Успехи математических наук, 2023, том 78, выпуск 4(472), страницы 203–204 DOI: https://doi.org/10.4213/rm10111 (Mi rm10111)

DOI: https://doi.org/10.4213/rm10111

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 4, Pages 785–787
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10111e

Реферативные базы данных:

1.

В этой заметке мы имеем дело со специальным классом квадратичных алгебр, которые называются квантовыми матричными алгебрами. Квадратичной алгеброй называется факторалгебра $A=T(V)/\langle J \rangle$, где $V$ – векторное пространство над $\mathbb{C}$, $\dim_{\mathbb{C}} V=N<\infty$, $T(V)=\bigoplus_{k\geqslant 0} V^{\otimes k}$ – свободная тензорная алгебра пространства $V$, а $\langle J \rangle$ – идеал, порожденный подпространством $J\subset V^{\otimes 2}$. Алгебраические свойства таких алгебр и их неоднородных аналогов интенсивно обсуждаются в математической литературе (см., например, [4]). Мы рассматриваем задачу построения некоторых проекторов на однородные компоненты таких алгебр, являющихся аналогами обычных симметризаторов. В классическом случае эти симметризаторы строятся с помощью перестановки $P$. Ниже роль $P$ играет так называемая симметрия Гекке.

Напомним, что оператор $R\colon V^{\otimes 2}\to V^{\otimes 2}$ называется $R$-матрицей, если он подчиняется соотношению кос: $R_{12} R_{23}\, R_{12}=R_{23} R_{12} R_{23}$, $R_{12}=R\otimes I$, $R_{23}=I \otimes R$ (здесь и далее символ $I$ обозначает тождественный оператор в $V$ или другом векторном пространстве). Если оператор $R$ удовлетворяет дополнительному отношению $(R-q I)(R+q^{-1} I)= 0$, где $q\in \mathbb{C}$, то $R$ называется симметрией Гекке. Далее мы будем считать, что $q^k\ne 1$ для всех $k\in \mathbb{Z}_+$. В работе [1] построены многочисленные примеры симметрий Гекке и определены симметризаторы для $R$-симметричной и $R$-кососимметричной алгебр пространства $V$.

2.

Примерами квадратичных алгебр, связанных с $R$-матрицами, являются RTT-алгебра и алгебра уравнения отражений (RE). Первая из них определяется системой

Основная цель заметки – предложить метод, который, как мы надеемся, позволит построить симметризаторы на однородные компоненты RTT и других матричных алгебр. Мы иллюстрируем метод несколькими примерами в низших размерностях.

Определяющая система (1) может быть записана в виде $T_1 T_2={\mathcal{R}}(T_1 T_2)$, где ${\mathcal{R}}(T_1 T_2)=R^{-1} T_1 T_2 R$. Если $R$ является симметрией Гекке, то оператор ${\mathcal{R}}\colon W^{\otimes 2}\to W^{\otimes 2}$, где $W=\operatorname{span}(t_i^j)$, имеет три собственных значения $1$, $-q^2$ и $-q^{-2}$. Следовательно, оператор $\mathcal{S}=2_q^{-2}({\mathcal{R}}+q^2I)({\mathcal{R}}+q^{-2}I)$, где $k_q \overset{\mathrm{def}}{=}(q^k-q^{-k})/(q-q^{-1})$, $k\in\mathbb{Z}$, является идемпотентом, называемым симметризатором. Он отображает пространство $W^{\otimes 2}$ на его подпространство симметрических элементов, т. е. такое, что $\mathcal{S}(z)=z$. Таким образом, каждый элемент $z$ второй однородной компоненты $A^{(2)}$ квадратичной алгебры $A=T(W)/\langle J \rangle$ совпадает со своей симметризованной формой $\mathcal{S}(z)$ по модулю идеала $\langle J \rangle$, где $J=\operatorname{Im}({\mathcal{R}}-I)$.

Симметризатор третьего порядка $\mathcal{S}^{(3)}\colon W^{\otimes 3}\to W^{\otimes 3}$, проектирующий на однородную компоненту $A^{(3)}\subset A$, был построен в работе [2]:

Поскольку оператор $\mathcal{S}^{(3)}$, определенный в (2), обладает свойством $\mathcal{S}^{(3)}=\mathcal{S}_{12}\mathcal{S}^{(3)}= \mathcal{S}^{(3)} \mathcal{S}_{12}=\mathcal{S}_{23}\mathcal{S}^{(3)}= \mathcal{S}^{(3)} \mathcal{S}_{23}$, его можно записать в виде $\mathcal{S}^{(3)}=p(\mathcal{S}_{12} \mathcal{S}_{23})= p(\mathcal{S}_{23}\mathcal{S}_{12})$, где $p$ – многочлен степени 3. Минимальный многочлен оператора $\mathcal{S}_{12} \mathcal{S}_{23}$ имеет вид

3.

Построим теперь следующий симметризатор $\mathcal{S}^{(4)}\colon W^{\otimes 4}\to W^{\otimes 4}$. С этой целью сначала найдем минимальный многочлен $m_4(x)$ оператора $\mathcal{S}^{(3)}_{123}\mathcal{S}^{(3)}_{234}\colon W^{\otimes 4}\to W^{\otimes 4}$. Это многочлен пятого порядка $m_4(x)=x(x-1)(x-\nu_1)(x-\nu_2)(x-\nu_3)$, где

По-видимому, аналогичная процедура позволит найти все высшие симметризаторы. Предполагая, что $\mathcal{S}^{(n)}$ известно, мы определяем $\mathcal{S}^{(n+1)}$ следующим образом:

Предложенная конструкция подтверждается нашими вычислениями для $n\kern-1pt=\kern-1pt5,6,7$. Корнями многочлена $m_5(x)$ являются $0$, $1$ и числа

Заметим, что существование симметризатора $S^{(n)}$ влечет за собой следующее: если симметрия Гекке $R=R(q)$ является аналитической матричнозначной функцией параметра $q$ в окрестности $q=1$, то в некоторой окрестности $q=1$ размерности однородных компонент $A^{(n)}$ совпадают с соответствующими размерностями для $q=1$.

Список литературы
1.	Д. И. Гуревич, Алгебра и анализ, 2:4 (1990), 119–148
2.	Д. И. Гуревич, П. Н. Пятов, П. А. Сапонов, Алгебра и анализ, 20:2 (2008), 70–133
3.	A. Isaev, O. Ogievetsky, P. Pyatov, J. Phys. A, 32:9 (1999), L115–L121
4.	A. Polishchuk, L. Positselski, Quadratic algebras, Univ. Lecture Ser., 37, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005, xii+159 pp.

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{GurSapSok23}
\by Д.~И.~Гуревич, П.~А.~Сапонов, В.~В.~Соколов
\paper О~симметризаторах в~квантовых матричных алгебрах
\jour УМН
\yr 2023
\vol 78
\issue 4(472)
\pages 203--204
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10111}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10111}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4687811}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023RuMaS..78..785G}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2023
\vol 78
\issue 4
\pages 785--787
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10111e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001146060800005}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85185977683}