| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Существование решений нелинейных эллиптических уравнений с данными в виде меры в пространствах Музилака–Орлича А. П. Кашниковаa, Л. М. Кожевниковаab a Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета b Елабужский институт (филиал) Казанского (Приволжского) федерального университета
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9632 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ работе рассматривается вопрос существования решения задачи Дирихле
$$
\begin{equation}
-\operatorname{div}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u) +M'(\mathrm{x},u)+b(\mathrm{x},u,\nabla u)=\mu, \qquad \mathrm{x}\in \Omega,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
в произвольной неограниченной области $\Omega\,{\subset}\,\mathbb{R}^n\,{=}\,\{\mathrm{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n)\}$, $n\,{\geqslant}\, 2$. Здесь функции ${\mathrm{a}}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=(a_1(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}), \dots,a_n(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}))\colon \Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$, $b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\colon \Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ имеют рост, определяемый обобщенной $N$-функцией $M(\mathrm{x},z)$, которая не обязана удовлетворять $\Delta_2$-условию, а ограниченная мера Радона $\mu$ имеет специальный вид. Концепция ренормализованных решений служит основным шагом для изучения общих вырождающихся эллиптических уравнений с данными в виде меры. В работах [1], [2] для уравнения вида
$$
\begin{equation}
-\operatorname{div}\mathrm{a}(\mathrm{x},\nabla u)=\mu, \qquad \mathrm{x}\in \Omega,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
в пространствах Соболева доказаны устойчивость и существование ренормализованного решения задачи Дирихле (1.3), (1.2) в ограниченной области $\Omega$. В пространствах Музилака–Орлича существование ренормализованных решений с данными в виде общей меры является новой задачей даже в рефлексивном случае. В работе [3] при некоторых условиях регулярности на функцию Музилака–Орлича $M(\mathrm{x},z)$ И. Хлебицка установила, что каждая ограниченная мера Радона $\mu$ в ограниченной области $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ может быть разложена как $\mu =\mu_{M} + \mu_s$. Причем $\mu_{M}$ называется диффузной по $M$-емкости $\operatorname{Cap}_{M}$ ($M$-мягкой мерой) и $\mu_{M}(E)=0$ для любого $E\subseteq\Omega$ такого, что $\operatorname{Cap}_{M}(E,\Omega)=0$, а $\mu_s$ сосредоточена на множестве нулевой $M$-емкости и называется сингулярной. Установлено, что $\mu_{M}$ является диффузной по $M$-емкости тогда и только тогда, когда $\mu_{M} \in L_1 (\Omega) + W^{-1}_{\overline{M}} (\Omega)$ ($W^{-1}_{\overline{M}} (\Omega)$ – пространство, сопряженное к $\mathring W_M^1(\Omega)$), т.е. существуют функции $f\in L_1(\Omega)$, $\mathrm{f}=(f_1,\dots,f_n)\in (L_{\overline{M}}(\Omega))^n$ такие, что И. Хлебицка в [3] доказала существование, а при $\mu = \mu_{M}$ и единственность ренормализованного решения задачи Дирихле (1.3), (1.2).В работе [4] для анизотропной $N$-функции $\Phi\in \Delta_2\cap \nabla_2$ установлено аналогичное разложение меры по анизотропной $\Phi$-емкости и в случае диффузной меры $\mu_{\Phi}$ доказана единственность аппроксимационного решения задачи Дирихле (1.3), (1.2). В работе [5] рассмотрен некоторый класс эллиптических уравнений второго порядка вида
$$
\begin{equation}
-\operatorname{div}\mathrm{a}(\mathrm{x},\nabla u)+a_0(\mathrm{x},u)=\mu, \qquad \mathrm{x}\in \Omega,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
с переменными показателями нелинейностей и правой частью в виде общей меры Радона с конечной полной вариацией. Доказано существование ренормализованного решения задачи (1.5), (1.2) как следствие устойчивости относительно сходимости правой части уравнения. Если функция Музилака–Орлича $M$ не удовлетворяет $\Delta_2$-условию, то соответствующее пространство Музилака–Орлича не является рефлексивным и рассматриваемая задача даже с диффузной мерой значительно усложняется. Обычно если ограничений на рост обобщенной $N$-функции $M(\mathrm{x},z)$ не требуется, то предполагается, что она подчиняется условию log-гёльдеровской непрерывности по переменной $\mathrm{x}\in\Omega$, что приводит к хорошим аппроксимационным свойствам пространства Музилака–Орлича. В работе [6] доказано существование ренормализованного решения задачи (1.3), (1.2) c $\mu\in L_1(\Omega)$ и неоднородной анизотропной функцией Музилака–Орлича. Авторы работ [7], [8] установили существование ренормализованного и энтропийного решений задачи Дирихле соответственно для уравнения вида
$$
\begin{equation}
-\operatorname{div}(\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u) +\mathrm{c}(u))+a_0(\mathrm{x},u,\nabla u)=f, \qquad f\in L_1(\Omega), \quad\mathrm{x}\in \Omega,
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
с функцией $\mathrm{c}\in C_0(\mathbb{R},\mathbb{R}^n)$. В работах [9], [10] ($a_0\equiv0$), [11] доказано существование энтропийного решения задачи Дирихле для уравнения вида
$$
\begin{equation}
-\operatorname{div}(\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u) +\mathrm{c}(\mathrm{x},u))+a_0(\mathrm{x},u,\nabla u)=f, \qquad f\in L_1(\Omega), \quad\mathrm{x}\in \Omega,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
с каратеодориевой функцией $\mathrm{c}(\mathrm{x},s_0)\colon \Omega\times\mathbb{R}\to \mathbb{R}^n$, подчиняющейся условию роста по переменной $s_0$. Все процитированные выше результаты получены для энтропийных и ренормализованных решений эллиптических задач в ограниченных областях. Для эллиптических уравнений с различными видами нелинейностей и данными в виде меры (или $L_1$-данными) результаты существования и единственности энтропийных и ренормализованных решений в произвольных неограниченных областях установлены в работах [12]–[20]. Однако для уравнений с нелинейностями, определяемыми функциями Музилака–Орлича, таких результатов нет. Трудность обобщения на неограниченную область состоит в том, что в неограниченной области не работает аналог неравенства Пуанкаре–Соболева и теорема о компактности вложения пространства Музилака–Орлича–Соболева. Решить проблему авторам удалось благодаря добавлению в уравнение (1.1) слагаемого $M'(\mathrm{x},u)$ и дополнительному требованию интегрируемости функции $M(\cdot,z)$ по $\Omega$. В настоящей статье доказано существование энтропийного решения и установлено, что оно является ренормализованным решением задачи (1.1), (1.2) c мерой $\mu$ диффузного типа в произвольной (в том числе и неограниченной) области $\Omega$, удовлетворяющей сегментному свойству. § 2. Пространства Музилака–Орлича–СоболеваВ этом параграфе будут приведены необходимые сведения из теории обобщенных $N$-функций и пространств Музилака–Орлича (см. [21]–[23]). Определение 2.1. Пусть функция $M(\mathrm{x},z)\colon \Omega \times\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+$ удовлетворяет следующим условиям: 1) $M(\mathrm{x},\cdot)$ – $N$-функция по $z\in\mathbb{R}$, т.е. она является выпуклой вниз, неубывающей, четной, непрерывной, $M(\mathrm{x},0)=0$ для п.в. $\mathrm{x}\in \Omega$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \inf_{\mathrm{x}\in\Omega} M(\mathrm{x},z)>0\quad\text{для всех }\ z\neq 0, \\ \lim_{z\to 0}\sup_{\mathrm{x}\in\Omega} \frac{M(\mathrm{x},z)}{z}=0 , \\ \lim_{z\to \infty}\inf_{\mathrm{x}\in\Omega}\frac{M(\mathrm{x},z)}{z}=\infty; \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
2) $M(\cdot,z) $ – измеримая функция по $\mathrm{x}\in \Omega$ для любых $z\in\mathbb{R}$. Такая функция $M(\mathrm{x},z)$ называется функцией Музилака–Орлича или обобщенной $N$-функцией. Сопряженная функция $\overline{M}(\mathrm{x},\cdot)$ к функции Музилака–Орлича $M(\mathrm{x},\cdot)$ в смысле Юнга для п.в. $\mathrm{x}\in \Omega$ и любых $z\geqslant 0$ определяется равенством
$$
\begin{equation*}
\overline{M}(\mathrm{x},z)=\sup_{y\geqslant 0}( yz-M(\mathrm{x},y)).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует неравенство Юнга
$$
\begin{equation}
|zy| \leqslant M(\mathrm{x},z)+ \overline{M}(\mathrm{x},y), \qquad z,y \in \mathbb{R}, \quad \mathrm{x} \in \Omega.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Для функции Музилака–Орлича $M(\mathrm{x},z)$ имеет место интегральное представление
$$
\begin{equation}
M(\mathrm{x},z)=\int_{0}^{|z|}M'(\mathrm{x},\theta)\,d\theta,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $M'(\mathrm{x},\theta)\colon \Omega \times\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$, причем $M'(\mathrm{x},\cdot)$ неубывающая, непрерывна справа, $M'(\mathrm{x},0)=0$ для п.в. $\mathrm{x}\in \Omega$ и
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \inf_{\mathrm{x}\in\Omega} M'(\mathrm{x},\theta)>0 \quad\text{для п.в. всех }\ \theta>0, \\ \lim_{\theta\to \infty}\inf_{\mathrm{x}\in\Omega} M'(\mathrm{x},\theta)=\infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Из (2.2), (2.1) для п.в. $\mathrm{x}\in\Omega$, $z\in \mathbb{R}$ следуют простейшие неравенства:
$$
\begin{equation}
\overline{M}(\mathrm{x},M'(\mathrm{x},z))\leqslant M'(\mathrm{x},z)z.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Пусть $P(\mathrm{x},z)$ и $M(\mathrm{x},z)$ – функции Музилака–Орлича. Если для каждой положительной константы $l$ имеем
$$
\begin{equation}
\lim_{z\to \infty}\sup_{\mathrm{x} \in \Omega}\frac{P(\mathrm{x},lz)}{M(\mathrm{x},z)}=0,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
то это обозначается $P\prec \prec M$ и говорят, что $P$ растет медленнее, чем $M$, на $\infty$. Функция Музилака–Орлича $M$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, если существуют константы $c>0$, $z_0\geqslant 0$ и функция $H\in L_1(\Omega)$ такие, что для п.в. $\mathrm{x}\in \Omega$ и любых $|z|\geqslant z_0$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
M(\mathrm{x},2z) \leqslant cM(\mathrm{x},z)+H(\mathrm{x}).
\end{equation*}
\notag
$$
$\Delta_2$-условие эквивалентно выполнению для п.в. $\mathrm{x}\in \Omega$ и любых $|z|\geqslant z_0$ неравенства
$$
\begin{equation}
M(\mathrm{x},lz)\leqslant c(l)M(\mathrm{x},z)+H_l(\mathrm{x}), \qquad H_l\in L_1(\Omega),
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где $l$ – любое число больше единицы, $c(l)>0$. В настоящей работе предполагается, что сопряженная $N$-функция $\overline{M}(\mathrm{x},z)$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию при всех значениях $z\in\mathbb{R}$ (т.е. $z_0=0$). Таким образом, для любого $l>0$ и п.в. $\mathrm{x}\in\Omega$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
\overline{M}(\mathrm{x},lz)\leqslant c(l)\overline{M}(\mathrm{x},z)+H_l(\mathrm{x}), \qquad H_l\in L_1(\Omega), \quad z\in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Существуют три класса Музилака–Орлича. $\mathcal{L}_M(\Omega)$ – обобщенный Музилака–Орлича класс измеримых функций $v\colon \Omega\to \mathbb{R}$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\varrho_{M,\Omega}(v)=\int_{\Omega}M(\mathrm{x},v(\mathrm{x}))\,d\mathrm{x}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
$L_M(\Omega)$ – обобщенное Музилака–Орлича пространство является наименьшим линейным пространством, которое содержит класс $\mathcal{L}_M(\Omega)$, с нормой Люксембурга
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{M,\Omega}=\inf\biggl\{ \lambda>0\Bigm|\varrho_{M,\Omega}\biggl(\frac{v}{\lambda}\biggr) \leqslant 1 \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
$E_M(\Omega)$ – замыкание по норме $\|u\|_{M,\Omega}$ ограниченных измеримых функций с компактным носителем в $\overline{\Omega}$. Справедливы вложения $E_M(\Omega)\subset \mathcal{L}_M(\Omega)\subset L_M(\Omega)$. Ниже в обозначениях $\|\cdot\|_{M,Q}$, $\varrho_{M,Q}(\cdot)$ будем опускать индекс $Q=\Omega$. Далее будем рассматривать следующие условия на функцию Музилака–Орлича $M(\mathrm{x},z)$. $(\mathrm{M1},\mathrm{loc})$ Функция $M(\mathrm{x},z)$ локально интегрируема, если
$$
\begin{equation*}
\varrho_{M,Q}(z)=\int_QM(\mathrm{x},z)\,d\mathrm{x}<\infty \quad \forall\,z\in \mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
для любого измеримого множества $Q\subset\Omega$ такого, что $\operatorname{meas}Q<\infty$. $(\mathrm{M1})$ Функция $M(\mathrm{x},z)$ интегрируема, если
$$
\begin{equation*}
\varrho_{M}(z)=\int_{\Omega}M(\mathrm{x},z)\,d\mathrm{x}<\infty \quad \forall\, z\in \mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
$(\mathrm{M2})$ Функция $M(\mathrm{x},z)$ удовлетворяет условию $\phi$-регулярности, если существует функция $\phi\colon [0,1/2]\times\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ такая, что $\phi(\cdot,z)$ и $\phi(r,\cdot)$ – неубывающие функции и для всех $\mathrm{x},\mathrm{y}\in \overline{\Omega}$, $|\mathrm{x}-\mathrm{y}|\leqslant 1/2$, $z\in\mathbb{R}^+$ и некоторой константы $c>0$ выполняется
$$
\begin{equation*}
M(\mathrm{x},z)\leqslant \phi(|\mathrm{x}-\mathrm{y}|,z)M(\mathrm{y},z), \qquad \lim_{\varepsilon\to 0^+}\!\!\sup \phi(\varepsilon, c\varepsilon^{-n})<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $M$ и $\overline{M}$ подчиняются условию $(\mathrm{M1},\mathrm{loc})$. Пространство $E_M(\Omega)$ сепарабельное и $(E_M(\Omega))^*=L_{\overline{M}}(\Omega)$. Если $M$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, то $E_M(\Omega)= \mathcal{L}_M(\Omega)= L_M(\Omega)$ и $L_M(\Omega)$ сепарабельное. Пространство $L_M(\Omega)$ рефлексивное тогда и только тогда, когда функции Музилака–Орлича $M$ и $\overline{M}$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию. Для $v\in L_M(\Omega)$ справедливы неравенства: если $\|v\|_{M}\leqslant 1$, то если $\|v\|_{M}> 1$, то Последовательность функций $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}} \in L_M(\Omega)$ модулярно сходится к $v \in L_M(\Omega)$, если существует константа $\lambda>0 $ такая, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{j\to \infty}\varrho_{M}\biggl(\frac{v^j-v}{\lambda}\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $M$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, то модулярная топология и топология по норме совпадают. Также для двух сопряженных функций Музилака–Орлича $M$ и $\overline{M}$, если $u \in L_M(\Omega)$ и $v \in L_{\overline{M}}(\Omega)$, выполняется неравенство Гёльдера
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_\Omega u(\mathrm{x})v(\mathrm{x}) \,d\mathrm{x}\biggr| \leqslant 2\|u\|_{M}\|v\|_{\overline{M}}.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Определим пространства Музилака–Орлича–Соболева
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, W^1L_{M}(\Omega)=\bigl\{v\in L_{M}(\Omega)\mid |\nabla v|\in L_{M}(\Omega)\bigr\}, \\ W^1E_{M}(\Omega)=\bigl\{v\in E_{M}(\Omega)\mid |\nabla v|\in E_{M}(\Omega)\bigr\} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
с нормой Последовательность функций $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}} \in W^1L_{M}(\Omega)$ модулярно сходится к $v \in W^1L_{M}(\Omega)$, если существует константа $\lambda>0 $ такая, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{j\to \infty}\varrho_{M}\biggl(\frac{v^j-v}{\lambda}\biggr)=0, \quad \lim_{j\to \infty}\varrho_{M}\biggl(\frac{|\nabla v^j- \nabla v|}{\lambda}\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Для краткости записи введем обозначения $(L_M(\Omega))^{n}\,{=}\,\mathrm{L}_M(\Omega)$, $(L_M(\Omega))^{n+1}=\mathbf L_M(\Omega)$, $(E_M(\Omega))^{n}=\mathrm{E}_M(\Omega)$, $(E_M(\Omega))^{n+1}=\mathbf E_M(\Omega)$. Пространство $W^1L_{M}(\Omega)$ отождествляется с подпространством произведения $\mathbf L_M(\Omega)$ и является замкнутым по топологии $\sigma(\mathbf L_M,\mathbf E_{\overline{M}})$. Пространство $\mathring{W}^{1}L_{M} (\Omega)$ определим как замыкание $C_0^{\infty}(\Omega)$ по топологии $\sigma(\mathbf L_M,\mathbf E_{\overline{M}})$ в ${W}^{1}L_{M} (\Omega)$. Наконец, пространство $\mathring{W}^{1}E_{M} (\Omega)$ определим как замыкание $C_0^{\infty}(\Omega)$ по норме $\|\cdot\|_M^1$ в ${W}^{1}L_{M} (\Omega)$. Пространства $\mathring W^1L_{M}(\Omega)$, $\mathring{W}^{1}E_{M} (\Omega)$ банаховы (см. [22; теорема 10.2]). Определим также банахово пространство
$$
\begin{equation*}
W^{-1}L_{\overline{M}}(\Omega)= \bigl\{F=f_0-\operatorname{div}\mathrm{f}\bigm| f_0\in L_{\overline{M}}(\Omega),\,\mathrm{f}=(f_1,\dots,f_n) \in \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega) \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедлива следующая теорема вложения (см. [24; теорема 4]). Лемма 2.1. Пусть функция Музилака–Орлича $M(\mathrm{x},z)$ удовлетворяет следующим условиям: Определение 2.2. Область $\Omega$ подчиняется сегментному свойству, если существует конечное открытое покрытие $\{\Theta_i\}_{i=1}^{k}$ множества $\overline{\Omega}$ и соответствующие ненулевые векторы $\mathrm{z}_i\in \mathbb{R}^n$ такие, что $(\overline{\Omega}\bigcap\Theta_i)+t\mathrm{z}_i\subset\Omega$ для любых $t\in(0,1)$ и $i=1,\dots,k$. Сформулируем теорему о плотности гладких функций в пространстве Музилака–Орлича–Соболева (см. [25; теорема 3]). Лемма 2.2. Предположим, что область $\Omega$ удовлетворяет сегментному свойству, а $N$-функция $M$ удовлетворяет условиям $(\mathrm{M1})$, $(\mathrm{M2})$, и пусть $\overline{M}$ удовлетворяет условию $(\mathrm{M1})$. Тогда для любого $u\in\mathring W^1L_{M}(\Omega)$ существует последовательность функций $u^j\in C_0^{\infty}(\Omega)$ такая, что § 3. Предположения и формулировка результатовПредполагается, что функции
$$
\begin{equation*}
{\mathrm{a}}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\colon \Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n, \qquad b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\colon \Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
входящие в уравнение (1.1), измеримы по $\mathrm{x}\,{\in}\,\Omega$ для $\mathbf{s}=(s_0, \mathrm{s})=(s_0,s_1,\dots,s_{n})\in\mathbb{R}^{n+1}$, непрерывны по $\mathbf s\in\mathbb{R}^{n+1}$ для почти всех $\mathrm{x}\in\Omega$ и выполнено Условие M. Существуют неотрицательные функции $\Psi,\phi\in L_1(\Omega)$ и положительные константы $\widehat{A}$, $\overline{a}$, $\overline{d}$, $\widehat{d}$ такие, что для п.в. $\mathrm{x}\in\Omega$ и для любых $s_0\in\mathbb{R}$, $\mathrm{s},\mathrm{t}\in\mathbb{R}^{n}$, $\mathrm{s}\neq \mathrm{t}$, справедливы неравенства Кроме того, пусть существует неотрицательная функция $\Phi_0\in L_{1}(\Omega)$, непрерывная неубывающая функция $\widehat{b}\colon \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ такие, что при п.в. $\mathrm{x}\in\Omega$, для всех $s_0\in \mathbb{R}$, $\mathrm{s}\in\mathbb{R}^n$ справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
|b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|\leqslant \widehat{b}(|s_0|) \bigl(M(\mathrm{x},\overline{d}|\mathrm{s}|)+\Phi_0(\mathrm{x})\bigr),
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Заметим, что из принадлежности $M(\cdot, z)\in L_1(\Omega)$ следует, что $M'(\cdot, z)\in L_1(\Omega)$ при каждом фиксированном $z\in \mathbb{R}$. Условиям M удовлетворяют, например, функции
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_i(\mathrm{x},\mathrm{s})=M'(\mathrm{x},|\mathrm{s}|)\frac{s_i}{|\mathrm{s}|}+f_i(\mathrm{x}), \quad f_i\in L_{\overline{M}}(\Omega), \qquad i=1,\dots,n, \\ b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=b(s_0)\overline{R}^{-1}(M(\mathrm{x},|\mathrm{s}|)){R}^{-1}(\Phi_0) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
c непрерывной неубывающей нечетной функцией $b\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, произвольной $N$-функцией $R(z)$ и неотрицательной функцией $\Phi_0\in L_{1}(\Omega)$. Будем считать, что мера $\mu$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\mu=f+f_0-\operatorname{div} \mathrm{f}, \qquad f\in L_1(\Omega), \quad f_0\in E_{\overline{M}}(\Omega), \quad \mathrm{f} \in (E_{\overline{M}}(\Omega))^n.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Такой выбор определен представлением (1.4), а наличие слагаемого $f_0$ связано с неограниченностью области $\Omega$. Однако в рамках настоящей работы не предполагается рассмотрение вопроса о диффузности меры (3.6). Вводя обозначение $\widetilde{\mathrm{a}}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}) =\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})-\mathrm{f}$, из уравнения (1.1) получаем
$$
\begin{equation*}
-\operatorname{div}\widetilde{\mathrm{a}}(\mathrm{x},u,\nabla u) +M'(\mathrm{x},u)+b(\mathrm{x},u,\nabla u)=f+f_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя неравенство (2.1), легко заметить, что функция $\widetilde{\mathrm{a}}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})$ также подчиняется условиям вида (3.1)–(3.3). Кроме того, используя неравенство (2.1), имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega}|f_0|\,d\mathrm{x}\leqslant \int_{\Omega}\overline{M}(\mathrm{x},f_0)\,d\mathrm{x} +\int_{\Omega}M(\mathrm{x},1)\,d\mathrm{x}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $f_0\in L_1(\Omega)$. Поэтому будем рассматривать уравнение (1.1) c мерой Определим функцию $T_k(r)=\max(-k,\min(k,r))$. Через $\mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\Omega)$ обозначим множество измеримых функций $u\colon \Omega\to\mathbb R$ таких, что $T_k(u)\in \mathring{W}^1L_{ M}(\Omega)$ при любом $k>0$. Для $u\in\mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\Omega)$ и любого $k>0$ имеем
$$
\begin{equation}
\nabla T_k(u)=\chi_{\{|u|<k\}}\nabla u \in \mathrm{L}_{M}(\Omega).
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Введем обозначение $\displaystyle\langle u \rangle=\int_{\Omega}u\,d\mathrm{x}$. Определение 3.1. Энтропийным решением задачи (1.1), (1.2), (3.7) называется функция $u\in \mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\Omega)$ такая, что: 1) $b(\mathrm{x},u,\nabla u)\in L_{1}(\Omega)$; 2) при всех $k>0$, $\xi\in C_0^1(\Omega)$ справедливо неравенство Определение 3.2. Ренормализованным решением задачи (1.1), (1.2), (3.7) называется функция $u\in \mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\Omega)$ такая, что: 1) $b(\mathrm{x},u,\nabla u)\in L_{1}(\Omega)$; 2) $\displaystyle\lim_{h\to \infty}\int_{\{\Omega \colon h\leqslant |u|< h+1\}}M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u|) \,d\mathrm{x}=0$; 3) для любой гладкой функции $S\in W^1_{\infty}(\mathbb{R})$ с компактным носителем и любой функции $\xi\in C_0^1(\Omega)$ справедливо равенство Основным результатом работы являются следующие теоремы. Теорема 3.1. Пусть область $\Omega$ подчиняется сегментному свойству и выполнены условия M, (2.14), тогда существует энтропийное решение задачи (1.1), (1.2), (3.7). Теорема 3.2. Пусть область $\Omega$ подчиняется сегментному свойству и выполнены условия M, (2.14), тогда энтропийное решение, построенное в теореме 3.1, является ренормализованным решением задачи (1.1), (1.2), (3.7). § 4. Подготовительные сведенияВ неравенстве (3.9) при любом $k>0$ предполагается сходимость интегралов от функций $M'(\mathrm{x},u)T_k(u-\xi)$, $ \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla T_k(u-\xi)$. Сходимость остальных интегралов, входящих в неравенство (3.9), следует из принадлежностей (3.7), условия 1) определения 3.1. В равенстве (3.10) предполагается сходимость интеграла от функции $\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla (S(u)\xi)$, сходимость остальных интегралов вытекает из принадлежности (3.7), условия 1) определения 3.2. В этом параграфе будут установлены некоторые свойства энтропийного решения задачи (1.1), (1.2), (3.7) и приведены вспомогательные леммы. Все постоянные, встречающиеся ниже в работе, положительны. Лемма 4.1. Пусть $u$ – энтропийное решение задачи (1.1), (1.2), (3.7), тогда для любого $k>0$ и справедливо неравенство Доказательство. Неравенство (3.9) при $\xi=0$ принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I &=\int_{\Omega}(M'(\mathrm{x},u)+ b(\mathrm{x},u,\nabla u))T_k(u) d\mathrm{x}+\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot \nabla u \,d\mathrm{x} \\ &\leqslant\int_{\Omega}f T_k(u)\,d\mathrm{x}\leqslant C_3k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Применяя неравенства (2.4), (3.5), выводим оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I &\geqslant k\int_{\{\Omega\colon |u|\geqslant k\}}M'(\mathrm{x},|u|)\,d\mathrm{x} +\int_{\{ \Omega\colon |u|<k\}} M(\mathrm{x},u)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot \nabla u \,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Соединяя (4.4), (4.3), устанавливаем неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &k\int_{\{\Omega\colon |u|\geqslant k\}}M'(\mathrm{x},|u|)\,d\mathrm{x} +\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}M(\mathrm{x},u) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot \nabla u\, d\mathrm{x} \leqslant kC_3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Далее, используя неравенство (3.1), получаем оценку (4.2). Пусть $\mathrm{w}\in \mathrm{E}_M(\Omega)$ произвольный, из условия (3.3) следует неравенство
$$
\begin{equation*}
(\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)-\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\mathrm{w})) \cdot(\nabla u-\mathrm{w})> 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\mathrm{w}\,d\mathrm{x} \leqslant \int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla u \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad -\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\mathrm{w})\cdot(\nabla u-\mathrm{w})\,d\mathrm{x} . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Далее, применяя (3.2), выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}} \overline{M}(\mathrm{x},|\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\mathrm{w})|)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant \|\Psi\|_1+\widehat{A}\int_{\Omega}P(\mathrm{x}, \widehat{d}k)\,d\mathrm{x} +\widehat{A}\int_{\Omega}M(\mathrm{x}, \widehat{d}|\mathrm{w}|))\,d\mathrm{x}\leqslant C_4. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Соединяя (4.5), (4.6), (4.7), (3.8), получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u) \cdot\mathrm{w}\,d\mathrm{x}\leqslant C_5 \quad \forall\,\mathrm{w}\in \mathrm{E}_M(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Заменяя $\mathrm{w}$ на $-\mathrm{w}$, выводим неравенство
$$
\begin{equation*}
-\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u) \cdot\mathrm{w}\,d\mathrm{x}\leqslant C_5 \quad \forall\,\mathrm{w}\in \mathrm{E}_M(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, верна оценка
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u) \cdot\mathrm{w}\,d\mathrm{x}\biggr|\leqslant C_5 \quad \forall\,\mathrm{w}\in \mathrm{E}_M(\Omega),
\end{equation*}
\notag
$$
отсюда устанавливаем (4.1). Лемма доказана. Справедлива Лемма 4.2. Пусть $v\colon \Omega\to\mathbb{R}$ – измеримая функция и при всех $k>0$ справедливо неравенство Доказательство. Из соотношения (4.8) следует неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{meas}\{\Omega\colon |v|\geqslant k\}\inf_{\mathrm{x}\in\Omega} M'(\mathrm{x},k)\leqslant C_1+\frac{C_2}k.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, применяя (2.3), устанавливаем (4.9). Далее, благодаря оценке (4.8) и принадлежности $M'(\mathrm{x},k)\in L_1(\Omega)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\Omega}M'(\mathrm{x},|v|)\,d\mathrm{x} &=\int_{\{\Omega\colon |v|\geqslant k\}}M'(\mathrm{x},|v|)\,d\mathrm{x} +\int_{\{\Omega\colon |v|< k\}}M'(\mathrm{x},|v|)\,d\mathrm{x} \\ &\leqslant C_1+\frac{C_2}k+\int_{\Omega}M'(\mathrm{x},k)\,d\mathrm{x}=C_6(k). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Замечание 1. Если $u$ – энтропийное решение задачи (1.1), (1.2), (3.7), тогда из лемм 4.1, 4.2 следует Кроме того, Лемма 4.3 (см. [24; лемма 2]). Пусть $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}}$, $v$ – такие функции из $L_{M}(\Omega)$, что тогда $v^j\rightharpoonup v$, $j\to\infty$, в топологии $\sigma(L_{M}, E_{\overline{M}})$ пространства $L_M(\Omega)$. Лемма 4.4. Пусть $g^j$, $j\in \mathbb{N}$, $g$ – такие функции из пространства $L_1(\Omega)$, что $g^j\geqslant 0$ п.в. в $\Omega$, Лемма 4.5. Пусть $w^j$, $j\in \mathbb{N}$, $w$ – такие функции из пространства $L_1(\Omega)$, что $ w^j\geqslant 0$ п.в. в $\Omega$, Тогда Лемма 4.6. Если область $\Omega$ подчиняется сегментному свойству и $u$ является энтропийным решением задачи (1.1), (1.2), (3.7), то неравенство (3.9) справедливо для любой функции $\xi \in\mathring{W}^1L_{ M}(\Omega)\cap L_{\infty}(\Omega)$. Доказательство. Согласно лемме 2.2 для любой функции $\xi\,{\in}\,\mathring {W}^1L_{ M}(\Omega)\cap L_{\infty}(\Omega)$ существует последовательность $\{\xi^j\}_{j\in\mathbb{N}}\in C_0^{\infty}(\Omega)$ такая, что
$$
\begin{equation}
\nabla \xi^j\to \nabla\xi, \quad \xi^j\to \xi \quad\text{модулярно в }\ L_{M}(\Omega), \qquad j\to\infty.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Отсюда следует сходимость Тогда для любого $k>0$ имеют место сходимости Заметим, можно выбрать последовательность $\{\xi^j\}_{j\in\mathbb{N}}$ так, чтобы она была ограниченной в $L_{\infty}(\Omega)$. Положим $K=\sup_{j\in \mathbb{N}}\|\xi^j\|_{\infty}$, пусть $\widehat{k}=k+K$, тогда
$$
\begin{equation*}
|\nabla T_k(u-\xi^j)|\leqslant |\nabla T_{\widehat{k}}(u)|+|\nabla \xi^j|, \qquad \mathrm{x}\in \Omega, \quad j\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку модулярно сходящаяся последовательность $\nabla \xi^j$ ограничена в $\mathrm{L}_{M}(\Omega)$, то отсюда согласно (3.8) следует ограниченность норм $\|\nabla T_k(u-\xi^j)\|_{M}$, $j\in \mathbb{N}$. Применяя (4.15), пользуясь леммой 4.3, при любом $k>0$ имеем
$$
\begin{equation}
\nabla T_k(u-\xi^j)\rightharpoonup \nabla T_k(u-\xi) \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_{M},\mathrm{E}_{\overline{M}}) \quad\text{в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad j\to\infty.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Теперь перейдем к пределу при $j\to\infty$ в неравенстве
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_{\Omega} (b(\mathrm{x},u,\nabla u)\,{+}\,M'(\mathrm{x},u)\,{-}\,f)T_k(u\,{-}\,\xi^j)\,d\mathrm{x} \,{+}\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla T_k(u\,{-}\,\xi^j)\,d\mathrm{x}\leqslant 0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Поскольку $b(\mathrm{x},u,\nabla u)$, $M'(\mathrm{x},u)$, $f\in L_{1}(\Omega)$ (см. определение 3.1, 1) и (4.12)), то в первом слагаемом, используя (4.15), согласно теореме Лебега можно перейти к пределу при $j\to \infty$. Ввиду того, что $\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\chi_{\{\Omega\colon |u|<\widehat{k}\}}\in \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega)=\mathrm{E}_{\overline{M}}$ (см. (4.1)), применяя (4.16), устанавливаем, что второе слагаемое последнего неравенства также имеет предел при $j\to \infty$. Таким образом, после предельного перехода в (4.17) получим неравенство (3.9). Лемма доказана. Лемма 4.7. Пусть $u$ – энтропийное решение задачи (1.1), (1.2), (3.7), тогда при всех $k>0$ справедливо соотношение Доказательство. Положив в неравенстве (3.9) $\xi=T_{h} (u)$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\{ h\leqslant|u|<k+h\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla u \,d\mathrm{x} \\ &\qquad+\int_{\{ h\leqslant|u|\}}\bigl(b(\mathrm{x},u,\nabla u)+M'(\mathrm{x},u)\bigr)T_{k}(u-T_h(u)) \,d\mathrm{x} \leqslant k\int_{\{ h\leqslant|u|\}}|f|\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, используя (3.5), выводим неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int_{\{ h\leqslant|u|<k+h\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla u \,d\mathrm{x} +k \int_{\{|u|\geqslant k+h\}}\bigl(|b(\mathrm{x},u,\nabla u)|+M'(\mathrm{x},|u|)\bigr) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad+\int_{\{ h\leqslant|u|< k+h\}}\bigl(b(\mathrm{x},u,\nabla u) +M'(\mathrm{x},u)\bigr)(u-h\operatorname{sign}u) \,d\mathrm{x} \leqslant k\int_{\{ h\leqslant|u|\}}|f|\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду (3.5) для $h\leqslant |u|$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
(b(\mathrm{x},u,\nabla u)+M'(\mathrm{x},u))(u-h\operatorname{sign}u)\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Соединяя два последних неравенства, применяя (3.1), для любого $k>0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\overline{a}\int_{\{ h\leqslant |u|<k+h\}}M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u|) \,d\mathrm{x}\leqslant k\int_{\{ h\leqslant|u|\}}(|f|+|\phi|)\,d\mathrm{x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, ввиду того, что $f, \phi \in L_1(\Omega)$, учитывая (4.11), переходя к пределу при $h\to \infty$, выводим соотношение (4.18). Лемма доказана. Лемма 4.8. Пусть $v^j$, $j\in \mathbb{N}$, $v$ – такие функции из $\mathcal{L}_{M}(\Omega)$, что тогда Справедливость леммы 4.8 следует из теоремы Лебега. Лемма 4.9. Пусть $Q$ – измеримое множество, для каратеодориевой функции ${\mathrm{a}}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\colon Q\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ выполнено условие (3.3) и $v^j\colon Q\to\mathbb{R}$, $\mathrm{w}^j\colon Q\to\mathbb{R}^n$ – последовательности измеримых функций, причем $v^j\to v$ п.в. в $Q$, $|v|\leqslant k$, $|\mathrm{w}|\leqslant r$ и Тогда Доказательство леммы основано на [26; лемма 2.4] и аналогично доказательству Н. А. Воробьёва, Ф. Х. Мукминова (см. [27; лемма 6.2]). Лемма 4.10. Пусть выполнены условия (3.1)–(3.3) и для некоторого фиксированного $k>0$ для последовательности $(T_k(u^j),\nabla T_k(u^j))\in \mathbf L_M(\Omega)$, $j\in \mathbb{N}$, справедливы соотношения Доказательство. Фиксируем $r>0$ и пусть $s>r$, применяя условие (3.3), выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &0\leqslant \int_{\Omega_r}\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j)) -\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u))\bigr) \cdot\nabla(T_k(u^j)-T_k(u))\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega_r}(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j)) -\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s)) \cdot(\nabla T_k(u^j)-\nabla T_k(u)\chi_s)\,d\mathrm{x} \\ &\leqslant \int_{\Omega}(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j)) -\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s)) \cdot( \nabla T_k(u^j)-\nabla T_k(u)\chi_s)\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда благодаря (4.22) получаем
$$
\begin{equation}
\lim_{j\to \infty} \int_{\Omega_r} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j))-\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u))\bigr) \cdot\nabla(T_k(u^j)-T_k(u))\,d\mathrm{x}=0.
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
Отсюда, применяя лемму 4.9 с $Q=\Omega_r$, $v=T_k(u)$, $\mathrm{w}^j=\nabla T_k(u^j)$, $\mathrm{w}=\nabla T_k(u)$, устанавливаем сходимость
$$
\begin{equation*}
\nabla T_k(u^j)\to \nabla T_k(u) \quad\text{п.в. в }\ \Omega_r, \qquad j\to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
а затем диагональным процессом получаем сходимость (4.24). Из сходимости (4.19) согласно теореме Банаха–Штейнгауза следует, что последовательность $\{\nabla T_k(u^j)\}_{j\in \mathbb{N}}$ ограничена, т.е.
$$
\begin{equation}
\|\nabla T_k(u^j)\|_M\leqslant C_7, \qquad j \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
Из (4.20), (4.24) и непрерывности $\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})$ по $\mathbf s=(s_0,\mathrm{s})$ заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j))\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)) \quad\text{п.в. в } \ \Omega, \qquad j\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и (4.21) по лемме 4.3 устанавливаем слабые сходимости
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j)\bigr)\rightharpoonup \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\bigr) \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_{\overline{M}},\mathrm{E}_{M}) \\ \text{в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to \infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
Из (4.20) следует сходимость
$$
\begin{equation*}
\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \to \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u), \nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
а из (3.2) имеем оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\overline{M}\bigl(\mathrm{x},|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s)|\bigr) \\ &\qquad\leqslant\Psi(\mathrm{x})+\widehat{A}P(\mathrm{x}, \widehat{d}k)+\widehat{A}M(\mathrm{x}, \widehat{d}s)\in L_1(\Omega),\qquad j\in \mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда по лемме 4.8 получаем сходимость
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \\ &\qquad \to \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \quad\text{модулярно в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку функция $\overline{M}$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \to \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \\ &\quad\text{сильно в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega)=\mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Положим $y^j=\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j))\cdot \nabla T_k(u^j)$, $y=\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u))\cdot \nabla T_k(u)$, запишем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_{\Omega}y^j \, d\mathrm{x} &=\int_{\Omega}q^j_s(\mathrm{x})\,d\mathrm{x} +\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \cdot \bigl(\nabla T_k(u^j)-\nabla T_k(u)\chi_s\bigr)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j)\bigr) \cdot \nabla T_k(u)\chi_s\,d\mathrm{x} =I^j_{s1}+I^j_{s2}+I^j_{s3}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
Применяя (4.19), (4.30), устанавливаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{j\to\infty}I^j_{s2} &=\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \cdot\nabla T_k(u)(1-\chi_s)\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\{\Omega\colon |\nabla T_k(u)|> s\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),0) \cdot\nabla T_k(u) \,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду того, что $\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),0)\cdot\nabla T_k(u)\in L_1(\Omega)$ и $\operatorname{meas}\{\Omega\colon |\nabla T_k(u)|> s\}\to 0$, $s\to \infty$, имеем Благодаря (4.29) получаем
$$
\begin{equation}
\lim_{s,j\to\infty}I_{s3}^j=\int_{\Omega}y \,d\mathrm{x}.
\end{equation}
\tag{4.33}
$$
Соединяя (4.22), (4.31)–(4.33), устанавливаем сходимость
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega}y^j\,d\mathrm{x}\to \int_{\Omega}y \,d\mathrm{x}, \qquad j\to\infty,
\end{equation}
\tag{4.34}
$$
пользуясь (4.20), (4.24), выводим сходимость
$$
\begin{equation}
y^j\to y \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to\infty.
\end{equation}
\tag{4.35}
$$
Согласно неравенству (3.1) функции $w^j=y^j+\phi$, $w=y+\phi$ неотрицательны, поэтому, применяя лемму 4.5, устанавливаем сходимость (4.26). Далее, учитывая (3.1), (4.26), применяя лемму 4.4 c $v^j=M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla (T_k(u^j)-T_k(u))|/2)$, $g^j=(y^j+y+2\phi)(\overline{a}2)^{-1}$, получаем сходимость (4.25). Лемма доказана. Лемма 4.11. Пусть функции $v^j$, $j\in \mathbb{N}$, $v\in L_{\infty}(\Omega)$ такие, что $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}}$ ограничена в $L_{\infty}(\Omega)$ и тогда $v^j\rightharpoonup v$, $j\to\infty$, в топологии $\sigma(L_{\infty}, L_{1})$ пространства $L_{\infty}(\Omega)$. Если, кроме того, $g$ из $L_{M}(\Omega)(E_{M}(\Omega))$, то Доказательство леммы 4.11 следует из теоремы Лебега. Ниже будет использоваться теорема Витали в следующей форме (см. [28; гл. III, § 6, теорема 15]). Лемма 4.12. Пусть $v^j$, $j\in \mathbb{N}$, $v$ – измеримые функции в ограниченной области $Q$ такие, что Лемма 4.13. Пусть $v^j$, $j\in \mathbb{N}$, $v\in L_M(\Omega)$ и Тогда $v^j\rightharpoonup v$ в топологии $\sigma(L_{M}, L_{\overline{M}})$ пространства $L_M(\Omega)$. См. [25; лемма 2]. § 5. Доказательства теорем 3.1, 3.2 Доказательство теоремы 3.1. Шаг 1. Положим
$$
\begin{equation*}
f^m(\mathrm{x})=T_m f(\mathrm{x})\chi_{\Omega(m)}, \qquad \Omega(m)=\{\mathrm{x}\in \Omega\colon |\mathrm{x}|<m\}, \quad m\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и ниже $\chi_Q$ – характеристическая функция множества $Q$. Несложно показать, что
$$
\begin{equation}
f^m\to f \quad\text{в }\ L_1(\Omega), \qquad m\to\infty,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
и при этом
$$
\begin{equation}
|f^m(\mathrm{x})|\leqslant |f(\mathrm{x})|, \quad |f^m(\mathrm{x})|\leqslant m\chi_{ \Omega(m)}, \qquad \mathrm{x}\in \Omega, \quad m\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Рассмотрим уравнения
$$
\begin{equation}
-\operatorname{div}\mathrm{a}^m(\mathrm{x},u,\nabla u) +a_0^m(\mathrm{x},u,\nabla u)=f^m(\mathrm{x}), \qquad \mathrm{x}\in \Omega, \quad m\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
c функциями
$$
\begin{equation*}
\mathrm{a}^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(s_0),\mathrm{s}), \qquad a_0^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=b^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})+M'(\mathrm{x},s_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
\mathrm{a}^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}) =(a^m_1(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}),\dots,a^m_n(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})), \qquad b^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=T_mb(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\chi_{\Omega(m)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что
$$
\begin{equation}
|b^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|\leqslant |b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|, \quad |b^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|\leqslant m\chi_{\Omega(m)}, \qquad \mathrm{x}\in\Omega, \quad (s_0,\mathrm{s})\in \mathbb{R}^{n+1}.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Кроме того, применяя (3.5), устанавливаем неравенство Определим оператор $\mathbf A^m\colon \mathring{W}^1L_{M}(\Omega) \to{W}^{-1}L_{\overline{M}}(\Omega)$ c областью определения
$$
\begin{equation*}
D(\mathbf A^m)=\{u\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega)\mid a^m_i(\mathrm{x},u, \nabla u)\in L_{\overline{M}}(\Omega),\,i=0,\dots,n\}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $v\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$ равенством
$$
\begin{equation}
\langle\mathbf A^m(u),v\rangle=\bigl\langle \mathrm{a}^m(\mathrm{x},u, \nabla u)\cdot\nabla v\rangle+\langle a^m_0(\mathrm{x},u,\nabla u)v\bigr\rangle.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Обобщенным решением задачи (5.3), (1.2) является функция $\mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$, удовлетворяющая интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
\langle\mathbf A^m(u),v\rangle= \langle f^m v\rangle
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
для любой функции $v\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$. Справедлива Теорема 5.1. Если выполнены условия M, (2.14), то существует обобщенное решение задачи (5.3), (1.2). Доказательство теоремы 5.1 сводится к проверке условий [29; теорема]. По теореме 5.1 для каждого $m\,{\in}\,\mathbb{N}$ существует обобщенное решение $\mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$ задачи (5.3), (1.2). Таким образом, для любой функции $v\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$ выполняется интегральное равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\bigl\langle (b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+M'(\mathrm{x},u^m)-f^m(\mathrm{x}))v\bigr\rangle \\ &\qquad\qquad +\langle \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m (u^m), \nabla u^m)\cdot\nabla v\rangle= 0, \qquad m\in\mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Шаг 2. В этом шаге установим априорные оценки для последовательности $\{u^m\}_{m\in \mathbb{N}}$. Положив в (5.8) $v=T_{k,h} (u^m)=T_{k}(u^m-T_h(u^m))$, $h>k>0$, будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\{ h\leqslant|u^m|<k+h\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m)\cdot\nabla u^m \,d\mathrm{x} \\ &\qquad+\int_{\{ h\leqslant|u^m|\}}\bigl(b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+M'(\mathrm{x},u^m)\bigr)T_{k,h} (u^m)\,d\mathrm{x} \leqslant k\int_{\{|u^m|\geqslant h\}}|f^m|\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Благодаря (5.5) на множестве $\{\Omega \colon h\leqslant |u^m|\}$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\bigl(b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+M'(\mathrm{x}, u^m)\bigr)T_{k,h} (u^m)\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая это, из (5.9), применяя (5.2), выводим неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\{ h\leqslant|u^m|<k+h\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m)\cdot\nabla u^m \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\{ h\leqslant|u^m|<k+h\}}\bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr)|u^m-h\operatorname{sign} u^m |\,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +k\int_{\{|u^m|\geqslant k+h\}}\bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr) \,d\mathrm{x} \leqslant k\int_{\{|u^m|\geqslant h\}}|f|\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\{ h\leqslant|u^m|<k+h\}} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m), \nabla u^m)\cdot\nabla u^m +\phi\bigr)\,d\mathrm{x} \notag \\ &\qquad\qquad +k\int_{\{|u^m|\geqslant k+h\}}\bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant \int_{\{ |u^m|\geqslant h\}}(k|f|+\phi)\,d\mathrm{x}\leqslant C_3k+C_4, \qquad m\in \mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Теперь в качестве пробной функции в (5.8) возьмем $T_k (u^m)$, выполняя аналогичные преобразования, учитывая (2.4), устанавливаем неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\{ |u^m|<k\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m), \nabla T_k(u^m))\cdot\nabla u^m \,d\mathrm{x}+ \int_{\{ |u^m|< k\}}M(\mathrm{x},u^m) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +k\int_{\{ |u^m|\geqslant k\}}\bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr) \,d\mathrm{x}\leqslant C_3k, \qquad m\geqslant k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Отсюда, применяя (3.1), выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\overline{a}\int_{\{ |u^m|<k\}}M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u^m|) \,d\mathrm{x}+ k\int_{\{ |u^m|\geqslant k\}}\bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\{ |u^m|< k\}}M(\mathrm{x},u^m)\,d\mathrm{x}\leqslant C_3k+C_4, \qquad m\geqslant k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Из оценки (5.12) имеем
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega}M(\mathrm{x},T_k(u^m))\,d\mathrm{x} =\int_{\{ |u^m|<k\}}M(\mathrm{x},u^m)\,d\mathrm{x} +\int_{\{ |u^m|\geqslant k\}}M(\mathrm{x},k)\,d\mathrm{x}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\leqslant\int_{\{ |u^m|<k\}}M(\mathrm{x},u^m)\,d\mathrm{x} +k\int_{\{ |u^m|\geqslant k\}}M'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x}\leqslant C_8(k), \qquad m\geqslant k,
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
$$
\begin{equation}
\qquad \leqslant\int_{\{ |u^m|<k\}}M'(\mathrm{x},k)\,d\mathrm{x} +\int_{\{ |u^m|\geqslant k\}}M'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x}\leqslant C_9(k), \qquad m\geqslant k.
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
Кроме того, из (5.12) следует оценка
$$
\begin{equation}
\int_{\{ |u^m|<k\}}M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u^m|) \,d\mathrm{x} =\int_{\Omega}M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla T_k (u^m)|)\,d\mathrm{x}\leqslant C_{10}(k), \qquad m\geqslant k.
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Соединяя (5.4), (3.4), (5.15), для $m\geqslant k$ выводим неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \int_{\{|u^m|<k\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant \widehat{b}(k)\int_{\{|u^m|<k\}} \bigl(M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u^m|)+\Phi_0(\mathrm{x})\bigr)\,d\mathrm{x} \leqslant C_{11}(k). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
Из (5.16), (5.12) следует оценка
$$
\begin{equation}
\|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\|_{1} \leqslant C_{12}(k), \qquad m\geqslant k.
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
Кроме того, из оценок (5.13), (5.15) выводим
$$
\begin{equation}
\|T_k(u^m)\|_{M}+\|\nabla T_k(u^m)\|_{M} \leqslant C_{13}(k), \qquad m\geqslant k.
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
Шаг 3. Из оценки (5.12) по лемме 4.2 имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{meas}\{ |u^m|\geqslant\rho\}\to 0 \quad\text{равномерно по }\ m\in\mathbb{N}, \qquad \rho\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
Теперь установим сходимость по подпоследовательности:
$$
\begin{equation}
u^m\to u \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
Из оценки (5.18) следует ограниченность множества $\{T_{\rho}(u^m)\}_{m\in \mathbb{N}}$ в пространстве $\mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$. Благодаря условию (2.14) по лемме 2.1 пространство $\mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$ компактно вложено в пространство $L_P(\Omega(R))$ для любой функции Музилака–Орлича $P\in L_{1,\mathrm{loc}}(\overline{\Omega})$, $P\prec\prec M_*$. Здесь $L_{1,\mathrm{loc}}(\overline{\Omega})$ – пространство, состоящее из функций $v\colon \Omega\to\mathbb{R}$ таких, что $v\in L_1(Q)$ для любого ограниченного множества $Q\subset \Omega$. Отсюда для любых фиксированных $\rho, R>0$ следует сходимость $T_\rho (u^m) \to v_{\rho}$ в $L_{P}(\Omega(R))$, а также сходимость по подпоследовательности $T_\rho(u^m)\to v_{\rho}$ почти всюду в $\Omega(R)$. Далее, сходимость (5.20) устанавливается также, как в работе [19; 5.3]. Из сходимости (5.20) следует, что для любого $k>0$
$$
\begin{equation}
T_k(u^m)\to T_k(u) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
Из оценок (5.12)–(5.14) благодаря сходимостям (5.20), (5.21) устанавливаем
$$
\begin{equation}
\operatorname{meas}\{ |u|\geqslant\rho\}\to 0, \qquad \rho\to \infty,
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
$$
\begin{equation}
\forall\, k>0 \quad M(\mathrm{x},T_k(u))\in L_1(\Omega).
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
Докажем, что
$$
\begin{equation}
M'(\mathrm{x},u^m)\to M'(\mathrm{x},u) \quad\text{в }\ L_{1,\mathrm{loc}}(\overline{\Omega}), \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
Учитывая сходимость (5.20), имеем
$$
\begin{equation}
M'(\mathrm{x},u^m)\to M'(\mathrm{x},u) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
Из (5.10) при $k=1$ для любого $h>0$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\{\Omega \colon h\leqslant |u^m|<1+h\}}\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m)\cdot\nabla u^m+\phi(\mathrm{x})\bigr) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\{\Omega \colon |u^m|\geqslant h+1\}}\bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr) \, d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant \int_{\{\Omega \colon |u^m|\geqslant h\}}(|f|+\phi)\,d\mathrm{x}, \qquad m\in \mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду того, что $f,\phi\in L_1(\Omega)$, и абсолютной непрерывности интеграла в правой части последнего неравенства, учитывая (5.19), для любого $\varepsilon>0$ можно выбрать достаточно большое $h(\varepsilon)>1$ такое, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{\{\Omega \colon h-1\leqslant |u^m|<h\}} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m) \cdot\nabla u^m+\phi(\mathrm{x})\bigr) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\{\Omega \colon |u^m|\geqslant h\}} \bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr)\,d\mathrm{x} <\frac{\varepsilon}{2}, \qquad m\in\mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
Пусть $Q$ – произвольное ограниченное подмножество $\Omega$, для любого измеримого множества $E\subset Q$ имеем
$$
\begin{equation}
\int_E M'(\mathrm{x},|u^m|)d\mathrm{x} \leqslant \int_{ \{E\colon |u^m|<h\}}M'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x} +\int_{\{\Omega\colon |u^m|\geqslant h\}}M'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x}.
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
Из принадлежности $M'(\mathrm{x}, z)\in L_1(\Omega)$ при каждом фиксированном $z\in \mathbb{R}$ имеем
$$
\begin{equation}
\int_{\{E\colon |u^m|<h\}}M'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x} \leqslant \int_{E}M'(\mathrm{x},h)\,d\mathrm{x}<\frac{\varepsilon}{2}
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
для любого $E$ такого, что $\operatorname{meas}E<\alpha(\varepsilon)$. Объединяя (5.27)–(5.29), устанавливаем
$$
\begin{equation*}
\int_E M'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x}< \varepsilon \quad \forall\,E \quad\text{такого, что }\ \operatorname{meas}E<\alpha(\varepsilon), \qquad m\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что интегралы $\displaystyle\int_QM'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x}$, $m\in \mathbb{N}$, равномерно абсолютно непрерывны, по лемме 4.12 имеет место сходимость
$$
\begin{equation*}
M'(\mathrm{x},|u^m|)\to M'(\mathrm{x},|u|) \quad\text{в }\ L_{1}(Q), \qquad m\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду произвольности $Q\subset\Omega$ сходимость (5.25) доказана. Шаг 4. Покажем, что $T_k (u)\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$ для любого $k>0$. Ограниченность множества $\{T_k(u^m)\}_{m\in \mathbb{N}}$ в пространстве $\mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$ позволяет выделить слабо сходящуюся по топологии $\sigma(\mathbf L_M,\mathbf E_{\overline{M}})$ в $\mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$ подпоследовательность $T_k (u^m)\rightharpoonup v_k$, $m\to \infty$, причем $v_k\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$. Непрерывность естественного отображения $\mathring{W}^1L_{M}(\Omega)\to \mathbf L_{M}(\Omega)$ влечет слабую сходимость
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \nabla T_k (u^m)\rightharpoonup \nabla v_{k} \quad\text{по топологии }\ \sigma({\mathrm{L}}_M,{\mathrm{E}}_{\overline{M}}) \quad\text{в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad m\to \infty, \\ T_k (u^m)\rightharpoonup v_{k} \quad\text{по топологии }\ \sigma(L_M,E_{\overline{M}}) \quad\text{в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad m\to \infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь сходимостью (5.21), применяя лемму 4.3, имеем слабую сходимость
$$
\begin{equation*}
T_k (u^m)\rightharpoonup T_k(u) \quad\text{по топологии }\ \sigma(L_M,E_{\overline{M}}) \quad\text{в }\ L_{M}(\Omega), \qquad m\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем равенство $v_k=T_k(u)\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$, следовательно,
$$
\begin{equation}
\nabla T_k (u^m)\rightharpoonup \nabla T_k(u) \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_M,\mathrm{E}_{\overline{M}}) \quad\text{в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.30}
$$
Шаг 5. Докажем сходимости
$$
\begin{equation}
\nabla T_k(u^m)\to \nabla T_k(u) \quad\text{модулярно в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad m\to \infty,
\end{equation}
\tag{5.31}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) \cdot \nabla T_k(u^m) \\ &\qquad \to\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u))\cdot \nabla T_k(u)\quad\text{в }\ L_{1}(\Omega), \qquad m\to \infty. \end{split}
\end{equation}
\tag{5.32}
$$
Пусть $\mathrm{w}\in \mathrm{E}_M(\Omega)$ произвольный, из условия (3.3) следует неравенство
$$
\begin{equation}
\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) -\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\mathrm{w})\bigr) \cdot(\nabla T_k(u^m)-\mathrm{w})\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{5.33}
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\cdot\mathrm{w}\,d\mathrm{x} \leqslant \int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\cdot\nabla T_k(u^m)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad -\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\mathrm{w}) \cdot(\nabla T_k(u^m)-\mathrm{w})\,d\mathrm{x} . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.34}
$$
Далее, применяя (3.2), выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int_{\Omega} \overline{M}(\mathrm{x},|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\mathrm{w})|)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant \|\Psi\|_1+\widehat{A}\int_{\Omega}P(\mathrm{x}, \widehat{d}k)\,d\mathrm{x} +\widehat{A}\int_{\Omega}M(\mathrm{x}, \widehat{d}|\mathrm{w}|))\,d\mathrm{x}= C_{14}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, применяя (2.10), устанавливаем оценку
$$
\begin{equation}
\|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\mathrm{w})\|_{\overline{M}}\leqslant C_{15}.
\end{equation}
\tag{5.35}
$$
Соединяя (5.34), (5.11), (5.18), (5.35), получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) \cdot\mathrm{w}\,d\mathrm{x}\leqslant C_{16} \quad \forall\,\mathrm{w}\in \mathrm{E}_M(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя принцип равномерной ограниченности, при любом $k>0$ имеем оценку
$$
\begin{equation}
\|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\|_{_{\overline{M}}} \leqslant C_{17}(k), \qquad m\geqslant k.
\end{equation}
\tag{5.36}
$$
Из оценки (5.36) следует сходимость по подпоследовательности
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\rightharpoonup \widetilde{\mathrm{a}}_k \\ \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_{\overline{M}},\mathrm{E}_{M}) \quad\text{в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to \infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.37}
$$
Для положительных вещественных чисел $m$, $j$, $\delta$, $\varepsilon$, $s$ обозначим через $\omega(m,j,\delta,\varepsilon,s)$ любую величину такую, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{s\to +\infty}\lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{\delta\to 0}\lim_{j\to+\infty} \lim_{m\to +\infty} \omega(m,j,\delta,\varepsilon,s)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $h,k$, $h-1>k>0$. Согласно лемме 2.2 существует последовательность $v^j\in C_0^{\infty}(\Omega)$:
$$
\begin{equation*}
v^j\to T_k(u) \quad\text{модулярно в }\ \mathring{W}^1L_{M}(\Omega), \qquad j\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag T_k(v^j)\to T_k(u) \quad\text{модулярно в }\ \mathring{W}^1L_{M}(\Omega), \qquad j\to \infty, \\ T_k(v^j)\to T_k(u), \quad \nabla T_k(v^j)\to \nabla T_k(u) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to \infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.38}
$$
Кроме того, согласно лемме 4.13 имеем
$$
\begin{equation}
\nabla T_k(v^j)\rightharpoonup \nabla T_k(u) \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_M,\mathrm{L}_{\overline{M}}), \qquad j\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.39}
$$
Полагаем
$$
\begin{equation*}
z^{mj}=T_k(u^m)-T_k(v^j), \quad z^{j}=T_k(u)-T_k(v^j), \qquad m,j\in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
$\varphi_k(\rho)=\rho\exp(\gamma^2\rho^2)$, где $\gamma={\widehat{b}(k)}/{\overline{a}}$. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\psi_k(\rho)=\varphi'_k(\rho)-\gamma|\varphi_k(\rho)|\geqslant \frac78, \qquad \rho\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следуют неравенства
$$
\begin{equation}
\frac78\leqslant \psi_k(z^{mj})\leqslant \max_{[-2k,2k]}\psi_k(\rho)=C_{18}(k), \quad m,j\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.40}
$$
$$
\begin{equation}
\varphi_k(z^{mj})\to \varphi_k(z^{j}), \quad\varphi'_k(z^{mj})\to \varphi'_k(z^{j}), \quad \psi_k(z^{mj})\to\psi_k(z^{j})
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\varphi_k(z^{j})\to \varphi_k(0)=0, \quad \varphi'_k(z^{j})\to \varphi'_k(0)=1, \quad \psi_k(z^{j})\to\psi_k(0)=1
\end{equation}
\notag
$$
а также
$$
\begin{equation}
|\varphi_k(z^{mj})|\leqslant \varphi_k(2k), \quad 1\leqslant\varphi_k'(z^{mj})\leqslant \varphi_k'(2k), \qquad m,j\in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{5.43}
$$
$$
\begin{equation}
|\varphi_k(z^{j})|\leqslant \varphi_k(2k), \quad 1\leqslant\varphi_k'(z^{j})\leqslant \varphi_k'(2k), \qquad j\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.44}
$$
Применяя (5.41), (5.43), (5.42), (5.44), по лемме 4.11 устанавливаем сходимости:
$$
\begin{equation}
\varphi_k(z^{mj})\rightharpoonup \varphi_k(z^j) \quad\text{в топологии }\sigma(L_{\infty}, L_{1}) \text{ пространства }L_{\infty}(\Omega), \qquad m\,{\to}\,\infty,
\end{equation}
\tag{5.45}
$$
$$
\begin{equation}
\varphi_k(z^{j})\rightharpoonup 0 \quad\text{в топологии }\sigma(L_{\infty}, L_{1}) \text{ пространства }L_{\infty}(\Omega), \qquad j\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.46}
$$
Положим $\zeta(r)=\min(1,\max(0,r))$, $\eta_{h}(r)=\zeta(h-r+1)$, $\eta_{s,\varepsilon}(r)=\zeta((s-r)/\varepsilon+1)$, $\nu_{k,\delta}(r)=\zeta((r-k)/\delta+1)$, $r\in \mathbb{R}$. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \eta_{s,\varepsilon}(|r|)\to\chi(\{|r|\leqslant s\}) \quad\text{в }\ \mathbb{R}, \qquad \varepsilon\to 0, \\ \nu_{k,\delta}(|r|)\to\chi(\{|r|\geqslant k\}) \quad\text{в }\ \mathbb{R}, \qquad \delta\to 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для краткости записи будем использовать обозначения $\eta_{h-1}^m(\mathrm{x})=\eta_{h-1}(|u^m|)$, $\widetilde{\eta}_{h-1}(\mathrm{x})=\eta_{h-1}(|u|)$, $\eta_{s,\varepsilon}^j(\mathrm{x})=\eta_{s,\varepsilon}(|\nabla T_k(v^j)|)$, $\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}(\mathrm{x})=\eta_{s,\varepsilon}(|\nabla T_k(u)|)$, $\nu_{k,\delta}^m(\mathrm{x})=\nu_{k,\delta}(|u^m|)$, $\widetilde{\nu}_{k,\delta}(\mathrm{x})=\nu_{k,\delta}(|u|)$. Из (5.20), (5.38) следуют сходимости:
$$
\begin{equation}
\eta_{h-1}^m\to\widetilde{\eta}_{h-1} \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to \infty,
\end{equation}
\tag{5.47}
$$
$$
\begin{equation}
\eta_{s,\varepsilon}^j\to\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon} \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to \infty,
\end{equation}
\tag{5.48}
$$
$$
\begin{equation}
\nu_{k,\delta}^m\to\widetilde{\nu}_{k,\delta} \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.49}
$$
Принимая в качестве тестовой функции в (5.8) $\varphi_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)) \cdot \nabla ( \varphi_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\Omega}b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m) \varphi_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\Omega}M'(\mathrm{x},u^m)\varphi_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad -\int_{\Omega}f^m\varphi_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x}=I_1+I_2+I_3+I_4=0, \qquad m\geqslant h. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.50}
$$
Оценки интегралов $I_2$–$I_4$. Ввиду неравенства $|M'(\mathrm{x},u^m)|\eta_{h-1}^m\leqslant M'(\mathrm{x},h)\in L_1(\Omega)$, сходимостей (5.45), (5.46) имеем
$$
\begin{equation}
|I_3|\leqslant\int_{\Omega}M'(\mathrm{x},h)|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} =\omega(m)+\int_{\Omega}M'(\mathrm{x},h)|\varphi_k(z^{j})|\,d\mathrm{x} =\omega_h(m,j).
\end{equation}
\tag{5.51}
$$
Аналогично, благодаря (5.2) ввиду $f\in L_1(\Omega)$ получаем
$$
\begin{equation}
|I_4|\leqslant\int_{\Omega}|f|\,|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} =\omega(m)+\int_{\Omega}|f|\,|\varphi_k(z^{j})|\,d\mathrm{x}=\omega(m,j).
\end{equation}
\tag{5.52}
$$
Очевидно, что $z^{mj}u^m\geqslant0 $ при $|u^m|\geqslant k$, поэтому ввиду (5.5) имеем
$$
\begin{equation*}
b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\varphi_k(z^{mj})\geqslant 0 \quad\text{при }\ |u^m|\geqslant k.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая это и применяя (5.4), (3.4), оценим интегралы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -I_2 &\leqslant\int_{\{\Omega\colon |u^m|<k\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} \\ &\leqslant\widehat{b}(k)\int_{\Omega} \bigl(M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla T_k (u^m)|)+\Phi_0(\mathrm{x})\bigr)|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x}, \qquad m\in \mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (3.1), выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, -I_2 &\leqslant\frac{\widehat{b}(k)}{\overline{a}}\int_{\Omega} \bigl(\overline{a}\Phi_0(\mathrm{x})+\phi(\mathrm{x})\bigr)|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\frac{\widehat{b}(k)}{\overline{a}} \int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) \cdot \nabla T_k(u^m) |\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x}=I_{21}+I_{22}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.53}
$$
$$
\begin{equation}
I_{21}=\frac{\widehat{b}(k)}{\overline{a}}\int_{\Omega} \bigl(\overline{a}\Phi_0(\mathrm{x})+\phi(\mathrm{x})\bigr)|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} =\omega(m,j).
\end{equation}
\tag{5.54}
$$
Положим $I_1=I_{11}-I_{12}$, где
$$
\begin{equation*}
I_{12}=\int_{\{\Omega\colon h-1\leqslant |u^m|<h\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)) \cdot \nabla u^m |\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, используя оценки интегралов (5.51)–(5.54), из (5.50) выводим неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_5 &=I_{11}-I_{22}=(I_{1}+I_{2})+I_{12}-I_{22}-I_{2}=-(I_{3}+I_{4})+I_{12}+\omega(m,j) \\ &=\omega_h(m,j)+I_{12}, \qquad m\geqslant h. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.55}
$$
Используя (5.43), оценим интегралы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |I_{12}| &\leqslant \varphi_k(2k)\int_{\{\Omega\colon h-1\leqslant|u^m|<h\}} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m) \cdot \nabla u^m+\phi\bigr)\, d\mathrm{x} \\ &\qquad +\varphi_k(2k)\int_{\{\Omega\colon h-1\leqslant|u^m|<h\}}\phi\,d\mathrm{x}, \qquad m\geqslant h. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Благодаря (5.27) имеем Соединяя (5.55), (5.56), устанавливаем неравенства
$$
\begin{equation}
I_5 \leqslant \omega(h)+\omega_h(m,j), \qquad m\geqslant h.
\end{equation}
\tag{5.57}
$$
Представление $I_5$. Выполняя элементарные преобразования, выводим равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_5 &=\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)\bigr) \cdot \nabla T_k(u^m) \varphi'_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad -\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)\bigr) \cdot \nabla T_k(v^j) \varphi'_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} \\ &\qquad -\frac{\widehat{b}(k)}{\overline{a}}\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)\bigr) \cdot \nabla T_k(u^m) |\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)\bigr)\cdot \nabla T_k(u^m) \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad -\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)\bigr) \cdot \nabla T_k(v^j) \varphi'_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)\bigr) \cdot \bigl(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\bigr) \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)\bigr)\cdot \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad-\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)\bigr)\cdot \nabla T_k(v^j) \varphi'_k(z^{mj})\eta_{s,\varepsilon}^j\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)\bigr)\cdot \nabla T_k(v^j)(\eta_{s,\varepsilon}^j-1) \varphi'_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_5 &=\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)\bigr)\cdot \bigl(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\bigr) \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad -\frac{\widehat{b}(k)}{\overline{a}}\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)\bigr) \cdot \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j |\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} \\ &\qquad+\int_{\Omega}\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))-\eta^m_{h-1} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m))\bigr) \notag \\ &\qquad\qquad \times \nabla T_k(v^j)\nu_{k,\delta}^m\eta_{s,\varepsilon}^j \varphi'_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad+\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)\bigr)\cdot \nabla T_k(v^j)(\eta_{s,\varepsilon}^j-1) \varphi'_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} \\ &=I_{51}+I_{52}+I_{53}+I_{54}, \qquad m\geqslant h. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.58}
$$
Оценки интегралов $I_{52}$–$I_{54}$. Применяя (5.41), (5.43), лемму 4.11 c $g=\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\in \mathrm{E}_M(\Omega)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j|\varphi_k(z^{mj})|\to\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j|\varphi_k(z^{j})| \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_M(\Omega), \qquad m\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда ввиду сходимости (5.37) устанавливаем
$$
\begin{equation*}
I_{52}=-\frac{\widehat{b}(k)}{\overline{a}} \int_{\Omega}\widetilde{\mathrm{a}}_k\cdot \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j |\varphi_k(z^{j})|\,d\mathrm{x}+\omega(m).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя (5.42), (5.44), (5.48), лемму 4.11 c $g=\widetilde{\mathrm{a}}_k\in\mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega) =\mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathrm{a}}_k|\varphi_k(z^{j})|\eta_{s,\varepsilon}^j\to \widetilde{\mathrm{a}}_k |\varphi_k(0)|\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}=0 \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда ввиду сходимости (5.39) имеем Применяя (5.41), (5.43), (5.49), лемму 4.11 c $g=\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\in \mathrm{E}_M(\Omega)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\varphi'_k(z^{mj})\nu_{k,\delta}^m \to \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j \varphi'_k(z^{j})\widetilde{\nu}_{k,\delta} \\ &\quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_M(\Omega), \qquad m\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда ввиду сходимости (5.37) устанавливаем
$$
\begin{equation*}
I_{53}=\int_{\Omega}(\widetilde{\mathrm{a}}_k -\widetilde{\eta}_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h)\cdot \nabla T_k(v^j)\widetilde{\nu}_{k,\delta}\eta_{s,\varepsilon}^j \varphi'_k(z^{j})\,d\mathrm{x}+\omega(m).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, применяя (5.42), (5.44), (5.48), лемму 4.11 c $g=(\widetilde{\mathrm{a}}_k-\widetilde{\eta}_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h)\in \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega)=\mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(\widetilde{\mathrm{a}}_k-\widetilde{\eta}_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h) \varphi'_k(z^{j})\widetilde{\nu}_{k,\delta}\eta_{s,\varepsilon}^j \to (\widetilde{\mathrm{a}}_k-\widetilde{\eta}_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h) \widetilde{\nu}_{k,\delta}\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon} \\ &\quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда ввиду сходимости (5.39) имеем
$$
\begin{equation*}
I_{53}=\int_{\Omega}(\widetilde{\mathrm{a}}_k-\eta_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h)\cdot \nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}\widetilde{\nu}_{k,\delta}\,d\mathrm{x}+\omega(m,j).
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая $(\widetilde{\mathrm{a}}_k-\eta_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h)\cdot \nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}\in L_1(\Omega)$, выполняем предельный переход при $\delta \to 0$, выводим
$$
\begin{equation}
I_{53}=\int_{\Omega}(\widetilde{\mathrm{a}}_k-\eta_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h)\cdot \nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}\chi(\{|u|\geqslant k\})\,d\mathrm{x}+\omega(m,j,\delta) =\omega(m,j,\delta).
\end{equation}
\tag{5.60}
$$
Далее, применяя (5.41), (5.43), (5.47), лемму 4.11 c $g=\nabla T_k(v^j)(\eta_{s,\varepsilon}^j-1)\in \mathrm{E}_M(\Omega)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\nabla T_k(v^j)(\eta_{s,\varepsilon}^j-1)\varphi'_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m \to \nabla T_k(v^j)(\eta_{s,\varepsilon}^j-1) \varphi'_k(z^{j})\widetilde{\eta}_{h-1} \\ &\quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_M(\Omega), \qquad m\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда ввиду сходимости (5.37) устанавливаем
$$
\begin{equation*}
I_{54}=\int_{\Omega}\widetilde{\mathrm{a}}_h\cdot \nabla T_k(v^j)(\eta_{s,\varepsilon}^j-1) \varphi'_k(z^{j})\widetilde{\eta}_{h-1}\,d\mathrm{x}+\omega(m).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя (5.42), (5.44), (5.48), лемму 4.11 c $g=\widetilde{\mathrm{a}}_h\in \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega)=\mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathrm{a}}_h\varphi'_k(z^{j})(\eta_{s,\varepsilon}^j-1)\widetilde{\eta}_{h-1}\to \widetilde{\mathrm{a}}_h (\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}-1)\widetilde{\eta}_{h-1} \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда ввиду сходимости (5.39) имеем
$$
\begin{equation*}
I_{54}=\int_{\Omega}\widetilde{\mathrm{a}}_h\cdot \nabla T_k(u)(\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}-1)\,d\mathrm{x}+\omega(m,j).
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду того, что $\widetilde{\mathrm{a}}_h\cdot \nabla T_k(u) \in L_1(\Omega)$, имеем
$$
\begin{equation}
I_{54}=\int_{\Omega}\widetilde{\mathrm{a}}_h\cdot \nabla T_k(u)(\chi_s-1)\, d\mathrm{x}+\omega(m,j,\varepsilon)=\omega(m,j,\varepsilon,s).
\end{equation}
\tag{5.61}
$$
Из (5.57)–(5.61), поскольку $I_{51}$ не зависит от $h$, следует, что
$$
\begin{equation}
I_{51}\leqslant \omega_h(m,j)+\omega(m,j,\delta,\varepsilon,s)+\omega(h).
\end{equation}
\tag{5.62}
$$
Оценим интеграл
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_6 &=\int_{\Omega}\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))-\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\bigr) \\ &\qquad\times(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) \cdot(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad -\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\cdot (\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \notag \\ &=I_{51}-I_{61}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.63}
$$
Из (5.21) следует сходимость
$$
\begin{equation*}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u), \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
а из (3.2) имеем оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\overline{M}(\mathrm{x},|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)|) \\ &\qquad \leqslant\widehat{A}M(\mathrm{x},\widehat{d}(s+1))+\widehat{A}P(\mathrm{x},\widehat{d} k)+\Psi(\mathrm{x}) \in L_1(\Omega), \qquad \varepsilon<1, \quad m,j\in \mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда по лемме 4.8 получаем сходимость
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \\ &\quad\text{модулярно в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку функция $\overline{M}$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, то $\mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega)=\mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega)$ и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \\ &\quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.64}
$$
Аналогично устанавливаются сходимости
$$
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u)\chi_s) \to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to\infty,
\end{equation}
\tag{5.65}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\,{\to}\,\infty,
\end{equation}
\tag{5.66}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon})\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad \varepsilon\to 0,
\end{equation}
\tag{5.67}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s) \to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad s\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.68}
$$
Из (5.64), (5.66)–(5.68), применяя (5.40)–(5.42), (5.48), (5.49), получаем
$$
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\psi_k(z^{mj})
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\psi_k(z^{j}) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to\infty,
\end{equation}
\tag{5.69}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\psi_k(z^{j})
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad \to\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to\infty,
\end{equation}
\tag{5.70}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon})(1-\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon})
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s)(1-\chi_s) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad \varepsilon\to 0,
\end{equation}
\tag{5.71}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s)(1-\chi_s)\to 0 \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad s\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.72}
$$
Применяя (5.69), (5.30), выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_{61}=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \cdot(\nabla T_k(u)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \psi_k(z^{j})\,d\mathrm{x}+\omega(m), \\ j\in \mathbb{N}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (5.38), (5.48) благодаря лемме 4.8 устанавливаем
$$
\begin{equation*}
\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\to \nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon} \quad\text{модулярно в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad j\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда согласно лемме 4.13 имеем
$$
\begin{equation}
\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\rightharpoonup \nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon} \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_M,\mathrm{L}_{\overline{M}}), \qquad j\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.73}
$$
Применяя (5.70), (5.73), (5.71), выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{61}&=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}) \cdot\nabla T_k(u)(1-\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}) \, d\mathrm{x}+\omega(m,j) \\ &=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s) \cdot\nabla T_k(u)(1-\chi_s)\, d\mathrm{x}+\omega(m,j,\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, благодаря (5.72) получаем Соединяя (5.63), (5.74), (5.62) и применяя (5.40), выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_7&=\int_{\Omega}\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))-\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\bigr) \\ &\qquad\times(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\, d\mathrm{x} \leqslant \frac87 I_6 \\ &\leqslant \omega_h(m,j)+\omega(m,j,\delta, \varepsilon,s)+\omega(h). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.75}
$$
Используя обозначение (4.23), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0 &\leqslant \int_{\Omega}q^m_s(\mathrm{x})\, d\mathrm{x} \\ &=I_7+\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) \cdot(\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j-\nabla T_k(u)\chi_s)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad -\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u)\chi_s) \cdot(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(u)\chi_s) \, d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \cdot(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\,d\mathrm{x} \\ &=I_7+I_{71}+I_{72}+I_{73}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.76}
$$
Оценки интегралов $I_{71}$–$I_{73}$. Ввиду сходимостей (5.37), (5.73) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_{71} &=\int_{\Omega}\widetilde{\mathrm{a}}_k\cdot(\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j-\nabla T_k(u)\chi_s)\,d\mathrm{x}+\omega(m) \\ &=\int_{\Omega}\widetilde{\mathrm{a}}_k\cdot\nabla T_k(u)(\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}-\chi_s)\,d\mathrm{x}+\omega(m,j)=\omega(m,j,\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.77}
$$
Применяя (5.30), (5.65), получаем
$$
\begin{equation*}
I_{72}=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s) \cdot\nabla T_k(u)(\chi_s-1) \,d\mathrm{x}+\omega(m).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда ввиду сходимости (5.72) выводим Интеграл $I_{73}$ оценивается так же, как интеграл $I_{61}$, Соединяя (5.75)–(5.79), получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega}q^m_s(\mathrm{x})\,d\mathrm{x} \leqslant \omega_h(m,j) +\omega(m,j,\delta,\varepsilon, s)+\omega(h), \qquad m\geqslant h.
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду того, что левая часть последнего неравенства не зависит от $j,\delta,\varepsilon,h$, переходя последовательно к пределам по $m\to\infty$, $j\to\infty$, $\delta\to 0$, $\varepsilon\to 0$, $s\to\infty$, устанавливаем соотношение
$$
\begin{equation*}
\lim_{s\to \infty}\lim_{m\to \infty}\int_{\Omega}q^m_s(\mathrm{x})\, d\mathrm{x}\leqslant \omega(h).
\end{equation*}
\notag
$$
Выполняя предельный переход при $h\to\infty$, выводим соотношение
$$
\begin{equation*}
\lim_{s\to \infty}\lim_{m\to \infty}\int_{\Omega}q^m_s(\mathrm{x})\, d\mathrm{x}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 4.10 имеем сходимости (5.31), (5.32) и сходимость
$$
\begin{equation}
\nabla T_k(u^m)\to \nabla T_k(u) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.80}
$$
Далее, так же, как в [19; 5.5], устанавливается сходимость по подпоследовательности
$$
\begin{equation}
\nabla u^m\to \nabla u \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.81}
$$
Шаг 6. Используя оценку (5.36) и сходимости (5.21), (5.80), по лемме 4.3 устанавливаем слабую сходимость
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\rightharpoonup \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)) \quad\text{в топологии } \ \sigma(\mathrm{L}_{\overline{M}}, \mathrm{E}_{M}) \\ \quad\text{пространства }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to \infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.82}
$$
Из непрерывности $b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})$ по $(s_0,\mathrm{s}) $ и сходимостей (5.20), (5.81) следует, что
$$
\begin{equation}
b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\to b(\mathrm{x},u, \nabla u) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.83}
$$
Из оценки (5.17) ввиду (5.83) согласно лемме Фату заключаем, что Таким образом, условие 1) определения 3.1 выполнено. Установим сходимость
$$
\begin{equation}
b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\to b(\mathrm{x},u,\nabla u) \quad\text{в }\ L_{1,\mathrm{loc}}(\overline{\Omega}), \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.85}
$$
Пусть $Q$ – произвольное ограниченное подмножество $\Omega$. Для любого измеримого множества $E\subset Q$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_E |b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant \int_{ \{E\colon |u^m|<h\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x} +\int_{\{\Omega\colon |u^m|\geqslant h\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.86}
$$
Применяя (5.4), (3.4), (3.1), выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\{E\colon |u^m|<h\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x} \leqslant \widehat{b}(h)\int_{ \{E\colon |u^m|<h\}}\bigl(M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u^m|) +\Phi_0(\mathrm{x})\bigr)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant\frac{ \widehat{b}(h)}{\overline{a}}\int_{E} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)) \cdot \nabla T_h(u^m)+\phi\bigr)\,d\mathrm{x} +\widehat{b}(h)\int_{E}\Phi_0(\mathrm{x})\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду того, что $\Phi_0, \phi\in L_1(E)$, сходимости (5.32) и абсолютной непрерывности интегралов в правой части последнего неравенства для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $\alpha(\varepsilon)$, что для любого $E$ такого, что $\operatorname{meas}E<\alpha(\varepsilon)$, выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
\int_{ \{E\colon |u^m|<h\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x}<\frac{\varepsilon}{2}, \qquad m\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.87}
$$
Объединяя (5.27), (5.86), (5.87), устанавливаем
$$
\begin{equation*}
\int_E |b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x}< \varepsilon \quad \forall\,E \quad\text{такого, что }\ \operatorname{meas}E<\alpha(\varepsilon), \qquad m\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что последовательность $\{b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\}_{m\in \mathbb{N}}$ имеет равномерно абсолютно непрерывные интегралы по множеству $Q$. По лемме 4.12 устанавливаем сходимость
$$
\begin{equation*}
b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\to b(\mathrm{x},u,\nabla u) \quad\text{в } \ L_{1}(Q), \qquad m\to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
для любого ограниченного множества $Q\subset \Omega$. Сходимость (5.85) доказана. Шаг 7. Чтобы доказать неравенство (3.9), в тождестве (5.8) возьмем пробную функцию $v=T_k(u^m-\xi)$, $\xi\in C_0^1(\Omega)$, получим соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m) \cdot\nabla T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\Omega} \bigl(b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m) +M'(\mathrm{x},u^m)-f^m\bigr)T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x}=I^m+J^m. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.88}
$$
Положим $\widehat{k}=k+\|\xi\|_{\infty}$, если $|u^m|\geqslant \widehat{k}$, то $|u^m-\xi|\geqslant |u^m|-\|\xi\|_{\infty}\geqslant k$, поэтому $\{\Omega\colon |u^m-\xi|< k\}\subseteq \{\Omega\colon |u^m|< \widehat{k}\}$, следовательно
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I^m &=\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m) \cdot\nabla T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\{\Omega\colon |u^m-\xi|< k\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m) \cdot\nabla (u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\{\Omega\colon |u^m-\xi|< k\}} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)-\mathrm{a}(\mathrm{x},u^m,\nabla \xi)\bigr) \cdot \nabla (u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\{\Omega\colon |u^m-\xi|< k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},u^m,\nabla \xi) \cdot\nabla (u^m-\xi)\,d\mathrm{x}\geqslant \\ &\geqslant \int_{\Omega}\eta_{k-\varepsilon,\varepsilon}(|u^m-\xi|) \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)-\mathrm{a}(\mathrm{x},u^m,\nabla \xi)\bigr) \cdot \nabla (u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\widehat{k}}(u^m),\nabla \xi) \cdot\nabla T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x} =I^{m\varepsilon}_1+I^m_2, \qquad m\geqslant \widehat{k}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.89}
$$
Далее, из сходимостей (5.20), (5.81), условия (3.3) ввиду непрерывности функции $\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})$ по $(s_0,\mathrm{s})$ по лемме Фату устанавливаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to \infty}\inf I^{m\varepsilon}_1\geqslant \int_{\Omega}\eta_{k-\varepsilon,\varepsilon}(|u-\xi|) \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)-\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla \xi)\bigr) \cdot\nabla (u-\xi)\,d\mathrm{x} .
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\eta_{k-\varepsilon,\varepsilon}(|u-\xi|)\to\chi(\{|u-\xi|< k\})$ в $\Omega$, $\varepsilon\to 0$, то предельным переходом получаем неравенство
$$
\begin{equation}
\lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{m\to \infty}\inf I^{m\varepsilon}_1 \geqslant \int_{\Omega}\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\widehat{k}}(u),\nabla T_{\widehat{k}}(u))\,{-}\,\mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\widehat{k}}(u),\nabla \xi)\bigr) \cdot\nabla T_k(u\,{-}\,\xi)\,d\mathrm{x}.
\end{equation}
\tag{5.90}
$$
По лемме 4.8 имеем сходимость
$$
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\widehat{k}}(u^m),\nabla\xi)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\widehat{k}}(u),\nabla \xi) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega) =\mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.91}
$$
Пусть $v^m=u^m-\xi$, $v=u-\xi$. Так как в множестве, где $|v^m|\to k$ при $m\to\infty$ имеем $|v|= k$, то $\nabla v=0$. Отсюда заключаем:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\nabla T_k(v^m)-\nabla T_k(v)=\chi_{\{\Omega\colon |v^m|<k\}}(\nabla v^m-\nabla v) \\ &\qquad\qquad +\bigl(\chi_{\{\Omega\colon |v^m|<k\}}-\chi_{\{\Omega\colon |v|<k\}}\bigr)\nabla v\to 0 \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.92}
$$
Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
|\nabla T_k(u^m-\xi)|\leqslant |\nabla T_{\widehat{k}}(u^m)|+|\nabla \xi|, \qquad \mathrm{x}\in \Omega, \quad m\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из оценки (5.18) следует ограниченность последовательности $\{\nabla T_k(u^m-\xi)\}_{m\in \mathbb{N}}$ в $\mathrm{L}_{M}(\Omega)$. Отсюда, применяя (5.92), пользуясь леммой 4.3, при любом $k>0$ имеем
$$
\begin{equation}
\nabla T_k(u^m-\xi)\rightharpoonup \nabla T_k(u-\xi) \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_{M},\mathrm{E}_{\overline{M}}) \quad\text{в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad m\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.93}
$$
Соединяя (5.89)–(5.93), заключаем:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lim_{m\to \infty}\inf I^m &\geqslant \int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\widehat{k}}(u),\nabla T_{\widehat{k}}(u)) \cdot\nabla T_k(u-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla T_k(u-\xi)\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.94}
$$
Из сходимости (5.20) по лемме 4.11 имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag T_k(u^m-\xi)\rightharpoonup T_k(u-\xi) \quad\text{в топологии }\ \sigma(L_{\infty}, L_{1}) \quad\text{пространства}\ L_{\infty}(\Omega), \\ m\to \infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.95}
$$
Интеграл $J^m$ разобьем на два слагаемых. Первый интеграл
$$
\begin{equation*}
J^m_1=\int_{\Omega} \bigl(b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+M'(\mathrm{x},u^m)\bigr)T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x}
\end{equation*}
\notag
$$
оценивается следующим образом. Пусть $\operatorname{supp}\xi\,{\subset}\,\Omega(l)$, $l\geqslant l_0$, $c^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)=b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+M'(\mathrm{x},u^m)$, $c(\mathrm{x},u,\nabla u)=b(\mathrm{x},u,\nabla u)+M'(\mathrm{x},u)$, тогда, учитывая (5.5), при $l\geqslant l_0$ имеем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int_{\Omega\setminus \Omega(l)}c^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)T_k(u^m)\,d\mathrm{x} +\int_{\Omega(l)}c^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad \geqslant\int_{\Omega(l)}c^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x}= \overline{J}^{\,lm}_1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя (5.25), (5.85), (5.95), переходим к пределу при $m\to \infty$, а затем, учитывая (5.23), (5.84), выполняем предельный переход при $l\to \infty$, получим
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega}(b(\mathrm{x},u,\nabla u)+M'(\mathrm{x},u))T_k(u-\xi)\,d\mathrm{x} =\lim_{l\to \infty}\lim_{m\to \infty}\overline{J}^{\,lm}_1 \leqslant \lim_{m\to \infty}\inf J_1^m .
\end{equation}
\tag{5.96}
$$
Используя (5.1), (5.95), выполняя предельный переход при $m\to\infty$ во втором интеграле, устанавливаем
$$
\begin{equation}
\lim_{m\to \infty}J^m_2=\lim_{m\to \infty}\int_{\Omega}f^m T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x} =\int_{\Omega}f T_k(u-\xi)\,d\mathrm{x}.
\end{equation}
\tag{5.97}
$$
Соединяя (5.88), (5.94), (5.96), (5.97), выводим (3.9). Теорема 3.1 доказана. Доказательство теоремы 3.2. Докажем, что энтропийное решение, построенное в теореме 3.1, удовлетворяет свойствам ренормализованного решения. Условие 1) выполнено, так как совпадает с условием 1) определения 3.1. Условие 2) также выполнено (см. соотношение (4.18)).
Докажем равенство (3.10). Пусть $\{u^m\}_{m\in \mathbb{N}}$ – последовательность слабых решений задачи (5.3), (1.2) и функция $S\in W^1_{\infty}(\mathbb{R})$ такая, что $\operatorname{supp}S\subset[-M,M]$ для $M>0$. Для любой функции $\xi\in C_0^1(\Omega)$, взяв $S(u^m)\xi\in\mathring {W}^1L_{M}(\Omega)$ в качестве тестовой функции в (5.8), выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\langle \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m), \nabla u^m)\cdot(S'(u^m)\xi\nabla u^m+S(u^m)\nabla\xi)\rangle \\ \notag &\qquad\qquad +\langle (b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m) +M'(\mathrm{x},u^m)-f^m(\mathrm{x}))S(u^m)\xi\rangle \\ &\qquad =I^m+J^m=0, \qquad m\in \mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.98}
$$
Очевидно, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I^m &=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m (u^m), \nabla u^m) \cdot(S'(u^m)\xi\nabla u^m+S(u^m)\nabla\xi)\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_M(u^m), \nabla T_M(u^m)) \cdot \nabla T_M(u^m) S'(u^m)\xi \,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_M(u^m), \nabla T_M(u^m)) \cdot\nabla\xi S(u^m)\,d\mathrm{x}=I^m_1+I^m_2, \qquad m\geqslant M. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.99}
$$
Ввиду сходимостей (5.20), (5.32), (5.80), применяя лемму 4.4, устанавливаем
$$
\begin{equation}
I^m_1=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_M(u), \nabla T_M(u)) \cdot \nabla T_M(u) S'(u)\xi\, d\mathrm{x}+\omega(m), \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.100}
$$
Из сходимости (5.20) по лемме 4.11 получаем
$$
\begin{equation*}
S(u^m)\nabla \xi\to S(u)\nabla \xi \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{M}(\Omega), \qquad m\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, учитывая сходимость (5.82), выводим
$$
\begin{equation}
I^m_2=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_M(u), \nabla T_M(u)) \cdot \nabla \xi S(u)\, d\mathrm{x}+\omega(m), \qquad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.101}
$$
Соединяя (5.99)–(5.101), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lim_{m\to \infty} I^m &=\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_M(u),\nabla T_M(u)) \cdot(S'(u)\xi\nabla T_M (u)+S(u)\nabla\xi)\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u) \cdot(S'(u)\xi\nabla u+S(u)\nabla\xi)\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.102}
$$
По лемме 4.11 имеем
$$
\begin{equation*}
S(u^m)\xi\rightharpoonup S(u)\xi \quad\text{в топологии }\ \sigma(L_{\infty}, L_1), \qquad m\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда ввиду сходимостей (5.1), (5.25), (5.85) устанавливаем равенство
$$
\begin{equation}
\lim_{m\to \infty} J^m =\int_{\Omega}(b(\mathrm{x},u,\nabla u)+M'(\mathrm{x},u)-f)S(u)\xi \,d\mathrm{x}.
\end{equation}
\tag{5.103}
$$
Комбинируя (5.98), (5.102), (5.103), получаем равенство (3.10). Таким образом, приходим к выводу, что $u$ является ренормализованным решением задачи (1.1), (1.2), (3.7). Теорема 3.2 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KasKoz22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|