Триангуляции многообразий, похожих на проективные плоскости

В 1987 году У. Брем и В. Кюнель доказали, что единственным $d$-мерным многообразием, которое допускает триангуляцию меньше, чем с $3d/2+3$ вершинами, является $d$-мерная сфера $S^d$. Более того, если $d$-мерное многообразие $M^d$, отличное от $S^d$, допускает триангуляцию ровно с $3d/2+3$ вершинами, то $d$ — одно из четырех чисел $2$, $4$, $8$ и $16$ и $M^d$ является многообразием, похожим на проективную плоскость. Это замечательный класс многообразий, появившийся в 1950-х годах в работах Дж. Милнора, Н. Шимады, Дж. Илса и Н. Койпера. Он состоит из многообразий, которые по ряду своих свойств очень близки к настоящим проективным плоскостям $\mathbb{RP}^2$, $\mathbb{CP}^2$, $\mathbb{HP}^2$ и $\mathbb{OP}^2$, отвечающим четырем классическим алгебрам с делением: вещественным числам $\mathbb{R}$, комплексным числам $\mathbb{C}$, кватернионам $\mathbb{H}$ и октавам $\mathbb{O}$. Таким образом, построение и изучение $(3d/2+3)$-вершинных триангуляций $d$-мерных многообразий, похожих на проективные плоскости, представляет особый интерес. До работ А. А. Гайфуллина было известно очень мало таких триангуляций: по одной в размерностях $2$ и $4$ и шесть в размерности $8$. Ни одного примера в размерности $16$ известно не было.
В работе [1] решена стоявшая с конца 1980-х годов задача о существовании $27$-вершинных триангуляций $16$-мерных многообразий, похожих на октавную проективную плоскость. Построено огромное число (больше $10^{103}$) таких триангуляций. В каждой из этих триангуляций количество $16$-мерных симплексов равно $100\,386$, а общее количество симплексов всех размерностей равно $2^{26}-1=67\,108\,863$; таким образом, эти триангуляции являются исключительно сложными комбинаторными объектами. Четыре триангуляции с наибольшей группой симметрий порядка $351$ были найдены при помощи специально разработанного компьютерного алгоритма; остальные получены из этих четырех при помощи специальных перестроек.
В работе [2] проведено исследование возможных групп симметрий $27$-вершинных триангуляций $16$-мерных многообразий, похожих на октавную проективную плоскость. Найден список из $26$ групп, содержащий все потенциально возможные группы симметрий.
Работа [3] посвящена $8$-мерному случаю. В ней построено много (более $670\,000$) новых $15$-вершинных триангуляций кватернионной проективной плоскости $\mathbb{HP}^2$. Также в ней получена полная классификация всех $15$-вершинных триангуляций $\mathbb{HP}^2$ с группами симметрий порядков больше $3$.

Список литературы

1. A. A. Gaifullin, “634 vertex-transitive and more than $10^{103}$ non-vertex-transitive 27-vertex triangulations of manifolds like the octonionic projective plane”, Изв. РАН. Сер. матем., 88:3 (2024), 12–60        ; Izv. Math., 88:3 (2024), 419–467      
2. А. А. Гайфуллин, “О возможных группах симметрий 27-вершинных триангуляций многообразий, похожих на октавную проективную плоскость”, Матем. сб., 215:7 (2024), 3–51    ; A. A. Gaifullin, “On possible symmetry groups of 27-vertex triangulations of manifolds like the octonionic projective plane”, Sb. Math., 215:7 (2024), 869–910  
3. А. А. Гайфуллин, “Новые примеры и частичная классификация 15-вершинных триангуляций кватернионной проективной плоскости”, Топология, геометрия, комбинаторика и математическая физика, Сборник статей. К 80-летию члена-корреспондента РАН Виктора Матвеевича Бухштабера, Труды МИАН, 326, МИАН, М., 2024   [A. A. Gaifullin, “New examples and partial classification of 15-vertex triangulations of the quaternionic projective plane”, Topology, Geometry, Combinatorics, and Mathematical Physics, Collected papers. Dedicated to Victor Matveevich Buchstaber on the occasion of his 80th birthday, Trudy Mat. Inst. Steklova, 326, Steklov Math. Inst., Moscow, 2024]