),\,L_{n-k}'\geqslant 0)}{\mathbb{P}(S_{n-m}\leqslant za_{m}, \,S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}\geqslant 0)};L_{k}\geqslant 0\biggr] \\ &\qquad =A_{1}(z)\frac{1}{V^{-}(0)}\, \mathbb{E}[H_{k}V^{-}(S_{k});\,L_{k}\geqslant 0] =A_{1}(z)\, \mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{k}]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы избежать громоздких формул в дальнейших рассуждениях, введем при $\lambda \geqslant 1$ обозначение
$$
\begin{equation*}
\Psi (\lambda n,\lambda m,z,\varphi) :=\{S_{\lambda (n-m)}\leqslant z,\,S_{\lambda n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n\lambda}\geqslant 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (2.21) для каждого $\lambda >1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\mathbb{E}[(H_{n}-H_{k}) ;\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi) ] | \leqslant \mathbb{E}[|H_{n}-H_{k}|;\,S_{\lambda n}\leqslant \varphi (n),L_{n\lambda}\geqslant 0] \\ &\qquad =\mathbb{E}[|H_{n}-H_{k}| \mathbb{P}_{S_{n}}(S_{(\lambda -1)n}' \leqslant \varphi (n),\,L_{n(\lambda -1)}'\geqslant 0);\,L_{n}\geqslant 0] \\ &\qquad \leqslant Cb_{n(\lambda -1)}\sum_{z=0}^{\varphi (n)}V^{+}(z)\cdot \mathbb{E}[|H_{n}-H_{k}|V^{-}(S_{n}),\,L_{n}\geqslant 0] \\ &\qquad =Cb_{n(\lambda -1)}\sum_{z=0}^{\varphi (n)}V^{+}(z)\cdot \frac{1}{1-\zeta}\, \mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[|H_{n}-H_{k}|]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, опираясь на следствие 1 и соотношение $a_{\lambda m}\sim \lambda^{1/\alpha}a_{m}$, справедливое при $m\to \infty $, заключаем, что при $m,n\to \infty $ и $m=o(n)$
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi) ) \sim A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha})\, \mathbb{P}(S_{n\lambda}\leqslant \varphi (n),\,L_{n\lambda}\geqslant 0).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, используя (2.19) и (3.3) с $x_{N}=0$, выводим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{|\mathbb{E}[(H_{n}-H_{k});\,\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi) ] |}{\mathbb{P}( \Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi))} \\ &\qquad \leqslant C\mathbb{E}^{\uparrow}[| H_{n}-H_{k}|]\, \frac{b_{n(\lambda -1)}\sum_{z=0}^{\varphi (n)}V^{+}(z)}{C_{1}\,b_{n\lambda}\,\sum_{z=0}^{\varphi (n)}V^{+}(z)} \leqslant C_{2}\biggl(\frac{\lambda}{\lambda -1}\biggr) ^{1+1/\alpha}\mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[|H_{n}-H_{k}|]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Устремляя сначала $n$, а потом и $k$ к бесконечности и применяя теорему о мажорируемой сходимости, мы видим, что для каждого $\lambda >1$ правая часть предыдущего соотношения стремится к нулю.
Опираясь на этот результат, мы приходим к цепочке равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty}\mathbb{E}[H_{n}\mid \Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi) ] \\ &\qquad =\lim_{k\to \infty}\lim_{n\to \infty }\frac{\mathbb{E}[(H_{n}-H_{k}) ;\,\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi) ]}{\mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi))} \\ &\qquad \qquad +\lim_{k\to \infty}\lim_{n\to \infty }\frac{\mathbb{E}[H_{k};\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi ) ]}{\mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi))} \\ &\qquad =\lim_{k\to \infty}A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha })\, \mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{k}] =A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha })\, \mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{\infty}], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которую будет удобно переписать следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{E}[H_{n};\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi ) ] \\ &\qquad=(A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha})\, \mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[ H_{\infty}] +o(1)) \, \mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предполагая без потери общности, что $H_{\infty}>0$ и $A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha}) \, \mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{\infty}] \leqslant 1$, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl|\mathbb{E}[H_{n};\Psi (n,m,za_{m},\varphi) ] -A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha})\, \mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{\infty }] \, \mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi)) \bigr| \\ &\qquad \leqslant \bigl|\mathbb{E}[H_{n};\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi) ] -A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha})\, \mathbb{E}_{0}^{\uparrow}[H_{\infty}] \, \mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi)) \bigr| \\ &\qquad\qquad +\bigl|\mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi)) -\mathbb{P}(\Psi (n,m,za_{m},\varphi)) \bigr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы уже доказали, что первая разность в правой части этого неравенства имеет порядок
$$
\begin{equation*}
o(\mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi)))
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to \infty $, и, следовательно, порядок $o(\mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\, L_{n}\geqslant 0)) $, так как
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}(S_{n\lambda}\leqslant \varphi (n),\,L_{n\lambda}\geqslant 0)}{\mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}\geqslant 0)}=\lim_{n\to \infty}\frac{b_{n\lambda }}{b_{n}}=\lambda^{1+1/\alpha}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
ввиду (3.3) и (2.19).
Далее, вспоминая еще раз соотношение (3.3), следствие 1 и определение (2.19), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl|\mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi)) -\mathbb{P}(\Psi (n,m,za_{m},\varphi)) \bigr| \\ &\qquad\leqslant \biggl|\mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi)) -g(0)A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha })b_{n\lambda}\sum_{j=0}^{\varphi (n)}V^{+}(j)\biggr| \\ &\qquad\qquad+\biggl|\mathbb{P}(\Psi (n,m,za_{m},\varphi)) -g(0)A_{1}(z)b_{n}\sum_{j=0}^{\varphi (n)}V^{+}(j)\biggr| \\ &\qquad\qquad+g(0)\bigl|A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha})b_{n\lambda}-A_{1}(z)b_{n}\bigr| \sum_{j=0}^{\varphi (n)}V^{+}(j) \\ &\qquad=o\biggl(b_{n}\sum_{j=0}^{\varphi (n)}V^{+}(j)\biggr) +g(0)b_{n}A_{1}(z) \biggl|\frac{A_{1}(z\lambda^{-1/\alpha})b_{n\lambda }}{A_{1}(z)b_{n}}-1\biggr| \sum_{j=0}^{\varphi (n)}V^{+}(j). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, устремляя $\lambda$ к единице, используя (5.5) и непрерывность функции $A_{1}(z)$, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{\lambda \downarrow 1}\lim_{n\to \infty}\frac{| \mathbb{P}(\Psi (\lambda n,\lambda m,za_{m},\varphi) ) -\mathbb{P}(\Psi (n,m,za_{m},\varphi)) |}{b_{n}\sum_{j=0}^{\varphi (n)}V^{+}(j)}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Объединение полученных оценок, доказывает утверждение (5.1) для $(1;0)$-решетчатого случая.
Для доказательства соотношения (5.2) для $(1;0)$-решетчатого случая нужно повторить почти дословно аргументы, приведенные при проверке справедливости (5.1), заменяя ссылку на следствие 1 ссылкой на следствие 2. Для проверки справедливости соотношения (5.3) для $(1;0)$-решетчатого случая нужно повторить почти дословно аргументы, приведенные при доказательстве (5.1), заменяя ссылку на следствие 1 ссылкой на следствие 3. Для доказательства утверждения (5.1) в абсолютно непрерывном случае необходимо заменить в приведенных выше рассуждения выражение $\sum_{j=0}^{\varphi (n)}V^{+}(j)$ на $\displaystyle\int_{0}^{\varphi (n)}V^{+}(w)\,dw$ и использовать лемму 8. Аналогичные аргументы позволяют проверить и соотношения (5.2) и (5.3) для случая абсолютно непрерывного распределения случайной величины $X_{1}$. Теорема 2 доказана. § 6. Ветвящиеся процессы в случайной средеВ этом параграфе мы применим результаты, полученные для случайных блужданий, к исследованию размера популяции критических ветвящихся процессов, эволюционирующих в неблагоприятной случайной среде. Для описания рассматриваемой модели и детальной постановки задач, которые мы намерены решать, введем пространство $\mathcal{M}$ $=\{\mathfrak{f}\} $ всех вероятностных мер на множестве $\mathbb{N}_{0}$. Для упрощения обозначений будем отождествлять меру $\mathfrak{f}=\{\mathfrak{f}(\{0\}),\mathfrak{f}(\{ 1\}),\dots\} \in \mathcal{M}$ с соответствующей вероятностной производящей функцией
$$
\begin{equation*}
f(s)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathfrak{f}(\{k\})s^{k}, \qquad s\in [0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
и не будем делать различия между $\mathfrak{f}$ и $f$. Оснащенное метрикой, индуцируемой расстоянием по вариации между распределениями, пространство $\mathcal{M}$ $=\{\mathfrak{f}\} =\{f\} $ превращается в польское пространство. Пусть
$$
\begin{equation*}
F(s)=\sum_{j=0}^{\infty}F(\{j\}) s^{j}, \qquad s\in [0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
– случайная величина, принимающая значения в пространстве $\mathcal{M}$, а
$$
\begin{equation*}
F_{n}(s)=\sum_{j=0}^{\infty}F_{n}(\{j\}) s^{j}, \qquad s\in [0,1], \quad n\in \mathbb{N}:=\mathbb{N}_{0}\setminus \{0\},
\end{equation*}
\notag
$$
– последовательность независимых вероятностных копий случайной величины $F$. Бесконечная последовательность $\mathcal{E}=\{F_{n},\,n\in \mathbb{N}\} $ называется случайной средой. Последовательность неотрицательных целочисленных случайных величин $\mathcal{Z}=\{Z_{n},\,n\in \mathbb{N}_{0}\} $, заданных на некотором вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, называется ветвящимся процессом в случайной среде (ВПСС), если $Z_{0}$ не зависит от $\mathcal{E}$ и при фиксации среды $\mathcal{E}$ процесс $\mathcal{Z}$ является марковской цепью
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}\bigl(Z_{n}\bigm| Z_{n-1}=z_{n-1},\, \mathcal{E}=(f_{1},f_{2},\dots)\bigr) =\mathcal{L}(\xi_{n1}+\dots +\xi_{ny_{n-1}})
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $n\in \mathbb{N}$, $z_{n-1}\in \mathbb{N}_{0}$ и $f_{1},f_{2},\ldots\in \mathcal{M}$, где $\xi_{n1},\xi_{n2},\dots $ – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с распределением $f_{n}$. Таким образом, $Z_{n-1}$ – это размер $(n-1)$-го поколения ветвящегося процесса, а $f_{n}$ – распределение числа потомков каждой частицы $(n-1) $-го поколения. Последовательность
$$
\begin{equation*}
S_{0}=0, \qquad S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}, \quad n\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $X_{i}=\log F_{i}'(1)$, $i=1,2,\dots$, называется сопровождающим случайным блужданием для процесса $\mathcal{Z}$. Напомним, что согласно общепринятой ныне классификации, введенной в работе [1], ВПСС $\mathcal{Z}$ называется: надкритическим, если $\lim_{n\to\infty}S_n=+\infty$ почти наверное; докритическим, если $\lim_{n\to\infty}S_n=-\infty$ почти наверное; критическим, если $\limsup_{n\to\infty}S_n=+\infty$ почти наверное и $\liminf_{n\to\infty}S_n=-\infty$ почти наверное; вырожденным критическим, если $X_{i}=0$, $i=1,2,\dots$, почти наверное. В данном параграфе мы накладываем следующие ограничения на свойства анализируемого ВПСС. Согласно приведенной выше классификации условие B1 влечет критичность рассматриваемого ВПСС. Наше второе условие для свойств случайной среды касается законов размножения частиц. Пусть
$$
\begin{equation*}
\gamma (b)=\frac{\sum_{k=b}^{\infty}k^{2}F(\{k\}) }{\bigl(\sum_{i=0}^{\infty}iF(\{i\})\bigr)^{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Условие B2. Существуют такие числа $\varepsilon >0$ и $b\in\mathbb{N}$, что где $\log^{+}x=\log (\max (x,1))$. Известно (см. [1; теорема 1.1 и следствие 1.2]), что если выполнены условия B1, B2, то существуют такие константа $\theta \in (0,\infty)$ и последовательность $l(1),l(2),\dots$, медленно меняющаяся на бесконечности, что при $n\to \infty $ и для любых $t\in [0,1] $ и $x\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\mathbb{P}\biggl(\frac{\log Z_{[nt] }}{a_{n}}\leqslant x\biggm| Z_{n}>0\biggr) =\lim_{n\to \infty}\mathbb{P}\biggl(\frac{S_{[nt]}}{a_{n}}\leqslant x\biggm| Z_{n}>0\biggr) =\mathbf{P}(Y_{t}^{+}\leqslant x),
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
где $\mathcal{Y}^{+}=\{Y_{t}^{+},\,0\leqslant t\leqslant1\} $ обозначает извилину строго устойчивого процесса $\mathcal{Y}$ индекса $\alpha $. Таким образом, если ВПСС является критическим, то при условии, что $Z_{n}>0$, случайные величины $\log Z_{[nt]}$, $t\in (0,1]$, и $S_{n}$ (значение сопровождающего случайного блуждания, обеспечивающего выживание популяции к моменту времени $n$) растут как $a_{n}$, умноженное на случайные сомножители. Эти результаты были дополнены в [28] анализом распределений соответствующим образом нормированных случайных величин $\log Z_{[nt]}$, $t\in (0,1]$, рассматриваемых при условии, что $Z_{n}>0$ и $S_{n}\leqslant \varphi (n)$, где $\varphi (n)\to \infty $ при $n\to \infty$ так, что $\varphi (n)=o(a_{n})$. В этом случае ввиду (6.1) событие $\{S_{n}\leqslant \varphi(n)\} $ можно трактовать как неблагоприятное для развития критического ветвящегося процесса в случайной среде, рассматриваемого при условии его невырождения к далекому моменту времени. Введем обозначение для события, обозначающего невырождение процесса за все время его существования, и положим Заметим, что в силу [27; теорема 1], если выполнены условия B1 и B2, а распределение приращений сопровождающего случайного блуждания абсолютно непрерывно и $\varphi(n)=o(a_{n})$, то при $n\to \infty $
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0) \sim \Theta \, \mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\,L_{n}>0) \sim \frac{\Theta}{na_{n}}\int_{0}^{\varphi (n)}V^{+}(w)\,dw,
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
\Theta =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}(Z_{j}=k,\,\tau _{j}=j)\, \mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=k) \in (0,\infty).
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Аналогичная асимптотика имеет место и для $(1;0)$-решетчатого случая при замене $\displaystyle\int_{0}^{\varphi (n)}V^{+}(w)\,dw$ на $\sum_{j=0}^{\varphi (n)}V^{+}(j)$. Наряду с асимптотическим поведением вероятности невырождения критического ВПСС в следующей теореме описана скорость роста размера популяции в логарифмической шкале. Теорема 3 (см. [28]). Пусть выполнены условия B1 и B2. Если $\varphi (n)\to \infty $ при $n\to \infty $ так, что $\varphi (n)=o(a_{n})$, то для любого $y\in (0,1]$ и для любых $t\in (0,1) $ и $x\in [0,\infty)$ где $\mathcal{Y}^{++}=\{Y_{t}^{++},\,0\leqslant t\leqslant1\} $ – экскурсия строго устойчивого процесса $\mathcal{Y}$ индекса $\alpha $. Имеется существенная разница между порядками нормировок в соотношениях (6.4) и (6.5), показывающая, что должен существовать фазовый переход скорости роста размера популяции в случае, когда мы рассматриваем процесс внутри интервала $[n-m,n)$, $m=o(n)$, $m\to \infty $. Такой переход действительно имеет место, и целью этого параграфа является доказательство того, что при нормировке случайных величин $\log Z_{n-m}$ величинами $a_{m}$ возникают три различных предельных распределения. Вид этих распределений зависит от того, какое из следующих трех условий выполнено при $\min (n-m,m)\to \infty $: функция $\phi(n)$ имеет порядок $o(m)$; функция $\phi (n)$ пропорциональна $m$; $m=o(\phi (n))$. Наш основной результат выглядит следующим образом. Напомним, что в решетчатом случае мы условились для простоты изложения ограничиться анализом $(1;0)$-решетчатого случая. Теорема 4. Пусть выполнены условия B1 и B2, $\min (m,n)\to \infty $ и $m=o(n)$. Тогда: 1) если $\varphi (n)\to \infty $ при $n\to \infty $ так, что $\varphi (n)=o(a_{m})$, то для любого $z\in (0,\infty)$
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\mathbb{P} \biggl(\frac{1}{a_{m}}\log Z_{n-m}\leqslant z\biggm| S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0\biggr) =A_{1}(z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $A_{1}(z)$ определено в (3.1); 2) если $\varphi (n)\to \infty $ при $n\to \infty $ так, что $\varphi (n)\sim Ta_{m}$, $T\in (0,\infty)$, то для любого $z\in [0,\infty)$
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\mathbb{P}\biggl(\frac{1}{a_{m}}\log Z_{n-m}\leqslant z\biggm| S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0\biggr) =B(z,T),
\end{equation*}
\notag
$$
где $B(z,T)$ определено в (3.12); 3) если $m=o(\varphi (n))$, $\varphi (n)=o(a_{n})$, то для любого $z\in [0,\infty)$ Доказательство. Для целых $0\leqslant r\leqslant n$ рассмотрим нормированный процесс размера популяции $\mathcal{X}^{r,n}=\{X_{t}^{r,n},\,0\leqslant t\leqslant 1\} $, задаваемый соотношением
$$
\begin{equation*}
X_{t}^{r,n}=e^{-S_{r+[(n-r)t]}}Z_{r+[(n-r)t]}, \qquad 0\leqslant t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
В [28; теорема 1] было показано, что если $r_{1},r_{2},\dots$ – такая последовательность натуральных чисел, что $r_{n}\leqslant n$, $r_{n}\to \infty $ и $\varphi (n)\to \infty $ при $n\to \infty $ так, что $\varphi (n)=o(a_{n})$, то при $n\to \infty $
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}\{X_{t}^{r_{n},n},\,0\leqslant t\leqslant 1\mid S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0\} \quad \Longrightarrow\quad \mathcal{L}\{W_{t},\,0\leqslant t\leqslant1\},
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
где $W_{t},0\leqslant t\leqslant 1$, – случайный процесс с почти наверное постоянными траекториями, т.е. для некоторой случайной величины $W$. Более того, Положим
$$
\begin{equation*}
\widehat{Z}(k)=e^{-S_{k}}Z_{k}, \qquad k=0,1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
и пусть для краткости
$$
\begin{equation}
R_{n}(x):=\{S_{n}\leqslant x,\,Z_{n}>0\}, \qquad Q_{n}(x):=\{S_{n}\leqslant x,\,L_{n}\geqslant 0\}.
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Из соотношения (6.6) следует, что если $\min (m,n)\to \infty $ и $m=o(n)$, то
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\mathbb{P}\bigl(\widehat{Z}(n-m)\leqslant x\bigm| R_{n}(\varphi(n))\bigr) =\mathbf{P}(W\leqslant x)
\end{equation*}
\notag
$$
для любой точки непрерывности $x\in (0,\infty)$ распределения случайной величины $W$. Используя (6.7), получаем, что для любого $\varepsilon >0$ существует $M=M(m,n)$ такое, что
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}\bigl(\widehat{Z}(n-m)\in (M^{-1},M)\bigm| R_{n}(\varphi (n))\bigr) \geqslant 1-\varepsilon
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
для всех $m\geqslant m_{0}$ и $n-m\geqslant n_{0}$. Для $z\in (0,\infty)$ запишем соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}\bigl(\log Z_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n))\bigr) \notag \\ &\qquad=\mathbb{P}\bigl(\log \widehat{Z}_{n-m}+S_{n-m}\leqslant za_{m},\,\widehat{Z}_{n-m}\in (M^{-1},M),\,R_{n}(\varphi (n))\bigr) \notag \\ &\qquad\qquad +\mathbb{P}\bigl(\log Z_{n-m}\leqslant za_{m},\,\widehat{Z}_{n}\notin (M^{-1},M),\,R_{n}(\varphi (n))\bigr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
и исследуем отдельно асимптотическое поведение слагаемых в правой части этого равенства при $\min(m,n)\to \infty $, $m=o(n)$. Ввиду (6.9) нам достаточно проанализировать величину
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{\min (m,n-m)\to \infty}\frac{\mathbb{P}(\log \widehat{Z}_{n-m}+S_{n-m}\leqslant za_{m},\,\widehat{Z}_{n-m}\in (M^{-1},M),\,R_{n}(\varphi (n)))}{\mathbb{P}(R_{n}(\varphi (n)))} \\ &\qquad\qquad \leqslant \lim_{\min (m,n-m)\to \infty}\frac{\mathbb{P}(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)))}{\mathbb{P}(R_{n}(\varphi (n)))}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем $J\in [1,n]$ и запишем представление
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}\bigl(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n))\bigr) \\ &\qquad=\mathbb{P}\bigl(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}>J\bigr) +\mathbb{P}\bigl(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}\leqslant J\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно [27; лемма 5]
$$
\begin{equation*}
\lim_{J\to \infty}\limsup_{n\to \infty }\frac{\mathbb{P}(R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}>J)}{\mathbb{P}(Q_{n}(\varphi (n)))}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя этот результат и вспоминая (6.2), заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{J\to \infty}\limsup_{n\to \infty} \frac{\mathbb{P}(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}>J)}{\mathbb{P}(R_{n}(\varphi (n)))} \\ &\qquad \leqslant \lim_{J\to \infty}\limsup_{n\to \infty} \frac{\mathbb{P}(R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}>J)}{\mathbb{P}(R_{n}(\varphi (n)))}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для фиксированного $j\in [1,J]$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}\bigl(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau _{n}=j, \,S_{j}\leqslant -\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr) \\ &\qquad \leqslant \mathbb{P}\bigl(S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{j}>0,\,\tau_{n}=j, \,S_{j}\leqslant -\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr) \\ &\qquad =\mathbb{E}\bigl[\mathbb{P}(Z_{j}>0\mid \mathcal{E}),\,S_{n}\leqslant \varphi (n); \,\tau_{n}=j, \,S_{j}\leqslant -\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr] \\ &\qquad \leqslant \mathbb{E}\bigl[e^{S_{j}},\,S_{n}\leqslant \varphi (n),\,\tau_{n}=j; \,S_{j}\leqslant -\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr] =o(\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее равенство было установлено в [28; лемма 5]. Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P} \bigl(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}=j,\,Z_{j}>K,\,S_{j}>-\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr) \\ &\qquad \leqslant \mathbb{P}\bigl(S_{n}\leqslant \varphi (n),\,\tau_{n}=j, \,S_{j}>-\sqrt{\varphi (n)},\,Z_{j}>K\bigr) \\ &\qquad =\mathbb{P}\bigl(S_{n}-S_{j}\leqslant \varphi (n)-S_{j},\,\tau_{n}=j, \,S_{j}>-\sqrt{\varphi (n)},\,Z_{j}>K\bigr) \\ &\qquad \leqslant \mathbb{P}\bigl(S_{n}-S_{j}\leqslant \varphi (n)+\sqrt{\varphi(n)}, \,\tau_{n}=j,\,Z_{j}>K\bigr) \\ &\qquad =\mathbb{P}(\tau_{j}=j,\,Z_{j}>K)\, \mathbb{P}\bigl(S_{n-j}\leqslant \varphi (n)+\sqrt{\varphi (n)},\,L_{n-j}\geqslant 0\bigr) \\ &\qquad \leqslant \delta (K) \mathbb{P}\bigl(S_{n-j}\leqslant \varphi(n)+\sqrt{\varphi (n)},\,L_{n-j}\geqslant 0\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где на последнем шаге мы использовали оценку при $K\to \infty $.
Начиная с этого момента и вплоть до конца доказательства мы предполагаем, что распределение случайной величины $X_{1}$ абсолютно непрерывно. Для доказательства требуемых утверждений в случае решетчатого распределения случайной величины $X_{1}$ необходимо всюду ниже заменить знак $\displaystyle\int $ на знак $\sum $. Рассмотрим правую часть равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}\bigl(S_{n-m}\leqslant za_{m},R_{n}(\varphi (n)), \,\tau_{n}=j,\,S_{j}>-\sqrt{\varphi (n)},\,Z_{j}\leqslant K\bigr) \\ &\qquad =\int_{-\sqrt{\varphi (n)}}^{0}\sum_{k=1}^{K} \mathbb{P}(S_{j}\in dq,\,Z_{j}=k,\,\tau_{j}=j) \\ &\qquad\qquad \times \mathbb{E}\bigl[\mathbb{P}(Z_{n-j}>0\mid \mathcal{E},\,Z_{0}=k) ; \,S_{n-m-j}\leqslant za_{m},\,Q_{n-j}(\varphi (n)-q)\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что в силу монотонности вероятности невырождения для любого $k\in \mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
H_{n-j}(k):=\mathbb{P}(Z_{n-j}>0\mid \mathcal{E},\,Z_{0}=k)\to\mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid \mathcal{E},\,Z_{0}=k)=:H_{\infty}(k)
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
$\mathbb{P}^{\uparrow}$-п.н. при $n-j\to \infty $. Более того, $H_{\infty}(k) >0$ $\mathbb{P}^{\uparrow}$-п.н. согласно [1; утверждение 3.1]. Далее, для $q\in (-\sqrt{\varphi (n)},0]$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{E}\bigl[H_{n-j}(k);\,S_{n-m-j}\leqslant za_{m}, \,Q_{n-j}\bigl(\varphi(n)+\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr)\bigr] \\ &\qquad \geqslant \mathbb{E}\bigl[H_{n-j}(k); \,S_{n-m-j}\leqslant za_{m},\,Q_{n-j}(\varphi (n)-q)\bigr] \\ &\qquad \geqslant \mathbb{E}\bigl[H_{n-j}(k); \,S_{n-m-j,n-j}\leqslant za_{m},\,Q_{n-j}(\varphi (n))\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно теореме 2 при $n\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{E}\bigl[H_{n-j}(k);\,S_{n-m-j}\leqslant za_{m},\,Q_{n-j}(\varphi(n))\bigr] \\ &\qquad \sim \mathbb{P}\bigl(S_{n-m-j,n-j}\leqslant za_{m},\,Q_{n-j}(\varphi(n))\bigr)\, \mathbb{E}^{\uparrow}[H_{\infty}(k)] \\ &\qquad =\mathbb{P}\bigl(S_{n-m-j,n-j}\leqslant za_{m}\bigm| Q_{n-j}(\varphi(n))\bigr) \, \mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n))) \mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=k) \\ &\mathbb{E}\bigl[ H_{n-j}(k);\,S_{n-m-j}\leqslant za_{m},\,Q_{n-j}\bigl(\varphi(n)+\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr)\bigr] \\ &\qquad \sim \mathbb{P}\bigl(S_{n-m-j,n-j}\leqslant za_{m}, \,Q_{n-j}\bigl(\varphi(n)+\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr)\bigr) \, \mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=k) \\ &\qquad =\mathbb{P}\bigl(S_{n-m-j,n-j}\leqslant za_{m}\bigm| Q_{n-j}\bigl(\varphi(n)+\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr)\bigr) \\ &\qquad \qquad \times \mathbb{P}\bigl(Q_{n-j} \bigl(\varphi (n)+\sqrt{\varphi(n)}\,\bigr)\bigr)\, \mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=k). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу свойств правильно меняющихся функций, второй эквивалентности в (6.2) и асимптотической эквивалентности
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\varphi (n)}V^{+}(w)\,dw \sim \frac{1}{\alpha \rho +1}\varphi(n)V^{+}(\varphi (n))
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to \infty $, которая следует из (2.4), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1 &\leqslant \lim_{n\to \infty}\sup_{-\sqrt{\varphi (n)}\leqslant q\leqslant0} \frac{\mathbb{P}(S_{n-j}\leqslant \varphi (n)-q,\,L_{n-j}\geqslant 0) }{\mathbb{P}(S_{n-j}\leqslant \varphi (n),\,L_{n-j}\geqslant 0)} \\ &= \lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}\bigl(S_{n-j}\leqslant \varphi(n)+\sqrt{\varphi (n)}, \,L_{n-j}\geqslant 0\bigr)}{\mathbb{P}(S_{n-j}\leqslant\varphi (n),\,L_{n-j}\geqslant 0)}=1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эта оценка, объединенная с (6.8), показывает, что для всех $n\geqslant j$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{-\sqrt{\varphi (n)}\leqslant q\leqslant 0}\frac{\mathbb{E}[ H_{n-j}(k);\,S_{n-m-j}\leqslant za_{m};\,Q_{n-j}(\varphi (n)-q)] }{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))} \\ &\quad \leqslant \sup_{-\sqrt{\varphi (n)}\leqslant q\leqslant 0}\frac{\mathbb{P}( Q_{n-j}(\varphi (n)-q))}{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))} =\frac{\mathbb{P}\bigl(S_{n-j}\leqslant \varphi (n)+\sqrt{\varphi (n)},\,L_{n-j}\geqslant 0\bigr)}{\mathbb{P}(S_{n-j}\leqslant \varphi (n),\,L_{n-j}\geqslant 0)}\leqslant C. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы отдельно рассмотрим случаи $\varphi (n)=o(a_{m})$, $\varphi (n)\sim Ta_{m}$ и $a_{m}=o(\varphi (n))$. 1) Допустим, что $\varphi (n)=o(a_{m})$. В этом случае, полагая $H_{n}:=\mathbb{P}(Z_{n-j}>0\mid \mathcal{E}, Z_{0}=k)$ в (5.1) и вспоминая (6.12), получаем, что для каждого $q\in [-\sqrt{\varphi (n)},0] $
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{E}[H_{n-j}(k);\,S_{n-m-j}\leqslant za_{m},\,Q_{n-j}(\varphi (n)-q)]}{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi(n)))} \\ &\qquad=A_{1}(z)\, \mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=k) \lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)-q))}{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))} =A_{1}(z)\, \mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=k). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $j\in \mathbb{N}_{0}$ и $K\in \mathbb{N}\cup\{\infty \} $ положим
$$
\begin{equation*}
\Theta_{j}(K):=\sum_{k=1}^{K}\mathbb{P}(Z_{j}=k,\,\tau_{j}=j)\, \mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=k).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\Theta_{j}(\infty)\leqslant \mathbb{P}(\tau_{j}=j) $.
Применяя теорему о мажорируемой сходимости, заключаем, что для фиксированного $K<\infty $
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}\bigl(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}=j, \,S_{j}>-\sqrt{\varphi (n)},\,Z_{j}\leqslant K\bigr)}{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))} \\ &\qquad =\lim_{n\to \infty}\int_{-\sqrt{\varphi(n)}}^{0} \sum_{k=1}^{K}\mathbb{P}(S_{j}\in dq,\,Z_{j}=k,\,\tau_{j}=j) \\ &\qquad \qquad \times \frac{\mathbb{E}[H_{n-j}(k);\,S_{n-m-j}\leqslant za_{m}, \,Q_{n-j}(\varphi (n)-q)]}{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))} \\ &\qquad =A_{1}(z)\int_{-\infty}^{0}\sum_{k=1}^{K} \mathbb{P}(S_{j}\in dq,\,Z_{j}=k,\,\tau_{j}=j) \, \mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=k) \\ &\qquad =A_{1}(z)\Theta_{j}(K). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя полученные оценки и устремляя $K$ к бесконечности, получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}=j)}{\mathbb{P}( Q_{n-j}(\varphi (n)))}=A_{1}(z)\Theta_{j}(\infty),
\end{equation*}
\notag
$$
или, в силу (6.2),
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}(S_{n-m}\leqslant za_{m}, \,S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0,\,\tau_{n}=j)} {\mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0)}=A_{1}(z)\frac{\Theta_{j}(\infty)}{\Theta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя это равенство по $j$ и принимая во внимание определение величины $\Theta $ в (6.3), имеем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}(\log Z_{n-m}\leqslant za_{m}, \,S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0)}{\mathbb{P}(S_{n}\leqslant\varphi (n),\,Z_{n}>0)}=A_{1}(z),
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось.
2) Предположим теперь, что $\varphi (n)\sim Ta_{m}$, $T\in (0,\infty)$. Используя (5.2) и применяя теорему о мажорируемой сходимости, мы видим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}\bigl(S_{n-m}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)), \,\tau_{n}=j,\,S_{j}>-\sqrt{\varphi (n)},\,Z_{j}\leqslant K\bigr)}{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))} \\ &\qquad =\lim_{n\to \infty}\int_{-\sqrt{\varphi(n)}}^{0} \sum_{k=1}^{K}\mathbb{P}(S_{j}\in dq,\,Z_{j}=k,\,\tau_{j}=j) \\ &\qquad \qquad \times \frac{\mathbb{E}[H_{n-j}(k); \,S_{n-m-j}\leqslant za_{m},\,Q_{n-j}(\varphi (n)-q)]}{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))} \\ &\qquad =B(z,T)\int_{-\infty}^{0}\sum_{k=1}^{K}\mathbb{P} (S_{j}\in dq,\,Z_{j}=k,\,\tau_{j}=j) \, \mathbb{P}^{\uparrow}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=k) \\ &\qquad =B(z,T)\Theta_{j}(K). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Устремляя $K$ к бесконечности, суммируя полученное соотношение по $j$ и принимая во внимание (6.2) и определение величины $\Theta $, имеем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}(\log Z_{n-m}\leqslant za_{m}, \,S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0)}{\mathbb{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0)}=B(z,T),
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. 3) Рассмотрим, наконец, случай, когда $m=m(n)\to \infty $ и $a_{m}=o(\varphi (n))$ при $n\to \infty $. Введем обозначение $S_{n-m,n}:=S_{n-m}-S_{n}$ и для $z\in (-\infty,\infty)$ запишем равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}\bigl(\log Z_{n-m}-S_{n}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n))\bigr) \\ &\qquad =\mathbb{P}\bigl(\log \widehat{Z}_{n-m}+S_{n-m,n}\leqslant za_{m},\,\widehat{Z}_{n-m}\in (M^{-1},M),\,R_{n}(\varphi (n))\bigr) \\ &\qquad\qquad +\mathbb{P}\bigl(\log Z_{n-m}-S_{n}\leqslant za_{m},\,\widehat{Z}_{n}\notin (M^{-1},M),\,R_{n}(\varphi (n))\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Несложно проверить, что если во всех соотношениях, находящихся между формулами (6.10) и (6.11), мы заменим $S_{n-m}$ на $S_{n-m,n}$ и $S_{n-m-j}$ на $S_{n-m-j,n-j}$, то все оценки, стоящие между (6.10) и (6.11), останутся справедливыми. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\lim_{J\to \infty}\lim_{n\to \infty} \frac{\mathbb{P}(\log Z_{n-m}-S_{n}\leqslant za_{m}, \,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}>J)}{\mathbb{P}(R_{n}(\varphi (n)))}=0
\end{equation*}
\notag
$$
и для каждого фиксированного $j\in [0,J]$
$$
\begin{equation*}
\lim_{K\to \infty}\lim_{n\to \infty} \frac{\mathbb{P}\bigl(\log Z_{n-m}\,{-}\,S_{n}\,{\leqslant}\, za_{m}, \,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}\,{=}\,j,\,Z_{j}\,{>}\,K, \,S_{j}\,{>}\,{-}\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr)}{\mathbb{P}(R_{n}(\varphi (n)))}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (5.3) и применяя теорему о мажорируемой сходимости, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}\bigl(S_{n-m,n}\leqslant za_{m}, \,R_{n}(\varphi (n)),\,\tau_{n}=j,\,S_{j}>-\sqrt{\varphi (n)}, \,Z_{j}\leqslant K\bigr)}{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))} \\ &\qquad =\mathbf{P}(Y_{1}\leqslant z) \Theta_{j}(K). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя приведенные выше оценки и устремляя $K$ к бесконечности, мы видим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty} \frac{\mathbb{P}\bigl(S_{n-m,n}\leqslant za_{m},\,R_{n}(\varphi (n)), \,\tau_{n}=j,\,S_{j}>-\sqrt{\varphi (n)}\,\bigr) }{\mathbb{P}(Q_{n-j}(\varphi (n)))} \\ &\qquad =\mathbf{P}(Y_{1}\leqslant z) \Theta_{j}(\infty). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя полученные равенства по $j$, учитывая (6.2) и определение величины $\Theta $, приходим к соотношению
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{P}(\log Z_{n-m}-S_{n}\leqslant za_{m}, \,S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0)}{\mathbb{P} (S_{n}\leqslant \varphi (n),\,Z_{n}>0)}=\mathbf{P}(Y_{1}\leqslant z).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4 доказана. БлагодарностьАвторы выражают благодарность рецензенту, замечания которого позволили улучшить представление изложенных в статье результатов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VatDonDya23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|