| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Задача быстродействия на группе движений плоскости с управлением в полукруге А. П. Маштаков Институт программных систем им. А. К. Айламазяна Российской академии наук, Ярославская обл., Переславский р-н, с. Веськово
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9609 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ 1957 г. Л. Дубинс описал в работе [1] задачу поиска кратчайших путей для автомобиля (машины), движущегося по плоскости из начальной конфигурации (положение и направление) в конечную конфигурацию. В постановке Л. Дубинса автомобиль может двигаться только вперед (не имеет задней передачи), а его угловая скорость ограничена. Позже, в 1990 г., Дж. Ридс и Л. Шепп рассмотрели в работе [2] ту же задачу, но применительно к автомобилю, у которого есть возможность движения назад. В обеих статьях основное внимание уделяется описанию и доказательству общей формы кратчайших путей без предоставления явных решений для заданных граничных условий (начальной и конечной конфигураций). Важной особенностью моделей Дубинса и Ридса–Шеппа является то, что траектории движения автомобиля имеют ограниченную кривизну. Это означает, что машина не может вращаться на месте. В то же время, в робототехнике принято рассматривать модель автомобиля с независимыми приводами для двух колес. В такой системе два колеса могут вращаться в разных направлениях с одинаковой скоростью, что обеспечивает вращение на месте. Таким образом, естественное обобщение машины Ридса–Шеппа приводит к модели автомобиля, траектории которого имеют неограниченную кривизну. Оптимальный синтез в такой системе получен Ю. Л. Сачковым [3]. Аналогичное обобщение машины Дубинса приводит к модели, предложенной Р. Дайтсом в [4]. Рассмотрим модель автомобиля, движущегося по плоскости (рис. 1). Автомобиль имеет два параллельных колеса, равноудаленных от центра масс, который совпадает с серединой оси колесной пары. Оба колеса имеют независимые приводы, которые могут вращаться вперед и назад, так что соответствующее качение колес происходит без проскальзывания. Конфигурация системы описывается тройкой $ q=(x, y, \theta) \in \mathbb{M}=\mathbb R^ 2 \times S^1 $, где $ (x, y) \in \mathbb R^2 $ – центральная точка, а $\theta \in S^1 $ – угол ориентации автомобиля, совпадающий с направлением колес. Заметим, что конфигурационное пространство $\mathbb{M}$ образует группу Ли $\operatorname{SE}(2)$ – группу движений плоскости:
$$
\begin{equation*}
\mathbb{M}=\mathbb R^2 \times S^1\simeq\operatorname{SE}(2).
\end{equation*}
\notag
$$
С точки зрения водителя у автомобиля есть два управления: акселератор $u_1$ и рулевое колесо $u_2$. В таких обозначениях динамика автомобиля описывается следующей управляемой системой, см. [5]:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot{x}=u_1 \cos \theta, \\ \dot{y}=u_1 \sin \theta, \\ \dot{\theta}=u_2, \end{cases} \qquad \begin{array}{l} (u_1,u_2) \in U \subset \mathbb R^2, \\ (x,y,\theta) \in \mathbb{M}=\mathbb R^2 \times S^1. \end{array}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Задача заключается в поиске управления $(u_1(t), u_2(t))$ и соответствующей траектории $\gamma (t)= (x(t), y(t), \theta(t)) $ на временном интервале $ t \in [0, T] $, удовлетворяющей системе (1.1) с граничными условиями
$$
\begin{equation}
\gamma(0)=(x_0, y_0, \theta_0)=q_0, \qquad \gamma(T)=(x_1, y_1, \theta_1)=q_1,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $q_0, q_1 \in \mathbb{M} $ – это начальная и конечная конфигурации системы. Такая задача в общем случае допускает бесконечное число решений. Выбор конкретного решения традиционно осуществляется путем введения критерия качества различных траекторий. Для этого к системе добавляется функционал стоимости, который требуется минимизировать, чтобы найти оптимальное решение. Классической является задача быстродействия Еще один естественный критерий оптимальности – минимизация “маневра”
$$
\begin{equation}
\int_0^T \sqrt{u_1^2 (t)+u_2^2(t)}\,\mathrm{d} t \to \min,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где конечное время $T \geqslant 0 $ свободно. Эти два критерия могут быть эквивалентны при выборе подходящей области допустимых управлений. Например, в случае $u_1^2 (t)+u_2^2 (t) \leqslant 1$ два критерия эквивалентны, поскольку любая нетривиальная оптимальная траектория может быть натурально параметризована $u_1^2 (t)+u_2^2 (t)= 1$. Замечание 1. Задача управления (1.1), (1.2), (1.4) при $U=-U$ является задачей оптимизации кривой в пространстве $\mathbb{M}$, снабженном естественной метрикой, определенной для кривых $\gamma(t)=(x(t), y(t), \theta(t))$, удовлетворяющих условию пропорциональности вектора $ (\dot{x}(t), \dot{y}(t)) $ вектору $ (\cos \theta (t) , \sin \theta (t)) $. Сформулированная таким образом задача становится одним из простейших примеров субримановой (СР) геометрии [6]: касательный вектор $ \dot \gamma(t) $ должен лежать в плоскости, натянутой на векторы $ (\cos \theta (t), \sin\theta (t), 0) $ и $ (0,0,1)$. Различные множества допустимых управлений $U \ni (u_1, u_2)$ приводят к разным моделям автомобиля на плоскости, см. [7]. Например (рис. 2), задача минимизации времени для автомобиля с управлением:
Замечание 2. Управляемая система (1.1) инвариантна относительно преобразования $(t,u_1,u_2) \mapsto ({t}/{\xi}, \xi u_1, \xi u_2)$, $\xi>0$. Другими словами, при согласованной перепараметризации скорости и времени траектории системы не меняются. Таким образом, ограничения на множество управлений $u_1^2+u_2^2 \leqslant \xi$ (светло-серая область на рис. 2) эквивалентны при любом $\xi>0$. В настоящей работе исследуется модель Р. Дайтса (см. [4]). Актуальность модели обусловлена приложением к обработке изображений. Оптимальные для заданной внешней стоимости траектории такой системы используются для поиска выделяющихся кривых. В частности, такие траектории используются в анализе медицинских изображений при поиске сосудов на фото сетчатки глаза. Модель Дайтса была разработана, чтобы устранить проблему точек возврата, возникающую в методе трассировки сосудов с помощью субримановых (СР) кратчайших (см. [9]). Отметим, что для устранения точек возврата применялся также другой подход (см. [10]), основанный на замене конфигурационного пространства с $\operatorname{SE}(2)$ на $\operatorname{PT}(\mathbb R^2)$. Такой подход позволил существенно сократить число ситуаций, в которых возникают точки возврата, однако полностью проблема устранена не была. Более подробно применение модели в обработке изображений обсуждается в следующем параграфе. Помимо актуальности с точки зрения приложений рассматриваемая задача представляет самостоятельный интерес в геометрической теории управления (см. [11]) как модельный пример задачи оптимального управления, в которой нулевое управление находится на границе множества управляющих параметров. Наиболее общий подход (см. [12]) к решению родственных задач основан на выпуклой тригонометрии. Подход покрывает класс задач оптимального управления с двумерным управлением, принадлежащим произвольному выпуклому компакту, содержащему нуль внутри. Обобщить этот подход на случай, когда нуль лежит на границе, непосредственно не удается. Для систем такого типа требуется развитие новых методов. В настоящей статье детально исследован частный случай такой системы. Работа имеет следующую структуру. Помимо введения, в котором описана история задачи и отражена ее актуальность в мобильной робототехнике и теории управления, статья содержит шесть параграфов. Параграф 2 посвящен приложениям в моделировании биологических зрительных систем и обработке изображений. В § 3 приводится формальная постановка задачи. В § 4 доказывается полная управляемость и существование оптимальных управлений. В § 5 к задаче применяется принцип максимума Понтрягина (ПМП), исследуется гамильтонова система ПМП и приводится явный вид экстремальных управлений и траекторий. В § 6 исследуется оптимальность экстремальных траекторий и структура оптимального синтеза. В заключительном § 7 подводится итог работы. § 2. Приложение в моделях зрения и обработке изображенийПринципы устройства биологических зрительных систем вызывают большой интерес среди исследователей во многих областях науки. Важным направлением является разработка и изучение реалистичных математических моделей, описывающих определенный этап обработки зрительного сигнала. Математическая модель первичной зрительной коры мозга как субриманова структура в пространстве позиций и направлений была предложена Ж. Петито в [13]. Затем модель была уточнена Дж. Читти и А. Сарти в [14]. Модель Петито–Читти–Сарти представляет первичную зрительную кору как субриманову структуру на группе Ли $\operatorname{SE}(2)$. Иллюзорные контуры в такой модели определяются как траектории системы (1.1), на которых достигается минимум функционала (1.3) на множестве управлений $u_1^2+u_2^2 \leqslant 1$. Согласно этой модели процесс дополнения скрытых контуров происходит путем минимизации энергии возбуждения нейронов, воспринимающих визуальную информацию в областях повреждения. Такой процесс моделируется действием оператора гипоэллиптической диффузии, изученного в [15], [16]. Результирующие кривые являются субримановыми кратчайшими. Такие кривые применяются для восстановления поврежденных изображений (см. [17]) и используются для объяснения некоторых зрительных иллюзий (см. [18]). В работах [19], [20] указано, что не все траектории модели Петито–Читти–Сарти согласованы с экспериментами из психологии зрения по построению поля ассоциаций, описанными в работе [21]. Поле ассоциаций представляет собой множество граничных условий (позиций и направлений), соединяемых иллюзорным контуром в процессе работы зрительной системы человека. Экспериментально было установлено, что не любые граничные условия соединяются. Для тех граничных условий, которые соединяются, иллюзорный контур является гладкой кривой на плоскости $\mathbb R^2$. Заметим, что в модели Петито–Читти–Сарти любые заданные граничные условия могут быть соединены оптимальной траекторией. При этом проекция оптимальной траектории на плоскость может иметь точки возврата (не является гладкой). Естественным уточнением модели Петито–Читти–Сарти является сужение задачи на класс граничных условий, соединяемых оптимальной траекторией без точек возврата. Исследование множества таких граничных условий произведено в [19], [20]. Перспективным направлением является модификация модели таким образом, чтобы траектории с точками возврата были априори исключены. Такая модификация дается моделью Дайтса (см. [4]). Согласно работе [4] и, как показано далее в теоремах 1 и 4, в модели Дайтса любые граничные условия соединяются оптимальной траекторией, проекция на плоскость которой не имеет внутренних точек возврата. Принципы работы биологических зрительных систем активно используются в компьютерном зрении. На основе этих принципов создаются эффективные методы обработки изображений: улучшение, сегментация, восстановление, поиск объектов. Так, например, в работе [22] предложен подход к обработке изображений, основанный на поднятии изображения в расширенное пространство позиций и направлений (invertible orientation scores). После такого подъема субримановы (СР) кратчайшие используются для поиска выделяющихся кривых, см. [23]–[25]. В частности, задача поиска выделяющихся кривых возникает в анализе медицинских изображений при поиске кровеносных сосудов на фото сетчатки глаза человека (рис. 3). Типичные проблемы для промышленных систем трассировки возникают в ситуациях, когда сосуды на фото пересекаются. Решение этой проблемы достигается путем поднятия изображения в расширенное пространство $\mathbb{M}$ позиций и направлений. Метод трассировки сосудов с помощью СР кратчайших на $\mathbb{M}$ предложен в [9]. Недостатком СР модели является наличие точек возврата. Такие кривые нежелательны в задаче трассировки сосудов. Ограничение управления на полукруг устраняет этот недостаток. При этом точки возврата становятся точками поворота на месте. Возникновение точки поворота типично наблюдается в местах ветвления сосудов. Более подробно с результатами трассировки сосудов с помощью оптимальных траекторий на $\operatorname{SE}(2)$ с управлением в полукруге можно ознакомиться в [26]. § 3. Постановка задачиДвижением метрического пространства называется преобразование, сохраняющее расстояние между точками. В настоящей работе рассматривается группа $\operatorname{SE}(2)$ собственных евклидовых движений плоскости $\mathbb R^2$. Любое собственное движение $\mathbb R^2$ представляется композицией параллельного переноса и поворота плоскости. Таким образом, элемент $\operatorname{SE}(2)$ задается тройкой чисел $(x,y,\theta)$, где $(x, y)\in\mathbb R^2$ – вектор параллельного переноса, $\theta\in S^1=\mathbb R / 2 \pi \mathbb Z$ – угол поворота. Рассматривается следующая управляемая система:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot{x}=u_1 \cos{\theta}, \\ \dot{y}=u_1 \sin{\theta}, \\ \dot{\theta}=u_2, \end{cases} \qquad \begin{array}{l} (x,y,\theta)=q \in \operatorname{SE}(2)=\mathbb{M}, \\ u_1^2+u_2^2\leqslant1,\quad u_1\geqslant0. \end{array}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Исследуется задача быстродействия: по заданным граничным условиям $q_0$, $q_1 \in \mathbb{M}$ требуется найти управления $u_1(t)$, $u_2(t)$ такие, что соответствующая траектория $\gamma:[0,T] \to \mathbb{M}$ переводит систему из начального состояния $q_0$ в конечное состояние $q_1$ за минимальное время:
$$
\begin{equation}
\gamma(0)=q_0, \qquad \gamma(T)=q_1, \qquad T\to\min.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
В данной постановке управления $u_i$ принадлежат классу $L^\infty([0,T],\mathbb R)$, а соответствующие траектории $\gamma$ являются липшицевыми кривыми на $\mathbb{M}$. Замечание 3. Система (3.1) инвариантна относительно параллельных переносов и поворотов плоскости. В силу этого без ограничения общности можно свести исследование при произвольном $q_0=(x_0,y_0,\theta_0)$ к случаю $q_0=(0,0,0).$ Замечание 4. Управление $u_1$ задает инфинитезимальный параллельный перенос в направлении $\theta$, а $u_2$ – поворот плоскости $\mathbb R^2_{x,y}$. При $u_2>0$ поворот происходит от оси $O_x$ к $O_y$, а при $u_2<0$ – в обратном направлении. Классический подход (см. [11]) к задаче (3.1), (3.2) состоит из следующих этапов: 1) доказательство существования решения; 2) параметризация экстремалей $\gamma$ с помощью принципа максимума Понтрягина (ПМП); 3) определение времени разреза $t_{\mathrm{cut}}(\gamma)$, после которого $\gamma$ теряет оптимальность; 4) выбор оптимальной траектории для заданных граничных условий. Замечание 5. Заметим, что при $t\in[0,t_{\mathrm{cut}})$ оптимальная траектория $\gamma$ является единственной. В конечную точку $\gamma(t_{\mathrm{cut}})$ могут приходить несколько оптимальных траекторий, в том числе бесконечно много. Далее в § 4, § 5 полностью проводятся этапы 1) и 2) соответственно. В § 6 обсуждаются этапы 3) и 4), которые на данный момент являются открытыми математическими задачами в общем случае. Проведение этих этапов позволит построить оптимальный синтез в задаче. На данный момент неизвестно время разреза $t_{\mathrm{cut}}$ для всех возможных экстремалей $\gamma$. Сложность его вычисления заключается в решении трансцендентных уравнений, возникающих при параметризации экстремалей. § 4. Существование решенияПри исследовании задачи (3.1), (3.2) возникает вопрос существования допустимой траектории, соединяющей граничные условия (3.2). Если при любых $q_0,q_1 \in \mathbb{M}$ ответ положителен, то управляемая система называется вполне управляемой. Докажем конструктивно полную управляемость системы (3.1). В силу замечания 3 положим $q_0=(0,0,0)$. Обозначим $q_1=(x_1,y_1,\theta_1)$. Искомое управление будем строить из трех частей: вращение на месте на угол $\alpha=\arg(x_1+\boldsymbol{i} y_1)\in (-\pi,\pi]$, движение вперед на величину $l=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$, вращение на месте на угол $\beta=(\theta_1-\alpha)\mod 2\pi \in (-\pi,\pi]$. Здесь $\arg(a+\boldsymbol{i} b)$ – аргумент комплексного числа $a+\boldsymbol{i} b$. Введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
s_1=\operatorname{sign}\alpha, \quad s_2=\operatorname{sign}\beta; \qquad t_0^1=|\alpha| \in [0, \pi], \quad t_0^2=|\alpha|+l, \quad T=|\alpha|+l+|\beta|.
\end{equation*}
\notag
$$
Искомое управление $\overline{\mathbf{u}}=(\overline{u}_1,\overline{u}_2)$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathbf{u}}(t)= \begin{cases} (0,s_1), & t\in[0,t_0^1|), \\ (1,0), & t\in[t_0^1,t_0^2), \\ (0,s_2), & t\in[t_0^2,T]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Соответствующая траектория $\overline{\gamma}$ задается следующей таблицей: Таблица 1.
Вычисление $\overline{\theta}(T)=s_1 t_0^1+s_2 (T-t_0^2)=\alpha+\beta=\theta_1$ показывает, что траектория $\overline{\gamma}$ удовлетворяет граничным условиям $\overline{\gamma}(0)=(0,0,0)$, $\overline{\gamma}(T)=(x_1,y_1,\theta_1)$. Итак, мы построили управление $\overline{\mathbf{u}}$, переводящее систему из $q_0$ в $q_1$, и тем самым доказали свойство полной управляемости системы (3.1). Далее возникает вопрос существования оптимальных траекторий: всегда ли существует допустимая траектория, удовлетворяющая условиям (3.2), на которой достигается минимальное значение $T$? Положительный ответ на этот вопрос дается теоремой Филиппова (см. [11], [27]). Она гарантирует существование оптимального управления при следующих условиях: 1) существует допустимая траектория, соединяющая граничные условия; 2) правая часть управляемой системы непрерывна по совокупности аргументов и непрерывно дифференцируема по переменным состояния; 3) траектории системы определены на всем промежутке времени; 4) множество управлений замкнуто и ограничено; правая часть системы выпукла на множестве управлений. Для рассматриваемой задачи быстродействия (3.1), (3.2) выполнение условия 1) доказано выше. Условия 2)–4) выполнены исходя из вида системы (3.1). При этом продолжимость траекторий на бесконечный промежуток времени обеспечивается теоремой Коши и ограничением на управление. Итак, в настоящем параграфе доказана следующая Теорема 1. Решение задачи быстродействия (3.1), (3.2) существует для любых граничных условий $q_0,q_1 \in \mathbb{M}$. § 5. Принцип максимума ПонтрягинаИсследуется задача быстродействия
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot{x}=u_1 \cos{\theta}, & x(0)=0, \ \ x(T)=x_1, \\ \dot{y}=u_1 \sin{\theta}, & y(0)=0, \ \ y(T)=y_1, \\ \dot{\theta}=u_2, & \theta(0)=0, \ \ \theta(T)=\theta_1, \end{cases} \qquad \begin{array}{l} u_1\geqslant 0, \\ u_1^2+u_2^2 \leqslant 1, \end{array} \qquad T \to \min.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Обозначим через $U$ множество допустимых управлений – полукруг
$$
\begin{equation*}
U=\{(u_1,u_2)\mid u_1\geqslant 0,\,u_1^2+u_2^2 \leqslant 1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим к (5.1) необходимое условие оптимальности – ПМП (см. [11], [27]). Введем укороченную функцию Понтрягина
$$
\begin{equation}
H_{u}=u_1 (p_1 \cos{\theta}+p_2 \sin{\theta})+u_2 p_3, \qquad (p_1, p_2, p_3) \in T_{q_0}^*\mathbb{M} \simeq \mathbb R^3.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Пусть $(u(t), q(t))$, $t \in[0,T]$, – оптимальный процесс, тогда выполнены условия: 1) гамильтонова система $\dot{p}=-\partial H_u/\partial q$, $\dot{q}=\partial H_u/\partial p$; 2) условие максимума $H_{u(t)} (p(t),q(t))=\max_{u \in U}H_{u} (p(t),q(t))=H \in \{0,1\}$. Случай $H=0$ называется анормальным, случай $H=1$ – нормальным. Естественными координатами для левоинвариантных задач на группах Ли являются левоинвариантные гамильтонианы, линейные на слоях кокасательного расслоения (см. [11]). Обозначим их через $h_1$, $h_2$ и $h_3$:
$$
\begin{equation*}
h_1=p_1 \cos\theta+p_2 \sin\theta, \qquad h_2=p_3, \qquad h_3=p_1 \sin\theta-p_2 \cos\theta .
\end{equation*}
\notag
$$
Функция Понтрягина примет вид Гамильтонова система ПМП имеет вид:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot{x}=u_1 \cos{\theta}, \\ \dot{y}=u_1 \sin{\theta}, \\ \dot{\theta}=u_2, \end{cases} \qquad \begin{cases} \dot{h}_1=-u_2 h_3, \\ \dot{h}_2=u_1 h_3, \\ \dot{h}_3=u_2 h_1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Подсистема на переменные состояния $x$, $y$, $\theta$ называется горизонтальной частью, а подсистема на сопряженные переменные $h_1$, $h_2$, $h_3$ – вертикальной частью гамильтоновой системы ПМП. Решение вертикальной части вместе с условием максимума определяет экстремальные управления, а решение горизонтальной части – экстремальные траектории. Условие максимума имеет вид $H=\max_{u\in U} H_u$. При $h_1<0$ гамильтониан равен $H=|h_2|$, максимум достигается при
$$
\begin{equation}
u_1=0, \qquad u_2=\begin{cases} \operatorname{sign} h_2, &h_2\neq 0, \\ \forall\, u_2 \in I=[-1,1], &h_2=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
При $h_1=0$ гамильтониан равен $H=|h_2|$, максимум достигается при
$$
\begin{equation}
\begin{cases} u_1=0, \ \ u_2=\operatorname{sign} h_2, & h_2\neq 0, \\ \forall\, (u_1, u_2) \in U, &h_2=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
При $h_1>0$ гамильтониан равен $H=\sqrt{h_1^2+h_2^2}$, максимум достигается при
$$
\begin{equation}
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{h}}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}} , \qquad \mathbf{u}=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{h}=\begin{pmatrix}h_1\\h_2\end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Замечание 6. Выражение экстремального управления при $h_1>0$ имеет следующую геометрическую интерпретацию. Функция $H_u=u_1 h_1+u_2 h_2=\langle \mathbf{u}, \mathbf{h}\rangle$ достигает максимума по $(u_1,u_2)\in U$, когда векторы $\mathbf{u}$ и $\mathbf{h}$ сонаправлены и евклидова длина $\|\mathbf{u}\|$ имеет максимальное значение, т.е. $u_1^2+u_2^2=1$. Таким образом, $\mathbf{u}=\mathbf{h}/H$, где $H=\sqrt{h_1^2+h_2^2}$. Заключаем, что гамильтониан ПМП имеет вид
$$
\begin{equation}
H=\max_{u\in U}H_{u}= \begin{cases} |h_2|, & h_1 \leqslant 0, \\ \sqrt{h_1^2+h_2^2}, & h_1 > 0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Выражение экстремального управления дается следующей таблицей:
$$
\begin{array}[cccc]
{ c| l l l}
& h_1 < 0 & h_1=0 & h_1>0
\\
\hline
h_2 < 0 & u_1=0, u_2=-1& (u_1, u_2)=(0,-1)& (u_1, u_2)=(h_1,h_2)/H
\\
h_2=0 & u_1=0, u_2 \in I & (u_1, u_2)\in U &(u_1, u_2)=(h_1,h_2)/H
\\
h_2 > 0 & u_1=0, u_2=1 & (u_1, u_2)=(0,1) & (u_1, u_2)=(h_1,h_2)/H
\end{array}
\tag{5.8}
$$
5.1. Анормальный случай $H=0$Из (5.7) следует $|h_2| \leqslant H=0$. Следовательно, $h_2=0$ при любом $h_1$. При $h_1<0$ в силу (5.4) имеем $u_1=0$, $u_2 \in I=[-1,1]$. Гамильтонова система
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot{x}=0, & x(0)=0, \\ \dot{y}=0, & y(0)=0, \\ \dot{\theta}=u_2, & \theta(0)=0, \end{cases} \qquad \begin{cases} \dot{h}_1=-u_2 h_3, & h_1(0)=h_{10}, \\ \dot{h}_3=u_2 h_1,& h_3(0)=h_{30} \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
имеет для любого допустимого управления $u_2(t)$ единственное решение
$$
\begin{equation}
\begin{cases} x(t)=0, \\ y(t)=0, \\ \theta(t)=U_2(t), \end{cases} \qquad \begin{cases} h_1(t)= h_{10} \cos U_2(t)-h_{30} \sin U_2(t), \\ h_3(t)= h_{30} \cos U_2(t)+h_{10} \sin U_2(t), \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
где $\displaystyle U_2(t)=\int_0^t u_2(\tau)\,d \tau$. Рассмотрим случай $h_1=0$. Поскольку $H=|h_2|$ является первым интегралом системы, то $\dot{h}_2=0$. Из гамильтоновой системы (5.3) следует $h_3 u_1=0$. Случай $h_3=0$ противоречит условию нетривиальности начального ковектора в ПМП. В случае $u_1=0$ выражения (5.4) и (5.5) совпадают. Таким образом, экстремальное управление при $h_1=0$ имеет тот же вид, что и при $h_1<0$. При $h_1>0$ анормальных экстремалей не существует. Этот случай невозможен, поскольку противоречит условию $H=0$. Таким образом, мы получили следующее утверждение. Теорема 2. Анормальное экстремальное управление имеет вид $u_1(t)=0$, $u_2(t) \in I=[-1,1]$ – произвольная функция класса $L_\infty([0,T],I)$, удовлетворяющая условию $h_{10} \cos U_2(t)-h_{30} \sin U_2(t)\leqslant 0$ при всех $t \in [0,T]$, где $h_{10}\geqslant 0$, $\displaystyle U_2(t)=\int_0^t u_2(\tau)\, d \tau$. Несложно заметить, что анормальная экстремальная траектория не является оптимальной, если $u_2$ меняет знак или обращается в нуль. Смена знака $u_2$ соответствует поворотам в противоположных направлениях. Нулевое управление соответствует неподвижной точке. Такие движения заведомо не оптимальны в задаче быстродействия. Также очевидно, что поворот на месте оптимален, если угол поворота не превосходит $\pi$. Выбирая натуральную параметризацию $u_1^2+u_2^2=1$, получаем $u_2= s_2=\pm 1$. Таким образом, заключаем, что анормальные оптимальные траектории являются поворотами с постоянной скоростью: 5.2. Нормальный случай $H=1$Вертикальная часть гамильтоновой системы ПМП (5.3) имеет вид
$$
\begin{equation}
\dot{h}_1=-u_2 h_3, \qquad \dot{h}_2=u_1 h_3, \qquad \dot{h}_3=u_2 h_1,
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
где управление $(u_1, u_2)$ задано соотношениями (5.4)–(5.6). Система (5.11) имеет первый интеграл – гамильтониан $H$, заданный формулой (5.7), зависящей от знака $h_1$. Помимо гамильтониана имеется еще один первый интеграл – функция Казимира $E$, заданная единой формулой на всей области определения: Замечание 7. Функции Казимира – это функции на двойственном пространстве алгебры Ли, коммутирующие в смысле скобок Пуассона со всеми левоинвариантными гамильтонианами. Они являются универсальными законами сохранения на группе Ли. Связные совместные поверхности уровня всех функций Казимира являются орбитами коприсоединенного представления группы Ли (см. [29; утверждение 7.7]). Первый интеграл $E$ является функцией Казимира на $\operatorname{SE}(2)$, поскольку он коммутирует со всеми левоинвариантными гамильтонианами: На рис. 4 изображены различные варианты взаимного расположения поверхности уровня гамильтониана $H=1$, представляющей собой две полуплоскости $\{(h_1,h_3)\,|\, h_1\,{<}\,0,\, h_2\,{=}\,{\pm} 1\}$, склеенные половиной цилиндра $\{h_1^2\,{+}\,h_2^2\,{=}\,1\,|\, h_1\,{\geqslant}\, 0\}$, и поверхности уровня функции Казимира $E \geqslant 0$, представляющей собой цилиндр $h_1^2+h_3^2=E$. Помимо вырожденных случаев $\{h_1=0,\, h_2=\pm 1,\, h_3=0\}$ (устойчивые положения равновесия) и $\{h_1=1,\, h_2=0, \, h_3=0\}$ (неустойчивое положение равновесия), возможны три различных случая: $E<1$, $E=1$ и $E>1$. Случай $E=1$ называется критическим. В этом случае движение в состояние (или из состояния) неустойчивого равновесия происходит за бесконечное время. На рис. 5 приведен фазовый портрет вертикальной части гамильтоновой системы, суженный на поверхность уровня гамильтониана $H=1$. На этом рисунке поверхность $H=1$, состоящая из двух полуплоскостей, склеенных половиной цилиндра, изображена в развернутом виде. Линии склейки нанесены на рисунок. Рис. 5, a, соответствует фазовому портрету на полуплоскости $h_2=-1$, рис. 5, b, – на половине цилиндра, рис. 5, c, – на полуплоскости $h_2=1$. По вертикали обозначены значения $h_3$. По горизонтали – значения $h_1$ на рис. 5, a и c, значение $\arccos h_1 \in [-{\pi}/{2},{\pi}/{2}]$ на рис. 5, b. Траектория, соответствующая критическому значению $E=1$ нанесена на рисунок. В зависимости от знака $h_1$ получаются две различные системы, см. (5.7). При смене знака $h_1$ динамика переключается с одной системы на другую. Далее мы проанализируем возможные случаи. Момент времени, в который происходит переключение, будем обозначать $t_0 \in \{t_0^0=0,t_0^1,t_0^2,\dots\}$. 5.2.1. Случай $h_1<0$Заметим, что в силу постоянства гамильтониана $H$, см. (5.7), выполнено В силу (5.4) имеем $u_1=0$, $u_2=h_2$. Обозначим $s_2=h_2=\pm1$. Гамильтонова система ПМП имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot{x}=0, & x(t_0)=x_0, \\ \dot{y}=0, & y(t_0)=y_0, \\ \dot{\theta}=s_2, & \theta(t_0)=\theta_0, \end{cases} \qquad \begin{cases} \dot{h}_1=-s_2 h_3, & h_1(t_0)=h_{10}, \\ \dot{h}_3=s_2 h_1,& h_3(t_0)=h_{30}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Решение горизонтальной части имеет вид
$$
\begin{equation}
x(t)=x_0, \qquad y(t)=y_0, \qquad \theta(t)=\theta_0+s_2 (t-t_0).
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
Получаем, что экстремальными траекториями являются повороты плоскости вокруг неподвижной точки $x_0$, $y_0$ с постоянной скоростью $s_2=\pm 1$. Вертикальная часть задана линейной системой ОДУ, которая легко интегрируется:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} h_1(t)= h_{10} \cos(t-t_0)-s_2h_{30} \sin(t-t_0), \\ h_3(t)= h_{30} \cos(t-t_0)+s_2h_{10} \sin(t-t_0). \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Получаем, что решением вертикальной части являются дуги окружностей в плоскости $(h_1, h_3)$, а если точнее, то в полуплоскости $h_1<0$ в силу начального предположения. При $s_2=-1$ движение по окружности происходит по часовой стрелке, а при $s_2=1$ – против часовой стрелки. Для полного исследования рассматриваемого случая осталось вычислить момент времени $t_1$, в который произойдет переключение динамики, т.е. такой момент, когда условие $h_1<0$ перестанет выполняться
$$
\begin{equation*}
t_1=\min\bigl\{t>t_0\mid h_{10} \cos(t-t_0)-s_2 h_{30} \sin(t-t_0)=0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Геометрически это уравнение означает, что $t_1-t_0$ – минимальный угол, на который нужно повернуть плоскость $(h_1,h_3)$, чтобы вектор $(1,0)$ стал перпендикулярным вектору $v=(h_{10},-s_2 h_{30})$. Рассматривая два возможных варианта расположения $v$ в полуплоскости $h_1<0$, находим
$$
\begin{equation}
t_1-t_0=\arg(-s_2 h_{30}-\boldsymbol{i} h_{10}) \in (0,\pi].
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
В заключение отметим, что в случае $t_0>0$, т.е. когда уже произошло хотя бы одно переключение, формула (5.16) сводится к $t_1-t_0=\pi$. 5.2.2. Случай $h_1=0$В силу постоянства гамильтониана $H$, см. (5.7), выполнено $h_2=h_{20}=\pm 1.$ В силу (5.5) имеем $u_1=0$, $u_2=h_2$. Обозначим $s_2=h_2=\pm1$. Динамика $h_1$ зависит от знака производной $\dot{h}_1=-h_2 h_3$. В случае $h_{30}=0$ система находится в устойчивом стационарном состоянии $h_1=h_3=0$, $h_2=s_2$. Соответствующее экстремальное управление постоянно $u_1=0$, $u_2=s_2$, а экстремальной траекторией является вращение на месте $x(t)=x_0$, $y(t)=y_0$, $\theta(t)=\theta_0+s_2 (t-t_0)$. Очевидно, что такие траектории являются оптимальными при $t-t_0 \in [0, \pi]$. В случае $h_{30}\neq 0$ обозначим $s_{23}=\operatorname{sign} h_2 h_3$. Тогда $\dot{h}_1=-s_{23}=\pm 1$. Если $s_{23}=1$, то динамика задается системой (5.13) рассмотренного ранее случая $h_{1}<0$. Если $s_{23}=-1$, то динамика задается системой (5.17) рассматриваемого далее случая $h_{1}>0$. 5.2.3. Случай $h_1>0$В силу (5.7) имеем $h_1=\sqrt{1-h_2^2}$. Гамильтонова система ПМП имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot{x}=h_1 \cos\theta, & x(t_0)=x_0, \\ \dot{y}=h_1 \sin\theta, & y(t_0)=y_0, \\ \dot{\theta}=h_2, & \theta(t_0)=\theta_0, \end{cases} \qquad \begin{cases} \dot{h}_1=-h_2 h_3, & h_1(t_0)=h_{10}, \\ \dot{h}_2=h_1 h_3, & h_2(t_0)=h_{20}, \\ \dot{h}_3=h_2 h_1,& h_3(t_0)=h_{30}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
Эта система является модельным примером в геометрической теории управления (см. [11]). Явное выражение решения в эллиптических функциях Якоби получено в статье [3], где авторы свели вертикальную подсистему к уравнению математического маятника и проинтегрировали его в терминах выпрямляющих координат. При этом решение задается различными формулами в разных областях фазового портрета маятника. Конкретный вид формулы определяется характером движения маятника: колебание, вращение, движение по сепаратрисе, устойчивое или неустойчивое равновесие. В этом пункте мы предлагаем другую технику интегрирования, ведущую к явной параметризации решения одной формулой почти всюду. Техника состоит в следующем: сначала мы выведем ОДУ на функцию $h_2$, найдем его явное решение, и затем выразим оставшиеся компоненты $h_1$, $h_3$ через известную функцию $h_2$ и начальные условия. Напомним, что помимо первого интеграла $h_1^2+h_2^2=1$ имеется еще один первый интеграл – функция Казимира $E=h_1^2+h_3^2$. Обозначим $M=E-2$. Выписывая вторую производную функции $h_2$ в силу (5.17), получаем ОДУ с начальными условиями
$$
\begin{equation}
h_2(t_0)=h_{20}, \qquad \dot{h}_2(t_0)=h_{10}h_{30}=\sqrt{1-h_{20}^2} h_{30}.
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
Случай $h_{30}=0$. В силу (5.7) имеем $|h_{20}|<1$. При $h_{20}=0$ решением системы (5.18), (5.19) является неустойчивое положение равновесия. Соответствующей экстремальной траекторией $\gamma(t)=(x_0+(t-t_0) \cos\theta_0,y_0+(t-t_0) \sin\theta_0, \theta_0)$ является движение по прямой. Такие траектории являются оптимальными до бесконечности. При $h_{20}\neq 0$ система сводится к рассматриваемому далее случаю $h_{30}\neq 0$ с углом $\alpha=({\pi}/{2}) \operatorname{sign} h_{20} $. Случай $h_{30} \neq 0$. При $E=0$ решение вертикальной части (5.17) является устойчивым положением равновесия, а соответствующие экстремальные траектории являются поворотами на месте. При $E=1$ выполнено $h_3=\pm h_2$, и вертикальная часть сводится к уравнению $\dot{h}_1=\mp (1-h_1^2)$, решение которого выражается в гиперболических функциях. Частные случаи $E\in\{0,1\}$ выражаются в элементарных функциях и получаются предельным переходом в формулах при $E<1$ и $E>1$. Рассмотрим далее общий случай $E\not\in\{0,1\}$. Обозначим $s_2=\operatorname{sign} h_{20}$, $s_3=\operatorname{sign} h_{30}$. Введем угол
$$
\begin{equation*}
\alpha=\begin{cases} \arg\bigl(-s_3 \bigl(h_{20}+\boldsymbol{i} \sqrt{1-h_{20}^2}\bigr)\bigr) \in (-\pi, \pi], & E>1, \\ \arg \bigl(h_{20}+\boldsymbol{i} \sqrt{1-h_{20}^2}\bigr)+\dfrac{1-s_2}{2} \pi \in \biggl(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\biggr], & E<1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\xi(t)=\begin{cases} \dfrac{t-t_0}{k}-s_3 F(\alpha,k), & E>1, \\ -s_2 s_3 \dfrac{t-t_0}{k}+s_2 F(\alpha,k), & E<1, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $F$ – эллиптический интеграл 1-го рода в форме Лежандра:
$$
\begin{equation*}
F(\alpha,k)=\int_0^\alpha \frac{\mathrm{d} a}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 a}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Явное решение уравнения (5.18) для общих граничных условий приведено в [30; приложение A], см. также [31]. Подставляя граничные условия (5.19), получаем где
$$
\begin{equation*}
k=\frac{1}{\sqrt{E}}=\frac{1}{\sqrt{1-h_{20}^2+h_{30}^2}}, \qquad s=\begin{cases} s_3, & E>1, \\ -s_2, & E<1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (5.20) и условия $h_1(t)=\sqrt{1-h_2^2(t)}$ находим Функция $h_3(t)$ находится из системы $\dot{h}_3(t)=h_1(t)h_2(t)$, $h_3(0)=h_{30}$:
$$
\begin{equation*}
h_3(t)=h_{30}+\int_{t_0}^t h_1(\tau)h_2(\tau) \,\mathrm{d} \tau = h_{30}+\frac{s}{k} \int_{\xi(t_0)}^{\xi(t)}-k^2 \operatorname{sn}(a,k) \operatorname{cn}(a,k)\,\mathrm{d} a.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя тождество $\dfrac{d}{d a}\operatorname{dn}(a,k)=-k^2 \operatorname{sn}(a,k) \operatorname{cn}(a,k)$, получаем
$$
\begin{equation}
h_3(t)=h_{30}+\frac{s}{k}\bigl(\operatorname{dn}(\xi(t),k)- \operatorname{dn}(\xi(t_0),k)\bigr).
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
Обозначим Замечание 8. По аналогии с результатом [32; гл. 1, § 3] задача Коши имеет единственное решение $(h_1,h_3)$, заданное формулой Заключаем, что, как и при $h_1<0$, проекции решений вертикальной части на плоскость $(h_1,h_3)$ являются дугами окружностей, однако в отличие от случая $h_1<0$, движение по ним происходит с переменной скоростью. Интеграл (5.23), где $h_2$ задается формулой (5.20), допускает явное представление в эллиптических функциях Якоби, см. [33],
$$
\begin{equation}
H_2(t)=-s\arccos(\operatorname{dn}(\xi(\tau),k))\big|_{\tau=t_0}^{\tau=t}.
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
Теперь запишем решение горизонтальной части гамильтоновой системы. Заметим, что в силу $\dot{\theta}=h_2$, функции $\theta$ и $H_2$, см. (5.23), связаны соотношением Компоненты $x$, $y$ экстремальной траектории выражаются в квадратурах
$$
\begin{equation}
x(t)=x_0+\int_{t_0}^t h_1(\tau) \cos\theta(\tau)\, \mathrm{d} \tau, \qquad y(t)=y_0+\int_{t_0}^t h_1(\tau) \sin\theta(\tau) \, \mathrm{d} \tau.
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
Введем систему координат $(\widetilde{x},\widetilde{y},\widetilde{\theta})$ в окрестности точки $(x_0,y_0,\theta_0)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \widetilde{x} \\ \widetilde{y} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos \beta_0 & \sin\beta_0 \\ -\sin \beta_0 & \cos\beta_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}, \qquad \widetilde{\theta}=\theta-\beta_0,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\beta_0=\theta_0+s \arccos(\operatorname{dn}(\xi(t_0),k)).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу левоинвариантности гамильтоновой системы компоненты траектории $(\widetilde{x}(t),\widetilde{y}(t),\widetilde{\theta}(t))$ в новых координатах удовлетворяют тем же уравнениям (5.17), что и в исходных координатах:
$$
\begin{equation*}
\dot{\widetilde{x}}(t)=h_1(t) \cos \widetilde{\theta}(t), \qquad \dot{\widetilde{y}}(t)=h_1(t) \sin \widetilde{\theta}(t), \qquad \dot{\widetilde{\theta}}(t)=h_2(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Из тождества (5.25) следует
$$
\begin{equation}
\widetilde{\theta}(t)=-s\arccos(\operatorname{dn}(\xi(t),k)).
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
Компоненты $\widetilde{x}$, $\widetilde{y}$ экстремальной траектории выражаются как
$$
\begin{equation}
\widetilde{x}(t)=\int_{t_0}^t h_1(\tau) \cos\widetilde{\theta}(\tau) \, \mathrm{d} \tau, \qquad \widetilde{y}(t)=\int_{t_0}^t h_1(\tau) \sin\widetilde{\theta}(\tau) \, \mathrm{d} \tau.
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
Интегралы в правой части допускают явное представление. Действительно, подставляя (5.21), (5.27) в (5.28), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{x}(t)&=\int_{t_0}^t \operatorname{sn}(\xi(\tau),k) \operatorname{dn}(\xi(\tau),k) \, \mathrm{d} \tau =k \int_{\xi(t_0)}^{\xi(t)}\operatorname{sn}(a,k) \operatorname{dn}(a,k) \, \mathrm{d} a \\ &= -k \bigl(\operatorname{cn}(\xi(t),k)-\operatorname{cn}(\xi(t_0),k)\bigr), \\ \widetilde{y}(t) &=\displaystyle-s \int_{t_0}^t \operatorname{sn}(\xi(\tau),k) \sqrt{1-\operatorname{dn}^2(\xi(\tau),k)} \, \mathrm{d} \tau =-sk^2 \int_{\xi(t_0)}^{\xi(t)} \operatorname{sn}^2(a,k) \, \mathrm{d} a \\ &=-s (a-\operatorname{E}(a,k))\Big|_{\xi(t_0)}^{\xi(t)}=-s \biggl(\frac{t-t_0}{k}-\operatorname{E}(\xi(t),k)+\operatorname{E}(\xi(t_0),k)\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{E}(a,k)=E(\operatorname{am}(a,k),k)$ – эллиптический интеграл второго рода:
$$
\begin{equation*}
E(\alpha,k)=\int_0^\alpha \sqrt{1-k^2 \sin^2 a}\,\mathrm{d} a.
\end{equation*}
\notag
$$
При интегрировании выражения для $\widetilde{y}(t)$ использовалось стандартное тождество $\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(a,k)}=k|{\operatorname{sn}(a, k)}|$ и условие $\operatorname{sn}(\xi(t), k)>0$, выполненное в силу предположения $h_1(t)>0$, см. (5.21). Возвращаясь к исходным координатам $(x,y,\theta)$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos \beta_0 & -\sin\beta_0 \\ \sin \beta_0 & \cos\beta_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \widetilde{x} \\ \widetilde{y} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}, \qquad \theta=\widetilde{\theta}+\beta_0.
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
Замечание 9. Заметим, что поскольку $h_1>0$, то траектория может быть параметризована длиной $s$ ее проекции на плоскость $(x,y)$: 5.2.4. Нормальные экстремальные траектории и управленияПодведем итог этого параграфа, сформулировав следующую теорему Теорема 3. В задаче быстродействия (3.1), (3.2) нормальное экстремальное управление $(u_1(t), u_2(t))$ однозначно определяется значением Функция $u_1(t)$ имеет вид $u_1(t)=\sqrt{1-u_2^2(t)}$, $t \in [0,T]$. Функция $u_2(t)=h_2(t)$ задается на интервалах, образованных разбиением отрезка $t\in [0,T]$ точками переключения $t_0 \in \{0=t_0^0, t_0^1,t_0^2, \dots,T\}$, где момент переключения $t_0^i$ зависит от состояния $h_0^{i-1}=(h_{10}^{i-1},s_{20}^{i-1},h_{30}^{i-1})$, достигнутого в предыдущий момент $t_0^{i-1}$, и определяется рекуррентной формулой
$$
\begin{equation*}
t_0^{i}(h_0^{i-1})=\min\{t>t_0^{i-1} \mid h_1(t,h_0^{i-1})=0\}, \qquad h_0^i=h(t_0^i(h_0^{i-1}), h_0^{i-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $h(t,h_0^{i})=(h_1(t,h_0^{i}),h_2(t,h_0^{i}),h_3(t,h_0^{i}))= \operatorname{vert}(e^{t \vec{H}} h_0^{i} )$ – решение вертикальной части гамильтоновой системы ПМП с начальным значением $h_0^i$ за время $t \geqslant t_0^i$, имеющей вид где Экстремальные траектории имеют вид
$$
\begin{equation*}
x(t)\,{=}\int_{0}^t u_1(\tau) \cos\theta(\tau) \, \mathrm{d} \tau, \qquad y(t)\,{=}\int_{0}^t u_1(\tau) \sin\theta(\tau) \, \mathrm{d} \tau, \qquad \theta(t)\,{=}\int_{0}^t u_2(\tau) \, \mathrm{d} \tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Экстремальное управление и траектория являются решением $e^{t \vec{H}} h_0^{0}$ вертикальной и горизонтальной части гамильтоновой системы ПМП $\dot{h}=\vec{H}$ с начальным условием $h(0)=h_0^0$. Явные формулы в общем случае $E \not\in \{0,1\}$ при $h_1<0$, $h_1=0$ и $h_1>0$ приведены в пп. 5.2.1, 5.2.2 и 5.2.3 соответственно. Случаю $h_1<0$ соответствуют отрезки экстремальных траекторий, являющиеся вращениями на месте. Случаю $h_1>0$ соответствуют отрезки экстремальных траекторий, являющиеся субримановыми геодезическими на $\operatorname{SE}(2)$, проекция на плоскость которых не имеет точек возврата. Случай $h_1=0$ примыкает к случаю $h_1<0$ при $h_{20}^i h_{30}^i \geqslant 0$ и к случаю $h_1>0$ при $h_{20}^i h_{30}^i< 0$. Решения в частных случаях $E \in \{0,1\}$ выражаются в элементарных функциях и получаются предельным переходом в формулах в общем случае. Они соответствуют одному из типов движения:
Анализируя полученное решение, наблюдаем связь между экстремальными траекториями в исследуемой задаче и задаче быстродействия для управляемой системы на группе движений плоскости с управлением в круге, исследованной в [3]: проекции на плоскость $(x,y)$ траекторий в задаче на полукруге и задаче на круге совпадают, однако динамика угла $\theta$ при движении по ним отличается – в точках возврата в задаче на полукруге происходит равномерное увеличение угла $\theta$ на $\pi$ радиан, рис. 6. § 6. Структура оптимального синтезаВ этом параграфе произведем анализ оптимальности экстремальных управлений и опишем структуру оптимального синтеза. Сначала заметим, что в задаче (3.1), (3.2) нет оптимальных строго анормальных траекторий. То есть любая оптимальная анормальная траектория является также нормальной. Это утверждение следует из теоремы 2 и очевидного соображения, что поворот на месте оптимален (происходит наискорейшим способом) тогда и только тогда, когда направление вращения не меняется, и скорость максимальна $|u_2|=1$. Таким образом, достаточно рассмотреть только нормальный случай. В работе [4] указано, что оптимальная траектория на плоскости не имеет внутренних точек разворота. Точками разворота могут быть лишь граничные точки. Это утверждение формализуется в виде следующей теоремы. где $0\leqslant t_0^1 \leqslant t_0^2 \leqslant T$ – моменты переключения управления, знаки $s_i=\pm 1$ – параметры, определяемые граничными условиями, а траектория
$$
\begin{equation*}
(x_s(t),y_s(t),\theta_s(t))=:q_s(t), \qquad q_s(t_0^1)=(0,0,\theta_0^1), \qquad q_s(t_0^2)=(x_1,y_1,\theta_0^2)
\end{equation*}
\notag
$$
является субримановой кратчайшей на $\operatorname{SE}(2)$, проекция на плоскость которой не содержит внутренних точек возврата (т.е. для любого $t\in (t_0^1, t_0^2)$ выполнено $\dot{x}_s(t)^2+\dot{y}_s(t)^2>0$). Доказательство. Вид (6.1) оптимальной траектории следует из теоремы 3 с учетом того, что повороты на месте могут быть только на начальном или конечном интервале времени. Неоптимальность траектории $\gamma$ с внутренней точкой разворота можно доказать, построив более быструю траекторию $\gamma_0$ (срезку) (рис. 7). Рассмотрим траекторию $\gamma$ с внутренней точкой разворота. Обозначим через $\overline{\gamma}$ проекцию $\gamma$ на плоскость. Обозначим точку разворота через $B=\overline{\gamma}(t)$, $t \in [t_B,t_B+\pi]$. Для любых двух точек $A=\overline{\gamma}(t_A)$ и $C=\overline{\gamma}(t_C)$, $t_A<t_B<t_B+\pi<t_C$ из достаточно малой окрестности точки $B$ выполнено Время движения $T=t_C-t_A$ по $\overline{\gamma}$ из $A$ в $C$ имеет оценку снизу где $l_{AB}$ – евклидово расстояние между точками $A$ и $B$, $l_{BC}$ – между точками $B$ и $C$. Эта оценка верна, поскольку время движения вдоль любой траектории между двумя точками не может быть меньше, чем при движении по отрезку прямой. Поэтому $l_{AB}+l_{BC}< t_B-t_A+t_C-t_B-\pi=T-\pi$.Для расстояния $l_{AC}$ между $A$ и $C$ выполнено неравенство треугольника Траектория $\gamma_0$ строится из трех последовательных движений: поворот на месте на угол $\theta_0$, движение вперед за время $l_{AC}$, поворот на месте на угол $\theta_1$. Время движения $T_0$ по траектории $\gamma_0$ из $\gamma(t_A)$ в $\gamma(t_C)$ вычисляется явноКомбинируя (6.2)–(6.5), получаем $T_0<T$. Теорема доказана. Ввиду сложной параметризации экстремальных траекторий в общем случае явное выражение оптимальной траектории $q_s$ через граничные условия в настоящее время остается неизвестным. Для этого требуется найти обратное экспоненциальное отображение (вообще говоря, многозначное)
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Exp}^{-1}\colon \mathbb{M} \to C \times \mathbb R^+\colon q_1 \mapsto (h(0), T),
\end{equation*}
\notag
$$
которое переводит конечную точку $q_1 \in \mathbb{M}$ оптимальной траектории в начальный импульс $h(0) \in C=T^*_{q_0} \mathbb{M} \cap \{H=1\}$ и время $T \geqslant 0$. В работе [19] предложено численное решение, основанное на методе стрельбы.
§ 7. ЗаключениеВ настоящей работе исследована задача быстродействия (3.1), (3.2) на группе движений плоскости с управлением в полукруге. Рассматриваемая управляемая система задает модель машины на плоскости, которая может двигаться вперед и поворачивать сколь угодно быстро. Траектории такой системы используются в области обработки изображений. Данная постановка нацелена на устранение проблемы точек возврата у существующего метода поиска выделяющихся кривых на изображениях. Помимо прикладного значения задача представляет интерес в теории управления, как модельный пример трехмерной управляемой системы с компактным множеством управлений, содержащим нуль на границе. В статье получены следующие основные результаты:
Автор благодарен профессору Ю. Л. Сачкову и анонимным рецензентам за ценные замечания по работе. Автор признателен профессору Р. Дайтсу за обсуждение приложения модели в обработке изображений.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Mas22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|