| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Экстремальная функциональная интерполяция в пространстве Ю. Н. Субботин, В. Т. Шевалдин Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук, г. Екатеринбург
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9628 
Реферативные базы данных:
    § 1. Постановка задачи Голомба–де Бора и история вопросаПусть на числовой оси $\mathbb R=(-\infty;+\infty)$ задана бесконечная в обе стороны сетка узлов $\Delta=\{x_k\}_{k\in \mathbb Z}$ вида и пусть $a=\inf_{k}x_k=\lim_{k\to -\infty}x_k$, $b=\sup_{k}x_k=\lim_{k\to +\infty}x_k$. Здесь $a$ может быть числом или $a=-\infty$, и аналогично $b$ может быть числом или $b=+\infty$. Пусть – шаги этой сетки.Для функции $f\colon (a;b)\to \mathbb R$ положим где $y=\{y_k\}_{k\in \mathbb Z}$ – произвольная последовательность действительных чисел. Как обычно, разделенная разность порядка $n\in \mathbb N$ на сетке $\Delta$ определяется при помощи равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f[x_k]=[y_k]=y_k, \\ f[x_{k+1},x_k]=[y_{k+1},y_k]=\frac{[y_{k+1}]-[y_k]}{x_{k+1}-x_k}, \\ \dots, \\ f[x_{k+n},\dots,x_k]=[y_{k+n},\dots,y_k] =\frac{[y_{k+n},\dots,y_{k+1}]-[y_{k+n-1},\dots,y_k]}{x_{k+n}-x_k}, \\ k\in \mathbb Z. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для произвольного числа $p$, $1\leqslant p\leqslant \infty$, рассмотрим класс последовательностей
$$
\begin{equation*}
Y_{n,p}=\biggl\{ y\colon \biggl\| \biggl\{ [y_{k+n},\dots,y_k]\biggl(\frac{x_{k+n}-x_k}{n}\biggr)^{1/p}\biggr\}\biggr\|_{l_p}\leqslant 1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $l_p=l_p(\mathbb Z)$ – пространство числовых последовательностей $Z=\{Z_k\}_{k\in \mathbb Z}$ с нормой
$$
\begin{equation*}
\|Z\|_{l_p}=\| \{Z_k\}\|_{l_p}= \begin{cases} \displaystyle \biggl(\sum_{k\in \mathbb Z}|Z_k|^p\biggr)^{1/p},& 1\leqslant p<\infty, \\ \sup_k|Z_k|,& p=\infty. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, введем еще один класс последовательностей вида
$$
\begin{equation*}
\overline{Y}_{n,p}=\bigl\{ y\colon \|\{ [y_{k+n},\dots,y_k]\}\|_{l_p}\leqslant 1\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что при $p=\infty$ для любой сетки $\Delta$ имеет место равенство $Y_{n,\infty}=\overline{Y}_{n,\infty}$. Для любой последовательности $y\in Y_{n,p}$ рассмотрим класс интерполирующих функций
$$
\begin{equation*}
F_{n,p}(y)=\bigl\{f\colon f^{(n-1)}\in \mathrm{AC},\, f^{(n)}\in L_p(a;b),\, f(x_k)=y_k,\, k\in \mathbb Z\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где, как обычно, $\mathrm{AC}$ – класс локально абсолютно непрерывных функций на промежутке $(a;b)$ и $L_p=L_p(a;b)$, $1\leqslant p\leqslant \infty$, – класс функций $f$ с обычным определением нормы
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L_p}=\|f\|_{L_p(a;b)}= \begin{cases} \displaystyle \biggl( \int_{a}^{b}|f(t)|^p\,dt\biggr)^{1/p},& 1\leqslant p<\infty, \\ \displaystyle \operatorname*{ess\,sup}_{t\in (a;b)}|f(t)|,& p=\infty. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема A (Голомба–де Бора). Пусть $1\leqslant p\leqslant \infty$ и $n\in \mathbb N$. Для любой последовательности $y=\{y_k\}_{k\in \mathbb Z}$ и сетки $\Delta$ существует функция $f\in F_{n,p}(y)$ тогда и только тогда, когда Из этой теоремы следует, что для любой последовательности $y\in Y_{n,p}$ класс $F_{n,p}(y)$ не является пустым. Необходимость в теореме и достаточность в трех частных случаях сетки $\Delta$ доказаны М. Голомбом (см. [1]) в 1972 г., а достаточность в общем случае – К. де Бором (см. [2]) в 1975 г. Отметим, что К. де Бор в своем доказательстве этой теоремы с помощью теоремы Хана–Банаха развивал идеи Ж. Фавара (см. [3]), который при $p=\infty$ исследовал близкую по постановке интерполяционную задачу при конечном числе ограничений на последовательность разделенных разностей. В точной постановке задачу Голомба–де Бора можно сформулировать следующим образом. Требуется вычислить величину
$$
\begin{equation}
A_{n,p}(\Delta)=\sup_{y\in Y_{n,p}}\inf_{f\in F_{n,p}(y)}\|f^{(n)}\|_{L_p}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
В случае равномерной сетки узлов $\Delta=\overline{\Delta}$ (т.е. в случае $h_k=h$), а также в случае $p=\infty$ задача (1.1) Голомба–де Бора эквивалентна задаче Яненко–Стечкина, а именно, задаче нахождения величины
$$
\begin{equation}
\overline{A}_{n,p}(\Delta)=\sup_{y\in \overline{Y}_{n,p}}\inf_{f\in F_{n,p}(y)}\|f^{(n)}\|_{L_p}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Последняя задача имеет богатую историю. Прежде чем изложить основные результаты по данной тематике, отметим, что разностный оператор разделенной разности $n$-го порядка и дифференциальный оператор взятия $n$-й производной имеют одно и то же ядро – пространство алгебраических многочленов степени $n-1$. Если $n$-я производная действительной функции $f$ ограничена сверху по модулю при всех $x\in (a;b)$ положительной константой $M$, то абсолютная величина разделенной разности $n$-го порядка на любой сетке $\Delta\subset (a;b)$ не превосходит числа $M/(n!)$. Поэтому задачи о вычислении величин $A_{n,p}(\Delta)$ и $\overline{A}_{n,p}(\Delta)$ можно считать обратными к отмеченному свойству разделенных разностей. Таким образом, задачи (1.1) и (1.2) выражают связь между $n$-й производной функции $f$ и ее разделенными разностями $n$-го порядка. При этом случай $n=1$ является тривиальным, поскольку он сводится к локальной аппроксимации ломаными. В случае равномерной сетки узлов $\overline{\Delta}$ для конечных разностей $n$-го порядка функции $f$ с шагом $h$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
f[x_{k+n},\dots,x_k]=\frac{1}{(n!)h^n}\Delta_h^n f(x_k),
\end{equation*}
\notag
$$
и задача вычисления величины $\overline{A}_{n,p}(\overline{\Delta})$ (в середине 60-х годов прошлого века) возникла в исследованиях академика Н. Н. Яненко (при этом точная постановка (1.2) предложена С. Б. Стечкиным) при построении разностных методов решения дифференциальных уравнений. Ю. Н. Субботин (см. [4], [5]) вычислил точно величину $\overline{A}_{n,p}(\overline{\Delta})$ при всех $n\in \mathbb N$ и $1\leqslant p\leqslant \infty$. Основным моментом его решения было то, что экстремальными функциями в данной задаче оказались полиномиальные сплайны (“с правильными узлами склейки”) и их обобщения. Работы [4], [5] (см. также [6]) послужили мощным толчком для развития теории сплайнов в нашей стране и за рубежом. Отметим, что многочисленные обобщения (в частности, на произвольные линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами и соответствующие обобщенные конечные разности) и применение этих результатов изложены в обзорной статье [7]. В случае произвольной сетки узлов $\Delta$ на числовой оси $\mathbb R$ результатов в решении задач (1.1) и (1.2) значительно меньше, поскольку эти задачи оказались очень трудными. М. Голомб в [1] исследовал задачу о непустоте класса $F_{n,p}(y)$ для трех видов сеток $\Delta$: 1) сетка $\Delta$ является квазиравномерной, 2) минимальный шаг сетки $\Delta$ отделен от нуля, а максимальный – от бесконечности, 3) узлы сетки могут совпадать. К. де Бор в [2], развивая идеи М. Голомба из [1] и Ж. Фавара из [3], не получил эффективных оценок сверху для величин $A_{n,p}(\Delta)$, высказав гипотезу (на основе компьютерных расчетов), что величина $\sup_{\Delta} A_{n,\infty}(\Delta)$ растет по параметру $n$ экспоненциально (некоторые оценки и развитие этих результатов см. также в работах [8], [9]). В недавней работе С. И. Новикова и В. Т. Шевалдина [10] для любой сетки $\Delta=\{x_k\}_{k\in \mathbb Z}$ (напомним, что $h_k=x_{k+1}-x_k$) было доказано двойное неравенство
$$
\begin{equation}
C_1\leqslant \overline{A}_{2,\infty}(\Delta)\leqslant C_2,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C_1&=\varlimsup_{N\to \infty}\biggl[\frac{1}{4N}\sum_{k=-N+1}^{N}\frac{1} {({h_{k-1}}/{h_k}+2+{h_{k+1}}/{h_k})} \\ &\qquad\qquad\times \biggl( \frac{1+{h_{k-1}}/{h_k}}{1+{h_{k+1}}/{h_k}} +\frac{1+{h_{k+1}}/{h_k}}{1+{h_{k-1}}/{h_k}} \biggr) \biggr]^{-1}, \\ C_2&=2\biggl[ \inf_{k\in \mathbb Z}\biggl(1-\frac{2(1+{h_k}/{h_{k+1}})} {({h_k}/{h_{k+1}}+2+{h_{k+2}}/{h_{k+1}})^2} -\frac{2(1+{h_{k+1}}/{h_{k}})}{({h_{k-1}}/{h_{k}}+2+{h_{k+1}}/{h_{k}})^2} \biggr) \biggr]^{-1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
причем числа $C_1$ и $C_2$ удовлетворяют неравенствам Оценку сверху для любой сетки $\Delta$ в неравенстве (1.3) можно немного уменьшить: $\overline{A}_{2,\infty}(\Delta)\leqslant 4$. Это достигается с помощью параболических сплайнов Ю. Н. Субботина (определение см. в [11]), у которых узлы “склейки” расположены посредине между узлами интерполяции. Этот результат был сообщен на докладе С. И. Новикова и В. Т. Шевалдина на Международной школе-конференции по теории функций в августе 2020 г. в г. Екатеринбурге, посвященной 100-летию С. Б. Стечкина. Интересно также отметить, что для геометрической сетки узлов $\Delta_{\rho}=\{\rho^kh\}_{k\in \mathbb Z}$, $\rho>1$, $h>0$, в [10], [12] получены следующие результаты:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \overline{A}_{2,\infty}(\Delta_{\rho})=\frac{2(\rho+1)^2}{\rho^2+1}, \\ \overline{A}_{3,\infty}(\Delta_{\rho}) =\frac{6(\rho^2+\rho+1)}{\rho^2-\rho+1}\, \frac{(\rho^2+1)^2}{(\rho-1)^3(\rho+1)+4\rho\sqrt{\rho(\rho^2-\rho+1)}}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
причем оба этих равенства были установлены по методу Ю. Н. Субботина (см. [4], [5]). Настоящая работа посвящена оценкам константы $A_{n,p}(\Delta)$ в задаче (1.1) Голомба–де Бора. Структура работы следующая. В § 2 в терминах полиномиальных $B$-сплайнов степени $n-1$ для любой фиксированной сетки $\Delta$, любого числа $n\in \mathbb N$ и любого числа $p\colon 1\leqslant p\leqslant \infty$ получены оценки снизу величины $A_{n,p}(\Delta)$. В следующих параграфах в случае второй производной (т.е. при $n=2$) установлена следующая двусторонняя оценка:
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{2p-1}{p-1}\biggr)^{(p-1)/p}2^{1/p} \leqslant A_{2,p}(\Delta)<\frac{18p}{p+5}\biggl(\frac{2p-1}{p-1}\biggr)^{(p-1)/p}4^{1/p}, \qquad 1<p<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
и, кроме этого, для любой сетки $\Delta$ доказано равенство Случай $p=\infty$ при $n=2$ мы не рассматриваем, поскольку в этом случае ранее уже установлено неравенство (1.3) и $A_{2,\infty}(\Delta)=\overline{A}_{2,\infty}(\Delta)$ для любой сетки $\Delta$. При решении задач (1.1) и (1.2) ключевым равенством является формула, выписанная впервые (в неявном виде) Ж. Фаваром в [3] (см., например, [11; гл. 1, § 2])
$$
\begin{equation}
f[x_{k+n},\dots,x_k]=\frac{1}{n!}\int_{x_k}^{x_{k+n}}\widetilde{B}_{n-1}^{(k)}(t)f^{(n)}(t)\,dt,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $\widetilde{B}_{n-1}^{(k)}$ – полиномиальный $B$-сплайн степени $n-1$ с узлами $x_k,\dots,x_{k+n}$ вида
$$
\begin{equation}
\widetilde{B}_{n-1}^{(k)}(t)=n\sum_{s=k}^{k+n}\frac{(x_s-t)_+^{n-1}}{\prod_{j\ne s}(x_s-x_j)},
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
удовлетворяющий условию нормировки $\displaystyle\int_{\mathbb R}\widetilde{B}_{n-1}^{(k)}(t)\,dt=1$.
§ 2. Оценка снизу величины $A_{n,p}(\Delta)$Для того чтобы сформулировать основной результат этого параграфа, введем вспомогательные функции. Пусть $1\leqslant p\leqslant \infty$ и $q\colon1/p+1/q=1$. На основе функции
$$
\begin{equation}
M_{k,p}(t)=\biggl(\frac{x_{k+n}-x_k}{n}\biggr)^{1/p}\frac{1}{n!} \widetilde{B}_{n-1}^{(k)}(t), \qquad k\in \mathbb Z, \quad 1\leqslant p\leqslant \infty, \quad t\in \mathbb R,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
определим функцию
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varphi_{k,p}(t)=M_{k-n+1,p}(t)-M_{k-n+2,p}(t)+\dotsb+(-1)^{n-1}M_{k,p}(t), \\ t\in [x_k;x_{k+1}), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
и пусть
$$
\begin{equation}
K_p(t)=\varphi_{k,p}(t), \qquad t\in [x_{k};x_{k+1}), \quad k\in \mathbb Z.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Доказательство. Рассмотрим произвольную последовательность удовлетворяющую условию
$$
\begin{equation}
[y_{k+n}^*,\dots,y_k^*]\biggl(\frac{x_{k+n}-x_k}{n} \biggr)^{1/p} =\begin{cases} (-1)^k(2N+1)^{-1/p},& |k|\leqslant N, \\ 0,& |k|>N, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $N$ – произвольное натуральное число, большее $n$. Таких последовательностей бесконечно много. В самом деле, задавая произвольным образом числа $y_0^*,y_1^*,\dots,y_{n-1}^*$, из (2.4) последовательно находим остальные члены этой последовательности $y^*$. Поскольку числа $p$ и $q$ удовлетворяют равенству $1/p\,{+}\,1/q\,{=}\,1$, то $q=p/(p-1)$. По определению последовательности $y^*$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (2N+1)^{1/q} &=(2N+1)^1(2N+1)^{-1/p}=\sum_{k=-N}^{N}(2N+1)^{-1/p} \\ &=\sum_{k=-N}^N(-1)^k[y_{k+n}^*,\dots,y_k^*]\biggl(\frac{x_{k+n}-x_k}{n} \biggr)^{1/p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, из (1.4) и (2.4) получим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (2N+1)^{1/q} &=\frac{1}{n!}\sum_{k=-N}^N(-1)^k \biggl(\frac{x_{k+n}-x_k}{n} \biggr)^{1/p} \int_{x_k}^{x_{k+n}}\widetilde{B}_{n-1}^{(k)}(t) f^{(n)}(t)\,dt \\ &=\frac{1}{n!}\sum_{k=-N}^N(-1)^k \sum_{l=k}^{k+n-1} \int_{x_l}^{x_{l+1}}\biggl(\frac{x_{k+n}-x_k}{n} \biggr)^{1/p} \widetilde{B}_{n-1}^{(k)}(t) f^{(n)}(t)\,dt \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любой функции $f\in F_{n,p}(y^*)$. Непустота класса $F_{n,p}(y^*)$ следует из теоремы A Голомба–де Бора. В последнем равенстве поменяем порядок суммирования, и само равенство запишем в виде где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag A_1 &=\sum_{l=-N}^{-N+n-2}\sum_{k=-N}^{l}\int_{x_l}^{x_{l+1}} \frac{(-1)^k}{n!}\biggl(\frac{x_{k+n}-x_k}{n} \biggr)^{1/p}\widetilde{B}_{n-1}^{(k)}(t) f^{(n)}(t)\,dt, \\ \notag A_2 &=\sum_{l=-N+n-1}^{N}\sum_{k=l-n+1}^{l}\int_{x_l}^{x_{l+1}} \frac{(-1)^k}{n!}\biggl(\frac{x_{k+n}-x_k}{n} \biggr)^{1/p}\widetilde{B}_{n-1}^{(k)}(t) f^{(n)}(t)\,dt, \\ A_3&=\sum_{l=N+1}^{N+n-1}\sum_{k=l-n+1}^{N}\int_{x_l}^{x_{l+1}} \frac{(-1)^k}{n!}\biggl(\frac{x_{k+n}-x_k}{n} \biggr)^{1/p}\widetilde{B}_{n-1}^{(k)}(t) f^{(n)}(t)\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Покажем, что имеют место неравенства где Для доказательства неравенств (2.6) и последующих выкладок напомним основные свойства полиномиальных $B$-сплайнов $\widetilde{B}_{n-1}^{(k)}(t)$ (см., например, [13]). Узлами сплайна (1.5) являются точки $x_k,\dots,x_{k+n}$, $\operatorname{supp}\widetilde{B}_{n-1}^{(k)}=[x_k;x_{k+n}]$, $\widetilde{B}_{n-1}^{(k)}>0$ при $x_k<t<x_{k+n}$ и Кроме того, имеет место формула
$$
\begin{equation}
B_{n-1}^{(k)}(t)=\frac{x_{k+n}-x_k}{n} \widetilde{B}_{n-1}^{(k)}(t),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
причем $0\leqslant B_{n-1}^{(k)}(t)\leqslant 1$, $ \sum_{k\in \mathbb Z}B_{n-1}^{(k)}(t)\equiv 1$. Из (2.5) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |A_3| &\leqslant \frac{1}{n!}\sum_{l=N+1}^{N+n-1}\sum_{k=l-n+1}^{N} \int_{x_l}^{x_{l+1}}\biggl(\frac{x_{k+n}-x_k}{n}\biggr)^{1/p} \frac{n}{x_{k+n}-x_k}{B}_{n-1}^{(k)}(t)|f^{(n)}(t)|\,dt \\ &=\frac{n^{1/q}}{n!}\sum_{l=N+1}^{N+n-1}\sum_{k=l-n+1}^{N} \frac{1}{(x_{k+n}-x_k)^{1/q}}\int_{x_l}^{x_{l+1}}{B}_{n-1}^{(k)}(t)|f^{(n)}(t)|\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
К оценке интегралов в этом неравенстве применим неравенство Гёльдера, учитывая, что ${B}_{n-1}^{(k)}(t)\leqslant 1$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |A_3| &\leqslant \frac{n^{1/q}}{n!}\sum_{l=N+1}^{N+n-1}\sum_{k=l-n+1}^{N} \frac{1}{(x_{k+n}-x_k)^{1/q}}\|B_{n-1}^{(k)}\|_{L_q[x_{l};x_{l+1}]}\|f^{(n)}\|_{L_p(a;b)} \\ &\leqslant \frac{n^{1/q}}{n!}\|f^{(n)}\|_{L_p(a;b)} \sum_{l=N+1}^{N+n-1}\sum_{k=l-n+1}^{N} \biggl( \frac{x_{l+1}-x_l}{x_{k+n}-x_k}\biggr)^{1/q}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\sum_{l=N+1}^{N+n-1}\sum_{k=l-n+1}^{N} \biggl( \frac{x_{l+1}-x_l}{x_{k+n}-x_k}\biggr)^{1/q}< (n-1)+(n-2)+\dotsb+1=\frac{n(n-1)}{2},
\end{equation*}
\notag
$$
то окончательно получим, что где $C={n^{1/q}}/(2(n-2)!)$. Аналогично устанавливается второе неравенство $|A_1|\leqslant C\|f^{(n)}\|_{L_p(a;b)}$. Оценим теперь сверху величину $|A_2|$. Из (2.1), (2.2) и (2.5) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_2 &=\sum_{l=-N+n-1}^{N}\int_{x_l}^{x_{l+1}}\sum_{k=l-n+1}^l (-1)^k M_{k,p}(t) f^{(n)}(t)\,dt \\ &=\sum_{l=-N+n-1}^N(-1)^{l-n+1}\int_{x_l}^{x_{l+1}}\varphi_{l,p}(t)f^{(n)}(t)\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из равенства (2.3) следует оценка
$$
\begin{equation*}
|A_2|\leqslant \sum_{l=-N+n-1}^N \int_{x_l}^{x_{l+1}}|\varphi_{l,p}(t)|\,|f^{(n)}(t)|\,dt =\int_{x_{-N+n-1}}^{x_{N+1}}|K_p(t)|\, |f^{(n)}(t)|\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя неравенство Гёльдера, получим, что
$$
\begin{equation}
|A_2|\leqslant \|K_p\|_{L_q[x_{-N+n-1};x_{N+1}]}\,\|f^{(n)}\|_{L_p(a;b)}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Вернемся к оценке сверху величины Из (2.6) и (2.8) имеем
$$
\begin{equation*}
(2N+1)^{1/q}\leqslant (2C+\|K_p\|_{L_q[x_{-N+n-1};x_{N+1}]})\|f^{(n)}\|_{L_p(a;b)}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого натурального числа $N>n$. То есть
$$
\begin{equation*}
\|f^{(n)}\|_{L_p(a;b)}\geqslant \frac{(2N+1)^{1/q}}{\|K_p\|_{L_q[x_{-N+n-1};x_{N+1}]}+2C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Устремляя в этом неравенстве число $N$ к бесконечности, получаем окончательную оценку
$$
\begin{equation*}
A_{n,p}(\Delta)\geqslant \varlimsup_{N\to \infty}\biggl( \frac{1}{2N+1}\int_{x_{-N+n-1}}^{x_{N+1}}|K_p(t)|^q\,dt\biggr)^{-1/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1 полностью доказана. Прежде чем обратиться к случаю $p=1$, для полноты изложения отметим интересное свойство функции $K_p(t)$. Таким образом, из равенства (2.3) и леммы 1 получаем, что $|K_p(t)|\in C{[x_{-N+n-1};x_{N+1}]}$, т.е. функция $|K_p(t)|$ является непрерывной на отрезке $[x_{-N+n-1};x_{N+1}]$. Доказательство. Рассмотрим любую последовательность вида
$$
\begin{equation*}
[y_{k+n}^*,\dots,y_k^*]\biggl(\frac{x_{k+n}-x_k}{n} \biggr)= \begin{cases} 1,&k=0, \\ 0,&k\ne 0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (2.1), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1 &=\sum_{k=-N}^N(-1)^k\frac{x_{k+n}-x_k}{n}[y_{k+n}^*,\dots,y_k^*] \\ &=\sum_{k=-N}^N\frac{1}{n!}\sum_{l=k}^{k+n-1} \int_{x_l}^{x_{l+1}} \frac{x_{k+n}-x_k}{n} \widetilde{B}_{n-1}^{(k)}(t)f^{(n)}(t)\,dt=A_1+A_2+A_3, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag A_1&=\sum_{l=-N}^{-N+n-2}\sum_{k=-N}^l \int_{x_l}^{x_{l+1}}(-1)^k M_{k,1}(t)f^{(n)}(t)\,dt, \\ \notag A_2&=\sum_{l=-N+n-1}^{N}\sum_{k=l-n+1}^l \int_{x_l}^{x_{l+1}}(-1)^k M_{k,1}(t)f^{(n)}(t)\,dt, \\ A_3&=\sum_{l=N+1}^{N+n-1}\sum_{k=l-n+1}^N \int_{x_l}^{x_{l+1}}(-1)^k M_{k,1}(t)f^{(n)}(t)\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Заметим, что при $N\to \infty$, поскольку $f^{(n)}\in L_1(a;b)$. Покажем теперь, что $A_1=o(1)$ и $A_3=o(1)$ при $N\to \infty$. В самом деле, с учетом (2.7) из (2.9) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |A_3| &\leqslant \sum_{l=N+1}^{N+n-1}\sum_{k=l-n+1}^N \frac{1}{n!}\int_{x_l}^{x_{l+1}} B_{n-1}^{(k)}(t)|f^{(n)}(t)|\,dt \\ &\leqslant \sum_{l=N+1}^{N+n-1}\sum_{k=l-n+1}^N \frac{1}{n!}\int_{x_l}^{x_{l+1}} |f^{(n)}(t)|\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Меняя порядок суммирования, из этого неравенства получаем, что
$$
\begin{equation*}
|A_3|\leqslant \frac{1}{n!}\biggl[\int_{x_{N+1}}^{x_{N+2}} |f^{(n)}(t)|\,dt+\dotsb+\int_{x_{N+1}}^{x_{N+n}} |f^{(n)}(t)|\,dt\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Выражение в квадратных скобках при $N\to \infty$ стремится к нулю. Значит, $A_3=o(1)$ при $N\to \infty$. Аналогично доказывается, что $A_1=o(1)$ при $N\to \infty$. Оценим теперь $|A_2|$. Из (2.9) и (2.2) имеем
$$
\begin{equation*}
|A_2|\leqslant \sum_{l=-N+n-1}^N\int_{x_l}^{x_{l+1}} |\varphi_{l,1}(t)|\, |f^{(n)}(t)|\,dt= \int_{x_{-N+n-1}}^{x_{N+1}} |K_1(t)|\, |f^{(n)}(t)|\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому по неравенству Гёльдера получим
$$
\begin{equation*}
|A_2|\leqslant \|K_1\|_{L_{\infty}[x_{-N+n-1};x_{N+1}]}\|f^{(n)}\|_{L_1(a;b)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
1\leqslant |A_1|+|A_2|+|A_3|\leqslant \|K_1\|_{L_{\infty}[x_{-N+n-1};x_{N+1}]}\|f^{(n)}\|_{L_1(a;b)}+o(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому при $N\to \infty$ получим, что
$$
\begin{equation*}
A_{n,1}(\Delta)\geqslant \|f^{(n)}\|_{L_1(a;b)}\geqslant \frac{1}{\|K_1\|_{L_{\infty}[x_{-N+n-1};x_{N+1}]}} \geqslant (\|K_1\|_{L_{\infty}(a;b)})^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2 полностью доказана. § 3. Числовая оценка снизу величины $A_{2,p}(\Delta)$В этом параграфе рассматривается только случай $n=2$. Известно (см., например, [13]), что
$$
\begin{equation*}
\widetilde{B}_1^{(k)}(x)=\frac{2}{h_k+h_{k+1}} \begin{cases} \dfrac{x-x_k}{h_k},& x\in [x_k;x_{k+1}], \\ \dfrac{x_{k+2}-x}{h_{k+1}},& x\in [x_{k+1};x_{k+2}], \end{cases} \qquad k\in \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, при $n=2$ и $1<p<\infty$ из формулы (1.4) имеем
$$
\begin{equation}
[y_{k+2},y_{k+1},y_k]=\frac{1}{h_k+h_{k+1}}\biggl[ \int_{x_{k+1}}^{x_{k+2}}\frac{x_{k+2}-t}{h_{k+1}}f''(t)\,dt+ \int_{x_k}^{x_{k+1}}\frac{t-x_k}{h_k}f''(t)\,dt\biggr].
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Формулы (2.1) и (2.2) при $n=2$ приводят к равенству
$$
\begin{equation}
\varphi_{k,p}(t)=\frac{2^{-1/p}}{h_k}\biggl[\frac{t-x_k}{(h_k+h_{k+1})^{1/q}} -\frac{x_{k+1}-t}{(h_{k-1}+h_k)^{1/q}}\biggr], \qquad t\in [x_k;x_{k+1}), \quad k\in \mathbb Z.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation}
Q_k=\int_{x_k}^{x_{k+1}}|\varphi_{k,p}(t)|^q\,dt, \qquad k\in \mathbb Z.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Тогда результат теоремы 1 с учетом (2.3) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
A_{2,p}(\Delta)\geqslant \varlimsup_{N\to \infty} \frac{(2N+1)^{1/q}}{\bigl(\sum_{k=-N+1}^{N}Q_k \bigr)^{1/q}}, \qquad 1<p\leqslant\infty.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Оценки величины $A_{2,\infty}(\Delta)$ (т.е. при $p=\infty$) изложены в § 1. Поэтому далее считаем, что $p\ne \infty$. Доказательство. Равенство (3.3) запишем в виде где $Q_k^{(1)}=\displaystyle\int_{x_k}^{t_k}$, $Q_k^{(2)}=\displaystyle\int_{t_k}^{x_{k+1}}$. Здесь $t_k$ – единственный нуль линейной функции $\varphi_{k,p}(t)$ (см. (3.2)) на интервале $(x_k;x_{k+1})$, $k\in \mathbb Z$. Этот нуль может быть записан следующим образом:
$$
\begin{equation}
t_k=\frac{x_k(h_{k-1}+h_k)^{1/q}+x_{k+1}(h_k+h_{k+1})^{1/q}}{(h_{k-1}+h_k)^{1/q} +(h_k+h_{k+1})^{1/q}}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Из (3.2) следует, что функция $\varphi_{k,p}(t)$ на интервале $(x_k;x_{k+1})$ меняет знак с минуса на плюс в точке $t_k$, причем
$$
\begin{equation*}
\varphi_{k,p}(x_k)=\frac{-2^{-1/p}}{(h_{k-1}+h_k)^{1/q}}, \qquad \varphi_{k,p}(x_{k+1})=\frac{2^{-1/p}}{(h_{k}+h_{k+1})^{1/q}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag Q_k^{(1)} &=\int_{x_k}^{t_k}\frac{2^{-q/p}}{h_k^q}\biggl[ \frac{x_{k+1}-t}{(h_{k-1}+h_k)^{1/q}}-\frac{t-x_{k}}{(h_{k}+h_{k+1})^{1/q}}\biggr]^q\,dt, \\ Q_k^{(2)} &=\int_{t_k}^{x_{k+1}}\frac{2^{-q/p}}{h_k^q}\biggl[ \frac{t-x_{k}}{(h_{k}+h_{k+1})^{1/q}}-\frac{x_{k+1}-t}{(h_{k-1}+h_k)^{1/q}}\biggr]^q\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
В первом интеграле в (3.6) выражение в квадратных скобках обозначим через $z$ (т.е. сделаем замену переменных $z=-At+B$), где
$$
\begin{equation*}
A=\frac{1}{(h_{k-1}+h_k)^{1/q}}+\frac{1}{(h_{k}+h_{k+1})^{1/q}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда после несложных вычислений получим равенство
$$
\begin{equation*}
Q_k^{(1)}=\frac{2^{-q/p}h_k}{A(q+1)(h_{k-1}+h_k)^{(q+1)/q}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом вычисляем второй интеграл в формуле (3.6):
$$
\begin{equation*}
Q_k^{(2)}=\frac{2^{-q/p}h_k}{A(q+1)(h_{k}+h_{k+1})^{(q+1)/q}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_k &=Q_{k}^{(1)}+Q_k^{(2)}=\frac{2^{-q/p}}{(q+1) \bigl((h_{k-1}+h_{k})^{1/q}+(h_k+h_{k+1})^{1/q}\bigr)} \\ &\qquad \times \biggl[\frac{h_k}{h_{k-1}+h_k}(h_k+h_{k+1})^{1/q} +\frac{h_k}{h_k+h_{k+1}}(h_{k-1}+h_k)^{1/q}\biggr]< \frac{2^{-q/p}}{q+1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $h_k/(h_{k-1}+h_k)<1$, $h_k/(h_{k}+h_{k+1})<1$. Для завершения доказательства леммы 2 остается заметить, что из равенства $1/p+1/q=1$ следует, что Лемма доказана. Рассмотрим теперь случай $p=1$. В этом случае имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B_1^{(k)}(x)=\frac{h_k+h_{k+1}}{2}\widetilde{B}_1^{(k)}(x), \\ \varphi_{k,1}(t)=\frac12\bigl(B_1^{(k-1)}(t)-B_1^{(k)}(t)\bigr) =\frac{t-x_k}{2h_k}-\frac{x_{k+1}-t}{2h_k}, \qquad t\in [x_k;x_{k+1}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что $\varphi_{k,1}(x_k)=-1/2$, $\varphi_{k,1}(x_{k+1})=1/2$, $\max_{x\in [x_k;x_{k+1})}|\varphi_{k,1}(t)|=1/2$ и поэтому
§ 4. Оценка сверху нормы второй производной при $1<p<\infty$Покажем, что при $1<p<\infty$ для любой последовательности $y\in Y_{2,p}$ существует функция $f$ – обобщенный параболический сплайн с узлами в точках $\{t_k\}_{k\in \mathbb Z}$ (см. (3.5)), который интерполирует значения последовательности $y$ в точках $\{x_k\}_{k\in \mathbb Z}$ (т.е. $f(x_k)=y_k$, $k\in \mathbb Z$), и для него имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\|f''\|_{L_p(a;b)}<\frac{18p}{p+5}\biggl(\frac{2p-1}{p-1} \biggr)^{(p-1)/p}4^{1/p}, \qquad 1<p<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Для построения этого сплайна будем использовать формулу (3.1), в которой положим
$$
\begin{equation}
f''(t)= \begin{cases} Z_k|K_p(t)|^{q-1},& x_k\leqslant t<t_k, \\ Z_{k+1}|K_p(t)|^{q-1},& t_k\leqslant t<t_{k+1}, \\ Z_{k+2}|K_p(t)|^{q-1},& t_{k+1}\leqslant t<t_{k+2}, \end{cases} \qquad k\in \mathbb Z,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где функция $K_p(t)$ определена равенствами (2.1)–(2.3), а последовательность $Z=\{Z_k\}_{k\in \mathbb Z}$ подлежит дальнейшему определению. Для нее в дальнейшем будет получено разностное уравнение с переменными коэффициентами. Мы докажем с помощью теоремы о неподвижной точке, что это разностное уравнение имеет единственное решение, и для нормы в $l_p$, $1<p<\infty$, этого решения получим оценку сверху. Подставляя (4.1) в (3.1), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &Z_k\int_{x_k}^{t_k}\frac{t-x_k}{h_k}(-\varphi_{k,p}(t))^{q-1}\,dt+ Z_{k+1}\int_{t_k}^{x_{k+1}}\frac{t-x_k}{h_k}(\varphi_{k,p}(t))^{q-1}\,dt \\ &\qquad\qquad +Z_{k+1}\int_{x_{k+1}}^{t_{k+1}}\frac{x_{k+2}-t}{h_{k+1}}(-\varphi_{k+1,p}(t))^{q-1}\,dt \\ &\qquad\qquad +Z_{k+2}\int_{t_{k+1}}^{x_{k+2}}\frac{x_{k+2}-t}{h_{k+1}}(\varphi_{k+1,p}(t))^{q-1}\,dt \\ &\qquad=[y_{k+2},y_{k+1},y_k](h_k+h_{k+1}), \qquad k\in \mathbb Z. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисляя интегралы с помощью замен переменных $z\,{=}\,{\pm}\,\varphi_{k,p}(t)$, $z\,{=}\,{\pm}\, \varphi_{k+1,p}(t)$, получим разностное уравнение
$$
\begin{equation}
\overline{A}Z_k+\overline{B}Z_{k+1}+\overline{C}Z_{k+2}=[y_{k+2},y_{k+1},y_k](h_k+h_{k+1}), \qquad k\in \mathbb Z,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{A} &=\frac{2^{-(q-1)/p}h_k}{q(q+1)A^2(h_{k-1}+h_{k})^{(q+1)/q}}, \\ \overline{B} &=\frac{2^{-(q-1)/p}h_k}{A^2(h_{k}+h_{k+1})} \biggl[\frac{1}{(q+1)(h_k+h_{k+1})^{1/q}}+\frac{1}{q(h_{k-1}+h_{k})^{1/q}}\biggr] \\ &\qquad +\frac{2^{-(q-1)/p}h_{k+1}}{C^2(h_{k}+h_{k+1})} \biggl[\frac{1}{(q+1)(h_k+h_{k+1})^{1/q}}+\frac{1}{q(h_{k+1}+h_{k+2})^{1/q}}\biggr], \\ \overline{C} &=\frac{2^{-(q-1)/p}h_{k+1}}{q(q+1)C^2(h_{k+1}+h_{k+2})^{(q+1)/q}}, \\ A &=\frac{1}{(h_{k-1}+h_{k})^{1/q}}+\frac{1}{(h_{k}+h_{k+1})^{1/q}}, \\ C &=\frac{1}{(h_{k+1}+h_{k+2})^{1/q}}+\frac{1}{(h_{k}+h_{k+1})^{1/q}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В разностном уравнении (4.2) сделаем замену переменных
$$
\begin{equation*}
\widetilde{Z}_k=\frac{Z_k}{h_{k-1}+h_k}, \qquad k\in \mathbb Z,
\end{equation*}
\notag
$$
и воспользуемся при $1<p<\infty$ равенством
$$
\begin{equation*}
h_k+h_{k+1}=(h_{k}+h_{k+1})^{1/p}(h_{k}+h_{k+1})^{1/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда при $1<p<\infty$ после элементарных преобразований разностное уравнение (4.2) перепишется в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\widetilde{A}\widetilde{Z}_k+\widetilde{B}\widetilde{Z}_{k+1} +\widetilde{C}\widetilde{Z}_{k+2}=m_k, \qquad k\in \mathbb Z,
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag m_k=q(q+1)2^{(q-1)/p}(h_k+h_{k+1})^{1/p}[y_{k+2},y_{k+1},y_k], \\ \notag \widetilde{A}=\widetilde{A}(q)=\frac{\alpha_{k-1}\alpha_kh_k}{(\alpha_{k-1}+\alpha_k)^2}, \qquad \widetilde{C}=\widetilde{C}(q)=\frac{\alpha_{k}\alpha_{k+1}h_{k+1}}{(\alpha_{k}+\alpha_{k+1})^2}, \\ \notag \begin{aligned} \, \widetilde{B} =\widetilde{B}(q) &=\frac{\alpha_{k}h_k}{(\alpha_{k-1}+\alpha_k)^2} (q\alpha_k+(q+1)\alpha_{k-1}) \\ &\qquad+\frac{\alpha_{k}h_{k+1}}{(\alpha_{k}+\alpha_{k+1})^2}(q\alpha_k+(q+1)\alpha_{k+1}), \end{aligned} \\ \alpha_k=\frac{1}{(h_k+h_{k+1})^{1/q}}, \qquad k\in \mathbb Z. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Лемма 3. При $1<p<\infty$ имеют место следующие неравенства: Доказательство. Поскольку $1<p<\infty$, то $1<q<\infty$. Для доказательства леммы достаточно доказать последнее неравенство. Из (4.4) имеем
$$
\begin{equation*}
\widetilde{A}+\widetilde{B}+\widetilde{C}=\frac{\alpha_{k}h_k}{(\alpha_{k-1}+\alpha_k)^2} (q\alpha_k+(q+2)\alpha_{k-1})+\frac{\alpha_{k}h_{k+1}}{(\alpha_{k}+\alpha_{k+1})^2} (q\alpha_k+(q+2)\alpha_{k+1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь для доказательства требуемого неравенства достаточно сравнить коэффициенты при $h_k$ и $h_{k+1}$ в выражениях $\widetilde{A}+\widetilde{C}$ и $\widetilde{A}+\widetilde{B}+\widetilde{C}$. Лемма 3 доказана. При $1<p<\infty$ разностное уравнение (4.3) перепишем в виде
$$
\begin{equation}
\widetilde{Z}_{k+1}=\frac{m_k}{\widetilde{A}+\widetilde{B}+\widetilde{C}}- \frac{\widetilde{A}(\widetilde{Z}_k-\widetilde{Z}_{k+1})}{\widetilde{A} +\widetilde{B}+\widetilde{C}}- \frac{\widetilde{C}(\widetilde{Z}_{k+2}-\widetilde{Z}_{k+1})}{\widetilde{A} +\widetilde{B}+\widetilde{C}}, \qquad k\in \mathbb Z.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Рассмотрим нелинейный оператор $T$, который ставит в соответствие любой последовательности $\widetilde{Z}=\{\widetilde{Z}_{k+1}\}_{k\in \mathbb Z}\in l_p$, $1<p<\infty$, последовательность
$$
\begin{equation*}
\biggl\{ \frac{m_k}{\widetilde{A}+\widetilde{B}+\widetilde{C}}- \frac{\widetilde{A}(\widetilde{Z}_k-\widetilde{Z}_{k+1})}{\widetilde{A}+\widetilde{B}+\widetilde{C}} -\frac{\widetilde{C}(\widetilde{Z}_{k+2}-\widetilde{Z}_{k+1})} {\widetilde{A}+\widetilde{B}+\widetilde{C}}\biggr\}_{k\in \mathbb Z}\in l_p, \qquad k\in \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4. Для любой последовательности $y\in Y_{n,p}$, $1<p<\infty$, разностное уравнение (4.5) имеет решение $\widetilde{Z}=\{\widetilde{Z}_{k+1}\}_{k\in \mathbb Z}\in l_p$, и это решение единственно. Доказательство. Пусть $\widetilde{Z}^{(1)}=\{\widetilde{Z}_{k+1}^{(1)}\}_{k\in \mathbb Z}$ и $\widetilde{Z}^{(2)}=\{\widetilde{Z}_{k+1}^{(2)}\}_{k\in \mathbb Z}$ – две последовательности, принадлежащие пространству $l_p$. Используя лемму 3 при $1<q<\infty$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|TZ^{(1)}-TZ^{(2)}\|_{l_p}=\| \{ TZ^{(1)}_{k+1}-TZ^{(2)}_{k+1}\}\|_{l_p} \\ &\qquad\leqslant \biggl\| \biggl\{\frac{\widetilde{A}}{\widetilde{A}+\widetilde{B} +\widetilde{C}}(Z_k^{(1)}-Z_k^{(2)}) \biggr\}\biggr\|_{l_p} +\biggl\| \biggl\{\frac{\widetilde{C}}{\widetilde{A}+\widetilde{B} +\widetilde{C}}(Z_{k+2}^{(1)}-Z_{k+2}^{(2)}) \biggr\}\biggr\|_{l_p} \\ &\qquad\qquad+\biggl\| \biggl\{\frac{\widetilde{A}+\widetilde{C}}{\widetilde{A} +\widetilde{B}+\widetilde{C}}(Z_{k+1}^{(1)}-Z_{k+1}^{(2)}) \biggr\}\biggr\|_{l_p} < \frac{3}{q+2} \|Z^{(1)}-Z^{(2)}\|_{l_p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, оператор $T$ является сжимающим оператором в полном метрическом пространстве $l_p=l_p(\mathbb Z)$ с константой сжатия $3/(q+2)<1$. Поэтому согласно теореме о сжимающем операторе уравнение $\widetilde{Z}=T\widetilde{Z}$ (т.е. разностное уравнение (4.5)) имеет решение $\widetilde{Z}\in l_p$, и это решение единственно. Лемма 4 доказана. Для полноты изложения рассмотрим разностное уравнение (4.2) при $p=\infty$, $q=1$. Его можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
a_kZ_k+b_kZ_{k+1}+c_kZ_{k+2}=2[y_{k+2},y_{k+1},y_k],
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag a_k=\frac{h_k(h_k+h_{k+1})}{(h_{k-1}+2h_k+h_{k+1})^2}, \qquad c_k=\frac{h_{k+1}(h_k+h_{k+1})}{(h_{k}+2h_{k+1}+h_{k+2})^2}, \\ \begin{split} b_k&=\frac{h_{k}(h_{k-1}+h_{k})^2}{(h_{k-1}+2h_{k}+h_{k+1})^2}\biggl[ \frac{1}{h_k+h_{k+1}}+\frac{2}{h_{k-1}+h_k} \biggr] \\ &\qquad +\frac{h_{k+1}(h_{k+1}+h_{k+2})^2}{(h_{k}+2h_{k+1}+h_{k+2})^2}\biggl[ \frac{1}{h_k+h_{k+1}}+\frac{2}{h_{k+1}+h_{k+2}}\biggr]. \end{split} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
С помощью элементарных преобразований нетрудно проверить равенство Значит, разностное уравнение (4.6)–(4.7) совпадает с разностным уравнением, рассмотренным в [10; разд. 3] (см. [10; равенства (3.2) и (3.3)]). Тогда из [10; лемма 2] следует, что для любой последовательности $y\in Y_{2,\infty}$ разностное уравнение (4.6) имеет ограниченное решение, и это решение единственно. Кроме того, для решения $Z=\{Z_k\}_{k\in \mathbb Z}$ разностного уравнения (4.6) в [10; лемма 3] доказана оценка
$$
\begin{equation*}
\sup_k|Z_k|\leqslant \frac{2}{\inf_{k\in \mathbb Z}(1-2a_k-b_k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Снова вернемся к случаю $1<p<\infty$, $1<q<\infty$. Лемма 5. При $1<q<\infty$ имеет место следующее неравенство: Доказательство. Выражение $\gamma$ зависит от $h_{k-1}$ и $h_{k+2}$ (см. определение чисел $\alpha_k$ в (4.4)), причем $h_{k-1}$ входит только в выражение для $\alpha_{k-1}$, а $h_{k+2}$ – в выражение для $\alpha_{k+1}$. Заметим, что с ростом $h_{k-1}$ значение $\gamma$ возрастает, и аналогичный факт имеет место с ростом $h_{k+2}$. Поэтому для оценки снизу величины $\gamma$ можно положить $h_{k-1}=h_{k+2}=0$. Более того, если обозначить
$$
\begin{equation*}
\overline{\alpha}_{k-1}=\frac{1}{h_k^{1/q}}, \qquad \overline{\alpha}_{k+1}=\frac{1}{h_k^{1/q}},
\end{equation*}
\notag
$$
то имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\gamma>\widetilde{\gamma}=\frac{\alpha_k}{h_k+h_{k+1}} \biggl[\frac{h_k(q\alpha_k+(q+1)\overline{\alpha}_{k-1})}{(\overline{\alpha}_{k-1}+\alpha_k)^2}+ \frac{h_{k+1}(q\alpha_k+(q+1)\overline{\alpha}_{k+1})}{(\alpha_{k}+\overline{\alpha}_{k+1})^2} \biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Преобразуем выражение $\widetilde{\gamma}$ с помощью замены переменных $x={h_{k+1}}/{h_k}>0$. После небольших вычислений получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{\gamma} &=\frac{q}{x+1}\,\frac{1}{((1+x)^{1/q}+1)^2}+\frac{q+1}{x+1}\, \frac{(1+x)^{1/q}}{((1+x)^{1/q}+1)^2} \\ &\qquad+\frac{qx}{x+1}\,\frac{1}{((1+1/x)^{1/q}+1)r^2}+\frac{(q+1)x}{x+1}\, \frac{(1+1/x)^{1/q}}{((1+1/x)^{1/q}+1)^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим теперь, что поскольку $q>1$, то, если в последнем выражении все показатели $1/q$ заменить на $1$, полученное выражение станет меньше и будет иметь место неравенство
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\gamma}>\widetilde{\widetilde{\gamma}}=\frac{q}{x+1}\, \frac{1}{(x+2)^2}+\frac{q+1}{(x+2)^2}+\frac{qx}{(1/x+2)^{2}}+ \frac{q+1}{(1/x+2)^{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для доказательства леммы 5, таким образом, достаточно найти наименьшее значение при $x>0$ выражения (обозначим его через $g(x)$), стоящего в правой части последнего равенства. Поскольку применение производной приводит к громоздким выкладкам, проведем элементарные оценки. Пусть где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_1(x) &=q\biggl[ \frac{1}{(x+1)(x+2)^2}+\frac{x}{(x+1)(1/x+2)^{2}}\biggr], \\ g_2(x) &=(q+1)\biggl[ \frac{1}{(x+2)^2}+\frac{x}{(1/x+2)^{2}}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $x>0$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_1(x)-g_1(1) &=q\biggl[ \frac{1}{(x+1)(x+2)^2}+\frac{x}{(x+1)(1/x+2)^{2}}-\frac19\biggr] \\ &=q\frac{(x-1)^2(5x^3+22x^2+22x+5)}{9(x+1)(x+2)^2(2x+1)^2}\geqslant 0, \\ g_2(x)-g_2(1) &=(q+1)\biggl[ \frac{1}{(x+2)^2}+\frac{1}{(1/x+2)^{2}}-\frac29\biggr] \\ &=(q+1)\frac{(x-1)^4}{9(x+2)^2(2x+1)^2}\geqslant 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $g(x)\geqslant g(1)$ при всех $x>0$ и поэтому
$$
\begin{equation*}
\gamma>\widetilde{\gamma}>\widetilde{\widetilde{\gamma}}\geqslant \min_{x>0}g(x)=\frac{q}{9}+\frac{2(q+1)}{9}=\frac{q}{3}+\frac{2}{9}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5 доказана. Лемма 6. Для решения разностного уравнения (4.2) при $1<p<\infty$ имеет место оценка Доказательство. Рассмотрим при $1<q<\infty$ разностное уравнение (4.3):
$$
\begin{equation*}
\widetilde{A}\widetilde{Z}_k+\widetilde{B}\widetilde{Z}_{k+1} +\widetilde{C}\widetilde{Z}_{k+2}=m_k, \qquad k\in \mathbb Z,
\end{equation*}
\notag
$$
где числа $\widetilde{A}$, $\widetilde{B}$, $\widetilde{C}$, $m_k$ определены равенствами (4.4). В силу леммы 4 оно имеет единственное решение $\widetilde{Z}=\{\widetilde{Z}_k\}_{k\in \mathbb Z}\in l_p$. Для правой части этого уравнения в силу (4.4) и того факта, что $y\in Y_{2,p}$, справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\|\{m_k\}\|_{l_p}\leqslant 2^{q/p}q(q+1)=2^{q-1}q(q+1).
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Лемму 6 будем доказывать от противного. Пусть Оценим теперь сверху норму в $l_p$ последовательности
$$
\begin{equation*}
\bigl\{ \widetilde{A}\widetilde{Z}_k+\widetilde{B}\widetilde{Z}_{k+1} +\widetilde{C}\widetilde{Z}_{k+2}\bigr\}_{k\in \mathbb Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения чисел $\widetilde{A}$, $\widetilde{B}$, $\widetilde{C}$ и леммы 5 следуют неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\widetilde{A}}{h_{k-1}+h_k}=\frac{\alpha_{k-1}\alpha_k}{(\alpha_{k-1}+\alpha_k)^2}\, \frac{h_k}{h_{k-1}+h_k}<\frac14, \\ \frac{\widetilde{C}}{h_{k+1}+h_{k+2}}=\frac{\alpha_{k}\alpha_{k+1}}{(\alpha_{k}+\alpha_{k+1})^2}\, \frac{h_{k+1}}{h_{k+1}+h_{k+2}}<\frac14, \\ \frac{\widetilde{B}}{h_{k}+h_{k+1}}=\gamma>\frac{q}{3}+\frac{2}{9}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя отмеченные неравенства, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\{ \widetilde{A}\widetilde{Z}_k+\widetilde{B}\widetilde{Z}_{k+1} +\widetilde{C}\widetilde{Z}_{k+2}\}\|_{l_p} \geqslant \|\{ \widetilde{B}\widetilde{Z}_{k+1}\}\|_{l_p}- \|\{ \widetilde{A}\widetilde{Z}_{k}\}\|_{l_p}- \|\{ \widetilde{C}\widetilde{Z}_{k+2}\}\|_{l_p} \\ &\quad =\biggl\|\biggl\{ \frac{\widetilde{B}}{h_k+h_{k+1}}Z_{k+1}\biggr\}\biggr\|_{l_p}- \biggl\|\biggl\{ \frac{\widetilde{A}}{h_{k-1}+h_{k}}Z_{k}\biggr\}\biggr\|_{l_p}- \biggl\|\biggl\{ \frac{\widetilde{C}}{h_{k+1}+h_{k+2}}Z_{k+2}\biggr\}\biggr\|_{l_p} \\ &\quad >\biggl( \frac{q}{3}+\frac{2}{9}-\frac14-\frac14 \biggr)\|Z\|_{l_p}=\frac{6q-5}{18}\|Z\|_{l_p}>2^{q-1}q(q+1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит неравенству (4.8). Лемма 6 доказана. Доказательство. В этом параграфе мы строим функцию $f\in F_{2,p}(y)$ такую, что
$$
\begin{equation}
f[x_{k+2},x_{k+1},x_k]=[y_{k+2},y_{k+1},y_k], \qquad k\in \mathbb Z,
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
вторая производная которой удовлетворяет соотношениям (4.1). При этом последовательность $Z=\{Z_k\}_{k\in \mathbb Z}$ определена однозначно (хотя явного вида этой последовательности мы указать не можем), и для нее имеет место оценка, полученная в лемме 6. Оценим теперь норму второй производной построенной функции $f$ в пространстве $L_p$, $1<p<\infty$. Из (4.1) имеем
$$
\begin{equation}
\|f''\|_{L_p(a;b)}=\biggl( \sum_{k\in \mathbb Z}\int_{t_k}^{t_{k+1}}|Z_{k+1}|^p|K_p(t)|^{(q-1)p}\,dt \biggr)^{1/p}=\biggl(\sum_{k\in \mathbb Z} |Z_{k+1}|^p \widetilde{Q}_k\biggr)^{1/p},
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widetilde{Q}_k=\int_{t_k}^{t_{k+1}}|K_p(t)|^{(q-1)p}\,dt =\int_{t_k}^{t_{k+1}}|K_p(t)|^{q}\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
и числа $\{t_k\}_{k\in \mathbb Z}$ определены равенствами (3.5). Доказательство. Действуя по методу леммы 2, получим, что (см. равенство (3.6)). Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{Q}_k &=\frac{2^{-q/p}}{q+1} \biggl[\frac{(h_{k-1}+h_k)^{1/q}}{(h_{k-1}+h_k)^{1/q}+(h_k+h_{k+1})^{1/q}}\, \frac{h_k}{h_k+h_{k+1}} \\ &\qquad +\frac{(h_{k+1}+h_{k+2})^{1/q}}{(h_{k}+h_{k+1})^{1/q}+(h_{k+1}+h_{k+2})^{1/q}}\, \frac{h_{k+1}}{h_{k+1}+h_{k+2}}\biggr] \\ &<2\frac{2^{-q/p}}{q+1}=\biggl(\frac{p-1}{2p-1}\biggr)2^{(p-2)/(p-1)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и лемма 7 доказана. Теперь из (4.10), леммы 6 и леммы 7 при $1<p<\infty$ выводим неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_{2,p}(\Delta) &\leqslant \|f''\|_{L_p(a;b)}<\biggl(\frac{p-1}{2p-1}\biggr)^{1/p}2^{(p-2)/(p(p-1))} \,\frac{18p(2p-1)}{(p+5)(p-1)}2^{1/(p-1)} \\ &=\biggl(\frac{2p-1}{p-1}\biggr)^{(p-1)/p}\,\frac{18p}{p+5}4^{1/p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для завершения доказательства теоремы 3 осталось обосновать, что построенная функция $f$ удовлетворяет не только соотношениям (4.9), но и условиям интерполяции: $f(x_k)=y_k$, $k\in \mathbb Z$. Запишем функцию $f$ в виде и определим числа $c_1$ и $c_2$ так, чтобы $f(x_0)=y_0$, $f(x_1)=y_1$. Теперь из соотношений (4.9) будут следовать равенства $f(x_k)=y_k$ для остальных целых значений $k$. Теорема 3 доказана.§ 5. Оценка сверху нормы второй производной при $p=1$ Доказательство. Ранее (см. замечание 2) было доказано, что для любой сетки $\Delta$ имеет место неравенство $A_{2,1}(\Delta)\geqslant 2$. Осталось установить, что $A_{2,1}(\Delta)\leqslant 2$. Для этой цели для любого числа $\varepsilon >0$, любой сетки $\Delta$ и любой последовательности $y\in Y_{2,1}$ построим последовательность чисел $\delta=\{\delta_k\}_{k\in \mathbb Z}$ таких, что $0<\delta_k<\max\{h_{k-1},h_k\}/2$, и функцию $f_{\delta}\in F_{2,1}(\Delta)$, для которой имеет место неравенство Положим
$$
\begin{equation}
f_{\delta}''(x)= \begin{cases} \dfrac{Z_k}{2\delta_k},& t\in [x_{k}-\delta_k;x_k+\delta_k], \\ 0,& t\not\in [x_{k}-\delta_k;x_k+\delta_k], \end{cases} \qquad k\in \mathbb Z,
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
считая, что $ 0<\delta_k<{h_k}/{2}$, $ 0<\delta_k<{h_{k-1}}/{2}$. Из (3.1) получим следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &[y_{k+2},y_{k+1},y_k](h_k+h_{k+1})=\frac{Z_k}{2h_k\delta_k}\int_{x_k}^{x_k+\delta_k}(t-x_k)\,dt \\ \notag &\qquad\qquad +\frac{Z_{k+1}}{2h_k\delta_{k+1}}\int_{x_{k+1}-\delta_{k+1}}^{x_{k+1}}(t-x_k)\,dt+ \frac{Z_{k+1}}{2h_{k+1}\delta_{k+1}}\int_{x_{k+1}}^{x_{k+1}+\delta_{k+1}}(x_{k+2}-t)\,dt \\ \notag &\qquad\qquad +\frac{Z_{k+2}}{2h_{k+1}\delta_{k+2}}\int_{x_{k+2}-\delta_{k+2}}^{x_{k+2}}(x_{k+2}-t)\,dt \\ &\qquad =\frac{\delta_k}{4h_k}Z_k+\biggl(1-\frac{\delta_{k+1}}{4h_k} -\frac{\delta_{k+1}}{4h_{k+1}}\biggr)Z_{k+1}+\frac{\delta_{k+2}}{4h_{k+1}}Z_{k+2}, \qquad k\in \mathbb Z, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
которое представляет собой разностное уравнение для определения чисел $\{Z_k\}_{k\in \mathbb Z}$. Переписывая его в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Z_{k+1} &=TZ_{k+1}=[y_{k+2},y_{k+1},y_k](h_k+h_{k+1}) \\ &\qquad -\frac{\delta_k}{4h_k}Z_k-\frac{\delta_{k+2}}{4h_{k+1}}Z_{k+2} +\biggl(\frac{\delta_{k+1}}{4h_k}+\frac{\delta_{k+1}}{4h_{k+1}}\biggr)Z_{k+1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
убеждаемся в том, что оператор $T$ является сжимающим, поскольку для любых последовательностей $Z^{(1)}=\{Z_{k+1}^{(1)}\}_{k\in \mathbb Z}$ и $Z^{(2)}=\{Z_{k+1}^{(2)}\}_{k\in \mathbb Z}$, принадлежащих пространству $l_1$, имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|TZ^{(1)}-TZ^{(2)}\|_{l_1}\leqslant \biggl|\biggl\{ \frac{\delta_k}{4h_k} (Z_k^{(1)}-Z_k^{(2)})\biggr\} \biggr\|_{l_1} \\ &\quad\qquad +\biggl\|\biggl\{ \frac{\delta_{k+2}}{4h_{k+1}}(Z_{k+2}^{(1)}-Z_{k+2}^{(2)})\biggr\} \biggr\|_{l_1} +\biggl\|\biggl\{ \biggl(\frac{\delta_{k+1}}{4h_{k}}+\frac{\delta_{k+1}}{4h_{k+1}}\biggr) (Z_{k+1}^{(1)}-Z_{k+1}^{(2)})\biggr\} \biggr\|_{l_1} \\ &\quad <\biggl( \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\biggr)\|Z^{(1)}-Z^{(2)}\|_{l_1} =\frac12\|Z^{(1)}-Z^{(2)}\|_{l_1} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с константой сжатия $1/2<1$. Ввиду того, что $y\in Y_{2,1}$, последовательность, стоящая в левой части равенства (5.3), принадлежит пространству $l_1$, и по теореме о сжимающем операторе разностное уравнение (5.3) имеет решение $Z=\{Z_{k+1}\}_{k\in \mathbb Z}\in l_1$, и это решение единственно. Найдем оценку сверху для нормы этого решения в пространстве $l_1$. Для этого для любого числа $\varepsilon$ наложим на последовательность $\delta=\{\delta_{k}\}_{k\in \mathbb Z}$ следующие ограничения:
$$
\begin{equation*}
\delta_k<\frac{\varepsilon}{2+\varepsilon}h_k, \quad \delta_k<\frac{\varepsilon}{2+\varepsilon}h_{k-1}, \qquad k\in \mathbb Z,
\end{equation*}
\notag
$$
и покажем, что тогда $\|Z\|_{l_1}\leqslant 2+\varepsilon$. Последнее неравенство будем доказывать от противного. Пусть существует такое число $\varepsilon>0$, что $\|Z\|_{l_1}>2+\varepsilon$. Поскольку $y\in Y_{2,1}$, то
$$
\begin{equation}
\bigl\| \{ [y_{k+2},y_{k+1},y_k](h_k+h_{k+1})\}\bigr\|_{l_1}\leqslant 2.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Оценим теперь сверху норму в $l_1$ последовательности, стоящей в правой части равенства (5.3). Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\| \biggl\{ \frac{\delta_k}{4h_k}Z_k +\biggl( 1-\frac{\delta_{k+1}}{4h_k}-\frac{\delta_{k+1}}{4h_{k+1}}\biggr)Z_{k+1} +\frac{\delta_{k+2}}{4h_{k+1}}Z_{k+2}\biggr\}\biggr\|_{l_1} \\ &\qquad \geqslant \biggl\| \biggl\{ \biggl( 1-\frac{\delta_{k+1}}{4h_k}-\frac{\delta_{k+1}}{4h_{k+1}}\biggr)Z_{k+1}\biggr\}\biggr\|_{l_1} -\biggl\| \biggl\{\frac{\delta_{k}}{4h_k}Z_{k}\biggr\}\biggr\|_{l_1} -\biggl\| \biggl\{\frac{\delta_{k+2}}{4h_{k+1}}Z_{k+2}\biggr\}\biggr\|_{l_1} \\ &\qquad >\biggl( 1-\frac{\varepsilon}{2(2+\varepsilon)}-\frac{\varepsilon}{4(2+\varepsilon)} -\frac{\varepsilon}{4(2+\varepsilon)}\biggr)\|Z\|_{l_1} \\ &\qquad =\biggl(1-\frac{\varepsilon}{2+\varepsilon}\biggr)\|Z\|_{l_1} =\frac{2}{2+\varepsilon}\|Z\|_{l_1}>\frac{2}{2+\varepsilon}(2+\varepsilon)=2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит равенству (5.3) и неравенству (5.4). Оценим теперь норму функции $f_{\delta}''$ в пространстве $L_1(a;b)$. Из (5.2) имеем
$$
\begin{equation*}
\|f_{\delta}''\|_{L_1(a;b)}=\sum_{k\in \mathbb Z}\int_{x_k-\delta_k}^{x_k+\delta_k}\biggl|\frac{Z_k}{2\delta_k}\biggr|\,dt= \sum_{k\in \mathbb Z}|Z_k|\leqslant 2+\varepsilon
\end{equation*}
\notag
$$
для любого числа $\varepsilon>0$, и неравенство (5.1) доказано. Устремляя число $\varepsilon$ к нулю (тогда числа $\delta_k$ также стремятся к нулю), отсюда получаем, что $A_{2,1}(\Delta)\leqslant 2$. Теорема 4 полностью доказана. § 6. КомментарииОценки снизу для величины $A_{n,p}(\Delta)$ и оценка сверху в случае $n=2$ в настоящей работе получены по схеме Ю. Н. Субботина (см. [4], [5]). Там оба метода приводили к точному вычислению величины $\overline{A}_{n,p}(\overline{\Delta})$ для равномерной сетки узлов $\overline{\Delta}$. При оценке снизу в § 2 естественным образом возникают функции $\varphi_{k,p}(t)$ и $K_p(t)$. Для равномерной сетки из работ [4], [5] и дальнейших исследований (в частности, поперечников функциональных классов) следует, что функция $K_p(t)$ является идеальным сплайном, свойства которого для равномерной сетки хорошо изучены. В этом случае функция $\varphi_{k,p}(t)$ имеет единственный нуль на каждом полуинтервале $[x_{k};x_{k+1})$, что позволяет строить “правильные точки склейки” экстремальных функций в этой задаче – сплайнов и их обобщений. Для произвольной сетки узлов в случае $n=2$ единственный нуль функции $\varphi_{k,p}(t)$ указал нам такие точки, которые использовались при оценке величины $A_{2,p}(\Delta)$ сверху. Элементарные вычисления показывают, что уже при $n=3$ единственность нуля функции $\varphi_{k,p}(t)$ на полуинтервале $[x_{k};x_{k+1})$ гарантировать нельзя, и поэтому при $n\geqslant 3$ для оценки сверху констант Голомба–де Бора и Яненко–Стечкина надо применять другие методы. Кроме того, большую трудность вызывает отсутствие общей теории решения разностных уравнений с переменными коэффициентами. Для доказательства существования решения выписанного в работе разностного уравнения третьего порядка нам удалось применить частный метод: теорему о неподвижной точке и воспользоваться доминантностью диагональных элементов в бесконечной трехдиагональной матрице. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SubShe22} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|