| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Об интегрируемости уравнений динамики в непотенциальном силовом поле В. В. Козлов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10057e 
Реферативные базы данных:
    К 60-летию И. А. Тайманова 1. Циркуляционные системыПусть $M^n=\{x_1,\dots,x_n\}$ – конфигурационное пространство механической системы с $n$ степенями свободы; $x=(x_1,\dots,x_n)$ – обобщённые координаты. Пусть – её кинетическая энергия, а $F=(F_1,\dots,F_n)$ – действующие на неё обобщённые силы. Динамика такой системы описывается дифференциальными уравнениями Лагранжа
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\,\frac{\partial T}{\partial\dot{x}_j}- \frac{\partial T}{\partial x_j}=F_j,\qquad 1 \leqslant j \leqslant n.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Если сила $F$ зависит только от положения системы, то она называется позиционной. Если при этом дифференциальная 1-форма точна (т. е. является полным дифференциалом некоторой функции $U$, отображающей $M^n$ в $\mathbb{R}$), то такая сила называется потенциальной, а механическая система – консервативной. При этом дифференциальные уравнения (1.1) допускают интеграл энергии $T-U$, квадратичный по скоростям.Механическую систему, которая находится под действием позиционной, но не потенциальной силы, часто называют циркуляционной. Промежуточное положение между консервативной и циркуляционной системами занимают “квазиконсервативные” системы, когда работа силы (1.2) является замкнутой, но не точной 1-формой. В этом случае силовая функция $U$ будет “многозначной” функцией на конфигурационном пространстве, а интеграл энергии $T-U$ будет “многозначной” функцией на соответствующем фазовом пространстве. В [1] обсуждается обобщение теоремы Гельмгольца о разложении позиционной силы на циркуляционную и потенциальную. В [2], [3] предложена классификация обобщённых сил по степени их близости к потенциальным силам. Вообще, согласно теории Ходжа [4], 1-форма (1.2) представляется в виде суммы трёх форм где $\alpha$ – функция на конфигурационном пространстве, $\beta$ – 2-форма, а $\gamma$ – гармоническая 1-форма. В отличие от внешнего дифференциала $d$, операция дивергенции $\delta$ не повышает, а понижает степень формы на единицу. Гармоническая форма $\gamma$ удовлетворяет условию $(d\delta+\delta d)\gamma=0$. В случае замкнутого конфигурационного пространства разложение (1.3) единственно. Операция дивергенции $\delta$ (как и само разложение (1.3)) зависит от выбора римановой метрики на $M^n$. В задачах механики в качестве римановой метрики естественно выбрать “внутреннюю” метрику, которая задаётся кинетической энергией механической системы. Этот круг вопросов обсуждается в [5] с точки зрения задачи об устойчивости состояний равновесия.Форма $d\alpha$ в (1.3) отвечает потенциальной силе, а $\gamma$ представляет квазипотенциальное силовое поле (если, конечно, первая группа когомологий конфигурационного пространства $M^n$ нетривиальна; в противном случае $\gamma=0$). Если 1-форма работы сил (1.2) представляется суммой $d\alpha+\gamma$, то сила $F$ также будет квазипотенциальной. Наконец, слагаемое $\delta\beta$ в (1.3) соответствует собственно циркуляционной силе. В качестве простого примера рассмотрим случай плоского конфигурационного тора: $M=\mathbb{T}^n=\{x_1,\dots,x_n\, \operatorname{mod} 2\pi\}$, а метрика задаётся кинетической энергией $T=(\dot{x},\dot{x})/2$. Разложим позиционную силу в ряд Фурье: Коэффициенты – векторы из $\mathbb{C}^n$, причём $F_{-k}=\overline{F}_{k}$. При $k \ne 0$ эти векторы однозначно представляются в виде суммы $F'_k$ и $F_k^{\prime\prime}$, где $F'_k$ коллинеарен вектору $k$, а $F_k^{\prime\prime}$ ортогонален $k$. Положим где
$$
\begin{equation*}
F'=\sum_{k \ne 0}F'_k e^{i(k,x)},\qquad F^{\prime\prime}=\sum_{k \ne 0}F^{\prime\prime}_k e^{i(k,x)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Разложение (1.4) отвечает разложению Ходжа (1.3). Сила $F^{\prime\prime}$ циркуляционная: её дивергенция равна нулю. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^n \frac{\partial F^{\prime\prime}_j}{\partial x_j}= \sum_{k \ne 0}i(F^{\prime\prime}_k,k) e^{i(k,x)}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Наоборот, сила $F'$ потенциальная. Так как $F'_k=ku_k$, $u_k \in \mathbb{C}$ ($\overline{u}_k=u_{-k}$), то силовая функция $U$ равна Постоянная сила $F_0$ квазипотенциальная: если $F_0 \ne 0$, то соответствующая ей силовая функция $(F_0,x)$ будет многозначной гармонической функцией на $\mathbb{T}^n$. В теории циркуляционных систем обычно рассматривают задачи, связанные с устойчивостью и бифуркациями состояний равновесия и стационарных движений с учётом дополнительных гироскопических и диссипативных сил (см., например, [6], [7] и имеющиеся там ссылки). В [8], [9] сделаны первые шаги в проблеме точного интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих динамику циркуляционных систем. Более точно, исследованы условия существования полиномиальных по скоростям первых интегралов с однозначными на $M^n$ коэффициентами. Вопрос об их существовании зависит от топологии конфигурационного пространства. Теорема 1 [9]. Если род поверхности $M^2$ больше единицы, то уравнения движения допускают однозначный непостоянный полиномиальный первый интеграл тогда и только тогда, когда силовое поле потенциальное. Доказательство основано на результате о несуществовании дополнительного полиномиального интеграла уравнений геодезических на замкнутой поверхности, род которой больше единицы [10], [11]. Многомерный вариант теоремы о топологических препятствиях к полной интегрируемости геодезических потоков установлен в [12], [13]. Было бы интересным связать этот результат с существованием нетривиальных однозначных полиномиальных интегралов многомерных циркуляционных систем. Пусть снова $n=2$, а конфигурационным пространством служит двумерный тор $\mathbb{T}^2=\{x_1,x_2\, \operatorname{mod}{2\pi}\}$. Пусть кинетическая энергия приведена к конформному виду где $\Lambda\colon \mathbb{T}^2 \to \mathbb{R}$ – гладкая положительная функция. Разложим конформный множитель $\Lambda$ в двойной ряд Фурье
$$
\begin{equation*}
\sum \lambda_k e^{i(k,x)},\qquad k=(k_1,k_2) \in \mathbb{Z}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Если
Теорема 2 [9]. Предположим, что уравнения движения допускают непостоянный полиномиальный по скоростям интеграл с гладкими коэффициентами на $\mathbb{T}^2$. Если условия (A) и (B) выполнены, то поле сил $F$ потенциально. Уравнения (1.1) можно представить в гамильтоновых переменных на пространстве кокасательного расслоения $T^*M$ конфигурационного пространства:
$$
\begin{equation}
\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial y}\,,\qquad \dot{y}=-\frac{\partial H}{\partial x}+F(x),
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
y=(y_1,\dots,y_n),\qquad y_j=\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_j}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
– “канонический” импульс механической системы в точке $x \in M^n$ (элемент векторного пространства $T_x^*M^n$). Функция $H$ – это кинетическая энергия, представленная в переменных $x$, $y$. Уравнения (1.5) в общем случае, конечно, не гамильтоновы. Однако при некоторых специальных условиях их можно привести к дифференциальным уравнениям Гамильтона и когда сила $F$ не потенциальная [8].
2. Теорема Эйлера–Якоби–ЛиСогласно общему подходу, для интегрирования автономной системы дифференциальных уравнений в $m$-мерном фазовом пространстве $\Gamma^m=\{z\}$ надо знать $m$ независимых тензорных инвариантов, находящихся друг с другом в некоторых естественных отношениях (см. обсуждение в [16]). В частности, само векторное поле $v$, определяющее эту динамическую систему, является одним из инвариантов.Уравнения движения (1.5) циркуляционной системы допускают ещё один тензорный инвариант – дифференциальную $2n$-форму фазового объёма Это замечание восходит к Якоби [17]. Таким образом, для полной интегрируемости уравнений (1.5) недостаёт ещё $2n-2$ независимых тензорных инвариантов. Например, этими недостающими инвариантами могут быть $2n-2$ функционально независимых первых интегралов (скалярные инварианты). Тогда возможность точного интегрирования уравнений движения гарантирует классическая теорема Эйлера–Якоби о последнем множителе [17]. В частности, в случае двух степеней свободы (когда $n=2$) достаточно знать два независимых первых интеграла.Более общий подход основан на применении теоремы Эйлера–Якоби–Ли (далее – ЭЯЛ-теорема) [18]. Напомним её формулировку. Предположим, что система дифференциальных уравнений (2.1) допускает инвариантную $m$-форму объёма и ещё $k$ интегралов $f_1,\dots,f_k$ и $l$ коммутирующих векторных полей симметрий (все коммутаторы $[v,u_s]$ и $[u_s,u_r]$ равны нулю). Считается, что интегралы $\{f_j\}$ функционально независимы, а векторы $v,u_1,\dots,u_l$ линейно независимы во всех точках интересующей нас области фазового пространства. Кроме того, предположим, что
$$
\begin{equation}
L_{u_j}f_s=\biggl(\frac{\partial f_s}{\partial z}\,,u_j\biggr)=0
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
для всех $1\leqslant j \leqslant l$ и $1\leqslant s \leqslant k$, а также для всех $1\leqslant j \leqslant l$ ($L_u$ обозначает производную Ли вдоль векторного поля $u$). Если $k+l=m-2$, то дифференциальные уравнения (2.1) интегрируются в квадратурах. В [18] это утверждение доказано при более общих предположениях относительно коммутаторов полей симметрий $\{u_j\}$. Условия (2.3) и (2.4) означают, что фазовые потоки, задаваемые полями $\{u_j\}$, сохраняют как функции $\{f_s\}$, так и форму объёма $\Omega$. Если $l=0$, то получаем теорему Эйлера–Якоби. Условия (2.4) можно представить в эквивалентном виде:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{div}(\rho u_j)=0,\qquad 1\leqslant j \leqslant l.
\end{equation*}
\notag
$$
Возвращаясь к системам в непотенциальном поле, обсудим самый простой, но важный случай двух степеней свободы. Согласно общей ЭЯЛ-теореме, точное интегрирование возможно в следующих трёх случаях:
Качественные свойства фазовых потоков в этих трёх случаях интегрируемости существенно отличаются друг от друга. Подчеркнём, что наличие поля симметрий для системы в непотенциальном силовом поле ещё не влечёт существование первого интеграла, линейного по скоростям (как в классической теореме Нётер). Например, пусть кинетическая энергия и компоненты силового поля не зависят от координаты $x_1$. Тогда векторное поле с оператором дифференцирования $\partial/\partial x_1$, очевидно, будет полем симметрий. Однако соответствующий импульс $y_1$ сохраняется лишь при дополнительном условии $F_1=0$. 3. Случай интегрируемости по Эйлеру–ЯкобиРассмотрим систему с кинетической энергией в виде лиувиллевой метрики
$$
\begin{equation}
T=\frac{1}{2}\,\frac{A_1 y_1^2+A_2 y_2^2}{B_1-B_2}\,,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где функции $A_k$ и $B_k$ зависят лишь от одной координаты $x_k$ ($k=1,2$). Как показано в [8], если компоненты позиционной силы имеют вид
$$
\begin{equation}
F_1=-\frac{1}{B_2}\,\frac{\partial f}{\partial x_1}\,,\qquad F_2=-\frac{1}{B_1}\,\frac{\partial f}{\partial x_2}\,,\qquad
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
то уравнения движения допускают квадратичный интеграл где
$$
\begin{equation}
\Phi_2=\frac{1}{2}\,\frac{B_1A_2y_2^2+B_2A_1y_1^2}{B_1-B_2}\,.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
В общем случае сила (3.2), конечно, не потенциальная. В [8] изучен вопрос о конформной гамильтоновости механической системы с кинетической энергией (3.1), находящейся в поле сил (3.2). Это обстоятельство даст возможность указать случаи, когда уравнения движения можно проинтегрировать разделением переменных. Сначала, следуя [8], представим уравнения движения в следующем “квазигамильтоновом” виде:
$$
\begin{equation}
B_2 \dot{y}_1=-\frac{\partial\mathcal{K}}{\partial x_1}\,,\quad B_2 \dot{x}_1=\frac{\partial\mathcal{K}}{\partial y_1}\,;\qquad B_1 \dot{y}_2=-\frac{\partial\mathcal{K}}{\partial x_2}\,,\quad B_1 \dot{x}_2=\frac{\partial\mathcal{K}}{\partial y_2}\,.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Выполним замену времени $t \mapsto \tau$ по формуле и замены позиционных координат $x_1 \mapsto q_1$, $x_2 \mapsto q_2$:
$$
\begin{equation}
q_1=\int_{x_1^0}^{x_1}B_1^{-1}(s)\,ds,\qquad q_2=\int_{x_2^0}^{x_2}B_2^{-1}(s)\,ds.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Введём ещё новый “гамильтониан”
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}(q_1,y_1,q_2,y_2)=\mathcal{K}(x_1,y_1,x_2,y_2),
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где $x_1$ и $x_2$ выражены через $q_1$ и $q_2$ обращением формул (3.5). После этих замен уравнения (3.4) примут канонический вид уравнений Гамильтона
$$
\begin{equation}
\frac{dy_k}{d\tau}=-\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial q_k}\,,\quad \frac{dq_k}{d\tau}=\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial y_k}\,,\qquad k=1,2.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
С использованием (3.3) новый гамильтониан $\mathcal{H}$ приводится к виду, удобному для применения метода разделения переменных:
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}=\frac{1}{2}\, \frac{A_2B_2^{-1}y_2^2+A_1B_1^{-1}y_1^2}{B_2^{-1}-B_1^{-1}}+f.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Здесь переменные $x_1$, $x_2$ следует заменить переменными $q_1$, $q_2$ по формулам (3.5). При этом, очевидно, произведения $A_kB_k^{-1}$ ($k=1,2$) (как и функции $B_k^{-1}$) будут зависеть лишь от $q_k$. В частности, если функция $f$ в выражениях для компонент внешней силы (3.2) будет иметь вид
$$
\begin{equation}
\frac{C_1(x_1)+C_2(x_2)}{B_2^{-1}(x_2)-B_1^{-1}(x_1)}\,,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
то канонические уравнения (3.7) с гамильтонианом (3.8) решаются разделением пар переменных $q_1$, $y_1$ и $q_2$, $y_2$. Таким образом, мы получили интегрируемую (по Эйлеру–Якоби) механическую систему с кинетической энергией (3.1) и непотенциальной позиционной силой (3.2), (3.9). При этом уравнения движения допускают два независимых интеграла, квадратичных по импульсам. Явное интегрирование гамильтоновой системы (3.7)–(3.9) с разделяющимися переменными можно провести по известным правилам (см., например, [19; гл. 9], [20]). Сначала, следуя [19], на двумерных интегральных торах вводятся угловые переменные $\psi_1$, $\psi_2\, \operatorname{mod} 2\pi$ (причём координата $q_k$ есть функция только от $\psi_k$), в которых уравнения движения (3.7) принимают следующий вид:
$$
\begin{equation}
\frac{d\psi_k}{d\tau}=\frac{\omega_k}{b_2^{-1}-b_1^{-1}}\,,\qquad k=1,2.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Здесь $\omega_1,\omega_2=\operatorname{const}$ (они зависят от постоянных квадратичных интегралов), а $b_k$ – это функции $B_k(q_k)$, в которых $q_k$ выражены через переменные $\psi_k\, \operatorname{mod} 2\pi$. Переменные $\psi_1$, $\psi_2$ в уравнениях (3.10) разделяются: знаменатель есть сумма двух функций, зависящих только от $\psi_1$ и $\psi_2$ соответственно. Следовательно [13], имеется замена угловых переменных
$$
\begin{equation*}
\psi_1,\psi_2\, \operatorname{mod} 2\pi \mapsto \varphi_1,\varphi_2\, \operatorname{mod} 2\pi,
\end{equation*}
\notag
$$
в результате которой система уравнений (3.10) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\frac{d\varphi_k}{d\tau}=\frac{\omega_k}{\lambda}\,,\qquad \lambda=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}b_2^{-1}(s)\,ds- \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}b_1^{-1}(s)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, гамильтонова система (3.7) линеаризуется на интегральных торах: новые угловые переменные $\varphi_1$, $\varphi_2$ – линейные функции от нового времени $\tau$. Впрочем, этот факт вытекает из общей геометрической теоремы Лиувилля о вполне интегрируемых гамильтоновых системах. Менее очевидно, что поток исходной механической системы в непотенциальном силовом поле (с кинетической энергией (3.1) и внешним полем (3.2), (3.9)) также линеаризуется на тех же инвариантных торах относительно “старого” времени $t$. Действительно, с учётом формулы $dt=b_1b_2\,d\tau$ система дифференциальных уравнений (3.10) приводится к следующей форме:
$$
\begin{equation}
\dot{\psi}_k=\frac{\omega_k}{b_1(\psi_1)-b_2(\psi_2)}\,,\qquad k=1,2.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Здесь переменные $\psi_1$ и $\psi_2$ также разделяются. Поэтому в некоторых новых угловых координатах $\nu_1$, $\nu_2\, \operatorname{mod} 2\pi$ система уравнений (3.11) приводится к системе
$$
\begin{equation}
\dot{\nu}_k=\frac{\omega_k}{\mu}\,,\qquad \mu=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}b_1(s)\,ds- \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}b_2(s)\,ds.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Системы дифференциальных уравнений (3.10) и (3.11) двойственны друг другу: замена времени $d\tau'=b_1^{-1}b_2^{-1}\,dt$ переводит (3.11) в (3.10) (поскольку $d\tau'=d\tau$). Такие замены времени относятся к числу лиувиллевых [21]: они сохраняют свойство равномерного движения по обмоткам интегральных торов. В [21] исследовались лиувиллевы замены времени в алгебраически интегрируемых гамильтоновых системах. Поскольку уравнения движения механической системы с кинетической энергией (3.1) и внешней силой (3.2), (3.9) приводятся на интегральных торах к уравнениям (3.12) (с постоянными правыми частями), то (как показано в [22]) они оказываются гамильтоновыми в окрестностях этих торов. Таким образом, уравнения движения с кинетической энергией (3.1) и силой (3.2) приводятся к конформно гамильтонову виду [8]. А если функция $f$ из формул (3.2) для компонент силового поля имеет вид (3.9), то эти уравнения будут гамильтоновыми (по крайней мере на открытом объединении инвариантных торов). 4. Инвариантный тор без условно-периодических движенийУкажем простой пример циркуляционной системы с торическим конфигурационным пространством $M=\mathbb{T}^n=\{x_1,\dots,x_n\, \operatorname{mod} 2\pi\}$, которая имеет инвариантный тор со всюду плотными траекториями, но при этом поток на торе не сводится к условно-периодическому движению. Пусть $T=\displaystyle\frac{1}{2}\sum y_k^2$, а обобщённые силы имеют вид
$$
\begin{equation}
F_k(x)=\omega_k f\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\omega_i,\qquad 1 \leqslant k \leqslant n.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Здесь $\omega_1,\dots,\omega_n$ – нерезонансный набор вещественных чисел (из равенства $\displaystyle\sum k_j \omega_j=0$ с целыми $k_j$ вытекает, что $k_1=\cdots=k_n=0$), а $f$ – гладкая положительная функция на $\mathbb{T}^n$. Положим
$$
\begin{equation*}
\Phi_k=y_k-\omega_k f,\qquad 1 \leqslant k \leqslant n.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда производные по времени от этих функций в силу соответствующей системы уравнений (1.5) имеют вид
$$
\begin{equation*}
\dot\Phi_k=-\Phi_k\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\,\omega_i,\qquad 1 \leqslant k \leqslant n.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $n$-мерная поверхность будет гладким инвариантным многообразием. Оно взаимно однозначно проектируется на конфигурационный тор $\mathbb{T}^n=\{x\}$. Поэтому (4.2) само будет $n$-мерным тором, который параметризуется угловыми координатами $x_1,\dots,x_n$. Уравнения движения в этих координатах имеют следующий вид:
$$
\begin{equation}
\dot x_k=\omega_k f(x),\qquad 1 \leqslant k \leqslant n.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Такие уравнения с разных точек зрения рассматривались в [23]–[25]. Как хорошо известно [24], [26], для почти всех наборов частот $\omega_1,\dots,\omega_n$ с помощью подходящей обратимой замены угловых переменных $x\, \operatorname{mod} 2\pi \mapsto z\, \operatorname{mod} 2\pi$ уравнения (4.3) приводятся к виду
$$
\begin{equation*}
\dot z_k=\frac{\omega_k}{\lambda}\,,\qquad \lambda=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{T}^n}\frac{d^nx}{f(x)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Так что на инвариантном торе имеем условно-периодические движения. С другой стороны, при подходящем выборе частот $\{\omega\}$ и функции $f$ фазовый поток системы дифференциальных уравнений (4.3) не сводится к условно-периодическому движению (см., например, [24], [27]). Общие свойства динамической системы (4.3) на $n$-мерном торе исследовались в [27] (где можно найти другие ссылки по этой теме). Покажем, что при сделанных выше предположениях относительно набора $\{\omega\}$ и непостоянной функции $f$ сила с компонентами (4.1) не потенциальная. Действительно,
$$
\begin{equation*}
F_k=\omega_k\mu,\qquad \mu=\frac{1}{2}\sum\frac{\partial f^2}{\partial x_i}\,\omega_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Условие потенциальности этой силы заключается в выполнении равенств
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial F_k}{\partial x_l}=\frac{\partial F_l}{\partial x_k} \quad\Longleftrightarrow\quad \omega_k\frac{\partial \mu}{\partial x_l}= \omega_l\frac{\partial \mu}{\partial x_k}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как набор частот $\omega_1,\dots,\omega_n$ нерезонансный, то отношения $\omega_k/\omega_l$ иррациональны при всех $k \ne l$. Отсюда в свою очередь вытекает, что функция $\mu$ не зависит от любой пары угловых координат. Значит, $\mu=\operatorname{const}$. Усредняя по $\mathbb{T}^n$ обе части равенства
$$
\begin{equation*}
\mu=\frac{1}{2}\sum\frac{\partial f^2}{\partial x_i}\omega_i,
\end{equation*}
\notag
$$
заключаем, что $\mu=0$. Но тогда $f^2$ будет первым интегралом системы (4.3). Поскольку все её траектории всюду плотны на $\mathbb{T}^n$, то $f=\operatorname{const}$. Но это противоречит исходному предположению.
5. Ненётеровы симметрииСначала приведём простой пример циркуляционной системы, которая интегрируется в соответствии со случаем (B) из раздела 2. Пусть $n=2$, конфигурационным пространством служит двумерный тор $\mathbb{T}^2=\{x_1,x_2\, \operatorname{mod} 2\pi\}$, а кинетическая энергия “евклидова”: $T=(\dot x_1^2+\dot x_2^2)/2$. Уравнения движения совпадают с уравнениями Ньютона Пусть компоненты силового поля $F_1$ и $F_2$ зависят только от координаты $x_1$. Если $F_2\ne\operatorname{const}$, то эта сила непотенциальная.Если среднее $F_1$ на окружности $x_1\, \operatorname{mod} 2\pi$ равно нулю, то можно положить причём $a$ есть $2\pi$-периодическая функция от $x_1$. Следовательно, уравнения (5.1) допускают однозначный первый интеграл Если среднее $F_1$ не равно нулю, то также имеется квадратичный интеграл, но он уже будет многозначной функцией на фазовом пространстве.Кроме того, имеется очевидное поле симметрий $u$ с оператором дифференцирования $L_u=\partial/\partial x_2$. Так как правые части уравнений (5.1) не зависят от $x_2$-координаты, то, очевидно,
$$
\begin{equation*}
[u,v]=0,\quad L_u\Phi=0\quad\text{и}\quad L_u\Omega=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, выполнены все условия ЭЯЛ-теоремы об интегрируемости. Явное интегрирование системы (5.1) вполне элементарно. Если $F_2 \ne 0$, то векторное поле $u$ не будет нётеровым: оно не порождает линейного по импульсам первого интеграла. Обсудим теперь строение фазового потока системы, интегрируемой в соответствии с условиями случая (B). Пусть $c$ – некритическое значение известного интеграла $\Phi\colon \Gamma\to \mathbb{R}$ и $I_c=\{x,y\colon\Phi(x,y)=c\}$ – соответствующее трёхмерное интегральное многообразие, которое будем считать связным. Так как фазовый поток системы сохраняет невырожденную 4-форму $\Omega$ и $\Phi$ – первый интеграл, то, как хорошо известно, сужение потока на $I_c$ сохраняет некоторую 3-форму объёма $\omega$, определённую на $I_c$. Далее рассмотрим дифференциальную 1-форму Поскольку векторы $u$ и $v$ предполагаются линейно независимыми в каждой точке $\Gamma$ (следовательно, и $I_c$), то $\psi$ – ненулевая 1-форма. Ввиду коммутируемости векторных полей $u$, $v$ эта форма замкнута:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d\psi&=di_u(i_v \omega)=L_u i_v \omega-i_u(di_v \omega) \\ &=i_v L_u \omega-i_u(L_v \omega-i_v\,d\omega)=0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
($L_u \omega=L_v \omega=0$ ввиду инвариантности формы $\omega$, а $d\omega=0$ – ввиду её замкнутости). Таким образом, локально $\psi$ представляет дифференциал гладкой функции на $I_c$. Кроме того, если (в частности, если $I_c$ односвязно), то $\psi=df$, $f$ – гладкая функция на всём $I_c$. Ввиду (5.2) функция $f$ будет первым интегралом для касательных полей $v$, $u$ одновременно. Пусть уровни функции $f\colon I_c \to \mathbb{R}$ компактны (это заведомо так, если трёхмерное многообразие $I_c$ компактно). Тогда регулярные поверхности уровня функции $f$ будут двумерными торами, которых касаются независимые и коммутирующие поля $v$ и $u$. Следовательно, потоки циркуляционной системы на этих торах будут сводиться к условно-периодическим движениям. Если условие (5.3) не выполнено, то $f$ “многозначна” на $I_c$: её поверхности уровня будут незамкнутыми. При условии регулярности ($df \ne 0$) они гомеоморфны либо двумерным цилиндрам, либо плоскостям. В любом случае фазовые потоки на трёхмерных инвариантных многообразиях $I_c$ не будут демонстрировать хаотического поведения. В заключение несколько слов о поведении интегрируемых систем в случае (C) из раздела 2. Рассмотрим ненулевую 1-форму
$$
\begin{equation}
\Psi=i_v i_{u_1} i_{u_2}\Omega=\Omega(v,u_1,u_2,\,\cdot\,),
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
где $u_1$, $u_2$ – коммутирующие поля симметрий. Предполагается, что векторы $v$, $u_1$, $u_2$ линейно независимы. Тогда $d\Psi=0$, и поэтому локально снова $\Psi=df$, где $f$ – первый интеграл уравнений движения. Если $H^1(\Gamma,\mathbb{R})=0$, то гладкая функция $f$ определена в целом на фазовом пространстве $\Gamma$. Пусть 1-форма $\Psi$ точна. Тогда связные компактные интегральные поверхности $\{x,y\colon f(x,y)=c\}$ будут трёхмерными торами с условно-периодическими движениями. Рассмотрение общего случая следует проводить в терминах теории слоений. В качестве иллюстративного примера рассмотрим уравнения (5.1) в фазовом пространстве $\Gamma=\mathbb{T}^2\times\mathbb{R}^2$ в предположении постоянства компонент силы $F_1$ и $F_2$. Коммутирующие ненётеровы поля симметрий $u_1$ и $u_2$ определяются операторами дифференцирования $\partial/\partial x_1$ и $\partial/\partial x_2$. Согласно (5.4), 1-форма $\Psi$ будет дифференциалом функции $f=F_2y_1-F_1y_2$. Если $F_1^2+F_2^2 \ne 0$, то $df \ne 0$. Однако трёхмерные интегральные поверхности $\{f=c\}$ некомпактны: они диффеоморфны цилиндрам $\mathbb{T}^2\times\mathbb{R}$. На этих многообразиях имеются три касательных коммутирующих векторных поля $v$, $u_1$, $u_2$. Следовательно, можно выбрать две угловые координаты и одну линейную так, чтобы они равномерно менялись со временем. Например, при $F_2=0$ уравнения движения на многообразии $\{f=c\}$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
\dot x_1=y_1,\quad \dot y_1=F_1,\quad \dot x_2=-\frac{c}{F_1}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Вводя новую угловую координату $\widetilde{x}_1=x_1-y_1^2/(2F_1)$, получаем недостающее уравнение $(\widetilde{x}_1)^{\large{ {\cdot}}}=0$.
6. Системы с интегралом третьей степениОбзор известных результатов об интегралах третьей степени по импульсам в консервативных системах с двумя степенями свободы можно найти, например, в [28; гл. I, § 3]. Среди них нет систем с гладкой периодической потенциальной энергией, а если потенциал есть функция на двумерном торе, то у неё обязательно имеются сингулярности в виде полюсов. Оказывается, это не случайно: если система с торическим пространством положений, “евклидовой” кинетической энергией и гладким потенциалом допускает интеграл третьей степени по импульсам, то обязательно имеется интеграл первой степени. Этот результат установлен в [29]; относительно обобщений см. [30]. Для систем в непотенциальном силовом поле этот результат не справедлив. Продемонстрируем это на примере уравнений (5.1) с угловыми координатами $x_1$, $x_2\, \operatorname{mod}{2\pi}$. Положим
$$
\begin{equation}
F_1=\frac{\partial a}{\partial x_1}\,,\qquad F_2=-a\frac{\partial a}{\partial x_1}\,,
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
где $a$ – гладкая непостоянная функция от $x_1$. Уравнения (5.1) допускают очевидный квадратичный интеграл и интеграл третьей степени Функции $f_1$ и $f_2$ независимы: ранг их матрицы Якоби почти всюду равен 2. Покажем, что уравнения (5.1) с силой (6.1) не допускают других интегралов, квадратичных по импульсам. В частности, нет линейных первых интегралов. Как показано в [8], квадратичный интеграл имеет вид
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}(\alpha y_1^2+2\beta y_1y_2+\gamma y_2^2)+g,
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
где $g\colon \mathbb{T}^2\to\mathbb{R}$ – некоторая гладкая функция. Однородная часть (6.2) будет интегралом задачи о движении по инерции по тору. Легко показать, что тогда все коэффициенты $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ – константы. Далее, согласно [8] справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_1 \\ F_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial g}{\partial x_1} \\ \dfrac{\partial g}{\partial x_2} \end{bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Условие его разрешимости относительно $g$ сводится к равенству
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial x_1}\biggl[\beta\frac{\partial a}{\partial x_1}- \gamma a\frac{\partial a}{\partial x_1}\biggr]=\frac{\partial}{\partial x_2} \biggl[\alpha\frac{\partial a}{\partial x_1}- \beta a\frac{\partial a}{\partial x_1}\biggr]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\beta\frac{\partial a}{\partial x_1}-\frac{\gamma}{2}\, \frac{\partial a^2}{\partial x_1}=\xi(x_2).
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Поскольку левая часть не зависит от $x_2$, то $\xi=\operatorname{const}$. Усредняя обе части (6.3) по окружности $x_1\, \operatorname{mod} 2\pi$, получаем, что $\xi=0$. Но тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial x_1}\biggl[\beta a-\frac{\gamma}{2}a^2\biggr]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Точно так же отсюда выводится, что Следовательно, если $\beta$ или $\gamma$ не равно нулю, то $a=\operatorname{const}$. Что противоречит нашему предположению. Итак, $\beta=\gamma=0$. Но тогда квадратичный интеграл (6.2) отличается от $f_1$ только постоянным множителем $\alpha$.
7. Полиномиальные интегралы циркуляционных системОбсудим условия существования однозначных полиномиальных по импульсам первых интегралов циркуляционных систем в узком смысле (в рамках теории Ходжа; см. раздел 1). Более точно, речь пойдёт о системах с торическим конфигурационным пространством $\mathbb{T}^2=\{x_1,x_2\, \operatorname{mod} 2\pi\}$ и “евклидовой” кинетической энергией $T=(y_1^2+y_2^2)/2$; сила $F$ представляется рядом Фурье
$$
\begin{equation}
\sum f_k e^{i(k,x)},\qquad k \in \mathbb{Z}^2\setminus \{0\},\quad f_k \in \mathbb{C}^2,\quad f_{-k}=\overline{f}_k,
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
таким, что $(f_k,k)=0$ (детали см. в разделе 1). Движение циркуляционной системы описывается уравнениями Ньютона (5.1). Пусть – полиномиальный первый интеграл; $\Phi_j$ – однородный многочлен по импульсам степени $j$ с $2\pi$-периодическими по $x_1$, $x_2$ коэффициентами. Легко показать, что тогда два полинома $\Phi_m+\Phi_{m-2}+\cdots$ и $\Phi_{m-1}+\Phi_{m-3}+\cdots$ также будут первыми интегралами. Действительно, производная от $\Phi_j$ в силу системы (5.1) есть сумма двух однородных форм по $y_1$ и $y_2$ степени $j+1$ и $j-1$ соответственно. Поэтому полиномиальный первый интеграл степени $m$ следует искать в видеСначала покажем, что $\Phi_m$ не зависит от угловых координат. Действительно, старшая однородная форма – первый интеграл уравнений движения по конфигурационному тору по инерции (когда $F=0$). Следовательно,
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\Phi_m}{\partial x_1}y_1+ \frac{\partial\Phi_m}{\partial x_2}y_2=0.
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
Разложим $\Phi_m$ в ряд Фурье: Подставляя в (7.3), получим равенство Так как $(k,y) \not\equiv 0$ при $k \ne 0$, то $\varphi_k=0$. Значит, старшая однородная форма $\Phi_m$ сводится к функции, не зависящей от угловых переменных $x_1$ и $x_2$. Утверждение подобного рода фактически использовал Пуанкаре при доказательстве неинтегрируемости уравнений Гамильтона при типичных возмущениях [24; гл. V]. Впрочем, дальнейшие рассуждения также навеяны теорией Пуанкаре. Теперь вычислим производную $\Phi$ в силу системы (5.1) и приравняем к нулю совокупность слагаемых степени $m-1$ по импульсам:
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial\Phi_m}{\partial y}\,,F\biggr)+ \biggl(\frac{\partial\Phi_{m-2}}{\partial x}\,,y\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
Полагая и учитывая разложение Фурье (7.1), из (7.4) выводим бесконечную цепочку равенств
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial\Phi_m}{\partial y}\,,f_k\biggr)+ i(k,y)\varphi'_k=0,\qquad k \ne 0.
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
Дальнейший анализ основан на использовании этих соотношений. Прямую $(k,y)=0$, $k \ne 0$, на плоскости импульсов $\mathbb{R}^2=\{y_1,y_2\}$ назовём резонансной, если $f_k \ne 0$. Отсюда выводится Теорема 3. Пусть имеется $m+1$ различных резонансных прямых. Тогда любой полиномиальный интеграл циркуляционной системы степени $\leqslant m$ есть константа. Доказательство. Рассмотрим прямую $l$ на плоскости импульсов, которая пересекает одновременно $m+1$ резонансных прямых. Ограничение однородного полинома $y \mapsto \Phi_m(y)$ на эту прямую будет многочленом от одной переменной степени $\leqslant m$. Согласно приведенной выше лемме, этот многочлен имеет не менее $m+1$ различных нулей. Следовательно, он равен тождественно нулю. Варьируя положение прямой $l$, получаем, что $\Phi_m(y) \equiv 0$. Далее рассматриваем первый интеграл $\Phi_{m-2}+\Phi_{m-4}+\cdots$ и точно так же выводим, что $\Phi_{m-2} \equiv 0$. Повторяя этот процесс, приходим к выводу, что $\Phi \equiv 0$, если $m$ нечётно. Если $m$ чётно, то интеграл (7.2) сводится к функции $\Phi_0$, которая от импульсов вообще не зависит. Но тогда, очевидно, $\Phi_0=\operatorname{const}$, что доказывает теорему 3. Следствие. Если циркуляционная система допускает однозначный полиномиальный интеграл степени $m$, то число различных резонансных прямых не превосходит $m$. При $m=1$ справедливо обратное утверждение. Действительно, в этом случае причём $(f_{nk},k)=0$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Но тогда уравнение имеет первый интеграл $(k,\dot{x})$, линейный по скорости.Представляет интерес ещё один пример циркуляционной системы, у которой имеются две резонансные прямые и которая допускает квадратичный первый интеграл: Здесь $f$ и $g$ – $2\pi$-периодические функции одного переменного с нулевыми средними значениями. Эта система циркуляционная в смысле теории Ходжа (если, конечно, поле сил ненулевое). Квадратичный интеграл: $\dot{x}_1 \dot{x}_2+W(x_1,x_2)$, гдеНепосредственным следствием теоремы 3 является Теорема 4. Если имеется бесконечное число различных резонансных прямых, то уравнения циркуляционной системы вообще не допускают однозначных непостоянных полиномиальных по импульсам первых интегралов. В частности, типичная циркуляционная система не приводится к гамильтоновой. Наоборот, если имеется квадратичный интеграл с невырожденной квадратичной частью, то уравнения (5.1) сводятся к каноническим уравнениям Гамильтона [8]. В частности, система уравнений (7.6) гамильтонова. Нам осталось доказать лемму. Если в (7.4) положить $(k,y)=0$, то получим, что векторы $\partial\Phi_m/\partial y$ и $f_k$ ортогональны. Но (ввиду свойства циркулярности) $(f_k,k)= 0$. Следовательно, вектор $\partial\Phi_m/\partial y$ ортогонален импульсу:
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial\Phi_m}{\partial y}\,,y\biggr)=0
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
в точках резонансной прямой $(k,y)=0$. Но (по теореме Эйлера об однородных функциях) левая часть (7.7) равна $m\Phi_m$. Что и требовалось.
8. Циркуляционные системы с квадратичным интеграломПример циркуляционной системы (7.6) с двумя резонансными прямыми и квадратичным интегралом можно обобщить и уточнить. Сначала заметим, что уравнения движения механической системы с торическим конфигурационным пространством и “стандартной” кинетической энергией $T=(y_1^2+y_2^2)/2$, находящейся под действием циркуляционной силы (7.1), можно представить в следующем эквивалентном виде:
$$
\begin{equation}
\ddot{x}_1=\frac{\partial W}{\partial x_2}\,,\qquad \ddot{x}_2=-\frac{\partial W}{\partial x_1}\,,
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
где $W(x_1,x_2)$ – некоторая гладкая функция, $2\pi$-периодическая по своим аргументам. Представим $W$ в виде ряда Фурье:
$$
\begin{equation}
W=\sideset{}{'}\sum w_{k}e^{i(k,x)},\qquad k \in \mathbb{Z}^2.
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
Резонансные прямые из раздела 7, играющие ключевую роль в задаче о полиномиальных интегралах уравнений (8.1), можно представить в следующей форме:
$$
\begin{equation*}
\{y \in\mathbb{R}^2\colon (y,k)=0,\ k \ne 0;\ w_k \ne 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно теореме 3, если уравнения (8.1) допускают квадратичный по импульсам первый интеграл, то имеется не более двух различных резонансных прямых. Этот результат можно обратить. Итак, пусть имеются всего две резонансные прямые где $p$, $q$ и $r$, $s$ – пары взаимно простых целых чисел. Тогда функция $W$ представима в виде суммы где $f(\,\cdot\,)$ и $g(\,\cdot\,)$ – гладкие $2\pi$-периодические функции одной переменной. Их следует считать непостоянными; в противном случае прямые (8.3) не будут резонансными (соответствующие коэффициенты Фурье в (8.2) обратятся в нуль).Теорема 5. Пусть имеются всего две резонансные прямые (8.3). Тогда: 1) уравнения (8.1) допускают интеграл где
$$
\begin{equation*}
B=\begin{bmatrix} 2pr & ps+qr \\ ps+qr & 2qs \end{bmatrix};
\end{equation*}
\notag
$$
2) если дополнительно $\det B=(ps-qr)^2 \ne 0$, то уравнения (8.1) представляются в канонической гамильтоновой форме
$$
\begin{equation}
\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial u}\,,\quad \dot{u}=-\frac{\partial H}{\partial x}\,;\qquad x \in \mathbb{T}^2,\quad u \in \mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{8.5}
$$
где 3) если дополнительно периодические функции $f$ и $g$ непостоянные, то уравнения (8.1) не допускают никаких однозначных полиномиальных интегралов, функционально независимых от квадратичного интеграла (8.4). Это утверждение по сути содержит теорию интегрируемости циркуляционных систем (в узком смысле), допускающих квадратичный по импульсам первый интеграл. Условие $\det B\ne 0$ означает, что прямые (8.3) различны. Если $\det B=0$, то интеграл (8.4) будет квадратом линейного по импульсам первого интеграла. Дополнительные условия в пп. 2) и 3) существенны. Если они не выполнены, то уравнения (8.1) допускают два независимых интеграла и поэтому интегрируемы по теореме Эйлера–Якоби. Действительно, пусть имеется только одна резонансная прямая (тогда $r=p$ и $s=q$). В этом случае уравнения (8.1) примут следующий вид: Так как $p$ и $q$ взаимно просты, то (по теореме Безу) найдутся целые $u$, $v$ такие, что $pv-qu=1$. Выполним линейную замену угловых переменных Эти формулы определяют автоморфизм двумерного конфигурационного тора. В новых переменных уравнения (8.7) приводятся к виду Следовательно, функции $\dot{z}_1$ и $\dot{z}_1\dot{z}_2+f(z_1)$ будут независимыми первыми интегралами. Аналогично рассматривается случай, когда функции $f$ или $g$ принимают постоянные значения. Доказательство теоремы 5. 1) Непосредственным вычислением проверяется, что квадратичная по скоростям функция
$$
\begin{equation}
(p\dot{x}_1+q\dot{x}_2)(r\dot{x}_1+s\dot{x}_2)+(ps-qr)(f-g)
\end{equation}
\tag{8.8}
$$
является первым интегралом системы дифференциальных уравнений (8.1) (в которых $W=f+g$). Она, конечно, совпадает с (8.4). Однородная квадратичная часть интеграла (8.8) обнуляется на резонансных прямых (8.3) (как и предписывает теорема 3).
2) Напомним, что уравнения Лагранжа
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\,\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}- \frac{\partial L}{\partial x}=0
\end{equation}
\tag{8.9}
$$
допускают интеграл Якоби (обобщённый интеграл энергии)
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\,,\dot{x}\biggr)-L.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, если $L=L_2+L_0$ ($L_k$ – однородная форма по скоростям степени $k$), то интеграл Якоби имеет вид $L_2-L_0$.
Положим теперь
$$
\begin{equation*}
L_2=\frac{1}{2}(B\dot{x},\dot{x}),\qquad L_0=-\det B\,(f-g).
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно проверить, что при условии $\det B \ne 0$ уравнения Лагранжа (8.9) с лагранжианом $L_2+L_0$ эквивалентны исходной системе уравнений (8.1) (в которой, конечно, $W=f+g$). Для получения канонической гамильтоновой формы остаётся применить классическое преобразование Лежандра к лагранжиану $L_2+L_0$ с невырожденной квадратичной частью $L_2$. В итоге от уравнений Лагранжа (8.9) приходим к уравнениям Гамильтона (8.5) с гамильтонианом (8.6).
3) Однородная квадратичная часть первого интеграла (8.4) определяет псевдоевклидову метрику в пространстве скоростей: матрица $B$ невырождена и $\det B<0$. В результате применения преобразования Лежандра $\dot{x}\mapsto u=B\dot{x}$ получаем, что квадратичная часть гамильтониана (8.6) задаёт ту же псевдоевклидову метрику, но в двойственном пространстве. Векторы
$$
\begin{equation*}
\xi=\begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix}\quad\text{и}\quad \eta=\begin{bmatrix} r \\ s \end{bmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
определяющие резонансные прямые, принадлежат как раз двойственному пространству. Легко проверить, что они изотропны: Однако они не ортогональны относительно этой псевдоевклидовой метрики:
Таким образом, гамильтонова система (8.5) с гамильтонианом (8.6) обладает следующими свойствами: резонансное множество состоит всего из двух прямых (их уравнения в канонических координатах имеют вид $(\xi,B^{-1} u)=0$ и $(\eta,B^{-1} u)=0$) и эти прямые не ортогональны относительно псевдоевклидовой метрики, определяемой квадратичной частью гамильтониана. Следовательно (как доказано с помощью теории возмущений в [31; предложение 2 из § 4]), при этих условиях канонические гамильтоновы уравнения не допускают нетривиальных однозначных полиномиальных по импульсам первых интегралов, независимых от функции Гамильтона. 9. Некоторые задачи$1^\circ$. Желательно развить теорию интегрирования уравнений движения механических систем в непотенциальном силовом поле с более полным учётом их формы (как, например, теория полной интегрируемости в гамильтоновой механике). Теорема Эйлера–Якоби–Ли указывает один из возможных путей. $2^\circ$. Представляет интерес распространить результат раздела 3 на многомерный случай, когда кинетическая энергия имеет лиувиллев вид. Сюда же примыкает вопрос о возможности более сложного разделения переменных в уравнениях движения циркуляционных систем (например, в координатах Штекеля). $3^\circ$. В разделе 4 приведён пример системы в непотенциальном силовом поле, уравнения движения которой имеют многомерный инвариантный тор без условно-периодических движений. Возможна ли такая ситуация в циркуляционных системах, интегрируемых по классической теореме Эйлера–Якоби о последнем множителе? По-видимому, ответ положительный. $4^\circ$. Соображения раздела 5 о строении фазовых потоков в случаях (B) и (C) (из раздела 2) желательно распространить на общие динамические системы, удовлетворяющие условиям ЭЯЛ-теоремы (в которой, кстати сказать, рассматриваются не только абелевы группы симметрий, но и более общие нильпотентные группы [18]). Некоторые общие результаты о нильпотентных потоках можно найти в [32]. $5^\circ$. В разделе 6 приведён пример системы с двумя степенями свободы и торическим пространством положений, допускающей квадратичный и кубический интегралы. Есть ли примеры, когда система имеет всего один неприводимый интеграл третьей степени по импульсам? Неприводимость означает отсутствие интегралов меньшей степени. $6^\circ$. Было бы желательно распространить результат об отсутствии полиномиальных интегралов у строго циркуляционных систем (раздел 7) на случай “неевклидовой” кинетической энергии и на многомерные системы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Koz22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|