|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях)
Конечнозонный подход в периодической задаче Коши для $(2+1)$-мерных аномальных волн фокусирующего уравнения Дэви–Стюартсона 2
П. Г. Гриневичa, П. М. Сантиниbc a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
b Dipartimento di Fisica, Università di Roma "La Sapienza", Roma, Italy
c Istituto Nazionale di Fisica Nucleare (INFN), Sezione di Roma,
Roma, Italy
Аннотация:
Фокусирующее нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ) является простейшей универсальной моделью, описывающей модуляционную неустойчивость (МН) квазимонохроматических волн в слабонелинейных средах в размерности $1+1$, тогда как МН считается основным физическим механизмом, ответственным за рождение аномальных волн (АВ, волн-убийц) в природе. Опираясь на недавно развитую аналитическую теорию периодических АВ в фокусирующем НУШ, в данной работе мы развиваем аналогичную теорию в размерности $2+1$, концентрируясь на фокусирующем уравнении Дэви–Стюартсона 2 (ДС2), которое является интегрируемым $(2+1)$-мерным обобщением фокусирующего НУШ. Точнее говоря, мы используем конечнозонную теорию для построения в главном порядке решения двоякопериодической по пространственным переменным задачи Коши для фокусирующего уравнения ДС2 в предположении, что в начальный момент имеется малое возмущение неустойчивого фона. Эту задачу мы называем двоякопериодической задачей Коши для АВ. Как и в случае НУШ, мы показываем, что решение данной задачи Коши в главном порядке выражается в терминах элементарных функций начальных данных.
Библиография: 86 названий.
Ключевые слова:
уравнение Дэви–Стюартсона, волны-убийцы (аномальные волны) в многомерных задачах, двоякопериодическая задача Коши, конечнозонное интегрирование, асимптотические решения.
Поступила в редакцию: 23.06.2022
1. Введение Аномальные волны (АВ), известные также как волны-убийцы, – это экстремальные волны аномально большой амплитуды относительно соседних волн, они появляются как бы ниоткуда и исчезают без следа. Впервые изучение таких волн было начато на глубокой воде, а сам термин волны-убийцы был придуман океанологами (такие волны могут превышать по высоте 20 метров и быть очень опасными). Хотя существование АВ было печально известно с древних времен и периодически становилось предметом обсуждения в литературе, первое научно подтвержденное наблюдение и измерение АВ было осуществлено лишь в 1995 г. на нефтяной платформе “Дропнер” в Северном море [36]. После пионерской работы по оптическим волокнам [67] стало понятно, что АВ не ограничены океанской средой, а присутствуют буквально везде в природе; их удалось увидеть (либо предсказать их появление) в нелинейной оптике [67], [40], [41], [4], [51], в конденсате Бозе–Эйнштейна [81], [13], в физике плазмы [7], [55] и в других физических системах. Для систем с нелинейностью признанное объяснение образования АВ основано на механизме модуляционной неустойчивости (МН), впервые открытом в нелинейной оптике [12] и теории волн в океане [10], [82], однако связь этого механизма с генерацией АВ была осознана лишь в последние 20 лет. Для понимания аналитически свойств АВ очень важен тот факт, что нелинейная стадия МН в размерности $1+1$ хорошо описывается точными решениями интегрируемого [85], [86] фокусирующего нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ) в размерности $1+1$
$$
\begin{equation}
i u_t +u_{xx}+2 |u|^2 u=0, \qquad u=u(x,t)\in\mathbb{C}, \quad x,t\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{1}
$$
известными как бризеры [50], [65], [5], которые можно рассматривать как базовые модели АВ [24], [37], [62], [83], [4], [8]. Эти решения воспроизводятся в волновых бассейнах, оптических волокнах и фоторефрактивных кристаллах с высокой точностью [15], [40], [66]. Используя конечнозонный подход, недавно для уравнения НУШ удалось построить решение задачи Коши для периодического возмущения неустойчивого фона (данную задачу мы называем задачей Коши для АВ) в главном порядке [33], [35] в случае конечного числа неустойчивых мод, что позволило получить количественное описание повторяемости мультибризерных обобщений [39] бризеров Ахмедиева [5]. В простейшем случае одной неустойчивой моды мы имеем повторяемость АВ типа Ферми–Паста–Улама–Цингу, описываемую последовательностью бризеров Ахмедиева [33], [34]. В дополнение к этому была построена конечнозонная теория возмущений для АВ в размерности $1+1$, позволяющая аналитически описывать [17], [19] эффекты порядка единицы, возникающие за счет малых поправок к модели НУШ динамики АВ (см. также [18]). Отметим, что в данной работе мы используем термин “аномальные волны” в расширенном смысле, понимая под такими волнами когерентные структуры порядка 1 или, больше, формирующиеся на неустойчивом фоне и порожденные МН; предыдущие результаты по АВ для НУШ относились к аналитическим аспектам детерминистической теории периодических АВ для конечного числа неустойчивых мод. Когерентные структуры аномально большой амплитуды по отношению к окружению возникают за счет конструктивного взаимодействия неустойчивых мод. Поэтому формирование АВ, строго говоря, носит статистический характер. Статистические аспекты теории АВ для НУШ исследованы в работах [31], [21], [26], [25]. В то время как оптические волокна представляют собой естественную лабораторию для наблюдения $(1+1)$-мерных АВ, океанские волны естественно двумерны, и не вполне понятно, в какой мере упомянутые выше аналитические решения $(1+1)$-мерного НУШ наблюдаемы в океанских волнах и каковы пределы их применимости к многомерной нелинейной оптике [28], [61]. В настоящее время нет хорошего понимания детерминистических и статистических аспектов АВ в размерности $2+1$; основная трудность связана с тем, что большинство физически осмысленных $(2+1)$-мерных обобщений НУШ неинтегрируемы и известные методы построения точных решений для них не работают. К таким уравнениям относятся эллиптическое НУШ, используемое в нелинейной оптике [57], [42], гиперболическое НУШ, используемое в теории гравитационных волн на глубокой воде [82], и большинство уравнений типа Дэви–Стюартсона [20], используемых в нелинейной оптике, волнах на воде, физике плазмы и теории Бозе-конденсата [11], [20], [1], [58], [38]. Интегрируемое уравнение Дэви–Стюартсона (ДС) [6], [2] может быть записано в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, i u_t +u_{xx}-\nu^2 u_{yy}+2\eta q u=0, \qquad \eta=\pm 1, \quad \nu^2=\pm 1, \\ q_{xx}+\nu^2 q_{yy}=(|u|^2)_{xx}-\nu^2(|u|^2)_{yy}, \\ u=u(x,y,t)\in\mathbb{C}, \quad q(x,y,t)\in\mathbb{R}, \quad x,y,t\in\mathbb{R}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $u$ – комплексная амплитуда монохроматической волны, а вещественная функция $q(x,y,t)$ соответствует среднему потоку. Если $\nu^2=-1$, мы имеем уравнение ДС1 (поверхностное натяжение преобладает над силой тяжести при выводе волнового уравнения); в этом случае знак $\eta$ несущественен, поскольку можно перейти от уравнения с $\eta=-1$ к уравнению с $\eta=1$ при помощи замены $q\to -q$ и $x\leftrightarrow y$; тем самым, уравнение ДС1 только одно. Если $\nu^2=1$, то сила тяжести преобладает над поверхностным натяжением и мы имеем уравнение ДС2; в этом случае знак $\eta$ уже не убирается заменами переменных и мы различаем фокусирующую и дефокусирующую версии уравнения ДС2, отвечающие $\eta=1$ и $\eta=-1$ соответственно. Оказывается, что предел для мелкой воды уравнения Бенни–Роскена/Захарова–Рубенчика [11], [84] приводит к ДС1 и дефокусирующему ДС2 [3]. Хотя примеры точных решений уравнения ДС (2), описывающих АВ, известны в литературе (см., например, [52], [53], [59], [60]), вопрос об их применимости к физически осмысленным задачам Коши пока исследован недостаточно. Как будет показано в следующих разделах, (i) двоякопериодическая задача Коши корректно поставлена для фокусирующего и дефокусирующего уравнений ДС2; (ii) линейный анализ на устойчивость приводит к выводу, что фоновое решение уравнения ДС2 устойчиво в дефокусирующем случае $\eta=-1$, а в фокусирующем случае $\eta=1$ оно неустойчиво, если волновые векторы достаточно малы. Отсюда видно, что, несмотря на то что вопрос о физической применимости пока не прояснен до конца, интегрируемое фокусирующее уравнение ДС2 ($\nu^2=\eta=1$) – одна из лучших математических моделей для построения аналитической теории $(2+1)$-мерных АВ; построение такой теории и является целью настоящей работы. Фокусирующее уравнение ДС2 имеет также важные приложения в дифференциальной геометрии поверхностей в $\mathbb{R}^4$. Тот факт, что локальные вложения поверхностей в $\mathbb{R}^3$ могут быть заданы в терминах квадратичных комбинаций волновых функций двумерного оператора Дирака с вещественным потенциалом $u(x,y)$, а модифицированная иерархия Веселова–Новикова (которая является подмножеством фокусирующей иерархии ДС2) действует как симметрии этих вложений, был впервые отмечен в [46]. Обобщение этой конструкции на поверхности в $\mathbb{R}^4$ было предложено в [64] (см. также [47]). Для поверхностей в $\mathbb{R}^4$ симметрии погружений порождаются иерархией ДС2. Если поверхность компактна и имеет топологию тора, то соответствующий оператор Дирака двоякопериодичен. Существование глобального представления Вейерштрасса для вложений торов в $\mathbb{R}^3$ было доказано в [68] (см. также [69], [70]). В этом случае, в частности, знаменитый функционал Уиллмора совпадает с интегралом энергии модифицированной иерархии Веселова–Новикова [68]; тем самым, возникает возможность приложения теории солитонов к классической дифференциальной геометрии (см. обзор [73] и ссылки в нем). Отметим, что, в отличие от одномерного случая, аналитические аспекты спектральной теории в размерности 2 становятся глубоко нетривиальными; например, доказательство существования спектральной кривой, полученное в [70] (см. также [73]), базируется на глубоких результатах М. В. Келдыша. Другой подход, дающий более детальную информацию об асимптотическом поведении спектральных кривых, был развит в [48], [49]. Отметим также, что, в отличие от поверхностей в $\mathbb{R}^3$, параметризация поверхностей в $\mathbb{R}^4$ в терминах операторов Дирака существенно неоднозначна, при этом различные параметризации могут порождать различные динамики поверхностей. Помимо этого, априори не ясно, совместима ли динамика ДС с периодичностью. Эти вопросы исследовались в работе [72], где, в частности, было показано, что можно определить динамику, которая сохраняет конформные классы вложенных торов и значения функционала Уиллмора. В 2021 г. академику Искандеру Асановичу Тайманову исполнилось 60 лет. Ему, в частности, принадлежит ряд очень важных результатов в области математической физики, включая развитие двоякопериодической теории двумерного оператора Дирака, уравнения ДС2 и их приложений к геометрии. В знак уважения к деятельности И. А. Тайманова мы хотим посвятить нашу работу его 60-летнему юбилею.
2. Предварительные сведения Уравнение ДС (2) можно записать как условие совместности для следующей пары вспомогательных линейных операторов (см. [6], [2]):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nu\vec\psi_y&=i\sigma_3\vec\psi_x+U\vec\psi, \\ \vec\psi_t&=2i\sigma_3\vec\psi_{xx}+2U\vec\psi_x+V\vec\psi, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, U&=\begin{pmatrix} 0 & u \\ -\eta \overline u & 0 \end{pmatrix}, &\qquad V&=\begin{pmatrix} -\eta(w-iq) & u_x-i\nu u_y \\ -\eta (\overline u_x+i\nu \overline u_y) & -\eta(w+iq) \end{pmatrix}, \\ \nu w_y&=(q -|u|^2 )_x, &\qquad w_x&=-\nu (q+|u|^2)_y. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Уравнения (2) нелокальны, и функция $q$ определена с точностью до произвольной константы интегрирования:
$$
\begin{equation}
q (x,y,t) \mapsto q(x,y,t)+f(t).
\end{equation}
\tag{5}
$$
Отметим, что преобразование (5) порождает следующее стандартное калибровочное преобразование решения:
$$
\begin{equation}
u(x,y,t) \mapsto u(x,y,t)\exp\biggl(-i\frac{\eta}{2} \int^t f(\tau)\,d\tau\biggr).
\end{equation}
\tag{6}
$$
Уравнение ДС имеет следующие вещественные формы: По аналогии с НУШ, уравнение ДС2 может быть самофокусирующим ($\eta=1$) и дефокусирующим ($\eta=-1$). В представлении Фурье мы имеем следующую формулу:
$$
\begin{equation}
\widehat q (\vec k)=Q\cdot \widehat{|u|^2}(\vec k), \qquad Q=\frac{k_x^2-\nu^2k_y^2}{k_x^2+\nu^2k_y^2}\,.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Для ДС1 линейный оператор $Q$ неограничен, что может приводить к крайне нетривиальным аналитическим эффектам. Для задачи на всей плоскости $(x,y)$ это влечет необходимость наложения дополнительных граничных условий на бесконечности; в частности, при правильном выборе граничных условий на бесконечности удается построить экспоненциально локализованные решения (дромионы) [29], [30], впервые найденные с помощью преобразования Бэклунда [14]. Вопрос о том, задает ли уравнение ДС1 корректно определенную динамику на пространстве двоякопериодических функций, далеко не тривиален и, насколько известно авторам, не исследован в литературе. В отличие от уравнения ДС1, в двоякопериодической задаче для уравнения ДС2 линейный оператор $Q$ становится корректно определенным с единичной нормой после ограничения на подпространство $L^2_0(T^2)$ функций с нулевым средним. Его естественно расширить до линейного отображения
$$
\begin{equation}
Q:L^2(T^2)\to L^2_0(T^2),
\end{equation}
\tag{8}
$$
предполагая, что
$$
\begin{equation}
\int\!\!\!\int_{T^2} q(x,y,t)\,dx\,dy=0 \quad \text{для всех } t.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Благодаря наличию калибровочной свободы (6), без ограничения общности условие (9) можно всегда считать выполненным. После наложения указанного ограничения динамика, порожденная ДС2, становится однозначно определенной. Отметим, что в размерности $2+1$ интегрируемые системы, как правило, нелокальны. В частности, нелокальна и наиболее знаменитая иерархия Кадомцева–Петвиашвили. Рассмотрим малое возмущение постоянного решения ДС2:
$$
\begin{equation}
u(x,y,0)=a+\varepsilon v(x,y).
\end{equation}
\tag{10}
$$
Линеаризация уравнения ДС2 вблизи постоянного решения имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
i v_t+v_{xx}-v_{yy}+2\eta Q\cdot [|a|^2 v+a^2 \overline v]=0.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Если возмущение является монохроматическим,
$$
\begin{equation}
v(x,y,t)=u_1\exp(i[k_x x+k_y y]+\sigma t)+u_{-1} \exp(-i[k_x x+k_y y]+ \sigma t),
\end{equation}
\tag{12}
$$
то линеаризованное уравнение сводится к
$$
\begin{equation}
[i\sigma-k_x^2+k_y^2]u_1+2 \eta\,\frac{k_x^2-k_y^2}{k_x^2+k_y^2} [|a|^2 u_1+a^2 \overline u_{-1}]=0,
\end{equation}
\tag{13}
$$
$$
\begin{equation}
[i\sigma+k_x^2-k_y^2] \overline u_{-1}- 2\eta\,\frac{k_x^2-k_y^2}{k_x^2+k_y^2}[|a|^2\overline u_{-1}+ \overline a^2 u_{1}]=0.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Отсюда видно, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sigma=\pm \frac{(k_x^2-k_y^2)\sqrt{4\eta|a|^2-(k_x^2+k_y^2)}} {\sqrt{k_x^2+k_y^2}}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
В дефокусирующем случае $\eta=-1$ инкремент $\sigma$ оказывается чисто мнимым для всех волновых векторов $(k_x,k_y)$, что означает линейную устойчивость постоянного решения. В самофокусирующем случае $\eta=1$ монохроматические возмущения неустойчивы для волновых векторов, лежащих внутри диска $k^2 \leqslant 4|a|^2$, и устойчивы для волновых векторов, лежащих вне этого диска. В двоякопериодическом случае число неустойчивых мод всегда конечно. Из сказанного видно, что с точки зрения теории аномальных волн наиболее важной вещественной формой уравнения ДС является самофокусирующее уравнение ДС2, отвечающее $\nu=1$, $\eta=1$. Указанная вещественная форма также естественно возникает в теории поверхностей в $\mathbb{R}^4$, определенных при помощи обобщенного представления Вейерштрасса (см. статью [73] и ссылки в ней). В отличие от случая фокусирующего НУШ, в решениях уравнения ДС2 с гладкими начальными условиями возможно возникновение особенностей за конечное время [63], [60], и это свойство может быть важно для физических приложений. Этот вопрос обсуждается, в частности, в работе [44], детальные численные исследования можно также найти в [43], [45]. Для построения особых решений указанного типа можно использовать преобразования Мутара; для модифицированного уравнения Веселова–Новикова это было проделано в [78]. Красивая геометрическая модель рождения сингулярностей была предложена в [54], [75]–[77]. Рассмотрим вложение поверхности в $\mathbb{R}^4$, заданное с помощью обобщенного представления Вейерштрасса. Можно явно предъявить преобразование Мутара, отвечающее инверсии пространства $\mathbb{R}^4$. Если исходное семейство поверхностей проходило через начало координат, то его образ после инверсии становится особым для некоторого $t=t_0$, так же как и соответствующее решение уравнения ДС2. В нашей работе мы не обсуждаем появление особенностей в решениях уравнения ДС2, возникающих как решения задачи Коши для аномальных волн. Мы планируем исследовать эту интересную задачу в последующих работах.
3. Двоякопериодическая задача Коши для аномальных волн в фокусирующем уравнении ДС2 Мы исследуем двоякопериодическую по пространственным переменным задачу Коши для фокусирующего уравнения ДС2:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, iu_t+u_{xx}-u_{yy}+2q u=0, \\ q_{xx}+q_{yy}=(|u|^2)_{xx}-(|u|^2)_{yy}, \\ u=u(x,y,t) \in \mathbb{C}, \quad q=q(x,y,t) \in \mathbb{R}, \\ u(x+L_x,y,t)=u(x,y+L_y,t)=u(x,y,t), \\ q(x+L_x,y,t)=q(x,y+L_y,t)=q(x,y,t), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{16}
$$
в предположении, что данные Коши являются малым возмущением постоянного решения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u(x,y,0)=a+\varepsilon v_0(x,y), \qquad \varepsilon\in\mathbb{R}, \quad \varepsilon \ll 1, \\ v_0(x+L_x,y)=v_0(x,y+L_y)=v_0(x,y). \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{17}
$$
Для задачи Коши для уравнения (16) с начальными данными вида (17) мы используем термин “двоякопериодическая задача Коши для аномальных волн”. Первое уравнение вспомогательной линейной задачи можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{bmatrix} \partial_x+ i\partial_y & u \\ -\overline u & \partial_x- i\partial_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix}=0,
\end{equation}
\tag{18}
$$
где
$$
\begin{equation}
\vec\psi=\begin{bmatrix} \psi_1 \\ i \psi_2 \end{bmatrix}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
В данной задаче бывает удобно использовать комплексные обозначения (см., например, [68]):
$$
\begin{equation}
z=x+i y, \quad \overline z=x-i y, \quad \partial_z=\frac{1}{2}(\partial_x-i\partial_y), \quad \partial_{\overline z}=\frac{1}{2}(\partial_x+i\partial_y).
\end{equation}
\tag{20}
$$
Для упрощения формул в этих обозначениях будем писать $u(z)$ вместо $u(z,\overline z)$, не предполагая при этом, что функция $u(z)$ является голоморфной. В комплексных обозначениях уравнение (18) приобретает вид
$$
\begin{equation}
\begin{bmatrix} 2\partial_{\overline z} & u(z) \\ -\overline u(z) & 2\partial_{z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix}=0.
\end{equation}
\tag{21}
$$
4. Конечнозонные решения уравнения ДС2 В данном разделе мы напомним конструкцию конечнозонных при нулевой энергии двумерных операторов Дирака и соответствующих решений уравнения ДС2. Конечнозонные формулы для двумерных операторов Дирака с дополнительным условием $u=\overline u$ были впервые выписаны в [70] (см. также [73]). Отметим, что в периодической теории двумерного оператора Дирака можно использовать различные нормировки волновых функций. В работах [70], [72], [73] используется следующая:
$$
\begin{equation}
\psi_1(\gamma,0)+\psi_2(\gamma,0) \equiv 1.
\end{equation}
\tag{22}
$$
В нашем тексте, по аналогии [33], [35], мы работаем с несимметричной нормировкой волновых функций:
$$
\begin{equation}
\psi_1(\gamma,0) \equiv 1.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Приведем основные отличия этих нормировок. I. При использовании симметричной нормировки (22) степень дивизора равна $g+1$, где $g$ – род спектральной кривой, и для малых возмущений постоянного потенциала по крайней мере одна из точек дивизора лежит вдали от резонансных точек. Если же использовать (23), то степень дивизора равна роду спектральной кривой и для малых возмущений постоянного потенциала все точки дивизора лежат вблизи резонансных точек. II. При использовании (22) спектральные данные полностью определяют потенциал $u(z)$. Если же использовать (23), то потенциал восстанавливается с точностью до постоянного фазового множителя, который можно вводить как дополнительный числовой параметр. Как мы указывали выше, решения уравнения ДС2 определены с точностью до фазового множителя, который является произвольной функцией времени, поэтому несимметричная нормировка (23) позволяет “спрятать” эту калибровочную свободу. Построение конечнозонных решений уравнения ДС2 осуществляется в два этапа: 1. Отправляясь от спектральной кривой и дивизора, мы строим “комплексный” оператор Дирака
$$
\begin{equation}
\begin{bmatrix} 2\partial_{\overline z} & u(z) \\ v(z) & 2\partial_{z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix}=0
\end{equation}
\tag{24}
$$
(слово “комплексный” в данном случае означает, что функции $u(z)$, $v(z)$ считаются независимыми). (См. п. 4.1 ниже.) 2. На спектральную кривую и дивизор накладываются дополнительные условия, обеспечивающие выполнение соотношения $v(z)=-\overline u(z)$ (или $v(z)= \overline u(z)$ в дефокусирующем случае). Легко проверить, что эти условия инвариантны относительно временной эволюции. (См. п. 4.2.) 4.1. Комплексные операторы Дирака Пусть имеется следующий набор спектральных данных: Тогда для данных общего положения существует единственная пара функций $\psi_1(\gamma,z)$, $\psi_2(\gamma,z)$, $\gamma\in\Gamma$, $z\in\mathbb{C}$, таких, что при фиксированных значениях $z$ общего положения они имеют следующие аналитические свойства по переменной $\gamma$: (i) они голоморфны на $\Gamma$ вне точек $\infty_1$, $\infty_2$, $\gamma_1,\dots,\gamma_g$; (ii) они имеют простые полюсы в точках $\gamma_1,\dots,\gamma_g$; (iii) в точках $\infty_1$, $\infty_2$ они имеют существенные особенности вида
$$
\begin{equation}
\begin{bmatrix} \psi_1(\gamma,z) \\ \psi_2(\gamma,z) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+\dfrac{\xi_1^+(z)}{\lambda_1}+\dfrac{\xi_2^+(z)}{\lambda_1^2}+ \cdots \\ \dfrac {\xi_1^-(z)}{\lambda_1}+\dfrac {\xi_2^-(z)}{\lambda_1^2}+\cdots \end{bmatrix} e^{\lambda_1 z} \quad\text{при } \gamma \to\infty_1,
\end{equation}
\tag{25}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{bmatrix} \psi_1(\gamma,z) \\ \psi_2(\gamma,z) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \chi_0^+(z)+\dfrac{\chi_1^+(z)}{\lambda_2}+\cdots \\ X_{-1}\lambda_2+ \chi_0^-(z)+\dfrac{\chi_1^-(z)}{\lambda_2}+ \cdots\end{bmatrix} e^{\lambda_2 \overline z} \quad \text{при } \gamma \to\infty_2;
\end{equation}
\tag{26}
$$
в (25), (26) предполагается, что предэспоненциальные члены локально мероморфны (голоморфны) вблизи $\infty_1$, $\infty_2$ соответственно, $X_{-1}$ – произвольно выбранная константа, коэффициенты $\xi_j^+(z)$, $\xi_j^-(z)$, $\chi_j^+(z)$, $\chi_j^-(z)$ разложений заранее не известны. Используя стандартные аргументы, легко убедиться, что для точек $\gamma$ общего положения функции $\psi_1(\gamma,z)$, $\psi_2(\gamma,z)$ являются решениями уравнения (24), где
$$
\begin{equation}
u(z)=-\frac{2\chi_0^+(z)}{X_{-1}}\,,\qquad v(z)=-2\xi_1^-(z).
\end{equation}
\tag{27}
$$
4.2. Вещественные редукции уравнения ДС2 Предположим теперь, что на спектральные данные наложены следующие дополнительные условия вещественности. Лемма 1. Пусть функция $f(\gamma)$ имеет полюсы в точках дивизора ${\mathcal D}$ и в точке $\infty_2$, нули в точках дивизора $\sigma{\mathcal D}$ и в точке $\infty_1$ и нормирована следующим условием:
$$
\begin{equation}
f(\gamma)=\lambda_2+O(1) \quad \textit{вблизи точки } \infty_2.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Обозначим $\mathcal C$ коэффициент при главном члене разложения $f(\gamma)$ в точке $\infty_1$:
$$
\begin{equation}
f(\gamma)=\frac{\mathcal C}{\lambda_1}+ O\biggl(\frac{1}{\lambda_1^2}\biggr) \quad \textit{вблизи точки } \infty_1.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Тогда для данных общего положения константа $\mathcal C$ вещественна. Доказательство. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
f_1(\gamma)=\overline{\biggl(\frac{\mathcal C}{f(\sigma\gamma)}\biggr)}.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Она голоморфна, имеет те же нули и полюсы, что и $f(\gamma)$, и
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} f_1(\gamma)&=\lambda_2+O(1) &\quad &\text{вблизи } \infty_2, \\ f_1(\gamma)&=\frac{\overline{\mathcal C}}{\lambda_1}+ O\biggl(\frac{1}{\lambda_1^2}\biggr) &\quad &\text{вблизи } \infty_1. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{32}
$$
Для данных общего положения функция $f(\gamma)$ с перечисленными свойствами единственна, следовательно, $f_1(\gamma)=f(\gamma)$ и $\overline{\mathcal C}={\mathcal C}$. Лемма доказана. Лемма 2. Пусть спектральные данные удовлетворяют условиям вещественности (1) и (2), сформулированным в начале пункта, и нормировочная константа $X_{-1}$ удовлетворяет соотношению
$$
\begin{equation}
|X_{-1}|^2=-\eta{\mathcal C}^{-1}.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Тогда для потенциалов $u(z)$, $v(z)$ в (24) выполнена редукция ДС2:
$$
\begin{equation}
v(z)=-\eta\overline u(z).
\end{equation}
\tag{34}
$$
Доказательство. Если спектральные данные удовлетворяют условиям вещественности (1) и (2), то можно положить
$$
\begin{equation}
\psi_2(\gamma,z)=X_{-1} f(\gamma)\overline{\psi_1(\sigma\gamma,z)}.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Функция $\psi_2(\gamma,z)$, заданная формулой (35), имеет правильные аналитические свойства, и
$$
\begin{equation}
\xi_1^+(z)=X_{-1} X{\mathcal C} \overline{\chi_0^+(z)}= -\frac{\overline{\chi_0^+(z)}}{\eta \overline{ X_{-1}}}\,.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Поскольку
$$
\begin{equation}
u(z)=-2\,\frac{\chi_0^+(z)}{X_{-1}}\,,\qquad v(z)=-2\xi_1^-(z)=2\,\frac{\overline{\chi_0^+(z)}}{\eta\overline{X_{-1}}}\,,
\end{equation}
\tag{37}
$$
лемма доказана. Отметим, что при $z=0$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\psi_1(\gamma,0)\equiv 1, \qquad \chi_0^+(0)=1,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно,
$$
\begin{equation}
X_{-1}=-\frac{2}{u(0)}\,.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Замечание 1. Используемая в нашей работе антиголоморфная инволюция $\sigma$ совпадает с произведением голоморфной инволюции $\sigma$ на антиголоморфную инволюцию $\tau$ из работы [70]. Тем самым, используемое нами условие (28) вещественности дивизора совпадает со следствием из пары найденных в [70] условий на дивизор, порождаемых этими инволюциями. Замечание 2. В конечнозонной теории солитонных уравнений мы часто сталкиваемся со следующей ситуацией: достаточно легко удается построить решения системы, являющейся обобщением исследуемой, однако выделение подкласса спектральных данных, порождающих решения именно исходной системы, требует серьезных дополнительных усилий. Одной из задач такого типа является проблема выделения вещественных решений. Хорошо известно, что для таких уравнений, как уравнение Кортевега–де Фриза, дефокусирующее НУШ, уравнение $\sinh$-Гордон, уравнение Кадомцева–Петвиашвили 2, вещественные решения отвечают комплексным кривым с антиголоморфной инволюцией (комплексным сопряжением) с дивизорами, инвариантными относительно этой инволюции. Однако для таких уравнений, как самофокусирующее НУШ, уравнение $\sin$-Гордон, уравнение Кадомцева–Петвиашвили 1, описание дивизоров, отвечающих вещественным решениям, оказывается далеко не таким простым. Для самофокусирующего НУШ и уравнения $\sin$-Гордон эти условия были найдены в [16], причем ответ был сформулирован в терминах некоторых мероморфных дифференциалов, в настоящее время известных как дифференциалы Чередника. Отметим, что условие (28), с одной стороны, не является “наивным” как в дефокусирующем НУШ, а с другой стороны, не является условием чередниковского типа, поскольку в (28) не входит канонический класс поверхности. Аналогичная проблема связана с отбором решений, в которых часть полей тождественно обращается в нуль. Важная задача такого типа – задача о построении двумерных стационарных операторов Шрёдингера по данным с одного уровня энергии. Конечнозонные при одной энергии операторы с ненулевым магнитным полем были построены в 1976 г. в [23], однако задача о выделении спектральных данных, отвечающих тождественно нулевому магнитному полю, была решена только семью годами позже; при этом ответ, найденный в [79], [80], был также сформулирован в терминах дифференциалов Чередника. Выделение спектральных данных, отвечающих чисто магнитным операторам, было осуществлено много позднее в [32] с использованием совсем других подходов.
5. Тета-функциональные формулы Обозначим $\omega_j$ канонический базис голоморфных дифференциалов:
$$
\begin{equation}
\oint_{a_j}\omega_k=2\pi i \delta_{j,k}, \qquad \oint_{b_j} \omega_k=b_{jk},
\end{equation}
\tag{39}
$$
где $b_{jk}$ – матрица периодов Римана. Напомним, что эта матрица симметрична и ее вещественная часть отрицательно определена. Замечание 3. В литературе можно встретить две различные нормировки для базисных голоморфных дифференциалов: либо (39) (см. [9], [22], [27]), либо следующую (см. [56]):
$$
\begin{equation}
\oint_{a_j} \omega_k=\delta_{j,k},
\end{equation}
\tag{40}
$$
поэтому прежде чем применять тета-функциональные формулы, нужно проверить, какая из этих нормировок используется. Нам также понадобятся мероморфные дифференциалы $\Omega_0$, $\Omega_z$, $\Omega_{\overline z}$, $\Omega_t$ со следующими свойствами. 1. Они голоморфны вне отмеченных точек $\infty_1$, $\infty_2$. 2. Вблизи отмеченных точек они имеют следующие асимптотики:
$$
\begin{equation}
\Omega_0 =\begin{cases} [-\lambda_1^{-1}+O(\lambda_1^{-2})]\,d\lambda_1 & \text{ вблизи } \infty_1, \\ [\lambda_2^{-1}+O(\lambda_2^{-2})]\,d\lambda_2 & \text{ вблизи } \infty_2; \end{cases}
\end{equation}
\tag{41}
$$
$$
\begin{equation}
\Omega_z =\begin{cases} [1+O(\lambda_1^{-2})]\,d\lambda_1 & \text{ вблизи } \infty_1, \\ O(\lambda_2^{-2})\,d\lambda_2 & \text{ вблизи } \infty_2; \end{cases}
\end{equation}
\tag{42}
$$
$$
\begin{equation}
\Omega_{\overline z} =\begin{cases} O(\lambda_1^{-2})\,d\lambda_1 & \text{ вблизи } \infty_1, \\ [1+O(\lambda_2^{-2})]\,d\lambda_2 & \text{ вблизи } \infty_2\,; \end{cases}
\end{equation}
\tag{43}
$$
$$
\begin{equation}
\Omega_t =\begin{cases} [4i\lambda_1+O(\lambda_1^{-2})]\,d\lambda_1 & \text{ вблизи } \infty_1, \\ [-4i\lambda_2+O(\lambda_2^{-2})]\,d\lambda_2 & \text{ вблизи } \infty_2. \end{cases}
\end{equation}
\tag{44}
$$
3. Все $a$-периоды дифференциалов $\Omega_0$, $\Omega_z$, $\Omega_{\overline z}$, $\Omega_t$ равны нулю:
$$
\begin{equation}
\oint_{a_j} \Omega_0=\oint_{a_j} \Omega_z=\oint_{a_j} \Omega_{\overline z}= \oint_{a_j} \Omega_{t}= 0, \qquad j=1,\dots,g.
\end{equation}
\tag{45}
$$
Без потери общности мы можем выбрать в качестве начальной точки преобразования Абеля точку $\infty_1$. Также зафиксируем путь ${\mathcal P}_{0}$, соединяющий $\infty_1$ с $\infty_2$. Рассмотрим первообразные этих дифференциалов вблизи ${\mathcal P}_{0}$:
$$
\begin{equation}
\Omega_0=dF_0, \quad \Omega_z=dF_z, \quad \Omega_{\overline z}=dF_{\overline z}, \quad \Omega_t=dF_t,
\end{equation}
\tag{46}
$$
при этом предположим, что константы интегрирования выбраны так, что вблизи $\infty_1$
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} F_0&=-\log{\lambda_1}+o(1), &\qquad F_z&=\lambda_1 +o(1), \\ F_{\overline z}&=o(1), &\qquad F_t&=2i \lambda_1^2+o(1). \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{47}
$$
Определим константы ${\mathcal C}_0$, ${\mathcal C}_{z}$, ${\mathcal C}_{\overline z}$, ${\mathcal C}_{t}$ как коэффициенты в разложении первообразных вблизи точки $\infty_2$:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} F_0&=\log{\lambda_2}+{\mathcal C}_0+ o(1),&\qquad F_z&={\mathcal C}_{z} +o(1), \\ F_{\overline z}&=\lambda_2+{\mathcal C}_{\overline z}+o(1), &\qquad F_t&=-2i \lambda_2^2+{\mathcal C}_{t}+o(1). \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{48}
$$
Собственные функции представления нулевой кривизны даются формулой Итса, для двумерного оператора Дирака приведенной в [70]:
$$
\begin{equation}
\psi_1(\gamma,z,t) =\exp\biggl[z\int^{\gamma}\Omega_z+ \overline z\int^{\gamma}\Omega_{\overline z}+t\int^{\gamma}\Omega_t\biggr] \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad \times \frac{\theta(\vec A(\gamma)+\vec W_z z+ \vec W_{\overline z}\overline z+\vec W_{t}t-\vec A({\mathcal D})- \vec K)\theta(-\vec A({\mathcal D})-\vec K)}{\theta(\vec A(\gamma)- \vec A({\mathcal D})-\vec K)\theta(\vec W_z z+\vec W_{\overline z}\overline z+ \vec W_{t}t-\vec A({\mathcal D})-\vec K)}\,,
\end{equation}
\tag{49}
$$
$$
\begin{equation}
\psi_2(\gamma,z,t) =X_{-1}f(\gamma)\overline{\psi_1(\gamma,z,t)},
\end{equation}
\tag{50}
$$
где
$$
\begin{equation}
f(\gamma)={\mathcal C}_0^{-1} \exp\biggl[\int^{\gamma}\Omega_0\biggr] \frac{\theta(\vec A(\gamma)+\vec W_0-\vec A({\mathcal D})-\vec K) \theta(\vec A(\infty_2)-\vec A({\mathcal D})-\vec K)} {\theta(\vec A(\gamma)- \vec A({\mathcal D})-\vec K)\theta(\vec A(\infty_2)+\vec W_0- \vec A({\mathcal D})-\vec K)}\,;
\end{equation}
\tag{51}
$$
мы предполагаем, что правила выбора констант интегрирования в (49), (51) те же, что и в (47); в (51) мы дополнительно предполагаем, что путь, соединяющий $\infty_1$ с $\gamma$, – это путь ${\mathcal P}_0$ плюс путь, соединяющий $\infty_2$ с $\gamma$. Разлагая (49) вблизи $\infty_2$, мы получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \chi_0^+(z,t)&=\exp[z{\mathcal C}_z+\overline z{\mathcal C}_{\overline z}+ t{\mathcal C}_t] \notag \\ &\qquad \times \frac{\theta(\vec A(\infty_2)+\vec W_z z+ \vec W_{\overline z}\overline z+\vec W_{t}t-\vec A({\mathcal D})-\vec K) \theta(-\vec A({\mathcal D})-\vec K)}{\theta(\vec A(\infty_2)- \vec A({\mathcal D})-\vec K)\theta(\vec W_zz+\vec W_{\overline z}\overline z+ \vec W_{t}t-\vec A({\mathcal D})-\vec K)} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{52}
$$
и, учитывая (38),
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u(z,t)&=\exp[z{\mathcal C}_z+\overline z{\mathcal C}_{\overline z}+ t{\mathcal C}_t] \notag \\ &\qquad \times \frac{\theta(\vec A(\infty_2)+\vec W_z z+ \vec W_{\overline z}\overline z+\vec W_{t}t-\vec A({\mathcal D})-\vec K) \theta(-\vec A({\mathcal D})-\vec K)}{\theta(\vec A(\infty_2)- \vec A({\mathcal D})-\vec K)\theta(\vec W_zz+\vec W_{\overline z}\overline z+ \vec W_{t} t-\vec A({\mathcal D})-\vec K)} u(0,0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{53}
$$
Напомним, что тета-функция Римана – это следующий ряд Фурье [9], [22], [27]:
$$
\begin{equation}
\theta(\vec z)=\theta(\vec z|B)=\sum_{n_l\in\mathbb{Z},l=1,\dots,g} \exp\biggl[\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^g b_{jk}n_j n_k+\sum_{j=1}^g n_j z_j\biggr],
\end{equation}
\tag{54}
$$
где $\vec z=(z_1,\dots,z_g) \in \mathbb{C}^g$.
6. Прямое спектральное преобразование Для пространственно одномерных задач существование спектральной кривой для общих периодических потенциалов доказывается достаточно просто методами классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В противоположность одномерному случаю, двумерный требует привлечения значительно более сложного аналитического аппарата. В настоящее время используются два подхода. В [69], [73] спектральная кривая для двоякопериодической задачи (21) была построена с помощью теоремы Келдыша об аналитических пучках компактных операторов. В работах [48], [49] спектральные кривые для нестационарного оператора теплопроводности и для двоякопериодического двумерного оператора Шрёдингера при фиксированной энергии были построены методами теории возмущений, и в нашей статье мы следуем этому подходу. 6.1. Невозмущенная спектральная кривая Для начала отметим, что, в противоположность одномерному случаю, само существование “хорошей” спектральной кривой существенно зависит от аналитических свойств изучаемых операторов. Так, например, для операторов Лакса, используемых в теории уравнения ДС1 или Кадомцева–Петвиашвили 1, кривые, построенные указанными методами, не допускают хорошей локальной компактификации [73]. Поскольку уравнение ДС обладает масштабной симметрией, без потери общности мы можем положить $a=1$. Обозначим $\mathcal L$ оператор Дирака, умноженный слева на $\sigma_3$:
$$
\begin{equation}
{\mathcal L}={\mathcal L}_0+\epsilon {\mathcal L}_1, \qquad {\mathcal L}_0=\begin{bmatrix} \partial_x+ i\partial_y & 1 \\ 1 &-\partial_x+ i\partial_y \end{bmatrix}, \quad {\mathcal L}_1=\begin{bmatrix} 0 & v(x,y) \\ \overline v(x,y) & 0 \end{bmatrix}.
\end{equation}
\tag{55}
$$
Блоховские функции нулевого уровня энергии оператора ${\mathcal L}_0$ легко вычислить:
$$
\begin{equation}
\Psi_0(p,x,y,t)=\begin{bmatrix} 1 \\-ip +q \end{bmatrix} \exp[i(px+q y)-2pqt], \quad p^2+q^2=1, \quad p,q\in\mathbb{C}.
\end{equation}
\tag{56}
$$
Поэтому невозмущенная спектральная кривая $\Gamma_0$ задается уравнением
$$
\begin{equation}
p^2+q^2=1
\end{equation}
\tag{57}
$$
и допускает удобную параметризацию:
$$
\begin{equation}
p=\frac{1}{2}\biggl[\tau+\frac{1}{\tau}\biggr], \qquad q=-\frac{i}{2}\biggl[\tau-\frac{1}{\tau}\biggr],
\end{equation}
\tag{58}
$$
следовательно,
$$
\begin{equation}
\tau=p+i q, \qquad \frac{1}{\tau}=p-iq.
\end{equation}
\tag{59}
$$
Невозмущенная волновая функция может быть записана в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\Psi_0(\tau,z,t)=\begin{bmatrix} 1 \\ -i\tau \end{bmatrix} \exp\biggl[\frac{i}{2}\biggl(\tau\overline z+\frac{z}{\tau}+ \biggl(\tau^2-\frac{1}{\tau^2}\biggr)t \biggr)\biggr].
\end{equation}
\tag{60}
$$
Для отмеченных точек и локальных параметров имеем
$$
\begin{equation}
\infty_1\colon\tau=0, \quad \infty_2\colon \tau=\infty, \quad \lambda_1=\frac{i}{2\tau}\,, \quad \lambda_2=\frac{i\tau}{2}\,.
\end{equation}
\tag{61}
$$
Собственные функции (56) являются блоховскими,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Psi_0(p,x+L_x,y,t)&=\varkappa_x \Psi_0(p,x,y,t), \\ \Psi_0(p,x,y+L_y,t)&=\varkappa_y \Psi_0(p,x,y,t), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{62}
$$
с блоховскими мультипликаторами
$$
\begin{equation}
\varkappa_x=\exp[ip L_x], \quad \varkappa_y=\exp[iq L_y].
\end{equation}
\tag{63}
$$
Следуя [48], [49], рассмотрим образ кривой $\Gamma_0$ под действием отображения (63). Пара точек $\tau_1=p_1+iq_1$, $\tau_2=p_2+iq_2$ называется резонансной, если образы этих точек совпадают:
$$
\begin{equation}
\varkappa_x(\tau_1)=\varkappa_x(\tau_2), \quad \varkappa_y(\tau_1)=\varkappa_y(\tau_2).
\end{equation}
\tag{64}
$$
Двоякопериодические малые возмущения операторов приводят к рождению узких ручек из резонансных пар [48], [49], [71], [73], поэтому естественно развивать теорию возмущений вблизи этих пар. По аналогии с [35], используя масштабную инвариантность уравнения ДС2, мы предполагаем, что
$$
\begin{equation}
\int_{0}^{L_x}\,\int_{0}^{L_y} v_0(x,y)\,dx\,dy=0.
\end{equation}
\tag{65}
$$
Это предположение существенно упрощает вычисления. Фурье-гармоники возмущения нумеруются парами целых чисел:
$$
\begin{equation}
k_x=n_x\frac{2\pi}{L_x}\,, \quad k_y=n_y\frac{2\pi}{L_y}\,, \qquad n_x,n_y\in\mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{66}
$$
В нашей работе мы предполагаем, что периоды $L_x$, $L_y$ – общего положения, поэтому Если периоды не общего положения, необходимо исследовать возмущения точек высокой кратности. Это – интересная задача, требующая серьезных дополнительных исследований, и мы не будем обсуждать ее в нашей статье. Уравнение (64) эквивалентно следующей паре уравнений:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \tau_2-\tau_1=k_x+ i k_y, \\ \dfrac{1}{\tau_2}-\dfrac{1}{\tau_1}=k_x- i k_y, \end{cases}
\end{equation}
\tag{67}
$$
где $k_x$, $k_y$ задаются формулами (66) с целыми $n_x$, $n_y$. Замечание 4. Уравнение (67) допускает следующую интерпретацию: матричные элементы монохроматического возмущения с заданными $n_x$, $n_y$ отличны от нуля тогда и только тогда, когда выполнено (67). Тем самым, в главном порядке теории возмущений, в ответ входят только волновые функции резонансных пар. Если $k_x^2+k_y^2<4$, то данная мода неустойчива, в противном случае она устойчива. Тем самым, мы имеем резонансные пары $(\tau_1,\tau_2)$ следующих двух типов. 1. Резонансные пары, отвечающие неустойчивым модам ($k_x^2+k_y^2<4$):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau_1&=\frac{k_x+i k_y}{2} \biggl[-1 \pm i\sqrt{\frac{4-k_x^2 -k_y^2}{k_x^2+k_y^2}}\,\biggr], \\ \tau_2&=\frac{k_x+i k_y}{2} \biggl[1 \pm i\sqrt{\frac{4-k_x^2-k_y^2}{k_x^2+k_y^2}}\,\biggr], \end{aligned}\qquad |\tau_1|=|\tau_2|=1.
\end{equation}
\tag{68}
$$
По аналогии с НУШ [33], [35], удобно параметризовать неустойчивые моды углами:
$$
\begin{equation}
k_x=2 \cos\phi \cos\theta,\quad k_y=2 \cos\phi \sin\theta.
\end{equation}
\tag{69}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\tau_1=-e^{i(\theta\mp\phi)}, \quad \tau_2=e^{i(\theta\pm\phi)}.
\end{equation}
\tag{70}
$$
2. Резонансные пары, отвечающие устойчивым модам ($k_x^2+k_y^2>4$):
$$
\begin{equation}
\tau_1=\frac{k_x+ik_y}{2} \biggl[-1+\sqrt{\frac{k_x^2+k_y^2-4}{k_x^2+k_y^2}}\,\biggr], \qquad \tau_2=-\frac{1}{\overline\tau_1}\,.
\end{equation}
\tag{71}
$$
Замечание 5. Поскольку имеет место условие вещественности, волновые векторы $(k_x,k_y)$ и $(-k_x,-k_y)$ появляются в формулах одновременно и отвечают одной и той же неустойчивой моде. По аналогии с [33] мы вводим конечнозонную аппроксимацию, пренебрегая всеми устойчивыми модами. Рассмотрим все резонансные пары $(\tau_{2j-1},\tau_{2j})$, $j=1,\dots,2N$, отвечающие неустойчивым модам, где $N$ – число таких мод. Мы также предположим, что $\operatorname{Im}(\tau_{2j-1}\tau_{2j}^{-1})>0$ для всех $j$ и точки $\tau_1,\tau_3,\tau_5,\dots,\tau_{2j-1}$ упорядочены по часовой стрелке. Пример 1 (см. рис. 1). Пусть $L_x=2\pi/1.2$, $L_y=2\pi/1.4$. Тогда $k_x=1.2 n_x$, $k_y=1.4 n_y$ и мы имеем четыре неустойчивые моды:
$$
\begin{equation}
(n_x,n_y)=(1,0), \quad (n_x,n_y)=(0,1), \quad (n_x,n_y)=(1,1), \quad (n_x,n_y)=(1,-1),
\end{equation}
\tag{72}
$$
и восемь пар резонансных точек: - $\bullet$ $(\tau_1,\tau_2)$ и $(\tau_{9},\tau_{10})$ отвечают $(n_x,n_y)=(1,1)$;
- $\bullet$ $(\tau_3,\tau_4)$ и $(\tau_{11},\tau_{12})$ отвечают $(n_x,n_y)=(1,0)$;
- $\bullet$ $(\tau_5,\tau_6)$ и $(\tau_{13},\tau_{14})$ отвечают $(n_x,n_y)=(1,-1)$;
- $\bullet$ $(\tau_7,\tau_8)$ и $(\tau_{15},\tau_{16})$ отвечают $(n_x,n_y)=(0,1)$.
Зададим систему базисных циклов на невозмущенной спектральной кривой. В качестве $a_j$ выберем маленькие циклы вокруг точек $\tau_{2j}$, ориентированные против часовой стрелки, или, что эквивалентно, выберем маленькие циклы вокруг точек $\tau_{2j-1}$, ориентированные по часовой стрелке. Обозначим $c_j$ интервалы, начинающиеся в точке $\tau_{2j-1}$ и заканчивающиеся в точке $\tau_{2j}$. Понятно, что
$$
\begin{equation*}
a_j \cdot c_k=\delta_{j,k},
\end{equation*}
\notag
$$
но $c_j\cdot c_k$ не обязательно равны нулю. Однако если мы определим $b_j$ формулой
$$
\begin{equation}
b_j=c_j-\sum_{k>j}(c_j\cdot c_k) c_k,
\end{equation}
\tag{73}
$$
то получим канонический базис циклов на невозмущенной кривой:
$$
\begin{equation*}
a_j \cdot a_k=b_j \cdot b_k=0, \quad a_j \cdot b_k=\delta_{j,k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 6. Конечно же, выбор $b$-циклов, отвечающих данной системе $a$-циклов, неоднозначен, поскольку любое целочисленное симплектическое преобразование вида
$$
\begin{equation}
b_j\mapsto b_j+\sum d_{ji} a_k, \qquad d_{jk}\in\mathbb{Z}, \quad d_{jk}=d_{kj},
\end{equation}
\tag{74}
$$
переводит систему $b$-циклов, отвечающую фиксированной системе $a$-циклов, в другую с правильной матрицей пересечений (см. рис. 2). Однако, если $d_{jj}=0\pmod{2}$, данное преобразование не меняет тета-функцию. Отсюда следует, что различный выбор базисов $b$-циклов порождает одинаковые тета-функции. В нашей работе мы используем то же приближение, что и в [33]: внедиагональные члены матрицы Римана и $b$-периоды мероморфных дифференциалов c нулевыми $a$-периодами вычисляются на невозмущенной кривой. Базисные дифференциалы на невозмущенной кривой $\Gamma_0$ даются явными формулами:
$$
\begin{equation}
\omega_j=\biggl[\frac{1}{\tau-\tau_{2j}}- \frac{1}{\tau-\tau_{2j-1}}\biggr]\,d\tau= d\log\biggl[\frac{\tau-\tau_{2j}}{\tau-\tau_{2j-1}}\biggr],\qquad j=1,\dots,g,
\end{equation}
\tag{75}
$$
$$
\begin{equation}
dp=d\biggl(\frac{1}{2}\biggl[\tau+\frac{1}{\tau}\biggr]\biggr)= \frac{iq}{\tau}\,d\tau, \qquad dq=-d\biggl(\frac{i}{2}\biggl[\tau-\frac{1}{\tau}\biggr]\biggr)= -\frac{i p}{\tau}\,d\tau
\end{equation}
\tag{76}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \Omega_0&=\frac{d\tau}{\tau}=d\log\tau, &\qquad \Omega_{z}&=-\frac{id\tau}{2\tau^2}=d\biggl(\frac{i}{2\tau}\biggr), \\ \Omega_{\overline z}&=\frac{i}{2}\,d\tau, &\qquad \Omega_t&=\frac{i}{2}\,d\biggl(\tau^2-\frac{1}{\tau^2}\biggr). \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{77}
$$
Лемма 3. На невозмущенной кривой мы имеем следующие формулы для периодов:
$$
\begin{equation}
\int_{b_j} \Omega_0=\log\biggl[\frac{\tau_{2j}}{\tau_{2j-1}}\biggr]= \log[\tau_{2j}\overline\tau_{2j-1}],
\end{equation}
\tag{78}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (W_z)_j&=\int_{b_j} \Omega_z= \frac{i}{2}[\overline\tau_{2j}-\overline\tau_{2j-1}], \\ (W_{\overline z})_j&=\int_{b_j} \Omega_{\overline z}= \frac{i}{2}[ \tau_{2j}-\tau_{2j-1}], \\ (W_t)_j&=\int_{b_j} \Omega_t=\operatorname{Im}(\tau_{2j-1}^2-\tau_{2j}^2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{79}
$$
$$
\begin{equation}
A_j(\infty_2)-A_j(\infty_1)=\log\biggl[\frac{\tau_{2j-1}}{\tau_{2j}}\biggr]= \log[\tau_{2j-1}\overline\tau_{2j}],
\end{equation}
\tag{80}
$$
$$
\begin{equation}
b_{jk}=\log\biggl[\frac{(\tau_{2j}-\tau_{2k})(\tau_{2j-1}-\tau_{2k-1})} {(\tau_{2j}-\tau_{2k-1})(\tau_{2j-1}-\tau_{2k})}\biggr], \qquad k\ne j.
\end{equation}
\tag{81}
$$
Кроме того, для невозмущенной кривой $\Gamma_0$ мы имеем
$$
\begin{equation}
{\mathcal C}_0={\mathcal C}_z={\mathcal C}_{\overline z}={\mathcal C}_t=0.
\end{equation}
\tag{82}
$$
Замечание 7. Двойное отношение в (81) всегда вещественно, однако его знак зависит от взаимного расположения точек $\tau_{2j-1}$, $\tau_{2j}$, $\tau_{2k-1}$, $\tau_{2k}$. Возможны три случая – см. рис. 3. 6.2. Возмущенная спектральная кривая в главном порядке Ограничим оператор ${\mathcal L}$ на пространство ${\mathcal F}(p,q)$ блоховских функций с фиксированными блоховскими мультипликаторами:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \psi(x+L_x,y)=\varkappa_x \psi(x,y), \quad \psi(x,y+L_y)=\varkappa_y \psi(x,y), \\ \varkappa_x=\exp{[iL_x p]}, \quad \varkappa_y=\exp{[iL_yq]}, \qquad p,q\in\mathbb{C}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{83}
$$
Для оператора ${\mathcal L}_0$ можно выписать следующий базис собственных функций в ${\mathcal F}(p,q)$:
$$
\begin{equation}
\psi^{(\pm)}_{m,n}=\begin{bmatrix} 1 \\ -i p_m \pm \sqrt{1-p_m^2}\, \end{bmatrix} \exp\bigl(i[p_m x+q_n y]\bigr),
\end{equation}
\tag{84}
$$
где
$$
\begin{equation}
p_m=p+\frac{2\pi}{L_x}m, \quad q_n=q+\frac{2\pi}{L_y}n, \qquad m,n\in\mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{85}
$$
удовлетворяющих уравнению на собственные значения:
$$
\begin{equation}
{\mathcal L}_0 \psi^{(\pm)}_{m,n}= \bigl(-q_n \pm \sqrt{1-p_m^2}\,\bigr)\psi^{(\pm)}_{m,n}.
\end{equation}
\tag{86}
$$
В (83)–(86) мы не предполагаем, что $p^2+q^2=1$. Рассмотрим неустойчивое монохроматическое возмущение:
$$
\begin{equation}
v(x,y)=c_{j} e^{i(k_x x+k_y y)}+c_{-j} e^{-i(k_x x+k_y y)}, \qquad k_x,k_y \in \mathbb{R}, \quad k_x^2+ k_y^2 < 4,
\end{equation}
\tag{87}
$$
и одну из соответствующих резонансных пар $(\tau_{2j-1},\tau_{2j})$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \tau_{2j-1}=p_{2j-1}+iq_{2j-1}, \qquad \tau_{2j}=p_{2j}+i q_{2j}, \\ p_{2j}-p_{2j-1}=k_x, \qquad q_{2j}-q_{2j-1}=k_y, \\ |\tau_{2j-1}|=|\tau_{2j}|=1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{88}
$$
(Как мы указывали выше, каждой неустойчивой моде соответствуют две резонансные пары: $(\tau_{2j-1},\tau_{2j})$ и $(\tau_{2j+2N-1},\tau_{2j+2N})=(-\tau_{2j},-\tau_{2j})$.) Ограничение ${\mathcal L}_0$ на ${\mathcal F}(p_{2j-1},q_{2j-1})={\mathcal F}(p_{2j},q_{2j})$ имеет двумерное ядро, порожденное функциями $f^{(+)}_{2j-1}$, $f^{(+)}_{2j}$, где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f^{(\pm)}_{2j-1}&=\begin{bmatrix} 1 \\ -i p_{2j-1} \pm q_{2j-1} \end{bmatrix} \exp\bigl(i[p_{2j-1}x+q_{2j-1}y]\bigr), \\ f^{(\pm)}_{2j}&=\begin{bmatrix} 1 \\ -i p_{2j} \pm q_{2j} \end{bmatrix} \exp\bigl(i[p_{2j}x+q_{2j}y]\bigr). \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{89}
$$
Следуя [48], [49], вычислим возмущение римановой поверхности вблизи указанной резонасной пары. Обозначим $\widehat{\mathcal F}(\delta p,\delta q)$ пространство блоховских функций с мультипликаторами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde\varkappa_x=\exp{[iL_x(p_{2j-1}+\delta p)]}, \quad \widetilde\varkappa_y=\exp{[iL_y (q_{2j-1}+\delta q)]}, \\ \notag |\delta p|\ll1, \quad |\delta q|\ll1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{90}
$$
В главном порядке по $\delta p$, $\delta q$ мы имеем:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widetilde f_k^{(\pm)}&=\begin{bmatrix} 1 \\ -i p_{2j-2+k} \pm q_{k}-i\delta p \mp \dfrac{p_{k}}{q_{k}} \delta p \end{bmatrix} \\ &\qquad\times \exp\bigl(i[(p_{k}+\delta p)x+(q_{k}+\delta q)y]\bigr),\qquad k=2j-1,2j, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{91}
$$
и
$$
\begin{equation}
{\mathcal L}_0 \widetilde f_{k}^{(+)}= \biggl(-\delta q-\frac{p_{k}}{q_{k}}\delta p\biggr)\widetilde f_{k}^{(+)}.
\end{equation}
\tag{92}
$$
В главном порядке блок в матрице оператора ${\mathcal L}_1$, отвечающий данному подпространству, имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{bmatrix} 0 & \langle f^{(+)}_{2j-1}|{\mathcal L}_1|f^{(+)}_{2j}\rangle \\ \langle f^{(+)}_{2j}|{\mathcal L}_1|f^{(+)}_{2j-1}\rangle & 0 \end{bmatrix}.
\end{equation}
\tag{93}
$$
Вычислим матричные элементы, входящие в (93). Векторы двойственного базиса $f_{k}^{(+)*}$, $k=2j-1,2j$, имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f^{(+)*}_{k}(x+L_x,y)&=\exp{[-iL_x p_{k}]} f^{(+)*}_{k}(x,y), \\ f^{(+)*}_{k}(x,y+L_y)&=\exp{[-iL_y q_{k}]} f^{(+)*}_{k}(x,y), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{94}
$$
причем
$$
\begin{equation}
\langle f^{(+)*}_{k},f_{l}^{(+)}\rangle=\delta_{k,l}, \quad \langle f^{(+)*}_{k},f_{l}^{(-)}\rangle=0, \qquad l=2j-1,2j;
\end{equation}
\tag{95}
$$
поэтому
$$
\begin{equation}
f^{(+)*}_{k}=\frac{1}{2 L_x L_y q_{k}}\begin{bmatrix} i \overline\tau_{k}, 1 \end{bmatrix} \exp(-i[ p_{k} x+q_{k} y])
\end{equation}
\tag{96}
$$
и
$$
\begin{equation}
\nonumber \langle f^{(+)}_{2j-1}|{\mathcal L}_1|f^{(+)}_{2j}\rangle = \frac{1}{2 q_{2j-1}}\begin{bmatrix} i \overline\tau_{2j-1}, 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & c_{-j} \\ \overline c_j & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ -i \tau_{2j} \end{bmatrix}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=-\alpha_j=\frac{\overline{c}_j+\overline\tau_{2j-1}\tau_{2j} c_{-j}} {2q_{2j-1}}\,,
\end{equation}
\tag{97}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \langle f^{(+)}_{2j}|{\mathcal L}_1|f^{(+)}_{2j-1}\rangle = \frac{1}{2 q_{2j}}\begin{bmatrix} i \overline\tau_{2j}, 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & c_{j} \\ \overline c_{-j} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ -i \tau_{2j-1} \end{bmatrix}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\beta_j=\frac{\overline{c}_{-j}+\overline\tau_{2j}\tau_{2j-1} c_{j}} {2q_{2j}}\,.
\end{equation}
\tag{98}
$$
Пусть $(\tau_{2j-1},\tau_{2j})$ и $(\tau_{2j-1+2N},\tau_{2j+2N})=(-\tau_{2j-1},-\tau_{2j})$ – две пары резонансных точек, отвечающих одному и тому же монохроматическому возмущению. Тогда несложно проверить, что
$$
\begin{equation}
\alpha_{j+N}\beta_{j+N}=\overline{\alpha_{j}\beta_{j}}.
\end{equation}
\tag{99}
$$
Вблизи резонансной пары $(\tau_{2j-1},\tau_{2j})$ спектральная кривая в главном порядке задается соотношением
$$
\begin{equation}
\det\begin{bmatrix} -\dfrac{p_{2j-1}}{q_{2j-1}} \delta p -\delta q & -\varepsilon\alpha_j \\ \varepsilon\beta_j & -\dfrac{p_{2j}}{q_{2j}} \delta p -\delta q \end{bmatrix}=0.
\end{equation}
\tag{100}
$$
Используя уравнение (100), мы локально определяем $\delta q$ как двузначную функцию от $\delta p$. Отметим, что $\delta p$ – локальный параметр, корректно определенный вблизи точек $\tau_{2j-1}$, $\tau_{2j}$ и задающий локальный изоморфизм окрестностей этих точек, а отображение
$$
\begin{equation}
(\delta p,\delta q)\mapsto \delta p
\end{equation}
\tag{101}
$$
локально является двулистным накрытием. Для вычисления его точек ветвления положим
$$
\begin{equation}
\delta q=\delta\widetilde q-\frac{1}{2}\biggl[\frac{p_{2j-1}}{q_{2j-1}}+ \frac{p_{2j}}{q_{2j}}\biggr]\delta p,
\end{equation}
\tag{102}
$$
после чего уравнение (100) приобретает вид
$$
\begin{equation}
\det\begin{bmatrix} -\dfrac{q_{2j}p_{2j-1}-q_{2j-1}p_{2j}}{2q_{2j-1}q_{2j}}\delta p- \delta\widetilde q & -\varepsilon\alpha_j \\ \varepsilon\beta_j & \dfrac{q_{2j}p_{2j-1}-q_{2j-1}p_{2j}}{2q_{2j-1}q_{2j}}- \delta\widetilde q \end{bmatrix}=0.
\end{equation}
\tag{103}
$$
Точки ветвления отвечают двойным корням уравнения (103) по переменной $\widetilde\delta q$ и соответствуют следующим значения $\delta p$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \delta p=\pm \frac{2q_{2j-1}q_{2j}}{q_{2j}p_{2j-1}-q_{2j-1}p_{2j}} \varepsilon\sqrt{\alpha_j \beta_j}\,, \\ \frac{p_{2j-1}}{q_{2j-1}} \delta p +\delta q= \pm\varepsilon\sqrt{\alpha_j \beta_j}\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{104}
$$
Отметим, что
$$
\begin{equation*}
q_{2j}p_{2j-1}-q_{2j-1}p_{2j}=\operatorname{Im} \frac{\tau_{2j}}{\tau_{2j-1}}= \operatorname{Im}(\tau_{2j}\overline\tau_{2j-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее мы фиксируем одно из значений $\sqrt{\alpha_j \beta_j}$ и используем именно это значение во всех формулах. Например, для данных общего положения можно считать, что $\operatorname{Re}\sqrt{\alpha_j \beta_j}>0$. Учитывая (76), мы получаем следующую формулу для точек ветвления указанного отображения в главном порядке вблизи точек $\tau_{2j-1}$ и $\tau_{2j}$ соответственно:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, E_{4j-4+k}&=\tau_{2j-1}+(-1)^{k-1}\,\frac{2\tau_{2j-1}q_{2j}} {i\operatorname{Im}(\tau_{2j}\overline\tau_{2j-1})}\, \varepsilon\sqrt{\alpha_j \beta_j}\,, \\ E_{4j-2+k}&=\tau_{2j-1}+(-1)^{k-1}\,\frac{2\tau_{2j}q_{2j-1}} {i\operatorname{Im}(\tau_{2j}\overline\tau_{2j-1})}\, \varepsilon\sqrt{\alpha_j \beta_j}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{105}
$$
Мы используем следующее соглашение:
$$
\begin{equation}
\delta p=\begin{cases} \dfrac{2q_{2j-1}q_{2j}}{\operatorname{Im}(\tau_{2j}\overline\tau_{2j-1})}\, \varepsilon\sqrt{\alpha_j\beta_j} & \text{в точках}\ E_{4j-3} \sim E_{4j-1}, \\ -\dfrac{2q_{2j-1}q_{2j}}{\operatorname{Im}(\tau_{2j}\overline\tau_{2j-1})}\, \varepsilon\sqrt{\alpha_j\beta_j} & \text{в точках}\ E_{4j-2} \sim E_{4j}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{106}
$$
Спектральная кривая возмущенного оператора определена следующим образом (см. рис. 4). Мы разрезаем $\tau$-плоскость вдоль интервалов $(E_{2j-1},E_{2j})$. Для каждой резонансной пары $(\tau_{2j-1},\tau_{2j})$ мы склеиваем границы разрезов $(E_{4j-3},E_{4j-2})$ и $(E_{4j-1},E_{4j})$. Точка $E_{4j-3}$ приклеивается к точке $E_{4j-1}$, а точка $E_{4j-2}$ – к точке $E_{4j}$. Более того, если мы склеиваем пару точек, то блоховские мультипликаторы $\varkappa_x$ в них совпадают. Цикл $a_j$ – это овал, окружающий разрез $(E_{4j-1},E_{4j})$ и ориентированный против часовой стрелки, цикл $c_j$ – объединение ориентированных интервалов $[E_{4j-3},0]$ и $[0,E_{4j-1}]$, циклы $b_j$ задаются формулой (73). Для вычисления в главном порядке базисного дифференциала $\omega_j$ достаточно знать положение точек $E_k$, $k=4j-3,\dots,4j$, а остальные точки ветвления появляются в более высоких порядках. На соответствующей эллиптической кривой можно использовать следующее приближение:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \omega_j&=\frac{d\tau}{\sqrt{(\tau-E_{4j-1})(\tau-E_{4j})}}- \frac{d\tau}{\sqrt{(\tau-E_{4j-3})(\tau-E_{4j-2})}} \\ &=d\log\biggl[\frac{\tau-\tau_{2j}+\sqrt{(\tau-E_{4j-1})(\tau-E_{4j})}} {\tau-\tau_{2j-1}+ \sqrt{(\tau-E_{4j-3})(\tau-E_{4j-2})}}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{107}
$$
В (107) мы предполагаем, что если $\tau-\tau_{2j-1}$ – величина порядка 1, то
$$
\begin{equation*}
\sqrt{(\tau-E_{4j-3})(\tau-E_{4j-2})}\sim \tau-\tau_{2j-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, если $\tau-\tau_{2j}$ – величина порядка 1, то
$$
\begin{equation*}
\sqrt{(\tau-E_{4j-2})(\tau-E_{4j-1})}\sim \tau-\tau_{2j},
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому вдали от резонансных точек формула (107) в главном порядке совпадает с (75). Вблизи резонансных точек мы имеем в главном порядке:
$$
\begin{equation}
\omega_j=\begin{cases} d\log\bigl[\tau-\tau_{2j}+\sqrt{(\tau-E_{4j-1})(\tau-E_{4j})}\,\bigr], & \tau\sim\tau_{2j}, \\ -d\log\bigl[\tau-\tau_{2j-1}+\sqrt{(\tau-E_{4j-2})(\tau-E_{4j-2})}\,\bigr], & \tau\sim\tau_{2j-1}; \end{cases}
\end{equation}
\tag{108}
$$
поэтому базисный дифференциал $\omega_j$ на ручке, соединяющей $\tau_{2j-1}$ с $\tau_{2j}$, может быть записан как
$$
\begin{equation}
\omega_j=d\log\biggl[\frac{p_{2j-1}}{q_{2j-1}} \delta p+\delta q\biggr]= -d\log\biggl[\frac{p_{2j}}{q_{2j}} \delta p+\delta q\biggr].
\end{equation}
\tag{109}
$$
Точки дивизора задаются следующим условием: первая компонента блоховской собственной функции возмущенного оператора равна нулю при $z=0$, или, что эквивалентно,
$$
\begin{equation}
\begin{bmatrix} -\dfrac{p_{2j-1}}{q_{2j-1}} \delta p -\delta q & -\varepsilon\alpha_j \\ \varepsilon\beta_j & -\dfrac{p_{2j}}{q_{2j}}-\delta q \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix};
\end{equation}
\tag{110}
$$
поэтому для точки дивизора $\gamma_j$ получаем уравнение
$$
\begin{equation}
\frac{p_{2j-1}}{q_{2j-1}}\delta p+\delta q=\varepsilon\alpha_j.
\end{equation}
\tag{111}
$$
Сопоставляя (104) с (111), мы получаем следующее утверждение. Лемма 4. Пусть $E_{4j-3}$ – точка ветвления, получающаяся при возмущении резонансной пары $(\tau_{2j-1},\tau_{2j})$ и задаваемая формулой (106). Пусть она выбрана в качестве начальной точки преобразования Абеля. Тогда в главном порядке мы имеем следующую формулу для преобразования Абеля точки дивизора $\gamma_j$:
$$
\begin{equation}
[\vec A_{E_{4j-3}}(\gamma_j)]_k=\begin{cases} 0, & k\ne j, \\ \log\biggl[\dfrac{\alpha_j}{\sqrt{\alpha_j\beta_j}}\biggr], & k=j. \end{cases}
\end{equation}
\tag{112}
$$
Замечание 8. Несложно проверяется, что для $j\leqslant N$ точка $\sigma\gamma_{j+N}$ задается уравнением
$$
\begin{equation}
\begin{bmatrix} -\dfrac{p_{2j-1}}{q_{2j-1}}\delta p-\delta q & -\varepsilon\alpha_j \\ \varepsilon\beta_j & -\dfrac{p_{2j}}{q_{2j}}-\delta q \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \tau_{2j} \\ -\tau_{2j-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix};
\end{equation}
\tag{113}
$$
поэтому в главном порядке имеем
$$
\begin{equation}
[\vec A_{E_{4j-3}}(\sigma\gamma_{j+N})]_k=\begin{cases} 0, & k\ne j, \\ \log\biggl[\dfrac{\tau_{2j-1}\alpha_j} {\tau_{2j}\sqrt{\alpha_j\beta_j}}\biggr], & k=j. \end{cases}
\end{equation}
\tag{114}
$$
Из (112), (114), (80) видно, что условие вещественности (28) выполнено в главном порядке. В этом же приближении для преобразования Абеля с начальной точкой $\tau=0$ получаем:
$$
\begin{equation}
A_j(E_{4j-3}) =-\log\biggl[\frac{\tau_{2j} q_{2j}} {i\operatorname{Im}(\tau_{2j}\tau_{2j-1}^{-1})(\tau_{2j-1}-\tau_{2j})} \varepsilon\sqrt{\alpha_j\beta_j}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{115}
$$
$$
\begin{equation}
A_j(E_{4j-1}) =\log\biggl[\frac{\tau_{2j-1} q_{2j-1}} {i\operatorname{Im}(\tau_{2j}\tau_{2j-1}^{-1})(\tau_{2j}-\tau_{2j-1})} \varepsilon\sqrt{\alpha_j\beta_j}\,\biggr]
\end{equation}
\tag{116}
$$
и
$$
\begin{equation}
b_{jj}=A_j(E_{4j-1})-A_j(E_{4j-3})= \log\biggl[\frac{\tau_{2j-1}\tau_{2j} q_{2j-1}q_{2j}} {\operatorname{Im}^2(\tau_{2j}\tau_{2j-1}^{-1})(\tau_{2j-1}-\tau_{2j})^2} \varepsilon^2(\alpha_j\beta_j)\biggr].
\end{equation}
\tag{117}
$$
Замечание 9. Асимптотика для абелевых дифференциалов и матрицы Римана для римановых поверхностей с перетягиваемыми циклами обсуждается в книге [27]; более того, используя технику данной книги, можно вычислить поправки второго порядка малости. Для поверхностей, близких к вырожденным, хорошо работает параметризация Шоттки (см. книгу [9] и ссылки в ней). Замечание 10. Если одна из величин $\alpha_j$, $\beta_j$ в (106) равна нулю, то соответствующая резонансная точка становится двойной точкой в главном порядке приближения. Используя аргументы, аналогичные приведенным в [48], [49], несложно убедиться, что регулярное двоякопериодическое возмущение можно выбрать так, чтобы двойная точка получалась в точной теории. Для двумерных операторов Шрёдингера при одной энергии тот факт, что особые спектральные кривые могут отвечать гладким двоякопериодическим потенциалам, был отмечен в [48]. Заметим, что неустранимые двойные точки могут рождаться лишь из резонансных пар, отвечающих неустойчивым модам; резонансные пары, отвечающие устойчивым модам, после возмущения либо порождают тонкие ручки, либо остаются устранимыми двойными точками. Роль особых кривых в теории солитонных уравнений, включая ДС2 и модифицированное уравнение Веселова–Новикова, изучалась в работах [71], [74].
7. Вектор римановых констант Пусть $P_0$ обозначает начальную точку интегрирования в преобразовании Абеля $P_0$. Для вектора римановых констант имеется следующая формула (см. [22]):
$$
\begin{equation}
K_j=\frac{b_{jj}}{2}-\pi i-\frac{1}{2\pi i}\sum_{k\ne j}^{2N} \int_{\widetilde a^k} A_j(\gamma)\omega_k,
\end{equation}
\tag{118}
$$
где $A_j(\gamma)$ обозначает $j$-ю компоненту преобразования Абеля точки $\gamma$:
$$
\begin{equation}
A_j(\gamma)=\int_{P_0}^{\gamma}\omega_j.
\end{equation}
\tag{119}
$$
В этой формуле очень важен правильный выбор базисных циклов. Точнее, необходимо, чтобы были выполнены следующие условия. 1. Все циклы начинаются и заканчиваются в одной и той же точке $Q_0$. 2. Вне точки $Q_0$ кривые, представляющие циклы, не пересекаются. 3. Вблизи точки $Q_0$ кривые, представляющие циклы, подходят к $Q_0$ в следующем порядке (если считать по часовой стрелке): начало $a_1$, конец $b_1$, конец $a_1$, начало $b_1$, начало $a_2$, конец $b_2$, конец $a_2$, начало $b_2$, …, начало $b_g$. См. рис. 5, (a), для $g=8$. Базис циклов с указанными свойствами изображен на рис. 5, (c). Понятно, что при $j \ne k$ в $\epsilon$-окрестности разреза $[E_{4k-3},E_{4k-2}]$ мы имеем
$$
\begin{equation}
A_j(\gamma)=A_j(E_{2k-1})+O(\epsilon),
\end{equation}
\tag{120}
$$
и, соответственно,
$$
\begin{equation}
-\frac{1}{2\pi i}\int_{\widetilde a^k} A_j(\gamma)\omega_k= -A_j(E_{2k-1})+O(\epsilon).
\end{equation}
\tag{121}
$$
Действуя по аналогии с работой [35], модифицируем наши формулы. Пусть точка дивизора $\gamma_k$ лежит вблизи цикла $a_k$. Для нее переопределим преобразование Абеля, полагая
$$
\begin{equation}
A_j(\gamma_k)=\int_{E_{4k-3}}^{\gamma_k}\omega_j.
\end{equation}
\tag{122}
$$
Из условия неизменности аргумента тета-функции после данного переопределения вытекает, что в модифицированной формуле
$$
\begin{equation}
K_j=\frac{b_{jj}}{2}-\pi i+A_j(E_{4j-3})+O(\epsilon).
\end{equation}
\tag{123}
$$
8. Основные результаты работы В заключение приведем краткое изложение основных результатов работы. Рассмотрим фокусирующее уравнение Дэви–Стюартсона 2 (16) на пространстве двоякопериодических функций с периодами $L_x$ и $L_y$ по переменным $x$ и $y$ соответственно. Мы используем для (16) термин двоякопериодическая задача Коши для аномальных волн, если данные Коши являются малым двоякопериодическим возмущением (17) постоянного фона. Теорема 1. Пусть данные Коши (17) для уравнения (16) удовлетворяют следующим условиям. 1. Фон является неустойчивым: открытый диск $k_x^2+k_y^2 < 4|a|^2$ содержит хотя бы одну точку $(k_x,k_y)$, задаваемую формулой (66) с $(n_x,n_y)\ne(0,0)$. 2. Периоды $L_x$, $L_y$ – общего положения, а именно: 3. Данные Коши удовлетворяют следующему условию общности положения: для всех неустойчивых мод мы имеем $\alpha_j\beta_j\ne 0$. (Напомним, что величины $\alpha_j$, $\beta_j$ выражаются через соответствующие коэффициенты Фурье возмущения с помощью формул (97), (98) соответственно.) Для упрощения окончательных формул мы дополнительно предположим, что $a=1$ и нулевой коэффициент Фурье возмущения $v_0(x,y)$ равен нулю – см. (65). Благодаря масштабной симметрии уравнения ДС эти условия можно наложить без потери общности. Тогда, в пределе $|\varepsilon|\ll 1$, решение задачи Коши (17) для фокусирующего уравнения ДС2 в главном порядке дается формулой (53), где ${\mathcal C}_z={\mathcal C}_{\overline z}={\mathcal C}_t=0$, тета-функция Римана определяется формулой (54) с $g=2N$ (здесь $N$ обозначает число неустойчивых мод; при его вычислении мы предполагаем, что $(n_x,n_y)\ne(0,0)$), матрица Римана периодов $B=(b_{jl})$ задана формулами (117), (81), векторы $\vec W_z$, $\vec W_{\overline z}$, $\vec W_{t}$ заданы формулой (79), $\vec A(\infty_1)=\vec 0$, $\vec A(\infty_2)$ задан формулой (80), вектор $\vec A({\mathcal D})$ задан формулой (112), вектор римановых констант $\vec K$ задан формулами (123), (115). Более того, в соответствии со схемой работы [35], в формуле (54) достаточно сохранять лишь ведущие члены, поэтому окончательный ответ выписывается в терминах элементарных функций от данных Коши. Эти ведущие члены различны для различных областей в пространстве $(x,y,t)$, поэтому аппроксимирующие формулы зависят от выбранной области. По аналогии с [35], границы этих областей явно вычисляются через данные Коши. Авторы выражают благодарность А. Богатыреву за полезные обсуждения.
|
|
|
Список литературы
|
|
|
1. |
M. J. Ablowitz, G. Biondini, S. Blair, “Nonlinear Schrödinger equations with mean terms in nonresonant multidimensional quadratic materials”, Phys. Rev. E (3), 63:4 (2001), 046605 |
2. |
M. J. Ablowitz, R. Haberman, “Nonlinear evolution equations – two and three dimensions”, Phys. Rev. Lett., 35:18 (1975), 1185–1188 |
3. |
М. Абловиц, Х. Сигур, Солитоны и метод обратной задачи, Мир, М., 1987, 480 с. ; пер. с англ.: M. J. Ablowitz, H. Segur, Solitons and the inverse scattering transform, SIAM Stud. Appl. Math., 4, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1981, x+425 с. |
4. |
N. Akhmediev, J. M. Dudley, D. R. Solli, S. K. Turitsyn, “Recent progress in investigating optical rogue waves”, J. Opt., 15:6 (2013), 060201, 9 pp. |
5. |
Н. Н. Ахмедиев, В. М. Елеонский, Н. Е. Кулагин, “Генерация периодических пакетов пикосекундных импульсов в оптическом фибере: точные решения”, ЖЭТФ, 89:5 (1985), 1542–1551 ; англ. пер.: N. N. Akhmediev, V. M. Eleonskiĭ, N. E. Kulagin, “Generation of periodic trains of picosecond pulses in an optical fiber: exact solutions”, Soviet Phys. JETP, 62:5 (1985), 894–899 |
6. |
D. Anker, N. C. Freeman, “On the soliton solutions of the Davey–Stewartson equation for long waves”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 360:1703 (1978), 529–540 |
7. |
H. Bailung, S. K. Sharma, Y. Nakamura, “Observation of Peregrine solitons in a multicomponent plasma with negative ions”, Phys. Rev. Lett., 107:25 (2011), 255005 |
8. |
F. Baronio, M. Conforti, A. Degasperis, S. Lombardo, M. Onorato, S. Wabnitz, “Vector rogue waves and baseband modulation instability in the defocusing regime”, Phys. Rev. Lett., 113:3 (2014), 034101, 5 pp. |
9. |
E. D. Belokolos, A. I. Bobenko, V. Z. Enolskii, A. R. Its, V. B. Matveev, Algebro-geometric approach to nonlinear integrable equations, Springer Ser. Nonlinear Dynam., Springer-Verlag, Berlin, 1994, xii+337 pp. |
10. |
T. B. Benjamin, J. E. Feir, “The disintegration of wave trains on deep water. Part I. Theory”, J. Fluid Mech., 27 (1967), 417–430 |
11. |
D. J. Benney, G. J. Roskes, “Wave instabilities”, Stud. Appl. Math., 48:4 (1969), 377–385 |
12. |
В. И. Беспалов, В. И. Таланов, “О нитевидной структуре пучков света в нелинейных жидкостях”, Письма в ЖЭТФ, 3:12 (1966), 471–476; англ. пер.: V. I. Bespalov, V. I. Talanov, “Filamentary structure of light beams in nonlinear liquids”, JETP Lett., 3:12 (1966), 307–310 |
13. |
Yu. V. Bludov, V. V. Konotop, N. Akhmediev, “Matter rogue waves”, Phys. Rev. A, 80:3 (2009), 033610 |
14. |
M. Boiti, J. J.-P. Leon, L. Martina, F. Pempinelli, “Scattering of localized solitons in the plane”, Phys. Lett. A, 132:8-9 (1988), 432–439 |
15. |
A. Chabchoub, N. P. Hoffmann, N. Akhmediev, “Rogue wave observation in a water wave tank”, Phys. Rev. Lett., 106:20 (2011), 204502 |
16. |
И. В. Чередник, “Об условиях вещественности в ‘конечнозонном интегрировании’ ”, Докл. АН СССР, 252:5 (1980), 1104–1108 ; англ. пер.: I. V. Cherednik, “Reality conditions in ‘finite-zone integration’ ”, Soviet Phys. Dokl., 25:6 (1980), 450–452 |
17. |
F. Coppini, P. G. Grinevich, P. M. Santini, “Effect of a small loss or gain in the periodic nonlinear Schrödinger anomalous wave dynamics”, Phys. Rev. E, 101:3 (2020), 032204, 8 pp. |
18. |
F. Coppini, P. G. Grinevich, P. M. Santini, “Periodic rogue waves and perturbation theory”, Encyclopedia of complexity and systems science, Springer, Berlin–Heidelberg, 2022, 1–22, Publ. online |
19. |
F. Coppini, P. M. Santini, “The Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou recurrence of periodic anomalous waves in the complex Ginzburg–Landau and in the Lugiato–Lefever equations”, Phys. Rev. E, 102:6 (2020), 062207, 11 pp. |
20. |
A. Davey, K. Stewartson, “On three-dimensional packets of surface waves”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 338:1613 (1974), 101–110 |
21. |
G. Dematteis, T. Grafke, M. Onorato, E. Vanden-Eijnden, “Experimental evidence of hydrodynamic instantons: the universal route to rogue waves”, Phys. Rev. X, 9 (2019), 041057, 12 pp. |
22. |
Б. А. Дубровин, “Тэта-функции и нелинейные уравнения”, УМН, 36:2(218) (1981), 11–80 ; англ. пер.: B. A. Dubrovin, “Theta functions and non-linear equations”, Russian Math. Surveys, 36:2 (1981), 11–92 |
23. |
Б. А. Дубровин, И. М. Кричевер, С. П. Новиков, “Уравнение Шредингера в периодическом поле и римановы поверхности”, Докл. АН СССР, 229:1 (1976), 15–18 ; англ. пер.: B. A. Dubrovin, I. M. Krichever, S. P. Novikov, “The Schrödinger equation in a periodic field and Riemann surfaces”, Soviet Math. Dokl., 17 (1977), 947–951 |
24. |
K. B. Dysthe, K. Trulsen, “Note on breather type solutions of the NLS as models for freak-waves”, Phys. Scr., T82:1 (1999), 48–52 |
25. |
G. A. El, “Soliton gas in integrable dispersive hydrodynamics”, J. Stat. Mech. Theory Exp., 2021, no. 11, 114001, 69 pp. |
26. |
G. A. El, A. Tobvis, “Spectral theory of soliton and breather gases for the focusing nonlinear Schrödinger equation”, Phys. Rev. E, 101:5 (2020), 052207, 21 pp. |
27. |
J. D. Fay, Theta functions on Riemann surfaces, Lecture Notes in Math., 352, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1973, iv+137 pp. |
28. |
F. Fedele, J. Brennan, S. Ponce de León, J. Dudley, F. Dias, “Real world ocean rogue waves explained without the modulational instability”, Sci. Rep., 6 (2016), 27715 |
29. |
A. S. Fokas, P. M. Santini, “Coherent structures in multidimensions”, Phys. Rev. Lett., 63:13 (1989), 1329–1333 |
30. |
A. S. Fokas, P. M. Santini, “Dromions and a boundary value problem for the Davey–Stewartson 1 equation”, Phys. D, 44:1-2 (1990), 99–130 |
31. |
A. Gelash, D. Agafontsev, V. Zakharov, G. El, S. Randoux, P. Suret, “Bound state soliton gas dynamics underlying the spontaneous modulational instability”, Phys. Rev. Lett., 123:23 (2019), 234102 |
32. |
П. Г. Гриневич, А. Е. Миронов, С. П. Новиков, “О нулевом уровне чисто магнитного двумерного нерелятивистского оператора Паули для частиц со спином $1/2$”, ТМФ, 164:3 (2010), 333–353 ; “Исправление”, 166:2 (2011), 320 ; англ. пер.: P. G. Grinevich, A. E. Mironov, S. P. Novikov, “Zero level of a purely magnetic two-dimensional nonrelativistic Pauli operator for SPIN-$1/2$ particles”, Theoret. and Math. Phys., 164:3 (2010), 1110–1127 ; “Erratum”, 166:2 (2011), 278 |
33. |
P. G. Grinevich, P. M. Santini, “The finite gap method and the analytic description of the exact rogue wave recurrence in the periodic NLS Cauchy problem. 1”, Nonlinearity, 31:11 (2018), 5258–5308 |
34. |
P. G. Grinevich, P. M. Santini, “The exact rogue wave recurrence in the NLS periodic setting via matched asymptotic expansions, for 1 and 2 unstable modes”, Phys. Lett. A, 382:14 (2018), 973–979 |
35. |
П. Г. Гриневич, П. М. Сантини, “Конечнозонный подход в периодической задаче Коши для аномальных волн в нелинейном уравнении Шрёдингера при наличии нескольких неустойчивых мод”, УМН, 74:2(446) (2019), 27–80 ; англ. пер.: P. G. Grinevich, P. M. Santini, “The finite-gap method and the periodic NLS Cauchy problem of anomalous waves for a finite number of unstable modes”, Russian Math. Surveys, 74:2 (2019), 211–263 |
36. |
S. Haver, Freak wave event at Draupner jacket January 1 1995, Tech. Rep. PTT-KU-MA, Statoil, Oslo, 2003 |
37. |
K. L. Henderson, D. H. Peregrine, J. W. Dold, “Unsteady water wave modulations: fully nonlinear solutions and comparison with the nonlinear Schrödinger equation”, Wave Motion, 29:4 (1999), 341–361 |
38. |
Guoxiang Huang, L. Deng, Chao Hang, “Davey–Stewartson description of two-dimensional nonlinear excitations in Bose–Einstein condensates”, Phys. Rev. E, 72:3 (2005), 036621 |
39. |
А. Р. Итс, А. В. Рыбин, М. А. Салль, “К вопросу о точном интегрировании нелинейного уравнения Шредингера”, ТМФ, 74:1 (1988), 29–45 ; англ. пер.: A. R. Its, A. V. Rybin, M. A. Sall, “Exact integration of nonlinear Schrödinger equation”, Theoret. and Math. Phys., 74:1 (1988), 20–32 |
40. |
B. Kibler, J. Fatome, C. Finot, G. Millot, F. Dias, G. Genty, N. Akhmediev, J. M. Dudley, “The Peregrine soliton in nonlinear fibre optics”, Nature Phys., 6:10 (2010), 790–795 |
41. |
B. Kibler, J. Fatome, C. Finot, G. Millot, G. Genty, B. Wetzel, N. Akhmediev, F. Diaz, J. M. Dudley, “Observation of Kuznetsov–Ma soliton dynamics in optical fibre”, Sci. Rep., 2 (2012), 463, 5 pp. |
42. |
Yu. S. Kivshar, B. Luther-Davies, “Dark optical solitons: physics and applications”, Phys. Rep., 298:2-3 (1998), 81–197 |
43. |
C. Klein, K. Roidot, “Numerical study of the semiclassical limit of the Davey–Stewartson II equations”, Nonlinearity, 27:9 (2014), 2177–2214 |
44. |
C. Klein, J.-C. Saut, “IST versus PDE: a comparative study”, Hamiltonian partial differential equations and applications, Fields Inst. Commun., 75, Fields Inst. Res. Math. Sci., Toronto, ON, 2015, 383–449 |
45. |
C. Klein, N. Stoilov, “Numerical study of blow-up mechanisms for Davey–Stewartson II systems”, Stud. Appl. Math., 141:1 (2018), 89–112 |
46. |
B. G. Konopelchenko, “Induced surfaces and their integrable dynamics”, Stud. Appl. Math., 96:1 (1996), 9–51 |
47. |
B. G. Konopelchenko, “Weierstrass representations for surfaces in 4D spaces and their integrable deformations via DS hierarchy”, Ann. Global Anal. Geom., 18:1 (2000), 61–74 |
48. |
И. М. Кричевер, “Спектральная теория двумерных периодических операторов и ее приложения”, УМН, 44:2(266) (1989), 121–184 ; англ. пер.: I. M. Krichever, “Spectral theory of two-dimensional periodic operators and its applications”, Russian Math. Surveys, 44:2 (1989), 145–225 |
49. |
I. M. Krichever, Perturbation theory in periodic problems for two-dimensional integrable systems, Soviet Sci. Rev. Sect. C: Math. Phys. Rev., 9, Part 2, Harwood Acad. Publ., Reading, UK, 1992, 103 pp. |
50. |
Е. А. Кузнецов, “О солитонах в параметрически неустойчивой плазме”, Докл. АН СССР, 236:3 (1977), 575–577 ; англ. пер.: E. A. Kuznetsov, “Solitons in a parametrically unstable plasma”, Soviet Phys. Dokl., 22 (1977), 507–508 |
51. |
C. Liu, R. E. C. van der Wel, N. Rotenberg, L. Kuipers, T. F. Krauss, A. Di Falco, A. Fratalocchi, “Triggering extreme events at the nanoscale in photonic seas”, Nature Phys., 11:4 (2015), 358–363 |
52. |
Changfu Liu, Chuanjian Wang, Zhengde Dai, Jun Liu, “New rational homoclinic and rogue waves for Davey–Stewartson equation”, Abstr. Appl. Anal., 2014 (2014), 572863, 8 pp. |
53. |
Yaobin Liu, Chao Qian, D. Mihalache, Jingsong He, “Rogue waves and hybrid solutions of the Davey–Stewartson I equation”, Nonlinear Dynam., 95:1 (2019), 839–857 |
54. |
Р. М. Матуев, И. А. Тайманов, “Преобразование Мутара двумерных операторов Дирака и конформная геометрия поверхностей в четырехмерном пространстве”, Матем. заметки, 100:6 (2016), 868–880 ; англ. пер.: R. M. Matuev, I. A. Taimanov, “The Moutard transformation of two-dimensional Dirac operators and the conformal geometry of surfaces in four-dimensional space”, Math. Notes, 100 (2016), 835–846 |
55. |
W. M. Moslem, R. Sabry, S. K. El-Labany, P. K. Shukla, “Dust-acoustic rogue waves in a nonextensive plasma”, Phys. Rev. E, 84:6 (2011), 066402 |
56. |
Д. Мамфорд, Лекции о тета-функциях, Мир, М., 1988, 448 с. ; пер. с англ.: D. Mumford, Tata lectures on theta, т. I, Progr. Math., 28, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1983, xiii+235 с. ; v. II, 43, 1984, xiv+272 pp. |
57. |
A. C. Newell, J. V. Moloney, Nonlinear optics, Adv. Top. Interdiscip. Math. Sci., Addison-Wesley Publishing Co., Redwood City, CA, 1992, xii+436 pp. |
58. |
К. Нишинари, К. Абе, Д. Сатсума, “Новый тип солитонного поведения уравнений Дэви–Стюартсона в плазменной системе”, ТМФ, 99:3 (1994), 487–498 ; англ. пер.: K. Nishinari, K. Abe, J. Satsuma, “A new type of soliton behavior of the Davey–Stewartson equations in a plasma system”, Theoret. and Math. Phys., 99:3 (1994), 745–753 |
59. |
Y. Ohta, Jianke Yang, “Rogue waves in the Davey–Stewartson I equation”, Phys. Rev. E, 86:3 (2012), 036604 |
60. |
Y. Ohta, Jianke Yang, “Dynamics of rogue waves in the Davey–Stewartson II equation”, J. Phys. A, 46:10 (2013), 105202, 19 pp. |
61. |
M. Onorato, T. Waseda, A. Toffoli, L. Cavaleri, O. Gramstad, P. A. E. M. Janssen, T. Kinoshita, J. Monbaliu, N. Mori, A. R. Osborne, M. Serio, C. T. Stansberg, H. Tamura, K. Trulsen, “Statistical properties of directional ocean waves: the role of the modulational instability in the formation of extreme events”, Phys. Rev. Lett., 102:11 (2009), 114502 |
62. |
A. R. Osborne, M. Onorato, M. Serio, “The nonlinear dynamics of rogue waves and holes in deep-water gravity wave trains”, Phys. Lett. A, 275:5-6 (2000), 386–393 |
63. |
T. Ozawa, “Exact blow-up solutions to the Cauchy problem for the Davey–Stewartson systems”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 436:1897 (1992), 345–349 |
64. |
F. Pedit, U. Pinkall, “Quaternionic analysis on Riemann surfaces and differential geometry”, Proceedings of the international congress of mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998), Doc. Math., Extra Vol. II (1998), 389–400 |
65. |
D. H. Peregrine, “Water waves, nonlinear Schrödinger equations and their solutions”, J. Austral. Math. Soc. Ser. B, 25:1 (1983), 16–43 |
66. |
D. Pierangeli, M. Flammini, L. Zhang, G. Marcucci, A. J. Agranat, P. G. Grinevich, P. M. Santini, C. Conti, E. DelRe, “Observation of Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou recurrence and its exact dynamics”, Phys. Rev. X, 8:4 (2018), 041017, 9 pp. |
67. |
D. R. Solli, C. Ropers, P. Koonath, B. Jalali, “Optical rogue waves”, Nature, 450:7172 (2007), 1054–1057 |
68. |
I. A. Taimanov, “Modified Novikov–Veselov equation and differential geometry of surfaces”, Solitons, geometry, and topology: on the crossroad, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 179, Adv. Math. Sci., 33, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, 133–151 |
69. |
И. А. Тайманов, “Глобальное представление Вейерштрасса и его спектр”, УМН, 52:6(318) (1997), 187–188 ; англ. пер.: I. A. Taimanov, “The global Weierstrass representation and its spectrum”, Russian Math. Surveys, 52:6 (1997), 1330–1332 |
70. |
И. А. Тайманов, “Представление Вейерштрасса замкнутых поверхностей в $\mathbb R^3$”, Функц. анализ и его прил., 32:4 (1998), 49–62 ; англ. пер.: I. A. Taimanov, “The Weierstrass representation of closed surfaces in $\mathbb R^3$”, Funct. Anal. Appl., 32:4 (1998), 258–267 |
71. |
И. А. Тайманов, “О двумерных конечнозонных потенциальных операторах Шредингера и Дирака с особыми спектральными кривыми”, Сиб. матем. журн., 44:4 (2003), 870–882 ; англ. пер.: I. A. Taimanov, “On two-dimensional finite-gap potential Schrödinger and Dirac operators with singular spectral curves”, Siberian Math. J., 44:4 (2003), 686–694 |
72. |
I. A. Taimanov, “Surfaces in the four-space and the Davey–Stewartson equations”, J. Geom. Phys., 56:8 (2006), 1235–1256 |
73. |
И. А. Тайманов, “Двумерный оператор Дирака и теория поверхностей”, УМН, 61:1(367) (2006), 85–164 ; англ. пер.: I. A. Taimanov, “Two-dimensional Dirac operator and the theory of surfaces”, Russian Math. Surveys, 61:1 (2006), 79–159 |
74. |
И. А. Тайманов, “Сингулярные спектральные кривые в конечнозонном интегрировании”, УМН, 66:1(397) (2011), 111–150 ; англ. пер.: I. A. Taimanov, “Singular spectral curves in finite-gap integration”, Russian Math. Surveys, 66:1 (2011), 107–144 |
75. |
И. А. Тайманов, “Преобразование Мутара двумерных операторов Дирака и геометрия Мебиуса”, Матем. заметки, 97:1 (2015), 129–141 ; англ. пер.: I. A. Taimanov, “The Moutard transformation of two-dimensional Dirac operators and Möbius geometry”, Math. Notes, 97:1 (2015), 124–135 |
76. |
И. А. Тайманов, “Разрушающиеся решения модифицированного уравнения Веселова–Новикова и минимальные поверхности”, ТМФ, 182:2 (2015), 213–222 ; англ. пер.: I. A. Taimanov, “Blowing up solutions of the modified Novikov–Veselov equation and minimal surfaces”, Theoret. and Math. Phys., 182:2 (2015), 173–181 |
77. |
И. А. Тайманов, “Преобразование Мутара для уравнения Дэви–Стюартсона II и его геометрический смысл”, Матем. заметки, 110:5 (2021), 751–765 ; англ. пер.: I. A. Taimanov, “The Moutard transformation for the Davey–Stewartson II equation and its geometrical meaning”, Math. Notes, 110:5 (2021), 754–766 |
78. |
И. А. Тайманов, С. П. Царев, “Распадающиеся решения уравнения Веселова–Новикова”, Докл. РАН, 420:6 (2008), 744–745 ; англ. пер.: I. A. Taimanov, S. P. Tsar{e}v, “Blowing up solutions of the Novikov–Veselov equation”, Dokl. Math., 77:3 (2008), 467–468 |
79. |
А. П. Веселов, С. П. Новиков, “Конечнозонные двумерные потенциальные операторы Шредингера. Явные формулы и эволюционные уравнения”, Докл. АН СССР, 279:1 (1984), 20–24 ; англ. пер.: A. P. Veselov, S. P. Novikov, “Finite-zone, two-dimensional, potential Schrödinger operators. Explicit formulas and evolution equations”, Soviet Math. Dokl., 30:3 (1984), 588–591 |
80. |
А. П. Веселов, С. П. Новиков, “Конечнозонные двумерные операторы Шредингера. Потенциальные операторы”, Докл. АН СССР, 279:4 (1984), 784–788 ; англ. пер.: A. P. Veselov, S. P. Novikov, “Finite-zone, two-dimensional Schrödinger operators. Potential operators”, Soviet Math. Dokl., 30:3 (1984), 705–708 |
81. |
L. Wen, L. Li, Z. D. Li, S. W. Song, X. F. Zhang, W. M. Liu, “Matter rogue wave in Bose–Einstein condensates with attractive atomic interaction”, Eur. Phys. J. D, 64 (2011), 473–478 |
82. |
В. Е. Захаров, “Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости”, Прикладная механика и техническая физика, 1968, № 2, 86–94; англ. пер.: V. E. Zakharov, “Stability of periodic waves of finite amplitude on the surface of a deep fluid”, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 9:2 (1968), 190–194 |
83. |
V. E. Zakharov, A. A. Gelash, “Nonlinear stage of modulation instability”, Phys. Rev. Lett., 111:5 (2013), 054101 |
84. |
В. Е. Захаров, А. М. Рубенчик, “О нелинейном взаимодействии высокочастотных и низкочастотных волн”, Прикладная механика и техническая физика, 1972, № 5, 84–98; англ. пер.: V. E. Zakharov, A. M. Rubenchik, “Nonlinear interaction of high-frequency and low-frequency waves”, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 13:5 (1972), 669–681 |
85. |
В. Е. Захаров, А. Б. Шабат, “Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах”, ЖЭТФ, 61:1 (1971), 118–134 ; англ. пер.: V. E. Zakharov, A. B. Shabat, “Exact theory of two-dimensional self-focusing and one-dimensional self-modulation of waves in nonlinear media”, Soviet Phys. JETP, 34:1 (1972), 62–69 |
86. |
В. Е. Захаров, А. Б. Шабат, “Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I”, Функц. анализ и его прил., 8:3 (1974), 43–53 ; англ. пер.: V. E. Zakharov, A. B. Shabat, “A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the inverse scattering problem. I”, Funct. Anal. Appl., 8:3 (1974), 226–235 |
Образец цитирования:
П. Г. Гриневич, П. М. Сантини, “Конечнозонный подход в периодической задаче Коши для $(2+1)$-мерных аномальных волн фокусирующего уравнения Дэви–Стюартсона 2”, УМН, 77:6(468) (2022), 77–108; Russian Math. Surveys, 77:6 (2022), 1029–1059
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/rm10077https://doi.org/10.4213/rm10077 https://www.mathnet.ru/rus/rm/v77/i6/p77
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 502 | PDF русской версии: | 27 | PDF английской версии: | 40 | HTML русской версии: | 205 | HTML английской версии: | 277 | Список литературы: | 51 | Первая страница: | 15 |
|