М. Д. Ковалёв, “Конфигурационные пространства шарнирных механизмов и их проекции”, Матем. сб., 213:4 (2022), 74–99; M. D. Kovalev, “Configuration spaces of hinged mechanisms, and their projections”, Sb. Math., 213:4 (2022), 512

Аннотация: Предмет статьи – геометрия плоских шарнирных механизмов. Статья содержит формализацию основных понятий теории шарнирно-рычажных конструкций, а также сведения из вещественной алгебраической геометрии, необходимые для изучения шарнирных механизмов. Исследуются механизмы с переменным числом степеней свободы и механизмы с числом степеней свободы, большим единицы, у которых каждый шарнир движется с одной степенью свободы. Для последних механизмов полностью решен вопрос о размерности их конфигурационного пространства. Приведен ряд примеров механизмов с необычными геометрическими свойствами, сформулированы нерешенные вопросы.
Библиография: 17 названий.

§ 1. Введение

Цель статьи двойная: это приложение вещественной алгебраической геометрии к изучению шарнирных механизмов и привлечение внимания математиков к возникающим здесь нетривиальным задачам.

Под шарнирным механизмом мы понимаем плоскую идеальную конструкцию из жестких рычагов (стержней), несущих на концах шарниры. Некоторые из рычагов могут быть соединены в общем шарнире, либо шарнир может быть закреплен в плоскости. Определяющим свойством механизма является возможность непрерывного его движения. Статья посвящена исследованию пространств положений или конфигурационных пространств таких механизмов. В связи с примером шарнирного механизма, имеющего переменное число степеней свободы (примеры 4, 5, 7), все незакрепленные шарниры которого движутся по кривым, нас интересует связь размерности конфигурационного пространства механизма и размерностей множеств положений отдельных его шарниров в плоскости. Заметим, что множества положений шарниров с геометрической точки зрения есть проекции конфигурационного пространства механизма на координатные плоскости. В статье также исследуется явление размерностной неоднородности конфигурационного пространства и его проекций.

В следующем параграфе статьи приведены определения, на наш взгляд, наиболее разумно формализующие основные понятия геометрии шарнирных механизмов. Заметим, что понятия шарнирного механизма и его конфигурационного пространства в англоязычной математической литературе, в частности статьях [1]–[3], продиктованы стремлением к математической общности и удобству и не согласованы с их обычным смыслом в механике. На граф механизма практически не налагается никаких условий, например, он может быть несвязен. Механизмами называют и то, что инженеры называют фермами. Это является серьезным препятствием для восприятия математических результатов прикладниками. Такой отвлеченный, игнорирующий кинематику подход даже привел к несправедливым обвинениям А. Кемпе в ошибочности доказательства¹ его классического результата о возможности черчения по частям произвольной алгебраической кривой шарнирными механизмами. Автор старается строить математическую модель удобной именно для изучения геометрии шарнирных конструкций и вкладывать в термины устоявшийся в механике смысл. Здесь же приведены мотивирующие примеры шарнирных механизмов с различными особенностями: наличием останавливающихся шарниров и непостоянством числа степеней свободы. На эти свойства в литературе не обращалось должного внимания. Приводится точная формулировка теоремы Кемпе.

Основным математическим объектом геометрии шарнирных конструкций являются вещественные алгебраические множества, т.е. множества общих нулей совокупности вещественных многочленов от многих вещественных переменных. В качестве переменных здесь выступают декартовы координаты $(x_i,y_i)$ шарниров в евклидовой плоскости $\mathbb R^2$, а многочлены имеют очень специальный вид $(x_i-x_j)^2+ (y_i-y_j)^2-d_{ij}$, где шарниры $p_i= (x_i,y_i)$ и $p_j= (x_j,y_j)$ соединены рычагом, квадрат длины которого постоянен и равен $d_{ij}$. В § 3 приведены сведения, необходимые для изучения вещественных алгебраических множеств. Это понадобилось сделать, поскольку такие сведения нигде не собраны в нужном нам виде². Применение вещественной алгебраической геометрии в теории механизмов только начинается, и русская терминология еще не выработана. Статья рассчитана не только на математиков. Чтобы облегчить ее восприятие читателям-механикам, автор включил в этот раздел ряд сведений, очевидных алгебраистам. Термин многообразие мы применяем лишь для обозначения локально евклидовых пространств, у нас гладко вложенных в евклидово пространство топологических многообразий. Алгебраическими многообразиями часто называют неприводимые алгебраические множества, не всегда являющиеся топологическими многообразиями. Также термины замкнутость и открытость множеств здесь всюду понимаются в смысле классической топологии, а не по Зарисскому. Приходится рассматривать пересечения алгебраических множеств с открытыми множествами. Их мы называем предалгебраическими множествами. Даны определения размерности и особых точек предалгебраического множества. Следует отметить полезную теорему 5, а также теорему 8, не встретившиеся нам в литературе.

В § 4 изучаются свойства конфигурационных пространств, в частности связь между размерностью конфигурационного пространства шарнирного механизма и размерностями его проекций. Для механизма, каждый незакрепленный шарнир которого движется по кривой, найдены определяющие размерность его конфигурационного пространства условия. Доказана теорема о передаче движения в таких механизмах.

В § 5 приведены наиболее интересные новые вопросы, возникающие при развиваемом здесь подходе к формализации теории шарнирных конструкций.

§ 2. Определения, примеры, основополагающие теоремы

Математическое описание шарнирной конструкции начнем с задания ее структуры абстрактным графом (см. [11], [12]), вершины которого отвечают шарнирам, а ребра, т.е. неупорядоченные пары вершин – прямолинейным стержням (рычагам конструкции). Естественно, наши графы не содержат петель и кратных ребер. Наложим еще ряд условий на рассматриваемые графы $G(V,E)$. Во-первых, множество $V$ вершин графа распадается на две непустые непересекающиеся совокупности $V=V_1\,{\sqcup}\, V_2$, где $V_2$ – множество закрепленных вершин, отвечающих закрепленным в плоскости шарнирам, а $V_1$ – множество свободных (или незакрепленных) вершин, отвечающих незакрепленным шарнирам. Свободные вершины и шарниры на рисунках мы будем изображать кружочками, а закрепленные – крестиками. Во-вторых, естественно считать закрепленные шарниры не связанными рычагами между собой, но связанными хотя бы одним рычагом со свободным шарниром. То есть в $G(V,E)$ отсутствуют ребра вида $v_iv_j$, где $v_i, v_j\in V_2$. В-третьих, в механике принято анализировать механизмы, не распадающиеся на несколько не связанных кинематически между собой частей. Это налагает на граф $G(V,E)$ требование связности его подграфа, натянутого на множество $V_1$ свободных вершин. Итак, каждый конечный граф $G(V,E)$, удовлетворяющий перечисленным условиям, мы называем шарнирной структурной схемой или сокращенно ШСС. В силу последних двух условий граф $G(V,E)$ связен.

Закрепленной шарнирной схемой (ЗШС) мы называем ШСС, каждой закрепленной вершине $v_i\in V_2$ которой сопоставлена точка $p_i\in \mathbb R^2$, причем разным закрепленным вершинам сопоставлены различные³ точки плоскости. Теперь можно рассмотреть всевозможные отображения ШСС $G(V,E)$ в плоскость, сопоставляющие закрепленным вершинам уже выбранные точки, а свободным вершинам $v_i\in V_1$ произвольные точки $p_i=(x_i,y_i)\in\mathbb R^2$. Ребру $v_iv_j$ графа сопоставляется отрезок $p_ip_j$, называемый нами рычагом. Его можно мыслить как жесткий прямолинейный стержень. Если задана ЗШС с $m$ свободными вершинами, то существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех отображений графа $G(V,E)$ с заданными положениями его закрепленных вершин и точками $ \mathbf p=(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2},\dots ,x_{m},y_{m})$ $2m$-мерного евклидова пространства параметров $\mathbb R^{2m}$. Образ одного такого отображения мы называем шарнирником. Ему отвечает английский термин “framework”. С инженерной точки зрения шарнирник есть либо шарнирная ферма, либо определенное положение шарнирного механизма.

Пусть в ШСС $G(V,E)$ число ребер $|E|=r$, тогда закрепленная шарнирная схема определяет отображение евклидовых пространств $F\colon \mathbb R^{2m} \to \mathcal R^{r}$, задающееся формулами $d_{ij}=(p_{i}-p_{j})^{2}$, $v_{i}v_{j} \in E$. Это отображение сопоставляет положениям свободных шарниров в плоскости квадраты длин рычагов и называется рычажным (в англоязычной литературе – “rigidity mapping” или “edge function”). Оно играет ключевую роль в геометрии шарнирных конструкций. Точки $\mathbf d=\{d_{ij}\}$ пространства $\mathcal R^{r}$ мы называем кинематическими шарнирными схемами (КШС).

Полный прообраз $K=F^{-1}(\mathbf d)$ точки при рычажном отображении называем конфигурационным пространством КШС $\mathbf d$. При таком подходе каждой компоненте $K^j$ связности множества $K$ отвечает определенное шарнирное устройство. Если компонента связности одноточечна, то это устройство представляет собой шарнирную ферму. Шарнирная ферма не допускает непрерывного движения свободных шарниров без изменения длин рычагов и положений закрепленных шарниров. В противном случае компонента связности есть множество положительной размерности, и ей отвечает шарнирный механизм. Такую компоненту $K^j$ связности множества $K$ мы называем конфигурационным пространством шарнирного механизма. Шарнирники, составляющие эту компоненту, суть положения шарнирного механизма. Конфигурационное пространство шарнирного механизма является (линейно) связным, что отвечает возможности непрерывно перевести механизм из одного своего положения в любое другое. Последнее обстоятельство существенно для механики, ибо шарнирные механизмы предназначены для передачи движения.

Одной КШС может отвечать несколько шарнирных устройств. Машиноведы в этом случае говорят о различных сборках шарнирного механизма. При нашем подходе естественнее вместо различных сборок одного механизма говорить о различных устройствах с одной и той же КШС.

Пример 1. Поясним сказанное рис. 1, где изображены два шарнирных механизма a и b с одной и той же кинематической схемой. Механизмы состоят из четырехзвенника $p_4p_1p_2p_5$, к которому присоединена так называемая двуповодковая группа $p_6p_3p_2$, не ограничивающая движений четырехзвенников. Если рычаг $p_1p_2$ достаточно короток, то четырехзвенники, отличающиеся отражением относительно прямой $p_4p_5$, нельзя непрерывно перевести один в другой. В терминологии машиноведов речь идет о двух сборках шарнирного механизма. Однако, укорачивая двуповодковую группу $p_6p_3p_2$, можно добиться, чтобы сборка b стала фермой. Это наступит, когда рычаги $p_2p_3$ и $p_3p_6$ окажутся на одной прямой и круг с центром $p_6$ радиуса, равного сумме длин этих рычагов, будет иметь лишь одну общую точку с дугой окружности, по которой движется шарнир $p_2$. Сборка же a при этом останется механизмом.

Может случиться, что для шарнирного механизма $K^1\subset K$ какие-то шарниры неподвижны, в то время как для этой же КШС существуют механизмы, в которых они движутся. Тогда для механизма $K^1$ разумно рассматривать приведенные ШСС, ЗШС и КШС, свободными шарнирами которых являются лишь подвижные в механизме $K^1$ шарниры. Эти схемы получаются из исходных схем закреплением неподвижных в $K^1$ шарниров и отбрасыванием шарниров, оказавшихся несущественными для анализа движений механизма $K^1$. Далее будем считать для рассматриваемого механизма все свободные шарниры подвижными, т.е. работать с его приведенной ЗШС. У приведенной ЗШС каждый свободный шарнир, очевидно, смежен не более чем одному закрепленному. Отметим существование механизмов с останавливающимися шарнирами.

Пример 2. Показанный сплошными линиями на рис. 2, b, шарнирный ромб – это четырехзвенник, длины рычагов которого одинаковы и равны расстоянию между закрепленными шарнирами $p_7$ и $p_5$. Его можно непрерывно двигать так, чтобы он оставался по форме ромбом. Но если совместить свободный шарнир $p_1$ с закрепленным шарниром $p_5$, то можно будет вращать часть этого механизма, состоящую из слившихся рычагов $p_1p_2$ и $p_2p_5$, вокруг совпавших шарниров $p_1$ и $p_5$. При этом шарнир $p_1$ останавливается.

Допустим, множество положений шарнира $p_i$ механизма одномерно. Назовем такой шарнир $p_i$ останавливающимся, если возможно непрерывное движение механизма, когда шарнир $p_i$ покоится. У шарнирного ромба каждый из двух его свободных шарниров останавливающийся. Но множество остановившихся в данный момент движения механизма шарниров либо пусто, либо состоит лишь из одного шарнира. Рассмотрим класс $Q_1$ плоских механизмов с приведенной ЗШС, у которых множество положений каждого свободного шарнира одномерно. В связи с возможностью остановки шарниров возникает естественный вопрос: непременно ли у механизма из класса $Q_1$ есть положения, вблизи которых все его свободные шарниры движутся с ненулевыми скоростями при движении механизма? Следующий пример показывает, что это не так.

Пример 3. На рис. 2, a, сплошной линией показана траектория середины среднего звена (далее это шарнир $p_3$) шарнирного ромба со стороной $a$, закрепленного в обозначенных крестиками точках. В точках соприкосновения окружностей происходит ветвление пути середины среднего звена. Добавим в середину среднего звена (см. рис. 2) шарнирного ромба $p_7p_1p_2p_5$ шарнир $p_3$⁴ и соединим его с закрепленным шарниром $p_6$ двуповодковой группой $p_3p_4p_6$. Возьмем шарнир $p_6$ лежащим посередине между закрепленными шарнирами $p_5$ и $p_7$, а длины рычагов $p_3p_4$ и $p_4p_6$ равными $a/4$. Полученной кинематической схеме отвечает шарнирный механизм, шарнир $p_3$ которого может двигаться лишь в пределах круга, ограниченного штриховой окружностью. Эти движения отвечают либо остановившемуся в точке $p_7$ шарниру $p_2$, либо остановившемуся в точке $p_5$ шарниру $p_1$. То есть в любом положении нашего механизма имеется его остановившийся шарнир.

Пример 4. Шарнирный механизм с переменным числом степеней свободы (см. [11]). Этот механизм (рис. 3) содержит 13 рычагов, семь свободных ($p_1,\dots ,p_7$) и три закрепленных ($p_8, p_9, p_{10}$) шарнира. Он построен из двух одинаковых шарнирных параллелограммов $P_1$: $p_8, p_1, p_3, p_9$ и $P_2$: $p_8, p_4, p_6, p_9$. Шарниры $p_2$ и $p_5$ лежат посередине рычагов $p_1p_3$ и $p_4p_6$ соответственно. Длины дополнительных рычагов $p_2p_7$ и $p_5p_7$ равны длинам боковых рычагов $p_1p_8$ и $p_4p_8$ параллелограммов. Длина рычага $p_{10}p_7$ подобрана так, что шарнир $p_7$ может оказаться посередине отрезка $p_8p_9$, как и показано на рис. 3, а. Когда шарнир $p_7$ находится в указанном положении, параллелограммы $P_1$ и $P_2$ можно двигать независимо один от другого с одной степенью свободы каждый, и поэтому число степеней свободы всего механизма в этих положениях равно двум. Если же механизм привести в положение, когда рычаги $p_2p_7$ и $p_7p_5$ лягут на прямую $p_{10}p_7$, то шарнир $p_7$ можно будет сдвинуть со своего места. В положениях, когда шарнир $p_7$ не лежит посередине отрезка $p_8p_9$ (см. рис. 3, b), число степеней свободы механизма равно единице. Опираясь на этот пример, специалист по теории механизмов Карл Вольхарт (Wohlhart) из университета Граца (Австрия) построил пример шарнирного механизма с числом степеней свободы, меняющимся от 1 до произвольного натурального $n> 2$.

Естественным образом возникает вопрос: непременно ли у механизма из класса $Q_1$ есть положения, вблизи которых он движется с одной степенью свободы? Отрицательный ответ на этот вопрос дает следующий пример.

Пример 5. Построение такого механизма $M$ показано на рис. 4. Механизм $M$ получается присоединением к механизму $M_3$ примера 3 двух механизмов $M_1$ и $M_2$, полученных из механизма примера 4 удалением рычага $p_{10}p_7$. Будем помечать их шарниры соответственно одним и двумя штрихами. Причем шарнир $p'_7$ механизма $M_1$ совмещаем с шарниром $p_2$ механизма $M_3$. А положения закрепленных шарниров ($p'_8$ и $p'_9$) механизма $M_1$ выбираем так, чтобы шарнир $p_7$ механизма $M_3$ лежал посередине между ними. В этом случае при остановке шарнира $p_2$ механизма $M_3$ при его совмещении с закрепленным шарниром $p_7$ механизм $M_1$ может двигаться с двумя степенями свободы независимо от остальной части механизма $M$. То же самое можно сказать и про механизм $M_2$, шарнир $p''_7$ которого совмещаем с шарниром $p_1$ механизма $M_3$. А положения его закрепленных шарниров ($p''_8$ и $p''_9$) выбираем так, чтобы шарнир $p_5$ механизма $M_3$ лежал посередине между ними. Когда шарнир $p_1$ механизма $M_3$ останавливается в точке $p_5$, механизм $M_2$ может двигаться с двумя степенями свободы независимо от остальной части механизма $M$. Таким образом, если шарнир $p_1$ механизма $M_3$ совпал с его шарниром $p_5$, а шарнир $p_2$ механизма $M_3$ совпал с его шарниром $p_7$, то механизм $M$ имеет четыре степени свободы. Во всех остальных положениях механизм $M$ обладает лишь тремя степенями свободы.

Число степеней свободы построенного механизма переменно и всюду больше единицы. Возникает вопрос, а есть ли в классе $Q_1$ механизмы с постоянным и большим единицы числом степеней свободы? Положительный ответ на этот вопрос дает механизм $M'$ класса $Q_1$ с двумя степенями свободы в любом своем положении следующего примера.

Пример 6. Механизм $M'$ получается из механизма $M$ примера 5 отбрасыванием по одному параллелограмму из механизмов $M_1$ и $M_2$, входящих в состав $M$. При этом получившиеся вместо $M_1$ и $M_2$ механизмы $M'_1$ и $M'_2$ движутся с одной степенью свободы в случае совпадения шарнира $p_2$ с шарниром $p_7$ и в случае совпадения шарнира $p_1$ с шарниром $p_5$ соответственно. Таким образом, механизм $M'$ имеет две степени свободы, когда шарнир $p_2$ совпадает с шарниром $p_7$ и одновременно шарнир $p_1$ совпадает с шарниром $p_5$. Также он имеет две степени свободы и тогда, когда шарнир $p_2$ совпадает с шарниром $p_7$, а шарнир $p_1$ не совпадает с шарниром $p_5$. Либо шарнир $p_1$ совпадает с шарниром $p_5$, а шарнир $p_2$ не совпадает с шарниром $p_7$. В двух последних случаях неподвижен лишь один из шарниров $p_2$ или $p_1$.

Проекция вещественного алгебраического множества не всегда является алгебраическим множеством. Полуалгебраическим называют подмножество евклидова пространства, представляющее собой конечное объединение множеств решений конечных систем полиномиальных уравнений и полиномиальных неравенств. Нам понадобится следующее важное утверждение: проекция полуалгебраического и, в частности, алгебраического множества есть полуалгебраическое множество. Это важное утверждение является следствием теоремы Тарского–Зайденберга (см. [13]).

Основополагающей в теории шарнирных механизмов является теорема Кемпе. Однако в работе Кемпе [4] был приведен метод построения механизма, чертящего кусочек кривой, и не было сформулировано никаких теорем. Сделанное Кемпе можно сформулировать следующим образом. Пусть рассматриваемый механизм имеет $m$ свободных шарниров, а значит, $K\subset \mathbb R^{2m}$, и пусть шарнирник $\mathbf p\in F^{-1}(\mathbf d)$.

Из этой теоремы следует, что в случае связности $A\cap U$ (чего можно добиться, уменьшая окрестность) каждая точка из $A\cap U$ достигается шарниром $p_j$ при непрерывном и небольшом движении механизма.

Последними продвижениями в направлении теоремы Кемпе стали следующие результаты “в целом”, полученные в работах [14], [1]–[3].

И, наконец, приведем еще один пример, подобного которому нам не встречалось в литературе.

Пример 7. Построим механизм с переменным числом степеней свободы, у которого шарнир заметает размерностно неоднородное подмножество плоскости. Как делается при доказательстве теоремы Кемпе в [4], построим механизм $M'_1$, множество положений шарнира $p_1$ которого совпадает с кривой $xy=0$ в круге $K_1\colon x^2+y^2\leqslant 6^2$ (рис. 5). Возьмем еще один такой же, но параллельно сдвинутый, механизм $M'_2$, множество положений шарнира $p_2$ которого совпадает с кривой $(x-2)y=0$ в круге $K_2\colon (x-2)^2+y^2\leqslant 6^2$. Присоединим к шарниру $p_1$ механизма $M'_1$ шарнир $q_1$ рычагом единичной длины. В получившемся механизме $M_1$, имеющем две степени свободы, шарнир $q_1$ заметает крест $Q_1$, составленный из двух прямоугольников со сторонами длин 12 и 2, короткие стороны которого скруглены полуокружностями (см. рис. 5). Если таким же образом присоединить к шарниру $p_2$ механизма $M'_2$ шарнир $q_2$, то получим механизм $M_2$, шарнир $q_2$ которого заметает крест $Q_2$, полученный смещением креста $Q_1$ на две единицы вправо. Совмещая шарниры $q_1$ и $q_2$ в один шарнир $q$, получим из механизмов $M_1$ и $M_2$ один механизм $M$. Множество положений $Q$ его шарнира $q$, очевидно, есть пересечение $Q_1\cap Q_2$ множеств положений совмещенных шарниров $q_1$ и $q_2$. Оно представляет собой горизонтально вытянутый прямоугольник со сторонами длин 2 и 10 со скругленными короткими сторонами, симметрично обьединенный с вертикальным отрезком длины $12$. Фигура $Q$ связна и размерностно неоднородна.

Механизм $M$ имеет переменное число степеней свободы. В положениях, в которых шарнир $q$ движется по отрезку, число его степеней свободы равно единице. Когда же шарнир $q$ движется внутри фигуры $Q$, число его степеней свободы равно двум.

§ 3. Сведения из вещественной алгебраической геометрии

Мы рассматриваем кольцо $\mathbb K[z]=\mathbb K[z_1, z_2,\dots , z_n]$ многочленов от $n$ переменных $z_i$ над полем $\mathbb K$ ($z\in \mathbb K^n$). Как правило, роль поля $\mathbb K$ будет играть поле $\mathbb R$ вещественных чисел, реже поле $\mathbb C$ комплексных чисел. Множество общих нулей совокупности многочленов $f_i\in \mathbb K[z]$, $ 1\leqslant i \leqslant k$, называют (аффинным) алгебраическим множеством $V=V(f_1,\dots ,f_k)\subset\mathbb K^n$.

Важнейшим свойством алгебраического множества является его приводимость, либо неприводимость. Неприводимым называют такое алгебраическое множество $V$, для которого из равенства $V=U\cup W$ для алгебраических множеств $U$ и $W$ следует, что хотя бы одно из них совпадает с $V$. Неприводимое алгебраическое множество, в отличие от приводимого, не представимо в виде объединения конечного числа собственных алгебраических подмножеств (см. [15]). Общеизвестны следующие утверждения.

Пусть $I(M)$ – множество всех многочленов, обращающихся в нуль на множестве $M\subset \mathbb K^n$. Это множество представляет собой идеал, т.е. такое подкольцо кольца $\mathbb K[z]$, что из $f\in I(M)$ для любого многочлена $h\in \mathbb K[z]$ вытекает $hf\in I(M)$. Идеал $I$ называется простым, если для многочленов $f$ и $g$ из $fg\in I$ следует принадлежность идеалу $I$ хотя бы одного из многочленов $f$ и $g$.

Аналогичные утверждения справедливы и в комплексном случае.

Назовем предалгебраическим множеством пересечение вещественного или комплексного алгебраического множества с открытым множеством. Всякое алгебраическое множество является и предалгебраическим. Компонента связности алгебраического множества есть предалгебраическое, но не обязательно алгебраическое множество (пример 9). Любое, в частности, предалгебраическое множество $M\subset \mathbb R^n$ назовем неприводимым, если идеал $I(M)$ прост, и приводимым в противном случае. Пусть $V(I)$ – множество общих нулей многочленов идеала $I$. Иными словами, множество $M$ неприводимо, если его алгебраическое замыкание $V(I(M))$ есть неприводимое алгебраическое множество. Справедлива

Доказательство. В условиях леммы полиномиальная параметризация означает, что множество $\mathcal V\subset \mathbb R^n$ параметризовано многочленами $f_i(t)$, $1\leqslant i \leqslant n$, $t\in T\subset\mathbb R^k$, где векторный параметр $t$ принимает значения из множества $T$, обладающего внутренними точками. Если многочлен $F(x)$, $x\in \mathbb R^n$, принадлежит идеалу $I=I(V)=I(\mathcal V)$, то результат подстановки в него выражений переменных $x$ через переменные $t$ дает многочлен от переменных $t$, зануляющийся на множестве $T$. Но всякий многочлен, зануляющийся на множестве $T$, обладающем внутренними точками, есть нулевой многочлен.

Предположим теперь, что произведение двух многочленов $G(x)H(x)\in I$. После подстановки параметризации получим произведение $G^*(t)H^*(t)$ многочленов от переменных $t$. Как мы видели, это произведение есть нулевой многочлен. Но в силу отсутствия в кольце многочленов делителей нуля (целостность кольца) хотя бы один из многочленов $G^*(t)$, $H^*(t)$ есть нулевой многочлен. Скажем, если $G^*(t)$ нулевой, то $G(x)\in I$. А это и означает простоту идеала $I=I(V)$, и неприводимость множества $V$. Лемма доказана.

Справедливо и более сильное утверждение (см. [10]).

Алгебраическое множество над полем комплексных чисел, задающееся уравнением $f=0$, является неприводимым тогда и только тогда, когда неприводим многочлен $f$. Над полем вещественных чисел приводимый многочлен может задавать неприводимое алгебраическое множество. Например, многочлен $(x-y)(x^2+y^2)$ задает прямую $y=x$. А прямая есть неприводимое множество, поскольку имеется ее параметрическое задание $x=t$, $y=t$. С другой стороны, и неприводимый многочлен может задавать приводимое вещественное алгебраическое множество. Например, неприводимый над полем вещественных чисел многочлен $x^2(x-1)^2+y^2$ задает приводимое множество $W$, состоящее из двух точек $(0,0)$ и $(1,0)$.

Связное неприводимое вещественное алгебраическое множество может быть размерностно неоднородным, что показывает следующий пример.

Пример 8. Зонтик⁵ задается уравнением $x^2-y^2z=0$ (рис. 6). Его сечения плоскостями $z=c>0$ суть кривые второго порядка, распадающиеся в пару прямых $(x-\sqrt{c}y)(x+\sqrt{c}y)=0$. Сечения же плоскостями $z=c<0$ состоят из одной точки $(0,0,c)$. Кроме двумерной части при $z\geqslant 0$ он включает и одномерную при $z< 0$ полуось $Oz$. Поскольку двумерная его часть имеет параметризацию $x=uv$, $y=v$, $z=u^2$, то зонтик Уитни есть неприводимое алгебраическое множество в $\mathbb R^3$. Он связен и размерностно неоднороден.

Неприводимое алгебраическое множество может быть несвязным и даже с компонентами различной размерности.

Пусть в шаровой окрестности $U_x$ точки $x\in \mathcal V\subset \mathbb R^n$ предалгебраическое множество $\mathcal V$ можно задать уравнениями $f_1=f_2=\dots =f_r=0$, для которых ранг матрицы из частных производных $dF=\|\partial f_j/\partial x_i\|$ в точке $x$ равен $r$. Назовем такую точку $x$ годной, остальные точки множества $\mathcal V$ будем называть негодными. Для достаточно малой окрестности $U_x$ годной точки $x$ множество $U_x\cap \mathcal V$ гомеоморфно открытому $(n-r)$-мерному шару. Размерностью множества $\dim_x \mathcal V$ в его годной точке $x$ называем число $n-r$. Например, размерность зонтика равна единице в точках отрицательной полуоси $Oz$ и равна двум в остальных точках, не лежащих на неотрицательной полуоси $Oz$, составляющей множество негодных точек. Размерность множества $\mathcal V$ в негодных точках мы определять не будем.

Размерностью $\dim \mathcal V$ предалгебраического множества $\mathcal V\subset \mathbb R^n$ называем $\max\dim_x \mathcal V$, взятый по всем годным точкам $x\in \mathcal V$. Это определение согласуется с интуитивным пониманием размерности.

Годные точки $x$ неприводимого предалгебраического множества $\mathcal V\subset \mathbb R^n$, в которых $\dim_x \mathcal V=\dim \mathcal V$, будем называть неособыми точками неприводимого множества $\mathcal V$. Остальные точки неприводимого множества $\mathcal V$ будем называть особыми. Так, для зонтика множество особых точек совпадает с осью $Oz$. Если все точки неприводимого предалгебраического множества являются его неособыми точками, то такое множество называем гладким.

Приводимое предалгебраическое множество представляет собой объединение конечного числа неприводимых компонент. Его размерностью считаем наибольшую из размерностей его неприводимых компонент. Особые точки приводимого множества суть особые точки его неприводимых компонент либо точки пересечения различных компонент. Кратные компоненты в силу определения выпадают из рассмотрения.

Таким же образом определяем и размерность алгебраического множества в комплексном пространстве $\mathbb C^n$. Комплексная его размерность равна $n\,{-}\,r$. Если же это алгебраическое множество рассматривать как подмножество $2n$-мерного вещественного пространства, то его размерность равна $2(n-r)$.

Доказательство. Пусть идеал $I(V)$ порождается многочленами $f_1,f_2, \dots,f_s$. Рассмотрим комплексификацию $V_C$ множества $V$, т.е. множество общих нулей этих многочленов в $\mathbb C^n$, $V=V_C\cap \mathbb R^n$ (где $\mathbb R^n \subset \mathbb C^n$ – подпространство вещественных частей комплексных координат). Пусть в окрестности $U_x\subset \mathbb R^n$ неособой точки $x\in V$ множество $V$ задается уравнениями $f_1=f_2=\dots =f_r\,{=}\,0$, $r\leqslant s$. После переименования переменных можно считать, что в окрестности $U_x$ множество $V$ параметрически задается аналитическими функциями:

$$ \begin{equation} \begin{cases} x_1=\varphi_1(x_{r+1},\dots ,x_n), \\ \dots \dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ x_r=\varphi_r(x_{r+1},\dots ,x_n), \end{cases} \end{equation} \tag{1} $$

где точки $(x_{r+1},\dots ,x_n)$ принадлежат некоторому открытому множеству $W\subset R^{n-r}$.

Эти же уравнения задают множество $V_C$ в окрестности $U_C\subset \mathbb C^n$ точки $x\in \mathbb C^n$. Подставляя выражения для $x_1,\dots ,x_r$ из (1) в многочлен $P(x_1,\dots ,x_n)$, получим аналитическую в $W$ и тождественно равную нулю в $W$ функцию $\mathcal P(x_{r+1},\dots ,x_n)$. То же можно сказать и о функции комплексного переменного $\mathcal P(z_{r+1},\dots ,z_n)$, зануляющейся на открытом множестве $ W_C\subset \mathbb C^{n-r}$, $W_C\supset W$. Итак, ограничение $P(z)|_{V}$ многочлена на множество $V_C$ зануляется на некоторой окрестности $U_C\subset \mathbb C^n$ неособой его точки $x$. Множество неособых точек неприводимого комплексного алгебраического множества $V_C$, как известно [8], связно и всюду плотно в $V_C$. По аналитическому продолжению, однозначному с полноразмерной по условию окрестности $U_C\cap V_C$, аналитическая функция $P(z)|_{V}$ равна нулю на множестве неособых точек $V_C$. Следовательно, многочлен $P(z)$ равен нулю на всем $V_C$, а значит, и на $V$. Лемма доказана.

Смысл леммы 5 состоит в однозначной восстановимости неприводимого вещественного алгебраического множества $V$ по его полномерному произвольно малому кусочку $U_x\cap V$.

Действительно, рассмотрим алгебраическое замыкание $K$ кривой $\mathcal K$. Если бы многочлен $x_i$ равнялся нулю в окрестности какой-либо неособой точки кривой $K$, то по лемме 5 он бы обращался в нуль на всей кривой $K$, а значит, и на $\mathcal K$.

Если алгебраическое множество $V$ приводимо, то в условиях теоремы 7 оно может иметь компоненты размерности, большей $n-r$. Такой пример дает конфигурационное пространство шарнирного механизма с переменным числом степеней свободы примера 4. Для него $n=2m= 14$, $r=13$, а $\dim V=2$. Из невыполнения равенства $\dim V = n-r=1$ для него можно сделать заключение о его приводимости.

Пусть $\pi M$ получается проектированием множества $M\subset \mathbb R^n$ вдоль первых $s$ координатных осей с ортами $e_1,\dots ,e_s$ на ортогонально дополнительное подпространство.

Доказательство. Рассмотрим систему уравнений

$$ \begin{equation} \begin{cases} \displaystyle \sum_{i=1}^s \alpha_i\dfrac{\partial f_1}{\partial x_i} =0, \\ \dots\dots \dots\dots \\ \displaystyle \sum_{i=1}^s \alpha_i \dfrac{\partial f_l}{\partial x_i}=0, \end{cases} \end{equation} \tag{2} $$

линейных относительно неизвестных коэффициентов $\alpha_i\in \mathbb R$. В ней производные ${\partial f_1}/{\partial x_i}$ взяты в точке $x\in V$. Геометрический смысл этой системы состоит в том, что вектор $ \alpha_1e_1+ \alpha_2e_2+\dots +\alpha_se_s$ параллелен касательному пространству $T_x$ в точке $x$ к множеству $V$. Если эта система в точке $x\in V$ имеет $r$ линейно независимых решений, то $(n-l)$-мерное касательное пространство $T_x$ проектируется в пространство $\pi T_x$ размерности $d_T=n-l-r$. Поскольку $r=s-\operatorname{Rank} dF^*$, где $d F^*$ – матрица системы (2), то $d_T$ падает вместе с $\operatorname{Rank} dF^*$: $d_T=n-l-s+\operatorname{Rank} dF^*$. В силу размерностной однородности $V$ для любой окрестности $U_x$ произвольной точки $x\in V$ пересечение $V\cap U_x$ имеет ту же размерность, что и $V$. Пусть $F=\max_{x\in V} \operatorname{Rank} dF^*(x)$. Тогда для любого $y\in V$ из некоторой окрестности $U'$ точки $x' \in V\cap U_x$, в которой $ \operatorname{Rank} dF^*(x')=F$, справедливо равенство $ \operatorname{Rank} dF^*(y)=F$. Размерность же проекции касательного пространства к $V$ в точке $y$ равна $d_T=n-l-s+ F$. Таким образом, точки $\pi y$ являются точками гладкости проекции $\pi ( V\cap U')$, а размерность $\pi ( V\cap U')$ равна $d_T=n-l-s+F$. Допустим теперь, что $\dim \pi ( V\cap U'')< n-l-s+F$ для окрестности $U''$ некоторой точки $V$. Тогда для точек из $U''\cap V$ должно быть $ \operatorname{Rank} dF^*(x)<F$. Это означает равенство нулю на множестве $U''\cap V$, имеющем ту же размерность, что и $V$, миноров матрицы $dF^*$, представляющих собой многочлены. Вследствие леммы 5 эти многочлены обращаются в нуль на всем $V$. Что влечет неравенство $\max_{x\in V} \operatorname{Rank} dF^*(x)< F$. Мы получили противоречие нашему допущению. Теорема доказана.

Многообразие $M\subset \mathbb R^n$ размерности $n-r$ называем аналитически вложенным, если в окрестности каждой своей точки оно задается равенствами (1).

Доказательство. В этом случае $\mathcal V$ является аналитически вложенным связным многообразием, и к нему можно применять лемму 6. Допустим, $\mathcal V$ приводимо, тогда имеются такие многочлены $f$ и $g$, что произведение $fg$ зануляется на $\mathcal V$, но ни один из этих многочленов не равен тождественно нулю на $\mathcal V$. Пусть, например, $g(y)\ne 0$ в точке $y\in \mathcal V$. Тогда найдется такая окрестность $U_y$ точки $y$, что $f=0$ на $U_y \cap \mathcal V$. Но тогда по лемме 6 $f=0$ на $\mathcal V$, что противоречит допущению о приводимости. Лемма доказана.

§ 4. Конфигурационные пространства шарнирных механизмов и их проекции

В этом параграфе рассматриваются лишь вещественные алгебраические множества. В отличие от конфигурационного пространства КШС, конфигурационное пространство шарнирного механизма может не быть алгебраическим множеством, а быть лишь его связной частью. Но это всегда предалгебраическое множество. Критерий приводимости конфигурационного пространства шарнирного механизма аналогичен теореме 4.

Шарнирный механизм называется правильным, если его конфигурационное пространство состоит из правильных точек рычажного отображения. В этом случае конфигурационное пространство является аналитически вложенным в $\mathbb R^n$ компактным, связным, ориентируемым многообразием⁷. Из леммы 7 следует

В случае неприводимости конфигурационного пространства $K^j$ механизма конфигурационное пространство $K$ КШС этого механизма может оказаться приводимым. В этом случае оно состоит более чем из одной компоненты связности. Пример чего мы получаем присоединив свободно вращающийся рычаг к свободному шарниру простейшей шарнирной фермы.

Непосредственным следствием теоремы 8 является следующее утверждение.

В частности, множество положений $K^j_i$ каждого свободного шарнира правильного шарнирного механизма размерностно однородно.

Конфигурационное пространство КШС может быть неприводимым и размерностно неоднородным. Таковым является конфигурационное пространство КШС примера 1 в случае, когда оно состоит из двух гладких замкнутых кривых и изолированной точки. Неприводимость его в случае закрепленных шарниров $q_1=(0,0)$, $q_2=(8,0)$, $q_3=(4,7)$ и длин рычагов $ q_1p_1=5$, $p_1p_2=1$, $p_2q_2=6$, $q_3p_3 = 5$, $p_1p_3 =5$ установлена С. Ю. Оревковым. Автору неизвестны примеры шарнирных механизмов с неприводимым и размерностно неоднородным конфигурационным пространством, хотя ввиду результатов работ [14], [2], [1] таковые, по-видимому, существуют.

Доказательство. Действительно, пусть $\mathbb R^n$ есть прямая сумма $\mathbb R^k\oplus \mathbb R^{n-k}$, $k\geqslant 2$, $\pi K\subset \mathbb R^k$ – проекция кривой $K\subset \mathbb R^n$ вдоль $\mathbb R^{n-k}$ и координаты $x\in \mathbb R^k$ и $y\in \mathbb R^{n-k}$, а $z=(x, y)\in \mathbb R^n$. Пусть $\pi K$ содержит приводимое предалгебраическое множество. Тогда можно указать два таких многочлена $f(x)$ и $g(x)$, что их произведение $f(x)g(x)=0$ на $U_x\cap \pi K$, где $U_x\subset \mathbb R^k$ – шаровая окрестность точки $x_0$ кривой $\pi K$, и ни один из этих многочленов не обращается в нуль на $U_x\cap \pi K$. Допустим, кривая $K$ неприводима. Тогда многочлен $f(z)g(z)=f(x)g(x)=0$ в точках $z\in U_z\cap K$, где $U_z\subset \mathbb R^n$ – некоторая шаровая окрестность точки $z_0=(x_0, y_0)$, проектирующейся в $x_0$. И по лемме 6 $f(z)g(z)=0$ на всей $K$. Но ни один из многочленов $f(x)=f(z)$, $g(x)=g(z)$ не обращается в нуль на $U_x\cap \pi K$, а значит, и на $U_z\cap K$. Поэтому ни один из многочленов $f(z)$, $g(z)$ не обращается в нуль на кривой $K$. Это противоречит неприводимости $K$. Теорема доказана.

Из этой теоремы следует приводимость конфигурационного пространства механизма, множество положений какого-либо шарнира которого содержит приводимое предалгебраическое подмножество. Например, приводимость размерностно неоднородного конфигурационного пространства шарнирного механизма примера 7 вытекает из того, что его шарнир $p_1$ движется по кривой $x_1y_1=0$ вблизи ее двойной точки.

Проекция гиперболы $z=0$, $xy=1$, расположенной в $\mathbb R^3$, на плоскость $y=0$ есть прямая $z=0$ с выколотой точкой $x=0$. Проекция окружности $z=0$, $x^2+y^2=1$ на ту же плоскость есть отрезок прямой $z=0$, $-1\leqslant x\leqslant 1$. В общем случае можно утверждать следующее.

Алгебраическая кривая может содержать конечное число точек возврата или точек самопересечения, поэтому из этого утверждения следует, что $K^j_i$ состоит из конечного числа гладких аналитических дуг. Далее будем их называть просто дугами. Если для какого-либо шарнира $p_i$ плоского механизма множество $K^j_i$ его положений двумерно, то размерность конфигурационного пространства $K^j$ механизма не менее двух. Но как мы видели, условия $\dim K^j_i=1$ для всех подвижных шарниров механизма, т.е. условия его принадлежности классу $Q_1$, еще недостаточно для одномерности его конфигурационного пространства. Мы получим необходимое и достаточное условие одномерности конфигурационного пространства плоского шарнирного механизма. Напомним, что рассматривается шарнирный механизм с приведенной КШС, так что каждый свободный шарнир подвижен и множество подвижных шарниров механизма связно.

Далее мы рассматриваем пару смежных, т.е. соединенных рычагом длины $l>0$, шарниров $p_1$ и $p_2$ шарнирного механизма. Шарнир $p_1$ будем называть ведущим, шарнир $p_2$ – ведомым. Пусть шарнир $p_1$ движется по ограниченной открытой (без концевых точек) дуге $D^i_1$. Мы можем считать, что каждая такая дуга есть гладкая несамопересекающаяся дуга неприводимой алгебраической кривой, а разные дуги пересекаются разве лишь в своих концевых точках. Пусть при движении ведущего шарнира $p_1$ по дуге $D^i_1$ с ненулевой скоростью ведомый шарнир $p_2$ движется по дуге $D^j_2$ также с ненулевой скоростью. Тогда мы говорим, что на дугах $D^i_1$ и $D^j_2$ движение передается от ведущего шарнира $p_1$ к ведомому шарниру $p_2$. При движении механизма может оказаться, что шарнир $p_1$ движется по дуге $D^i_1$ окружности радиуса $l$ с центром в $p_2$, в то время как шарнир $p_2$ покоится. В этом случае мы называем шарнир $p_2$ остановившимся и считаем, что движение от шарнира $p_1$ к шарниру $p_2$ не передается.

Теорема 12. Для плоского механизма класса $Q_1$ без останавливающихся шарниров множество $K_1$ положений свободного шарнира $p_1$ можно так разбить на конечное число открытых дуг $D_1^i$, что выполнены следующие условия.

(1) При движении $p_1$ по каждой дуге движение от шарнира $p_1$ передается к шарниру $p_2$ однозначно.

(2) В конечном числе точек $K_1$, являющихся концами дуг $D_1^i$, либо нулевой скорости $p_1$ отвечает ненулевая скорость $p_2$ или, наоборот, ненулевой скорости $p_1$ отвечает нулевая скорость $p_2$⁸, либо возможна неоднозначная передача движения от шарнира $p_1$ к шарниру $p_2$. В последнем случае возможно лишь конечное число способов передачи движения.

Приведем и краткую “механическую” формулировку этой теоремы.

У плоского механизма класса $Q_1$ без останавливающихся шарниров в каждом из своих положений, за исключением конечного их числа, ведущий шарнир осуществляет однозначную передачу движения ведомому⁹ шарниру. В конечном числе положений передача движения может происходить не единственным, но конечным числом способов.

Доказательство теоремы 12. Пусть гладкая дуга $D^i_1$ есть часть неприводимой кривой, задающейся полиномиальным уравнением $P(x,y)=0$, а $D^j_2$ – часть неприводимой кривой $Q(x,y)=0$. Рассмотрим алгебраическое множество $M$, задающееся системой уравнений

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, P(x,y)& = 0, \\ Q(X,Y)& = 0, \\ (X-x)^2- (Y-y)^2 -l^2&= 0, \end{aligned} \end{equation} \tag{3} $$

и его предалгебраическую часть $M_{i,j}$, для которой $(x,y)\in D^i_1$, а $(X,Y)\in D^j_2$. Множество $M_{i,j}$ будем считать неприводимым. Будем обозначать дифференцирование нижним индексом, указывающим переменную, по которой оно происходит. Составим матрицу дифференциала отображения, задающегося левыми частями уравнений,

$$ \begin{equation*} dF= \left\|\begin{matrix} P_x & P_y&0&0 \\ 0 & 0 & Q_X&Q_Y \\ 2(x-X) & 2(y-Y)& 2(X-x)&2(Y-y) \end{matrix}\right\|. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Возможны следующие случаи.

1. Если $\operatorname{Rank} dF=3$ на $M_{i,j}$, то это множество есть гладкая дуга неприводимой алгебраической кривой.

2. Поскольку $\operatorname{grad} P\ne 0$ на дуге $D^i_1$ и $|p_1p_2|=l>0$, то $\operatorname{Rank} dF\geqslant2$. И $\operatorname{Rank} dF=2$ тогда и только тогда, когда либо вектор $\operatorname{grad} Q=0$, либо векторы $ \operatorname{grad} P$, $\operatorname{grad} Q$ и $p_1-p_2$ коллинеарны. Таким образом, $\operatorname{Rank} dF=2$ в точках множества $M_{i,j}$, в которых зануляются многочлены:

$$ \begin{equation*} Q_X(X,Y)=Q_Y(X,Y)=0 \end{equation*} \notag $$

либо

$$ \begin{equation*} Q_XP_y-Q_YP_x= P_y(X-x)-P_x(Y-y)= 0. \end{equation*} \notag $$

Если $\operatorname{Rank} dF=3$ в какой-либо точке неприводимого множества $M_{i,j}$, то $M_{i,j}$ по теореме 7 одномерно. И $\operatorname{Rank} dF=2$ может быть не более чем в конечном числе точек кривой $M_{i,j}$. И тогда можно так подразбить дуги $D^i_1$, чтобы внутри каждой из них выполнялось равенство $\operatorname{Rank} dF=3$, и мы приходим к предыдущему случаю.

3. Если $\operatorname{Rank} dF=2$ на $M_{i,j}$, то либо дуга $D^j_2$ является “параллельной” кривой для дуги $D^i_1$, т.е. описывается концом нормали длины $l$ к этой дуге, начало которой движется по ней (нормаль в каждый момент времени является общей нормалью дуг $D^i_1$ и $D^j_2$), либо, в случае тождественного равенства $\operatorname{grad} Q=0$, дуга $D^j_2$ вырождается в точку, а дуга $D^i_1$ есть дуга окружности с центром в этой точке. Этот случай отвечает останавливающемуся шарниру $p_2$. В обоих случаях множество $M_{i,j}$ является кривой.

Лемма доказана.

Доказательство. 1. Пусть $\operatorname{Rank} dF=3$ на дуге $M_{i,j}$. Тогда при движении концов рычага $p_1p_2$ по дугам $D^i_1$ и $D^j_2$ нормали к дугам в точках $p_1$ и $p_2$ либо параллельны, либо непараллельны соответственно. В первом случае ненулевая скорость $v_1$ шарнира $p_1$ определяет ненулевую скорость $v_2=v_1$ ведомого шарнира. Во втором случае мгновенный центр $O$ вращения рычага $p_1p_2$ определяется однозначно как точка пересечения нормалей. Ненулевая угловая скорость рычага $p_1p_2$ определяется ненулевой скоростью одного из шарниров $p_1$, $p_2$. В случае несовпадения точки $O$ c $p_1$ и $p_2$ ненулевая скорость шарнира $p_1$ однозначно определяет ненулевую скорость $v_2$ шарнира $p_2$. Если же точка $O$ совпадает с одним из шарниров, то его скорость равна нулю. Но это может быть лишь в конечном числе точек $M_{i,j}$. Действительно, совпадение $O$, например, c $p_1$ влечет кроме выполнения равенств (3) также выполнение полиномиального уравнения

$$ \begin{equation*} Q_Y(X-x)-Q_X(Y-y)=0, \end{equation*} \notag $$

означающего коллинеарность рычага $p_1p_2$ и нормали к дуге $D^j_2$. Если бы это равенство выполнялось на $M_{i,j}$, то тогда на $M_{i,j}$ шарнир $p_1$ был неподвижен, а шарнир $p_2$ двигался по окружности с центром в $p_1$ и было бы $\operatorname{Rank} dF=2$. Выбросив из $M_{i,j}$ точки, в которых $O$ совпадает с $p_1$ либо с $p_2$, мы получим пары дуг $D^i_1$ и $D^j_2$, на которых ненулевая скорость шарнира $p_1$ однозначно порождает ненулевую скорость шарнира $p_2$.

2. Если же $\operatorname{Rank} dF=2$ на дуге $M_{i,j}$, но $\operatorname{grad} Q\not\equiv 0$, то при движении шарнира $p_1$ с ненулевой скоростью по дуге $D^i_1$ нормали в точке $p_1$ дуги $D^i_1$ и в точке $p_2$ дуги $D^j_2$ параллельны между собой и параллельны рычагу $p_1p_2$. В этом случае ненулевая скорость шарнира $p_1$ также однозначно определяет скорость $v_2$ шарнира $p_2$. Причем $v_2$ может обращаться в нуль лишь в конечном числе точек, ибо в противном случае шарнир $p_2$ был бы останавливающимся. Таким образом, и в этом случае дуги можно подразбить так, чтобы на них ненулевая скорость ведущего шарнира $p_1$ однозначно определяла ненулевую скорость ведомого шарнира $p_2$.

Лемма доказана.

Чтобы завершить доказательство теоремы 12, остается понять, что происходит, когда шарнир $p_1$ находится в концах дуг $D^i_1$.

1. Если в конце дуги $D^i_1$ нормали к этой дуге и к дуге $D^j_2$ в конце $p_2$ рычага $p_1p_2$ не параллельны, то мгновенный центр вращения рычага $p_1p_2$ определен однозначно вблизи этого положения и передача движения также происходит однозначно. Хотя скорость одного из шарниров и зануляется.

2. Если концу $p_1$ дуги $D^i_1$ отвечает другой конец $p_2$ рычага, из которого исходят $k>1$ дуг $D^j_2$, то движение от $p_1$ к $p_2$ может передаваться неоднозначно (рис. 9). Если рычаг $p_1p_2$ не перпендикулярен дуге $D^i_1$ и дугам $D^j_2$, то число способов передачи движения не более $k$.

3. Неоднозначность движения шарнира $p_2$ может возникнуть в концах дуг, в которых рычаг $p_1p_2$ нормален дугам $D^i_1$ и $D^j_2$. На рис. 10 показана такая возможность.

Пример этого дают дуги $D_1\colon y=2x^2$ и $ D_2\colon y=1+x^2$ при начальных положениях шарниров: $p_1=(0, 0)$, $p_2=(0, 1)$. Можно проверить, что при движении из этого положения шарнира $p_1$ с заданной скоростью скорость шарнира $p_2$ не определена однозначно, а может принимать два значения, противоположных по направлению. Однако справедливо следующее утверждение.

Действительно, неоднозначность передачи движения возникает лишь в точках ветвления кривой $M_{i,j}$. Поскольку $M_{i,j}$ есть часть алгебраической кривой, то она имеет конечное число точек ветвления и в каждой такой точке имеется конечное число ветвей.

Таким образом, доказательство теоремы 12 завершено.

Теорема 13. Плоский шарнирный механизм класса $Q_1$, не имеющий останавливающихся шарниров, в каждом из своих положений, за исключением конечного их числа, осуществляет однозначную передачу движения от произвольного его свободного шарнира $p_1$ к произвольному другому свободному шарниру $p_s$. В конечном числе положений передача движения может происходить не единственным, но конечным числом способов. Конфигурационное пространство $K^j$ такого механизма одномерно.

Доказательство. Рассмотрим движение нашего механизма, порождаемое движением шарнира $p_1$ с ненулевой скоростью. В силу связности графа механизма существует цепь $p_1p_2\dots p_s$ из рычагов механизма, соединяющая шарнир $p_1$ с шарниром $p_s$. Вследствие теоремы 12, за исключением конечного числа положений шарнира $p_1$, ненулевая скорость $v_1$ шарнира $p_1$ определяет ненулевую скорость $v_2$ шарнира $p_2$. То же самое можно сказать и о взаимосвязи движений шарнира $p_2$ и шарнира $p_3$. Продолжая это рассуждение вдоль нашей цепи, получим, что, за исключением конечного числа положений шарнира $p_1$, ненулевая скорость $v_1$ шарнира $p_1$ однозначно определяет ненулевую скорость $v_s$ шарнира $p_s$.

В конечном числе положений шарнира $p_1$ вследствие теоремы 12 передача движения от $p_1$ к $p_s$ может происходить неоднозначно, но конечным числом способов. Этим положениям $p_1$ отвечают точки ветвления конфигурационного пространства $K^j$ шарнирного механизма. Также в конечном числе положений шарнира $p_1$ ненулевой скорости $v_1$ может отвечать нулевая скорость $v_s$, хотя передача движения в окрестности этих положений и происходит однозначно.

Если, допустим, размерность $\dim K^j=d >1$, то в $K^j$ непременно найдется шарнирник $\mathbf p$, из которого можно двигаться по $K^j$ в бесконечном числе направлений. Орты мгновенных скоростей $v_\mathbf p$ этих движений составляют сферу размерности $d-1$. Но для механизма класса $Q_1$ без останавливающихся шарниров таких направлений в любом его положении по вышедоказанному конечное число. Таким образом, $\dim K^j=1$. Теорема доказана.

Рассмотрим совокупность шарниров $V^*\subseteq V$, между каждой парой смежных в графе $G(V,E)$ шарниров которой передается движение на некотором интервале $(t_0, t_1)$ времени. Если $V^*\neq V$, то на интервале времени $(t'_0, t'_1)\subset (t_0, t_1)$ имеются остановившиеся шарниры. Пусть $\widetilde {V}$ – множество вершин графа $G(V,E)$, отвечающих остановившимся на интервале $(t'_0, t'_1)$ шарнирам. Рассмотрим подграф $\widetilde {G}$ графа $G(V,E)$, порожденный свободными вершинами из $V\setminus \widetilde{V}$. Пусть граф $\widetilde {G}$ имеет $k$ компонент связности. В этом случае наш механизм на интервале времени $(t'_0, t'_1)$ по существу распадается на $k$ механизмов, движущихся независимо один от другого, каждый с одной степенью свободы. И это отвечает кускам конфигурационного пространства, имеющим местную размерность $k$. При движении шарнирного механизма в разные промежутки времени могут возникать различные множества остановившихся шарниров: $M_1,\dots ,M_w$. Таким образом, справедливо утверждение.

Теорема 14. Конфигурационное пространство $K^j$ шарнирного механизма класса $Q_1$, у которого имеется множество остановившихся шарниров, разбивающее множество свободных шарниров на $k$ компонент связности, не менее чем $k$-мерно. Если же у такого механизма нет множества остановившихся шарниров, разбивающих множество свободных шарниров на более чем $k$ компонент связности, то оно имеет размерность, равную $k$.

Пусть есть совокупность $M_s$ остановившихся шарниров, не разбивающая множества подвижных шарниров. Тогда в положениях, когда шарниры совокупности $M_s$ остановились, вследствие теоремы 13 шарнирный механизм имеет одну степень свободы, так же как и в тех положениях, когда остановившихся шарниров нет. Необходимое и достаточное условие одномерности конфигурационного пространства плоского шарнирного механизма дает следующая теорема.

Из теоремы 6 вытекает следующее утверждение.

Доказательство. Если $K^j$ одномерно, то наше утверждение следует из теоремы 6 и предалгебраичности $K^j$. Если же $\dim K^j =r>1$, то вследствие теоремы 15 имеется окрестность $U\subset \mathbb{R}^{2m}$, пересекающая $K^j$ по множеству размерности $r$, на котором хотя бы один из свободных шарниров неподвижен. Таким образом, на $U\cap K^j$ для координат этого свободного шарнира $p_i$ выполняются равенства $x_i-a=0$, $y_i-b=0$, где $a$ и $b$ – постоянные. Но тогда, в случае неприводимости $K^j$, по теореме 5 эти равенства выполнялись бы на всем $K^j$. Это противоречит подвижности свободного шарнира $p_i$ механизма $M^j$ с приведенной ЗШС. Теорема доказана.

Заметим, что в условиях теоремы 16 конфигурационное пространство КШС механизма также приводимо.

Следствием из теоремы 13 является следующее утверждение.

Действительно, если предположить противное – наш механизм класса $Q_1$, то вследствие теоремы 13 мы бы имели $\dim K^j =1$, что противоречит условию.

Отметим также, что отсутствие останавливающихся шарниров по теореме 16 следует из неприводимости конфигурационного пространства $ K^j$ шарнирного механизма. Поэтому, справедлива также

§ 5. Заключение

Ключевым понятием и основным объектом в теории шарнирных конструкций является рычажное отображение. Исследовано оно недостаточно. Попытки его изучения приводят к новым для геометрии и содержательным для механики вопросам. Чтобы не быть голословными, приведем некоторые недостаточно широко известные из них.

Матрицу из частных производных координатных функций рычажного отображения $F$, взятых в точке $\mathbf p\in \mathbb R^{2m}$, называем матрицей $dF(\mathbf p)$ дифференциала отображения в этой точке. Ее ранг называем рангом отображения $F$ в этой точке. Множество $B\subset \mathbb R^{2m}$, на котором падает ранг отображения, называем множеством вырождения отображения. Пусть $B_k\subset B$ множество, на котором ранг отображения упал ровно на $k$ единиц. Если $\dim B_k=0$, то это множество состоит из конечного числа точек и является ограниченным.

В некоторых частных случаях ответ на этот вопрос утвердителен (см. [17]). В частности, если ЗШС в $\mathbb R^d$ имеет не более $d + 1$ закрепленных шарниров, находящихся в общем положении, то множество $B_k$ неограниченно тогда и только тогда, когда его размерность положительна.

Пусть для данного рычажного отображения $\mu =\max k$.

В ряде случаев, например, для правильных ЗШС на плоскости, т.е. для таких, для которых $\max_{\mathbf p} \operatorname{Rank} dF(\mathbf p)=r$, ответ на этот вопрос утвердителен (см. [17]).

Кинематическую шарнирную схему $\mathbf d$ назовем геометрически устойчивой, если $\mathbf d\in \mathbb R^{r}$ есть внутренняя точка образа $F(\mathbb R^{2m})$ рычажного отображения. Кратностью КШС $\mathbf d$ называется количество точек в прообразе $F^{-1}(\mathbf d)$; КШС однократна, если ей отвечает всего лишь одна шарнирная ферма.

Иными словами, существует ли шарнирная ферма, которую можно собрать при заданном закреплении, соединяя в заданном порядке рычаги заданных длин, лишь единственным способом; и вдобавок такая, что при произвольно малой ошибке в длинах рычагов можно будет собрать какую-то конструкцию того же строения и с тем же закреплением? Геометрически же этот вопрос звучит так: возможны ли внутри образа $F(\mathbb R^{2m})$ однократные точки рычажного отображения? Этот вопрос обсуждался в работах [11], [12], [5]. Ряд других нерешенных вопросов содержится в книге [5].

В заключение автор хочет выразить благодарность С. Ю. Оревкову и В. С. Куликову за консультации по вопросам алгебраической геометрии.

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Kov22}

\by М.~Д.~Ковалёв

\paper Конфигурационные пространства шарнирных механизмов и их проекции

\jour Матем. сб.

\yr 2022

\vol 213

\issue 4

\pages 74--99

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9542}

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9542}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461441}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1513.70005}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022SbMat.213..512K}

\transl

\by M.~D.~Kovalev

\paper Configuration spaces of hinged mechanisms, and their projections

\jour Sb. Math.

\yr 2022

\vol 213

\issue 4

\pages 512--533

\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9542}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000813331100001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85133529193}

§ 1. Введение

§ 2. Определения, примеры, основополагающие теоремы

§ 3. Сведения из вещественной алгебраической геометрии

§ 4. Конфигурационные пространства шарнирных механизмов и их проекции

§ 5. Заключение

Список литературы