Успехи математических наук
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS


УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти




Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация

Успехи математических наук, 2022, том 77, выпуск 6(468), страницы 109–136
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10085 (Mi rm10085) 		 
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях)

Геометрия квазипериодических функций на плоскости

И. А. Дынниковa, А. Я. Мальцевb, С. П. Новиковab

a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
b Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук
PDF полного текста (2308 kB) PDF английской версии (2276 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (3)
Список литературы:
PDF
HTML
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10085
Аннотация: Статья включает обзор последних результатов, полученных при исследовании задачи Новикова об описании геометрии линий уровня квазипериодических функций на плоскости. Большая часть работы посвящена случаю трех квазипериодов, играющему важную роль в теории транспортных явлений в металлах. В этой части, наряду с ранее известными результатами, приведен ряд новых утверждений, существенно уточняющих общее описание возникающей в этом случае картины. Сформулированы также новые утверждения для случая функций с числом квазипериодов, большим трех, открывающие подходы к дальнейшему исследованию задачи Новикова в наиболее общей постановке. Обсуждается также роль задачи Новикова в различных областях математической и теоретической физики.
Библиография: 60 названий.
Ключевые слова: квазипериодическая функция, поверхность Ферми, зона устойчивости, угловая диаграмма.
Поступила в редакцию: 07.11.2022
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 6, Pages 1061–1085
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10085e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.938.5
MSC: 53A05, 57M50, 74F15

К 60-летию Искандера Тайманова

1. Введение

Теория квазипериодических функций берет свое начало в работах Г. Бора и А. С. Безиковича [1], [2] и играет важнейшую роль при описании огромного разнообразия явлений в самых разных областях теоретической и прикладной науки. Как правило, квазипериодической функцией $f(x^{1},\dots,x^{n})$ в пространстве $\mathbb{R}^{n}$ с $N$ квазипериодами называется ограничение “достаточно хорошей” (например, гладкой) $N$-периодической функции $F(z^{1},\dots,z^{N})$ на образ пространства $\mathbb R^n$ при некотором аффинном вложении $\iota\colon\mathbb{R}^{n} \hookrightarrow \mathbb{R}^{N}$, т. е. $f=F\circ\iota$. В случае вложения $\iota$ общего положения функция $f(x^{1},\dots,x^{n})$ не имеет точных периодов в $\mathbb{R}^{n}$. Такие периоды имеют место, когда пересечение подпространства $\iota(\mathbb R^n)$ с решеткой $\mathbb Z^N$ непусто. Может также оказаться, что образ $\iota(\mathbb R^n)$ содержится в нетривиальном подпространстве целочисленного направления. В этом случае число квазипериодов функции $f$ будет меньше $N$.

В данной работе для нас будут важны как случаи общего положения, так и специальные случаи квазипериодических функций, отвечающих вложениям $\iota\colon\mathbb{R}^{n}\hookrightarrow\mathbb{R}^{N}$ различных типов.

Хорошо известно, что теория квазипериодических функций является чрезвычайно важной при описании квазикристаллов. В этом случае физически важными случаями являются $n=2$ и $n=3$, а $N$ чаще всего равно $2n$. Кроме того, теория квазипериодических функций лежит в основе описания решений интегрируемых динамических систем (как конечно-, так и бесконечномерных).

В данном обзоре мы рассмотрим качественные вопросы геометрии квазипериодических функций на плоскости. Под этим мы понимаем глобальное поведение их линий уровня $f(x,y)=\mathrm{const}$, играющее весьма важную роль при описании большого числа физических явлений. Задача качественного описания геометрии линий уровня квазипериодических функций на плоскости (задача Новикова) является весьма нетривиальной, и ее сложность быстро растет с увеличением числа квазипериодов. Здесь мы постараемся дать обзор самых последних результатов, полученных в этой области.

Наиболее фундаментальной с точки зрения физических приложений является задача Новикова для функций с тремя квазипериодами. Эта задача была впервые поставлена в работе [3] и может рассматриваться также как задача качественного описания геометрии пересечений произвольной двумерной периодической поверхности в $\mathbb{R}^{3}$ семейством плоскостей заданного направления (рис. 1).

В такой постановке задача Новикова имеет самое прямое отношение к описанию гальваномагнитных явлений в металлах в постоянном однородном магнитном поле при низкой температуре. Роль периодической поверхности здесь играет поверхность Ферми в пространстве квазиимпульсов. Пересечения поверхности Ферми с плоскостями, ортогональными магнитному полю, определяют геометрию квазиклассических электронных траекторий в этом пространстве, а соответствующие квазипериодические функции $f(x,y)$ даются ограничениями периодического (трехмерного) дисперсионного соотношения $\epsilon(\mathbf p)$ на эти плоскости. Как до этого было показано на ряде важных примеров (см. [4]–[7]), поведение транспортных явлений (магнитопроводимости) в металле в пределе сильных магнитных полей самым существенным образом зависит от геометрии описанных траекторий, что позволяет проводить экспериментальное их изучение. Наиболее интересные магнитные транспортные явления связаны в этом случае с присутствием незамкнутых (открытых) электронных траекторий на поверхности Ферми, поэтому именно классификация открытых линий уровня соответствующих функций $f(x,y)$ является наиболее важной.

Задача Новикова для случая трех квазипериодов к настоящему моменту изучена наиболее глубоко (см. [8]–[14]). В частности, дана качественная классификация открытых линий уровня функций $f(x,y)$, устанавливающая их разделение на топологически регулярные [8], [9], [11] и хаотические [10], [12], [13]. Детальное исследование топологически регулярных линий уровня позволило при этом ввести связанные с ними нетривиальные топологические характеристики, не известные до этого. Такие характеристики имеют вид несократимых целочисленных троек $(m^{1},m^{2},m^{3})$ и определяются для каждого устойчивого семейства топологически регулярных линий уровня (траекторий). В работах [15], [16] данные характеристики были определены как новые топологические числа, наблюдаемые в проводимости нормальных металлов с достаточно сложными поверхностями Ферми.

Что касается хаотических линий уровня функций $f(x,y)$ с тремя квазипериодами, их существование не было известно до работ [10], [12], [13]. Все такие линии уровня являются неустойчивыми по отношению к малым вариациям параметров задачи, а их геометрия весьма сложна.

Хаотические линии уровня можно разделить на два основных типа – траектории типа Царева и траектории типа Дынникова. Описание глобального поведения траекторий во втором из этих случаев является наиболее трудным, а появление таких траекторий на поверхности Ферми приводит к наиболее нетривиальным режимам поведения магнитопроводимости в сильных магнитных полях [17], [18], не рассматривавшимся до этого.

Изучение хаотических линий уровня функций с тремя квазипериодами активно продолжается с момента их открытия (см., например, [19]–[36]). В настоящей статье мы постараемся, в частности, дать наиболее подробное описание современного состояния данной области.

Теория гальваномагнитных явлений в металлах, однако, не является единственной областью физических приложений общей задачи Новикова. Естественно, что многочисленные приложения теории квазипериодических функций на плоскости возникают также в физике двумерных систем (см., например, [37]–[42]). Как правило, квазипериодические функции $f(x,y)$ играют в них роль потенциалов, в которых наблюдается динамика частиц, локализованных в размерности 2. Приложения задачи Новикова связаны здесь в первую очередь с описанием транспортных явлений в таких системах (как в присутствии магнитного поля, так и без него). При описании таких явлений главную роль может играть как геометрия линий уровня потенциалов $f(x,y)$ (см., например, [38]), так и геометрия областей $f(x,y) \leqslant \epsilon_{0}$ (см. [42]), которая связана с геометрией линий уровня самым непосредственным образом.

Исследование задачи Новикова имеет, помимо чисто прикладного, еще и важное общетеоретическое значение. А именно, квазипериодические потенциалы на плоскости с достаточно большим числом квазипериодов могут рассматриваться в качестве переходного звена между “упорядоченными” и случайными потенциалами, обладая свойствами потенциалов обоих типов. Для описания случайных потенциалов используются разнообразные модели, которые могут отличаться друг от друга по целому ряду свойств. Некоторые из признаков случайных потенциалов, однако, обычно считаются универсальными и связанными с поведением именно линий уровня потенциала. В частности, случайные потенциалы характеризуются наличием открытых линий уровня лишь на одном уровне энергии $V(x,y)=\epsilon_{0}$, в то время как при других энергиях все линии уровня являются замкнутыми кривыми (см., например, [43]–[46]). Открытые линии уровня случайных потенциалов обладают, как правило, довольно сложной геометрией, блуждая по плоскости хаотическим образом.

Рассматривая задачу Новикова с точки зрения моделей случайных потенциалов, уже в случае трех квазипериодов можно наблюдать как богатые семейства “регулярных” потенциалов (имеющие топологически регулярные открытые линии уровня в конечном энергетическом интервале), так и нетривиальные примеры “случайных” потенциалов (имеющих хаотические линии уровня, присутствующие лишь на одном уровне энергии).

Экспериментальные методики, как правило, позволяют создавать семейства квазипериодических потенциалов с заданным числом квазипериодов, зависящие от конечного числа параметров $\mathbf U=(U^{1},\dots,U^{N})$. В большинстве таких случаев результаты исследования задачи Новикова с тремя квазипериодами приводят к универсальному (хотя достаточно нетривиальному) описанию множеств “регулярных” и “случайных” потенциалов внутри полного семейства $V(x,y,\mathbf U)$.

А именно, пространство параметров содержит всюду плотное множество, состоящее из областей с кусочно гладкими границами, каждая из которых представляет собой “зону устойчивости” и отвечает потенциалам с топологически регулярными линиями уровня. Каждая из зон устойчивости определяется при этом своими собственными значениями топологических инвариантов $(m^{1},m^{2},m^{3})$. Дополнение к объединению всех зон устойчивости в пространстве параметров $\mathbf U$ представляет собой множество фрактального типа и параметризует потенциалы с хаотическими линиями уровня. Именно это множество можно в данном случае рассматривать в качестве реализации модели квазипериодических потенциалов со свойствами случайных потенциалов.

Как показывает исследование задачи Новикова с четырьмя квазипериодами [47], [48], здесь также возникает естественное разделение множества потенциалов на подмножества потенциалов с топологически регулярными и хаотическими открытыми линиями уровня. Как и в случае трех квазипериодов, с топологически регулярными открытыми линиями уровня связаны топологические инварианты, которые теперь имеют вид несократимых целочисленных четверок $(m^{1},m^{2},m^{3},m^{4})$.

Как следует из результатов работ [47], [48], гладкие семейства квазипериодических потенциалов $V(x,y,\mathbf U)$ с четырьмя квазипериодами должны в общем случае также содержать всюду плотное множество, являющееся объединением зон устойчивости и параметризующее потенциалы с топологически регулярными линиями уровня, а также фрактальное дополнение к этому множеству, параметризующее потенциалы с хаотическими линиями уровня. Вопрос о том, присутствуют ли хаотические линии уровня в некотором невырожденном интервале энергий или лишь на единственном энергетическом уровне, для потенциалов с четырьмя квазипериодами остается пока открытым. Отметим, что именно потенциалы с четырьмя квазипериодами имеют наиболее тесную связь с теорией двумерных квазикристаллов, о которой мы уже упоминали выше.

Что касается функций с большим числом квазипериодов, на настоящий момент строгие результаты общего характера для них практически отсутствуют. Для любого числа квазипериодов нетрудно построить функции, имеющие устойчивые топологически регулярные линии уровня. Однако вопрос о том, будут ли они всюду плотны в гладких семействах квазипериодических потенциалов $V(x,y,\mathbf U)$ при $N>4$, пока остается открытым. Также на данный момент нет строгих результатов по описанию хаотических линий уровня таких потенциалов. В настоящей статье мы опишем возникающую здесь ситуацию с помощью ряда примеров, а также сформулируем и докажем ряд общих утверждений о линиях уровня функций с произвольным числом квазипериодов.

2. Задача Новикова в случае трех квазипериодов и угловые диаграммы магнитопроводимости в металлах

В данном разделе мы подробно остановимся на задаче Новикова с тремя квазипериодами и ее главном приложении – описании гальваномагнитных явлений в металлах в присутствии сильных магнитных полей. Многие ключевые следствия результатов исследования задачи Новикова для теории гальваномагнитных явлений были выявлены и изложены в ряде работ уже некоторое время назад (см., например, [15]–[17], [49]–[51]). После этого, однако, был выявлен ряд новых важных аспектов, существенно дополняющих общую картину как в части строгих математических результатов, так и в области приложений.

В описываемой постановке роль периодической функции в объемлющем пространстве играет дисперсионное соотношение $\epsilon(\mathbf p)$, определенное в пространстве квазиимпульсов $\mathbf p=(p_{1},p_{2},p_{3})$. Функция $\epsilon (\mathbf p)$ периодична по отношению к обратной решетке, базисные векторы $\mathbf a_{1}$, $\mathbf a_{2}$, $\mathbf a_{3}$ которой связаны с базисом кристаллической решетки ($\mathbf l_{1},\mathbf l_{2},\mathbf l_{3}$) соотношениями

$$ \begin{equation*} \mathbf a_{1}=2 \pi \hbar\,\frac{\mathbf l_{2} \times \mathbf l_{3}} {(\mathbf l_{1}, \mathbf l_{2}, \mathbf l_{3})}\,, \quad \mathbf a_{2}=2 \pi \hbar\,\frac{\mathbf l_{3} \times \mathbf l_{1}} {(\mathbf l_{1}, \mathbf l_{2}, \mathbf l_{3})}\,, \quad \mathbf a_{3}=2 \pi \hbar\,\frac{\mathbf l_{1} \times \mathbf l_{2}} {(\mathbf l_{1}, \mathbf l_{2}, \mathbf l_{3})}\,. \end{equation*} \notag $$

В присутствии внешнего магнитного поля в пространстве квазиимпульсов возникает нетривиальная квазиклассическая динамика электронных состояний, определяемая системой

$$ \begin{equation} \dot{\mathbf p}=\frac{e}{c}[\mathbf v_{\mathrm{gr}} \times \mathbf B ]= \frac{e}{c}[\nabla \epsilon (\mathbf p) \times \mathbf B], \end{equation} \tag{2.1} $$
(см., например, [7], [52]–[54]).

Геометрически траектории системы (2.1) задаются пересечениями поверхностей постоянной энергии $\epsilon (\mathbf p)=\mathrm{const}$ плоскостями, ортогональными магнитному полю, или, другими словами, линиями уровня функции $\epsilon(\mathbf p)$, ограниченной на такие плоскости. При заданном дисперсионном соотношении $\epsilon(\mathbf p)$ у нас, таким образом, возникает семейство квазипериодических функций на плоскости, параметры которого задаются направлением магнитного поля $\mathbf B$ и сдвигом плоскости относительно начала координат. (При этом для интересующих нас вопросов сдвиг не играет роли в случае направления $\mathbf B$ общего положения.)

Многие наши результаты формулируются для функций общего положения. Это означает принадлежность функции к некоторому фиксированному открытому всюду плотному подмножеству в пространстве всех гладких функций.

Траектории системы (2.1) могут, разумеется, быть как замкнутыми, так и открытыми в $\mathbf p$-пространстве. Следующее свойство замкнутых траекторий является специфическим для линий уровня квазипериодических функций с тремя квазипериодами.

Лемма 2.1 [11]. При любых фиксированных направлении вектора $\mathbf B$ и значении энергии $\epsilon(\mathbf p)=\epsilon_0$ диаметры всех замкнутых траекторий системы (2.1) в $\mathbf p$-пространстве ограничены одной константой (зависящей от $\mathbf B$ и $\epsilon_0$).

Значение соответствующей константы, однако, может зависеть от направления $\mathbf B$ и от $\epsilon_{0}$, становясь сколь угодно большим при изменении этих параметров. Как мы уже говорили, нам будут интересны явления, связанные с наличием незамкнутых траекторий системы (2.1).

Вклад в магнитопроводимость дают траектории во всех плоскостях, ортогональных магнитному полю. Однако если направление магнитного поля $\mathbf B$ не пропорционально целочисленному (т. е. вектору прямой решетки), то образ любой плоскости, ортогональной $\mathbf B$, всюду плотен в торе $\mathbb T^3=\mathbb R^3/\mathbb Z^3$, поэтому в разных плоскостях, ортогональных $\mathbf B$, линии уровня ограничения дисперсионного соотношения $\epsilon$ ведут себя схожим образом.

Мы разделяем открытые траектории на два типа, топологически регулярные и хаотические. Топологически регулярными называются открытые траектории, проекция которых в $\mathbb T^3$ содержится в некотором вложенном двумерном торе. К топологическим характеристикам такой траектории мы относим возможные классы гомологий, которые может иметь этот тор. (Если траектория не периодична, то этот класс гомологий определен однозначно с точностью до множителя.) Любая топологически регулярная траектория лежит в прямой полосе конечной ширины в некоторой плоскости, ортогональной $\mathbf B$, и проходит ее насквозь (см. далее рис. 4). Направление полосы определяется топологическими характеристиками траектории.

Не являющаяся топологически регулярной открытая траектория называется хаотической.

Лемма 2.2 [13]. Для любого фиксированного направления $\mathbf B$, не пропорционального целочисленному, все открытые траектории системы (2.1) во всех плоскостях, ортогональных $\mathbf B$, имеют один и тот же тип и топологические характеристики, которые не зависят также и от значения энергии $\epsilon_{0}$ (при условии, что на этом уровне не все траектории замкнуты).

Если же направление вектора $\mathbf B$ целочисленно, то открытые траектории системы (2.1) имеют сравнительно простое описание, а именно, они могут быть только периодическими.

Мы будем разделять направления $\mathbf B$ на рациональные (пропорциональные целочисленным), частично иррациональные (такие, что плоскость, ортогональная $\mathbf B$, содержит лишь один вектор обратной решетки с точностью до пропорциональности) и направления общего положения (плоскость, ортогональная $\mathbf B$, не содержит ненулевых векторов обратной решетки).

В рассматриваемой ситуации естественно ввести угловую диаграмму, показывающую зависимость типа открытых траекторий системы (2.1) от направления магнитного поля. Для простоты мы будем называть здесь открытыми траекториями не только незамкнутые неособые траектории системы (2.1), но и связные комплексы, состоящие из стационарных точек и соединяющих их сепаратрис, если они не ограничены в $\mathbf p$-пространстве (рис. 2). Аналогично, помимо замкнутых неособых траекторий системы (2.1), мы будем называть замкнутыми траекториями также связные комплексы, состоящие из стационарных точек и соединяющих их сепаратрис, ограниченные в $\mathbf p$-пространстве (рис. 3). При таком определении по-прежнему справедлива лемма 2.1, а также выполнено следующее утверждение.

Лемма 2.3 [13], [14]. При любом фиксированном направлении $\mathbf B$ множество значений энергии $\epsilon$, при которых система (2.1) имеет открытые траектории, представляет собой отрезок $[\epsilon_{1}(\mathbf B),\epsilon_{2}(\mathbf B)]$, который может вырождаться в единственную точку $\epsilon_{0}(\mathbf B)=\epsilon_{1}(\mathbf B)=\epsilon_{2}(\mathbf B)$.

Главной особенностью угловой диаграммы, описывающей открытые траектории системы (2.1), является наличие всюду плотного множества, являющегося объединением “зон устойчивости”, каждая из которых представляет собой область с кусочно гладкой границей на единичной сфере и включает в себя направления $\mathbf B$, отвечающие топологически регулярным открытым траекториям (см. [8], [9], [11], [13], [14]). А именно, верно следующее утверждение.

Теорема 2.4. Для каждого закона дисперсии $\epsilon$ общего положения на сфере $\mathbb S^2$ имеется всюду плотное множество, являющееся объединением не более чем счетного числа замкнутых областей $\Omega_\alpha$ со следующими свойствами:

Таким образом, при фиксированном направлении $\mathbf B\in\Omega_\alpha$ общего положения топологически регулярные траектории системы (2.1) (см. рис. 4) обладают одним и тем же средним направлением, которое задается пересечением плоскости, ортогональной $\mathbf B$, и некоторой целочисленной плоскости $\Gamma_{\alpha}$, одной и той же для заданной зоны устойчивости $\Omega_{\alpha}$. Эта плоскость ортогональна вектору

$$ \begin{equation*} \mathbf l_{\alpha}=m^{1}_{\alpha}\mathbf l_{1}+m^{2}_{\alpha}\mathbf l_{2}+ m^{3}_{\alpha}\mathbf l_{3} \end{equation*} \notag $$
кристаллической решетки.

В общем случае топологически регулярные открытые траектории (2.1) являются в некотором смысле квазипериодическими, однако в каждой зоне устойчивости $\Omega_\alpha$ содержится бесконечное множество направлений $\mathbf B$, для которых открытые траектории системы (2.1) периодичны. Это происходит всякий раз, когда пересечение плоскости, ортогональной $\mathbf B$, и плоскости $\Gamma_{\alpha}$ имеет рациональное направление в $\mathbf p$-пространстве.

Отметим, что топологически регулярные траектории естественно разделяются на устойчивые, неустойчивые и полуустойчивые. А именно, топологически регулярная траектория называется устойчивой, если для любой ее точки и любой открытой окрестности $V$ этой точки при любом достаточно малом возмущении закона дисперсии $\epsilon$, уровня энергии $\epsilon_0$ и направления магнитного поля $\mathbf B$ некоторая топологически регулярная траектория возмущенной системы пересекает $V$. Если сколь угодно малым возмущением системы можно добиться, чтобы через $V$ прошла устойчивая топологически регулярная траектория, то исходная траектория называется полуустойчивой. В остальных случаях топологически регулярные траектории называются неустойчивыми.

Замечательные свойства топологически регулярных открытых траекторий системы (2.1) позволили ввести в работах [15], [16] новые топологические характеристики, наблюдаемые в проводимости нормальных металлов всякий раз, когда на поверхности Ферми металла присутствуют устойчивые траектории такого типа. Возможность введения таких характеристик основана на особенностях вклада таких траекторий в тензор проводимости в пределе сильных магнитных полей, среди которых важнейшей является сильная анизотропия проводимости в плоскости, ортогональной $\mathbf B$. Измерение проводимости в этой плоскости позволяет при этом непосредственно измерить среднее направление открытых траекторий в $\mathbf p$-пространстве как направление наибольшего подавления проводимости в пределе $B \to \infty$. При наличии на поверхности Ферми открытых топологически регулярных траекторий, устойчивых по отношению к малым вращениям направления $\mathbf B$, измерение проводимости в сильных магнитных полях позволяет, таким образом, определить целочисленные инварианты $(m^{1}_{\alpha},m^{2}_{\alpha},m^{3}_{\alpha})$, отвечающие данному семейству открытых траекторий.

Как следует из [14], полные угловые диаграммы для периодических дисперсионных соотношений $\epsilon(\mathbf p)$ могут относиться лишь к одному из следующих двух типов.

На рис. 5 показан пример угловой диаграммы второго типа. Следующее утверждение, из которого и вытекает предыдущая теорема, описывает ключевое свойство таких диаграмм, а именно их структуру возле границы каждой зоны устойчивости.

Теорема 2.6. Пусть $\mathbf B$ – такая точка гладкости границы некоторой зоны устойчивости $\Omega_{\alpha}$, что все открытые траектории системы (2.1) периодичны. Тогда $\mathbf B$ принадлежит также границе другой зоны $\Omega_{\beta}$, причем $\partial\Omega_\beta$ имеет в этой точке излом, и $\mathbf B$ является изолированной точкой пересечения зон $\Omega_\alpha$ и $\Omega_\beta$. Множество таких точек на границе каждой зоны устойчивости всюду плотно (см. рис. 6).

Нетрудно видеть, что наличие периодических траекторий системы (2.1) означает, что направление $\mathbf B$ ортогонально некоторому вектору обратной решетки – тому самому, при сдвиге на который траектории переходят в себя. Это означает, что $\mathbf B$ содержится в некоторой плоскости, порожденной двумя векторами прямой решетки. Если $\mathbf B\in\Omega_\alpha$, то в качестве одного из этих векторов можно взять соответствующий данной зоне устойчивости вектор $\mathbf l_\alpha$, так как среднее направление открытых траекторий ему ортогонально.

GRAPHIC

Рис. 7.Всюду плотные множества направлений $\mathbf B$ в зонах устойчивости, для которых система (2.1) имеет периодические открытые траектории, в случаях, когда зона не содержит (рис. (a)) и содержит (рис. (b)) вектор $\mathbf l_\alpha$

Таким образом, направления $\mathbf B\in\Omega_\alpha$, для которых система (2.1) имеет периодические траектории, образуют всюду плотное объединение дуг прямых (геодезических) на угловой диаграмме, проходящих через точку $\mathbf l_\alpha$ (см. рис. 7). Точки, в которых эти дуги пересекают край зоны $\partial\Omega_\alpha$, за исключением отдельных точек излома края, и есть точки примыкания других зон устойчивости. При этом если $\mathbf B\in\Omega_\alpha\cap\Omega_\beta$, то вектор $\mathbf B$ является линейной комбинацией векторов $\mathbf l_\alpha$ и $\mathbf l_\beta$, а соответствующая дуга геодезической, проходящей через $\mathbf l_\alpha$, продолжается из зоны $\Omega_\alpha$ в зону $\Omega_\beta$ (рис. 8).

Каких-либо иных общих результатов о геометрии индивидуальной зоны устойчивости нам не известно. Из рис. 5 видно, что зоны устойчивости не обязательно выпуклы. Более того, зоны устойчивости могут быть неодносвязными. Соответствующий пример можно построить следующим образом.

Пример 2.7. Пусть поверхность уровня дисперсионного закона устроена так, как показано на рис. 9. А именно, поверхность состоит из семейства параллельных плоскостей, соединенных тонкими изогнутыми трубками, причем каждая трубка содержится в малой окрестности некоторой плоскости, параллельной фиксированной плоскости $\Pi_0$, и симметрична относительно нее. Тогда каждое семейство параллельных плоскостей, образующих не слишком малый угол с $\Pi_0$, рассечет все эти трубки по замкнутым кривым. Из построений работ [11], [13] нетрудно получить, что в этом случае все незамкнутые компоненты сечений данной поверхности плоскостями из этого семейства будут топологически регулярными.

Таким образом, в этом случае все направления $\mathbf B$, не слишком близкие к нормали к плоскости $\Pi_0$, будут находиться в одной зоне устойчивости. В то же время можно показать, что всю сферу эта зона устойчивости не покроет.

Функции $\epsilon_1$ и $\epsilon_2$, введенные в лемме 2.3, вообще говоря, не обязаны быть непрерывными на всей сфере. Однако, как замечено в [14], они становятся непрерывными при сужении на множество полностью иррациональных направлений $\mathbf B$, совпадая на этом множестве с ограничением некоторых функций $\widetilde{\epsilon}_{1}(\mathbf B)$, $\widetilde{\epsilon}_{2}(\mathbf B)$, определенных и непрерывных на всей единичной сфере $\mathbb{S}^{2}$. Внутри зон устойчивости эти функции однозначно характеризуются также тем, что $(\widetilde\epsilon_1(\mathbf B),\widetilde\epsilon_2(\mathbf B))$ есть максимальный интервал значений энергии $\epsilon_0$, для которых система (2.1) имеет устойчивые топологически регулярные траектории.

Для рациональных и частично иррациональных направлений $\mathbf B$ значения $\epsilon_{s}(\mathbf B)$ и $\widetilde{\epsilon}_{s}(\mathbf B)$ могут не совпадать из-за наличия неустойчивых топологически регулярных траекторий на уровнях энергии вне интервала $(\widetilde\epsilon_1(\mathbf B),\widetilde\epsilon_2(\mathbf B))$. При этом всегда имеют место неравенства

$$ \begin{equation*} \epsilon_{1}(\mathbf B)\leqslant\widetilde{\epsilon}_{1}(\mathbf B)\leqslant \widetilde{\epsilon}_{2}(\mathbf B)\leqslant\epsilon_{2}(\mathbf B). \end{equation*} \notag $$

Внутренние точки областей устойчивости $\Omega_{\alpha}$ определяются соотношением $\widetilde{\epsilon}_{1}(\mathbf B) < \widetilde{\epsilon}_{2}(\mathbf B)$. Соотношение $\widetilde{\epsilon}_{1}(\mathbf B)=\widetilde{\epsilon}_{2}(\mathbf B)$ имеет место на границах зон устойчивости, а также в точках накопления бесконечного числа зон $\Omega_{\alpha}$ уменьшающихся размеров.

Здесь мы хотели бы описать структуру сложных угловых диаграмм еще несколько более подробно и указать ряд важных дополнительных особенностей таких диаграмм. Начнем с рассмотрения рациональных направлений магнитного поля, которые, в некотором смысле, занимают особое место на угловой диаграмме.

Как мы уже говорили, рациональные направления $\mathbf B$ отличаются от остальных направлений, в частности, тем, что для них картины траекторий в разных плоскостях, ортогональных $\mathbf B$, могут существенно отличаться друг от друга. Все неособые открытые траектории системы (2.1), а также открытые траектории в нашем обобщенном смысле являются при этом периодическими во всех таких плоскостях.

Для рациональных направлений $\mathbf B$ является типичным наличие на некоторых уровнях энергии в интервале $[\epsilon_{1}(\mathbf B),\epsilon_{2}(\mathbf B)]$ периодических стационарных точек и сепаратрис (рис. 2). Каждому такому комплексу мы припишем ранг – размерность подрешетки в $H_1(\mathbb T^3;\mathbb Z)$, порожденной всеми сепаратрисными циклами, входящими в образ этого комплекса при проекции в тор $\mathbb T^3=\mathbb R^3/\mathbb Z^3$. Например, у комплексов на рис. 2, (a)–(c), этот ранг равен единице, а у комплекса на рис. 2, (d), – двум. При фиксированном рациональном направлении $\mathbf B$ наличие таких комплексов рангов 0 и 1 является типичным, в то время как появление комплексов ранга 2 требует некоторых дополнительных условий (симметрийных, либо условий коразмерности 1). Как следует из результатов работ [11], [13], [14], если при заданном рациональном направлении $\mathbf B$ хотя бы для одного значения энергии

$$ \begin{equation*} \epsilon \in [\epsilon_{1}(\mathbf B),\epsilon_{2}(\mathbf B)] \end{equation*} \notag $$
во всех плоскостях, ортогональных $\mathbf B$, присутствуют лишь регулярные траектории и/или комплексы стационарных точек и сепаратрис ранга $\leqslant1$, то данное направление $\mathbf B$ лежит внутри некоторой зоны устойчивости $\Omega_{\alpha}$. Рациональные направления $\mathbf B$ такого типа естественно называть обычными рациональными направлениями.

Рациональные направления $\mathbf B$, для которых при любом значении $\epsilon$ из отрезка $[\epsilon_{1}(\mathbf B),\epsilon_{2}(\mathbf B)]$ хотя бы в одной плоскости, ортогональной $\mathbf B$, имеется комплекс стационарных точек и сепаратрис ранга 2, мы будем называть специальными рациональными направлениями.

Специальные рациональные направления $\mathbf B$ могут возникать в различных частях угловой диаграммы. Для примера предположим, что для некоторого рационального направления $\mathbf B$ в одной из плоскостей $\Pi$, ортогональных $\mathbf B$, имеется периодический комплекс из сепаратрис, изображенный на рис. 2, (d). Изображенный комплекс содержит, с точностью до сдвига на вектор обратной решетки, две седловые точки в $\mathbf p$-пространстве, соединенные сепаратрисами.

Предположим сначала, что градиенты функции $\epsilon(\mathbf p)$ в этих точках являются сонаправленными. Тогда при малых сдвигах рассматриваемой нами плоскости, не меняющих ее направления, изображенный комплекс распадается на замкнутые неособые траектории системы (2.1). При этом, однако, тип таких траекторий (электронный или дырочный) различен при сдвигах плоскости в противоположных направлениях.

Можно показать, что выбранное нами направление $\mathbf B$ лежит в этом случае внутри некоторой зоны устойчивости $\Omega_{\alpha}$, причем соответствующая плоскость $\Gamma_{\alpha}$ параллельна $\Pi$.

Описанная ситуация дает нам пример того, когда зона устойчивости $\Omega_{\alpha}$ содержит направление, ортогональное соответствующей плоскости $\Gamma_{\alpha}$. В этом случае плоскости, ортогональные $\mathbf B$, могут содержать периодические траектории различных направлений, периодические траектории одного заданного направления, либо не содержать регулярных периодических траекторий вообще. Различные возникающие при этом случаи, в частности, дают различные режимы поведения тензора проводимости в сильных магнитных полях (см., например, [16]).

Рассмотрим теперь ситуацию, когда градиенты $\epsilon (\mathbf p)$ в неэквивалентных седловых точках на рис. 2, (d), направлены противоположно друг другу. Тогда при малых сдвигах плоскости $\Pi$, не меняющих ее направления, изображенный комплекс распадается на периодические регулярные траектории системы (2.1), которые устойчивы по отношению к малым изменениям энергии $\epsilon$, а также малым вращениям направления $\mathbf B$ вокруг их среднего направления. Для близких частично иррациональных направлений $\mathbf B$, получаемых в результате таких вращений, существование ненулевого интервала $[\epsilon_{1}(\mathbf B),\epsilon_{2}(\mathbf B)]$ означает принадлежность такого направления некоторой зоне устойчивости $\Omega_{\alpha}$ либо ее границе. Можно видеть, таким образом, что если заданное направление $\mathbf B$ не принадлежит какой-либо зоне устойчивости либо ее границе, оно во всяком случае представляет точку накопления зон устойчивости на угловой диаграмме.

Приведенные выше рассуждения имеют, в действительности, общий характер, что позволяет заключить, что любое специальное рациональное направление $\mathbf B$ либо принадлежит некоторой зоне устойчивости (или ее границе), либо является точкой накопления зон устойчивости $\Omega_{\alpha}$ на угловой диаграмме (см. рис. 10). В частности, из приведенных нами рассуждений следует утверждение теоремы 2.4 о том, что объединение всех зон устойчивости $\Omega_{\alpha}$ является всюду плотным на единичной сфере $\mathbb{S}^{2}$.

Кроме специальных рациональных направлений $\mathbf B$ точками накопления зон устойчивости являются также направления $\mathbf B$, для которых открытые траектории системы (2.1) хаотичны. Как мы уже отмечали выше, при таком направлении магнитного поля $\mathbf B$ хаотические траектории присутствуют лишь на одном уровне энергии $\epsilon_{0}(\mathbf B)$.

Как мы также уже говорили, хаотические траектории системы (2.1) можно разделить на два основных типа: траектории типа Царева и траектории типа Дынникова. Первые могут возникать лишь для частично иррациональных направлений $\mathbf B$ и всегда имеют асимптотическое направление в $\mathbf p$-пространстве [10], [13]. В отличие от регулярных открытых траекторий, хаотические траектории типа Царева, вообще говоря, не ограничены прямыми полосами конечной ширины в плоскостях, ортогональных $\mathbf B$ (рис. 11). Вклад траекторий типа Царева в магнитопроводимость в целом сходен с вкладом топологически регулярных траекторий, хотя имеет и некоторые отличия.

Необходимым условием возникновения траекторий типа Царева является наличие на соответствующей поверхности уровня

$$ \begin{equation*} \epsilon (\mathbf p)=\epsilon_{0} \end{equation*} \notag $$
сепаратрисных циклов, негомологичных нулю в торе $\mathbb{T}^{3}$, см. рис. 12. Как следствие этого, соответствующее направление $\mathbf B$ должно быть ортогонально некоторому рациональному направлению в $\mathbf p$-пространстве, но само не быть рациональным. Таким образом, направления $\mathbf B$, для которых имеют место хаотические траектории типа Царева, естественно объединяются в семейства, каждое из которых содержится в некоторой дуге окружности большого радиуса, лежащей в некоторой целочисленной плоскости, и состоит из всех частично иррациональных точек этой дуги. Рациональные точки этих дуг могут быть при этом граничными точками зон устойчивости, а также точками накопления зон устойчивости (специальными рациональными направлениями $\mathbf B$), см. рис. 12.

Более сложным типом хаотических траекторий системы (2.1) являются траектории типа Дынникова [13]. Траектории этого типа отвечают явно выраженной хаотической динамике как в плоскостях, ортогональных $\mathbf B$ (рис. 13), так и на поверхности Ферми, рассматриваемой как компактная поверхность в $\mathbb T^3$. Следствием такой динамики является появление нетривиальных режимов поведения магнитопроводимости при наличии таких траекторий на поверхности Ферми [17], [18]. Среди этих режимов можно особо отметить подавление проводимости вдоль направления магнитного поля, а также появление дробных степеней величины $B$ в асимптотиках тензора проводимости. Согласно гипотезе С. П. Новикова [49], множество направлений $\mathbf B$, отвечающих хаотическим режимам (любого типа) для фиксированного дисперсионного закона общего положения имеет меру нуль и хаусдорфову размерность строго меньше 2 на угловой диаграмме. Эту гипотезу частично подтверждает следующее утверждение, доказанное в готовящейся к публикации работе И. Дынникова, П. Юбера, П. Мерка, О. Пари-Ромаскевич и А. Скрипченко.

Теорема 2.8. Для закона дисперсии $\epsilon$ общего положения, обладающего центральной симметрией, $\epsilon(\mathbf p)=\epsilon(-\mathbf p)$, и такого, что все поверхности уровня, рассматриваемые в $\mathbb T^3$, имеют род не выше 3, множество направлений магнитного поля $\mathbf B$, приводящих к хаотическим режимам, имеет меру нуль.

Исследование хаотических траекторий типа Дынникова активно продолжается и в настоящее время, ниже мы опишем ряд самых последних результатов, полученных в этой области.

Теорема 2.9 [29]. Пусть поверхность $\epsilon(\mathbf p)=\epsilon_0$ и магнитное поле $\mathbf B$ таковы, что траектории системы (2.1) хаотичны, причем направление $\mathbf B$ полностью иррационально. Тогда почти во всех плоскостях, ортогональных $\mathbf B$, число открытых траекторий одинаково и равно единице, двум или бесконечности.

Легче всего построить примеры, для которых почти в каждой плоскости, ортогональной $\mathbf B$, будет ровно одна хаотическая траектория. Например, все “самоподобные” примеры (см. [32]) в случае поверхности рода 3 таковы.

В работах [33], [34] строятся примеры хаотических режимов в задаче Новикова, для которых каждая плоскость, ортогональная $\mathbf B$, содержит бесконечное число открытых траекторий, причем эти траектории обладают асимптотическим направлением, но не содержатся в полосах конечной ширины. Данный эффект связан с отсутствием строгой эргодичности соответствующего слоения на компактной поверхности уровня $\epsilon=\epsilon_0$ в $\mathbb T^3$ и требует очень специального выбора параметров системы. По всей видимости, среди хаотических режимов в задаче Новикова такая ситуация нетипична.

Примеров, в которых почти каждая плоскость, ортогональная $\mathbf B$, содержала бы ровно две хаотические траектории, на данный момент не известно. Известно лишь, что их не существует в случае рода 3 (см. [29].

При рассмотрении гальваномагнитных явлений в металлах мы должны учитывать лишь траектории системы (2.1), лежащие на уровне Ферми. Соответственно, естественно ввести угловые диаграммы, показывающие зависимость наличия открытых траекторий на поверхности Ферми $\epsilon (\mathbf p)=\epsilon_{\mathrm F}$, а также их типа от направления магнитного поля. Такие диаграммы, конечно, беднее диаграмм для полного дисперсионного соотношения и содержат целые области, состоящие из направлений $\mathbf B$, для которых все траектории на уровне Ферми замкнуты (см., например, рис. 14). Зоны устойчивости на них определяются как замыкания связных компонент множества направлений $\mathbf B$, для которых система (2.1) имеет на уровне $\epsilon=\epsilon_F$ устойчивые топологически регулярные открытые траектории.

Каждая зона устойчивости $\Omega^{*}_{\alpha}$ на таких диаграммах, как и ранее, представляет собой область с кусочно гладкой границей на единичной сфере. Она характеризуется значениями топологических инвариантов $(m^{1}_{\alpha},m^{2}_{\alpha},m^{3}_{\alpha})$ и является подобластью соответствующей зоны $\Omega_{\alpha}$, определенной для всего дисперсионного соотношения.

Если, однако, говорить о полном семействе открытых траекторий на поверхности Ферми, связанном с заданной зоной устойчивости $\Omega_{\alpha}$, то соответствующее множество направлений $\mathbf B$ на угловой диаграмме выходит за пределы зоны $\Omega^*_\alpha$. Причиной этого служит наличие неустойчивых периодических траекторий для некоторых частично иррациональных направлений $\mathbf B$, расположенных вблизи границ каждой из зон $\Omega^{*}_{\alpha}$. Такие направления образуют продолжения дуг частично иррациональных направлений $\mathbf B$, отвечающих наличию устойчивых периодических траекторий в зоне $\Omega^{*}_{\alpha}$, за границы этой зоны (рис. 15). Примыкающие сегменты образуют всюду плотное множество на границе зоны устойчивости, при этом их длина стремится к нулю с ростом периода соответствующих траекторий.

Как было показано в [58], такая структура приводит к довольно сложным аналитическим свойствам тензора магнитопроводимости как внутри зон $\Omega^{*}_{\alpha}$, так и вблизи их границ. Как при этом было отмечено в [59], для экспериментального определения точных границ зон $\Omega^{*}_{\alpha}$, возможно, лучше использовать методы, отличные от прямых измерений проводимости в сильных магнитных полях.

Конечно, угловые диаграммы для конкретных поверхностей Ферми могут быть и очень простыми. Например, они могут целиком состоять из направлений $\mathbf B$, для которых все траектории системы (2.1) замкнуты, или же допускать для некоторых $\mathbf B$ лишь неустойчивые периодические траектории (рис. 16).

Определенные ограничения на структуру угловой диаграммы накладывает топология поверхности Ферми и ее вложения в тор $\mathbb T^3$. Важную роль здесь играет такая ее характеристика, как размерность образа ее одномерных гомологий в одномерных гомологиях тора $\mathbb{T}^{3}$

$$ \begin{equation*} H_{1}(S_{\mathrm F}) \to H_{1}(\mathbb{T}^{3}), \end{equation*} \notag $$
которую мы называем топологическим рангом поверхности Ферми. Он, очевидно, может принимать значения 0, 1, 2 и 3. Угловые диаграммы, содержащие зоны устойчивости могут возникать лишь для поверхностей Ферми топологического ранга 2 и выше, а более одной зоны устойчивости может быть, только если топологический ранг равен 3. Заметим, что поверхности Ферми ранга 3 должны обладать родом $g \geqslant 3$.

Что касается присутствия на угловых диаграммах поверхностей Ферми направлений $\mathbf B$, не входящих ни в одну из зон устойчивости, но являющихся предельными точками объединения зон устойчивости, то такая ситуация возможна, лишь когда диаграмма всего закона дисперсии содержит бесконечное число зон устойчивости. Такие направления $\mathbf B$ будем называть особыми для данной поверхности Ферми. Как было отмечено в [60], наличие особых направлений требует, чтобы энергия Ферми $\epsilon_{\mathrm F}$ попала в достаточно узкий энергетический интервал, определяемый дисперсионным соотношением $\epsilon(\mathbf p)$.

А именно, рассмотрим некоторую фиксированную периодическую функцию (дисперсионное соотношение) $\epsilon(\mathbf p)$, принимающую значения в некотором интервале

$$ \begin{equation*} \epsilon_{\min} \leqslant \epsilon (\mathbf p)\leqslant \epsilon_{\max}. \end{equation*} \notag $$

Легко видеть, что для значений $\epsilon_{\mathrm F}$, близких к $\epsilon_{\min}$ или $\epsilon_{\max}$, поверхности Ферми будут весьма простыми, а отвечающие им угловые диаграммы – тривиальными (все траектории системы (2.1) замкнуты). При этом можно ввести значения $\epsilon^{\mathcal A}_{1}$, $\epsilon^{\mathcal A}_{2}$,

$$ \begin{equation*} \epsilon_{\min}<\epsilon^{\mathcal A}_{1}< \epsilon^{\mathcal A}_{2}<\epsilon_{\max}, \end{equation*} \notag $$
такие, что для значений энергии Ферми $\epsilon_{\mathrm F}$, лежащих в интервале $(\epsilon^{\mathcal A}_{1},\epsilon^{\mathcal A}_{2})$, соответствующие угловые диаграммы будут содержать зоны устойчивости.

Возникающие при этом угловые диаграммы, в свою очередь, можно также разбить на два класса (диаграммы типа A и диаграммы типа B), отличающиеся качественным образом. А именно:

1) диаграммы типа A общего положения содержат лишь конечное число зон устойчивости, при этом везде в области, отвечающей наличию лишь замкнутых траекторий на поверхности Ферми, соответствующая холловская (поперечная) проводимость имеет один и тот же тип (электронный или дырочный) (рис. 17, (a));

2) диаграммы типа B общего положения содержат бесконечное число зон устойчивости, при этом в области, отвечающей наличию лишь замкнутых траекторий на поверхности Ферми, имеются как участки, отвечающие электронной холловской проводимости, так и участки, отвечающие дырочной холловской проводимости (рис. 17, (b)).

Для дисперсионных соотношений общего положения при этом можно определить конечный интервал энергий $(\epsilon^{\mathcal B}_{1},\epsilon^{\mathcal B}_{2})$,

$$ \begin{equation*} \epsilon^{\mathcal A}_{1} <\epsilon^{\mathcal B}_{1} < \epsilon^{\mathcal B}_{2} <\epsilon^{\mathcal A}_{2}, \end{equation*} \notag $$
такой, что для всех значений $\epsilon_{\mathrm F}$ из этого интервала соответствующие угловые диаграммы имеют тип B, в то время как значения $\epsilon_{\mathrm F}$ из интервалов $(\epsilon^{\mathcal A}_{1},\epsilon^{\mathcal B}_{1})$ и $(\epsilon^{\mathcal B}_{2},\epsilon^{\mathcal A}_{2})$ отвечают угловым диаграммам типа A.

Диаграммы типа A общего положения не содержат особых направлений. Напротив, диаграммы типа B общего положения должны их содержать. Отметим здесь также, что, поскольку уровни Ферми, для которых могут возникать особые рациональные направления $\mathbf B$, имеют меру нуль, для значений $\epsilon_{\mathrm F}$ общего положения из интервала $(\epsilon^{\mathcal B}_{1},\epsilon^{\mathcal B}_{2})$ особые направления $\mathbf B$ будут отвечать появлению хаотических траекторий типа Царева или Дынникова.

В работе [14] показано, что мера множества направлений $\mathbf B$, отвечающих наличию хаотических траекторий на поверхности Ферми общего положения, равна нулю. Согласно гипотезе С. П. Новикова [50], [51], хаусдорфова размерность этого множества для поверхностей общего положения строго меньше 1.

В заключение отметим, что, по-видимому, величина интервала $(\epsilon^{\mathcal B}_{1},\epsilon^{\mathcal B}_{2})$ для реальных дисперсионных соотношений довольно невелика, что, возможно, объясняет отсутствие на данный момент четких экспериментальных свидетельств о наблюдении хаотических траекторий системы (2.1) в экспериментах с реальными проводниками. Также возможно, конечно, что незнакомство с траекториями такого типа до самого последнего времени не позволило соответствующим образом интерпретировать данные некоторых экспериментов. Мы, однако, надеемся, что траектории такого типа, а также соответствующие им режимы поведения магнитопроводимости будут, во всяком случае, обнаружены в будущем на подходящих классах проводников среди огромного множества получаемых в настоящее время новых материалов.

3. Общая задача Новикова. Постановка и результаты

Как мы уже сказали во введении, общая задача Новикова заключается в описании геометрии открытых линий уровня квазипериодических функций на плоскости с произвольным числом квазипериодов. Одна из наиболее естественных постановок заключается при этом в описании линий уровня семейства функций, получаемых ограничением заданной $N$-периодической функции $F$ общего положения в пространстве $\mathbb{R}^{N}$ при всевозможных аффинных вложениях $\iota\colon\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{N}$. Интересующие нас глобальные свойства линий уровня зависят, в первую очередь, от направления плоскости $\iota(\mathbb R^2)$, которое является точкой многообразия Грассмана $G_{N,2}$, и могут зависеть также от параметров сдвига. Замена аффинных координат в $\mathbb R^2$ не играет для нас роли.

Наиболее существенным результатом в задаче Новикова при $N>3$ является следующее утверждение.

Теорема 3.1 [47], [48]. Существуют открытое всюду плотное подмножество $S \subset C^{\infty} (\mathbb{T}^{4})$ 4-периодических функций $F$ и открытое всюду плотное подмножество $X_{F} \subset G_{4,2}$, зависящее от $F$, такие, что для любого $\xi \in X_{F}$ любая линия уровня ограничения функции $F$ на любую двумерную плоскость направления $\xi$ в $\mathbb R^4$ содержится в полосе конечной ширины. Ширины этих полос, а также диаметры компактных линий уровня ограничены сверху одной константой, зависящей лишь от пары $(F,\xi)$, а любая открытая неособая линия уровня проходит соответствующую полосу насквозь (рис. 4). Направления полос, содержащих открытые линии уровня, ортогональны некоторому целочисленному вектору $(m^1,m^2,m^3,m^4)$, который является локально постоянной функцией от $(F,\xi)$.

Легко видеть, что ситуация устойчивого “топологически регулярного” поведения линий уровня квазипериодической функции на плоскости возможна для любого числа квазипериодов. Например, она будет иметь место, если в качестве соответствующей $N$-периодической функции в $\mathbb R^N$ взять малое возмущение периодической функции, зависящей лишь от одной координаты. Таким образом, для семейства квазипериодических функций, полученных ограничениями на всевозможные плоскости фиксированной $N$-периодической функции, также можно определить зоны устойчивости, которые будут открытыми областями в $G_{N,2}$. Надо отметить, однако, что с ростом числа квазипериодов форма топологически регулярных линий уровня часто усложняется, приближаясь к хаотическому поведению на конечных масштабах. В целом, с увеличением числа квазипериодов задача Новикова все более приближается к задаче о случайных потенциалах в двумерной плоскости.

Ниже мы приведем ряд топологических результатов, относящихся к задаче Новикова с произвольным числом квазипериодов, которые обобщают известные ранее утверждения для случая $N=3$.

Лемма 3.2. Пусть $F(z^{1},\dots,z^{N})$ есть $N$-периодическая функция по отношению к некоторой целочисленной решетке в $ \mathbb{R}^{N} $, и пусть $\xi\in G_{N,2}$ и $c\in\mathbb R$ таковы, что для любой двумерной аффинной плоскости $\Pi$ направления $\xi$ все линии уровня $F\big|_\Pi=c$ компактны. Тогда диаметры всех этих линий уровня ограничены сверху одной константой, общей для всех плоскостей направления $\xi$.

Данный факт следует из компактности образа поверхности $F=c$ в торе $\mathbb T^N$: каждую компактную линию уровня (как особую, так и неособую) можно окружить окрестностью конечного диаметра такой, что любые другие линии уровня $F=c$ в параллельных плоскостях, пересекающие эту окрестность, целиком в ней лежат. Из таких окрестностей можно выбрать конечное число так, чтобы их образы покрывали весь образ поверхности $F=c$ в торе $\mathbb T^N$.

Отметим, что в случае $N=3$ предположение о компактности всех линий уровня $F=c$ во всех плоскостях данного направления не требуется (см. лемму 2.1).

Теорема 3.3. Пусть $F(z^{1},\dots,z^{N})$ есть $N$-периодическая функция, а $\xi\in G_{N,2}$ – фиксированное направление двумерных плоскостей в $\mathbb R^N$. Тогда множество значений $c\in\mathbb R$ таких, что для некоторой плоскости $\Pi$ направления $\xi$ множество уровня $F\big|_\Pi=c$ имеет неограниченные компоненты, образует замкнутый отрезок $[c_1,c_2]$ или состоит из одной-единственной точки $c_0$.

Доказательство в целом повторяет доказательство аналогичного утверждения для случая $N=3$, данное в [13], [14]. Отметим, что от случая $N=3$ снова имеется отличие, состоящее в том, что мы рассматриваем всю совокупность плоскостей одного направления одновременно, в то время как в случае трех квазипериодов утверждение было верно для каждой индивидуальной плоскости данного направления. В случае большего чем три числа квазипериодов мы не исключаем ситуации, когда в некоторых плоскостях $\Pi$ направления $\xi$ все линии уровня $F\big|_\Pi=c\in[c_1,c_2]$ будут компактными, но при этом их диаметры не ограничены сверху.

Теорема 3.4. Пусть $F(z^{1},\dots,z^{N})$ есть $N$-периодическая функция, а $\xi\in G_{N,2}$ – фиксированное направление двумерных плоскостей, содержащее ровно один, с точностью до множителя, ненулевой целочисленный вектор. Тогда во всех плоскостях $\Pi$ направления $\xi$ верно следующее:

Доказательство первой части следует доказательству аналогичного утверждения для $N=3$, приведенному в [13; § 6]. Теперь в качестве $\gamma$ мы возьмем путь в $\mathbb R^N$, целиком лежащий в некоторой плоскости направления $\xi$ и такой, что конечная точка пути $\gamma$ получается из начальной сдвигом на $\mathbf w$, где $\mathbf w$ – несократимый ненулевой целочисленный вектор, параллельный $\xi$. Среди всех таких путей выберем тот, что имеет наименьшее число точек пересечения с поверхностью $F=c$. Далее в ортогональном дополнении $\xi^\perp$ выберем малую окрестность нуля $W$ так, что при сдвиге $\gamma$ на векторы из $W$ число точек пересечения с поверхностью $F=c$ не увеличивается. Объединение $\Gamma$ всех сдвигов $\gamma$ на всевозможные векторы вида $\mathbf u+\mathbf v$, где $\mathbf u\in W$, $\mathbf v\in\mathbb Z^N$, разрежет каждую плоскость направления $\xi$ на полосы конечного числа типов, чередующихся “квазипериодически”, причем в каждой полосе картина линий уровня периодична. Далее рассуждение не отличается от случая $N=3$.

Второе и третье утверждения теоремы доказываются с помощью той же конструкции. Компактные линии уровня $F=c$ в плоскостях направления $\xi$ не пересекают $\Gamma$, а значит, содержатся в полосах ограниченной ширины, в которых картина линий пересечения инвариантна относительно сдвига на вектор $\mathbf w$. Это влечет существование общего ограничения сверху для диаметров этих линий уровня.

Наличие непериодических неограниченных линий уровня $F=c$ в любой из плоскостей направления $\xi$ равносильно тому, что пересечение поверхности $F=c$ c $\Gamma$ непусто. Отсюда следует третье утверждение теоремы.

Отметим, что, как и в случае $N=3$, наличие асимптотического направления линий уровня в последней теореме не означает, что эти линии уровня лежат в полосе конечной ширины.

Список литературы
1. H. Bohr, “Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. III. Dirichletentwicklung analytischer Funktionen”, Acta Math., 47:3 (1926), 237–281  crossref  mathscinet  zmath
2. A. S. Besicovitch, “On generalized almost periodic functions”, Proc. London Math. Soc. (2), 25:1 (1926), 495–512  crossref  mathscinet  zmath
3. С. П. Новиков, “Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса”, УМН, 37:5(227) (1982), 3–49  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: S. P. Novikov, “The Hamiltonian formalism and a many-valued analogue of Morse theory”, Russian Math. Surveys, 37:5 (1982), 1–56  crossref  adsnasa
4. И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов, “К теории гальваномагнитных явлений в металлах”, ЖЭТФ, 31:1 (1957), 63–79  zmath; англ. пер.: I. M. Lifshitz, M. Ia. Azbel', M. I. Kaganov, “The theory of galvanomagnetic effects in metals”, Soviet Phys. JETP, 4:1 (1957), 41–54
5. И. М. Лифшиц, В. Г. Песчанский, “Гальваномагнитные характеристики металлов с открытыми поверхностями Ферми. I”, ЖЭТФ, 35:5 (1959), 1251–1264; англ. пер.: I. M. Lifshitz, V. G. Peschanskii, “Galvanomagnetic characteristics of metals with open Fermi surfaces. I”, Soviet Phys. JETP, 8:5 (1959), 875–883
6. И. М. Лифшиц, В. Г. Песчанский, “Гальваномагнитные характеристики металлов с открытыми поверхностями Ферми. II”, ЖЭТФ, 38:1 (1960), 188–193; англ. пер.: I. M. Lifshitz, V. G. Peschanskii, “Galvanomagnetic characteristics of metals with open Fermi surfaces. II”, Soviet Phys. JETP, 11:1 (1960), 137–141
7. И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов, Электронная теория металлов, Наука, М., 1971, 416 с.
8. А. В. Зорич, “Задача С. П. Новикова о полуклассическом движении электрона в однородном магнитном поле, близком к рациональному”, УМН, 39:5(239) (1984), 235–236  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. V. Zorich, “A problem of Novikov on the semiclassical motion of an electron in a uniform almost rational magnetic field”, Russian Math. Surveys, 39:5 (1984), 287–288  crossref  adsnasa
9. И. А. Дынников, “Доказательство гипотезы С. П. Новикова для случая малых возмущений рациональных магнитных полей”, УМН, 47:3(285) (1992), 161–162  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. A. Dynnikov, “Proof of S. P. Novikov's conjecture for the case of small perturbations of rational magnetic fields”, Russian Math. Surveys, 47:3 (1992), 172–173  crossref  adsnasa
10. С. П. Царев, Частное сообщение, 1992–1993 гг
11. И. А. Дынников, “Доказательство гипотезы С. П. Новикова о полуклассическом движении электрона”, Матем. заметки, 53:5 (1993), 57–68  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. A. Dynnikov, “Proof of S. P. Novikov's conjecture on the semiclassical motion of an electron”, Math. Notes, 53:5 (1993), 495–501  crossref
12. I. A. Dynnikov, “Surfaces in 3-torus: geometry of plane sections”, European congress of mathematics (Budapest, 1996), v. 1, Progr. Math., 168, Birkhäuser, Basel, 1998, 162–177  mathscinet  zmath
13. I. A. Dynnikov, “Semiclassical motion of the electron. A proof of the Novikov conjecture in general position and counterexamples”, Solitons, geometry, and topology: on the crossroad, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 179, Adv. Math. Sci., 33, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, 45–73  crossref  mathscinet  zmath
14. И. А. Дынников, “Геометрия зон устойчивости в задаче С. П. Новикова о полуклассическом движении электрона”, УМН, 54:1(325) (1999), 21–60  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. A. Dynnikov, “The geometry of stability regions in Novikov's problem on the semiclassical motion of an electron”, Russian Math. Surveys, 54:1 (1999), 21–59  crossref  adsnasa
15. С. П. Новиков, А. Я. Мальцев, “Топологические квантовые характеристики, наблюдаемые при исследовании проводимости в нормальных металлах”, Письма в ЖЭТФ, 63:10 (1996), 809–813; англ. пер.: S. P. Novikov, A. Ya. Mal'tsev, “Topological quantum characteristics observed in the investigation of the conductivity in normal metals”, JETP Lett., 63:10 (1996), 855–860  crossref
16. С. П. Новиков, А. Я. Мальцев, “Топологические явления в нормальных металлах”, УФН, 168:3 (1998), 249–258  mathnet  crossref; англ. пер.: S. P. Novikov, A. Ya. Mal'tsev, “Topological phenomena in normal metals”, Phys. Usp., 41:3 (1998), 231–239  crossref
17. А. Я. Мальцев, “Аномальное поведение тензора электропроводности в сильных магнитных полях”, ЖЭТФ, 112:5 (1997), 1710–1726; англ. пер.: A. Ya. Mal'tsev, “Anomalous behavior of the electrical conductivity tensor in strong magnetic fields”, JETP, 85:5 (1997), 934–942  crossref
18. А. Я. Мальцев, С. П. Новиков, “Теория замкнутых 1-форм, уровни квазипериодических функций и транспортные явления в электронных системах”, Топология и физика, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Труды МИАН, 302, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2018, 296–315  mathnet  crossref  mathscinet; англ. пер.: A. Ya. Maltsev, S. P. Novikov, “The theory of closed 1-forms, levels of quasiperiodic functions and transport phenomena in electron systems”, Proc. Steklov Inst. Math., 302 (2018), 279–297  crossref
19. A. Zorich, “Asymptotic flag of an orientable measured foliation on a surface”, Geometric study of foliations (Tokyo, 1993), World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1994, 479–498  mathscinet
20. A. Zorich, “Finite Gauss measure on the space of interval exchange transformations. Lyapunov exponents”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 46:2 (1996), 325–370  crossref  mathscinet  zmath
21. A. Zorich, “On hyperplane sections of periodic surfaces”, Solitons, geometry, and topology: on the crossroad, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 179, Adv. Math. Sci., 33, Amer. Math. Soc, Providence, RI, 1997, 173–189  crossref  mathscinet  zmath
22. A. Zorich, “Deviation for interval exchange transformations”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 17:6 (1997), 1477–1499  crossref  mathscinet  zmath
23. A. Zorich, “How do the leaves of a closed 1-form wind around a surface?”, Pseudoperiodic topology, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 197, Adv. Math. Sci., 46, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, 135–178  crossref  mathscinet  zmath
24. Р. Де Лео, “Существование и мера эргодических слоений в задаче Новикова о полуклассическом движении электрона”, УМН, 55:1(331) (2000), 181–182  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: R. De Leo, “The existence and measure of ergodic foliations in Novikov's problem of the semiclassical motion of an electron”, Russian Math. Surveys, 55:1 (2000), 166–168  crossref  adsnasa
25. Р. Де Лео, “Характеризация множества ‘эргодических направлений’ в задаче Новикова о квазиэлектронных орбитах в нормальных металлах”, УМН, 58:5(353) (2003), 197–198  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: R. De Leo, “Characterization of the set of ‘ergodic directions’ in Novikov's problem of quasi-electron orbits in normal metals”, Russian Math. Surveys, 58:5 (2003), 1042–1043  crossref  adsnasa
26. R. De Leo, “Topology of plane sections of periodic polyhedra with an application to the truncated octahedron”, Experiment. Math., 15:1 (2006), 109–124  crossref  mathscinet  zmath
27. A. Zorich, “Flat surfaces”, Frontiers in number theory, physics and geometry (Les Houches, 2003), v. 1, On random matrices, zeta functions and dynamical systems, 2nd print., Springer, Berlin, 2006, 437–583  mathscinet  zmath
28. Р. Де Лео, И. А. Дынников, “Пример фрактального множества направлений плоскостей, дающих хаотическое пересечение с фиксированной 3-периодической поверхностью”, УМН, 62:5(377) (2007), 151–152  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: R. De Leo, I. A. Dynnikov, “An example of a fractal set of plane directions having chaotic intersections with a fixed 3-periodic surface”, Russian Math. Surveys, 62:5 (2007), 990–992  crossref  adsnasa
29. И. А. Дынников, “Системы наложений отрезков и плоские сечения 3-периодических поверхностей”, Геометрия, топология и математическая физика. I, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Труды МИАН, 263, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2008, 72–84  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. A. Dynnikov, “Interval identification systems and plane sections of 3-periodic surfaces”, Proc. Steklov Inst. Math., 263 (2008), 65–77  crossref
30. R. DeLeo, I. A. Dynnikov, “Geometry of plane sections of the infinite regular skew polyhedron $\{4,6 \mid 4\}$”, Geom. Dedicata, 138:1 (2009), 51–67  crossref  mathscinet  zmath
31. A. Skripchenko, “Symmetric interval identification systems of order three”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 32:2 (2012), 643–656  crossref  mathscinet  zmath
32. A. Skripchenko, “On connectedness of chaotic sections of some 3-periodic surfaces”, Ann. Global Anal. Geom., 43:3 (2013), 253–271  crossref  mathscinet  zmath
33. I. Dynnikov, A. Skripchenko, “On typical leaves of a measured foliated 2-complex of thin type”, Topology, geometry, integrable systems, and mathematical physics, Novikov's seminar 2012–2014, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 234, Adv. Math. Sci., 67, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, 173–199  crossref  mathscinet  zmath
34. I. Dynnikov, A. Skripchenko, “Symmetric band complexes of thin type and chaotic sections which are not quite chaotic”, Тр. ММО, 76, № 2, МЦНМО, М., 2015, 287–308  mathnet  zmath; Trans. Moscow Math. Soc., 76:2 (2015), 251–269  crossref  mathscinet
35. A. Avila, P. Hubert, A. Skripchenko, “Diffusion for chaotic plane sections of 3-periodic surfaces”, Invent. Math., 206:1 (2016), 109–146  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
36. A. Avila, P. Hubert, A. Skripchenko, “On the Hausdorff dimension of the Rauzy gasket”, Bull. Soc. Math. France, 144:3 (2016), 539–568  crossref  mathscinet  zmath
37. L. Guidoni, B. Dépret, A. di Stefano, P. Verkerk, “Atomic diffusion in an optical quasicrystal with five-fold symmetry”, Phys. Rev. A, 60:6 (1999), R4233–R4236  crossref  adsnasa
38. A. Ya. Maltsev, “Quasiperiodic functions theory and the superlattice potentials for a two-dimensional electron gas”, J. Math. Phys., 45:3 (2004), 1128–1149  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
39. L. Sanchez-Palencia, L. Santos, “Bose–Einstein condensates in optical quasicrystal lattices”, Phys. Rev. A, 72:5 (2005), 053607  crossref  adsnasa
40. K. Viebahn, M. Sbroscia, E. Carter, Jr-Chiun Yu, U. Schneider, “Matter-wave diffraction from a quasicrystalline optical lattice”, Phys. Rev. Lett., 122:11 (2019), 110404  crossref  adsnasa
41. R. Gautier, Hepeng Yao, L. Sanchez-Palencia, “Strongly interacting bosons in a two-dimensional quasicrystal lattice”, Phys. Rev. Lett., 126:11 (2021), 110401  crossref  adsnasa
42. И. А. Дынников, А. Я. Мальцев, “Особенности движения ультрахолодных атомов в квазипериодических потенциалах”, ЖЭТФ, 160:6 (2021), 835–864  mathnet  crossref; англ. пер.: I. Dynnikov, A. Maltsev, “Features of the motion of ultracold atoms in quasiperiodic potentials”, JETP, 133:6 (2021), 711–736  crossref
43. D. Stauffer, “Scaling theory of percolation clusters”, Phys. Rep., 54:1 (1979), 1–74  crossref  adsnasa
44. J. W. Essam, “Percolation theory”, Rep. Prog. Phys., 43:7 (1980), 833–912  crossref  mathscinet  adsnasa
45. E. K. Riedel, “The potts and cubic models in two dimensions: a renormalization-group description”, Phys. A, 106:1-2 (1981), 110–121  crossref  mathscinet  adsnasa
46. S. A. Trugman, “Localization, percolation, and the quantum Hall effect”, Phys. Rev. B, 27:12 (1983), 7539–7546  crossref  adsnasa
47. С. П. Новиков, “Уровни квазипериодических функций на плоскости и гамильтоновы системы”, УМН, 54:5(329) (1999), 147–148  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: S. P. Novikov, “Levels of quasiperiodic functions on a plane, and Hamiltonian systems”, Russian Math. Surveys, 54:5 (1999), 1031–1032  crossref  adsnasa
48. И. А. Дынников, С. П. Новиков, “Топология квазипериодических функций на плоскости”, УМН, 60:1(361) (2005), 3–28  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. A. Dynnikov, S. P. Novikov, “Topology of quasi-periodic functions on the plane”, Russian Math. Surveys, 60:1 (2005), 1–26  crossref  adsnasa
49. A. Ya. Maltsev, S. P. Novikov, Dynamical systems, topology, and conductivity in normal metals, 2003, 51 pp., arXiv: cond-mat/0312708
50. A. Ya. Maltsev, S. P. Novikov, “Quasiperiodic functions and dynamical systems in quantum solid state physics”, Bull. Braz. Math. Soc. (N. S.), 34:1 (2003), 171–210  crossref  mathscinet  zmath
51. A. Ya. Maltsev, S. P. Novikov, “Dynamical systems, topology and conductivity in normal metals”, J. Statist. Phys., 115:1-2 (2004), 31–46  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
52. Ч. Киттель, Квантовая теория твердых тел, Наука, М., 1967, 491 с.; пер. с англ.: C. Kittel, Quantum theory of solids, John Wiley & Sons, Inc., New York–London, 1964, xii+435 с.  zmath
53. Дж. Займан, Принципы теории твердого тела, Мир, М., 1974, 573 с.; пер. с англ.: J. M. Ziman, Principles of the theory of solids, Cambridge Univ. Press, New York, 1964, xiii+360 с.  mathscinet  zmath
54. А. А. Абрикосов, Основы теории металлов, Наука, М., 1987, 520 с.
55. R. De Leo, “A survey on quasiperiodic topology”, Advanced mathematical methods in biosciences and applications, STEAM-H: Sci. Technol. Eng. Agric. Math. Health, Springer, Cham, 2019, 53–88  crossref  mathscinet  zmath
56. R. De Leo, “Topological effects in the magnetoresistance of Au and Ag”, Phys. Lett. A, 332:5-6 (2004), 469–474  crossref  zmath
57. R. De Leo, “First-principles generation of stereographic maps for high-field magnetoresistance in normal metals: an application to Au and Ag”, Phys. B, 362:1-4 (2005), 62–75  crossref  adsnasa
58. А. Я. Мальцев, “Об аналитических свойствах магнитопроводимости при наличии устойчивых открытых электронных траекторий на сложной поверхности Ферми”, ЖЭТФ, 151:5 (2017), 944–973; англ. пер.: A. Ya. Maltsev, “On the analytical properties of the magneto-conductivity in the case of presence of stable open electron trajectories on a complex Fermi surface”, JETP, 124:5 (2017), 805–831  crossref
59. А. Я. Мальцев, “Осцилляционные явления и экспериментальное определение точных математических зон устойчивости для магнитопроводимости в металлах, имеющих сложные поверхности Ферми”, ЖЭТФ, 152:5 (2017), 1053–1064  crossref; англ. пер.: A. Ya. Maltsev, “Oscillation phenomena and experimental determination of exact mathematical stability zones for magneto-conductivity in metals having complicated Fermi surfaces”, JETP, 125:5 (2017), 896–905  crossref
60. А. Я. Мальцев, “Вторая граница зон устойчивости и угловые диаграммы проводимости для металлов со сложными поверхностями Ферми”, ЖЭТФ, 154:6 (2018), 1183–1210  crossref; англ. пер.: A. Ya. Maltsev, “The second boundaries of stability zones and the angular diagrams of conductivity for metals having complicated Fermi surfaces”, JETP, 127:6 (2018), 1087–1111  crossref
Образец цитирования: И. А. Дынников, А. Я. Мальцев, С. П. Новиков, “Геометрия квазипериодических функций на плоскости”, УМН, 77:6(468) (2022), 109–136; Russian Math. Surveys, 77:6 (2022), 1061–1085
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DynMalNov22}
\by И.~А.~Дынников, А.~Я.~Мальцев, С.~П.~Новиков
\paper Геометрия квазипериодических функций на плоскости
\jour УМН
\yr 2022
\vol 77
\issue 6(468)
\pages 109--136
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10085}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10085}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4605906}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77.1061D}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2022
\vol 77
\issue 6
\pages 1061--1085
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10085e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001018999000004}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85164670077}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm10085
  • https://doi.org/10.4213/rm10085
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm/v77/i6/p109
    • Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    		Успехи математических наук Russian Mathematical Surveys
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:700
    PDF русской версии:69
    PDF английской версии:42
    HTML русской версии:391
    HTML английской версии:287
    Список литературы:73
    Первая страница:31
     
      Обратная связь:
    		  Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024