Триангуляции многообразий, похожих на проективные плоскости

В 1987 году У. Брем и В. Кюнель доказали, что единственным $d$-мерным многообразием, которое допускает триангуляцию меньше, чем с $3d/2+3$ вершинами, является $d$-мерная сфера $S^d$. Более того, если $d$-мерное многообразие $M^d$, отличное от $S^d$, допускает триангуляцию ровно с $3d/2+3$ вершинами, то $d$ — одно из четырех чисел $2$, $4$, $8$ и $16$ и $M^d$ является многообразием, похожим на проективную плоскость. Это замечательный класс многообразий, появившийся в 1950-х годах в работах Дж. Милнора, Н. Шимады, Дж. Илса и Н. Койпера. Он состоит из многообразий, которые по ряду своих свойств очень близки к настоящим проективным плоскостям $\mathbb{RP}^2$, $\mathbb{CP}^2$, $\mathbb{HP}^2$ и $\mathbb{OP}^2$, отвечающим четырем классическим алгебрам с делением: вещественным числам $\mathbb{R}$, комплексным числам $\mathbb{C}$, кватернионам $\mathbb{H}$ и октавам $\mathbb{O}$. Таким образом, построение и изучение $(3d/2+3)$-вершинных триангуляций $d$-мерных многообразий, похожих на проективные плоскости, представляет особый интерес. До работ А. А. Гайфуллина было известно очень мало таких триангуляций: по одной в размерностях $2$ и $4$ и шесть в размерности $8$. Ни одного примера в размерности $16$ известно не было.
В работе [1] решена стоявшая с конца 1980-х годов задача о существовании $27$-вершинных триангуляций $16$-мерных многообразий, похожих на октавную проективную плоскость. Построено огромное число (больше $10^{103}$) таких триангуляций. В каждой из этих триангуляций количество $16$-мерных симплексов равно $100\,386$, а общее количество симплексов всех размерностей равно $2^{26}-1=67\,108\,863$; таким образом, эти триангуляции являются исключительно сложными комбинаторными объектами. Четыре триангуляции с наибольшей группой симметрий порядка $351$ были найдены при помощи специально разработанного компьютерного алгоритма; остальные получены из этих четырех при помощи специальных перестроек.
В работе [2] проведено исследование возможных групп симметрий $27$-вершинных триангуляций $16$-мерных многообразий, похожих на октавную проективную плоскость. Найден список из $26$ групп, содержащий все потенциально возможные группы симметрий.
Работа [3] посвящена $8$-мерному случаю. В ней построено много (более $670\,000$) новых $15$-вершинных триангуляций кватернионной проективной плоскости $\mathbb{HP}^2$. Также в ней получена полная классификация всех $15$-вершинных триангуляций $\mathbb{HP}^2$ с группами симметрий порядков больше $3$.