| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Кеплеровы траектории и глобальные асимптотики в виде функции Эйри для задачи рассеяния на отталкивающем кулоновском потенциале С. Ю. Доброхотовa, С. Б. Левинb, А. А. Толченниковa a Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН b Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10117e 
Реферативные базы данных:
    Рассматриваемая задача рассеяния формулируется следующим образом:
$$
\begin{equation}
-h^2 \Delta \psi+V(x) \psi=E\psi, \quad V=\gamma|x|^{-1}, \quad \psi \to e^{ikx_1} \quad \text{при}\ \ x_1\to -\infty,\quad x\in \mathbb{R}^3_x,
\end{equation}
\tag{1}
$$
здесь $h$, $\gamma$ и $k$ – положительные параметры, $E=k^2$. Функция $\psi$ должна удовлетворять условию излучения Зоммерфельда при $|x|\to \infty$, оно нам не понадобится. Точное решение этой задачи хорошо известно [1; формулы (5.1), (5.2)] и выражается через вырожденную гипергеометрическую функцию. Цель заметки – показать, что (квазиклассическая) асимптотика решения $\psi$ при малых значениях $h$ может быть явно и глобально выражена через функцию Эйри $\operatorname{Ai}$ и ее производную $\operatorname{Ai}'$ от сложных аргументов, задаваемых известными кеплеровыми траекториями (см., например, [2]).
Квазиклассическая асимптотика задачи рассеяния для $n$-мерного уравнения Шрёдингера в случае финитного (и гладкого) потенциала $V(x)$ изучена в [3] и [4]. Она представляется в виде примененного к $1$ канонического оператора Маслова $K^h_{\Lambda^n}\cdot 1$, заданного на $n$-мерном (инвариантном) лагранжевом многообразии $\Lambda^n$, сотканном из траекторий гамильтоновой системы с гамильтонианом $H=p^2+V(x)$ в $2n$-мерном фазовом пространстве, выпущенных из подходящей $(n-1)$-мерной плоскости $\widetilde\Lambda^{n-1}$. Для задачи (1) построение асимптотики решения проводится по близкой схеме. Для задачи с кулоновским потенциалом в реализации схемы имеется важная особенность, отличающая эту задачу от задачи с финитным потенциалом: плоскость $\widetilde\Lambda^{2}$ в фазовом пространстве нужно “переместить на подходящую бесконечность”. Мы реализуем это соображение следующим образом. Соответствующая гамильтонова система интегрируема, и ее решения – хорошо известные кеплеровы траектории, проекции $\Gamma$ которых в физическом пространстве – это гиперболы, лежащие в плоскостях, проходящих через начало координат. Эти гиперболы имеют асимптоты, представляющие собой пределы при $t\to\pm\infty$ этих гипербол. Мы выберем кеплеровы траектории таким образом, чтобы соответствующие им асимптоты были перпендикулярны плоскости ($x_1=0$, $x_2=\alpha_2=\eta\cos\theta$, $x_3=\alpha_3=\eta\sin\theta$), а соответствующий им вектор импульса при $t\to-\infty$ переходил в вектор-столбец с компонентами $(k,0,0)$. Это дает семейство траекторий $P$, $X$, зависящих от времени $t$ (или его аналога) и параметров $(\eta,\theta)$. Поскольку зависимость от времени $t$ кеплеровых траекторий определяется в параметрической форме, то при параметризации лагранжева многообразия время $t$ удобнее заменить на более подходящий параметр $\sigma$. Это дает лагранжево многообразие $\Lambda^3=\{p=P(\sigma,\eta,\theta), x= X(\sigma,\eta,\theta),\sigma \in (0,\infty),\eta\in (0,\infty), \theta \in S^1\}$, где компоненты векторов $X$, $P$ определяются следующими равенствами ($\mathbf{n}_2(\theta)=\cos\theta$, $\mathbf{n}_3(\theta)=\sin\theta$):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X_1=\frac{\gamma}{2k^2} \biggl( \frac{\sigma \eta^2}{2}- \frac{(\sigma+1)^2}{2\sigma} \biggr),\qquad X_{2,3}=\frac{\gamma}{2k^2}\,\eta (\sigma+1) \,\mathbf{n}_{2,3}(\theta), \\ P_1=k\,\frac{-\sigma+\sigma \eta^2+1/\sigma} {\sigma+\sigma \eta^2+1/\sigma+2}\,, \qquad P_{2,3}=k\,\frac{2 \eta \sigma}{\sigma+\sigma \eta^2+1/\sigma+2}\, \mathbf{n}_{2,3}(\theta). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом $t=\dfrac{\gamma}{4k^3}\biggl(\dfrac{\sigma+\sigma\eta^2-1/\sigma}{2}+ \ln \sigma+\dfrac{\ln(1+\eta^2)}{2}\biggr)$. При $t\to -\infty$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sigma \to 0,\quad X_1\to -\infty, \quad X_{2,3} \to \frac{\gamma \eta}{2k^2}\mathbf{n}_{2,3}(\theta)= X_{2,3}^{\lim},\quad P_1\to k,\quad P_{2,3}\to 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Опишем объекты, задающие асимптотику решения задачи (1) в виде $\psi_{\rm as}=K^h_{\Lambda^3,\mu}[1]$.
Инвариантная мера $\mu$ на $\Lambda^3$ определяется формулой $\mu=d X_2^{\lim} \wedge dX_3^{\lim} \wedge dt=[\gamma^3/(32 k^7)] \eta\bigl(\eta^2+(1+1/\sigma)^2\bigr)\,d\eta\wedge d \theta \wedge d\sigma$, а якобиан проектирования $\Lambda^3$ на $\mathbb R^3_x$ – формулой $J=\mu^{-1}\,d X_1 \wedge d X_2 \wedge d X_3=2k(1-\sigma^2)$. Выберем центральную (неособую) точку на $\Lambda^3$ с координатами $\sigma=1-0$, $\eta=0$, $\theta=0$. Лагранжева сингулярность на $\Lambda^3$, определяемая равенством $\sigma=1$, – это простая каустика (складка), имеющая форму параболоида вращения $x_1=[k^2/(4\gamma)](x_2^2+x_3^2)-\gamma/k^2$. Проекция $\pi_x\Lambda^3$ многообразия $\Lambda^3$ в $\mathbb{R}^3_x$ есть множество $\{x\in \mathbb{R}^3\colon x_1 \leqslant [k^2/(4\gamma)](x_2^2+x_3^2)- \gamma/k^2\}$. Каждая внутренняя точка $x\in \pi_x\Lambda^3$ имеет два прообраза на $\Lambda^3$ c координатами $\sigma_\pm$, $\eta_\pm$, $\theta$, где
$$
\begin{equation*}
\sigma_\pm=z \pm \sqrt{z^2-1}\,,\quad \eta_\pm=\frac{2k^2}{\gamma}\, \frac{\sqrt{x_2^2+x_3^2}}{z+1\pm\sqrt{z^2-1}}\,,\quad z(x)=\frac{k^2}{\gamma}\bigl(-x_1+\sqrt{x_2^2+x_3^2}\,\bigr)-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Вне окрестности каустики многообразие $\Lambda^3$ можно покрыть двумя неособыми (некомпактными) областями и определить их индексы Маслова $m_-=0$, $m_+=1$. Функция действия на $\Lambda^3$ равна $S=[\gamma/(2k)](-\ln \sigma+\sigma \eta^2/2-1/(2\sigma)+\sigma/2)$. Она порождает в точках $x\in \pi_x\Lambda^3$ две фазы $S_\pm(x)=[\gamma/(2k)]\bigl[-\ln (z\pm \sqrt{z^2-1}\,)+ z \pm \sqrt{z^2-1}+1\bigr]+kx_1$, и ВКБ-асимптотика во внутренних точках $\pi_x\Lambda^3$ такова: $\psi_{\rm as}(x)=\sum_\pm A_\pm(x) e^{(i/h)S_\pm(x)}$, $A_\pm(x)= e^{-i\pi m_\pm/2}/[\sqrt{2k}\,(z^2-1)^{1/4}(\sqrt{z+1}\pm \sqrt{z-1}\,)]$ . Здесь слагаемое со знаком “$+$” соответствует падающей волне, а слагаемое со знаком “$-$” – отраженной волне.
Вторая важная особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что соображения, высказанные в [5], [6], позволяют глобально выразить асимптотику решения функции через $\operatorname{Ai}$ и $\operatorname{Ai}'$. Введем функции $\Theta(x)=(S_++S_-)/2=k\bigl(x_1+\sqrt{x_2^2+x_3^2}\,\bigr)/2$ при $x\in \mathbb{R}^3_x$ и $\Psi=(S_+- S_-)/2=[\gamma/(2k)][\sqrt{z^2-1}- \ln (z+\sqrt{z^2-1}\,)]$ при $x\in \pi_x\Lambda^3$. Заметим, что $\Psi \sim [\gamma/(12k)](2(z-1))^{3/2}$ при $z\to 1+0$. Определим функции $\Phi$ и $A_\pm$ формулами $\Phi(x)=(3\Psi(x)/2)^{2/3}$, $A_\pm(x) =(3\Psi(x)/2)^{\pm1/6} [(z+1)/(z-1)]^{\pm1/4} /\sqrt{2k}$ при $z(x)>1$ и $\Phi(x)=(\gamma/k)^{2/3}(z-1)/2$, $A_\pm(x)=(\gamma/k)^{\pm1/6}/\sqrt{2k}$ при $z(x)\leqslant 1$. Теорема. Главный член асимптотического решения $\psi_{\rm as}=K^h_{\Lambda^3,\mu}[1]$ задачи (1) определяется формулой 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DobLevTol23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|