| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 10 научных статьях (всего в 10 статьях) Существование решений нелинейных эллиптических уравнений с данными в виде меры в пространствах Музилака–Орлича А. П. Кашниковаa, Л. М. Кожевниковаab a Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета b Елабужский институт (филиал) Казанского (Приволжского) федерального университета
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9632 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ работе рассматривается вопрос существования решения задачи Дирихле в произвольной неограниченной области Ω⊂Rn={x=(x1,x2,…,xn)}, n⩾2. Здесь функции a(x,s0,s)=(a1(x,s0,s),…,an(x,s0,s)):Ω×R×Rn→Rn, b(x,s0,s):Ω×R×Rn→R имеют рост, определяемый обобщенной N-функцией M(x,z), которая не обязана удовлетворять Δ2-условию, а ограниченная мера Радона μ имеет специальный вид.Концепция ренормализованных решений служит основным шагом для изучения общих вырождающихся эллиптических уравнений с данными в виде меры. В работах [1], [2] для уравнения вида в пространствах Соболева доказаны устойчивость и существование ренормализованного решения задачи Дирихле (1.3), (1.2) в ограниченной области Ω.В пространствах Музилака–Орлича существование ренормализованных решений с данными в виде общей меры является новой задачей даже в рефлексивном случае. В работе [3] при некоторых условиях регулярности на функцию Музилака–Орлича M(x,z) И. Хлебицка установила, что каждая ограниченная мера Радона μ в ограниченной области Ω⊂Rn может быть разложена как μ=μM+μs. Причем μM называется диффузной по M-емкости CapM (M-мягкой мерой) и μM(E)=0 для любого E⊆Ω такого, что CapM(E,Ω)=0, а μs сосредоточена на множестве нулевой M-емкости и называется сингулярной. Установлено, что μM является диффузной по M-емкости тогда и только тогда, когда μM∈L1(Ω)+W−1¯M(Ω) (W−1¯M(Ω) – пространство, сопряженное к ˚W1M(Ω)), т.е. существуют функции f∈L1(Ω), f=(f1,…,fn)∈(L¯M(Ω))n такие, что И. Хлебицка в [3] доказала существование, а при μ=μM и единственность ренормализованного решения задачи Дирихле (1.3), (1.2).В работе [4] для анизотропной N-функции Φ∈Δ2∩∇2 установлено аналогичное разложение меры по анизотропной Φ-емкости и в случае диффузной меры μΦ доказана единственность аппроксимационного решения задачи Дирихле (1.3), (1.2). В работе [5] рассмотрен некоторый класс эллиптических уравнений второго порядка вида с переменными показателями нелинейностей и правой частью в виде общей меры Радона с конечной полной вариацией. Доказано существование ренормализованного решения задачи (1.5), (1.2) как следствие устойчивости относительно сходимости правой части уравнения.Если функция Музилака–Орлича M не удовлетворяет Δ2-условию, то соответствующее пространство Музилака–Орлича не является рефлексивным и рассматриваемая задача даже с диффузной мерой значительно усложняется. Обычно если ограничений на рост обобщенной N-функции M(x,z) не требуется, то предполагается, что она подчиняется условию log-гёльдеровской непрерывности по переменной x∈Ω, что приводит к хорошим аппроксимационным свойствам пространства Музилака–Орлича. В работе [6] доказано существование ренормализованного решения задачи (1.3), (1.2) c μ∈L1(Ω) и неоднородной анизотропной функцией Музилака–Орлича. Авторы работ [7], [8] установили существование ренормализованного и энтропийного решений задачи Дирихле соответственно для уравнения вида с функцией c∈C0(R,Rn). В работах [9], [10] (a0≡0), [11] доказано существование энтропийного решения задачи Дирихле для уравнения вида с каратеодориевой функцией c(x,s0):Ω×R→Rn, подчиняющейся условию роста по переменной s0.Все процитированные выше результаты получены для энтропийных и ренормализованных решений эллиптических задач в ограниченных областях. Для эллиптических уравнений с различными видами нелинейностей и данными в виде меры (или L1-данными) результаты существования и единственности энтропийных и ренормализованных решений в произвольных неограниченных областях установлены в работах [12]–[20]. Однако для уравнений с нелинейностями, определяемыми функциями Музилака–Орлича, таких результатов нет. Трудность обобщения на неограниченную область состоит в том, что в неограниченной области не работает аналог неравенства Пуанкаре–Соболева и теорема о компактности вложения пространства Музилака–Орлича–Соболева. Решить проблему авторам удалось благодаря добавлению в уравнение (1.1) слагаемого M′(x,u) и дополнительному требованию интегрируемости функции M(⋅,z) по Ω. В настоящей статье доказано существование энтропийного решения и установлено, что оно является ренормализованным решением задачи (1.1), (1.2) c мерой μ диффузного типа в произвольной (в том числе и неограниченной) области Ω, удовлетворяющей сегментному свойству. § 2. Пространства Музилака–Орлича–СоболеваВ этом параграфе будут приведены необходимые сведения из теории обобщенных N-функций и пространств Музилака–Орлича (см. [21]–[23]). Определение 2.1. Пусть функция M(x,z):Ω×R→R+ удовлетворяет следующим условиям: 1) M(x,⋅) – N-функция по z∈R, т.е. она является выпуклой вниз, неубывающей, четной, непрерывной, M(x,0)=0 для п.в. x∈Ω и 2) M(\cdot,z) – измеримая функция по \mathrm{x}\in \Omega для любых z\in\mathbb{R}. Такая функция M(\mathrm{x},z) называется функцией Музилака–Орлича или обобщенной N-функцией. Сопряженная функция \overline{M}(\mathrm{x},\cdot) к функции Музилака–Орлича M(\mathrm{x},\cdot) в смысле Юнга для п.в. \mathrm{x}\in \Omega и любых z\geqslant 0 определяется равенством
\begin{equation*}
\overline{M}(\mathrm{x},z)=\sup_{y\geqslant 0}( yz-M(\mathrm{x},y)).
\end{equation*}
\notag
Отсюда следует неравенство Юнга
\begin{equation}
|zy| \leqslant M(\mathrm{x},z)+ \overline{M}(\mathrm{x},y), \qquad z,y \in \mathbb{R}, \quad \mathrm{x} \in \Omega.
\end{equation}
\tag{2.1}
Для функции Музилака–Орлича M(\mathrm{x},z) имеет место интегральное представление
\begin{equation}
M(\mathrm{x},z)=\int_{0}^{|z|}M'(\mathrm{x},\theta)\,d\theta,
\end{equation}
\tag{2.2}
где M'(\mathrm{x},\theta)\colon \Omega \times\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+, причем M'(\mathrm{x},\cdot) неубывающая, непрерывна справа, M'(\mathrm{x},0)=0 для п.в. \mathrm{x}\in \Omega и
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \inf_{\mathrm{x}\in\Omega} M'(\mathrm{x},\theta)>0 \quad\text{для п.в. всех }\ \theta>0, \\ \lim_{\theta\to \infty}\inf_{\mathrm{x}\in\Omega} M'(\mathrm{x},\theta)=\infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.3}
Из (2.2), (2.1) для п.в. \mathrm{x}\in\Omega, z\in \mathbb{R} следуют простейшие неравенства:
\begin{equation}
\overline{M}(\mathrm{x},M'(\mathrm{x},z))\leqslant M'(\mathrm{x},z)z.
\end{equation}
\tag{2.6}
Пусть P(\mathrm{x},z) и M(\mathrm{x},z) – функции Музилака–Орлича. Если для каждой положительной константы l имеем
\begin{equation}
\lim_{z\to \infty}\sup_{\mathrm{x} \in \Omega}\frac{P(\mathrm{x},lz)}{M(\mathrm{x},z)}=0,
\end{equation}
\tag{2.7}
то это обозначается P\prec \prec M и говорят, что P растет медленнее, чем M, на \infty. Функция Музилака–Орлича M удовлетворяет \Delta_2-условию, если существуют константы c>0, z_0\geqslant 0 и функция H\in L_1(\Omega) такие, что для п.в. \mathrm{x}\in \Omega и любых |z|\geqslant z_0 справедливо неравенство \Delta_2-условие эквивалентно выполнению для п.в. \mathrm{x}\in \Omega и любых |z|\geqslant z_0 неравенства
\begin{equation}
M(\mathrm{x},lz)\leqslant c(l)M(\mathrm{x},z)+H_l(\mathrm{x}), \qquad H_l\in L_1(\Omega),
\end{equation}
\tag{2.8}
где l – любое число больше единицы, c(l)>0. В настоящей работе предполагается, что сопряженная N-функция \overline{M}(\mathrm{x},z) удовлетворяет \Delta_2-условию при всех значениях z\in\mathbb{R} (т.е. z_0=0). Таким образом, для любого l>0 и п.в. \mathrm{x}\in\Omega имеет место неравенство
\begin{equation}
\overline{M}(\mathrm{x},lz)\leqslant c(l)\overline{M}(\mathrm{x},z)+H_l(\mathrm{x}), \qquad H_l\in L_1(\Omega), \quad z\in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{2.9}
Существуют три класса Музилака–Орлича. \mathcal{L}_M(\Omega) – обобщенный Музилака–Орлича класс измеримых функций v\colon \Omega\to \mathbb{R} таких, что
\begin{equation*}
\varrho_{M,\Omega}(v)=\int_{\Omega}M(\mathrm{x},v(\mathrm{x}))\,d\mathrm{x}<\infty.
\end{equation*}
\notag
L_M(\Omega) – обобщенное Музилака–Орлича пространство является наименьшим линейным пространством, которое содержит класс \mathcal{L}_M(\Omega), с нормой Люксембурга
\begin{equation*}
\|u\|_{M,\Omega}=\inf\biggl\{ \lambda>0\Bigm|\varrho_{M,\Omega}\biggl(\frac{v}{\lambda}\biggr) \leqslant 1 \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
E_M(\Omega) – замыкание по норме \|u\|_{M,\Omega} ограниченных измеримых функций с компактным носителем в \overline{\Omega}. Справедливы вложения E_M(\Omega)\subset \mathcal{L}_M(\Omega)\subset L_M(\Omega). Ниже в обозначениях \|\cdot\|_{M,Q}, \varrho_{M,Q}(\cdot) будем опускать индекс Q=\Omega. Далее будем рассматривать следующие условия на функцию Музилака–Орлича M(\mathrm{x},z). (\mathrm{M1},\mathrm{loc}) Функция M(\mathrm{x},z) локально интегрируема, если
\begin{equation*}
\varrho_{M,Q}(z)=\int_QM(\mathrm{x},z)\,d\mathrm{x}<\infty \quad \forall\,z\in \mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
для любого измеримого множества Q\subset\Omega такого, что \operatorname{meas}Q<\infty. (\mathrm{M1}) Функция M(\mathrm{x},z) интегрируема, если
\begin{equation*}
\varrho_{M}(z)=\int_{\Omega}M(\mathrm{x},z)\,d\mathrm{x}<\infty \quad \forall\, z\in \mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
(\mathrm{M2}) Функция M(\mathrm{x},z) удовлетворяет условию \phi-регулярности, если существует функция \phi\colon [0,1/2]\times\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+ такая, что \phi(\cdot,z) и \phi(r,\cdot) – неубывающие функции и для всех \mathrm{x},\mathrm{y}\in \overline{\Omega}, |\mathrm{x}-\mathrm{y}|\leqslant 1/2, z\in\mathbb{R}^+ и некоторой константы c>0 выполняется
\begin{equation*}
M(\mathrm{x},z)\leqslant \phi(|\mathrm{x}-\mathrm{y}|,z)M(\mathrm{y},z), \qquad \lim_{\varepsilon\to 0^+}\!\!\sup \phi(\varepsilon, c\varepsilon^{-n})<\infty.
\end{equation*}
\notag
Пусть M и \overline{M} подчиняются условию (\mathrm{M1},\mathrm{loc}). Пространство E_M(\Omega) сепарабельное и (E_M(\Omega))^*=L_{\overline{M}}(\Omega). Если M удовлетворяет \Delta_2-условию, то E_M(\Omega)= \mathcal{L}_M(\Omega)= L_M(\Omega) и L_M(\Omega) сепарабельное. Пространство L_M(\Omega) рефлексивное тогда и только тогда, когда функции Музилака–Орлича M и \overline{M} удовлетворяет \Delta_2-условию. Для v\in L_M(\Omega) справедливы неравенства: если \|v\|_{M}\leqslant 1, то если \|v\|_{M}> 1, то Последовательность функций \{v^j\}_{j\in \mathbb{N}} \in L_M(\Omega) модулярно сходится к v \in L_M(\Omega), если существует константа \lambda>0 такая, что
\begin{equation*}
\lim_{j\to \infty}\varrho_{M}\biggl(\frac{v^j-v}{\lambda}\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
Если M удовлетворяет \Delta_2-условию, то модулярная топология и топология по норме совпадают. Также для двух сопряженных функций Музилака–Орлича M и \overline{M}, если u \in L_M(\Omega) и v \in L_{\overline{M}}(\Omega), выполняется неравенство Гёльдера
\begin{equation}
\biggl|\int_\Omega u(\mathrm{x})v(\mathrm{x}) \,d\mathrm{x}\biggr| \leqslant 2\|u\|_{M}\|v\|_{\overline{M}}.
\end{equation}
\tag{2.13}
Определим пространства Музилака–Орлича–Соболева
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, W^1L_{M}(\Omega)=\bigl\{v\in L_{M}(\Omega)\mid |\nabla v|\in L_{M}(\Omega)\bigr\}, \\ W^1E_{M}(\Omega)=\bigl\{v\in E_{M}(\Omega)\mid |\nabla v|\in E_{M}(\Omega)\bigr\} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
с нормой Последовательность функций \{v^j\}_{j\in \mathbb{N}} \in W^1L_{M}(\Omega) модулярно сходится к v \in W^1L_{M}(\Omega), если существует константа \lambda>0 такая, что
\begin{equation*}
\lim_{j\to \infty}\varrho_{M}\biggl(\frac{v^j-v}{\lambda}\biggr)=0, \quad \lim_{j\to \infty}\varrho_{M}\biggl(\frac{|\nabla v^j- \nabla v|}{\lambda}\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
Для краткости записи введем обозначения (L_M(\Omega))^{n}\,{=}\,\mathrm{L}_M(\Omega), (L_M(\Omega))^{n+1}=\mathbf L_M(\Omega), (E_M(\Omega))^{n}=\mathrm{E}_M(\Omega), (E_M(\Omega))^{n+1}=\mathbf E_M(\Omega). Пространство W^1L_{M}(\Omega) отождествляется с подпространством произведения \mathbf L_M(\Omega) и является замкнутым по топологии \sigma(\mathbf L_M,\mathbf E_{\overline{M}}). Пространство \mathring{W}^{1}L_{M} (\Omega) определим как замыкание C_0^{\infty}(\Omega) по топологии \sigma(\mathbf L_M,\mathbf E_{\overline{M}}) в {W}^{1}L_{M} (\Omega). Наконец, пространство \mathring{W}^{1}E_{M} (\Omega) определим как замыкание C_0^{\infty}(\Omega) по норме \|\cdot\|_M^1 в {W}^{1}L_{M} (\Omega). Пространства \mathring W^1L_{M}(\Omega), \mathring{W}^{1}E_{M} (\Omega) банаховы (см. [22; теорема 10.2]). Определим также банахово пространство
\begin{equation*}
W^{-1}L_{\overline{M}}(\Omega)= \bigl\{F=f_0-\operatorname{div}\mathrm{f}\bigm| f_0\in L_{\overline{M}}(\Omega),\,\mathrm{f}=(f_1,\dots,f_n) \in \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega) \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Справедлива следующая теорема вложения (см. [24; теорема 4]). Лемма 2.1. Пусть функция Музилака–Орлича M(\mathrm{x},z) удовлетворяет следующим условиям:
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_1^\infty\frac{M^{-1}(\mathrm{x},z)}{z^{(n+1)/n}}\,dz=\infty, \qquad \int_0^1\frac{M^{-1}(\mathrm{x},z)}{z^{(n+1)/n}}\,dz<\infty, \\ \notag M_*^{-1}(\mathrm{x},z)=\int_0^z\frac{M^{-1}(\mathrm{x},\tau)}{\tau^{(n+1)/n}}\,d\tau, \qquad\mathrm{x}\in \Omega, \quad z \geqslant 0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.14}
Тогда функция M_*(\mathrm{x},z) является обобщенной N-функцией и \mathring W^1L_M(\Omega) \hookrightarrow L_{M_*}(\Omega). Более того, для любой ограниченной подобласти Q\subset\Omega вложение \mathring W^1L_M(\Omega) \hookrightarrow L_P(Q) существует и компактно для любой функции Музилака–Орлича P\prec\prec M_* такой, что P(\cdot,z) интегрируема на Q. Определение 2.2. Область \Omega подчиняется сегментному свойству, если существует конечное открытое покрытие \{\Theta_i\}_{i=1}^{k} множества \overline{\Omega} и соответствующие ненулевые векторы \mathrm{z}_i\in \mathbb{R}^n такие, что (\overline{\Omega}\bigcap\Theta_i)+t\mathrm{z}_i\subset\Omega для любых t\in(0,1) и i=1,\dots,k. Сформулируем теорему о плотности гладких функций в пространстве Музилака–Орлича–Соболева (см. [25; теорема 3]). Лемма 2.2. Предположим, что область \Omega удовлетворяет сегментному свойству, а N-функция M удовлетворяет условиям (\mathrm{M1}), (\mathrm{M2}), и пусть \overline{M} удовлетворяет условию (\mathrm{M1}). Тогда для любого u\in\mathring W^1L_{M}(\Omega) существует последовательность функций u^j\in C_0^{\infty}(\Omega) такая, что § 3. Предположения и формулировка результатовПредполагается, что функции
\begin{equation*}
{\mathrm{a}}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\colon \Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n, \qquad b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\colon \Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
входящие в уравнение (1.1), измеримы по \mathrm{x}\,{\in}\,\Omega для \mathbf{s}=(s_0, \mathrm{s})=(s_0,s_1,\dots,s_{n})\in\mathbb{R}^{n+1}, непрерывны по \mathbf s\in\mathbb{R}^{n+1} для почти всех \mathrm{x}\in\Omega и выполнено Условие M. Существуют неотрицательные функции \Psi,\phi\in L_1(\Omega) и положительные константы \widehat{A}, \overline{a}, \overline{d}, \widehat{d} такие, что для п.в. \mathrm{x}\in\Omega и для любых s_0\in\mathbb{R}, \mathrm{s},\mathrm{t}\in\mathbb{R}^{n}, \mathrm{s}\neq \mathrm{t}, справедливы неравенства
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\cdot \mathrm{s} \geqslant \overline{a} M(\mathrm{x},\overline{d}|\mathrm{s}|)-\phi(\mathrm{x}),
\end{equation}
\tag{3.1}
\begin{equation}
\overline{M}(\mathrm{x},|\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|) \leqslant \Psi(\mathrm{x})+\widehat{A}P(\mathrm{x}, \widehat{d}s_0) +\widehat{A}M(\mathrm{x}, \widehat{d}|\mathrm{s}|),
\end{equation}
\tag{3.2}
\begin{equation}
\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})-\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{t})\bigr) \cdot(\mathrm{s}-\mathrm{t})> 0.
\end{equation}
\tag{3.3}
Здесь функции Музилака–Орлича P(\mathrm{x},z), M(\mathrm{x},z) (P\prec\prec M) подчиняются условию (\mathrm{M1}), непрерывно дифференцируемая функция M(\mathrm{x},z) подчиняется условию (\mathrm{M2}), дополнительная к M функция \overline{M}(\mathrm{x},z) удовлетворяет \Delta_2-условию и условию (\mathrm{M1}), \mathrm{s}\cdot\mathrm{t}=\sum_{i=1}^ns_it_i, |\mathrm{s}|=(\sum_{i=1}^ns_i^2)^{1/2}. Напомним, что L_{\overline{M}}(\Omega)=E_{\overline{M}}(\Omega). Кроме того, пусть существует неотрицательная функция \Phi_0\in L_{1}(\Omega), непрерывная неубывающая функция \widehat{b}\colon \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+ такие, что при п.в. \mathrm{x}\in\Omega, для всех s_0\in \mathbb{R}, \mathrm{s}\in\mathbb{R}^n справедливы неравенства
\begin{equation}
|b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|\leqslant \widehat{b}(|s_0|) \bigl(M(\mathrm{x},\overline{d}|\mathrm{s}|)+\Phi_0(\mathrm{x})\bigr),
\end{equation}
\tag{3.4}
Заметим, что из принадлежности M(\cdot, z)\in L_1(\Omega) следует, что M'(\cdot, z)\in L_1(\Omega) при каждом фиксированном z\in \mathbb{R}. Условиям M удовлетворяют, например, функции
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_i(\mathrm{x},\mathrm{s})=M'(\mathrm{x},|\mathrm{s}|)\frac{s_i}{|\mathrm{s}|}+f_i(\mathrm{x}), \quad f_i\in L_{\overline{M}}(\Omega), \qquad i=1,\dots,n, \\ b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=b(s_0)\overline{R}^{-1}(M(\mathrm{x},|\mathrm{s}|)){R}^{-1}(\Phi_0) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
c непрерывной неубывающей нечетной функцией b\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, произвольной N-функцией R(z) и неотрицательной функцией \Phi_0\in L_{1}(\Omega). Будем считать, что мера \mu имеет вид
\begin{equation}
\mu=f+f_0-\operatorname{div} \mathrm{f}, \qquad f\in L_1(\Omega), \quad f_0\in E_{\overline{M}}(\Omega), \quad \mathrm{f} \in (E_{\overline{M}}(\Omega))^n.
\end{equation}
\tag{3.6}
Такой выбор определен представлением (1.4), а наличие слагаемого f_0 связано с неограниченностью области \Omega. Однако в рамках настоящей работы не предполагается рассмотрение вопроса о диффузности меры (3.6). Вводя обозначение \widetilde{\mathrm{a}}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}) =\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})-\mathrm{f}, из уравнения (1.1) получаем
\begin{equation*}
-\operatorname{div}\widetilde{\mathrm{a}}(\mathrm{x},u,\nabla u) +M'(\mathrm{x},u)+b(\mathrm{x},u,\nabla u)=f+f_0.
\end{equation*}
\notag
Применяя неравенство (2.1), легко заметить, что функция \widetilde{\mathrm{a}}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}) также подчиняется условиям вида (3.1)–(3.3). Кроме того, используя неравенство (2.1), имеем
\begin{equation*}
\int_{\Omega}|f_0|\,d\mathrm{x}\leqslant \int_{\Omega}\overline{M}(\mathrm{x},f_0)\,d\mathrm{x} +\int_{\Omega}M(\mathrm{x},1)\,d\mathrm{x}<\infty.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, f_0\in L_1(\Omega). Поэтому будем рассматривать уравнение (1.1) c мерой Определим функцию T_k(r)=\max(-k,\min(k,r)). Через \mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\Omega) обозначим множество измеримых функций u\colon \Omega\to\mathbb R таких, что T_k(u)\in \mathring{W}^1L_{ M}(\Omega) при любом k>0. Для u\in\mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\Omega) и любого k>0 имеем
\begin{equation}
\nabla T_k(u)=\chi_{\{|u|<k\}}\nabla u \in \mathrm{L}_{M}(\Omega).
\end{equation}
\tag{3.8}
Введем обозначение \displaystyle\langle u \rangle=\int_{\Omega}u\,d\mathrm{x}. Определение 3.1. Энтропийным решением задачи (1.1), (1.2), (3.7) называется функция u\in \mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\Omega) такая, что: 1) b(\mathrm{x},u,\nabla u)\in L_{1}(\Omega); 2) при всех k>0, \xi\in C_0^1(\Omega) справедливо неравенство Определение 3.2. Ренормализованным решением задачи (1.1), (1.2), (3.7) называется функция u\in \mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\Omega) такая, что: 1) b(\mathrm{x},u,\nabla u)\in L_{1}(\Omega); 2) \displaystyle\lim_{h\to \infty}\int_{\{\Omega \colon h\leqslant |u|< h+1\}}M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u|) \,d\mathrm{x}=0; 3) для любой гладкой функции S\in W^1_{\infty}(\mathbb{R}) с компактным носителем и любой функции \xi\in C_0^1(\Omega) справедливо равенство Основным результатом работы являются следующие теоремы. Теорема 3.1. Пусть область \Omega подчиняется сегментному свойству и выполнены условия M, (2.14), тогда существует энтропийное решение задачи (1.1), (1.2), (3.7). Теорема 3.2. Пусть область \Omega подчиняется сегментному свойству и выполнены условия M, (2.14), тогда энтропийное решение, построенное в теореме 3.1, является ренормализованным решением задачи (1.1), (1.2), (3.7). § 4. Подготовительные сведенияВ неравенстве (3.9) при любом k>0 предполагается сходимость интегралов от функций M'(\mathrm{x},u)T_k(u-\xi), \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla T_k(u-\xi). Сходимость остальных интегралов, входящих в неравенство (3.9), следует из принадлежностей (3.7), условия 1) определения 3.1. В равенстве (3.10) предполагается сходимость интеграла от функции \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla (S(u)\xi), сходимость остальных интегралов вытекает из принадлежности (3.7), условия 1) определения 3.2. В этом параграфе будут установлены некоторые свойства энтропийного решения задачи (1.1), (1.2), (3.7) и приведены вспомогательные леммы. Все постоянные, встречающиеся ниже в работе, положительны. Лемма 4.1. Пусть u – энтропийное решение задачи (1.1), (1.2), (3.7), тогда для любого k>0 и справедливо неравенство Доказательство. Неравенство (3.9) при \xi=0 принимает вид
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I &=\int_{\Omega}(M'(\mathrm{x},u)+ b(\mathrm{x},u,\nabla u))T_k(u) d\mathrm{x}+\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot \nabla u \,d\mathrm{x} \\ &\leqslant\int_{\Omega}f T_k(u)\,d\mathrm{x}\leqslant C_3k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
Применяя неравенства (2.4), (3.5), выводим оценку
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I &\geqslant k\int_{\{\Omega\colon |u|\geqslant k\}}M'(\mathrm{x},|u|)\,d\mathrm{x} +\int_{\{ \Omega\colon |u|<k\}} M(\mathrm{x},u)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot \nabla u \,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
Соединяя (4.4), (4.3), устанавливаем неравенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &k\int_{\{\Omega\colon |u|\geqslant k\}}M'(\mathrm{x},|u|)\,d\mathrm{x} +\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}M(\mathrm{x},u) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot \nabla u\, d\mathrm{x} \leqslant kC_3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
Далее, используя неравенство (3.1), получаем оценку (4.2). Пусть \mathrm{w}\in \mathrm{E}_M(\Omega) произвольный, из условия (3.3) следует неравенство
\begin{equation*}
(\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)-\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\mathrm{w})) \cdot(\nabla u-\mathrm{w})> 0.
\end{equation*}
\notag
Отсюда получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\mathrm{w}\,d\mathrm{x} \leqslant \int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla u \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad -\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\mathrm{w})\cdot(\nabla u-\mathrm{w})\,d\mathrm{x} . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
Далее, применяя (3.2), выводим
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}} \overline{M}(\mathrm{x},|\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\mathrm{w})|)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant \|\Psi\|_1+\widehat{A}\int_{\Omega}P(\mathrm{x}, \widehat{d}k)\,d\mathrm{x} +\widehat{A}\int_{\Omega}M(\mathrm{x}, \widehat{d}|\mathrm{w}|))\,d\mathrm{x}\leqslant C_4. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
Соединяя (4.5), (4.6), (4.7), (3.8), получаем оценку
\begin{equation*}
\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u) \cdot\mathrm{w}\,d\mathrm{x}\leqslant C_5 \quad \forall\,\mathrm{w}\in \mathrm{E}_M(\Omega).
\end{equation*}
\notag
Заменяя \mathrm{w} на -\mathrm{w}, выводим неравенство
\begin{equation*}
-\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u) \cdot\mathrm{w}\,d\mathrm{x}\leqslant C_5 \quad \forall\,\mathrm{w}\in \mathrm{E}_M(\Omega).
\end{equation*}
\notag
Следовательно, верна оценка
\begin{equation*}
\biggl|\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u) \cdot\mathrm{w}\,d\mathrm{x}\biggr|\leqslant C_5 \quad \forall\,\mathrm{w}\in \mathrm{E}_M(\Omega),
\end{equation*}
\notag
отсюда устанавливаем (4.1). Лемма доказана. Справедлива Лемма 4.2. Пусть v\colon \Omega\to\mathbb{R} – измеримая функция и при всех k>0 справедливо неравенство
\begin{equation}
\int_{\{\Omega\colon |v|\geqslant k\}}M'(\mathrm{x},|v|) \,d\mathrm{x} \leqslant C_1+\frac{C_2}k,
\end{equation}
\tag{4.8}
тогда Доказательство. Из соотношения (4.8) следует неравенство
\begin{equation*}
\operatorname{meas}\{\Omega\colon |v|\geqslant k\}\inf_{\mathrm{x}\in\Omega} M'(\mathrm{x},k)\leqslant C_1+\frac{C_2}k.
\end{equation*}
\notag
Отсюда, применяя (2.3), устанавливаем (4.9). Далее, благодаря оценке (4.8) и принадлежности M'(\mathrm{x},k)\in L_1(\Omega) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\Omega}M'(\mathrm{x},|v|)\,d\mathrm{x} &=\int_{\{\Omega\colon |v|\geqslant k\}}M'(\mathrm{x},|v|)\,d\mathrm{x} +\int_{\{\Omega\colon |v|< k\}}M'(\mathrm{x},|v|)\,d\mathrm{x} \\ &\leqslant C_1+\frac{C_2}k+\int_{\Omega}M'(\mathrm{x},k)\,d\mathrm{x}=C_6(k). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Лемма доказана. Замечание 1. Если u – энтропийное решение задачи (1.1), (1.2), (3.7), тогда из лемм 4.1, 4.2 следует Кроме того,Лемма 4.3 (см. [24; лемма 2]). Пусть \{v^j\}_{j\in \mathbb{N}}, v – такие функции из L_{M}(\Omega), что
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|v^j\|_{M}\leqslant C, \qquad j\in \mathbb{N}, \\ v^j\to v \quad\textit{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to\infty, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
тогда v^j\rightharpoonup v, j\to\infty, в топологии \sigma(L_{M}, E_{\overline{M}}) пространства L_M(\Omega). Лемма 4.4. Пусть g^j, j\in \mathbb{N}, g – такие функции из пространства L_1(\Omega), что g^j\geqslant 0 п.в. в \Omega,
\begin{equation*}
g^j\to g \quad\textit{сильно в }\ L_1(\Omega), \qquad j\to\infty,
\end{equation*}
\notag
и пусть v^j, j\in \mathbb{N}, v – измеримые функции в \Omega такие, что Тогда Лемма 4.5. Пусть w^j, j\in \mathbb{N}, w – такие функции из пространства L_1(\Omega), что w^j\geqslant 0 п.в. в \Omega, ТогдаЛемма 4.6. Если область \Omega подчиняется сегментному свойству и u является энтропийным решением задачи (1.1), (1.2), (3.7), то неравенство (3.9) справедливо для любой функции \xi \in\mathring{W}^1L_{ M}(\Omega)\cap L_{\infty}(\Omega). Доказательство. Согласно лемме 2.2 для любой функции \xi\,{\in}\,\mathring {W}^1L_{ M}(\Omega)\cap L_{\infty}(\Omega) существует последовательность \{\xi^j\}_{j\in\mathbb{N}}\in C_0^{\infty}(\Omega) такая, что
\begin{equation}
\nabla \xi^j\to \nabla\xi, \quad \xi^j\to \xi \quad\text{модулярно в }\ L_{M}(\Omega), \qquad j\to\infty.
\end{equation}
\tag{4.13}
Отсюда следует сходимость
\begin{equation}
\xi^j\to \xi, \quad\nabla \xi^j\to \nabla\xi \quad\text{п.в. в }\ \Omega \quad\text{при }\ j\to\infty.
\end{equation}
\tag{4.14}
Тогда для любого k>0 имеют место сходимости Заметим, можно выбрать последовательность \{\xi^j\}_{j\in\mathbb{N}} так, чтобы она была ограниченной в L_{\infty}(\Omega). Положим K=\sup_{j\in \mathbb{N}}\|\xi^j\|_{\infty}, пусть \widehat{k}=k+K, тогда
\begin{equation*}
|\nabla T_k(u-\xi^j)|\leqslant |\nabla T_{\widehat{k}}(u)|+|\nabla \xi^j|, \qquad \mathrm{x}\in \Omega, \quad j\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
Поскольку модулярно сходящаяся последовательность \nabla \xi^j ограничена в \mathrm{L}_{M}(\Omega), то отсюда согласно (3.8) следует ограниченность норм \|\nabla T_k(u-\xi^j)\|_{M}, j\in \mathbb{N}. Применяя (4.15), пользуясь леммой 4.3, при любом k>0 имеем
\begin{equation}
\nabla T_k(u-\xi^j)\rightharpoonup \nabla T_k(u-\xi) \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_{M},\mathrm{E}_{\overline{M}}) \quad\text{в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad j\to\infty.
\end{equation}
\tag{4.16}
Теперь перейдем к пределу при j\to\infty в неравенстве
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_{\Omega} (b(\mathrm{x},u,\nabla u)\,{+}\,M'(\mathrm{x},u)\,{-}\,f)T_k(u\,{-}\,\xi^j)\,d\mathrm{x} \,{+}\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla T_k(u\,{-}\,\xi^j)\,d\mathrm{x}\leqslant 0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.17}
Поскольку b(\mathrm{x},u,\nabla u), M'(\mathrm{x},u), f\in L_{1}(\Omega) (см. определение 3.1, 1) и (4.12)), то в первом слагаемом, используя (4.15), согласно теореме Лебега можно перейти к пределу при j\to \infty. Ввиду того, что \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\chi_{\{\Omega\colon |u|<\widehat{k}\}}\in \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega)=\mathrm{E}_{\overline{M}} (см. (4.1)), применяя (4.16), устанавливаем, что второе слагаемое последнего неравенства также имеет предел при j\to \infty. Таким образом, после предельного перехода в (4.17) получим неравенство (3.9). Лемма доказана. Лемма 4.7. Пусть u – энтропийное решение задачи (1.1), (1.2), (3.7), тогда при всех k>0 справедливо соотношение Доказательство. Положив в неравенстве (3.9) \xi=T_{h} (u), будем иметь
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\{ h\leqslant|u|<k+h\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla u \,d\mathrm{x} \\ &\qquad+\int_{\{ h\leqslant|u|\}}\bigl(b(\mathrm{x},u,\nabla u)+M'(\mathrm{x},u)\bigr)T_{k}(u-T_h(u)) \,d\mathrm{x} \leqslant k\int_{\{ h\leqslant|u|\}}|f|\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Далее, используя (3.5), выводим неравенство
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int_{\{ h\leqslant|u|<k+h\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla u \,d\mathrm{x} +k \int_{\{|u|\geqslant k+h\}}\bigl(|b(\mathrm{x},u,\nabla u)|+M'(\mathrm{x},|u|)\bigr) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad+\int_{\{ h\leqslant|u|< k+h\}}\bigl(b(\mathrm{x},u,\nabla u) +M'(\mathrm{x},u)\bigr)(u-h\operatorname{sign}u) \,d\mathrm{x} \leqslant k\int_{\{ h\leqslant|u|\}}|f|\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Ввиду (3.5) для h\leqslant |u| справедливо неравенство
\begin{equation*}
(b(\mathrm{x},u,\nabla u)+M'(\mathrm{x},u))(u-h\operatorname{sign}u)\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
Соединяя два последних неравенства, применяя (3.1), для любого k>0 имеем
\begin{equation*}
\overline{a}\int_{\{ h\leqslant |u|<k+h\}}M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u|) \,d\mathrm{x}\leqslant k\int_{\{ h\leqslant|u|\}}(|f|+|\phi|)\,d\mathrm{x}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда, ввиду того, что f, \phi \in L_1(\Omega), учитывая (4.11), переходя к пределу при h\to \infty, выводим соотношение (4.18). Лемма доказана. Лемма 4.8. Пусть v^j, j\in \mathbb{N}, v – такие функции из \mathcal{L}_{M}(\Omega), что тогдаСправедливость леммы 4.8 следует из теоремы Лебега. Лемма 4.9. Пусть Q – измеримое множество, для каратеодориевой функции {\mathrm{a}}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\colon Q\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n выполнено условие (3.3) и v^j\colon Q\to\mathbb{R}, \mathrm{w}^j\colon Q\to\mathbb{R}^n – последовательности измеримых функций, причем v^j\to v п.в. в Q, |v|\leqslant k, |\mathrm{w}|\leqslant r и ТогдаДоказательство леммы основано на [26; лемма 2.4] и аналогично доказательству Н. А. Воробьёва, Ф. Х. Мукминова (см. [27; лемма 6.2]). Лемма 4.10. Пусть выполнены условия (3.1)–(3.3) и для некоторого фиксированного k>0 для последовательности (T_k(u^j),\nabla T_k(u^j))\in \mathbf L_M(\Omega), j\in \mathbb{N}, справедливы соотношения
\begin{equation}
\nabla T_k(u^j)\rightharpoonup \nabla T_k(u) \quad\textit{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_{M},\mathrm{E}_{\overline{M}}) \quad\textit{в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad j\to \infty,
\end{equation}
\tag{4.19}
\begin{equation}
T_k(u^j)\to T_k (u) \quad\textit{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to\infty,
\end{equation}
\tag{4.20}
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j)), \quad j\in \mathbb{N}, \quad\textit{ограничена в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega);
\end{equation}
\tag{4.21}
\begin{equation}
\lim_{s\to \infty}\lim_{j\to \infty}\int_{\Omega}q^j_s(\mathrm{x})\,d\mathrm{x}=0,
\end{equation}
\tag{4.22}
\begin{equation}
q^j_s(\mathrm{x})=(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j))-\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s)) \cdot(\nabla T_k(u^j)-\nabla T_k(u)\chi_s),
\end{equation}
\tag{4.23}
где \chi_s – характеристическая функция множества \Omega_s=\{\mathrm{x}\,{\in}\, \Omega\mid|\nabla T_k(u)|\,{\leqslant}\, s\}. Тогда по некоторой подпоследовательности
\begin{equation}
\nabla T_k(u^j)\to \nabla T_k(u) \quad\textit{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to \infty,
\end{equation}
\tag{4.24}
Доказательство. Фиксируем r>0 и пусть s>r, применяя условие (3.3), выводим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &0\leqslant \int_{\Omega_r}\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j)) -\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u))\bigr) \cdot\nabla(T_k(u^j)-T_k(u))\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega_r}(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j)) -\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s)) \cdot(\nabla T_k(u^j)-\nabla T_k(u)\chi_s)\,d\mathrm{x} \\ &\leqslant \int_{\Omega}(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j)) -\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s)) \cdot( \nabla T_k(u^j)-\nabla T_k(u)\chi_s)\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Тогда благодаря (4.22) получаем
\begin{equation}
\lim_{j\to \infty} \int_{\Omega_r} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j))-\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u))\bigr) \cdot\nabla(T_k(u^j)-T_k(u))\,d\mathrm{x}=0.
\end{equation}
\tag{4.27}
Отсюда, применяя лемму 4.9 с Q=\Omega_r, v=T_k(u), \mathrm{w}^j=\nabla T_k(u^j), \mathrm{w}=\nabla T_k(u), устанавливаем сходимость
\begin{equation*}
\nabla T_k(u^j)\to \nabla T_k(u) \quad\text{п.в. в }\ \Omega_r, \qquad j\to \infty,
\end{equation*}
\notag
а затем диагональным процессом получаем сходимость (4.24). Из сходимости (4.19) согласно теореме Банаха–Штейнгауза следует, что последовательность \{\nabla T_k(u^j)\}_{j\in \mathbb{N}} ограничена, т.е.
\begin{equation}
\|\nabla T_k(u^j)\|_M\leqslant C_7, \qquad j \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.28}
Из (4.20), (4.24) и непрерывности \mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}) по \mathbf s=(s_0,\mathrm{s}) заключаем, что
\begin{equation*}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j))\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)) \quad\text{п.в. в } \ \Omega, \qquad j\to\infty.
\end{equation*}
\notag
Отсюда и (4.21) по лемме 4.3 устанавливаем слабые сходимости
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j)\bigr)\rightharpoonup \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\bigr) \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_{\overline{M}},\mathrm{E}_{M}) \\ \text{в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to \infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.29}
Из (4.20) следует сходимость
\begin{equation*}
\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \to \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u), \nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to\infty,
\end{equation*}
\notag
а из (3.2) имеем оценку
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\overline{M}\bigl(\mathrm{x},|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s)|\bigr) \\ &\qquad\leqslant\Psi(\mathrm{x})+\widehat{A}P(\mathrm{x}, \widehat{d}k)+\widehat{A}M(\mathrm{x}, \widehat{d}s)\in L_1(\Omega),\qquad j\in \mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда по лемме 4.8 получаем сходимость
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \\ &\qquad \to \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \quad\text{модулярно в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Поскольку функция \overline{M} удовлетворяет \Delta_2-условию, то
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \to \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \\ &\quad\text{сильно в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega)=\mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.30}
Положим y^j=\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j))\cdot \nabla T_k(u^j), y=\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u))\cdot \nabla T_k(u), запишем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_{\Omega}y^j \, d\mathrm{x} &=\int_{\Omega}q^j_s(\mathrm{x})\,d\mathrm{x} +\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \cdot \bigl(\nabla T_k(u^j)-\nabla T_k(u)\chi_s\bigr)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j)\bigr) \cdot \nabla T_k(u)\chi_s\,d\mathrm{x} =I^j_{s1}+I^j_{s2}+I^j_{s3}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.31}
Применяя (4.19), (4.30), устанавливаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{j\to\infty}I^j_{s2} &=\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \cdot\nabla T_k(u)(1-\chi_s)\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\{\Omega\colon |\nabla T_k(u)|> s\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),0) \cdot\nabla T_k(u) \,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Ввиду того, что \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),0)\cdot\nabla T_k(u)\in L_1(\Omega) и \operatorname{meas}\{\Omega\colon |\nabla T_k(u)|> s\}\to 0, s\to \infty, имеем Благодаря (4.29) получаем
\begin{equation}
\lim_{s,j\to\infty}I_{s3}^j=\int_{\Omega}y \,d\mathrm{x}.
\end{equation}
\tag{4.33}
Соединяя (4.22), (4.31)–(4.33), устанавливаем сходимость
\begin{equation}
\int_{\Omega}y^j\,d\mathrm{x}\to \int_{\Omega}y \,d\mathrm{x}, \qquad j\to\infty,
\end{equation}
\tag{4.34}
пользуясь (4.20), (4.24), выводим сходимость Согласно неравенству (3.1) функции w^j=y^j+\phi, w=y+\phi неотрицательны, поэтому, применяя лемму 4.5, устанавливаем сходимость (4.26). Далее, учитывая (3.1), (4.26), применяя лемму 4.4 c v^j=M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla (T_k(u^j)-T_k(u))|/2), g^j=(y^j+y+2\phi)(\overline{a}2)^{-1}, получаем сходимость (4.25). Лемма доказана. Лемма 4.11. Пусть функции v^j, j\in \mathbb{N}, v\in L_{\infty}(\Omega) такие, что \{v^j\}_{j\in \mathbb{N}} ограничена в L_{\infty}(\Omega) и тогда v^j\rightharpoonup v, j\to\infty, в топологии \sigma(L_{\infty}, L_{1}) пространства L_{\infty}(\Omega).Если, кроме того, g из L_{M}(\Omega)(E_{M}(\Omega)), то Доказательство леммы 4.11 следует из теоремы Лебега. Ниже будет использоваться теорема Витали в следующей форме (см. [28; гл. III, § 6, теорема 15]). Лемма 4.12. Пусть v^j, j\in \mathbb{N}, v – измеримые функции в ограниченной области Q такие, что и интегралы равномерно абсолютно непрерывны, тогдаЛемма 4.13. Пусть v^j, j\in \mathbb{N}, v\in L_M(\Omega) и
\begin{equation*}
v^j\to v \quad\textit{модулярно в }\ L_{M}(\Omega), \qquad j\to\infty.
\end{equation*}
\notag
Тогда v^j\rightharpoonup v в топологии \sigma(L_{M}, L_{\overline{M}}) пространства L_M(\Omega). См. [25; лемма 2]. § 5. Доказательства теорем 3.1, 3.2 Доказательство теоремы 3.1. Шаг 1. Положим
\begin{equation*}
f^m(\mathrm{x})=T_m f(\mathrm{x})\chi_{\Omega(m)}, \qquad \Omega(m)=\{\mathrm{x}\in \Omega\colon |\mathrm{x}|<m\}, \quad m\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
Здесь и ниже \chi_Q – характеристическая функция множества Q. Несложно показать, что и при этом
\begin{equation}
|f^m(\mathrm{x})|\leqslant |f(\mathrm{x})|, \quad |f^m(\mathrm{x})|\leqslant m\chi_{ \Omega(m)}, \qquad \mathrm{x}\in \Omega, \quad m\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.2}
Рассмотрим уравнения
\begin{equation}
-\operatorname{div}\mathrm{a}^m(\mathrm{x},u,\nabla u) +a_0^m(\mathrm{x},u,\nabla u)=f^m(\mathrm{x}), \qquad \mathrm{x}\in \Omega, \quad m\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{5.3}
c функциями
\begin{equation*}
\mathrm{a}^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(s_0),\mathrm{s}), \qquad a_0^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=b^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})+M'(\mathrm{x},s_0).
\end{equation*}
\notag
Здесь
\begin{equation*}
\mathrm{a}^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}) =(a^m_1(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}),\dots,a^m_n(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})), \qquad b^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=T_mb(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\chi_{\Omega(m)}.
\end{equation*}
\notag
Очевидно, что
\begin{equation}
|b^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|\leqslant |b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|, \quad |b^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|\leqslant m\chi_{\Omega(m)}, \qquad \mathrm{x}\in\Omega, \quad (s_0,\mathrm{s})\in \mathbb{R}^{n+1}.
\end{equation}
\tag{5.4}
Кроме того, применяя (3.5), устанавливаем неравенство Определим оператор \mathbf A^m\colon \mathring{W}^1L_{M}(\Omega) \to{W}^{-1}L_{\overline{M}}(\Omega) c областью определения
\begin{equation*}
D(\mathbf A^m)=\{u\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega)\mid a^m_i(\mathrm{x},u, \nabla u)\in L_{\overline{M}}(\Omega),\,i=0,\dots,n\}
\end{equation*}
\notag
для любого v\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega) равенством
\begin{equation}
\langle\mathbf A^m(u),v\rangle=\bigl\langle \mathrm{a}^m(\mathrm{x},u, \nabla u)\cdot\nabla v\rangle+\langle a^m_0(\mathrm{x},u,\nabla u)v\bigr\rangle.
\end{equation}
\tag{5.6}
Обобщенным решением задачи (5.3), (1.2) является функция \mathring{W}^1L_{M}(\Omega), удовлетворяющая интегральному тождеству для любой функции v\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega). Справедлива Теорема 5.1. Если выполнены условия M, (2.14), то существует обобщенное решение задачи (5.3), (1.2). Доказательство теоремы 5.1 сводится к проверке условий [29; теорема]. По теореме 5.1 для каждого m\,{\in}\,\mathbb{N} существует обобщенное решение \mathring{W}^1L_{M}(\Omega) задачи (5.3), (1.2). Таким образом, для любой функции v\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega) выполняется интегральное равенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\bigl\langle (b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+M'(\mathrm{x},u^m)-f^m(\mathrm{x}))v\bigr\rangle \\ &\qquad\qquad +\langle \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m (u^m), \nabla u^m)\cdot\nabla v\rangle= 0, \qquad m\in\mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.8}
Шаг 2. В этом шаге установим априорные оценки для последовательности \{u^m\}_{m\in \mathbb{N}}. Положив в (5.8) v=T_{k,h} (u^m)=T_{k}(u^m-T_h(u^m)), h>k>0, будем иметь
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\{ h\leqslant|u^m|<k+h\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m)\cdot\nabla u^m \,d\mathrm{x} \\ &\qquad+\int_{\{ h\leqslant|u^m|\}}\bigl(b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+M'(\mathrm{x},u^m)\bigr)T_{k,h} (u^m)\,d\mathrm{x} \leqslant k\int_{\{|u^m|\geqslant h\}}|f^m|\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.9}
Благодаря (5.5) на множестве \{\Omega \colon h\leqslant |u^m|\} справедливо неравенство
\begin{equation*}
\bigl(b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+M'(\mathrm{x}, u^m)\bigr)T_{k,h} (u^m)\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
Учитывая это, из (5.9), применяя (5.2), выводим неравенство
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\{ h\leqslant|u^m|<k+h\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m)\cdot\nabla u^m \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\{ h\leqslant|u^m|<k+h\}}\bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr)|u^m-h\operatorname{sign} u^m |\,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +k\int_{\{|u^m|\geqslant k+h\}}\bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr) \,d\mathrm{x} \leqslant k\int_{\{|u^m|\geqslant h\}}|f|\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда следует неравенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\{ h\leqslant|u^m|<k+h\}} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m), \nabla u^m)\cdot\nabla u^m +\phi\bigr)\,d\mathrm{x} \notag \\ &\qquad\qquad +k\int_{\{|u^m|\geqslant k+h\}}\bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant \int_{\{ |u^m|\geqslant h\}}(k|f|+\phi)\,d\mathrm{x}\leqslant C_3k+C_4, \qquad m\in \mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.10}
Теперь в качестве пробной функции в (5.8) возьмем T_k (u^m), выполняя аналогичные преобразования, учитывая (2.4), устанавливаем неравенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\{ |u^m|<k\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m), \nabla T_k(u^m))\cdot\nabla u^m \,d\mathrm{x}+ \int_{\{ |u^m|< k\}}M(\mathrm{x},u^m) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +k\int_{\{ |u^m|\geqslant k\}}\bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr) \,d\mathrm{x}\leqslant C_3k, \qquad m\geqslant k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.11}
Отсюда, применяя (3.1), выводим
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\overline{a}\int_{\{ |u^m|<k\}}M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u^m|) \,d\mathrm{x}+ k\int_{\{ |u^m|\geqslant k\}}\bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\{ |u^m|< k\}}M(\mathrm{x},u^m)\,d\mathrm{x}\leqslant C_3k+C_4, \qquad m\geqslant k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.12}
Из оценки (5.12) имеем
\begin{equation}
\int_{\Omega}M(\mathrm{x},T_k(u^m))\,d\mathrm{x} =\int_{\{ |u^m|<k\}}M(\mathrm{x},u^m)\,d\mathrm{x} +\int_{\{ |u^m|\geqslant k\}}M(\mathrm{x},k)\,d\mathrm{x}
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad\leqslant\int_{\{ |u^m|<k\}}M(\mathrm{x},u^m)\,d\mathrm{x} +k\int_{\{ |u^m|\geqslant k\}}M'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x}\leqslant C_8(k), \qquad m\geqslant k,
\end{equation}
\tag{5.13}
\begin{equation}
\qquad \leqslant\int_{\{ |u^m|<k\}}M'(\mathrm{x},k)\,d\mathrm{x} +\int_{\{ |u^m|\geqslant k\}}M'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x}\leqslant C_9(k), \qquad m\geqslant k.
\end{equation}
\tag{5.14}
Кроме того, из (5.12) следует оценка
\begin{equation}
\int_{\{ |u^m|<k\}}M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u^m|) \,d\mathrm{x} =\int_{\Omega}M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla T_k (u^m)|)\,d\mathrm{x}\leqslant C_{10}(k), \qquad m\geqslant k.
\end{equation}
\tag{5.15}
Соединяя (5.4), (3.4), (5.15), для m\geqslant k выводим неравенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \int_{\{|u^m|<k\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant \widehat{b}(k)\int_{\{|u^m|<k\}} \bigl(M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u^m|)+\Phi_0(\mathrm{x})\bigr)\,d\mathrm{x} \leqslant C_{11}(k). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.16}
Из (5.16), (5.12) следует оценка
\begin{equation}
\|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\|_{1} \leqslant C_{12}(k), \qquad m\geqslant k.
\end{equation}
\tag{5.17}
Кроме того, из оценок (5.13), (5.15) выводим
\begin{equation}
\|T_k(u^m)\|_{M}+\|\nabla T_k(u^m)\|_{M} \leqslant C_{13}(k), \qquad m\geqslant k.
\end{equation}
\tag{5.18}
Шаг 3. Из оценки (5.12) по лемме 4.2 имеем
\begin{equation}
\operatorname{meas}\{ |u^m|\geqslant\rho\}\to 0 \quad\text{равномерно по }\ m\in\mathbb{N}, \qquad \rho\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.19}
Теперь установим сходимость по подпоследовательности:
\begin{equation}
u^m\to u \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.20}
Из оценки (5.18) следует ограниченность множества \{T_{\rho}(u^m)\}_{m\in \mathbb{N}} в пространстве \mathring{W}^1L_{M}(\Omega). Благодаря условию (2.14) по лемме 2.1 пространство \mathring{W}^1L_{M}(\Omega) компактно вложено в пространство L_P(\Omega(R)) для любой функции Музилака–Орлича P\in L_{1,\mathrm{loc}}(\overline{\Omega}), P\prec\prec M_*. Здесь L_{1,\mathrm{loc}}(\overline{\Omega}) – пространство, состоящее из функций v\colon \Omega\to\mathbb{R} таких, что v\in L_1(Q) для любого ограниченного множества Q\subset \Omega. Отсюда для любых фиксированных \rho, R>0 следует сходимость T_\rho (u^m) \to v_{\rho} в L_{P}(\Omega(R)), а также сходимость по подпоследовательности T_\rho(u^m)\to v_{\rho} почти всюду в \Omega(R). Далее, сходимость (5.20) устанавливается также, как в работе [19; 5.3]. Из сходимости (5.20) следует, что для любого k>0
\begin{equation}
T_k(u^m)\to T_k(u) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.21}
Из оценок (5.12)–(5.14) благодаря сходимостям (5.20), (5.21) устанавливаем
\begin{equation}
\operatorname{meas}\{ |u|\geqslant\rho\}\to 0, \qquad \rho\to \infty,
\end{equation}
\tag{5.22}
Докажем, что
\begin{equation}
M'(\mathrm{x},u^m)\to M'(\mathrm{x},u) \quad\text{в }\ L_{1,\mathrm{loc}}(\overline{\Omega}), \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.25}
Учитывая сходимость (5.20), имеем
\begin{equation}
M'(\mathrm{x},u^m)\to M'(\mathrm{x},u) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.26}
Из (5.10) при k=1 для любого h>0 получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\{\Omega \colon h\leqslant |u^m|<1+h\}}\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m)\cdot\nabla u^m+\phi(\mathrm{x})\bigr) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\{\Omega \colon |u^m|\geqslant h+1\}}\bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr) \, d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant \int_{\{\Omega \colon |u^m|\geqslant h\}}(|f|+\phi)\,d\mathrm{x}, \qquad m\in \mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Ввиду того, что f,\phi\in L_1(\Omega), и абсолютной непрерывности интеграла в правой части последнего неравенства, учитывая (5.19), для любого \varepsilon>0 можно выбрать достаточно большое h(\varepsilon)>1 такое, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{\{\Omega \colon h-1\leqslant |u^m|<h\}} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m) \cdot\nabla u^m+\phi(\mathrm{x})\bigr) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\{\Omega \colon |u^m|\geqslant h\}} \bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr)\,d\mathrm{x} <\frac{\varepsilon}{2}, \qquad m\in\mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.27}
Пусть Q – произвольное ограниченное подмножество \Omega, для любого измеримого множества E\subset Q имеем
\begin{equation}
\int_E M'(\mathrm{x},|u^m|)d\mathrm{x} \leqslant \int_{ \{E\colon |u^m|<h\}}M'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x} +\int_{\{\Omega\colon |u^m|\geqslant h\}}M'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x}.
\end{equation}
\tag{5.28}
Из принадлежности M'(\mathrm{x}, z)\in L_1(\Omega) при каждом фиксированном z\in \mathbb{R} имеем
\begin{equation}
\int_{\{E\colon |u^m|<h\}}M'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x} \leqslant \int_{E}M'(\mathrm{x},h)\,d\mathrm{x}<\frac{\varepsilon}{2}
\end{equation}
\tag{5.29}
для любого E такого, что \operatorname{meas}E<\alpha(\varepsilon). Объединяя (5.27)–(5.29), устанавливаем
\begin{equation*}
\int_E M'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x}< \varepsilon \quad \forall\,E \quad\text{такого, что }\ \operatorname{meas}E<\alpha(\varepsilon), \qquad m\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда следует, что интегралы \displaystyle\int_QM'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x}, m\in \mathbb{N}, равномерно абсолютно непрерывны, по лемме 4.12 имеет место сходимость
\begin{equation*}
M'(\mathrm{x},|u^m|)\to M'(\mathrm{x},|u|) \quad\text{в }\ L_{1}(Q), \qquad m\to \infty.
\end{equation*}
\notag
Ввиду произвольности Q\subset\Omega сходимость (5.25) доказана. Шаг 4. Покажем, что T_k (u)\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega) для любого k>0. Ограниченность множества \{T_k(u^m)\}_{m\in \mathbb{N}} в пространстве \mathring{W}^1L_{M}(\Omega) позволяет выделить слабо сходящуюся по топологии \sigma(\mathbf L_M,\mathbf E_{\overline{M}}) в \mathring{W}^1L_{M}(\Omega) подпоследовательность T_k (u^m)\rightharpoonup v_k, m\to \infty, причем v_k\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega). Непрерывность естественного отображения \mathring{W}^1L_{M}(\Omega)\to \mathbf L_{M}(\Omega) влечет слабую сходимость
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \nabla T_k (u^m)\rightharpoonup \nabla v_{k} \quad\text{по топологии }\ \sigma({\mathrm{L}}_M,{\mathrm{E}}_{\overline{M}}) \quad\text{в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad m\to \infty, \\ T_k (u^m)\rightharpoonup v_{k} \quad\text{по топологии }\ \sigma(L_M,E_{\overline{M}}) \quad\text{в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad m\to \infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Пользуясь сходимостью (5.21), применяя лемму 4.3, имеем слабую сходимость
\begin{equation*}
T_k (u^m)\rightharpoonup T_k(u) \quad\text{по топологии }\ \sigma(L_M,E_{\overline{M}}) \quad\text{в }\ L_{M}(\Omega), \qquad m\to \infty.
\end{equation*}
\notag
Отсюда получаем равенство v_k=T_k(u)\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega), следовательно,
\begin{equation}
\nabla T_k (u^m)\rightharpoonup \nabla T_k(u) \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_M,\mathrm{E}_{\overline{M}}) \quad\text{в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.30}
Шаг 5. Докажем сходимости
\begin{equation}
\nabla T_k(u^m)\to \nabla T_k(u) \quad\text{модулярно в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad m\to \infty,
\end{equation}
\tag{5.31}
\begin{equation}
\begin{split} &\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) \cdot \nabla T_k(u^m) \\ &\qquad \to\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u))\cdot \nabla T_k(u)\quad\text{в }\ L_{1}(\Omega), \qquad m\to \infty. \end{split}
\end{equation}
\tag{5.32}
Пусть \mathrm{w}\in \mathrm{E}_M(\Omega) произвольный, из условия (3.3) следует неравенство
\begin{equation}
\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) -\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\mathrm{w})\bigr) \cdot(\nabla T_k(u^m)-\mathrm{w})\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{5.33}
Отсюда получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\cdot\mathrm{w}\,d\mathrm{x} \leqslant \int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\cdot\nabla T_k(u^m)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad -\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\mathrm{w}) \cdot(\nabla T_k(u^m)-\mathrm{w})\,d\mathrm{x} . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.34}
Далее, применяя (3.2), выводим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int_{\Omega} \overline{M}(\mathrm{x},|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\mathrm{w})|)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant \|\Psi\|_1+\widehat{A}\int_{\Omega}P(\mathrm{x}, \widehat{d}k)\,d\mathrm{x} +\widehat{A}\int_{\Omega}M(\mathrm{x}, \widehat{d}|\mathrm{w}|))\,d\mathrm{x}= C_{14}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда, применяя (2.10), устанавливаем оценку
\begin{equation}
\|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\mathrm{w})\|_{\overline{M}}\leqslant C_{15}.
\end{equation}
\tag{5.35}
Соединяя (5.34), (5.11), (5.18), (5.35), получаем оценку
\begin{equation*}
\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) \cdot\mathrm{w}\,d\mathrm{x}\leqslant C_{16} \quad \forall\,\mathrm{w}\in \mathrm{E}_M(\Omega).
\end{equation*}
\notag
Применяя принцип равномерной ограниченности, при любом k>0 имеем оценку
\begin{equation}
\|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\|_{_{\overline{M}}} \leqslant C_{17}(k), \qquad m\geqslant k.
\end{equation}
\tag{5.36}
Из оценки (5.36) следует сходимость по подпоследовательности
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\rightharpoonup \widetilde{\mathrm{a}}_k \\ \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_{\overline{M}},\mathrm{E}_{M}) \quad\text{в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to \infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.37}
Для положительных вещественных чисел m, j, \delta, \varepsilon, s обозначим через \omega(m,j,\delta,\varepsilon,s) любую величину такую, что
\begin{equation*}
\lim_{s\to +\infty}\lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{\delta\to 0}\lim_{j\to+\infty} \lim_{m\to +\infty} \omega(m,j,\delta,\varepsilon,s)=0.
\end{equation*}
\notag
Пусть h,k, h-1>k>0. Согласно лемме 2.2 существует последовательность v^j\in C_0^{\infty}(\Omega):
\begin{equation*}
v^j\to T_k(u) \quad\text{модулярно в }\ \mathring{W}^1L_{M}(\Omega), \qquad j\to \infty.
\end{equation*}
\notag
Тогда
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag T_k(v^j)\to T_k(u) \quad\text{модулярно в }\ \mathring{W}^1L_{M}(\Omega), \qquad j\to \infty, \\ T_k(v^j)\to T_k(u), \quad \nabla T_k(v^j)\to \nabla T_k(u) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to \infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.38}
Кроме того, согласно лемме 4.13 имеем
\begin{equation}
\nabla T_k(v^j)\rightharpoonup \nabla T_k(u) \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_M,\mathrm{L}_{\overline{M}}), \qquad j\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.39}
Полагаем
\begin{equation*}
z^{mj}=T_k(u^m)-T_k(v^j), \quad z^{j}=T_k(u)-T_k(v^j), \qquad m,j\in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
\varphi_k(\rho)=\rho\exp(\gamma^2\rho^2), где \gamma={\widehat{b}(k)}/{\overline{a}}. Очевидно, что
\begin{equation*}
\psi_k(\rho)=\varphi'_k(\rho)-\gamma|\varphi_k(\rho)|\geqslant \frac78, \qquad \rho\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда следуют неравенства
\begin{equation}
\frac78\leqslant \psi_k(z^{mj})\leqslant \max_{[-2k,2k]}\psi_k(\rho)=C_{18}(k), \quad m,j\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.40}
\begin{equation}
\varphi_k(z^{mj})\to \varphi_k(z^{j}), \quad\varphi'_k(z^{mj})\to \varphi'_k(z^{j}), \quad \psi_k(z^{mj})\to\psi_k(z^{j})
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\varphi_k(z^{j})\to \varphi_k(0)=0, \quad \varphi'_k(z^{j})\to \varphi'_k(0)=1, \quad \psi_k(z^{j})\to\psi_k(0)=1
\end{equation}
\notag
а также
\begin{equation}
|\varphi_k(z^{mj})|\leqslant \varphi_k(2k), \quad 1\leqslant\varphi_k'(z^{mj})\leqslant \varphi_k'(2k), \qquad m,j\in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{5.43}
\begin{equation}
|\varphi_k(z^{j})|\leqslant \varphi_k(2k), \quad 1\leqslant\varphi_k'(z^{j})\leqslant \varphi_k'(2k), \qquad j\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.44}
Применяя (5.41), (5.43), (5.42), (5.44), по лемме 4.11 устанавливаем сходимости:
\begin{equation}
\varphi_k(z^{mj})\rightharpoonup \varphi_k(z^j) \quad\text{в топологии }\sigma(L_{\infty}, L_{1}) \text{ пространства }L_{\infty}(\Omega), \qquad m\,{\to}\,\infty,
\end{equation}
\tag{5.45}
\begin{equation}
\varphi_k(z^{j})\rightharpoonup 0 \quad\text{в топологии }\sigma(L_{\infty}, L_{1}) \text{ пространства }L_{\infty}(\Omega), \qquad j\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.46}
Положим \zeta(r)=\min(1,\max(0,r)), \eta_{h}(r)=\zeta(h-r+1), \eta_{s,\varepsilon}(r)=\zeta((s-r)/\varepsilon+1), \nu_{k,\delta}(r)=\zeta((r-k)/\delta+1), r\in \mathbb{R}. Очевидно, что
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \eta_{s,\varepsilon}(|r|)\to\chi(\{|r|\leqslant s\}) \quad\text{в }\ \mathbb{R}, \qquad \varepsilon\to 0, \\ \nu_{k,\delta}(|r|)\to\chi(\{|r|\geqslant k\}) \quad\text{в }\ \mathbb{R}, \qquad \delta\to 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Для краткости записи будем использовать обозначения \eta_{h-1}^m(\mathrm{x})=\eta_{h-1}(|u^m|), \widetilde{\eta}_{h-1}(\mathrm{x})=\eta_{h-1}(|u|), \eta_{s,\varepsilon}^j(\mathrm{x})=\eta_{s,\varepsilon}(|\nabla T_k(v^j)|), \widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}(\mathrm{x})=\eta_{s,\varepsilon}(|\nabla T_k(u)|), \nu_{k,\delta}^m(\mathrm{x})=\nu_{k,\delta}(|u^m|), \widetilde{\nu}_{k,\delta}(\mathrm{x})=\nu_{k,\delta}(|u|). Из (5.20), (5.38) следуют сходимости:
\begin{equation}
\eta_{h-1}^m\to\widetilde{\eta}_{h-1} \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to \infty,
\end{equation}
\tag{5.47}
\begin{equation}
\eta_{s,\varepsilon}^j\to\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon} \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to \infty,
\end{equation}
\tag{5.48}
\begin{equation}
\nu_{k,\delta}^m\to\widetilde{\nu}_{k,\delta} \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.49}
Принимая в качестве тестовой функции в (5.8) \varphi_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m, получим
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)) \cdot \nabla ( \varphi_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\Omega}b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m) \varphi_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\Omega}M'(\mathrm{x},u^m)\varphi_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad -\int_{\Omega}f^m\varphi_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x}=I_1+I_2+I_3+I_4=0, \qquad m\geqslant h. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.50}
Оценки интегралов I_2–I_4. Ввиду неравенства |M'(\mathrm{x},u^m)|\eta_{h-1}^m\leqslant M'(\mathrm{x},h)\in L_1(\Omega), сходимостей (5.45), (5.46) имеем
\begin{equation}
|I_3|\leqslant\int_{\Omega}M'(\mathrm{x},h)|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} =\omega(m)+\int_{\Omega}M'(\mathrm{x},h)|\varphi_k(z^{j})|\,d\mathrm{x} =\omega_h(m,j).
\end{equation}
\tag{5.51}
Аналогично, благодаря (5.2) ввиду f\in L_1(\Omega) получаем
\begin{equation}
|I_4|\leqslant\int_{\Omega}|f|\,|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} =\omega(m)+\int_{\Omega}|f|\,|\varphi_k(z^{j})|\,d\mathrm{x}=\omega(m,j).
\end{equation}
\tag{5.52}
Очевидно, что z^{mj}u^m\geqslant0 при |u^m|\geqslant k, поэтому ввиду (5.5) имеем
\begin{equation*}
b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\varphi_k(z^{mj})\geqslant 0 \quad\text{при }\ |u^m|\geqslant k.
\end{equation*}
\notag
Учитывая это и применяя (5.4), (3.4), оценим интегралы
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -I_2 &\leqslant\int_{\{\Omega\colon |u^m|<k\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} \\ &\leqslant\widehat{b}(k)\int_{\Omega} \bigl(M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla T_k (u^m)|)+\Phi_0(\mathrm{x})\bigr)|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x}, \qquad m\in \mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Используя (3.1), выводим
\begin{equation}
\begin{aligned} \, -I_2 &\leqslant\frac{\widehat{b}(k)}{\overline{a}}\int_{\Omega} \bigl(\overline{a}\Phi_0(\mathrm{x})+\phi(\mathrm{x})\bigr)|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\frac{\widehat{b}(k)}{\overline{a}} \int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) \cdot \nabla T_k(u^m) |\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x}=I_{21}+I_{22}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.53}
\begin{equation}
I_{21}=\frac{\widehat{b}(k)}{\overline{a}}\int_{\Omega} \bigl(\overline{a}\Phi_0(\mathrm{x})+\phi(\mathrm{x})\bigr)|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} =\omega(m,j).
\end{equation}
\tag{5.54}
Положим I_1=I_{11}-I_{12}, где
\begin{equation*}
I_{12}=\int_{\{\Omega\colon h-1\leqslant |u^m|<h\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)) \cdot \nabla u^m |\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x}.
\end{equation*}
\notag
Теперь, используя оценки интегралов (5.51)–(5.54), из (5.50) выводим неравенства
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_5 &=I_{11}-I_{22}=(I_{1}+I_{2})+I_{12}-I_{22}-I_{2}=-(I_{3}+I_{4})+I_{12}+\omega(m,j) \\ &=\omega_h(m,j)+I_{12}, \qquad m\geqslant h. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.55}
Используя (5.43), оценим интегралы
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |I_{12}| &\leqslant \varphi_k(2k)\int_{\{\Omega\colon h-1\leqslant|u^m|<h\}} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m) \cdot \nabla u^m+\phi\bigr)\, d\mathrm{x} \\ &\qquad +\varphi_k(2k)\int_{\{\Omega\colon h-1\leqslant|u^m|<h\}}\phi\,d\mathrm{x}, \qquad m\geqslant h. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Благодаря (5.27) имеем Соединяя (5.55), (5.56), устанавливаем неравенства
\begin{equation}
I_5 \leqslant \omega(h)+\omega_h(m,j), \qquad m\geqslant h.
\end{equation}
\tag{5.57}
Представление I_5. Выполняя элементарные преобразования, выводим равенства
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_5 &=\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)\bigr) \cdot \nabla T_k(u^m) \varphi'_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad -\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)\bigr) \cdot \nabla T_k(v^j) \varphi'_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} \\ &\qquad -\frac{\widehat{b}(k)}{\overline{a}}\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)\bigr) \cdot \nabla T_k(u^m) |\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)\bigr)\cdot \nabla T_k(u^m) \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad -\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)\bigr) \cdot \nabla T_k(v^j) \varphi'_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)\bigr) \cdot \bigl(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\bigr) \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)\bigr)\cdot \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad-\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)\bigr)\cdot \nabla T_k(v^j) \varphi'_k(z^{mj})\eta_{s,\varepsilon}^j\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)\bigr)\cdot \nabla T_k(v^j)(\eta_{s,\varepsilon}^j-1) \varphi'_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Очевидно равенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_5 &=\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)\bigr)\cdot \bigl(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\bigr) \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad -\frac{\widehat{b}(k)}{\overline{a}}\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)\bigr) \cdot \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j |\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} \\ &\qquad+\int_{\Omega}\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))-\eta^m_{h-1} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m))\bigr) \notag \\ &\qquad\qquad \times \nabla T_k(v^j)\nu_{k,\delta}^m\eta_{s,\varepsilon}^j \varphi'_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad+\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)\bigr)\cdot \nabla T_k(v^j)(\eta_{s,\varepsilon}^j-1) \varphi'_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} \\ &=I_{51}+I_{52}+I_{53}+I_{54}, \qquad m\geqslant h. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.58}
Оценки интегралов I_{52}–I_{54}. Применяя (5.41), (5.43), лемму 4.11 c g=\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\in \mathrm{E}_M(\Omega), получаем
\begin{equation*}
\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j|\varphi_k(z^{mj})|\to\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j|\varphi_k(z^{j})| \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_M(\Omega), \qquad m\to\infty.
\end{equation*}
\notag
Отсюда ввиду сходимости (5.37) устанавливаем
\begin{equation*}
I_{52}=-\frac{\widehat{b}(k)}{\overline{a}} \int_{\Omega}\widetilde{\mathrm{a}}_k\cdot \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j |\varphi_k(z^{j})|\,d\mathrm{x}+\omega(m).
\end{equation*}
\notag
Применяя (5.42), (5.44), (5.48), лемму 4.11 c g=\widetilde{\mathrm{a}}_k\in\mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega) =\mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), получаем
\begin{equation*}
\widetilde{\mathrm{a}}_k|\varphi_k(z^{j})|\eta_{s,\varepsilon}^j\to \widetilde{\mathrm{a}}_k |\varphi_k(0)|\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}=0 \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to\infty.
\end{equation*}
\notag
Отсюда ввиду сходимости (5.39) имеем Применяя (5.41), (5.43), (5.49), лемму 4.11 c g=\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\in \mathrm{E}_M(\Omega), получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\varphi'_k(z^{mj})\nu_{k,\delta}^m \to \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j \varphi'_k(z^{j})\widetilde{\nu}_{k,\delta} \\ &\quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_M(\Omega), \qquad m\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда ввиду сходимости (5.37) устанавливаем
\begin{equation*}
I_{53}=\int_{\Omega}(\widetilde{\mathrm{a}}_k -\widetilde{\eta}_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h)\cdot \nabla T_k(v^j)\widetilde{\nu}_{k,\delta}\eta_{s,\varepsilon}^j \varphi'_k(z^{j})\,d\mathrm{x}+\omega(m).
\end{equation*}
\notag
Далее, применяя (5.42), (5.44), (5.48), лемму 4.11 c g=(\widetilde{\mathrm{a}}_k-\widetilde{\eta}_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h)\in \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega)=\mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(\widetilde{\mathrm{a}}_k-\widetilde{\eta}_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h) \varphi'_k(z^{j})\widetilde{\nu}_{k,\delta}\eta_{s,\varepsilon}^j \to (\widetilde{\mathrm{a}}_k-\widetilde{\eta}_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h) \widetilde{\nu}_{k,\delta}\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon} \\ &\quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда ввиду сходимости (5.39) имеем
\begin{equation*}
I_{53}=\int_{\Omega}(\widetilde{\mathrm{a}}_k-\eta_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h)\cdot \nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}\widetilde{\nu}_{k,\delta}\,d\mathrm{x}+\omega(m,j).
\end{equation*}
\notag
Учитывая (\widetilde{\mathrm{a}}_k-\eta_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h)\cdot \nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}\in L_1(\Omega), выполняем предельный переход при \delta \to 0, выводим
\begin{equation}
I_{53}=\int_{\Omega}(\widetilde{\mathrm{a}}_k-\eta_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h)\cdot \nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}\chi(\{|u|\geqslant k\})\,d\mathrm{x}+\omega(m,j,\delta) =\omega(m,j,\delta).
\end{equation}
\tag{5.60}
Далее, применяя (5.41), (5.43), (5.47), лемму 4.11 c g=\nabla T_k(v^j)(\eta_{s,\varepsilon}^j-1)\in \mathrm{E}_M(\Omega), получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\nabla T_k(v^j)(\eta_{s,\varepsilon}^j-1)\varphi'_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m \to \nabla T_k(v^j)(\eta_{s,\varepsilon}^j-1) \varphi'_k(z^{j})\widetilde{\eta}_{h-1} \\ &\quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_M(\Omega), \qquad m\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда ввиду сходимости (5.37) устанавливаем
\begin{equation*}
I_{54}=\int_{\Omega}\widetilde{\mathrm{a}}_h\cdot \nabla T_k(v^j)(\eta_{s,\varepsilon}^j-1) \varphi'_k(z^{j})\widetilde{\eta}_{h-1}\,d\mathrm{x}+\omega(m).
\end{equation*}
\notag
Применяя (5.42), (5.44), (5.48), лемму 4.11 c g=\widetilde{\mathrm{a}}_h\in \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega)=\mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), получаем
\begin{equation*}
\widetilde{\mathrm{a}}_h\varphi'_k(z^{j})(\eta_{s,\varepsilon}^j-1)\widetilde{\eta}_{h-1}\to \widetilde{\mathrm{a}}_h (\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}-1)\widetilde{\eta}_{h-1} \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to\infty.
\end{equation*}
\notag
Отсюда ввиду сходимости (5.39) имеем
\begin{equation*}
I_{54}=\int_{\Omega}\widetilde{\mathrm{a}}_h\cdot \nabla T_k(u)(\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}-1)\,d\mathrm{x}+\omega(m,j).
\end{equation*}
\notag
Ввиду того, что \widetilde{\mathrm{a}}_h\cdot \nabla T_k(u) \in L_1(\Omega), имеем
\begin{equation}
I_{54}=\int_{\Omega}\widetilde{\mathrm{a}}_h\cdot \nabla T_k(u)(\chi_s-1)\, d\mathrm{x}+\omega(m,j,\varepsilon)=\omega(m,j,\varepsilon,s).
\end{equation}
\tag{5.61}
Из (5.57)–(5.61), поскольку I_{51} не зависит от h, следует, что
\begin{equation}
I_{51}\leqslant \omega_h(m,j)+\omega(m,j,\delta,\varepsilon,s)+\omega(h).
\end{equation}
\tag{5.62}
Оценим интеграл
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_6 &=\int_{\Omega}\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))-\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\bigr) \\ &\qquad\times(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) \cdot(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad -\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\cdot (\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \notag \\ &=I_{51}-I_{61}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.63}
Из (5.21) следует сходимость
\begin{equation*}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u), \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to\infty,
\end{equation*}
\notag
а из (3.2) имеем оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\overline{M}(\mathrm{x},|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)|) \\ &\qquad \leqslant\widehat{A}M(\mathrm{x},\widehat{d}(s+1))+\widehat{A}P(\mathrm{x},\widehat{d} k)+\Psi(\mathrm{x}) \in L_1(\Omega), \qquad \varepsilon<1, \quad m,j\in \mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда по лемме 4.8 получаем сходимость
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \\ &\quad\text{модулярно в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Поскольку функция \overline{M} удовлетворяет \Delta_2-условию, то \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega)=\mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega) и
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \\ &\quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.64}
Аналогично устанавливаются сходимости
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u)\chi_s) \to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to\infty,
\end{equation}
\tag{5.65}
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\,{\to}\,\infty,
\end{equation}
\tag{5.66}
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon})\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad \varepsilon\to 0,
\end{equation}
\tag{5.67}
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s) \to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad s\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.68}
Из (5.64), (5.66)–(5.68), применяя (5.40)–(5.42), (5.48), (5.49), получаем
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\psi_k(z^{mj})
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\psi_k(z^{j}) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to\infty,
\end{equation}
\tag{5.69}
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\psi_k(z^{j})
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad \to\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to\infty,
\end{equation}
\tag{5.70}
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon})(1-\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon})
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s)(1-\chi_s) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad \varepsilon\to 0,
\end{equation}
\tag{5.71}
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s)(1-\chi_s)\to 0 \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad s\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.72}
Применяя (5.69), (5.30), выводим
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_{61}=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \cdot(\nabla T_k(u)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \psi_k(z^{j})\,d\mathrm{x}+\omega(m), \\ j\in \mathbb{N}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Из (5.38), (5.48) благодаря лемме 4.8 устанавливаем
\begin{equation*}
\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\to \nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon} \quad\text{модулярно в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad j\to\infty.
\end{equation*}
\notag
Отсюда согласно лемме 4.13 имеем
\begin{equation}
\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\rightharpoonup \nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon} \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_M,\mathrm{L}_{\overline{M}}), \qquad j\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.73}
Применяя (5.70), (5.73), (5.71), выводим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{61}&=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}) \cdot\nabla T_k(u)(1-\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}) \, d\mathrm{x}+\omega(m,j) \\ &=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s) \cdot\nabla T_k(u)(1-\chi_s)\, d\mathrm{x}+\omega(m,j,\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Наконец, благодаря (5.72) получаем Соединяя (5.63), (5.74), (5.62) и применяя (5.40), выводим
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_7&=\int_{\Omega}\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))-\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\bigr) \\ &\qquad\times(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\, d\mathrm{x} \leqslant \frac87 I_6 \\ &\leqslant \omega_h(m,j)+\omega(m,j,\delta, \varepsilon,s)+\omega(h). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.75}
Используя обозначение (4.23), имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0 &\leqslant \int_{\Omega}q^m_s(\mathrm{x})\, d\mathrm{x} \\ &=I_7+\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) \cdot(\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j-\nabla T_k(u)\chi_s)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad -\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u)\chi_s) \cdot(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(u)\chi_s) \, d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \cdot(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\,d\mathrm{x} \\ &=I_7+I_{71}+I_{72}+I_{73}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.76}
Оценки интегралов I_{71}–I_{73}. Ввиду сходимостей (5.37), (5.73) имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_{71} &=\int_{\Omega}\widetilde{\mathrm{a}}_k\cdot(\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j-\nabla T_k(u)\chi_s)\,d\mathrm{x}+\omega(m) \\ &=\int_{\Omega}\widetilde{\mathrm{a}}_k\cdot\nabla T_k(u)(\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}-\chi_s)\,d\mathrm{x}+\omega(m,j)=\omega(m,j,\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.77}
Применяя (5.30), (5.65), получаем
\begin{equation*}
I_{72}=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s) \cdot\nabla T_k(u)(\chi_s-1) \,d\mathrm{x}+\omega(m).
\end{equation*}
\notag
Отсюда ввиду сходимости (5.72) выводим Интеграл I_{73} оценивается так же, как интеграл I_{61}, Соединяя (5.75)–(5.79), получаем
\begin{equation*}
\int_{\Omega}q^m_s(\mathrm{x})\,d\mathrm{x} \leqslant \omega_h(m,j) +\omega(m,j,\delta,\varepsilon, s)+\omega(h), \qquad m\geqslant h.
\end{equation*}
\notag
Ввиду того, что левая часть последнего неравенства не зависит от j,\delta,\varepsilon,h, переходя последовательно к пределам по m\to\infty, j\to\infty, \delta\to 0, \varepsilon\to 0, s\to\infty, устанавливаем соотношение
\begin{equation*}
\lim_{s\to \infty}\lim_{m\to \infty}\int_{\Omega}q^m_s(\mathrm{x})\, d\mathrm{x}\leqslant \omega(h).
\end{equation*}
\notag
Выполняя предельный переход при h\to\infty, выводим соотношение
\begin{equation*}
\lim_{s\to \infty}\lim_{m\to \infty}\int_{\Omega}q^m_s(\mathrm{x})\, d\mathrm{x}=0.
\end{equation*}
\notag
По лемме 4.10 имеем сходимости (5.31), (5.32) и сходимость
\begin{equation}
\nabla T_k(u^m)\to \nabla T_k(u) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.80}
Далее, так же, как в [19; 5.5], устанавливается сходимость по подпоследовательности
\begin{equation}
\nabla u^m\to \nabla u \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.81}
Шаг 6. Используя оценку (5.36) и сходимости (5.21), (5.80), по лемме 4.3 устанавливаем слабую сходимость
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\rightharpoonup \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)) \quad\text{в топологии } \ \sigma(\mathrm{L}_{\overline{M}}, \mathrm{E}_{M}) \\ \quad\text{пространства }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to \infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.82}
Из непрерывности b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}) по (s_0,\mathrm{s}) и сходимостей (5.20), (5.81) следует, что
\begin{equation}
b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\to b(\mathrm{x},u, \nabla u) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.83}
Из оценки (5.17) ввиду (5.83) согласно лемме Фату заключаем, что Таким образом, условие 1) определения 3.1 выполнено. Установим сходимость
\begin{equation}
b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\to b(\mathrm{x},u,\nabla u) \quad\text{в }\ L_{1,\mathrm{loc}}(\overline{\Omega}), \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.85}
Пусть Q – произвольное ограниченное подмножество \Omega. Для любого измеримого множества E\subset Q имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_E |b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant \int_{ \{E\colon |u^m|<h\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x} +\int_{\{\Omega\colon |u^m|\geqslant h\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.86}
Применяя (5.4), (3.4), (3.1), выводим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\{E\colon |u^m|<h\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x} \leqslant \widehat{b}(h)\int_{ \{E\colon |u^m|<h\}}\bigl(M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u^m|) +\Phi_0(\mathrm{x})\bigr)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant\frac{ \widehat{b}(h)}{\overline{a}}\int_{E} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)) \cdot \nabla T_h(u^m)+\phi\bigr)\,d\mathrm{x} +\widehat{b}(h)\int_{E}\Phi_0(\mathrm{x})\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Ввиду того, что \Phi_0, \phi\in L_1(E), сходимости (5.32) и абсолютной непрерывности интегралов в правой части последнего неравенства для любого \varepsilon>0 найдется такое \alpha(\varepsilon), что для любого E такого, что \operatorname{meas}E<\alpha(\varepsilon), выполнены неравенства
\begin{equation}
\int_{ \{E\colon |u^m|<h\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x}<\frac{\varepsilon}{2}, \qquad m\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.87}
Объединяя (5.27), (5.86), (5.87), устанавливаем
\begin{equation*}
\int_E |b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x}< \varepsilon \quad \forall\,E \quad\text{такого, что }\ \operatorname{meas}E<\alpha(\varepsilon), \qquad m\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда следует, что последовательность \{b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\}_{m\in \mathbb{N}} имеет равномерно абсолютно непрерывные интегралы по множеству Q. По лемме 4.12 устанавливаем сходимость
\begin{equation*}
b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\to b(\mathrm{x},u,\nabla u) \quad\text{в } \ L_{1}(Q), \qquad m\to \infty,
\end{equation*}
\notag
для любого ограниченного множества Q\subset \Omega. Сходимость (5.85) доказана. Шаг 7. Чтобы доказать неравенство (3.9), в тождестве (5.8) возьмем пробную функцию v=T_k(u^m-\xi), \xi\in C_0^1(\Omega), получим соотношение
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m) \cdot\nabla T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\Omega} \bigl(b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m) +M'(\mathrm{x},u^m)-f^m\bigr)T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x}=I^m+J^m. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.88}
Положим \widehat{k}=k+\|\xi\|_{\infty}, если |u^m|\geqslant \widehat{k}, то |u^m-\xi|\geqslant |u^m|-\|\xi\|_{\infty}\geqslant k, поэтому \{\Omega\colon |u^m-\xi|< k\}\subseteq \{\Omega\colon |u^m|< \widehat{k}\}, следовательно
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I^m &=\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m) \cdot\nabla T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\{\Omega\colon |u^m-\xi|< k\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m) \cdot\nabla (u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\{\Omega\colon |u^m-\xi|< k\}} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)-\mathrm{a}(\mathrm{x},u^m,\nabla \xi)\bigr) \cdot \nabla (u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\{\Omega\colon |u^m-\xi|< k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},u^m,\nabla \xi) \cdot\nabla (u^m-\xi)\,d\mathrm{x}\geqslant \\ &\geqslant \int_{\Omega}\eta_{k-\varepsilon,\varepsilon}(|u^m-\xi|) \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)-\mathrm{a}(\mathrm{x},u^m,\nabla \xi)\bigr) \cdot \nabla (u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\widehat{k}}(u^m),\nabla \xi) \cdot\nabla T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x} =I^{m\varepsilon}_1+I^m_2, \qquad m\geqslant \widehat{k}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.89}
Далее, из сходимостей (5.20), (5.81), условия (3.3) ввиду непрерывности функции \mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}) по (s_0,\mathrm{s}) по лемме Фату устанавливаем неравенство
\begin{equation*}
\lim_{m\to \infty}\inf I^{m\varepsilon}_1\geqslant \int_{\Omega}\eta_{k-\varepsilon,\varepsilon}(|u-\xi|) \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)-\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla \xi)\bigr) \cdot\nabla (u-\xi)\,d\mathrm{x} .
\end{equation*}
\notag
Поскольку \eta_{k-\varepsilon,\varepsilon}(|u-\xi|)\to\chi(\{|u-\xi|< k\}) в \Omega, \varepsilon\to 0, то предельным переходом получаем неравенство
\begin{equation}
\lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{m\to \infty}\inf I^{m\varepsilon}_1 \geqslant \int_{\Omega}\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\widehat{k}}(u),\nabla T_{\widehat{k}}(u))\,{-}\,\mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\widehat{k}}(u),\nabla \xi)\bigr) \cdot\nabla T_k(u\,{-}\,\xi)\,d\mathrm{x}.
\end{equation}
\tag{5.90}
По лемме 4.8 имеем сходимость
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\widehat{k}}(u^m),\nabla\xi)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\widehat{k}}(u),\nabla \xi) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega) =\mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.91}
Пусть v^m=u^m-\xi, v=u-\xi. Так как в множестве, где |v^m|\to k при m\to\infty имеем |v|= k, то \nabla v=0. Отсюда заключаем:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\nabla T_k(v^m)-\nabla T_k(v)=\chi_{\{\Omega\colon |v^m|<k\}}(\nabla v^m-\nabla v) \\ &\qquad\qquad +\bigl(\chi_{\{\Omega\colon |v^m|<k\}}-\chi_{\{\Omega\colon |v|<k\}}\bigr)\nabla v\to 0 \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.92}
Очевидно, что
\begin{equation*}
|\nabla T_k(u^m-\xi)|\leqslant |\nabla T_{\widehat{k}}(u^m)|+|\nabla \xi|, \qquad \mathrm{x}\in \Omega, \quad m\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
Тогда из оценки (5.18) следует ограниченность последовательности \{\nabla T_k(u^m-\xi)\}_{m\in \mathbb{N}} в \mathrm{L}_{M}(\Omega). Отсюда, применяя (5.92), пользуясь леммой 4.3, при любом k>0 имеем
\begin{equation}
\nabla T_k(u^m-\xi)\rightharpoonup \nabla T_k(u-\xi) \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_{M},\mathrm{E}_{\overline{M}}) \quad\text{в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad m\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.93}
Соединяя (5.89)–(5.93), заключаем:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lim_{m\to \infty}\inf I^m &\geqslant \int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\widehat{k}}(u),\nabla T_{\widehat{k}}(u)) \cdot\nabla T_k(u-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla T_k(u-\xi)\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.94}
Из сходимости (5.20) по лемме 4.11 имеем
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag T_k(u^m-\xi)\rightharpoonup T_k(u-\xi) \quad\text{в топологии }\ \sigma(L_{\infty}, L_{1}) \quad\text{пространства}\ L_{\infty}(\Omega), \\ m\to \infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.95}
Интеграл J^m разобьем на два слагаемых. Первый интеграл
\begin{equation*}
J^m_1=\int_{\Omega} \bigl(b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+M'(\mathrm{x},u^m)\bigr)T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x}
\end{equation*}
\notag
оценивается следующим образом. Пусть \operatorname{supp}\xi\,{\subset}\,\Omega(l), l\geqslant l_0, c^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)=b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+M'(\mathrm{x},u^m), c(\mathrm{x},u,\nabla u)=b(\mathrm{x},u,\nabla u)+M'(\mathrm{x},u), тогда, учитывая (5.5), при l\geqslant l_0 имеем:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int_{\Omega\setminus \Omega(l)}c^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)T_k(u^m)\,d\mathrm{x} +\int_{\Omega(l)}c^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad \geqslant\int_{\Omega(l)}c^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x}= \overline{J}^{\,lm}_1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Применяя (5.25), (5.85), (5.95), переходим к пределу при m\to \infty, а затем, учитывая (5.23), (5.84), выполняем предельный переход при l\to \infty, получим
\begin{equation}
\int_{\Omega}(b(\mathrm{x},u,\nabla u)+M'(\mathrm{x},u))T_k(u-\xi)\,d\mathrm{x} =\lim_{l\to \infty}\lim_{m\to \infty}\overline{J}^{\,lm}_1 \leqslant \lim_{m\to \infty}\inf J_1^m .
\end{equation}
\tag{5.96}
Используя (5.1), (5.95), выполняя предельный переход при m\to\infty во втором интеграле, устанавливаем
\begin{equation}
\lim_{m\to \infty}J^m_2=\lim_{m\to \infty}\int_{\Omega}f^m T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x} =\int_{\Omega}f T_k(u-\xi)\,d\mathrm{x}.
\end{equation}
\tag{5.97}
Соединяя (5.88), (5.94), (5.96), (5.97), выводим (3.9). Теорема 3.1 доказана. Доказательство теоремы 3.2. Докажем, что энтропийное решение, построенное в теореме 3.1, удовлетворяет свойствам ренормализованного решения. Условие 1) выполнено, так как совпадает с условием 1) определения 3.1. Условие 2) также выполнено (см. соотношение (4.18)).
Докажем равенство (3.10). Пусть \{u^m\}_{m\in \mathbb{N}} – последовательность слабых решений задачи (5.3), (1.2) и функция S\in W^1_{\infty}(\mathbb{R}) такая, что \operatorname{supp}S\subset[-M,M] для M>0. Для любой функции \xi\in C_0^1(\Omega), взяв S(u^m)\xi\in\mathring {W}^1L_{M}(\Omega) в качестве тестовой функции в (5.8), выводим
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\langle \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m), \nabla u^m)\cdot(S'(u^m)\xi\nabla u^m+S(u^m)\nabla\xi)\rangle \\ \notag &\qquad\qquad +\langle (b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m) +M'(\mathrm{x},u^m)-f^m(\mathrm{x}))S(u^m)\xi\rangle \\ &\qquad =I^m+J^m=0, \qquad m\in \mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.98}
Очевидно, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I^m &=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m (u^m), \nabla u^m) \cdot(S'(u^m)\xi\nabla u^m+S(u^m)\nabla\xi)\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_M(u^m), \nabla T_M(u^m)) \cdot \nabla T_M(u^m) S'(u^m)\xi \,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_M(u^m), \nabla T_M(u^m)) \cdot\nabla\xi S(u^m)\,d\mathrm{x}=I^m_1+I^m_2, \qquad m\geqslant M. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.99}
Ввиду сходимостей (5.20), (5.32), (5.80), применяя лемму 4.4, устанавливаем
\begin{equation}
I^m_1=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_M(u), \nabla T_M(u)) \cdot \nabla T_M(u) S'(u)\xi\, d\mathrm{x}+\omega(m), \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.100}
Из сходимости (5.20) по лемме 4.11 получаем
\begin{equation*}
S(u^m)\nabla \xi\to S(u)\nabla \xi \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{M}(\Omega), \qquad m\to\infty.
\end{equation*}
\notag
Отсюда, учитывая сходимость (5.82), выводим
\begin{equation}
I^m_2=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_M(u), \nabla T_M(u)) \cdot \nabla \xi S(u)\, d\mathrm{x}+\omega(m), \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.101}
Соединяя (5.99)–(5.101), получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lim_{m\to \infty} I^m &=\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_M(u),\nabla T_M(u)) \cdot(S'(u)\xi\nabla T_M (u)+S(u)\nabla\xi)\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u) \cdot(S'(u)\xi\nabla u+S(u)\nabla\xi)\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.102}
По лемме 4.11 имеем
\begin{equation*}
S(u^m)\xi\rightharpoonup S(u)\xi \quad\text{в топологии }\ \sigma(L_{\infty}, L_1), \qquad m\to \infty.
\end{equation*}
\notag
Тогда ввиду сходимостей (5.1), (5.25), (5.85) устанавливаем равенство
\begin{equation}
\lim_{m\to \infty} J^m =\int_{\Omega}(b(\mathrm{x},u,\nabla u)+M'(\mathrm{x},u)-f)S(u)\xi \,d\mathrm{x}.
\end{equation}
\tag{5.103}
Комбинируя (5.98), (5.102), (5.103), получаем равенство (3.10). Таким образом, приходим к выводу, что u является ренормализованным решением задачи (1.1), (1.2), (3.7). Теорема 3.2 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KasKoz22}
Эта публикация цитируется в следующих 10 статьяx:
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|