М. Г. Григорян, С. В. Конягин, “О рядах Фурье по кратной тригонометрической системе”, УМН, 78:4(472) (2023), 201–202; Russian Math. Surveys, 78:4 (2023), 782

Финансовая поддержка	Номер гранта
Комитет по науке, Министерство образования, науки, культуры и спорта РА	21AG-1A066
Российский научный фонд	22-11-00129
Исследование М. Г. Григоряна (теоремы 5–7) выполнено при финансовой поддержке Комитета по науке РА в рамках научного проекта 21AG-1A066. Исследование С. В. Конягина (теоремы 1–4 и следствия 1–3) выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 22-11-00129).

Настоящая работа является продолжением работ [1]–[5]. Введем необходимые обозначения и определения: $\mathbb{T}^{d}:=[{-\pi},{\pi}]^{d}$; $\mathbf{x}=(x_{1},\dots,x_{d})\in \mathbb{R}^{d}$, $\mathbf{k}=(k_{1},\dots,k_{d})\in \mathbb{Z}^{d}$, где $d\in\mathbb{N}$, и пусть $\widehat{f}_{\mathbf{k}}:= \dfrac{1}{(2\pi)^{d}}\displaystyle\int_{\mathbb{T}^{d}} f(\mathbf{t})e^{-i\mathbf{kt}}\,\mathrm{d}\mathbf{t}$ – коэффициенты Фурье функции $f\in L^{1}(\mathbb{T}^{d})$ по $d$-мерной тригонометрической системе $\{e^{i\mathbf{kx}}\}_{\mathbf{k}=-\infty}^{\infty}$, где $\mathbf{kx}=k_{1}x_{1}+\cdots+k_{d}x_{d}$. Прямоугольные и сферические частные суммы ряда Фурье по $d$-мерной тригонометрической системе функции $f\in L^{1}\mathbb{(T}^{d}{)}$ определяются следующим образом: $S_{\mathbf{n}}(f;\mathbf{x})=\sum_{|\mathbf{k}|\leqslant \mathbf{n}}{\widehat{f}}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kx}}$, $S_{(\lambda)}(f;\mathbf{x})=\sum_{k_{1}^{2}+\cdots+k_{d}^{2}\leqslant \lambda^{2}}{\widehat{f}}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kx}}$. Сходимость по Прингсхейму (по прямоугольникам) функции $f$, соответственно по сферам (в том или ином смысле), означает, что $S_{\mathbf{n}}(f;\mathbf{x})\to f$ при $n_{\ast}=\min(n_{1},\dots,n_{d})\to\infty$, соответственно $S_{(\lambda)}(f;\mathbf{x})\to f$ при $\lambda\to\infty$.

Положим $\rho(\Omega)_{A}:=\limsup_{n_{\ast}\to\infty} \#(\Omega\cap\lbrack\mathbf{-n,n})^{d})/ \#(A\cap\lbrack\mathbf{-n,n})^{d})$, $D_{\langle A\rangle}=\sum_{\mathbf{k}\in A}e^{i\mathbf{kx}}$, $S_{\langle A\rangle}(f;\mathbf{x})= \sum_{\mathbf{k}\in A}{\widehat{f}}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kx}}$, где $A\subset \mathbb{Z}^{d}$ – ограниченное подмножество и $\Omega\subset A$, $\#(E)$ – количество точек конечного множества $E$ и $[\mathbf{-n,n})^{d}=[-n_{1},n_{1})\times\cdots\times\lbrack-n_{d},n_{d})$. Величину $\rho(\Omega)_{A}$ называют плотностью подмножества $\Omega$ относительно множества $A$. Пусть $\Lambda(f):=\{\mathbf{k}\in \mathbb{Z}^{d} \colon\widehat{f}_{\mathbf{k}}\ne 0\}$ – спектр функции $f\in L^{1}(\mathbb{T}^{d})$. Будем говорить, что функция $f\in L^{1}(\mathbb{T}^{d})$ для класса $L^{p}(\mathbb{T}^{d})$ относительно $d$-мерной тригонометрической системы $\{e^{i\mathbf{kx}},\mathbf k\in\mathbb{Z}^{d}\}$ почти универсальна по прямоугольникам (или по сферам), если существует такая последовательность знаков $\{\delta_{\mathbf{k}}=\pm1;\mathbf k\in \mathbb{Z}^{d}\}$ с $\rho(\Omega(f))_{\Lambda(f)}=1$, где $\Omega(f)=\{\mathbf{k}\in \Lambda(f)\colon \delta_{\mathbf{k}}=1\}$, что прямоугольные (соответственно сферические) частные суммы ряда $\sum_{\mathbf{k}\in \mathbb{Z}^{d}}\delta_{\mathbf{k}}\widehat{f}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kx}}$ являются плотными в $L^{p}(\mathbb{T}^{d})$.

Из знаменитой теоремы А. Н. Колмогорова [6] вытекает, что не существует интегрируемой функции, ряд Фурье которой по тригонометрической системе является универсальным в классе всех измеримых функций. Р. Д. Гецадзе [7] (см. также работу [1] С. В. Конягина) доказал, что аналог теоремы Колмогорова из [6] не имеет места для кратной тригонометрической системы. Но тем не менее верна следующая теорема (см. [2]).

Теорема 1 (С. В. Конягин). Не существует функции $U\in L^{1}(\mathbb{T}^{d})$, $d>1$, ряд Фурье которой по $d$-мерной тригонометрической системе универсален по прямоугольникам в пространстве $L^{p}(\mathbb{T}^{d})$, $p\in(0,1)$.

Этот результат вытекает из следующего более сильного утверждения.

Теорема 2 (С. В. Конягин [2]). Пусть подпоследовательность частных сумм по Прингсхейму функции $f\in L^{1}(\mathbb{T}^{d})$ сходится на некотором множестве $E\subset \mathbb{T}^{d}$ положительной меры к конечной функции $g$. Тогда $g=f$ п. в. на $E$.

Теорема 3 (С. В. Конягин). Для любой функции $f\in L^{1}(\mathbb{T}^{d})$, $d \geqslant2$, найдется подпоследовательность частных сумм по Прингсхейму, сходящаяся к ней в $L^{p}(\mathbb{T}^{d})$ для всех $p\in(0,1)$.

Теорема 4 (С. В. Конягин). Пусть $\{A_{k}\}_{k=1}^{\infty}$ – последовательность ограниченных подмножеств пространства $\mathbb{R}^{d},N_{k}=\#(\mathbb{Z}^{d}\cap A_{k}) \geqslant3$, $\lim_{k\to\infty}\|D_{\langle A_{k}\rangle}\|_{1}/\log N_{k}=\infty$. Тогда найдутся возрастающая последовательность $\{k_{j}\}_{j=1}^{\infty}$ и функция $f\in L^{1(}\mathbb{T}^{d})$ такие, что $\operatorname{lim}_{j\to\infty}|S_{\langle A_{k_{j}}\rangle} (f;\mathbf{x})|=\infty$ п. в.

Следующие утверждения вытекают из теоремы 4.

Следствие 1 (С. В. Конягин). Пусть $d \geqslant2$ и $\{\mathbf{n}^{(\upsilon)}\}_{\upsilon\in\mathbb{N}}\in \mathbb{Z}_{+}^{d}$ – последовательность, удовлетворяющая условию $\min(n_{1}^{(\upsilon)},\dots,n_{d}^{(\upsilon)})\to\infty$ при $\upsilon\to\infty$. Тогда эта последовательность содержит подпоследовательность $\{\mathbf{\check{n}}^{(\upsilon)}\}_{\upsilon\in\mathbb{N}}$ такую, что для некоторой функции $f$ п. в. выполнено условие $\lim_{\upsilon\to\infty}|S_{\check{\mathbf{n}}^{(\upsilon)}} (f;\mathbf{x})|= \infty$.

Следствие 2 (С. В. Конягин). Пусть $d$ $\geqslant2$ и $A\subset \mathbb{R}^{d}$ – ограниченное тело с непустой внутренностью. Тогда существует последовательность $\{m_{j}\}_{j\in\mathbb{N}}$ такая, что для некоторой функции $f\in L^{1}(\mathbb{T}^{d})$ п. в. выполнено условие $\lim_{j\to\infty}\!|S_{\langle m_{j}A\rangle}(f;\mathbf{x})|= \infty$.

Аналогичным образом можно вывести из теоремы 4 расходимость п. в. к бесконечности абсолютных величин частных сумм по гиперболическим крестам.

Следствие 3 (С. В. Конягин). Пусть $d \geqslant2$ и $A=\{\mathbf{u}=(u_{1},\dots,u_{d})\in \mathbb{R}^{d}\colon 0<|u_{1}\cdots u_{d}|\leqslant1\}\subset\mathbb{R}^{d}$. Тогда существует последовательность $\{m_{j}\}_{j\in\mathbb{N}}$ такая, что для некоторой функции $f\in L^{1}\mathbb{(T}^{d})$ п. в. выполнено условие $\lim_{j\to\infty}\!|S_{\langle m_{j}A\rangle}(f;\mathbf{x})|= \infty$.

Согласно теореме 1 для класса $L^{p}(\mathbb{T}^{d})$, $p\in(0,1)$, относительно $d$-мерной тригонометрической системы не существует универсальной функции, но тем не менее почти универсальная функция существует. Точнее, верна следующая теорема (см. [3]).

Теорема 5 (М. Г. Григорян). Для любых чисел $p\in(0,1)$ и $d \geqslant2$ существует функция $U\in L^{1}(\mathbb{T}^{d})$, почти универсальная как по прямоугольникам, так и по сферам для класса $L^{p}(\mathbb{T}^{d})$, $p\in(0,1)$, относительно $d$-мерной тригонометрической системы.

Оказывается, что любую измеримую, п. в. конечную функцию путем изменения ее значений на множестве сколь угодно малой меры можно превратить в почти универсальную функцию. А именно, верны следующие утверждения.

Теорема 6 (М. Г. Григорян). Для любых чисел $p\in(0,1)$, $d \geqslant2$, $\delta>0$ и любой измеримой, п. в. конечной на $\mathbb{T}^{d}$ функции $f$ существуют функция $g\in L^{1}(\mathbb{T}^{d})$ и измеримое множество $E\subset\mathbb{T}^{d}$ с мерой $|E|\geqslant(2\pi)^{d}-\delta$ такие, что $g=f$ на $E$ и $g$ почти универсальна как по прямоугольникам, так и по сферам для класса $L^{p}(\mathbb{T}^{d})$, $p\in(0,1)$.

Теорема 7 (М. Г. Григорян). Для любых чисел $p\in(0,1)$ и $d \geqslant2$ существует функция $U\in L^{1}(\mathbb{T}^{d})$, почти универсальная как по прямоугольникам, так и по сферам для класса измеримых на $\mathbb{T}^{d}$ функций относительно $d$-мерной тригонометрической системы и обладающая следующим свойством: для любого $\delta>0$ существует измеримое множество $E\subset \mathbb{T}^{d}$ с мерой $|E|\geqslant(2\pi)^{d}-\delta$ такое, что для каждой функции $f\in L^{1}(\mathbb{T}^{d})$ можно найти функцию $g\in L^{1}(\mathbb{T}^{d})$, $g=f$ на $E$, такую, что коэффициенты Фурье функций $g$ и $U$ по $d$-мерной тригонометрической системе совпадают по модулю.

Образец цитирования: М. Г. Григорян, С. В. Конягин, “О рядах Фурье по кратной тригонометрической системе”, УМН, 78:4(472) (2023), 201–202; Russian Math. Surveys, 78:4 (2023), 782–784

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{GriKon23}

\by М.~Г.~Григорян, С.~В.~Конягин

\paper О рядах Фурье по кратной тригонометрической системе

\jour УМН

\yr 2023

\vol 78

\issue 4(472)

\pages 201--202

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10112}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10112}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4687810}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023RuMaS..78..782G}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2023

\vol 78

\issue 4

\pages 782--784

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10112e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001146060800004}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85185691584}

Список литературы