| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Энтропийное решение для уравнения с мерозначным потенциалом в гиперболическом пространстве В. Ф. Вильдановаa, Ф. Х. Мукминовb a Институт математики с вычислительным центром, Уфимский федеральный исследовательский центр Российской академии наук, г. Уфа b Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы, г. Уфа
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9875e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ настоящей работе доказывается существование энтропийного решения для уравнения
$$
\begin{equation*}
-\operatorname{div}_g(a(x,u,\nabla u))+b_0(x,u)+ b_1(x,u)\mu=f, \qquad f\in L_1(\mathbb{H}^n), \quad n\geqslant2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb{H}^n$ – гиперболическое пространство, $\mu$ – неотрицательная мера Радона. Понятие энтропийного решения задачи Дирихле было предложено в работе [1]. В ней в области $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, $n\geqslant2 $ (не обязательно ограниченной), рассматривается эллиптическое уравнение с $L_1$-данными
$$
\begin{equation*}
-\operatorname{div}(a(x,\nabla u))=f(x,u), \qquad \sup_{|u|<c}|f(x,u)|\in L_{1,\mathrm{loc}}(\Omega), \quad c>0.
\end{equation*}
\notag
$$
На функцию $a$ накладываются некоторые условия ограниченности, монотонности и коэрцитивности. Доказаны существование и единственность энтропийного решения задачи Дирихле. После этой работы изучение энтропийных решений с конца прошлого столетия стало объектом исследования многих зарубежных и российских математиков. Отметим, что нам не известны работы, в которых доказывается единственность энтропийного решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения, в котором поток $a$ явно зависит от искомой функции $u$. В недавней работе [2] была рассмотрена задача
$$
\begin{equation*}
-\Delta u+\mu g(u)=\sigma, \qquad u|_{\partial\Omega}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Установлены существование и единственность очень слабого решения задачи при некоторых ограничениях на функцию $g$, меру Радона $\sigma$ и неотрицательную меру $\mu$ из класса Морри. В работе [3] была доказана корректность нелинейной задачи Дирихле
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}u= -\operatorname{div}(a(x,u,\nabla u)+F(u))+\mu u=f, \qquad x\in\Omega, \quad u|_{\partial\Omega}=0,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $F(u)$ обозначает векторное поле $F(u)^i= F^i u_{ x_i }$, $F^i\in L_{1,\mathrm{loc}}(\Omega)$. Рассмотрен также случай $\Omega=\mathbb{R}^n$. Класс операторов $\mathcal{L}$ содержит оператор Шрёдингера $-\Delta+\mu$ с сингулярными потенциалами $\mu$. Такие операторы рассматривались в книге [4]. Интерес к линейным уравнениям с сингулярными коэффициентами возрос в русскоязычной литературе после работы [5] (см. [3] и имеющиеся там ссылки). В [6] для уравнения c мерой Радона $\sigma$ установлены существование и единственность ренормализованного решения задачи Дирихле для произвольной области $\Omega$.Впервые в неограниченных областях c бесконечной мерой и с $N$-функцией $M(x,u) = |u|^{ p(x)}$ существование энтропийного и ренормализованного решений уравнения
$$
\begin{equation*}
-\operatorname{div}(a(x,u,\nabla u))+ b(x,u,\nabla u) + |u|^{ p(x)-1} = \sigma
\end{equation*}
\notag
$$
было установлено в работах [7], [8] для мер $\sigma$ специального вида. В [9] в неограниченной области рассматривается задача Дирихле
$$
\begin{equation*}
-\operatorname{div}a(x,u,\nabla u)+M'(x,u)+b(x,u,\nabla u)=\sigma,\qquad u|_{\partial \Omega}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где функции $a$, $b$ имеют рост, определяемый обобщенной $N$-функцией $M(x,u)$, а ограниченная мера Радона $\sigma$ несущественно отличается от функции, принадлежащей $L_1(\Omega)$. Требуется, чтобы сопряженная функция $ \overline{M}(x,u)$ удовлетворяла $\Delta_2$-условию и выполнялось $b(x,u,\nabla u)u\geqslant0$. Доказано существование энтропийного решения задачи Дирихле и установлено, что оно является ренормализованным решением. Более подробный обзор работ по энтропийным и ренормализованным решениям можно найти в [9]. В настоящей работе предполагается, что функции $M(x,u)$, $ \overline{M}(x,u)$ удовлетворяют $\Delta_2$-условию. Как известно, пространство $C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$ можно пополнять как по норме $\displaystyle\biggl(\int|\nabla u|^p\,dx\biggr)^{1/p}$, так и по норме $\displaystyle\biggl(\int(|u|^p+|\nabla u|^p)\,dx\biggr)^{1/p}$, причем во втором случае получается более узкое пространство $W_p^1(\mathbb{R}^n)\subset\mathcal{H}_p^1(\mathbb{R}^n)$. Обычно (например, в работах [6], [9]) идут по второму пути. В настоящей работе используется пространство $\mathcal{H}_M^1(\mathbb{R}^n)$ первого типа. Отметим, что, в отличие от [1] и других работ, монотонность функций $b_i$, $i=0,1$, по $u$ не предполагается. § 2. Постановка задачи и основные результатыМы будем рассматривать гиперболическое пространство $\mathbb{H}^n$, $n\geqslant2$, в виде модели Пуанкаре в единичном шаре $B_1$ с римановой метрикой
$$
\begin{equation}
g_{ij}(x)=\frac{4}{(1-|x|^2)^2}\delta_{ij}, \qquad x\in B_1, \quad i,j=1,\dots, n;
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
кроме того, пусть $ g^{ij}$ – элементы обратной матрицы к $(g_{ij})$,
$$
\begin{equation*}
\partial B_1\equiv\partial_{\infty}\mathbb{H}^n=\{\infty\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Геодезическое расстояние между произвольным $x\in \mathbb{H}^n$ и точкой $0$ определяется формулой
$$
\begin{equation}
\rho(x)=\int_0^{|x|}\frac{2}{1-s^2}\,ds=\ln \frac{1+|x|}{1-|x|}, \qquad x\in B_1\equiv \mathbb{H}^n,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
поэтому
$$
\begin{equation}
|x|=\operatorname{th}\biggl(\frac{\rho(x)}{2}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
В $\mathbb{H}^n$ элемент объема имеет вид
$$
\begin{equation}
d\nu=\sqrt{g}\,dx_1\,dx_2\cdots dx_n=\frac{2^n}{(1-|x|^2)^n}\,dx,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $dx$ – мера Лебега в $\mathbb{R}^n$. Для каждого $x\in \mathbb{H}^n$ через $T_x \mathbb{H}^n$ обозначим касательное пространство в этой точке. Очевидно, $({\partial}/{\partial x_1}, {\partial}/{\partial x_2},\dots ,{\partial}/{\partial x_n})$ – базис в $T_x \mathbb{H}^n$. Скалярное произведение векторов будем обозначать в круглых скобках:
$$
\begin{equation}
(\beta,\xi)_g\equiv(\beta,\xi)_{g,x}=\sum_{i,j=1}^n g_{ij}(x)\beta^i\xi^j,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
кроме того, для любых $\beta,\xi\in T_x \mathbb{H}^n$, $x\in \mathbb{H}^n$, где $\beta=\sum_{i=1}^n\beta^i{\partial}/{\partial x_i}$, $\xi=\sum_{i=1}^n\xi^i\partial/\partial x_i$ для некоторых $(\beta^1,\dots ,\beta^n)\in {\mathbb{R}}^n$ и $(\xi^1,\dots ,\xi^n)\in {\mathbb{R}}^n$. Градиент $\nabla_g u=((\nabla_g u)^1,\dots, (\nabla_g u)^n)$ определяется формулой
$$
\begin{equation}
(\nabla_g u)^i=\sum_{j=1}^ng^{ij}\frac{\partial u}{\partial x_j}, \qquad i=1,\dots ,n.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Через $\chi^k(\mathbb{H}^n)$ обозначим множество векторных полей класса $C^k$, $k\geqslant0$, на многообразии $\mathbb{H}^n$. Дифференциал $df$ функции $f$ имеет локальные координаты $\partial f/{\partial x^i}$ и при этом $|df|_g=|\nabla_g f|_g$. Производная Ли функции $f\in C^1(\mathbb{H}^n)$ вдоль векторного поля $X\in \chi^0(\mathbb{H}^n)$ в локальной системе координат определяется формулой
$$
\begin{equation*}
(df,X)=(\nabla f, X)_g=\sum_{i=1}^nX^i\frac{\partial f}{\partial x^i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Дивергенция векторного поля $X$ в локальной системе координат определяется формулой
$$
\begin{equation*}
\operatorname{div}_gX=\sum_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{g}}\,\frac{\partial }{\partial x^i}\bigl(X^i\sqrt{g}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее через $\mathcal{L}(V;W)$ будем обозначать множество линейных ограниченных операторов, определенных в банаховом пространстве $V$ и принимающих значения в банаховом пространстве $W$. Действие функционала $l\in V^*$ на вектор $v\in V$ будем обозначать в угловых скобках: $\langle l, v\rangle$. Приведем необходимые сведения из теории пространств Музилака–Орлича (см. [10]). Определение 1. Пусть функция $M(x,z)\colon \mathbb{H}^n \times\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+$ удовлетворяет следующим условиям: 1) $M(x,\cdot)$ – $N$-функция по $z\in\mathbb{R}$, т.е. она является выпуклой вниз, неубывающей, четной, непрерывной, $M(x,0)=0$ для $\nu$-п.в. $x\in \mathbb{H}^n$ и $\inf_{x\in\mathbb{H}^n} M(x,z)>0$ для всех $z\neq 0$,
$$
\begin{equation}
\lim_{z\to 0}\sup_{x\in\mathbb{H}^n} \frac{{M}(x,z)}{z}=0,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
$$
\begin{equation}
\lim_{z\to \infty}\inf_{x\in\mathbb{H}^n}\frac{{M}(x,z)}{z}=\infty;
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
очевидно, что функция $M(x,z)/z$ не убывает; 2) $M(\cdot,z) $ – измеримая функция по $x\in \mathbb{H}^n$ для любых $z\in\mathbb{R}$. Такая функция $M(x,z)$ называется функцией Музилака–Орлича. Сопряженная функция $\overline{M}(x,\cdot)$ к функции Музилака–Орлича $M(x,\cdot)$ для $\nu$-п.в. $x\in \mathbb{H}^n$ и любых $z\geqslant 0$ определяется равенством Отсюда следует неравенство Юнга
$$
\begin{equation}
|zy| \leqslant M(x,z)+ \overline{M}(x,y), \qquad z,y \in \mathbb{R}, \quad x \in \mathbb{H}^n.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Будем предполагать, что
$$
\begin{equation}
{M}(x,z),\overline{M}(x,z)\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{H}^n), \qquad z>0.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Функция $M(x,z)$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, если существуют постоянная $C$ и функция $G(x)\in L_1(\mathbb{H}^n)$ такие, что
$$
\begin{equation*}
M(x,2z)\leqslant CM(x,z)+G(x) \quad \forall\, z\in \mathbb{R}, \quad x\in \mathbb{H}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим пространство Лебега $L_{M}(\mathbb{H}^n)$ как множество таких измеримых на $\mathbb{H}^n$ функций $u$, для которых конечна норма Люксембурга
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{M}= \inf\{k>0\colon\varrho(k^{-1}u)\leqslant 1\}, \qquad \varrho(u)= \int_{\mathbb{H}^n}M(x,u)\,d\nu.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, если $k<\|u\|_{M}$, то $\varrho(k^{-1}u)> 1. $ Из выпуклости функции $M$ по второму аргументу следует, что неравенство $\|u\|_{M}>1$ влечет соотношение $\|u\|_{M}\leqslant \varrho(u)$. Пространство измеримых ковекторов $w(x)\colon x\to T_x^*(\mathbb{H}^n)$, удовлетворяющих условию $|w(x)|_g\in L_{M}(\mathbb{H}^n)$, будем обозначать через $\mathbf{L}_{M}(\mathbb{H}^n)$. Будем предполагать, что $M$ и $\overline{M}$ удовлетворяют $\Delta_2$-условию и подчиняются условию (2.10). Пространство $L_M(\mathbb{H}^n)$ сепарабельное и рефлексивное, $(L_M(\mathbb{H}^n))^*=L_{\overline{M}}(\mathbb{H}^n)$ (см. [11; следствие 3.6.7]). Сходимость $\|u_j-u\|_{M}\to0$ равносильна модулярной сходимости $\varrho(u_j-u)\to0$. Для двух сопряженных функций Музилака–Орлича $M$ и $\overline{M}$, если $u\,{\in}\, L_M(\mathbb{H}^n)$ и $v \in L_{\overline{M}}(\mathbb{H}^n)$, выполняется неравенство Гёльдера
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_{\mathbb{H}^n} u(x)v(x)\,d\nu\biggr| \leqslant 2\|u\|_{M}\|v\|_{\overline{M}}.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Пространство $\mathcal{H}_{M}^1(\mathbb{H}^n)$ определим как пополнение пространства функций $\mathcal{D}(\mathbb{H}^n)$ по норме Для краткости это пространство будем обозначать через $V$. Сопряженное к $V$ пространство с индуцированной нормой обозначим через $V^*$. Для гиперболического пространства известна оценка (см. [12; § 8, теорема 2.28])
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{p^*,\mathbb{H}^n}\leqslant C\|\nabla_gu\|_{p,\mathbb{H}^n}, \qquad u\in C^\infty_0(\mathbb{H}^n), \quad p^*= \frac{np}{n-p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что функция $u$ с конечной нормой $\|\nabla_gu\|_{p,\mathbb{H}^n}$ имеет также конечную норму $\|u\|_{p^*,\mathbb{H}^n}$, т.е. в определенном смысле стремится к нулю на бесконечности. Этот факт мы интерпретируем как “краевое условие Дирихле” в рассматриваемой нами задаче. Для любого $\sigma>0$ определим шар в гиперболическом пространстве:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{B}_\sigma=\{x\in\mathbb{H}^n \mid \rho(x)<\sigma\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для любого $r\in (0,1)$ точнее говоря, евклидов шар $B_r$ является картой для гиперболического шара. Всюду далее числа $r,\sigma$ связаны равенством $\sigma=\ln((1+r)/(1-r))$. Очевидно, в силу гладкости метрики $(g_{ij})$ в шаре $B_{r}$, что геодезические расстояния $\rho'$ между парами точек шара $\mathfrak{B}_{\sigma}$ оцениваются через евклидовы расстояния соответствующих точек в шаре $B_{r}$: $C^{-1}r'\leqslant \rho'\leqslant Cr'$. Пространства $W_p^1(\mathfrak{B}_\sigma)$ и $W_p^1(B_r)$ естественным образом отождествляются и соответствующие нормы эквивалентны. В лемме 1 доказывается существование числа $p\in(1,n)$, для которого выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\|u\|_{W_p^1(\mathfrak{B}_\sigma)}\leqslant h(\sigma)\|u\|_{V}, \qquad \sigma>0,
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
где $h(\sigma)$ – неотрицательная возрастающая функция. Будем рассматривать оператор вида где $\mu$ – неотрицательная мера Радона. Предполагается, что оператор $\mathcal{B}u$ при $u,v\in C_0^{\infty}(\mathbb{H}^n)$ действует по формуле
$$
\begin{equation*}
\langle\mathcal{B}u,v\rangle=\int_{\mathbb{H}^n } b_0(x,u)v\,d\nu + \int_{\mathbb{H}^n}b_1(x,u)v\,d\mu.
\end{equation*}
\notag
$$
Меру Радона $\mu$ на $\mathbb{H}^n$ можно рассматривать как меру на шаре $B_1$. Пусть $\mu$ – мера Радона с конечной полной вариацией и носителем, лежащим в ограниченной области $\Omega\subset\mathbb{R}^n$. Будем считать, что мера продолжена нулем вне $\Omega$. Напомним, что $\mu$ принадлежит классу Морри $\mathbb{M}_s(\Omega)$, $s\geqslant1$, если для любого шара с центром в $x$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
|B_r(x)|_\mu:=\int_{B_r(x)}\,d|\mu|\leqslant cr^{n(1-1/s)}, \qquad r>0, \quad x\in\Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
В других обозначениях $\mu\in \mathbb{M}_{n/(n-\theta)} (\Omega)$ при $\theta\in[0,n]$, $\theta=n(1-1/s)$, если Будем предполагать, что существует $s>np/(np+p-n)$ такое, что Рассмотрим уравнение
$$
\begin{equation}
-\operatorname{div}_g(a(x,u,d u))+\mathcal{B} u=f, \qquad f\in L_1(\mathbb{H}^n).
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
В работе доказывается существование энтропийного решения уравнения. Векторное поле $a(x,u,dv)$ в (2.14) удовлетворяет при $x\in\mathbb{H}^n$ условиям: $\bullet$ ограниченности с возрастающей функцией $\operatorname{g}(r)$ и функцией $G(x)\in L_1(\mathbb{H}^n)$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \overline{M}(x,|a(x,r,y)|_g)\leqslant\operatorname{g}(r) \bigl(G(x)+M(x,|y|_g)\bigr), \qquad r\in\mathbb{R}, \quad y\in T_x^{*}\mathbb{H}^n; \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
$\bullet$ коэрцитивности
$$
\begin{equation}
(a(x,r,y),y)\geqslant c_0 M(x,|y|_g)-G(x), \qquad r\in\mathbb{R}, \quad c_0>0;
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
$\bullet$ монотонности
$$
\begin{equation}
(a(x,r,y)-a(x,r,z),y-z)>0, \qquad y\ne z, \quad y,z\in T_x^{*}\mathbb{H}^n, \quad r\in\mathbb{R}, \quad x\in\mathbb{H}^n.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Кроме того, пусть каратеодориевые функции $b_i$ удовлетворяют неравенствам:
$$
\begin{equation}
|b_i(x,s)|\leqslant \operatorname{g}(r)\widetilde{G}_i(x), \qquad |s|\leqslant r, \quad\rho(x)\leqslant r, \quad i=0,1,
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
где $\widetilde{G}_0\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{H}^n)$, $\widetilde{G}_1\in L_{1,\mu,\mathrm{loc}}(\mathbb{H}^n)$; Пусть существует возрастающая функция $\widetilde{g}(r)$, $r>0$, $\lim_{r\to\infty}\widetilde{g}(r)=\infty$, такая, что
$$
\begin{equation}
|b_1 (x,s)|>\widetilde{g}(r), \qquad s\geqslant r, \quad x\in \mathbb{H}^n.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Определим функцию $T_k(r)$:
$$
\begin{equation*}
T_k(r)= \begin{cases} k & \text{при }r>k, \\ r & \text{при }|r|\leqslant k, \\ -k & \text{при }r<-k. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\mathbb{H}^n)$ обозначим множество измеримых функций $u\colon \mathbb{H}^n\to \mathbb{R}$ таких, что $T_k(u)\in V$ при любом $k>0$. Определение 2. Энтропийным решением задачи Дирихле для уравнения (2.14) называется функция $u\in \mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\mathbb{H}^n)$ такая, что при всех $k>0$, $\xi\in C_0^1(\mathbb{H}^n)$ корректно неравенство т.е. слагаемые в нем должны быть конечны. Основным результатом работы является Теорема 1. Пусть выполнены условия (2.13), (2.15)–(2.20). Тогда существует энтропийное решение задачи Дирихле для уравнения (2.14). § 3. Технические леммыЛемма 1. Существует такое число $p\in(1,n)$, что выполнено неравенство где $h(r)$ – неотрицательная возрастающая функция. Доказательство. Из $\Delta_2$-условий на функции $M, \overline{M} $ следует (см. доказательство следствия 3.6.7 и определение 2.1.2 в книге [11]), что существуют числа $p\in(1,n)$, $\beta\in(0,1)$ такие, что при всех $\lambda>1$ выполнено неравенство при всех $r>0$ и почти всех $x\in\mathbb{H}^n$. Очевидно неравенство
$$
\begin{equation*}
\inf M(x,1)\int_{\mathfrak{B}_R} |du|_g^p\,d\nu\leqslant \int_{\mathfrak{B}_R} M(x,1)\,d\nu +\int_{\mathfrak{B}_R, |du|_g>1} M(x,1) |du|_g^p\,d\nu.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\|u\|_{V}\leqslant1$. В силу (3.2) имеем
$$
\begin{equation}
\beta\int_{\mathfrak{B}_R, |du|_g>1} M(x,1)|du|_g^p\,d\nu \leqslant\int_{\mathbb{H}^n} M(x,|du|_g)\,d\nu\leqslant1.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Учитывая (2.10), получаем ограниченность интеграла $\displaystyle\int_{\mathfrak{B}_R} |du|_g^p\,d\nu$ в шаре $\|u\|_{V}\leqslant1$. Это влечет неравенство
$$
\begin{equation}
\||du|_g\|_{p,\mathfrak{B}_R}\leqslant C(R)\| u\|_{V}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Поэтому непрерывным будет вложение и выполнено неравенство (3.1). В самом деле, если оператор этого вложения не ограничен на $C^\infty_0(\mathbb{H}^n)$, то найдется последовательность гладких функций $v^k$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\|v^k\|_{W^1_{p}(\mathfrak{B}_R)}\geqslant k\| v^k\|_{V}.
\end{equation*}
\notag
$$
Умножая обе части неравенства на подходящий множитель, приводим его к виду где $\| v^k\|_{W^1_{p}({\mathfrak{B}_R})}=1$. В силу (3.5), имеем По теореме Кондрашова $v^k$ сильно сходится в $L_{p}(\mathfrak{B}_R)$. С учетом (3.4) устанавливаем сходимость $v^k\to C\ne0$ в пространстве $W^1_{p}({\mathfrak{B}_R})$. Это противоречит неравенству (3.5), из которого следует, что $v^k\to 0$ в пространстве $V$.
Лемма доказана. Лемма 2. Пусть измеримая функция $u(x)$ определена в $\mathbb{H}^n$. Множество $\{k\colon \operatorname{meas} \{x\in\mathbb{H}^n\colon |u(x)|= k\}>0\}$ конечно или счетно. Доказательство. Выберем числа $k_i$ такие, что $\operatorname{meas}\{x\in\mathfrak{B}_{r}\colon |u(x)|= k_i\}>1/N$. Эти множества не пересекаются, поэтому
Следовательно, таких множеств не более $N \operatorname{meas} \mathfrak{B}_{r}$. Тогда множество $\{k$: $\operatorname{meas}\{x\in\mathfrak{B}_{r}\colon |u(x)|= k\}>0\}$ конечно или счетно. Отсюда несложно вывести утверждение леммы. Лемма 3. Пусть функция $v$ такая, что для всех $k>k_0$ $T_k(v)\in V$ и справедливо неравенство Тогда Доказательство. Пользуясь неравенством Соболева и (3.1), получаем
При $k_1\in(0,k]$ очевидны неравенства
$$
\begin{equation*}
\operatorname{meas}\{\mathfrak{B}_{r} \colon |v|\geqslant k_1\} \leqslant \frac{\|T_k(v)\|_{p^*,\mathfrak{B}_{r}}^{p^*}}{k_1^{p^*}}\leqslant C_1(r) \frac{\|T_k(v)\|_V^{p^*}}{k_1^{p^*}}\leqslant C_1(r) \frac{Ck^{p^*/p}}{k_1^{p^*}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, полагая $k_1=k$, выводим (3.7). Лемма доказана. Лемма 4. Пусть $Q\subset \mathbb{H}^n$, последовательность $\{v^m\}_{m\in \mathbb{N}}$ ограничена в $L_M(Q)$, $v\in L_M(Q)$ и Тогда Доказательство леммы 4 для ограниченной области $Q\subset \mathbb{R}^n$ проведено в [13], для $Q\subset\mathbb{H}^n$ доказательство аналогично. Замечание 1. В дальнейшем, чтобы избежать громоздкости в рассуждениях, вместо утверждения типа “из последовательности $u^m$ можно выделить подпоследовательность, сходящуюся $\nu$-п.в. в $\mathbb{H}^n$ при $m\to \infty$” будем писать просто “последовательность $u^m$ содержит подпоследовательность, сходящуюся $\nu$-п.в. в $\mathbb{H}^n$ при $m\to \infty $”. Или будем использовать термин “по некоторой подпоследовательности слабо сходится” и т.п., опуская при этом индекс подпоследовательности. Лемма 5. Пусть $v^j$, $j\in \mathbb{N}$, $v$ – такие функции из $L_M(Q)$, что Тогда Справедливость леммы 5 следует из теоремы Лебега. Лемма 6. Пусть $x\in \mathbb{H}^n$ – такая точка, что функция $a(x,\cdot,\cdot)$ непрерывна, $v\in\mathbb{R}$, $z\in T^*_x\mathbb{H}^n$ и выполнено условие монотонности (2.17). Пусть последовательности $v_m\in\mathbb{R}$, $z_m\in T^*_x\mathbb{H}^n$ такие, что $v_m\to v$ и Тогда $ z_m\to z$. Доказательство. Пусть $s_0=|v|+|z|_g+1$ и
$$
\begin{equation*}
\Lambda(x,r,y,z)=\bigl(a(x,r,y)-a(x,r,z),y-z), \qquad y,z\in T_x^{*}\mathbb{H}^n, \quad r\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из условия леммы следует, что Последовательность $v_{m}$ сходится к $v$ и $|v|<s_0$, поэтому можно считать, что $|v_{m}|< s_0$. Нетрудно установить неравенство (см. [14; формула (2.1)])
$$
\begin{equation}
\Lambda(x,r,y,z)\geqslant|y-z|_g\Lambda\biggl(x,r,z+\frac{y-z}{|y-z|_g},z\biggr), \qquad |y-z|_g\geqslant2.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Поскольку в точке $x$ функция $a$ непрерывна по остальным переменным, то функция $\Lambda(x,r,y,z)$ непрерывна по $r,y,z$. Функция $\Lambda(x,r,z+e,z)$ непрерывна, положительна и достигает положительного минимума $c(x)>0$ на компакте $|e|_g=1,|r|\leqslant s_0, |z|_g\leqslant s_0$. Тогда из (3.9) получаем неравенство
$$
\begin{equation}
\Lambda(x,r,y,z)\geqslant|y-z|_gc(x), \qquad |y-z|_g\geqslant2, \quad|r|\leqslant s_0, \quad |z|_g\leqslant s_0.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Покажем, что последовательность $z_{m}$ ограничена. Иначе из нее можно выделить подпоследовательность $z_{m_k}\to \infty$ и в силу (3.10) $\Lambda(x,v_{m_k},z_{m_k},z)\geqslant|z_{m_k}-z|_gc(x)\to\infty$, что противоречит (3.8).
Итак, последовательность $z_{m}$ ограничена. Из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность $z_{m_k}\to z_0$. Переходя к пределу, устанавливаем, что
$$
\begin{equation*}
0=\lim_{k\to\infty}\Lambda(x,v_{m_k},z_{m_k},z)= (a(t,x,v,z_0)-a(t,x,v, z))\cdot( z_0- z)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это возможно только при $z_0= z$. Тогда вся последовательность имеет этот же предел.
Лемма доказана. Лемма 7. Пусть в $\mathbb{H}^n$ выполнены условия (2.15)–(2.17) и для некоторой последовательности $w^j\in V$ выполнены условия Доказательство. Обозначим
$$
\begin{equation*}
q^j(x)=\Lambda(x,w^j,dw^j,dw), \qquad x\in \mathbb{H}^n, \quad j\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (2.17) функции $\{q^j(x)\}_{j\in \mathbb{N}}$ неотрицательны и в силу (3.14) $q^j\to 0$ в $L_1(\mathfrak{B}_R)$ при $j\to\infty$. Отсюда следует, что по некоторой подпоследовательности Диагональным процессом можно выделить подпоследовательность такую, что
Из сходимости (3.12) имеем оценку Обозначим через $Q$ подмножество точек полной меры, для которых имеют место сходимости (3.16), (3.13), выполнены неравенства (2.15)–(2.17) и По лемме 6, примененной к $v_j= w^j$, $z_j=d w^j$, $z=dw$, устанавливаем сходимость всюду в $Q$.Из (3.13) и непрерывности $a(x,r,y)$ по $r$, $y$ следует, что
$$
\begin{equation*}
a(x,w^j,dw^j)\to a(x,w,dw) \quad \text{ $\nu$-п.в. в } \ \mathbb{H}^n, \qquad j\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, из (2.15), (3.11) имеем оценки
$$
\begin{equation*}
\overline{M}(x,|a(x,w^j,dw)|_g)\leqslant \operatorname{g}(k)( G(x))+M(x,|dw|_g))\in L_1(\mathbb{H}^n), \qquad j\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 5 получаем сходимость
$$
\begin{equation}
a(x,w^j,dw)\to a(x,w,dw) \quad\text{сильно в }\ \mathbf L_{\overline{M}}(\mathbb{H}^n), \qquad j\to\infty.
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
В силу (3.17) имеем слабую сходимость
$$
\begin{equation}
a(x,w^j,dw^j)\rightharpoonup a(x,w,dw) \quad\text{слабо в }\ \mathbf L_{\overline{M}}(\mathbb{H}^n), \qquad j\to\infty.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Введем обозначения $\lambda^j=(a(x,w^j,dw^j),dw^j)$, $\lambda= (a(x,w,d w),dw)$. Легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
q^j=\lambda^j-(a(x,w^j,dw),dw^j)-(a(x,w^j,dw^j),dw)+(a(x,w^j,dw),dw).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (3.12), (3.14), (3.19), устанавливаем сходимость
$$
\begin{equation}
\int_{\mathfrak{B}_R}\lambda^jd\nu\to \int_{\mathfrak{B}_R}\lambda \,d\nu, \qquad j\to\infty.
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Из (3.13), (3.18) следует сходимость
$$
\begin{equation}
\lambda^j\to \lambda \quad \text{$\nu$-п.в. в }\ \mathbb{H}^n, \qquad j\to\infty.
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Используя (2.16) и $\Delta_2$-условие, получаем соотношение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda^j+\lambda &=(a(x,w^j,dw^j),dw^j)+ (a(x,w,d w),dw) \\ &\geqslant c_0 M(x,|d w^j|_g)+c_0 M(x,|dw|_g)-2G(x) \\ &\geqslant c_0 M\biggl(x,\frac{1}{2}| {d(w^j-w)}|_g\biggr)-2G(x) \\ &\geqslant \frac{c_0}{C} M(x,|d(w^j-w)|_g)-2G(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму Фату, (3.15) и (3.22), получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathfrak{B}_R}2\lambda \,d\nu\leqslant \lim_{j\to\infty}\inf \int_{\mathfrak{B}_R} \biggl(\lambda^j+\lambda-\frac{c_0}{C} M(x,|d(w^j-w)|_g)\biggr)d\nu.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (3.21), устанавливаем
$$
\begin{equation*}
0\leqslant -\lim_{j\to\infty}\sup\int_{\mathfrak{B}_R} M(x,|d(w^j-w^j)|_g)\,d\nu.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
0\leqslant \lim_{j\to\infty}\inf\int_{\mathfrak{B}_R} M(x,|d(w^j-w)|_g)\,d\nu \leqslant\lim_{j\to\infty}\sup\int_{\mathfrak{B}_R} M(x,|d(w^j-w)|_g)\,d\nu\leqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathfrak{B}_R} M(x,|d(w^j-w)|_g)\,d\nu\to 0, \qquad j\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет сходимость (3.15).
Лемма 7 доказана. Лемма 8. Пусть последовательность $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}}$ ограничена в $L_{\infty}(\mathbb{H}^n)$, $v\in L_{\infty}(\mathbb{H}^n)$ и Тогда Если, кроме того, $h^j$, $j\in \mathbb{N}$, $h$ – такие функции из $L_M(\mathbb{H}^n)$, что тоДоказательство леммы 8 следует из теоремы Лебега. Следующее утверждение обычно называют теоремой Беппо–Леви. Лемма 9. Пусть ($S,\sum,\mu$) – пространство с положительной мерой, $\{f_n\}$ – неубывающая последовательность неотрицательных измеримых, не обязательно интегрируемых функций. Тогда Доказательство дано в [15; гл. III, § 6, следствие 17]). § 4. Слабое решение аппроксимационной задачи4.1. Абстрактный результат о существовании слабого решенияПо сути здесь известный результат будет переформулирован в виде, удобном для использования в настоящей работе. Пусть $W$ – рефлексивное сепарабельное банахово пространство и оператор $ K\colon W\to W^* $ слабо непрерывен. Пусть $A(u)=\widetilde{A}(u,u)+K(u)$, где оператор $\widetilde{A}$ отображает $W\times W$ в $W^* $ и монотонен по второму аргументу:
$$
\begin{equation}
\langle \widetilde{A}(u,v),v-w\rangle\geqslant\langle \widetilde{A}(u,w),v-w\rangle, \qquad u,v,w\in W.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Будем предполагать, что Пусть существуют такие числа $p>1$, $C_K>1$, что Сформулируем теорему, которая будет использована в дальнейшем. Теорема 2. Пусть выполнены условия (I), (4.1)–(4.3) и оператор ${K}$ слабо непрерывен. Пусть для любой слабо сходящейся в $W$ последовательности $u_j\rightharpoonup u$ выполнено условие Тогда оператор $A$ сюрьективен. Доказательство. Разрешимость уравнения $A(u)=f$ при $f\in W^*$ будет следовать из того факта, что $A(u)= \widetilde{A}(u,u)+{K}(u)$ – псевдомонотонный коэрцитивный оператор (см. [16; гл. 2, теорема 2.7]).
Проверка коэрцитивности. По условиям (II), (4.3) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle {A}(u),u\rangle &=\langle \widetilde{A}(u,u)+{K}(u),u\rangle\geqslant \langle {K}(u),u\rangle+ \alpha\|u\|_{W}^p-C(\|u\|_{W}+1) \\ &\geqslant \frac{\alpha}{2} \|u\|_{W}^p-C(\|u\|_{W}+1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует коэрцитивность оператора $A$.
Проверка псевдомонотонности. Пусть $u_j\rightharpoonup u$ слабо в $W$ и Надо доказать, что
$$
\begin{equation}
\liminf\langle A(u_j),u_j-v\rangle\geqslant\langle A(u),u-v\rangle
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
для всех $v\in W$.
Из условий (4.4), (4.5) следует, что
$$
\begin{equation}
\limsup \langle \widetilde{A}(u_j,u_j),u_j-u\rangle\leqslant0.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
В силу (4.1) находим, что
$$
\begin{equation}
\langle \widetilde{A}(u_j,v),v-w\rangle\geqslant\langle\widetilde{A}(u_j,w),v-w\rangle \quad \forall\, v,w\in W.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
По условию (I) последовательность $\widetilde{A}(u_j,v)$ сходится сильно в $W^*$, поэтому
$$
\begin{equation}
\langle \widetilde{A}(u_j,v),u_j-u\rangle\to0 \quad \forall\, v\in W.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Следовательно, в силу (4.8)
$$
\begin{equation*}
\langle \widetilde{A}(u_j,u_j),u_j-u\rangle\geqslant\langle \widetilde{A}(u_j,u),u_j-u\rangle\to0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, учитывая (4.7), получаем Подставим в (4.8) $v=u_j, $ $ w=(1-\theta)u+\theta z$, $\theta\in(0,1)$. Будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\theta\langle \widetilde{A}(u_j,u_j),u-z\rangle \\ &\qquad\geqslant-\langle \widetilde{A}(u_j,u_j),u_j-u\rangle +\langle \widetilde{A}(u_j,w),u_j-u\rangle+\theta\langle \widetilde{A}(u_j,w),u-z\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (4.10) и (4.9), выводим неравенство
$$
\begin{equation*}
\theta\liminf\langle \widetilde{A}(u_j,u_j),u-z\rangle\geqslant\theta\langle \widetilde{A}(u,w),u-z\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Разделив на $\theta$ и сложив полученное с (4.10), находим
$$
\begin{equation*}
\liminf\langle \widetilde{A}(u_j,u_j),u_j-z\rangle\geqslant\langle \widetilde{A}(u,(1-\theta)u+\theta z),u-z\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Устремляя $\theta$ к нулю и пользуясь семинепрерывностью оператора $\widetilde{A}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\liminf\langle \widetilde{A}(u_j,u_j),u_j-z\rangle\geqslant\langle \widetilde{A}(u,u),u-z\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя слабую непрерывность оператора ${K}$ и (4.4), запишем равенства
$$
\begin{equation*}
\langle \widetilde{K}(u),u-z\rangle=\lim\langle \widetilde{K}(u_j),u-z\rangle=\lim\langle \widetilde{K}(u_j),u_j-z\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда выводим (4.6).
Теорема 2 доказана. 4.2. Примеры операторов $K$ и векторных полей $a(x,u,du)$. Аппроксимационная задачаПусть теперь пространство $W$ есть $V$. Векторное поле $a^m(x,r,y)=a(x,T_m(r),y)$ в силу (2.15) определяет оператор $ \widetilde{A}\colon V\times V\to V^* $. В контексте настоящей работы он действует по формуле
$$
\begin{equation*}
\langle \widetilde{A}(u,v),w\rangle=\int_{\mathbb{H}^n}(a^m(x,u,dv), d w) \,d\nu, \qquad u,v,w\in V.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (2.16) следует неравенство
$$
\begin{equation*}
\langle \widetilde{A}(u,u),u\rangle\geqslant c_0\varrho(|du|_g)-\int_{\mathbb{H}^n}G(x)\,d\nu.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\|u\|_{V}>1$, то в силу (3.2) имеем при $k=\|u\|_{V}-\varepsilon$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \varrho(|du|_g) &=\int_{\mathbb{H}^n} M(x, |du|_g)\,d\nu =\int_{\mathbb{H}^n} M\biggl(x, k\frac{|du|_g}{k}\biggr)\,d\nu \\ &\geqslant\int_{\mathbb{H}^n} \beta k^p M\biggl(x,\frac{|du|_g}{k} \biggr)\,d\nu >\beta k^p = \widetilde{\beta}\|u\|_{V}^p. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Отсюда следует, что оператор $\widetilde{A}$ удовлетворяет условию (4.2). Оператор $K$ удовлетворяет условию (4.3), если выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\langle 2{K}(u),u\rangle+c_0\varrho(|du|_g)\geqslant0, \qquad u\in V,
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
при $\|u\|_{V}\geqslant C_K$. Перейдем к рассмотрению операторов $K$, определяемых формулой вида
$$
\begin{equation}
\langle K(u),v\rangle=\int_{\Omega}b(x,u)v(x)\,d\mu.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
В том случае, когда мера $\mu$ неотрицательна и $b(x,u)u(x)\geqslant0$, неравенство (4.3), очевидно, выполнено. Отметим еще, что компактный оператор $K$ удовлетворяет условию (4.4). Пусть $\mu$ – мера Радона с конечной полной вариацией и носителем, лежащим в ограниченной области $\Omega\subset\mathbb{R}^n$. Напомним, что $\mu\in \mathbb{M}_{n/(n-\theta)} (\Omega)$ при $\theta\in[0,n]$, если Дельта-функция $\delta$ принадлежит классу $\mathbb{M}_1(\Omega)$. Функции из $L_s(\Omega)$ в силу неравенства Гёльдера определяют меру из класса $\mathbb{M}_s(\Omega)$. Если
$$
\begin{equation*}
f\in L_q(\Omega\cap\{x^1=\dots =x^k=0\}), \qquad x'=(0,\dots ,0,x^{k+1},\dots ,x^{n}),
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
\int_{B_r(x_0)}|f(x)|\,dx'\leqslant\|f\|_q\biggl(\int_{B_r(x_0)\cap\{x^1=\dots =x^k=0\}}\,dx'\biggr)^{1-1/q} \leqslant cr^{(n-k)(1-1/q)},
\end{equation*}
\notag
$$
и эта функция также определяет некоторую меру из класса Морри с носителем на плоскости размерности $n-k$. Известно компактное вложение при $q<{\theta p}/(n-p)$ для неотрицательной меры $\mu\in\mathbb{M}_{n/(n-\theta)} (\Omega)$ Это частный случай более общего утверждения (см. [2; предложение 2.5]). В случае меры Лебега компактным является вложение при $q_0<n p/(n-p)$. Пусть оператор Немыцкого $u\to b(x,u(x))$ непрерывен из $L_{q,\mu}(\Omega)$ в $L_{q',\mu}(\Omega)$, $ {1}/{q}+{1}/{q'}=1 $. Достаточным условием для этого будет каратеодориевость функции $b$ и неравенство
$$
\begin{equation}
|b(x,r)|^{q'}\leqslant C(|r|^q+G_\mu(x)), \qquad r\in \mathbb{R}, \quad G_\mu\in L_{1,\mu}(\Omega).
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Для неотрицательной меры $\mu\in\mathbb{M}_s (\Omega)$ при $1\leqslant q<\theta p/(n-p)$, $\theta=n(1- 1/s)$, определим ограниченный оператор $K\colon W_p^1(\Omega)\to L_{q',\mu} (\Omega)$, действующий по формуле (4.13). Очевидно, что оператор $K$ подчиняется оценке
$$
\begin{equation}
|\langle K(u),v\rangle|\leqslant C(\|u\|_{W_p^1(\Omega)}+C_1)\|v\|_{W_p^1(\Omega)}.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Таким образом, оператор $K$ является компактным как отображение из $W_p^1(\Omega)$ в $(W_p^1(\Omega))^*$. Рассмотрим теперь гиперболическое пространство $\mathbb{H}^n$. Напомним, что геодезические расстояния $\rho'$ между парами точек шара $\mathfrak{B}_{\sigma}$ оцениваются через евклидовы расстояния соответствующих точек в шаре $B_{r}$: $C^{-1}r'\leqslant \rho'\leqslant Cr'$. Поэтому класс Морри $\mathbb{M}_s(\mathfrak{B}_{\sigma})$ мер на многообразии $\mathbb{H}^n$ можно рассматривать и как класс Морри $\mathbb{M}_s({B}_{r})$ мер на шаре $B_{r}$ евклидова пространства. Тогда при условии (4.15) и мере $\mu\in\mathbb{M}_s(\mathfrak{B}_{\sigma})$, как легко видеть, компактен оператор
$$
\begin{equation*}
K\colon W_p^1(\mathfrak{B}_{\sigma})\to L_{q',\mu} (\mathfrak{B}_{\sigma}), \qquad q<\frac{n\theta}{n-p}, \quad \theta=n\biggl(1-\frac 1s\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
действующий по формуле
$$
\begin{equation}
\langle K(u),v\rangle=\int_{\mathfrak{B}_{\sigma}}b(x,u(x))v(x)\,d\mu.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
В силу (3.1) оператор $K$ будет компактным как отображение из $V$ в $V^*$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f^m(x)=T_m(f(x))\chi_{m}(x), \\ \chi_{m}(x)= \begin{cases} 1, & \text{если } x\in \mathfrak{B}_m, \\ 0, & \text{если } x\notin \mathfrak{B}_m, \end{cases} \\ b_i^m(x,r)=T_m(b_i(x,r))\chi_{m}(x), \qquad i=0,1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что при $ r\in \mathbb{R}$
$$
\begin{equation}
|b_i^m(x,r)|\leqslant |b_i(x,r)|, \quad |b_i^m(x,r)|\leqslant m\chi_{m}(x), \qquad x\in \mathbb{H}^n.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Кроме того, применяя (2.19), устанавливаем
$$
\begin{equation}
b_i^m(x,r)r\geqslant 0, \qquad x\in \mathbb{H}^n, \quad r\in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Используя неравенство (3.1), несложно показать, что $f^m\in V^*$,
$$
\begin{equation}
f^m\to f \quad \text {в } \ L_1(\mathbb{H}^n), \qquad m\to\infty,
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
и при этом
$$
\begin{equation}
|f^m(x)|\leqslant |f(x)|, \quad |f^m(x)|\leqslant m\chi_{m}(x), \qquad x\in \mathbb{H}^n, \quad m\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Оператор $\mathcal{B}_m \colon \ V\to V^*$ действует по формуле
$$
\begin{equation*}
\langle\mathcal{B}_m u,v\rangle=\int_{\mathbb{H}^n}b_0^m(x,u)v\,d\nu +\int_{\mathbb{H}^n}b_1^m(x,u)v\,d\mu=\langle K_0 u,v\rangle+\langle K_1 u,v\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (4.18) и изложенные выше рассуждения, легко установить компактность оператора $\mathcal{B}_m $. Рассмотрим уравнение
$$
\begin{equation}
-\operatorname{div}_g a^m(x,u,du)+\mathcal{B}_mu=f^m(x), \qquad x\in \mathbb{H}^n, \quad m\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
c функцией $a^m(x,r,y)=a(x,T_m(r),y)$. Слабым решением задачи Дирихле для уравнения (4.22) является функция $u^m\in V$, удовлетворяющая интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{H}^n}(a(x,T_m(u^m),du^m),dv) \,d\nu + \langle\mathcal{B}_m u^m,v\rangle=\langle f^m,v\rangle
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
для любой функции $v\in \mathcal{D}(\mathbb{H}^n)$. Нетрудно доказать, что соотношение (4.23) справедливо также при всех $v\in V$. По теореме 2 для каждого $m\in\mathbb{N}$ существует слабое решение $u^m\in V$ задачи Дирихле для уравнения (4.22). § 5. Существование решения Доказательство теоремы 1. Положим в (4.23) $v=T_{k,h} (u^m)=T_k(u^m-T_h(u^m))$. Учитывая (4.19), будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\{\mathbb{H}^n \colon h\leqslant|u^m|<k+h\}}(a^m(x,u^m,du^m),du^m)\, d\nu \nonumber \\ &\qquad\qquad +k \int_{\{\mathbb{H}^n \colon |u^m|\geqslant k+h\}}|b_0^m(x,u^m)|\, d\nu+k \int_{\{\mathbb{H}^n \colon |u^m|\geqslant k+h\}}|b_1^m(x,u^m)|\,d\mu \nonumber \\ &\qquad\qquad +\int_{\{\mathbb{H}^n \colon h\leqslant|u^m|< k+h\}}b_0^m(x,u^m)u^m\biggl(1-\frac{h}{|u_m|}\biggr) \,d\nu \nonumber \\ \nonumber &\qquad\qquad +\int_{\{\mathbb{H}^n \colon h\leqslant|u^m|< k+h\}} b_1^m(x,u^m)u^m\biggl(1-\frac{h}{|u_m|}\biggr)\, d\mu \\ &\qquad\leqslant k\int_{\{\mathbb{H}^n \colon |u^m|\geqslant h\}}|f^m|\,d\nu. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Учитывая (4.19) и применяя (4.21), (2.16), из (5.1) выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\{\mathbb{H}^n \colon h\leqslant|u^m|<k+h\}}((a^m(x,u^m,du^m),du^m)+G(x))\,d\nu \nonumber \\ &\qquad\qquad +k\int_{\{\mathbb{H}^n \colon |u^m|\geqslant k+h\}}|b_0^m(x,u^m)| \,d\nu+ k\int_{\{\mathbb{H}^n \colon |u^m|\geqslant k+h\}}|b_1^m(x,u^m)|\,d\mu \nonumber \\ &\qquad \leqslant\int_{\{\mathbb{H}^n \colon |u^m|\geqslant h\}}(k|f|+|G|)\,d\nu, \qquad m\in\mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Полагая в (5.1) $h=0$ и используя неравенство (2.16), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\{\mathbb{H}^n \colon |u^m|<k\}}c_0 M(x,|d u^m|_g) \,d\nu \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_{\{\mathbb{H}^n \colon |u^m|<k\}}b_0^m(x,u^m)u^m \,d\nu +k\int_{\{\mathbb{H}^n \colon |u^m|\geqslant k\}}|b_0^m(x,u^m)| \,d\nu \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_{\{\mathbb{H}^n \colon |u^m|<k\}}b_1^m(x,u^m)u^m\,d\mu +k\int_{\{\mathbb{H}^n \colon |u^m|\geqslant k\}}|b_1^m(x,u^m)|\,d\mu \nonumber \\ &\qquad\leqslant (k+1)C_1, \qquad m\in\mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Из (5.3) следует оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_{\{\mathbb{H}^n \colon |u^m|<k\}}M(x,|du^m|_g)\,d\nu \\ &\qquad=\int_{\mathbb{H}^n}M(x,|dT_k (u^m)|_g)\,d\nu\leqslant C_1(k+1), \qquad k>1, \quad m\in\mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Отсюда получаем, что $T_k (u^m)\in V$ для любого $k>1$, а из (4.11) следует
$$
\begin{equation}
\| T_k(u^m)\|_{V}^p\leqslant C_2k, \qquad m\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Рефлексивность пространства $V$ позволяет выделить слабо сходящуюся в $V$ подпоследовательность
$$
\begin{equation}
T_k (u^m)\rightharpoonup v_k\in V, \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Неравенство (5.5) позволяет применить лемму 3, из которой следует оценка
$$
\begin{equation}
\operatorname{meas}\{x\in\mathfrak{B}_{R}\colon |u^m(x)|\geqslant k\}\leqslant \frac{C(R)}{k^{p^*(1-p^{-1})}}, \qquad m>k>k_0.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Тогда, выбирая сначала достаточно большое $R$, затем $k$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_{\{\mathbb{H}^n \colon |u^m|\geqslant k\}}(|f|+|G|)\,d\nu\leqslant\int_{\{\mathfrak{B}_R \colon |u^m|\geqslant k\}}(|f|+|G|)\,d\nu \\ &\qquad\qquad +\int_{\{\mathbb{H}^n \colon \rho(x)\geqslant R\}}(|f|+|G|)\,d\nu\leqslant\varepsilon(k), \qquad m>k, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
где $\varepsilon(k)\to0$ при $k\to\infty$.
В силу (2.16) первый из интегралов в (5.2) неотрицателен, поэтому при $k=1$ можем записать неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_{\{\mathbb{H}^n \colon |u^m|\geqslant h\}}|b_0^m(x,u^m)|\,d\nu+\int_{\{\mathbb{H}^n \colon |u^m|\geqslant h\}}|b_1^m(x,u^m)|\,d\mu <C, \qquad m\in\mathbb{N}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Используя (2.20), при $m> \widetilde{g}(h)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\{\mathbb{H}^n \colon |u^m|\geqslant h\}}\widetilde{g}(h)\chi_{m}(x)\,d\mu <C.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда при любом $R>0$ следует оценка
$$
\begin{equation}
\operatorname{meas}_\mu\{x\in\mathfrak{B}_{R}\colon |u^m(x)|\geqslant h\}\leqslant \frac{C}{\widetilde{g}(h)}, \qquad m>\widetilde{g}(h)+R.
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Установим сходимость по подпоследовательности:
$$
\begin{equation}
u^m\to u \quad \nu\text{-п.в. и }\ \mu\text{-п.в. в }\ \mathbb{H}^n, \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Последовательность $T_s (u^m)$ ограничена в пространстве $V$ и в силу (3.1) ограничена в пространстве $W_p^1(\mathfrak{B}_{R})$. По теореме Кондрашова из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность $T_s (u^m) \to \widetilde{v}_{s}$ в $L_{p}(\mathfrak{B}_{R})$ при $m\to\infty$. Отсюда следует сходимость $T_s(u^m)\to \widetilde{v}_{s}$ $\nu$-почти всюду в $\mathfrak{B}_{R}$. В силу (5.6) имеем равенство $v_{s}=\widetilde{v}_{s}$ $\nu$-почти всюду в $\mathfrak{B}_{R}$. Далее, диагональным процессом по $R\in \mathbb{N}$ устанавливается сходимость по некоторой подпоследовательности $T_s(u^m)\to {v}_{s}$ $\nu$-почти всюду в $\mathbb{H}^n$. Обозначим через $\Omega$ множество точек из $\mathbb{H}^n$, в которых последовательность $u^m(x)$ имеет конечный предел. Этот предел обозначим через $ u(x)$. При $x\in\Omega$ имеем равенства Если для некоторого $x$ выполнено $\lim |T_s(u^m(x))|<s$, то $\lim T_s(u^m(x))=v_s(x)=\lim u^m(x)$, т.е. $x\in\Omega$. Тогда при $\nu$-почти всех $x\notin\Omega$ имеем для всех $s>0$. В частности,
$$
\begin{equation*}
\lim T_{s+h}(u^m(x))=(s+h) \operatorname{sign}(v_{s+h}(x)).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $|u^m(x)|>s$ при больших $m$, следовательно, $\lim |u^m(x)|=\infty$. В силу (5.7) мера множества таких точек в шаре $\mathfrak{B}_{R}$ равна нулю. Отсюда заключаем, что разность $\mathbb{H}^n\setminus \Omega$ имеет меру нуль, и сходимость (5.11) для $\nu$-меры установлена. Тогда $v_s(x)=T_s(u)$ при $\nu$-почти всех $x\in \mathbb{H}^n$.
Отметим еще сходимость $T_s (u^m) \to v_{s}$ в $L_{q,\mu}(\mathfrak{B}_{R})$, вытекающую из (4.14) и (3.1). Тогда $T_s(u^m)\to v_{s}$ $\mu$-почти всюду в $\mathfrak{B}_{R}$ (по некоторой подпоследовательности). Далее, диагональным процессом по $R\in \mathbb{N}$ устанавливается сходимость по некоторой подпоследовательности $\mu$-почти всюду в $\mathbb{H}^n$, а также (5.11).Соотношение (5.6) переписывается в виде
$$
\begin{equation}
dT_k (u^m)\rightharpoonup dT_k(u) \quad \text{в }\ L_{M}(\mathbb{H}^n), \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Докажем, что при всех $s>0$, $R>0$
$$
\begin{equation}
b_0^m(x,T_s(u^m)) \to b_0(x, T_s(u)) \quad\text{в } \ L_{1}(\mathfrak{B}_R), \qquad m\to \infty,
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
$$
\begin{equation}
b_1^m(x,T_s(u^m)) \to b_1(x, T_s(u)) \quad\text{в } \ L_{1,\mu}(\mathfrak{B}_R), \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Из (5.11) следует, что имеет место сходимость
$$
\begin{equation}
b_0(x,T_s(u^m)) \to b_0(x, T_s(u)) \quad \nu\text{-п.в. в } \ \mathbb{H}^n, \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
По условию (2.18) $|b_0^m(x,T_s(u^m))|\leqslant \operatorname{g}(s)\widetilde{G_0}(x)\in L_{1}(\mathfrak{B}_R)$, поэтому (5.14) есть следствие теоремы Лебега. Аналогичным образом устанавливается (5.15).
На этом шаге будет установлена сильная сходимость
$$
\begin{equation}
dT_k(u^m)\to dT_k(u) \quad \text{в }\ L_{M,\mathrm{loc}}(\mathbb{H}^n), \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
Из (5.4), (2.15) при любом $k>1$ имеем оценку
$$
\begin{equation}
\|a(x,T_k(u^m),d T_k(u^m))\|_{ \overline{M},\mathbb{H}^n}\leqslant C_5(k), \qquad m\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
Пусть $k>0$, $h>k+1$, Ввиду (5.12) имеем
$$
\begin{equation}
z^m\to 0 \quad \text{$\nu$-п.в. в }\ \mathbb{H}^n, \qquad m\to \infty,
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
а также Выше отмечалось, что
$$
\begin{equation}
\forall\, R>0\colon \ |z^m| \to 0\quad\text{в }\ L_{q,\mu}(\mathfrak{B}_{R}),\qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
Применяя (5.19) и (5.20), по лемме 8 устанавливаем сходимость
$$
\begin{equation}
|z^m| \stackrel{*}\rightharpoonup 0 \quad\text{в }\ L_{\infty}(\mathbb{H}^n), \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
По лемме 5 для $F\in L_M(\mathbb{H}^n)$ имеет место сходимость
$$
\begin{equation}
Fz^m\to 0 \quad\text{в }\ L_M(\mathbb{H}^n), \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
Положим $\eta_R(r)=\min(1,\max(0,R+1-r))$. Подставляя в (4.23) в качестве тестовой функцию $z^m\eta_R(\rho(x))\eta_{h-1}(|u^m|)$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_1^{mh} &=\int_{\mathbb{H}^n}\bigl(a(x,T_h(u^m),dT_h(u^m)),d(\eta_R(\rho(x)) z^m\eta_{h-1}(|u^m|))\bigr)\,d\nu \nonumber \\ &=-\int_{\mathbb{H}^n} z^m\eta_R(\rho(x))\eta_{h-1}(|u^m|)b_0^m(x,u^m)\,d\nu \nonumber \\ &\qquad - \int_{\mathbb{H}^n}b_1^m(x,u^m)z^m\eta_R(\rho(x))\eta_{h-1}(|u^m|)\,d\mu \nonumber \\ &\qquad +\int_{\mathbb{H}^n} f^mz^m\eta_R(\rho(x))\eta_{h-1}(|u^m|)\,d\nu \nonumber \\ &=I_2^{mh}+I_3^{mh}+I_4^{mh},\qquad m\in\mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
Оценки интегралов $I_2^{mh}-I_4^{mh}$. Ввиду неравенства
$$
\begin{equation*}
\eta_R(\rho(x))\eta_{h-1}(|u^m|)|b_0^m(x,u^m)|\leqslant \operatorname{g}(h) \widetilde{G}_0(x),
\end{equation*}
\notag
$$
вытекающего из (2.18), и сходимости (5.19) по теореме Лебега имеем
$$
\begin{equation}
|I_2^{mh}|\leqslant\int_{\mathfrak{B}_{R+1}}|z^m|\operatorname{g}(h) \widetilde{G}_0(x)\,d\nu=\varepsilon_{1}(m,h).
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
Здесь и далее Совершенно аналогично Используя (4.21), (5.19), (5.20), получаем
$$
\begin{equation}
|I_4^{mh}|\leqslant\int_{\mathbb{H}^n} |fz^m|\,d\nu=\varepsilon_{3}(m).
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
Очевидно, что $z^mu^m\geqslant0 $ при $|u^m|\geqslant k$, поэтому при $|u^m|\geqslant h-1> k$ имеем равенство $z^m|u^m|=|z^m|u^m$. Используя это и (5.20), получим оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{12}^{mh} &=-\int_{\{\mathbb{H}^n\colon h-1\leqslant |u^m|<h\}}\bigl(a(x,T_h(u^m),dT_h(u^m)),d|u^m| \bigr) \eta_R(\rho(x)) z^m\,d\nu \\ &=-\int_{\{\mathbb{H}^n\colon h-1\leqslant |u^m|<h\}}\bigl((a(x,u^m,du^m),du^m )+G(x)\bigr) \eta_R(\rho(x)) |z^m|\,d\nu \\ &\qquad + \int_{\{\mathbb{H}^n\colon h-1\leqslant |u^m|<h\}}G(x) \eta_R(\rho(x)) |z^m|\,d\nu. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (5.2), (5.8) находим, что
$$
\begin{equation}
|I_{12}|^{mh}\leqslant\varepsilon(h), \qquad m\geqslant \widetilde{g}(h)+R,
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
где $\varepsilon(h)\to 0$ при $h\to\infty$.
Далее, используя (5.18) и неравенство $|d\eta_R(\rho(x))|_g\leqslant1$, получим оценку
$$
\begin{equation*}
I^{mh}_{13} =\int_{\{\mathbb{H}^n\colon |u^m|<h\}}\bigl(a(x,T_h(u^m),d T_h(u^m)),d\eta_R(\rho(x))\bigr)\eta_{h-1}(|u^m|)z^m\,d\nu,
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
|I^{mh}_{13}|\leqslant C_7(h)\|z^m\|_{M,\mathfrak{B}_{R+1}}=\varepsilon_5(m,h).
\end{equation}
\tag{5.30}
$$
Несложно установить равенство $I^{mh}_1=I^{mh}_{11}+I^{mh}_{12}+I^{mh}_{13}$, где
$$
\begin{equation*}
I^{mh}_{11}=\int_{\mathbb{H}^n}\bigl(a(x,T_h(u^m),dT_h(u^m)),dz^m\bigr) \eta_R(\rho(x))\eta_{h-1}(|u^m|)\,d\nu.
\end{equation*}
\notag
$$
Из оценок (5.25)–(5.30) заключаем, что
$$
\begin{equation}
|I^{mh}_{11}|\leqslant\varepsilon_6(m,h)+\varepsilon(h), \qquad m> \widetilde{g}(h)+R.
\end{equation}
\tag{5.31}
$$
Выполняя элементарные преобразования, выводим равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I^{mh}_{11} &=\int_{\mathbb{H}^n}\bigl(a(x,T_h(u^m),dT_h(u^m)),dT_k(u^m)\bigr) \eta_R(\rho(x))\eta_{h-1}(|u^m|)\,d\nu \\ &\qquad -\int_{\mathbb{H}^n}\bigl(a(x,T_h(u^m),dT_h(u^m)),dT_k(u)\bigr) \eta_R(\rho(x))\eta_{h-1}(|u^m|)\,d\nu \\ &=\int_{\mathbb{H}^n}\bigl(a(x,T_k(u^m),dT_k(u^m)),dT_k(u^m)\bigr) \eta_R(\rho(x))\,d\nu \\ &\qquad -\int_{\mathbb{H}^n}\bigl(a(x,T_h(u^m),dT_h(u^m)),dT_k(u) \eta_R(\rho(x))\eta_{h-1}(|u^m|)\bigr)\,d\nu \\ &=\int_{\mathbb{H}^n}\bigl(a(x,T_k(u^m),d T_k(u^m)),dz^m\bigr) \eta_R(\rho(x))\,d\nu \\ &\qquad +\int_{\mathbb{H}^n}\bigl(a(x,T_k(u^m),dT_k(u^m)),dT_k(u)\bigr) \eta_R(\rho(x))\,d\nu \\ &\qquad -\int_{\mathbb{H}^n}\bigl(a(x,T_h(u^m),d T_h(u^m)),dT_k(u)\bigr) \eta_R(\rho(x))\eta_{h-1}(|u^m|)\,d\nu. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Функции в двух последних интегралах совпадают при $|u^m|< k$, поэтому очевидно равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber I^{mh}_{11} &=\int_{\mathbb{H}^n}\bigl(a(x,T_k(u^m),dT_k(u^m)),dz^m\bigr)\eta_R(\rho(x))\,d\nu \\ &\qquad +\int_{\{\mathbb{H}^n\colon |u^m|\geqslant k\}}\bigl(a(x,T_k(u^m),d T_k(u^m)) \nonumber \\ &\qquad\qquad-\eta_{h-1}a(x,T_h(u^m),dT_h(u^m)),dT_k(u)\bigr)\eta_R(\rho(x))\,d\nu \nonumber \\ &=I_{5}^m+I_{6}^{mh}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.32}
$$
В силу (5.18) устанавливаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |I^{mh}_{6}|\leqslant C_{9}(h,k)\|\chi_{\{\mathfrak{B}_{R+1}\colon |u^m|\geqslant k\}}\, d T_k(u)\|_{M}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.33}
$$
По лемме 2 выберем число $k$ такое, что $\operatorname{meas}\{x\in\mathfrak{B}_{R+1}\colon |u(x)|= k\}=0$. Тогда в силу (5.11) имеем
$$
\begin{equation*}
\chi_{\{\mathfrak{B}_{R+1}\colon |u^m|\geqslant k\}}\, dT_k(u)\to \chi_{\{\mathfrak{B}_{R+1}\colon |u|\geqslant k\}}\, dT_k(u)= 0 \quad \text{$\nu$-п.в. в }\ \mathfrak{B}_{R+1}, \qquad m\,{\to}\,\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (5.13) $M(x,|d T_k(u)|_g)\in L_1(\mathbb{H}^n)$, $m\in \mathbb{N}$, и по теореме Лебега выводим
$$
\begin{equation*}
\chi_{\{\mathfrak{B}_{R+1}\colon |u^m|\geqslant k\}}\, dT_k(u)\to 0 \quad \text{в }\ L_M(\mathbb{H}^n), \qquad m\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу (5.33) получаем
Из (5.31), (5.32), (5.34) вытекает неравенство
$$
\begin{equation}
|I^m_{5}|\leqslant \varepsilon_9(m,h)+\varepsilon(h).
\end{equation}
\tag{5.35}
$$
Используя обозначение из леммы 6
$$
\begin{equation*}
q^m(x)=\Lambda\bigl(x,T_k(u^m),dT_k(u^m),dT_k(u)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\leqslant \int_{\mathbb{H}^n}q^m(x) \eta_R(\rho(x))\,d\nu=I^{m}_{5}-I_{54}^m \\ &=I^{m}_{5}-\int_{\mathbb{H}^n}\eta_R(\rho(x)) \bigl(a(x,T_k(u^m),dT_k(u)),d(T_k(u^m)-T_k(u))\bigr) \,d\nu. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Действуя, как при выводе сходимости (3.19), и используя (5.12), устанавливаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\eta_R(\rho(x))a(x,T_k(u^m),dT_k (u)) \\ &\qquad \to \eta_R(\rho(x)) a(x,T_k(u),dT_k(u)) \quad\text{в }\ L_{\overline{M}}(\mathbb{H}^n), \qquad m\to \infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее вместе с (5.13) приводит к
$$
\begin{equation}
I^m_{54}=\int_{\mathbb{H}^n}\bigl(a(x,T_k(u^m),dT_k(u)),d(T_k(u^m)-T_k(u))\bigr) \eta_R(\rho(x))\,d\nu=\varepsilon_{10}(m,h).
\end{equation}
\tag{5.36}
$$
Из (5.35) и (5.36) получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{H}^n}q^m(x)\eta_R(\rho(x)) \,d\nu\leqslant \varepsilon_{11}(m,h)+\varepsilon(h).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (5.26) и переходя к пределу в последнем неравенстве сначала по $m\to\infty$, затем по $h\to\infty$, устанавливаем соотношение
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to \infty}\int_{\mathfrak{B}_R}q^m(x) \,d\nu=0,
\end{equation*}
\notag
$$
в котором $R, k>0$ произвольны.
По лемме 7, примененной к $w^j=T_{k}(u^j)$, $w=T_{k}(u)$, с учетом (5.12) имеем сходимость (5.17). В силу (3.18)
$$
\begin{equation}
dT_k(u^m)\to dT_k(u) \quad \text{$\nu$-п.в. в }\ \mathbb{H}^n, \qquad m\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.37}
$$
Чтобы доказать (2.21), возьмем пробную функцию ${v\,{=}\,T_k(u^m-\xi)}$, $\xi\in C_0^1(\mathbb{H}^n)$ в тождестве (4.23); получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_{\mathbb{H}^n} \bigl(a(x,T_m(u^m),du^m),dT_k(u^m-\xi)\bigr)\,d\nu \\ \nonumber &\qquad\qquad +\int_{\mathbb{H}^n} \bigl(b_0^m(x,u^m)-f^m\bigr)T_k(u^m-\xi)\,d\nu +\int_{\mathbb{H}^n} b_1^m(x,u^m)T_k(u^m-\xi)\,d\mu \\ &\qquad=I^m+J^m=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.38}
$$
Положим $\mathbf{M}=k+\|\xi\|_{\infty}$. Если $|u^m|\geqslant \mathbf{M}$, то $|u^m-\xi|\geqslant |u^m|-\|\xi\|_{\infty}\geqslant k$, поэтому $\{\mathbb{H}^n\colon |u^m-\xi|< k\}\subseteq \{\mathbb{H}^n\colon |u^m|< \mathbf{M}\}$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I^m &=\int_{\mathbb{H}^n} \bigl(a(x,T_m(u^m),du^m),dT_k(u^m-\xi)\bigr)\,d\nu \nonumber \\ &=\int_{\mathbb{H}^n} \bigl(a(x,T_{\mathbf{M}}(u^m),d T_{\mathbf{M}}(u^m)),dT_k(u^m-\xi)\bigr)\,d\nu \nonumber \\ &=\int_{\mathbb{H}^n} \bigl(a(x,T_{\mathbf{M}}(u^m),dT_{\mathbf{M}}(u^m)),dT_{\mathbf{M}}(u^m)\,{-}\,d\xi\bigr) \chi_{\{\mathbb{H}^n\colon |u^m-\xi|<k\}}\,d\nu, \qquad m\,{\geqslant}\, \mathbf{M}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.39}
$$
Пусть $w^m=u^m-\xi$, $w=u-\xi$. Так как в множестве, где $|w^m|\to k$ при $m\to\infty$, имеем $|w|= k$, то $d w=0$. Следовательно, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &dT_k(w^m)-dT_k(w) =\chi_{\{\mathbb{H}^n\colon |w^m|<k\}}(dw^m-d w) \nonumber \\ &\qquad +\bigl(\chi_{\{\mathbb{H}^n\colon |w^m|<k\}}-\chi_{\{\mathbb{H}^n\colon |w|<k\}}\bigr)\,dw\to 0 \quad \text{$\nu$-п.в. в } \ \mathbb{H}^n, \qquad m\to\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.40}
$$
Пользуясь неравенством (2.9) и условиями (2.15), (2.16) для $\varepsilon\in (0,1)$, выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl(a(x,T_{\mathbf{M}}(u^m),dT_{\mathbf{M}}(u^m)), dT_{\mathbf{M}}(u^m)-d\xi\bigr)\chi_{\{\mathbb{H}^n\colon |u^m-\xi|< k\}} \\ &\qquad \geqslant(c_0-\varepsilon \operatorname{g}(\mathbf{M}))M(x,|dT_{\mathbf{M}}(u^m)|_g)-C_1 G(x)-M(x,\varepsilon^{-1} |d\xi|_g). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая $\varepsilon<c_0/\operatorname{g}(\mathbf{M})$, получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl(a(x,T_{\mathbf{M}}(u^m),dT_{\mathbf{M}}(u^m)),d( T_M(u^m)-\xi)\bigr)\chi_{\{\mathbb{H}^n\colon |u^m-\xi|<k\}} \\ &\qquad \geqslant -C_{10}(G(x)+M (x,|d\xi|_g))\in L_1(\mathbb{H}^n). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из сходимостей (5.40), (5.12), (5.37) ввиду непрерывности функции $a(x,r,y)$ по $(r,y)$ в силу леммы Фату имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lim_{m\to \infty}\inf I^m &\geqslant \int_{\mathbb{H}^n}\bigl(a(x,T_{\mathbf{M}}(u),dT_{\mathbf{M}}(u)),dT_k(u-\xi)\bigr)\,d\nu \nonumber \\ &=\int_{\mathbb{H}^n}\bigl(a(x,u,du),dT_k( u-\xi)\bigr)\,d\nu\geqslant C_I. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.41}
$$
$$
\begin{equation}
T_k(u^m-\xi)\stackrel {*}\rightharpoonup T_k(u-\xi) \quad \text{в }\ L_{\infty}(\mathbb{H}^n), \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.42}
$$
Интеграл $J^m$ разобьем на два слагаемых. Первое слагаемое
$$
\begin{equation*}
J^m_1=\int_{\mathbb{H}^n}b_0^m(x,u^m)T_k(u^m-\xi)\,d\nu+ \int_{\mathbb{H}^n}b_1^m(x,u^m)T_k(u^m-\xi)\,d\mu
\end{equation*}
\notag
$$
оценивается следующим образом. Используя (4.20), (5.42) и выполняя предельный переход при $m\to\infty$, устанавливаем
$$
\begin{equation}
J^m_2= \int_{\Omega}f^m T_k(u^m-\xi)\,dx\to \int_{\Omega}f T_k(u-\xi)\,dx=C_{J_2}.
\end{equation}
\tag{5.43}
$$
Теперь из (5.38) получаем
Пусть $\operatorname{supp}\xi\subset \mathfrak{B}_{l_0}$, $l\geqslant l_0$, $\mathfrak{B}_{l,s}^m=\{x\in\mathfrak{B}_{l}\colon \ |u^m(x)|< s\}$, $s\geqslant \mathbf{M}$, $\mathfrak{B}_{l,s}=\{x\in\mathfrak{B}_{l}\colon \ |u(x)|< s\}$. Числа $s$ будем выбирать так, что $\operatorname{meas} \{x\in\mathfrak{B}_{l}\colon \ |u(x)|= s\}=0$. Тогда, учитывая (4.19) и неравенство $u^m(x)T_k(u^m-\xi)\geqslant0$ при $|u^m(x)|>\mathbf{M}$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J^m_1 &=\int_{\mathbb{H}^n\backslash \mathfrak{B}_{l,s}^m}b_0^m(x,u^m)T_k(w^m)\,d\nu+\int_{\mathbb{H}^n\backslash \mathfrak{B}_{l,s}^m}b_1^m(x,u^m)T_k(w^m)\,d\mu \\ &\qquad +\int_{\mathfrak{B}_{l,s}^m}b_0^m(x,u^m)T_k(w^m)\,d\nu+ \int_{\mathfrak{B}_{l,s}^m}b_1^m(x,u^m)T_k(w^m)\,d\mu \\ &\geqslant\int_{\mathfrak{B}_{l,s}^m}b_0^m(x,T_s(u^m))T_k(w^m)\,d\nu+ \int_{\mathfrak{B}_{l,s}^m}b_1^m(x,T_s(u^m))T_k(w^m)\,d\mu= \overline{J}^{\,lm}_1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя (5.14), (5.15), (5.42) и переходя к пределу при $m\to \infty$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathfrak{B}_{l,s}}b_1(x,T_s(u))T_k(u-\xi)\,d\mu +\int_{\mathfrak{B}_{l,s}}b_0(x,T_s(u))T_k(u-\xi)\,d\nu \\ &\qquad= \lim_{m\to \infty}\overline{J}^{\,lm}_1\leqslant \liminf_{m\to \infty} J_1^m. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку в силу (2.19)
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathfrak{B}_{l,s}\setminus \mathfrak{B}_{l_0,s}}b_0(x,T_s(u))T_k(u-\xi)\,d\nu= \int_{\mathfrak{B}_{l,s}\setminus \mathfrak{B}_{l_0,s}}|b_0(x,T_s(u))T_k(u)|\,d\nu,
\end{equation*}
\notag
$$
то по теореме Беппо–Леви возможен предельный переход при $l\to \infty$. Полагая $\mathbb{H}_{s}=\{x\in\mathbb{H}^n\colon \ |u(x)|< s\}$ и переходя к пределу $l\to \infty$, имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{H}_{s}}b_1(x,u)T_k(u-\xi)\,d\mu +\int_{\mathbb{H}_{s}}b_0(x,u)T_k(u-\xi)\,d\nu\leqslant \liminf_{m\to \infty} J_1^m.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку в силу (2.19)
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{H}_{s}\setminus\mathbb{H}_{M}}b_1(x,u)T_k(u-\xi)\,d\mu= \int_{\mathbb{H}_{s}\setminus\mathbb{H}_{M}}|b_1(x,u)T_k(u-\xi)|\,d\mu,
\end{equation*}
\notag
$$
то возможен предельный переход при $s\to \infty$. В результате получаем
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{H}^n}b_1(x,u)T_k(u-\xi)\,d\mu +\int_{\mathbb{H}^n}b_0(x,u)T_k(u-\xi)\,d\nu\leqslant \liminf_{m\to \infty} J_1^m.
\end{equation}
\tag{5.44}
$$
Соединяя (5.38), (5.41), (5.44) и (5.43), выводим (2.21). Теорема 1 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VilMuk23} |
|
||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|