| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Какая часть корней системы случайных полиномов Лорана вещественна? Б. Я. Казарновский Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9559 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение1.1.Известно (см. [1]), что математическое ожидание доли вещественных нулей вещественного полинома растущей степени $m$ асимптотически равно $(2/\pi)\ln m/m\asymp 0$. В этом вычислении предполагается, что коэффициенты полинома распределены нормально и независимо с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Более подробно о распределении числа вещественных решений систем случайных полиномиальных уравнений см. обзор [2] и приведенную в нем библиографию. Переход от обычных полиномов к полиномам Лорана приводит к неожиданному результату. Ограничение вещественного полинома Лорана степени $m$ (см. ниже определение 1)
$$
\begin{equation*}
P(z)=a_0+\sum_{1\leqslant k\leqslant m}a_kz^k+\overline{a_k}z^{-k}
\end{equation*}
\notag
$$
на окружность $z=\mathrm e^{i\theta}$ является тригонометрическим полиномом
$$
\begin{equation*}
P(\mathrm e^{i\theta})=a_0+\sum_{1\leqslant k\leqslant m} \alpha_k\cos(k\theta)+\beta_k\sin(k\theta),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha_k=(a_k+\overline{a_k})/2$, $\beta_k=(a_k-\overline{a_k})/(2i)$. Отображение ограничения является изоморфизмом пространства вещественных полиномов Лорана степени $m$ на пространство вещественных тригонометрических полиномов со спектром $(-m,\dots,-1,0,1,\dots,m)$. Предположение о случайности состоит в том, что числа $a_0/\sqrt{2\pi}, \alpha_1/\sqrt \pi, \beta_1/\sqrt \pi,\dots , \alpha_m/\sqrt \pi, \beta_m/\sqrt \pi$ независимы и распределены нормально с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Оказывается, что с ростом степени средняя доля расположенных на единичной окружности нулей случайного вещественного полинома Лорана стремится не к $0$, а к $1/\sqrt 3$. Это утверждение вытекает из известных результатов о распределении нулей случайных тригонометрических полиномов одного переменного; см., например, [3] и приведенную там библиографию. Доказательство этого утверждения приведено ниже в п. 1.3 (см. пример 2). Его многомерный аналог сформулирован в п. 1.2. 1.2.Здесь мы формулируем теорему, являющуюся многомерным вариантом утверждения о средней доле вещественных корней полинома Лорана. Для этого нам понадобятся следующие понятия. При $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\mathbb Z^n$ положим $z^\lambda=z_1^{\lambda_1}\cdots z_n^{\lambda_n}$. Пусть $\Lambda$ – конечное подмножество $\mathbb Z^n$. Функция $\sum_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda z^\lambda$ на комплексном торе $(\mathbb C\setminus0)^n$ называется полиномом Лорана с носителем $\Lambda$. Определение 1. Полином Лорана, вещественный на компактном подторе $T^n=\{z\in(\mathbb C\setminus0)^n\colon z=(\mathrm e^{i\theta_1},\dots,\mathrm e^{i\theta_n})\}$ тора $(\mathbb C\setminus0)^n$, называется вещественным полиномом Лорана. Если полином Лорана равен нулю в точке $z\in T^n$, то $z$ называется вещественным нулем полинома Лорана. Следующие утверждения являются прямыми следствиями определения 1. (A) Полином Лорана $P(z)=\sum_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda z^\lambda$ является вещественным, если и только если 1) его носитель $\Lambda$ центрально симметричен и 2) $\forall\,\lambda\in\Lambda\colon a_{-\lambda}=\overline{a_\lambda}$. (B) Множество нулей вещественного полинома Лорана инвариантно относительно отображения $(z_1,\dots,z_n)\mapsto(\overline z_1^{-1},\dots,\overline z_n^{-1})$. Далее мы рассматриваем полиномы Лорана от $n$ переменных и используем понятия система случайных вещественных полиномов Лорана с носителем $\Lambda$ и средняя доля $\operatorname{real}_n(\Lambda)$ вещественных корней таких случайных систем. При $n=1$ эти понятия определены в п. 1.1. Для произвольного $n$ соответствующие определения см. в § 2. Теорема 1 является многомерным вариантом утверждения о средней доле вещественных нулей случайного вещественного полинома Лорана из п. 1.1. Теорема 1. Пусть $B_m$ – шар радиуса $m$ в пространстве $\mathbb R^n$ с центром в точке $0$. Рассматривая $\mathbb Z^n$ как целочисленную решетку в $\mathbb R^n$, положим $\Lambda_m=B_m\cap \mathbb Z^n$. Тогда где $\displaystyle\beta_n=\int_{-1}^1x^2(1-x^2)^{(n-1)/2}\,dx$, а $\sigma_k$ – объем $k$-мерного шара радиуса единица. В следующей ниже таблице приведены значения $\beta_n$ для $1\leqslant n\leqslant20$. Отметим, что $\sqrt{(\sigma_0/\sigma_1)\beta_1}=1/\sqrt 3$; ср. п. 1.1 и пример 2. Таблица 1.
Замечание 1. Выражение $x^2(1-x^2)^{(n-1)/2}\,dx$ является так называемым дифференциальным биномом Чебышёва. П. Л. Чебышёв доказал (см. [4]) неинтегрируемость бинома $x^m(a+bx^n)^p\,dx$ в элементарных функциях за пределами трех найденных Л. Эйлером случаев интегрируемости. При нечетном $n$ упомянутое выражение относится к первому, а при четном $n$ – к третьему случаю. 1.3.Напомним, что многогранником Ньютона полинома Лорана называется выпуклая оболочка $\operatorname{conv}(\Lambda)$ его носителя $\Lambda$. Мы также сопоставляем носителю $\Lambda$ эллипсоид $\operatorname{ell}(\Lambda)\subset\operatorname{conv}(\Lambda)$, называемый его эллипсоидом Ньютона (см. определение 3), и доказываем, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{real}_n(\Lambda) =\frac{\operatorname{vol}(\operatorname{ell}(\Lambda))} {\operatorname{vol}(\operatorname{conv}(\Lambda))}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Из определения 3 вытекает, что если $n=1$, то эллипсоид Ньютона является отрезком с концами в точках $\pm\sqrt{({1}/{N})\sum_{\lambda\in\Lambda}\lambda^2}$, где $N=\#\Lambda$. Пример 1. В одномерном случае отрезки $\operatorname{ell}(\Lambda)$ и $\operatorname{conv}(\Lambda)$ совпадают только для носителей вида $\Lambda=\{\lambda,-\lambda\}$. В этом случае из (1.1) вытекает, что $\operatorname{real}_1(\Lambda)=1$, т.е. все нули любого полинома вида $az^\lambda+\overline az^{-\lambda}$ лежат на единичной окружности, что верно, так как эти нули суть корни степени $2\lambda$ из $-\overline a/a$. Пример 2. Пусть $\Lambda_m=\{-m,\dots,-1,0,1,\dots,m\}$. Тогда Мы также определяем долю вещественных корней $\operatorname{real}_n(\Lambda_1,\dots,\Lambda_n)$ для систем полиномов Лорана с носителями $\Lambda_1,\dots,\Lambda_n$. В этом случае объемы в числителе и знаменателе дроби (1.1) заменяются на смешанные объемы соответствующих эллипсоидов и многогранников Ньютона; см. теорему 3. Используя геометрию формулы (1.1), мы вычисляем асимптотику $\operatorname{real}_n(\Lambda_1,\dots,\Lambda_n)$ для растущих носителей $\Lambda_1,\dots,\Lambda_n$ (теорема 4) и применяем это вычисление для доказательства теоремы 1. В доказательствах используются две теоремы о числах корней систем уравнений: теорема о среднем числе корней систем гладких уравнений на дифференцируемых многообразиях (см. [5], а также [6], [7]) и теорема Кушниренко–Бернштейна [8], называемая также формулой BKK (Бернштейна, Кушниренко, Хованского). § 2. Среднее число корней, эллипсоиды и многогранники Ньютона2.1. Среднее число корней систем тригонометрических полиномовПусть $\Lambda$ – конечное центрально-симметричное подмножество $\mathbb Z^n$,
$$
\begin{equation*}
T^n=\bigl\{z\in(\mathbb C\setminus0)^n\colon z=(\mathrm e^{i\theta_1},\dots,\mathrm e^{i\theta_n})\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Функции
$$
\begin{equation*}
a_0+\sum_{0\ne\lambda\in\Lambda,\,\alpha_\lambda\in\mathbb R,\,\beta_\lambda\in\mathbb R} \alpha_\lambda\cos\langle\theta,\lambda\rangle+\beta_\lambda\sin\langle\theta,\lambda\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
на торе $T^n$, где $\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)$, мы называем тригонометрическими полиномами с носителем $\Lambda$. При $0\notin\Lambda$ предполагается, что $a_0=0$. Пространство тригонометрических полиномов с носителем $\Lambda$ обозначим через $\operatorname{Trig}(\Lambda)$. Далее мы всегда рассматриваем $\operatorname{Trig}(\Lambda)$ как подпространство гильбертова пространства $L^2(T^n,d\chi)$, где $d\chi$ – нормированная инвариантная мера Хаара на торе $T^n$. Ортонормированные базисы в пространстве $\operatorname{Trig}(\Lambda)$ можно строить следующим образом. Рассмотрим $\mathbb Z^n$ как целочисленную решетку в пространстве $\mathbb R^n$. Пусть $l$ – линейный функционал в $\mathbb R^n$, не равный нулю в ненулевых точках множества $\Lambda$. Обозначим через $\Lambda_+$ пересечение $\Lambda$ с полупространством $l\geqslant0$. При $0\ne \lambda\in\Lambda_+$ положим
$$
\begin{equation}
\tau_\lambda(\theta)=\sqrt{2}\cos\langle\theta,\lambda\rangle, \qquad \tau_{-\lambda}(\theta)=\sqrt{2}\sin\langle\theta,\lambda\rangle.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Если $0\in\Lambda$, то положим $\tau_0(\theta)=1$. Функции $\{\tau_\lambda\colon \lambda\in\Lambda\}$ образуют ортонормированный базис пространства $\operatorname{Trig}(\Lambda)$. Пусть $\Lambda_1,\dots,\Lambda_n$ – конечные центрально симметричные множества в $\mathbb Z^n$. Рассматривая точки $f_i\in\operatorname{Trig}(\Lambda_i)$ как функции на $T^n$, обозначим число изолированных точек множества их совместных нулей через $N(f_1,\dots,f_n)$. Определение 2. Средним числом корней систем случайных тригонометрических полиномов с носителями $\Lambda_1,\dots,\Lambda_n$ мы называем где $S_i$ – единичная сфера в пространстве $\operatorname{Trig}(\Lambda_i)$, а $ds_i$ – нормированная ортогонально инвариантная мера на сфере $S_i$. 2.2. Эллипсоиды НьютонаИспользуя скалярное произведение $\langle *,*\rangle$ в пространстве $\operatorname{Trig}(\Lambda)$, определим отображение $\Theta\colon T^n\to \operatorname{Trig}(\Lambda)$ такое, что
$$
\begin{equation}
\forall\, f\in \operatorname{Trig}(\Lambda)\colon \quad \langle\Theta(\theta),f\rangle=\frac{1}{\sqrt N}f(\theta),
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $N=\dim\operatorname{Trig}(\Lambda)=\#\Lambda$. Лемма 1. Верно, что $\Theta(T^n)\subset S$, где $S$ – единичная сфера в пространстве $\operatorname{Trig}(\Lambda)$. Доказательство. Используя ортонормированный базис $\{\tau_\lambda\colon\lambda\in\Lambda\}$ пространства $\operatorname{Trig}(\Lambda)$, определенный в (2.1), запишем отображение $\Theta$ в виде Нужное утверждение вытекает из тождества $\cos^2+\sin^2=1$. Лемма доказана. Пусть $\mathfrak t$ и $\mathfrak t^*$ – соответственно касательное и кокасательное пространства в нулевой точке тора $T^n$. Обозначим через ${\mathbb Z^n}^*$ решетку характеров тора $T^n$ в пространстве $\mathfrak t^*$, а через $\mathbb Z^n$ – двойственную решетку в пространстве $\mathfrak t$. Далее мы предполагаем, что $\Lambda\subset{\mathbb Z^n}^*$. Обозначим через $F_\Lambda$ квадратичную форму в $\mathfrak t$, равную обратному образу квадратичной формы римановой метрики сферы $S$ в точке $\Theta(0)$ при отображении $\Theta$. Доказательство вытекает из (2.3). Напомним, что опорной функцией компактного выпуклого множества $A\subset{\mathbb R^n}^*$ называется функция $h(x)\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$ такая, что Лемма 3. Функция является опорной функцией некоторого центрально симметричного эллипсоида $\operatorname{ell}(\Lambda)$ в пространстве $\mathfrak t^*$. Если множество $\Lambda$ не содержится ни в каком собственном подпространстве $\mathfrak t^*$, то $\dim \operatorname{ell}(\Lambda)=n$. Доказательство. Для любой неотрицательной квадратичной формы $g$ в пространстве $\mathbb R^n$ верно, что функция $\sqrt g$ является опорной функцией некоторого центрально-симметричного эллипсоида в двойственном пространстве ${\mathbb R^n}^*$. Если форма $g$ невырождена, то этот эллипсоид является полноразмерным. Лемма доказана. Определение 3. Эллипсоид $\operatorname{ell}(\Lambda)$ с опорной функцией $h_\Lambda$ называется эллипсоидом Ньютона носителя $\Lambda$. Теорема 2. Верно, что где при измерении смешанного объема $\operatorname{vol}(\operatorname{ell}(\Lambda_1),\dots,\operatorname{ell}(\Lambda_n))$ эллипсоидов Ньютона $\operatorname{ell}(\Lambda_i)$ предполагается, что объем фундаментального куба решетки характеров ${\mathbb Z^n}^*$ тора $T^n$ равен $1$. Доказательство. Напомним, что банаховым телом в гладком многообразии $X$ называется семейство центрально симметричных компактных выпуклых множеств $\mathcal B=\{\mathcal B(x)\}$ в слоях $T^*_xX$ кокасательного расслоения $X$; см. [5], [7]. Объем $\mathcal V({\mathcal B})$ банахова тела ${\mathcal B}$ по определению равен объему области $\bigcup_{x\in X}{\mathcal B}(x) \subset T^*X$, измеренному при помощи стандартной симплектической структуры на многообразии кокасательного расслоения. Точнее говоря, если $\omega$ – стандартная симплектическая форма на $T^*X$ (см. [9]), то для измерения объема применяется форма $\omega^n/n!$, где $n=\dim X$. Используя сложение Минковского, мы рассматриваем линейные комбинации выпуклых тел с неотрицательными коэффициентами. Линейная комбинация банаховых тел определена следующим образом: $(\sum _i \lambda _i{\mathcal B}_i)(x)\,{=} \sum _i \lambda _i {\mathcal B}_i(x)$. Объем банахова тела $\lambda_1\mathcal{B}_1 + \dots +\lambda _k\mathcal{B}_k$ является однородным полиномом степени $n$ от переменных $\lambda_1, \dots, \lambda _k$. Если $k=\dim X=n$, то коэффициент этого полинома при мономе $\lambda _1 \dotsb \lambda _n$, поделенный на $n!$, называется симплектическим смешанным объемом $\mathcal V({\mathcal B}_1,\ldots, {\mathcal B}_n)$ банаховых тел. Пусть пространство $V\subset C^\infty(X)$ конечномерно. Тогда если
$$
\begin{equation*}
\forall\, x\in X \quad\exists\, f\in V\colon \quad f(x)\neq0,
\end{equation*}
\notag
$$
то любому скалярному произведению в пространстве $V$ в [5] сопоставлен банахов эллипсоид $\mathcal B_V$ в $X$. При $\dim X=n$ для любых конечномерных евклидовых пространств $V_1,\dots,V_n\subset C^\infty(X)$ в [5] определено среднее число совместных нулей $\mathfrak M(V_1,\dots,V_n)$ систем случайных функций $f_1\in V_1,\dots,f_n\in V_n$ и доказано [5; теорема 1], что
$$
\begin{equation}
\mathfrak M(V_1,\dots,V_n) =\frac{n!}{(2\pi)^n}\mathcal V(\mathcal B_{V_1},\dots,\mathcal B_{V_n}).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
В случае $X=T^n$, $V_1=\operatorname{Trig}(\Lambda_1)$, $\dots$, $V_n=\operatorname{Trig}(\Lambda_n)$, как нетрудно проверить, 1) банаховы эллипсоиды $\mathcal B_{V_i}$ инвариантны при действии тора $T^n$ и 2) если $e$ – единица группы $T^n$, то $\mathcal B_{V_i}(e)=\operatorname{ell}(\Lambda_i)$. Отсюда, применяя (2.4), получаем где при измерении смешанного объема $\operatorname{vol}(\operatorname{ell}(\Lambda_1),\dots,\operatorname{ell}(\Lambda_n))$ предполагается, что объем фундаментального куба решетки характеров тора $T^n$ равен $1$. Теорема доказана.Отметим, что из теоремы 2 вытекают следующие неравенства для средних чисел корней. Следствие 1. Для любых носителей $\Lambda_1,\dots,\Lambda_n$ верно, что Доказательство вытекает из неравенств Александрова–Фенхеля (см. [10]) для смешанных объемов эллипсоидов $\operatorname{ell}(\Lambda_i)$. Замечание 2. Неравенства для чисел корней из следствия 1 являются аналогами неравенств Ходжа для индексов пересечения гиперповерхностей в проективных алгебраических многообразиях. Связь неравенств Ходжа с неравенствами Александрова–Фенхеля была независимо найдена А. Хованским и Б. Тесье (Teissier); см., например, [11]. 2.3. Многогранники НьютонаОтображение ограничения полиномов Лорана на тор $T^n\subset(\mathbb C\setminus0)^n$ является изоморфизмом вещественного векторного пространства вещественных полиномов Лорана с носителем $\Lambda$ на пространство $\operatorname{Trig}(\Lambda)$. Поэтому согласно теореме 2 среднее число корней систем вещественных полиномов Лорана с носителями $\Lambda_i$ равно $n!\,\operatorname{vol}(\operatorname{ell}(\Lambda_1),\dots,\operatorname{ell}(\Lambda_n))$. Для вычисления числа комплексных нулей системы полиномов мы используем теорему Кушниренко–Бернштейна (см. [8]). Напомним, что центрально-симметричному множеству $\Lambda\,{\subset}\,{\mathbb Z^n}^*{\subset}\,\mathfrak t^*$ сопоставлены два компактных выпуклых множества. Это многогранник Ньютона $\operatorname{conv}(\Lambda)$ полиномов с носителем $\Lambda$ и эллипсоид $\operatorname{ell}(\Lambda)$ с опорной функцией
$$
\begin{equation}
h_\Lambda(\xi)=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{\lambda\in\Lambda} \lambda^2(\xi)},
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $N$ – число элементов множества $\Lambda$. Предложение 1. Для почти всех наборов $(P_1,\dots,P_n)$ вещественных полиномов Лорана с носителями $\Lambda_1,\dots,\Lambda_n$ число решений системы $P_1=\dots=P_n=0$ в комплексном торе $(\mathbb C\setminus0)^n$ равно $n!\operatorname{vol}(\operatorname{conv}(\Lambda_1),\dots,\operatorname{conv}(\Lambda_n))$. Доказательство. Пусть $\mathfrak A_i$ – пространство полиномов Лорана с носителями в $\Lambda_i$. Обозначим через $\mathfrak D\subset(\mathfrak A_1\setminus0)\times\dots\times(\mathfrak A_n\setminus0)$ множество наборов ненулевых полиномов Лорана, таких, что число их совместных нулей не равно $n!\,\operatorname{vol}(\operatorname{conv}(\Lambda_1),\dots,\operatorname{conv}(\Lambda_n))$. Пусть $\mathbb P_i$ – проективизация пространства $\mathfrak A_i$. Теорема Кушниренко–Бернштейна утверждает, что $\mathfrak D$ содержится в прообразе некоторой комплексной алгебраической гиперповерхности $\mathfrak P$ в произведении проективных пространств $\mathbb P_1\times\dots\times\mathbb P_n$ при отображении проекции $(\mathfrak A_1\setminus0)\times\dots\times(\mathfrak A_n\setminus0)\to\mathbb P_1\times\dots\times\mathbb P_n$. Вещественные полиномы Лорана из $\mathfrak A_i$ образуют вещественное векторное подпространство $\operatorname{Trig}(\Lambda_i)$. При этом $\dim_\mathbb R\operatorname{Trig}(\Lambda_i)=\dim_\mathbb C\mathfrak A_i$. Рассмотрим отображение проекции $\Pi\colon S_1\times\dots\times S_n\to\mathbb P_1\times\dots\times\mathbb P_n $ (см. определение 2). Множество $\Pi(S_1\times\dots\times S_n)$ является всюду плотным в топологии Зариского подмножеством алгебраического многообразия $\mathbb P_1\times\dots\times\mathbb P_n$. Поэтому $\Pi^{-1}\mathfrak P$ содержится в некоторой замкнутой вещественной гиперповерхности в $S_1\times\dots\times S_n$. Отсюда вытекает нужное утверждение. Предложение доказано. Следствие 2. Выполнено неравенство $\operatorname{vol}(\operatorname{ell}(\Lambda))\leqslant \operatorname{vol}(\operatorname{conv}(\Lambda))$. Доказательство. Согласно предложению 1 правая часть формулы равна среднему числу вещественных корней, а левая часть согласно теореме 2 – среднему числу комплексных (т.е. всех) корней одинаковых систем уравнений. Следующее утверждение является уточнением следствия 2. Предложение 2. При любом центрально-симметричном $\Lambda$ верно, что $\operatorname{ell}(\Lambda)\subset\operatorname{conv}(\Lambda)$. Доказательство. Если $h_A$, $h_B$ – опорные функции компактных выпуклых множеств $A$, $B$, то включение $A\subseteq B$ эквивалентно неравенству $h_A\leqslant h_B$. Опорная функция $h_{\operatorname{conv}(\Lambda)}$ многогранника $\operatorname{conv}(\Lambda)$ в точке $\xi$ равна $\max_{\lambda\in\Lambda}\lambda(\xi)$. Если $\Lambda$ центрально-симметрично, то эта функция равна также $\max_{\lambda\in\Lambda}| \lambda(\xi)|$. Опорная функция $h_\Lambda$ эллипсоида $\operatorname{ell}(\Lambda)$ по определению (2.5) равна среднему квадратичному чисел $\{| \lambda(\xi)|\colon \lambda\in\Lambda\}$. Среднее квадратичное конечного набора неотрицательных чисел не превосходит максимального из них. Предложение доказано. Отношение числа вещественных корней системы полиномов Лорана к числу всех ее корней будем называть долей вещественных корней системы. Теорема 3. Пусть $\operatorname{real}(\Lambda_1,\dots,\Lambda_n)$ – средняя доля вещественных корней систем вещественных полиномов Лорана с носителями $\Lambda_i$. Тогда Доказательство вытекает из теоремы 2 и предложения 1. § 3. Асимптотика средней доли вещественных корнейПусть $\Delta\subset\mathfrak t^*$ – центрально симметричное компактное выпуклое множество, $\Lambda=\Delta\cap{\mathbb Z^n}^*$. Далее мы предполагаем, что выполнено условие $(*)$ если $\dim\Delta=k<n$, то $\Delta$ содержится в некотором $k$-мерном подпространстве $V_\Delta\subset\mathfrak t^*$, порожденном векторами решетки ${\mathbb Z^n}^*$. Для целого $m>0$ положим $\Delta_m=m\Delta$, $\Lambda_m=\Delta_m\cap{\mathbb Z^n}^*$ и $N_{\Lambda,m}=\#\Lambda_m$. Напомним, что множеству $\Lambda$ сопоставлен эллипсоид $\operatorname{ell}(\Lambda)\subset\mathfrak t^*$ с опорной функцией $h_\Lambda=\sqrt{F_\Lambda}$, где
$$
\begin{equation*}
F_\Lambda(\xi)=\frac{1}{\#\Lambda}\sum_{\lambda\in\Lambda}\lambda^2(\xi).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
F_{\Lambda,m}(\xi)=\frac{1}{N_{\Lambda,m}}\sum_{\lambda\in\Lambda_m}\lambda^2(\xi).
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $h_{\Lambda,m}=\sqrt{F_{\Lambda,m}}$ является опорной функцией эллипсоида $\operatorname{ell}(\Lambda_m)\subset\mathfrak t^*$. Из условия $(*)$ вытекает, что ${\mathbb Z^n}^*\cap V_\Delta$ является решеткой полного ранга в подпространстве $V_\Delta$. Выберем в $V_\Delta$ форму объема такую, что объем единичного куба решетки ${\mathbb Z^n}^*\cap V_\Delta$ равен $1$. При $\xi\in\mathfrak t$ положим
$$
\begin{equation*}
F_\Delta(\xi)=\frac{1}{\operatorname{vol}_k(\Delta)}\int_\Delta\langle x,\xi\rangle^2\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $F_\Delta\colon\mathfrak t\to\mathbb R$ является неотрицательной квадратичной формой. Положим $h_\Delta=\sqrt{F_\Delta}$ и обозначим через $\operatorname{ell}(\Delta)$ эллипсоид в пространстве $\mathfrak t^*$ с опорной функцией $h_\Delta$. Лемма 4. При $m\to\infty$ последовательность функций $({1}/{m^2})F_{\Lambda,m}$ локально равномерно сходится к функции $F_\Delta$. Доказательство. Пусть $\dim\Delta=k$. Тогда Теперь заметим, что $N_{\Lambda,m}\asymp m^k\operatorname{vol}_k(\Delta)$, а $\sum_{\alpha\in{\Lambda_m}/{m}}\langle\xi,\alpha\rangle^2{1}/{m^k}$ является интегральной суммой для интеграла $\displaystyle\int_\Delta\langle x,\xi\rangle^2\,dx$ по разбиению $\Delta$ с узлами ${\Lambda_m}/{m}$. Отсюда получаем, что $({1}/{m^2})F_{\Lambda,m}(\xi)\to F_\Delta(\xi)$. Лемма доказана. (1) последовательность функций $({1}/{m})h_{\Lambda,m}$ локально равномерно сходится к опорной функции $h_\Delta$ эллипсоида $\operatorname{ell}(\Delta)$, (2) последовательность эллипсоидов $({1}/{m})\operatorname{ell}(\Lambda_m)$ сходится в топологии Хаусдорфа к эллипсоиду $\operatorname{ell}(\Delta)$. Так как по определению $h_\Delta=\sqrt{F_\Delta}$, то оба утверждения являются прямыми следствиями леммы 4. Лемма 5. Если для выпуклого тела $\Delta$ выполнено условие $(*)$, то при $m\to \infty$ последовательность выпуклых многогранников $({1}/{m})\operatorname{conv}(\Lambda_m)$ сходится в топологии Хаусдорфа к выпуклому телу $\Delta$. Доказательство вытекает из определения множества $\Lambda_m$. Теорема 4. Пусть $\Delta_1,\dots,\Delta_n$ – выпуклые тела в пространстве $\mathfrak t^*$, удовлетворяющие условию $(*)$, $\Lambda_i=\Delta_i\cap{\mathbb Z^n}^*$. Тогда Доказательство. Пусть $(m_1)_i,\dots,(m_n)_i$ – возрастающая последовательность наборов целых положительных чисел. Примененяя теорему 3 к последовательности наборов носителей $(\Lambda_1)_{(m_1)_i},\dots,(\Lambda_n)_{(m_n)_i}$ и делая предельный переход, основанный на следствии 3, (2) и лемме 5, получаем нужное утверждение. Теорема доказана. Следствие 4. Пусть $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ – положительные числа. Тогда при заменах $\Delta_i\to\alpha_i\Delta_i$ (при таких заменах условие $(*)$ остается выполненным) асимптотика $\operatorname{real}_n(\Lambda_{m_1},\dots,\Lambda_{m_n})$ сохраняется. Действительно, из леммы 4 вытекает, что $h_{\alpha\Delta_i}=\alpha h_{\Delta_i}$. Поэтому числитель и знаменатель правой части (3.1) умножаются на $\alpha_1\cdots\alpha_n$. § 4. Доказательство теоремы 1В доказательстве теоремы 1 используются обозначения и утверждения из § 3. Отождествим пространство $\mathfrak t^*$ с $\mathbb R^n$ так, что решетка характеров тора $T^n$ совпадает со стандартной целочисленной решеткой $\mathbb Z^n$ в $\mathbb R^n$. Пусть $B_m\subset\mathbb R^n$ – шар радиуса $m$ с центром $0$. По теореме 4
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to\infty} \operatorname{real}_n(B_m\cap\mathbb Z^n)=\frac{\operatorname{vol}(\operatorname{ell}(B_1))}{\sigma_n}.
\end{equation*}
\notag
$$
(Напомним, что $\sigma_k$ – это объем $k$-мерного шара радиуса $1$.) Поэтому теорема 1 сводится к следующему утверждению. Доказательство. По определению опорная функция $h_{B_1}$ эллипсоида $\operatorname{ell}(B_1)$ равна $\sqrt{F_{B_1}}$, где $\displaystyle F_{B_1}(\xi)=\frac{1}{\sigma_n}\int_{B_1} (x_1\xi_1+\dots+ x_n\xi_n)^2\, dx_1\dotsb dx_n$. Так как значение $F_{B_1}(\xi)$ зависит только от $|\xi|$, то эллипсоид $\operatorname{ell}(B_1)$ является шаром радиуса $\sqrt{F_{B_1}(\xi_0)}$ при $\xi_0=(1,0,\dots,0)$. Переходя в определении $F_{B_1}$ к повторному интегралу, получаем Следовательно, радиус шара $\operatorname{ell}(B_1)$ равен $\sqrt{(\sigma_{n-1}/\sigma_n)\beta_n}$. Следствие 5. Предел $\lim_{\inf(m_1,\dots,m_n)\to\infty}\operatorname{real}_n(B_{m_1}\cap\mathbb Z^n,\dots,B_{m_n}\cap\mathbb Z^n)= ((\sigma_{n-1}/\sigma_n)\beta_n)^{n/2}$. Доказательство. Смешанный объем $n$ шаров радиусов $r_1,\dots,r_n$ равен $r_1\cdots r_n\cdot\sigma_n$. Поэтому нужное утверждение вытекает из теоремы 4 и предложения 3. Следствие доказано.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kaz22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|