Инвариантные обобщенные меры в бесконечномерных пространствах и их применения. 1-я часть: Спектральный анализ унитарного гильбертова преобразования Фурье

Бесконечномерный аналог преобразования Фурье впервые (правда, под именем преобразования Лапласа) был введен в краткой работе Андрея Николаевича Колмогорова [Kolmogoroff A. La transformation de Laplace dans les espaces linearies. – C. R. Acad. Sci. Paris. 1935 T. 200 P. 1717–1718.], представленной Жаком Адамаром. При этом преобразованию подвергалась вероятностная борелевская мера F на произвольном сепарабельном банаховом вещественном пространстве E, а результатом преобразования была комплекснозначная функция Н на сопряженном к Е пространстве, такая, которая каждому вещественно-линейному непрерывному функционалу f сопоставляла усреднение по мере F той комплексной ограниченной функции (унитарного характера) на Е, которая задается формулой х –> exp(if(x)). Последняя формула по построению задает непрерывную цилиндрическую функцию. (Под цилиндрической функцией на Е понимается композиция Ф(Р(х)) непрерывного линейного оператора на Е с конечномерным образом Р(Е) и некоторой функции Ф, определенной на этом конечномерном образе; соответственно, цилиндрическим борелевским подмножеством в Е называется то, чья индикаторная функция является цилиндрической борелевской). Довольно быстро было понято, что счетная аддитивность преобразуемой меры излишня, и достаточно от меры требовать, чтобы она была цилиндрической (даже требовать конечность вариации от меры при этом, вообще говоря, необязательно). Если при этом банахово пространство Е является гильбертовым, то есть, являющимся изоморфной копией сопряженного, то преобразование Фурье цилиндрической меры, заданной на борелевских цилиндрических подмножествах в Е, можно считать функцией снова на E (однако уже обычной функцией точки, а не функцией множества); эта функция на Е и называется тогда гильбертовым преобразованием Фурье цилиндрической меры. Таким образом, преобразование Фурье переводит цилиндрические меры на сепарабельном вещественном гильбертовом пространстве E в функции на том же Е. Если бы удалось некоторым цилиндрическим мерам на таком Е (например, таким мерам, бесконечно-дифференцируемым по Фомину и достаточно быстро убывающим на бесконечности, то есть, имеющим бесконечно-дифференцируемое по Фреше преобразование Фурье) линейно сопоставить непрерывные функции, играющие роль плотностей этих мер, то можно было бы считать преобразование Фурье преобразующим функции на Е снова в функции на Е и искать собственные функции такого преобразования. Оказывается, в классе цилиндрических мер, близких к гауссовским, можно данную программу реализовать, — обходя таким образом условия “no-go”-теорем Бенткуса и Угланова 1973 года. При этом непрерывную плотность р цилиндрической меры F можно сделать интегрируемой по бесконечномерному (обобщенному) аналогу интеграла Лебега. Один из таких аналогов описывается чрезвычайно прямым способом: именно, каждое сужение р|K плотности р на конечномерное подпространство K в Е нужно проинтегрировать по стандартной лебеговой мере этого (евклидова) подпространства, и для полученной таким образом числовой функции I(p,K) на направленном по расширению семействе конечномерных подпространств взять предел (по указанной направленности). Обозначим этот предел через I(p,E) и назовем его интегралом по канонической обобщенной мере Лебега гильбертова пространства Е от функции р, и, если удобна дифференциальная запись, положим I(p,E) = S p(x) dx (где S символизирует интеграл по обобщенной мере Лебега – бесконечномерному объему в Е). Эрмитовыми плотностями назовем плотности p вида p(x)=m(x)v(x), где m – цилиндрический многочлен на Е, (х,х) – скалярное произведение в Е, п – площадь круга единичного радиуса и v(x)=exp(-п(x,x)) – гауссов вакуум того фоковского представления бесконечномерных канонических бозонных коммутационных соотношений комплексификации вещественного пространства Е, которое построено в работе [О.Г.Смолянов, Н.Н.Шамаров: ДАН 2020, т.492, с.65–69].
Теорема 1. Для любой эрмитовой плотности р=mv и любой борелевской ограниченной цилиндрической функции ф интеграл I(фp,Е) равен интегралу от фm по центрированной гауссовской цилиндрической мере G, чей корреляционный оператор является умножением на 1/(2п).
При этом интеграл можно вычислять как предел по n последовательности I(p,Kn) по любой расширяющейся последовательности конечномерных подпространств Kn c с плотным в Е объединением.
Теорема 2. В терминах теоремы 1 значение в точке y гильбертова преобразования Фурье цилиндрической меры m(x)G(dx) совпадает с обобщенным интегралом S exp(i(x,y)-п(х,х))m(x) dx. При этом пространство D всех комплексных эрмитовых плотностей инвариантно относительно интегрального оператора J, переводящего каждую эрмитову плотность p в функцию у –> (S exp(2пi(x,y)) р(x) dx), четвертая степень оператора J является тождественным оператором на D, а сам оператор J сохраняет гильбертову норму на D, задаваемую скалярным произведением вещественных эрмитовых плотностей р и q вида (p,q) = S р(x/r2) q(x/r2) dx, где r2 это положительный квадратный корень из 2. Далее, комплексное гильбертово пространство Z, получаемое пополнением пространства D по указанной норме, изоморфно фоковскому с вакуумом v, продолжение оператора J до унитарного на Z имеет в D вещественный собственный ортонормированный базис, и обратный к J оператор отличается лишь знаком в экспоненте, то есть, задается на плотности р формулой у –> (S exp(-2пi(x,y)) р(x) dx).
Теорема 4. Полученные унитарное преобразование J типа Фурье на Z и обратное к нему позволяют определить на D для каждого вещественного цилиндрического полинома h(x,u) на декартовом квадрате ЕхЕ существенно Z-самосопряженные аналоги ^h псевдодифференциальных операторов с символом Вейля формулой p –> ^h p, где ^h p : x–> (S (S exp(2пi(x-y,u)) h((x+y)/2,u) р(у) dy) du).
Этот переход от символа к h соответствующему оператору ^h можно назвать квантованием Вейля–Смолянова, потому что идея о том, что каноническое квантование бесконечномерных систем должно на уровне формул быть неотличимым от вейлевского квантования конечномерных систем, принадлежит именно О.Г.Смолянову.