| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Конечнозонный подход в периодической задаче Коши для П. Г. Гриневичa, П. М. Сантиниbc a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Dipartimento di Fisica, Università di Roma "La Sapienza", Roma, Italy c Istituto Nazionale di Fisica Nucleare (INFN), Sezione di Roma, Roma, Italy
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10077e 
Реферативные базы данных:
     1. ВведениеАномальные волны (АВ), известные также как волны-убийцы, – это экстремальные волны аномально большой амплитуды относительно соседних волн, они появляются как бы ниоткуда и исчезают без следа. Впервые изучение таких волн было начато на глубокой воде, а сам термин волны-убийцы был придуман океанологами (такие волны могут превышать по высоте 20 метров и быть очень опасными). Хотя существование АВ было печально известно с древних времен и периодически становилось предметом обсуждения в литературе, первое научно подтвержденное наблюдение и измерение АВ было осуществлено лишь в 1995 г. на нефтяной платформе “Дропнер” в Северном море [36]. После пионерской работы по оптическим волокнам [67] стало понятно, что АВ не ограничены океанской средой, а присутствуют буквально везде в природе; их удалось увидеть (либо предсказать их появление) в нелинейной оптике [67], [40], [41], [4], [51], в конденсате Бозе–Эйнштейна [81], [13], в физике плазмы [7], [55] и в других физических системах. Для систем с нелинейностью признанное объяснение образования АВ основано на механизме модуляционной неустойчивости (МН), впервые открытом в нелинейной оптике [12] и теории волн в океане [10], [82], однако связь этого механизма с генерацией АВ была осознана лишь в последние 20 лет. Для понимания аналитически свойств АВ очень важен тот факт, что нелинейная стадия МН в размерности $1+1$ хорошо описывается точными решениями интегрируемого [85], [86] фокусирующего нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ) в размерности $1+1$
$$
\begin{equation}
i u_t +u_{xx}+2 |u|^2 u=0, \qquad u=u(x,t)\in\mathbb{C}, \quad x,t\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{1}
$$
известными как бризеры [50], [65], [5], которые можно рассматривать как базовые модели АВ [24], [37], [62], [83], [4], [8]. Эти решения воспроизводятся в волновых бассейнах, оптических волокнах и фоторефрактивных кристаллах с высокой точностью [15], [40], [66]. Используя конечнозонный подход, недавно для уравнения НУШ удалось построить решение задачи Коши для периодического возмущения неустойчивого фона (данную задачу мы называем задачей Коши для АВ) в главном порядке [33], [35] в случае конечного числа неустойчивых мод, что позволило получить количественное описание повторяемости мультибризерных обобщений [39] бризеров Ахмедиева [5]. В простейшем случае одной неустойчивой моды мы имеем повторяемость АВ типа Ферми–Паста–Улама–Цингу, описываемую последовательностью бризеров Ахмедиева [33], [34]. В дополнение к этому была построена конечнозонная теория возмущений для АВ в размерности $1+1$, позволяющая аналитически описывать [17], [19] эффекты порядка единицы, возникающие за счет малых поправок к модели НУШ динамики АВ (см. также [18]). Отметим, что в данной работе мы используем термин “аномальные волны” в расширенном смысле, понимая под такими волнами когерентные структуры порядка 1 или, больше, формирующиеся на неустойчивом фоне и порожденные МН; предыдущие результаты по АВ для НУШ относились к аналитическим аспектам детерминистической теории периодических АВ для конечного числа неустойчивых мод. Когерентные структуры аномально большой амплитуды по отношению к окружению возникают за счет конструктивного взаимодействия неустойчивых мод. Поэтому формирование АВ, строго говоря, носит статистический характер. Статистические аспекты теории АВ для НУШ исследованы в работах [31], [21], [26], [25]. В то время как оптические волокна представляют собой естественную лабораторию для наблюдения $(1+1)$-мерных АВ, океанские волны естественно двумерны, и не вполне понятно, в какой мере упомянутые выше аналитические решения $(1+1)$-мерного НУШ наблюдаемы в океанских волнах и каковы пределы их применимости к многомерной нелинейной оптике [28], [61]. В настоящее время нет хорошего понимания детерминистических и статистических аспектов АВ в размерности $2+1$; основная трудность связана с тем, что большинство физически осмысленных $(2+1)$-мерных обобщений НУШ неинтегрируемы и известные методы построения точных решений для них не работают. К таким уравнениям относятся эллиптическое НУШ, используемое в нелинейной оптике [57], [42], гиперболическое НУШ, используемое в теории гравитационных волн на глубокой воде [82], и большинство уравнений типа Дэви–Стюартсона [20], используемых в нелинейной оптике, волнах на воде, физике плазмы и теории Бозе-конденсата [11], [20], [1], [58], [38]. Интегрируемое уравнение Дэви–Стюартсона (ДС) [6], [2] может быть записано в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, i u_t +u_{xx}-\nu^2 u_{yy}+2\eta q u=0, \qquad \eta=\pm 1, \quad \nu^2=\pm 1, \\ q_{xx}+\nu^2 q_{yy}=(|u|^2)_{xx}-\nu^2(|u|^2)_{yy}, \\ u=u(x,y,t)\in\mathbb{C}, \quad q(x,y,t)\in\mathbb{R}, \quad x,y,t\in\mathbb{R}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $u$ – комплексная амплитуда монохроматической волны, а вещественная функция $q(x,y,t)$ соответствует среднему потоку. Если $\nu^2=-1$, мы имеем уравнение ДС1 (поверхностное натяжение преобладает над силой тяжести при выводе волнового уравнения); в этом случае знак $\eta$ несущественен, поскольку можно перейти от уравнения с $\eta=-1$ к уравнению с $\eta=1$ при помощи замены $q\to -q$ и $x\leftrightarrow y$; тем самым, уравнение ДС1 только одно. Если $\nu^2=1$, то сила тяжести преобладает над поверхностным натяжением и мы имеем уравнение ДС2; в этом случае знак $\eta$ уже не убирается заменами переменных и мы различаем фокусирующую и дефокусирующую версии уравнения ДС2, отвечающие $\eta=1$ и $\eta=-1$ соответственно. Оказывается, что предел для мелкой воды уравнения Бенни–Роскена/Захарова–Рубенчика [11], [84] приводит к ДС1 и дефокусирующему ДС2 [3]. Хотя примеры точных решений уравнения ДС (2), описывающих АВ, известны в литературе (см., например, [52], [53], [59], [60]), вопрос об их применимости к физически осмысленным задачам Коши пока исследован недостаточно. Как будет показано в следующих разделах, (i) двоякопериодическая задача Коши корректно поставлена для фокусирующего и дефокусирующего уравнений ДС2; (ii) линейный анализ на устойчивость приводит к выводу, что фоновое решение уравнения ДС2 устойчиво в дефокусирующем случае $\eta=-1$, а в фокусирующем случае $\eta=1$ оно неустойчиво, если волновые векторы достаточно малы. Отсюда видно, что, несмотря на то что вопрос о физической применимости пока не прояснен до конца, интегрируемое фокусирующее уравнение ДС2 ($\nu^2=\eta=1$) – одна из лучших математических моделей для построения аналитической теории $(2+1)$-мерных АВ; построение такой теории и является целью настоящей работы. Фокусирующее уравнение ДС2 имеет также важные приложения в дифференциальной геометрии поверхностей в $\mathbb{R}^4$. Тот факт, что локальные вложения поверхностей в $\mathbb{R}^3$ могут быть заданы в терминах квадратичных комбинаций волновых функций двумерного оператора Дирака с вещественным потенциалом $u(x,y)$, а модифицированная иерархия Веселова–Новикова (которая является подмножеством фокусирующей иерархии ДС2) действует как симметрии этих вложений, был впервые отмечен в [46]. Обобщение этой конструкции на поверхности в $\mathbb{R}^4$ было предложено в [64] (см. также [47]). Для поверхностей в $\mathbb{R}^4$ симметрии погружений порождаются иерархией ДС2. Если поверхность компактна и имеет топологию тора, то соответствующий оператор Дирака двоякопериодичен. Существование глобального представления Вейерштрасса для вложений торов в $\mathbb{R}^3$ было доказано в [68] (см. также [69], [70]). В этом случае, в частности, знаменитый функционал Уиллмора совпадает с интегралом энергии модифицированной иерархии Веселова–Новикова [68]; тем самым, возникает возможность приложения теории солитонов к классической дифференциальной геометрии (см. обзор [73] и ссылки в нем). Отметим, что, в отличие от одномерного случая, аналитические аспекты спектральной теории в размерности 2 становятся глубоко нетривиальными; например, доказательство существования спектральной кривой, полученное в [70] (см. также [73]), базируется на глубоких результатах М. В. Келдыша. Другой подход, дающий более детальную информацию об асимптотическом поведении спектральных кривых, был развит в [48], [49]. Отметим также, что, в отличие от поверхностей в $\mathbb{R}^3$, параметризация поверхностей в $\mathbb{R}^4$ в терминах операторов Дирака существенно неоднозначна, при этом различные параметризации могут порождать различные динамики поверхностей. Помимо этого, априори не ясно, совместима ли динамика ДС с периодичностью. Эти вопросы исследовались в работе [72], где, в частности, было показано, что можно определить динамику, которая сохраняет конформные классы вложенных торов и значения функционала Уиллмора. В 2021 г. академику Искандеру Асановичу Тайманову исполнилось 60 лет. Ему, в частности, принадлежит ряд очень важных результатов в области математической физики, включая развитие двоякопериодической теории двумерного оператора Дирака, уравнения ДС2 и их приложений к геометрии. В знак уважения к деятельности И. А. Тайманова мы хотим посвятить нашу работу его 60-летнему юбилею. 2. Предварительные сведенияУравнение ДС (2) можно записать как условие совместности для следующей пары вспомогательных линейных операторов (см. [6], [2]):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nu\vec\psi_y&=i\sigma_3\vec\psi_x+U\vec\psi, \\ \vec\psi_t&=2i\sigma_3\vec\psi_{xx}+2U\vec\psi_x+V\vec\psi, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, U&=\begin{pmatrix} 0 & u \\ -\eta \overline u & 0 \end{pmatrix}, &\qquad V&=\begin{pmatrix} -\eta(w-iq) & u_x-i\nu u_y \\ -\eta (\overline u_x+i\nu \overline u_y) & -\eta(w+iq) \end{pmatrix}, \\ \nu w_y&=(q -|u|^2 )_x, &\qquad w_x&=-\nu (q+|u|^2)_y. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Уравнения (2) нелокальны, и функция $q$ определена с точностью до произвольной константы интегрирования: Отметим, что преобразование (5) порождает следующее стандартное калибровочное преобразование решения:
$$
\begin{equation}
u(x,y,t) \mapsto u(x,y,t)\exp\biggl(-i\frac{\eta}{2} \int^t f(\tau)\,d\tau\biggr).
\end{equation}
\tag{6}
$$
Уравнение ДС имеет следующие вещественные формы:
В представлении Фурье мы имеем следующую формулу:
$$
\begin{equation}
\widehat q (\vec k)=Q\cdot \widehat{|u|^2}(\vec k), \qquad Q=\frac{k_x^2-\nu^2k_y^2}{k_x^2+\nu^2k_y^2}\,.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Для ДС1 линейный оператор $Q$ неограничен, что может приводить к крайне нетривиальным аналитическим эффектам. Для задачи на всей плоскости $(x,y)$ это влечет необходимость наложения дополнительных граничных условий на бесконечности; в частности, при правильном выборе граничных условий на бесконечности удается построить экспоненциально локализованные решения (дромионы) [29], [30], впервые найденные с помощью преобразования Бэклунда [14]. Вопрос о том, задает ли уравнение ДС1 корректно определенную динамику на пространстве двоякопериодических функций, далеко не тривиален и, насколько известно авторам, не исследован в литературе. В отличие от уравнения ДС1, в двоякопериодической задаче для уравнения ДС2 линейный оператор $Q$ становится корректно определенным с единичной нормой после ограничения на подпространство $L^2_0(T^2)$ функций с нулевым средним. Его естественно расширить до линейного отображения предполагая, что
$$
\begin{equation}
\int\!\!\!\int_{T^2} q(x,y,t)\,dx\,dy=0 \quad \text{для всех } t.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Благодаря наличию калибровочной свободы (6), без ограничения общности условие (9) можно всегда считать выполненным. После наложения указанного ограничения динамика, порожденная ДС2, становится однозначно определенной. Отметим, что в размерности $2+1$ интегрируемые системы, как правило, нелокальны. В частности, нелокальна и наиболее знаменитая иерархия Кадомцева–Петвиашвили. Рассмотрим малое возмущение постоянного решения ДС2: Линеаризация уравнения ДС2 вблизи постоянного решения имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
i v_t+v_{xx}-v_{yy}+2\eta Q\cdot [|a|^2 v+a^2 \overline v]=0.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Если возмущение является монохроматическим,
$$
\begin{equation}
v(x,y,t)=u_1\exp(i[k_x x+k_y y]+\sigma t)+u_{-1} \exp(-i[k_x x+k_y y]+ \sigma t),
\end{equation}
\tag{12}
$$
то линеаризованное уравнение сводится к
$$
\begin{equation}
[i\sigma-k_x^2+k_y^2]u_1+2 \eta\,\frac{k_x^2-k_y^2}{k_x^2+k_y^2} [|a|^2 u_1+a^2 \overline u_{-1}]=0,
\end{equation}
\tag{13}
$$
$$
\begin{equation}
[i\sigma+k_x^2-k_y^2] \overline u_{-1}- 2\eta\,\frac{k_x^2-k_y^2}{k_x^2+k_y^2}[|a|^2\overline u_{-1}+ \overline a^2 u_{1}]=0.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Отсюда видно, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sigma=\pm \frac{(k_x^2-k_y^2)\sqrt{4\eta|a|^2-(k_x^2+k_y^2)}} {\sqrt{k_x^2+k_y^2}}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
В дефокусирующем случае $\eta=-1$ инкремент $\sigma$ оказывается чисто мнимым для всех волновых векторов $(k_x,k_y)$, что означает линейную устойчивость постоянного решения. В самофокусирующем случае $\eta=1$ монохроматические возмущения неустойчивы для волновых векторов, лежащих внутри диска $k^2 \leqslant 4|a|^2$, и устойчивы для волновых векторов, лежащих вне этого диска. В двоякопериодическом случае число неустойчивых мод всегда конечно. Из сказанного видно, что с точки зрения теории аномальных волн наиболее важной вещественной формой уравнения ДС является самофокусирующее уравнение ДС2, отвечающее $\nu=1$, $\eta=1$. Указанная вещественная форма также естественно возникает в теории поверхностей в $\mathbb{R}^4$, определенных при помощи обобщенного представления Вейерштрасса (см. статью [73] и ссылки в ней). В отличие от случая фокусирующего НУШ, в решениях уравнения ДС2 с гладкими начальными условиями возможно возникновение особенностей за конечное время [63], [60], и это свойство может быть важно для физических приложений. Этот вопрос обсуждается, в частности, в работе [44], детальные численные исследования можно также найти в [43], [45]. Для построения особых решений указанного типа можно использовать преобразования Мутара; для модифицированного уравнения Веселова–Новикова это было проделано в [78]. Красивая геометрическая модель рождения сингулярностей была предложена в [54], [75]–[77]. Рассмотрим вложение поверхности в $\mathbb{R}^4$, заданное с помощью обобщенного представления Вейерштрасса. Можно явно предъявить преобразование Мутара, отвечающее инверсии пространства $\mathbb{R}^4$. Если исходное семейство поверхностей проходило через начало координат, то его образ после инверсии становится особым для некоторого $t=t_0$, так же как и соответствующее решение уравнения ДС2. В нашей работе мы не обсуждаем появление особенностей в решениях уравнения ДС2, возникающих как решения задачи Коши для аномальных волн. Мы планируем исследовать эту интересную задачу в последующих работах. 3. Двоякопериодическая задача Коши для аномальных волн в фокусирующем уравнении ДС2Мы исследуем двоякопериодическую по пространственным переменным задачу Коши для фокусирующего уравнения ДС2:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, iu_t+u_{xx}-u_{yy}+2q u=0, \\ q_{xx}+q_{yy}=(|u|^2)_{xx}-(|u|^2)_{yy}, \\ u=u(x,y,t) \in \mathbb{C}, \quad q=q(x,y,t) \in \mathbb{R}, \\ u(x+L_x,y,t)=u(x,y+L_y,t)=u(x,y,t), \\ q(x+L_x,y,t)=q(x,y+L_y,t)=q(x,y,t), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{16}
$$
в предположении, что данные Коши являются малым возмущением постоянного решения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u(x,y,0)=a+\varepsilon v_0(x,y), \qquad \varepsilon\in\mathbb{R}, \quad \varepsilon \ll 1, \\ v_0(x+L_x,y)=v_0(x,y+L_y)=v_0(x,y). \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{17}
$$
Для задачи Коши для уравнения (16) с начальными данными вида (17) мы используем термин “двоякопериодическая задача Коши для аномальных волн”. Первое уравнение вспомогательной линейной задачи можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{bmatrix} \partial_x+ i\partial_y & u \\ -\overline u & \partial_x- i\partial_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix}=0,
\end{equation}
\tag{18}
$$
где
$$
\begin{equation}
\vec\psi=\begin{bmatrix} \psi_1 \\ i \psi_2 \end{bmatrix}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
В данной задаче бывает удобно использовать комплексные обозначения (см., например, [68]):
$$
\begin{equation}
z=x+i y, \quad \overline z=x-i y, \quad \partial_z=\frac{1}{2}(\partial_x-i\partial_y), \quad \partial_{\overline z}=\frac{1}{2}(\partial_x+i\partial_y).
\end{equation}
\tag{20}
$$
Для упрощения формул в этих обозначениях будем писать $u(z)$ вместо $u(z,\overline z)$, не предполагая при этом, что функция $u(z)$ является голоморфной. В комплексных обозначениях уравнение (18) приобретает вид
$$
\begin{equation}
\begin{bmatrix} 2\partial_{\overline z} & u(z) \\ -\overline u(z) & 2\partial_{z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix}=0.
\end{equation}
\tag{21}
$$
4. Конечнозонные решения уравнения ДС2В данном разделе мы напомним конструкцию конечнозонных при нулевой энергии двумерных операторов Дирака и соответствующих решений уравнения ДС2. Конечнозонные формулы для двумерных операторов Дирака с дополнительным условием $u=\overline u$ были впервые выписаны в [70] (см. также [73]). Отметим, что в периодической теории двумерного оператора Дирака можно использовать различные нормировки волновых функций. В работах [70], [72], [73] используется следующая: В нашем тексте, по аналогии [33], [35], мы работаем с несимметричной нормировкой волновых функций: Приведем основные отличия этих нормировок.I. При использовании симметричной нормировки (22) степень дивизора равна $g+1$, где $g$ – род спектральной кривой, и для малых возмущений постоянного потенциала по крайней мере одна из точек дивизора лежит вдали от резонансных точек. Если же использовать (23), то степень дивизора равна роду спектральной кривой и для малых возмущений постоянного потенциала все точки дивизора лежат вблизи резонансных точек. II. При использовании (22) спектральные данные полностью определяют потенциал $u(z)$. Если же использовать (23), то потенциал восстанавливается с точностью до постоянного фазового множителя, который можно вводить как дополнительный числовой параметр. Как мы указывали выше, решения уравнения ДС2 определены с точностью до фазового множителя, который является произвольной функцией времени, поэтому несимметричная нормировка (23) позволяет “спрятать” эту калибровочную свободу. Построение конечнозонных решений уравнения ДС2 осуществляется в два этапа: 1. Отправляясь от спектральной кривой и дивизора, мы строим “комплексный” оператор Дирака
$$
\begin{equation}
\begin{bmatrix} 2\partial_{\overline z} & u(z) \\ v(z) & 2\partial_{z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix}=0
\end{equation}
\tag{24}
$$
(слово “комплексный” в данном случае означает, что функции $u(z)$, $v(z)$ считаются независимыми). (См. п. 4.1 ниже.) 2. На спектральную кривую и дивизор накладываются дополнительные условия, обеспечивающие выполнение соотношения $v(z)=-\overline u(z)$ (или $v(z)= \overline u(z)$ в дефокусирующем случае). Легко проверить, что эти условия инвариантны относительно временной эволюции. (См. п. 4.2.) 4.1. Комплексные операторы ДиракаПусть имеется следующий набор спектральных данных:
(i) они голоморфны на $\Gamma$ вне точек $\infty_1$, $\infty_2$, $\gamma_1,\dots,\gamma_g$; (ii) они имеют простые полюсы в точках $\gamma_1,\dots,\gamma_g$; (iii) в точках $\infty_1$, $\infty_2$ они имеют существенные особенности вида
$$
\begin{equation}
\begin{bmatrix} \psi_1(\gamma,z) \\ \psi_2(\gamma,z) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+\dfrac{\xi_1^+(z)}{\lambda_1}+\dfrac{\xi_2^+(z)}{\lambda_1^2}+ \cdots \\ \dfrac {\xi_1^-(z)}{\lambda_1}+\dfrac {\xi_2^-(z)}{\lambda_1^2}+\cdots \end{bmatrix} e^{\lambda_1 z} \quad\text{при } \gamma \to\infty_1,
\end{equation}
\tag{25}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{bmatrix} \psi_1(\gamma,z) \\ \psi_2(\gamma,z) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \chi_0^+(z)+\dfrac{\chi_1^+(z)}{\lambda_2}+\cdots \\ X_{-1}\lambda_2+ \chi_0^-(z)+\dfrac{\chi_1^-(z)}{\lambda_2}+ \cdots\end{bmatrix} e^{\lambda_2 \overline z} \quad \text{при } \gamma \to\infty_2;
\end{equation}
\tag{26}
$$
в (25), (26) предполагается, что предэспоненциальные члены локально мероморфны (голоморфны) вблизи $\infty_1$, $\infty_2$ соответственно, $X_{-1}$ – произвольно выбранная константа, коэффициенты $\xi_j^+(z)$, $\xi_j^-(z)$, $\chi_j^+(z)$, $\chi_j^-(z)$ разложений заранее не известны. Используя стандартные аргументы, легко убедиться, что для точек $\gamma$ общего положения функции $\psi_1(\gamma,z)$, $\psi_2(\gamma,z)$ являются решениями уравнения (24), где
$$
\begin{equation}
u(z)=-\frac{2\chi_0^+(z)}{X_{-1}}\,,\qquad v(z)=-2\xi_1^-(z).
\end{equation}
\tag{27}
$$
4.2. Вещественные редукции уравнения ДС2Предположим теперь, что на спектральные данные наложены следующие дополнительные условия вещественности.
Лемма 1. Пусть функция $f(\gamma)$ имеет полюсы в точках дивизора ${\mathcal D}$ и в точке $\infty_2$, нули в точках дивизора $\sigma{\mathcal D}$ и в точке $\infty_1$ и нормирована следующим условием: Обозначим $\mathcal C$ коэффициент при главном члене разложения $f(\gamma)$ в точке $\infty_1$: Тогда для данных общего положения константа $\mathcal C$ вещественна. Доказательство. Рассмотрим функцию Она голоморфна, имеет те же нули и полюсы, что и $f(\gamma)$, и Для данных общего положения функция $f(\gamma)$ с перечисленными свойствами единственна, следовательно, $f_1(\gamma)=f(\gamma)$ и $\overline{\mathcal C}={\mathcal C}$. Лемма доказана. Лемма 2. Пусть спектральные данные удовлетворяют условиям вещественности (1) и (2), сформулированным в начале пункта, и нормировочная константа $X_{-1}$ удовлетворяет соотношению Тогда для потенциалов $u(z)$, $v(z)$ в (24) выполнена редукция ДС2: Доказательство. Если спектральные данные удовлетворяют условиям вещественности (1) и (2), то можно положить
$$
\begin{equation}
\psi_2(\gamma,z)=X_{-1} f(\gamma)\overline{\psi_1(\sigma\gamma,z)}.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Функция $\psi_2(\gamma,z)$, заданная формулой (35), имеет правильные аналитические свойства, и Поскольку лемма доказана. Отметим, что при $z=0$ мы имеем следовательно,Замечание 1. Используемая в нашей работе антиголоморфная инволюция $\sigma$ совпадает с произведением голоморфной инволюции $\sigma$ на антиголоморфную инволюцию $\tau$ из работы [70]. Тем самым, используемое нами условие (28) вещественности дивизора совпадает со следствием из пары найденных в [70] условий на дивизор, порождаемых этими инволюциями. Замечание 2. В конечнозонной теории солитонных уравнений мы часто сталкиваемся со следующей ситуацией: достаточно легко удается построить решения системы, являющейся обобщением исследуемой, однако выделение подкласса спектральных данных, порождающих решения именно исходной системы, требует серьезных дополнительных усилий. Одной из задач такого типа является проблема выделения вещественных решений. Хорошо известно, что для таких уравнений, как уравнение Кортевега–де Фриза, дефокусирующее НУШ, уравнение $\sinh$-Гордон, уравнение Кадомцева–Петвиашвили 2, вещественные решения отвечают комплексным кривым с антиголоморфной инволюцией (комплексным сопряжением) с дивизорами, инвариантными относительно этой инволюции. Однако для таких уравнений, как самофокусирующее НУШ, уравнение $\sin$-Гордон, уравнение Кадомцева–Петвиашвили 1, описание дивизоров, отвечающих вещественным решениям, оказывается далеко не таким простым. Для самофокусирующего НУШ и уравнения $\sin$-Гордон эти условия были найдены в [16], причем ответ был сформулирован в терминах некоторых мероморфных дифференциалов, в настоящее время известных как дифференциалы Чередника. Отметим, что условие (28), с одной стороны, не является “наивным” как в дефокусирующем НУШ, а с другой стороны, не является условием чередниковского типа, поскольку в (28) не входит канонический класс поверхности. Аналогичная проблема связана с отбором решений, в которых часть полей тождественно обращается в нуль. Важная задача такого типа – задача о построении двумерных стационарных операторов Шрёдингера по данным с одного уровня энергии. Конечнозонные при одной энергии операторы с ненулевым магнитным полем были построены в 1976 г. в [23], однако задача о выделении спектральных данных, отвечающих тождественно нулевому магнитному полю, была решена только семью годами позже; при этом ответ, найденный в [79], [80], был также сформулирован в терминах дифференциалов Чередника. Выделение спектральных данных, отвечающих чисто магнитным операторам, было осуществлено много позднее в [32] с использованием совсем других подходов. 5. Тета-функциональные формулыОбозначим $\omega_j$ канонический базис голоморфных дифференциалов:
$$
\begin{equation}
\oint_{a_j}\omega_k=2\pi i \delta_{j,k}, \qquad \oint_{b_j} \omega_k=b_{jk},
\end{equation}
\tag{39}
$$
где $b_{jk}$ – матрица периодов Римана. Напомним, что эта матрица симметрична и ее вещественная часть отрицательно определена. Замечание 3. В литературе можно встретить две различные нормировки для базисных голоморфных дифференциалов: либо (39) (см. [9], [22], [27]), либо следующую (см. [56]): поэтому прежде чем применять тета-функциональные формулы, нужно проверить, какая из этих нормировок используется. Нам также понадобятся мероморфные дифференциалы $\Omega_0$, $\Omega_z$, $\Omega_{\overline z}$, $\Omega_t$ со следующими свойствами. 1. Они голоморфны вне отмеченных точек $\infty_1$, $\infty_2$. 2. Вблизи отмеченных точек они имеют следующие асимптотики:
$$
\begin{equation}
\Omega_0 =\begin{cases} [-\lambda_1^{-1}+O(\lambda_1^{-2})]\,d\lambda_1 & \text{ вблизи } \infty_1, \\ [\lambda_2^{-1}+O(\lambda_2^{-2})]\,d\lambda_2 & \text{ вблизи } \infty_2; \end{cases}
\end{equation}
\tag{41}
$$
$$
\begin{equation}
\Omega_z =\begin{cases} [1+O(\lambda_1^{-2})]\,d\lambda_1 & \text{ вблизи } \infty_1, \\ O(\lambda_2^{-2})\,d\lambda_2 & \text{ вблизи } \infty_2; \end{cases}
\end{equation}
\tag{42}
$$
$$
\begin{equation}
\Omega_{\overline z} =\begin{cases} O(\lambda_1^{-2})\,d\lambda_1 & \text{ вблизи } \infty_1, \\ [1+O(\lambda_2^{-2})]\,d\lambda_2 & \text{ вблизи } \infty_2\,; \end{cases}
\end{equation}
\tag{43}
$$
$$
\begin{equation}
\Omega_t =\begin{cases} [4i\lambda_1+O(\lambda_1^{-2})]\,d\lambda_1 & \text{ вблизи } \infty_1, \\ [-4i\lambda_2+O(\lambda_2^{-2})]\,d\lambda_2 & \text{ вблизи } \infty_2. \end{cases}
\end{equation}
\tag{44}
$$
3. Все $a$-периоды дифференциалов $\Omega_0$, $\Omega_z$, $\Omega_{\overline z}$, $\Omega_t$ равны нулю:
$$
\begin{equation}
\oint_{a_j} \Omega_0=\oint_{a_j} \Omega_z=\oint_{a_j} \Omega_{\overline z}= \oint_{a_j} \Omega_{t}= 0, \qquad j=1,\dots,g.
\end{equation}
\tag{45}
$$
Без потери общности мы можем выбрать в качестве начальной точки преобразования Абеля точку $\infty_1$. Также зафиксируем путь ${\mathcal P}_{0}$, соединяющий $\infty_1$ с $\infty_2$. Рассмотрим первообразные этих дифференциалов вблизи ${\mathcal P}_{0}$:
$$
\begin{equation}
\Omega_0=dF_0, \quad \Omega_z=dF_z, \quad \Omega_{\overline z}=dF_{\overline z}, \quad \Omega_t=dF_t,
\end{equation}
\tag{46}
$$
при этом предположим, что константы интегрирования выбраны так, что вблизи $\infty_1$
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} F_0&=-\log{\lambda_1}+o(1), &\qquad F_z&=\lambda_1 +o(1), \\ F_{\overline z}&=o(1), &\qquad F_t&=2i \lambda_1^2+o(1). \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{47}
$$
Определим константы ${\mathcal C}_0$, ${\mathcal C}_{z}$, ${\mathcal C}_{\overline z}$, ${\mathcal C}_{t}$ как коэффициенты в разложении первообразных вблизи точки $\infty_2$:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} F_0&=\log{\lambda_2}+{\mathcal C}_0+ o(1),&\qquad F_z&={\mathcal C}_{z} +o(1), \\ F_{\overline z}&=\lambda_2+{\mathcal C}_{\overline z}+o(1), &\qquad F_t&=-2i \lambda_2^2+{\mathcal C}_{t}+o(1). \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{48}
$$
Собственные функции представления нулевой кривизны даются формулой Итса, для двумерного оператора Дирака приведенной в [70]:
$$
\begin{equation}
\psi_1(\gamma,z,t) =\exp\biggl[z\int^{\gamma}\Omega_z+ \overline z\int^{\gamma}\Omega_{\overline z}+t\int^{\gamma}\Omega_t\biggr] \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad \times \frac{\theta(\vec A(\gamma)+\vec W_z z+ \vec W_{\overline z}\overline z+\vec W_{t}t-\vec A({\mathcal D})- \vec K)\theta(-\vec A({\mathcal D})-\vec K)}{\theta(\vec A(\gamma)- \vec A({\mathcal D})-\vec K)\theta(\vec W_z z+\vec W_{\overline z}\overline z+ \vec W_{t}t-\vec A({\mathcal D})-\vec K)}\,,
\end{equation}
\tag{49}
$$
$$
\begin{equation}
\psi_2(\gamma,z,t) =X_{-1}f(\gamma)\overline{\psi_1(\gamma,z,t)},
\end{equation}
\tag{50}
$$
где
$$
\begin{equation}
f(\gamma)={\mathcal C}_0^{-1} \exp\biggl[\int^{\gamma}\Omega_0\biggr] \frac{\theta(\vec A(\gamma)+\vec W_0-\vec A({\mathcal D})-\vec K) \theta(\vec A(\infty_2)-\vec A({\mathcal D})-\vec K)} {\theta(\vec A(\gamma)- \vec A({\mathcal D})-\vec K)\theta(\vec A(\infty_2)+\vec W_0- \vec A({\mathcal D})-\vec K)}\,;
\end{equation}
\tag{51}
$$
мы предполагаем, что правила выбора констант интегрирования в (49), (51) те же, что и в (47); в (51) мы дополнительно предполагаем, что путь, соединяющий $\infty_1$ с $\gamma$, – это путь ${\mathcal P}_0$ плюс путь, соединяющий $\infty_2$ с $\gamma$. Разлагая (49) вблизи $\infty_2$, мы получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \chi_0^+(z,t)&=\exp[z{\mathcal C}_z+\overline z{\mathcal C}_{\overline z}+ t{\mathcal C}_t] \notag \\ &\qquad \times \frac{\theta(\vec A(\infty_2)+\vec W_z z+ \vec W_{\overline z}\overline z+\vec W_{t}t-\vec A({\mathcal D})-\vec K) \theta(-\vec A({\mathcal D})-\vec K)}{\theta(\vec A(\infty_2)- \vec A({\mathcal D})-\vec K)\theta(\vec W_zz+\vec W_{\overline z}\overline z+ \vec W_{t}t-\vec A({\mathcal D})-\vec K)} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{52}
$$
и, учитывая (38),
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u(z,t)&=\exp[z{\mathcal C}_z+\overline z{\mathcal C}_{\overline z}+ t{\mathcal C}_t] \notag \\ &\qquad \times \frac{\theta(\vec A(\infty_2)+\vec W_z z+ \vec W_{\overline z}\overline z+\vec W_{t}t-\vec A({\mathcal D})-\vec K) \theta(-\vec A({\mathcal D})-\vec K)}{\theta(\vec A(\infty_2)- \vec A({\mathcal D})-\vec K)\theta(\vec W_zz+\vec W_{\overline z}\overline z+ \vec W_{t} t-\vec A({\mathcal D})-\vec K)} u(0,0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{53}
$$
Напомним, что тета-функция Римана – это следующий ряд Фурье [9], [22], [27]:
$$
\begin{equation}
\theta(\vec z)=\theta(\vec z|B)=\sum_{n_l\in\mathbb{Z},l=1,\dots,g} \exp\biggl[\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^g b_{jk}n_j n_k+\sum_{j=1}^g n_j z_j\biggr],
\end{equation}
\tag{54}
$$
где $\vec z=(z_1,\dots,z_g) \in \mathbb{C}^g$.
6. Прямое спектральное преобразованиеДля пространственно одномерных задач существование спектральной кривой для общих периодических потенциалов доказывается достаточно просто методами классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В противоположность одномерному случаю, двумерный требует привлечения значительно более сложного аналитического аппарата. В настоящее время используются два подхода. В [69], [73] спектральная кривая для двоякопериодической задачи (21) была построена с помощью теоремы Келдыша об аналитических пучках компактных операторов. В работах [48], [49] спектральные кривые для нестационарного оператора теплопроводности и для двоякопериодического двумерного оператора Шрёдингера при фиксированной энергии были построены методами теории возмущений, и в нашей статье мы следуем этому подходу. 6.1. Невозмущенная спектральная криваяДля начала отметим, что, в противоположность одномерному случаю, само существование “хорошей” спектральной кривой существенно зависит от аналитических свойств изучаемых операторов. Так, например, для операторов Лакса, используемых в теории уравнения ДС1 или Кадомцева–Петвиашвили 1, кривые, построенные указанными методами, не допускают хорошей локальной компактификации [73]. Поскольку уравнение ДС обладает масштабной симметрией, без потери общности мы можем положить $a=1$. Обозначим $\mathcal L$ оператор Дирака, умноженный слева на $\sigma_3$:
$$
\begin{equation}
{\mathcal L}={\mathcal L}_0+\epsilon {\mathcal L}_1, \qquad {\mathcal L}_0=\begin{bmatrix} \partial_x+ i\partial_y & 1 \\ 1 &-\partial_x+ i\partial_y \end{bmatrix}, \quad {\mathcal L}_1=\begin{bmatrix} 0 & v(x,y) \\ \overline v(x,y) & 0 \end{bmatrix}.
\end{equation}
\tag{55}
$$
Блоховские функции нулевого уровня энергии оператора ${\mathcal L}_0$ легко вычислить:
$$
\begin{equation}
\Psi_0(p,x,y,t)=\begin{bmatrix} 1 \\-ip +q \end{bmatrix} \exp[i(px+q y)-2pqt], \quad p^2+q^2=1, \quad p,q\in\mathbb{C}.
\end{equation}
\tag{56}
$$
Поэтому невозмущенная спектральная кривая $\Gamma_0$ задается уравнением и допускает удобную параметризацию:
$$
\begin{equation}
p=\frac{1}{2}\biggl[\tau+\frac{1}{\tau}\biggr], \qquad q=-\frac{i}{2}\biggl[\tau-\frac{1}{\tau}\biggr],
\end{equation}
\tag{58}
$$
следовательно, Невозмущенная волновая функция может быть записана в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\Psi_0(\tau,z,t)=\begin{bmatrix} 1 \\ -i\tau \end{bmatrix} \exp\biggl[\frac{i}{2}\biggl(\tau\overline z+\frac{z}{\tau}+ \biggl(\tau^2-\frac{1}{\tau^2}\biggr)t \biggr)\biggr].
\end{equation}
\tag{60}
$$
Для отмеченных точек и локальных параметров имеем
$$
\begin{equation}
\infty_1\colon\tau=0, \quad \infty_2\colon \tau=\infty, \quad \lambda_1=\frac{i}{2\tau}\,, \quad \lambda_2=\frac{i\tau}{2}\,.
\end{equation}
\tag{61}
$$
Собственные функции (56) являются блоховскими,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Psi_0(p,x+L_x,y,t)&=\varkappa_x \Psi_0(p,x,y,t), \\ \Psi_0(p,x,y+L_y,t)&=\varkappa_y \Psi_0(p,x,y,t), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{62}
$$
с блоховскими мультипликаторами
$$
\begin{equation}
\varkappa_x=\exp[ip L_x], \quad \varkappa_y=\exp[iq L_y].
\end{equation}
\tag{63}
$$
Следуя [48], [49], рассмотрим образ кривой $\Gamma_0$ под действием отображения (63). Пара точек $\tau_1=p_1+iq_1$, $\tau_2=p_2+iq_2$ называется резонансной, если образы этих точек совпадают:
$$
\begin{equation}
\varkappa_x(\tau_1)=\varkappa_x(\tau_2), \quad \varkappa_y(\tau_1)=\varkappa_y(\tau_2).
\end{equation}
\tag{64}
$$
Двоякопериодические малые возмущения операторов приводят к рождению узких ручек из резонансных пар [48], [49], [71], [73], поэтому естественно развивать теорию возмущений вблизи этих пар. По аналогии с [35], используя масштабную инвариантность уравнения ДС2, мы предполагаем, что Это предположение существенно упрощает вычисления.Фурье-гармоники возмущения нумеруются парами целых чисел:
$$
\begin{equation}
k_x=n_x\frac{2\pi}{L_x}\,, \quad k_y=n_y\frac{2\pi}{L_y}\,, \qquad n_x,n_y\in\mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{66}
$$
В нашей работе мы предполагаем, что периоды $L_x$, $L_y$ – общего положения, поэтому Если периоды не общего положения, необходимо исследовать возмущения точек высокой кратности. Это – интересная задача, требующая серьезных дополнительных исследований, и мы не будем обсуждать ее в нашей статье. Уравнение (64) эквивалентно следующей паре уравнений:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \tau_2-\tau_1=k_x+ i k_y, \\ \dfrac{1}{\tau_2}-\dfrac{1}{\tau_1}=k_x- i k_y, \end{cases}
\end{equation}
\tag{67}
$$
где $k_x$, $k_y$ задаются формулами (66) с целыми $n_x$, $n_y$. Замечание 4. Уравнение (67) допускает следующую интерпретацию: матричные элементы монохроматического возмущения с заданными $n_x$, $n_y$ отличны от нуля тогда и только тогда, когда выполнено (67). Тем самым, в главном порядке теории возмущений, в ответ входят только волновые функции резонансных пар. Если $k_x^2+k_y^2<4$, то данная мода неустойчива, в противном случае она устойчива. Тем самым, мы имеем резонансные пары $(\tau_1,\tau_2)$ следующих двух типов. 1. Резонансные пары, отвечающие неустойчивым модам ($k_x^2+k_y^2<4$):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau_1&=\frac{k_x+i k_y}{2} \biggl[-1 \pm i\sqrt{\frac{4-k_x^2 -k_y^2}{k_x^2+k_y^2}}\,\biggr], \\ \tau_2&=\frac{k_x+i k_y}{2} \biggl[1 \pm i\sqrt{\frac{4-k_x^2-k_y^2}{k_x^2+k_y^2}}\,\biggr], \end{aligned}\qquad |\tau_1|=|\tau_2|=1.
\end{equation}
\tag{68}
$$
По аналогии с НУШ [33], [35], удобно параметризовать неустойчивые моды углами:
$$
\begin{equation}
k_x=2 \cos\phi \cos\theta,\quad k_y=2 \cos\phi \sin\theta.
\end{equation}
\tag{69}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\tau_1=-e^{i(\theta\mp\phi)}, \quad \tau_2=e^{i(\theta\pm\phi)}.
\end{equation}
\tag{70}
$$
2. Резонансные пары, отвечающие устойчивым модам ($k_x^2+k_y^2>4$):
$$
\begin{equation}
\tau_1=\frac{k_x+ik_y}{2} \biggl[-1+\sqrt{\frac{k_x^2+k_y^2-4}{k_x^2+k_y^2}}\,\biggr], \qquad \tau_2=-\frac{1}{\overline\tau_1}\,.
\end{equation}
\tag{71}
$$
Замечание 5. Поскольку имеет место условие вещественности, волновые векторы $(k_x,k_y)$ и $(-k_x,-k_y)$ появляются в формулах одновременно и отвечают одной и той же неустойчивой моде. По аналогии с [33] мы вводим конечнозонную аппроксимацию, пренебрегая всеми устойчивыми модами. Рассмотрим все резонансные пары $(\tau_{2j-1},\tau_{2j})$, $j=1,\dots,2N$, отвечающие неустойчивым модам, где $N$ – число таких мод. Мы также предположим, что $\operatorname{Im}(\tau_{2j-1}\tau_{2j}^{-1})>0$ для всех $j$ и точки $\tau_1,\tau_3,\tau_5,\dots,\tau_{2j-1}$ упорядочены по часовой стрелке. Пример 1 (см. рис. 1). Пусть $L_x=2\pi/1.2$, $L_y=2\pi/1.4$. Тогда $k_x=1.2 n_x$, $k_y=1.4 n_y$ и мы имеем четыре неустойчивые моды: и восемь пар резонансных точек:
 Рис. 1.Рис. (a): нумерация резонансных точек в примере 1. Рис. (b): система $a$- и $c$-циклов в примере 1. Рис. (c): соответствующая система $a$- и $b$-циклов. Зададим систему базисных циклов на невозмущенной спектральной кривой. В качестве $a_j$ выберем маленькие циклы вокруг точек $\tau_{2j}$, ориентированные против часовой стрелки, или, что эквивалентно, выберем маленькие циклы вокруг точек $\tau_{2j-1}$, ориентированные по часовой стрелке. Обозначим $c_j$ интервалы, начинающиеся в точке $\tau_{2j-1}$ и заканчивающиеся в точке $\tau_{2j}$. Понятно, что но $c_j\cdot c_k$ не обязательно равны нулю. Однако если мы определим $b_j$ формулой то получим канонический базис циклов на невозмущенной кривой:
$$
\begin{equation*}
a_j \cdot a_k=b_j \cdot b_k=0, \quad a_j \cdot b_k=\delta_{j,k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 6. Конечно же, выбор $b$-циклов, отвечающих данной системе $a$-циклов, неоднозначен, поскольку любое целочисленное симплектическое преобразование вида В нашей работе мы используем то же приближение, что и в [33]: внедиагональные члены матрицы Римана и $b$-периоды мероморфных дифференциалов c нулевыми $a$-периодами вычисляются на невозмущенной кривой. Базисные дифференциалы на невозмущенной кривой $\Gamma_0$ даются явными формулами:
$$
\begin{equation}
\omega_j=\biggl[\frac{1}{\tau-\tau_{2j}}- \frac{1}{\tau-\tau_{2j-1}}\biggr]\,d\tau= d\log\biggl[\frac{\tau-\tau_{2j}}{\tau-\tau_{2j-1}}\biggr],\qquad j=1,\dots,g,
\end{equation}
\tag{75}
$$
$$
\begin{equation}
dp=d\biggl(\frac{1}{2}\biggl[\tau+\frac{1}{\tau}\biggr]\biggr)= \frac{iq}{\tau}\,d\tau, \qquad dq=-d\biggl(\frac{i}{2}\biggl[\tau-\frac{1}{\tau}\biggr]\biggr)= -\frac{i p}{\tau}\,d\tau
\end{equation}
\tag{76}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \Omega_0&=\frac{d\tau}{\tau}=d\log\tau, &\qquad \Omega_{z}&=-\frac{id\tau}{2\tau^2}=d\biggl(\frac{i}{2\tau}\biggr), \\ \Omega_{\overline z}&=\frac{i}{2}\,d\tau, &\qquad \Omega_t&=\frac{i}{2}\,d\biggl(\tau^2-\frac{1}{\tau^2}\biggr). \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{77}
$$
Лемма 3. На невозмущенной кривой мы имеем следующие формулы для периодов: Замечание 7. Двойное отношение в (81) всегда вещественно, однако его знак зависит от взаимного расположения точек $\tau_{2j-1}$, $\tau_{2j}$, $\tau_{2k-1}$, $\tau_{2k}$. Возможны три случая – см. рис. 3.  Рис. 3.Возможные конфигурации в формуле (81). Рис. (a), (b): двойное отношение положительно и $b_{jk}$ вещественно. Рис. (c): двойное отношение отрицательно и $b_{jk}$ – вещественное число плюс $\pi i$. 6.2. Возмущенная спектральная кривая в главном порядкеОграничим оператор ${\mathcal L}$ на пространство ${\mathcal F}(p,q)$ блоховских функций с фиксированными блоховскими мультипликаторами:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \psi(x+L_x,y)=\varkappa_x \psi(x,y), \quad \psi(x,y+L_y)=\varkappa_y \psi(x,y), \\ \varkappa_x=\exp{[iL_x p]}, \quad \varkappa_y=\exp{[iL_yq]}, \qquad p,q\in\mathbb{C}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{83}
$$
Для оператора ${\mathcal L}_0$ можно выписать следующий базис собственных функций в ${\mathcal F}(p,q)$:
$$
\begin{equation}
\psi^{(\pm)}_{m,n}=\begin{bmatrix} 1 \\ -i p_m \pm \sqrt{1-p_m^2}\, \end{bmatrix} \exp\bigl(i[p_m x+q_n y]\bigr),
\end{equation}
\tag{84}
$$
где
$$
\begin{equation}
p_m=p+\frac{2\pi}{L_x}m, \quad q_n=q+\frac{2\pi}{L_y}n, \qquad m,n\in\mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{85}
$$
удовлетворяющих уравнению на собственные значения:
$$
\begin{equation}
{\mathcal L}_0 \psi^{(\pm)}_{m,n}= \bigl(-q_n \pm \sqrt{1-p_m^2}\,\bigr)\psi^{(\pm)}_{m,n}.
\end{equation}
\tag{86}
$$
В (83)–(86) мы не предполагаем, что $p^2+q^2=1$. Рассмотрим неустойчивое монохроматическое возмущение:
$$
\begin{equation}
v(x,y)=c_{j} e^{i(k_x x+k_y y)}+c_{-j} e^{-i(k_x x+k_y y)}, \qquad k_x,k_y \in \mathbb{R}, \quad k_x^2+ k_y^2 < 4,
\end{equation}
\tag{87}
$$
и одну из соответствующих резонансных пар $(\tau_{2j-1},\tau_{2j})$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \tau_{2j-1}=p_{2j-1}+iq_{2j-1}, \qquad \tau_{2j}=p_{2j}+i q_{2j}, \\ p_{2j}-p_{2j-1}=k_x, \qquad q_{2j}-q_{2j-1}=k_y, \\ |\tau_{2j-1}|=|\tau_{2j}|=1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{88}
$$
(Как мы указывали выше, каждой неустойчивой моде соответствуют две резонансные пары: $(\tau_{2j-1},\tau_{2j})$ и $(\tau_{2j+2N-1},\tau_{2j+2N})=(-\tau_{2j},-\tau_{2j})$.) Ограничение ${\mathcal L}_0$ на ${\mathcal F}(p_{2j-1},q_{2j-1})={\mathcal F}(p_{2j},q_{2j})$ имеет двумерное ядро, порожденное функциями $f^{(+)}_{2j-1}$, $f^{(+)}_{2j}$, где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f^{(\pm)}_{2j-1}&=\begin{bmatrix} 1 \\ -i p_{2j-1} \pm q_{2j-1} \end{bmatrix} \exp\bigl(i[p_{2j-1}x+q_{2j-1}y]\bigr), \\ f^{(\pm)}_{2j}&=\begin{bmatrix} 1 \\ -i p_{2j} \pm q_{2j} \end{bmatrix} \exp\bigl(i[p_{2j}x+q_{2j}y]\bigr). \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{89}
$$
Следуя [48], [49], вычислим возмущение римановой поверхности вблизи указанной резонасной пары. Обозначим $\widehat{\mathcal F}(\delta p,\delta q)$ пространство блоховских функций с мультипликаторами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde\varkappa_x=\exp{[iL_x(p_{2j-1}+\delta p)]}, \quad \widetilde\varkappa_y=\exp{[iL_y (q_{2j-1}+\delta q)]}, \\ \notag |\delta p|\ll1, \quad |\delta q|\ll1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{90}
$$
В главном порядке по $\delta p$, $\delta q$ мы имеем:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widetilde f_k^{(\pm)}&=\begin{bmatrix} 1 \\ -i p_{2j-2+k} \pm q_{k}-i\delta p \mp \dfrac{p_{k}}{q_{k}} \delta p \end{bmatrix} \\ &\qquad\times \exp\bigl(i[(p_{k}+\delta p)x+(q_{k}+\delta q)y]\bigr),\qquad k=2j-1,2j, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{91}
$$
и
$$
\begin{equation}
{\mathcal L}_0 \widetilde f_{k}^{(+)}= \biggl(-\delta q-\frac{p_{k}}{q_{k}}\delta p\biggr)\widetilde f_{k}^{(+)}.
\end{equation}
\tag{92}
$$
В главном порядке блок в матрице оператора ${\mathcal L}_1$, отвечающий данному подпространству, имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{bmatrix} 0 & \langle f^{(+)}_{2j-1}|{\mathcal L}_1|f^{(+)}_{2j}\rangle \\ \langle f^{(+)}_{2j}|{\mathcal L}_1|f^{(+)}_{2j-1}\rangle & 0 \end{bmatrix}.
\end{equation}
\tag{93}
$$
Вычислим матричные элементы, входящие в (93). Векторы двойственного базиса $f_{k}^{(+)*}$, $k=2j-1,2j$, имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f^{(+)*}_{k}(x+L_x,y)&=\exp{[-iL_x p_{k}]} f^{(+)*}_{k}(x,y), \\ f^{(+)*}_{k}(x,y+L_y)&=\exp{[-iL_y q_{k}]} f^{(+)*}_{k}(x,y), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{94}
$$
причем
$$
\begin{equation}
\langle f^{(+)*}_{k},f_{l}^{(+)}\rangle=\delta_{k,l}, \quad \langle f^{(+)*}_{k},f_{l}^{(-)}\rangle=0, \qquad l=2j-1,2j;
\end{equation}
\tag{95}
$$
поэтому
$$
\begin{equation}
f^{(+)*}_{k}=\frac{1}{2 L_x L_y q_{k}}\begin{bmatrix} i \overline\tau_{k}, 1 \end{bmatrix} \exp(-i[ p_{k} x+q_{k} y])
\end{equation}
\tag{96}
$$
и
$$
\begin{equation}
\nonumber \langle f^{(+)}_{2j-1}|{\mathcal L}_1|f^{(+)}_{2j}\rangle = \frac{1}{2 q_{2j-1}}\begin{bmatrix} i \overline\tau_{2j-1}, 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & c_{-j} \\ \overline c_j & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ -i \tau_{2j} \end{bmatrix}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=-\alpha_j=\frac{\overline{c}_j+\overline\tau_{2j-1}\tau_{2j} c_{-j}} {2q_{2j-1}}\,,
\end{equation}
\tag{97}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \langle f^{(+)}_{2j}|{\mathcal L}_1|f^{(+)}_{2j-1}\rangle = \frac{1}{2 q_{2j}}\begin{bmatrix} i \overline\tau_{2j}, 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & c_{j} \\ \overline c_{-j} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ -i \tau_{2j-1} \end{bmatrix}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\beta_j=\frac{\overline{c}_{-j}+\overline\tau_{2j}\tau_{2j-1} c_{j}} {2q_{2j}}\,.
\end{equation}
\tag{98}
$$
Пусть $(\tau_{2j-1},\tau_{2j})$ и $(\tau_{2j-1+2N},\tau_{2j+2N})=(-\tau_{2j-1},-\tau_{2j})$ – две пары резонансных точек, отвечающих одному и тому же монохроматическому возмущению. Тогда несложно проверить, что
$$
\begin{equation}
\alpha_{j+N}\beta_{j+N}=\overline{\alpha_{j}\beta_{j}}.
\end{equation}
\tag{99}
$$
Вблизи резонансной пары $(\tau_{2j-1},\tau_{2j})$ спектральная кривая в главном порядке задается соотношением
$$
\begin{equation}
\det\begin{bmatrix} -\dfrac{p_{2j-1}}{q_{2j-1}} \delta p -\delta q & -\varepsilon\alpha_j \\ \varepsilon\beta_j & -\dfrac{p_{2j}}{q_{2j}} \delta p -\delta q \end{bmatrix}=0.
\end{equation}
\tag{100}
$$
Используя уравнение (100), мы локально определяем $\delta q$ как двузначную функцию от $\delta p$. Отметим, что $\delta p$ – локальный параметр, корректно определенный вблизи точек $\tau_{2j-1}$, $\tau_{2j}$ и задающий локальный изоморфизм окрестностей этих точек, а отображение локально является двулистным накрытием. Для вычисления его точек ветвления положим
$$
\begin{equation}
\delta q=\delta\widetilde q-\frac{1}{2}\biggl[\frac{p_{2j-1}}{q_{2j-1}}+ \frac{p_{2j}}{q_{2j}}\biggr]\delta p,
\end{equation}
\tag{102}
$$
после чего уравнение (100) приобретает вид
$$
\begin{equation}
\det\begin{bmatrix} -\dfrac{q_{2j}p_{2j-1}-q_{2j-1}p_{2j}}{2q_{2j-1}q_{2j}}\delta p- \delta\widetilde q & -\varepsilon\alpha_j \\ \varepsilon\beta_j & \dfrac{q_{2j}p_{2j-1}-q_{2j-1}p_{2j}}{2q_{2j-1}q_{2j}}- \delta\widetilde q \end{bmatrix}=0.
\end{equation}
\tag{103}
$$
Точки ветвления отвечают двойным корням уравнения (103) по переменной $\widetilde\delta q$ и соответствуют следующим значения $\delta p$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \delta p=\pm \frac{2q_{2j-1}q_{2j}}{q_{2j}p_{2j-1}-q_{2j-1}p_{2j}} \varepsilon\sqrt{\alpha_j \beta_j}\,, \\ \frac{p_{2j-1}}{q_{2j-1}} \delta p +\delta q= \pm\varepsilon\sqrt{\alpha_j \beta_j}\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{104}
$$
Отметим, что
$$
\begin{equation*}
q_{2j}p_{2j-1}-q_{2j-1}p_{2j}=\operatorname{Im} \frac{\tau_{2j}}{\tau_{2j-1}}= \operatorname{Im}(\tau_{2j}\overline\tau_{2j-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее мы фиксируем одно из значений $\sqrt{\alpha_j \beta_j}$ и используем именно это значение во всех формулах. Например, для данных общего положения можно считать, что $\operatorname{Re}\sqrt{\alpha_j \beta_j}>0$. Учитывая (76), мы получаем следующую формулу для точек ветвления указанного отображения в главном порядке вблизи точек $\tau_{2j-1}$ и $\tau_{2j}$ соответственно:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, E_{4j-4+k}&=\tau_{2j-1}+(-1)^{k-1}\,\frac{2\tau_{2j-1}q_{2j}} {i\operatorname{Im}(\tau_{2j}\overline\tau_{2j-1})}\, \varepsilon\sqrt{\alpha_j \beta_j}\,, \\ E_{4j-2+k}&=\tau_{2j-1}+(-1)^{k-1}\,\frac{2\tau_{2j}q_{2j-1}} {i\operatorname{Im}(\tau_{2j}\overline\tau_{2j-1})}\, \varepsilon\sqrt{\alpha_j \beta_j}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{105}
$$
Мы используем следующее соглашение:
$$
\begin{equation}
\delta p=\begin{cases} \dfrac{2q_{2j-1}q_{2j}}{\operatorname{Im}(\tau_{2j}\overline\tau_{2j-1})}\, \varepsilon\sqrt{\alpha_j\beta_j} & \text{в точках}\ E_{4j-3} \sim E_{4j-1}, \\ -\dfrac{2q_{2j-1}q_{2j}}{\operatorname{Im}(\tau_{2j}\overline\tau_{2j-1})}\, \varepsilon\sqrt{\alpha_j\beta_j} & \text{в точках}\ E_{4j-2} \sim E_{4j}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{106}
$$
Спектральная кривая возмущенного оператора определена следующим образом (см. рис. 4). Мы разрезаем $\tau$-плоскость вдоль интервалов $(E_{2j-1},E_{2j})$. Для каждой резонансной пары $(\tau_{2j-1},\tau_{2j})$ мы склеиваем границы разрезов $(E_{4j-3},E_{4j-2})$ и $(E_{4j-1},E_{4j})$. Точка $E_{4j-3}$ приклеивается к точке $E_{4j-1}$, а точка $E_{4j-2}$ – к точке $E_{4j}$. Более того, если мы склеиваем пару точек, то блоховские мультипликаторы $\varkappa_x$ в них совпадают. Цикл $a_j$ – это овал, окружающий разрез $(E_{4j-1},E_{4j})$ и ориентированный против часовой стрелки, цикл $c_j$ – объединение ориентированных интервалов $[E_{4j-3},0]$ и $[0,E_{4j-1}]$, циклы $b_j$ задаются формулой (73). Для вычисления в главном порядке базисного дифференциала $\omega_j$ достаточно знать положение точек $E_k$, $k=4j-3,\dots,4j$, а остальные точки ветвления появляются в более высоких порядках. На соответствующей эллиптической кривой можно использовать следующее приближение:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \omega_j&=\frac{d\tau}{\sqrt{(\tau-E_{4j-1})(\tau-E_{4j})}}- \frac{d\tau}{\sqrt{(\tau-E_{4j-3})(\tau-E_{4j-2})}} \\ &=d\log\biggl[\frac{\tau-\tau_{2j}+\sqrt{(\tau-E_{4j-1})(\tau-E_{4j})}} {\tau-\tau_{2j-1}+ \sqrt{(\tau-E_{4j-3})(\tau-E_{4j-2})}}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{107}
$$
В (107) мы предполагаем, что если $\tau-\tau_{2j-1}$ – величина порядка 1, то
$$
\begin{equation*}
\sqrt{(\tau-E_{4j-3})(\tau-E_{4j-2})}\sim \tau-\tau_{2j-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, если $\tau-\tau_{2j}$ – величина порядка 1, то
$$
\begin{equation*}
\sqrt{(\tau-E_{4j-2})(\tau-E_{4j-1})}\sim \tau-\tau_{2j},
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому вдали от резонансных точек формула (107) в главном порядке совпадает с (75). Вблизи резонансных точек мы имеем в главном порядке:
$$
\begin{equation}
\omega_j=\begin{cases} d\log\bigl[\tau-\tau_{2j}+\sqrt{(\tau-E_{4j-1})(\tau-E_{4j})}\,\bigr], & \tau\sim\tau_{2j}, \\ -d\log\bigl[\tau-\tau_{2j-1}+\sqrt{(\tau-E_{4j-2})(\tau-E_{4j-2})}\,\bigr], & \tau\sim\tau_{2j-1}; \end{cases}
\end{equation}
\tag{108}
$$
поэтому базисный дифференциал $\omega_j$ на ручке, соединяющей $\tau_{2j-1}$ с $\tau_{2j}$, может быть записан как
$$
\begin{equation}
\omega_j=d\log\biggl[\frac{p_{2j-1}}{q_{2j-1}} \delta p+\delta q\biggr]= -d\log\biggl[\frac{p_{2j}}{q_{2j}} \delta p+\delta q\biggr].
\end{equation}
\tag{109}
$$
Точки дивизора задаются следующим условием: первая компонента блоховской собственной функции возмущенного оператора равна нулю при $z=0$, или, что эквивалентно,
$$
\begin{equation}
\begin{bmatrix} -\dfrac{p_{2j-1}}{q_{2j-1}} \delta p -\delta q & -\varepsilon\alpha_j \\ \varepsilon\beta_j & -\dfrac{p_{2j}}{q_{2j}}-\delta q \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix};
\end{equation}
\tag{110}
$$
поэтому для точки дивизора $\gamma_j$ получаем уравнение
$$
\begin{equation}
\frac{p_{2j-1}}{q_{2j-1}}\delta p+\delta q=\varepsilon\alpha_j.
\end{equation}
\tag{111}
$$
Сопоставляя (104) с (111), мы получаем следующее утверждение. Лемма 4. Пусть $E_{4j-3}$ – точка ветвления, получающаяся при возмущении резонансной пары $(\tau_{2j-1},\tau_{2j})$ и задаваемая формулой (106). Пусть она выбрана в качестве начальной точки преобразования Абеля. Тогда в главном порядке мы имеем следующую формулу для преобразования Абеля точки дивизора $\gamma_j$: Замечание 8. Несложно проверяется, что для $j\leqslant N$ точка $\sigma\gamma_{j+N}$ задается уравнением В этом же приближении для преобразования Абеля с начальной точкой $\tau=0$ получаем:
$$
\begin{equation}
A_j(E_{4j-3}) =-\log\biggl[\frac{\tau_{2j} q_{2j}} {i\operatorname{Im}(\tau_{2j}\tau_{2j-1}^{-1})(\tau_{2j-1}-\tau_{2j})} \varepsilon\sqrt{\alpha_j\beta_j}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{115}
$$
$$
\begin{equation}
A_j(E_{4j-1}) =\log\biggl[\frac{\tau_{2j-1} q_{2j-1}} {i\operatorname{Im}(\tau_{2j}\tau_{2j-1}^{-1})(\tau_{2j}-\tau_{2j-1})} \varepsilon\sqrt{\alpha_j\beta_j}\,\biggr]
\end{equation}
\tag{116}
$$
и
$$
\begin{equation}
b_{jj}=A_j(E_{4j-1})-A_j(E_{4j-3})= \log\biggl[\frac{\tau_{2j-1}\tau_{2j} q_{2j-1}q_{2j}} {\operatorname{Im}^2(\tau_{2j}\tau_{2j-1}^{-1})(\tau_{2j-1}-\tau_{2j})^2} \varepsilon^2(\alpha_j\beta_j)\biggr].
\end{equation}
\tag{117}
$$
Замечание 9. Асимптотика для абелевых дифференциалов и матрицы Римана для римановых поверхностей с перетягиваемыми циклами обсуждается в книге [27]; более того, используя технику данной книги, можно вычислить поправки второго порядка малости. Для поверхностей, близких к вырожденным, хорошо работает параметризация Шоттки (см. книгу [9] и ссылки в ней). Замечание 10. Если одна из величин $\alpha_j$, $\beta_j$ в (106) равна нулю, то соответствующая резонансная точка становится двойной точкой в главном порядке приближения. Используя аргументы, аналогичные приведенным в [48], [49], несложно убедиться, что регулярное двоякопериодическое возмущение можно выбрать так, чтобы двойная точка получалась в точной теории. Для двумерных операторов Шрёдингера при одной энергии тот факт, что особые спектральные кривые могут отвечать гладким двоякопериодическим потенциалам, был отмечен в [48]. Заметим, что неустранимые двойные точки могут рождаться лишь из резонансных пар, отвечающих неустойчивым модам; резонансные пары, отвечающие устойчивым модам, после возмущения либо порождают тонкие ручки, либо остаются устранимыми двойными точками. Роль особых кривых в теории солитонных уравнений, включая ДС2 и модифицированное уравнение Веселова–Новикова, изучалась в работах [71], [74]. 7. Вектор римановых константПусть $P_0$ обозначает начальную точку интегрирования в преобразовании Абеля $P_0$. Для вектора римановых констант имеется следующая формула (см. [22]):
$$
\begin{equation}
K_j=\frac{b_{jj}}{2}-\pi i-\frac{1}{2\pi i}\sum_{k\ne j}^{2N} \int_{\widetilde a^k} A_j(\gamma)\omega_k,
\end{equation}
\tag{118}
$$
где $A_j(\gamma)$ обозначает $j$-ю компоненту преобразования Абеля точки $\gamma$: В этой формуле очень важен правильный выбор базисных циклов. Точнее, необходимо, чтобы были выполнены следующие условия. 1. Все циклы начинаются и заканчиваются в одной и той же точке $Q_0$. 2. Вне точки $Q_0$ кривые, представляющие циклы, не пересекаются. 3. Вблизи точки $Q_0$ кривые, представляющие циклы, подходят к $Q_0$ в следующем порядке (если считать по часовой стрелке): начало $a_1$, конец $b_1$, конец $a_1$, начало $b_1$, начало $a_2$, конец $b_2$, конец $a_2$, начало $b_2$, …, начало $b_g$. См. рис. 5, (a), для $g=8$. Базис циклов с указанными свойствами изображен на рис. 5, (c). Понятно, что при $j \ne k$ в $\epsilon$-окрестности разреза $[E_{4k-3},E_{4k-2}]$ мы имеем и, соответственно,
$$
\begin{equation}
-\frac{1}{2\pi i}\int_{\widetilde a^k} A_j(\gamma)\omega_k= -A_j(E_{2k-1})+O(\epsilon).
\end{equation}
\tag{121}
$$
Действуя по аналогии с работой [35], модифицируем наши формулы. Пусть точка дивизора $\gamma_k$ лежит вблизи цикла $a_k$. Для нее переопределим преобразование Абеля, полагая Из условия неизменности аргумента тета-функции после данного переопределения вытекает, что в модифицированной формуле
$$
\begin{equation}
K_j=\frac{b_{jj}}{2}-\pi i+A_j(E_{4j-3})+O(\epsilon).
\end{equation}
\tag{123}
$$
8. Основные результаты работыВ заключение приведем краткое изложение основных результатов работы. Рассмотрим фокусирующее уравнение Дэви–Стюартсона 2 (16) на пространстве двоякопериодических функций с периодами $L_x$ и $L_y$ по переменным $x$ и $y$ соответственно. Мы используем для (16) термин двоякопериодическая задача Коши для аномальных волн, если данные Коши являются малым двоякопериодическим возмущением (17) постоянного фона. Теорема 1. Пусть данные Коши (17) для уравнения (16) удовлетворяют следующим условиям. 1. Фон является неустойчивым: открытый диск $k_x^2+k_y^2 < 4|a|^2$ содержит хотя бы одну точку $(k_x,k_y)$, задаваемую формулой (66) с $(n_x,n_y)\ne(0,0)$. 2. Периоды $L_x$, $L_y$ – общего положения, а именно:
3. Данные Коши удовлетворяют следующему условию общности положения: для всех неустойчивых мод мы имеем $\alpha_j\beta_j\ne 0$. (Напомним, что величины $\alpha_j$, $\beta_j$ выражаются через соответствующие коэффициенты Фурье возмущения с помощью формул (97), (98) соответственно.) Для упрощения окончательных формул мы дополнительно предположим, что $a=1$ и нулевой коэффициент Фурье возмущения $v_0(x,y)$ равен нулю – см. (65). Благодаря масштабной симметрии уравнения ДС эти условия можно наложить без потери общности. Тогда, в пределе $|\varepsilon|\ll 1$, решение задачи Коши (17) для фокусирующего уравнения ДС2 в главном порядке дается формулой (53), где ${\mathcal C}_z={\mathcal C}_{\overline z}={\mathcal C}_t=0$, тета-функция Римана определяется формулой (54) с $g=2N$ (здесь $N$ обозначает число неустойчивых мод; при его вычислении мы предполагаем, что $(n_x,n_y)\ne(0,0)$), матрица Римана периодов $B=(b_{jl})$ задана формулами (117), (81), векторы $\vec W_z$, $\vec W_{\overline z}$, $\vec W_{t}$ заданы формулой (79), $\vec A(\infty_1)=\vec 0$, $\vec A(\infty_2)$ задан формулой (80), вектор $\vec A({\mathcal D})$ задан формулой (112), вектор римановых констант $\vec K$ задан формулами (123), (115). Более того, в соответствии со схемой работы [35], в формуле (54) достаточно сохранять лишь ведущие члены, поэтому окончательный ответ выписывается в терминах элементарных функций от данных Коши. Эти ведущие члены различны для различных областей в пространстве $(x,y,t)$, поэтому аппроксимирующие формулы зависят от выбранной области. По аналогии с [35], границы этих областей явно вычисляются через данные Коши. Авторы выражают благодарность А. Богатыреву за полезные обсуждения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GriSan22} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|